Estudo da Concentração da Poluição do Ar com Parâmetro Fuzzy

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Estudo da Concentra¸c˜

ao da Polui¸c˜

ao do Ar com

Parˆ

ametro Fuzzy

Jennifer Cristina Borges1

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, UNESP, São José do Rio Preto, SP Rosana Sueli da Motta Jafelice2

Faculdade de Matemática, UFU, Uberlândia, MG Luiz Antônio de Oliveira3

Instituto de Geografia, UFU, Uberlˆandia, MG Ana Maria Amarillo Bertone4

Faculdade de Matem´atica, UFU, Uberlˆandia, MG

Resumo. O objetivo deste trabalho é modelar matematicamente uma fonte de polui¸cão, que consideramos como sendo a chaminé de uma indústria, que contamina a atmosfera com uma nuvem de polui¸cão que se espalha pela cidade de Uberlândia. Modelamos o problema considerando uma equa¸cão diferencial parcial advectiva-difusiva em um dom´ınio irregular, no caso o mapa de Uberlândia, com condi¸cão de fronteira de Dirichlet homogênea e os parâmetros difusão e velocidades são calculados através de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (SBRF). As variáveis de entrada do SBRF para a, variável de sa´ıda, difusão são: temperatura e concentra¸cão de poluentes. A variável de entrada dos SBRF que tem como variáveis de sa´ıda, as velocidades na dire¸cão x e y, é a for¸ca de atrito causada por barreiras, como por exemplo: edif´ıcios, vegeta¸cão e outros. Utilizamos dados reais de temperatura, varia¸cões de concentra¸cão de poluentes e varia¸cões das velocidades na dire¸cão x e y da cidade de Uberlândia, esses dados são importantes na obten¸cão dos SBRF utilizados para calcular os parâmetros da equa¸cão. A equa¸cão é resolvida através de aproxima¸cões numéricas via Método de Elementos Finitos e o Método de Cranck-Nicolson para a discretiza¸cão no tempo. Através dessa modelagem é poss´ıvel verificar qual é a melhor localiza¸cão de um “polo industrial” em Uberlândia, nos pontos estudados.

Palavras-chave. Equa¸cões Diferenciais Parciais; Sistema Baseado em Regras Fuzzy; Con-centra¸cão de Poluentes; Dados de Satélite; Método de Elementos Finitos.

1 Introdu¸

c˜

ao

O propósito do estudo é modelar na cidade de Uberlândia uma fonte de polui¸cão que consideramos como sendo uma chaminé de uma indústria que contamina a atmosfera com uma nuvem de polui¸cão que se espalha por toda a cidade em uma malha irregular.

Consideramos, também, a presen¸ca de um vento regional, e a possibilidade de um decaimento de aerossóis poluentes por conta do assentamento das part´ıculas. Como es-tamos considerando um certo vento regional, podemos tomar a velocidade como sendo v = (v1, v2). Vamos construir um modelo evolutivo para descrever esta situa¸cão e

pro-gramar um código numérico de modo que possamos obter aproxima¸cões da evolu¸cão do

1 jennifercristina6@hotmail.com 2 rmotta@ufu.br 3 luiz.oliveira@ufu.br 4 amabertone@ufu.br

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quadro de impacto num determinado per´ıodo de tempo. Esse trabalho difere do problema desenvolvido por [5] e [6], que realiza o estudo em uma cidade hipótetica retangular com parâmetro fuzzy apenas na difusão; nesta abordagem utilizamos dados reais de tempera-tura, informa¸cões da difusão e das velocidades de Uberlândia, em malha compat´ıvel com o mapa da cidade.

Assim, com a inten¸cão de tornar este estudo mais próximo da realidade, considera-mos a fronteira do dom´ınio como sendo o contorno da cidade de Uberlândia e utilizamos dados reais de temperatura obtidos pelo satélite Landsat-8. Inicialmente, obtemos a apro-xima¸cão da solu¸cão da equa¸cão determin´ıstica através do Método dos Elementos Finitos (MEF) e do Método de Cranck-Nicolson. Em seguida, incorporamos SBRF para levar em considera¸cão fatores reais que influenciam a difusão de poluentes e as velocidades. Inicial-mente, definimos conjunto fuzzy. Dado um conjunto X universo definimos como conjunto A fuzzy pela sua fun¸cão de pertinência µA(x) ∈ [0, 1]. Em [1], comenta os detalhes das

quatro componentes da estrutura do SBRF que são: fuzzifica¸cão, base de regras, método de inferência e defuzzifica¸cão.

Na próxima se¸cão apresentamos alguns componentes que interferem na concentra¸cão de poluentes do ar.

2 Fatores que Influenciam a Concentra¸

c˜

ao de Poluentes do

Ar em Uberlˆ

andia

Nesta se¸cão estudamos os fatores que influenciam os parâmetros fuzzy com a cola-bora¸cão de um especialista na área de climatologia. Para determinar a concentra¸cão de poluentes do ar em Uberlândia, precisamos de 896 valores de temperatura da cidade, que é o número de nós da malha. Assim, utilizamos imagens de satélite adquiridas no portal eletrônico do centro de sensoriamento remoto do Servi¸co Geológico dos Estados Unidos (USGS) para obtermos tais temperaturas. Optamos por manipular as imagens no mês de junho e setembro por apresentar uma diferen¸ca expressiva de temperaturas. Utilizamos valores de temperatura aparente de superf´ıcie do Thermal Infrared Sensor (TIRS)/Landsat-8, banda 10, para os meses de junho e setembro de 2014. Apresentamos duas imagens de satélite do Landsat-8, ambas da banda 10 (infravermelho termal) e de faixa espectral (10,6-11,9 µm) [4].

A imagem apresentada na Figura 1 foi coletada pelo satélite com passagem em 14 de ju-nho de 2014 às 10:15min:12s. Todos os processamentos de corre¸cão e conversão de imagens foram realizados no software Envi 4.7 e no ArcGis 10.1 com a colabora¸cão do especialista na área (para maiores detalhes ver [1]). Posteriormente, para um melhor detalhamento dos dados, definiu-se classes (intervalos) de temperatura de superf´ıcie, após todo os pro-cessamentos e conversões obtemos a Figura 2 que apresenta o mapa de Uberlândia com as temperaturas do mês de junho, e a seguinte escala: 1cm é equivalente a 1, 5km. Esse mesmo processo foi utilizado para gerar o mapa de Uberlândia com as temperaturas no mês de setembro. O terceiro autor, coordenador do Laboratório de Climatologia da Uni-versidade Federal de Uberlândia, organizou e forneceu essas figuras obtidas pelo software ArcGis 10.1.

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Figura 1: Imagem do sat´elite do mˆes de junho processada no Envi 4.7.

Figura 2: Imagem do mapa de Uberlˆandia com as temperaturas no mˆes de junho.

Na Figura 3 é representada a malha discretizada utilizada para a aproxima¸cão numérica da equa¸cão (1). Essa malha foi obtida utilizando o contorno em vermelho apresentado na Figura 2, que geramos no software livre GMSH [3] juntamente com o software Matlab, e a partir da´ı, obtemos a malha triangularizada para a aplica¸cão do MEF.

100 200 300 400 500 600 700 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 6364 65 66 67 68 6970 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264265 266267 268 269270271 272 273 274 275 276277278 279 280 281 282 283284285286 287 288 289 290 291292 293294295 296297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350351 352 353 354 355 356 357358 359 360 361 362 363364 365 366 367368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379380 381 382 383 384 385 386 387 388389 390 391 392393 394 395 396 397398 399 400 401 402 403404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532533 534 535 536 537 538 539 540 541542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589590 591 592 593 594 595 596 597598 599 600 601 602 603 604605 606 607608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696697 698 699700 701 702 703 704 705 706 707 708709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741742 743744 745746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757758 759 760 761 762 763 764 765766 767768 769770 771 772 773 774 775776 777 778779 780 781782 783 784785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831832 833 834 835 836 837838 839 840 841842 843 844 845 846 847 848 849 850 851852 853 854 855856 857858 859 860 861 862863 864 865 866 867868 869870 871 872873 874875 876 877878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896

Figura 3: Mapa de Uberlˆandia discretizado.

Para relacionar cada nó da malha da Figura 3 com o mapa das temperaturas Figura 2, foi necessário sobrepor estas e fazer a interseçcão para criar os 896 nós na Figura 2. Assim, temos o valor da temperatura em cada nó da malha. Para o mês de setembro fizemos de maneira análoga. As temperaturas m´ınima, média e máxima para o mês de junho são 14.5oC, 23.39oC, 27.5oC, respectivamente. As temperaturas m´ınima, média e máxima para o mês de setembro são 23.5oC, 33.19oC, 37.5oC, respectivamente.

De [2], temos que a varia¸cão da concentra¸cão M P10 (part´ıculas com diâmetro

aero-dinâmico inferior a 10 µm) é 0 − 300µm, medida no centro de Uberlândia em 2003. A classe de velocidades de vento predominante no ano de 2012 foi de 0.5 − 2m/s (varia¸cão da resultante da velocidade).

3 Modelo Determin´ıstico para a Polui¸

c˜

ao do Ar

(4)

       ∂u ∂t − α ∂2 u ∂x2 + ∂2 u ∂y2 + v1 ∂u ∂x+ v2 ∂u ∂y + σu = f (x, y) ∈ Ω, t ∈ (0, T ] u = 0 em ∂Ω u(x, y, 0) = u0(x, y) (1)

onde u(x, y, t) é a concentra¸cão de poluentes no instante t, α representa a difusão na região, v1 e v2 são a velocidade de transporte (que ocorrerá nos eixos x e y, respectivamente), o σ

representa o decaimento e o f representa a fonte de poluentes (no nosso caso, a chaminé). A fun¸cão f é definida como:

f (x, y, t) = 0, ∀(x, y) 6= (xi, yi) para algum i ∈ {1, · · · , 896} e

f (xi, yi, t) = d, ∀t ∈ N.

Vamos considerar as condi¸cões de contorno u = 0, isto é, assumindo que a cidade de Uberlândia seja grande o suficiente, que a concentra¸cão de poluentes na fronteira seja igual a zero [4]. A aproxima¸cão numérica da solu¸cão da equa¸cão (1) é obtida com σ = 0.001, α = 0.8, v1 = 0.02m/s2, v2= 0.001m/s2, o valor da fonte é d = 0.002 e a condi¸cão inicial

´e dada por:

u0(x, y) = 0, ∀(x, y) 6= (xi, yi) para algum i ∈ {1, · · · , 896} e u0(xi, yi) = d.

Na Figura 4 é apresentado o gráfico da concentra¸cão dos poluentes na primeira itera¸cão. Na Figura 5 é apresentado o gráfico da concentra¸cão de poluentes no nó 644 para 100 itera¸cões. Observe que independente do nó que colocamos a fonte de poluentes, obtemos a mesma concentra¸cão de poluentes, pois consideramos os parâmetros α, v1, v2 e σ constantes.

Figura 4: Concentra¸c˜ao de poluentes no ar no in´ıcio do processo. 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 −4 Tempo (t) Concentração de Poluentes

Figura 5: Concentra¸cão de poluentes em cada itera¸cão no nó 644.

4 Modelo Fuzzy para a Polui¸

c˜

ao no Ar

Na equa¸cão (1), incorporamos a difusão, velocidade no eixo x e y como parâmetros fuzzy, e lembrando que em (1) o dom´ınio considerado é a cidade de Uberlândia. Assim, a equa¸cão do modelo se apresenta da forma:

       ∂u ∂t − α(T, u) ∂2 u ∂x2 + ∂2 u ∂y2 + v1(A) ∂u ∂x+ v2(A) ∂u ∂y + σu = f (x, y) ∈ Ω, t ∈ (0, T ] u = 0 em ∂Ω u(x, y, 0) = u0(x, y). (2)

(5)

Note que, neste caso esses parâmetros são calculados em fun¸cão de algumas carac-ter´ısticas da posi¸cão da malha através de um SBRF, sendo o valor da fonte d = 100. Vamos utilizar a temperatura (T ) e a concentra¸cão de polui¸cão (u) de cada ponto da ci-dade (malha) como fatores que influenciam na difusão α. Também, consideramos a for¸ca de atrito (A) como variável que influencia nas velocidades. Assim, utilizamos os SBRF apresentados na subseçcão 4.1, para obtermos os diferentes valores de α, v1 e v2 um para

cada ponto do dom´ınio discretizado, onde acontece a difusão. A fun¸cão f é definida como:

f (x, y, t) = 0, ∀(x, y) 6= (xi, yi) para algum i ∈ {1, · · · , 896} e

f (xi, yi, t) =

d, se t < ˜t 0, se t ≥ ˜t, d > 0. Na simula¸c˜ao consideramos a condi¸c˜ao inicial dada por:

u0(x, y) = 0, ∀(x, y) 6= (xi, yi) para algum i ∈ {1, · · · , 896} e u0(xi, yi) = d.

O valor de ˜t = 5 representa o tempo de funcionamento da indústria. Consideramos que a indústria emite poluentes no per´ıodo matutino, pois a passagem do satélite é nesse per´ıodo. Estamos considerando que cada itera¸cão representa uma hora, desta forma, a indústria emite poluentes por cinco horas. Podemos observar que a equa¸cão (2) não é linear, pois precisamos determinar a difusão da polui¸cão no presente instante afim de encontrar a solu¸cão em cada tempo posterior. Assim utilizamos o cálculo da extrapola¸cão da concentra¸cão da polui¸cão feita por uext= 2ui+1−ui, i = 1, 2, . . ., obtendo a concentra¸cão

no presente instante e determinamos a difusão pelo SBRF. Logo a aproxima¸cão da solu¸cão numérica da equa¸cão (2) é obtida utilizando o MEF e o método de Crank-Nicolson, e os parâmetros fuzzy α, v1 e v2.

4.1 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

Nesta subse¸cão apresentamos os SBRF que são utilizados para obter os parâmetros fuzzy da equa¸cão diferencial parcial advectiva-difusiva (2).

A difusão depende da temperatura e da concentra¸cão de poluentes. Utilizamos as varia¸cões da temperatura e da concentra¸cão de M P10 já apresentadas no se¸cão 2.

Consi-deramos o dom´ınio da temperatura [14.5, 37.5], sendo do valor m´ınimo ao valor máximo das temperaturas nos meses de junho e setembro. A outra variável de entrada, concentra¸cão de poluentes apresenta o dom´ınio [0, 300]. As fun¸cões de pertinência são triangulares e trapezoidais. A variável lingu´ıstica de sa´ıda, difusão da polui¸cão (α) consideramos o dom´ınio [0, 1] e as fun¸cões de pertinência são triangulares. Cada variável lingu´ıstica tem três termos lingu´ısticos. Assim, o SBRF tem nove regras fuzzy, apresentamos uma regra: • Se a temperatura é é alta e a concentra¸cão de poluentes é média então a difusão é

alta.

O método de inferência é o método de Mamdani e o método de defuzzifica¸cão é o Centro de Gravidade.

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As velocidades dependem da for¸ca de atrito. Para obter a varia¸cão das velocidades na dire¸cão x e y utilizamos [2] já mencionado na se¸cão 2, ou seja, a varia¸cão da resul-tante da velocidade está entre 0.5 e 2m/s. Como os valores fornecidos são referentes à resultante da velocidade e estamos trabalhando com as componentes x e y da velocidade, devemos determinar as varia¸cões das componentes. Consideramos no SBRF a velocidade na dire¸cão do eixo x variando de 0 a 0.5m/s e a velocidade na dire¸cão do eixo y variando de 0 a 0.01m/s, ou seja, a resultante é igual 0.5m/s, quando as componentes são 0.01m/s e 0.5m/s. A variável lingu´ıstica de entrada para v1 e v2 é a for¸ca de atrito, com dom´ınio

[0, 1]. As fun¸cões de pertinência são trapezoidais. A variável lingu´ıstica de sa´ıda v1

(Velo-cidade na dire¸c˜ao x, com dom´ınio [0, 0.5]. No outro SBRF tem como vari´avel de sa´ıda v2

(Velocidade na dire¸cão y) com dom´ınio [0, 0.01]. As fun¸cões de pertinência para v1 e v2

s˜ao trapezoidais.

Como temos as temperaturas em cada nó da malha, precisamos do valor do atrito em cada nó. Devido à dificuldade de obter barreiras nos pontos da cidade, optamos por utilizar uma distribui¸cão randômica entre 0 e 1, para o valor do atrito em cada nó da malha.

Uma das regras fuzzy baseada no conhecimento do especialista na área é a seguinte: • Se a for¸ca de atrito é alta então as velocidades v1 e v2 são baixas.

Consideramos a cidade de Uberlândia dividida em 5 regiões como mostra a Figura 6, escolhemos um nó em cada região para estudarmos a concentra¸cão de poluentes nessas regiões. Os nós escolhidos foram:

• nó 130: Região Sul (Proximidades do bairro Shooping Park e da Faculdade UNITRI); • nó 159: Região Leste (Proximidades do

Par-que do Sabi´a);

• nó 512: Região Oeste (Imedia¸cões do bairro Jardim Europa);

• nó 644: Região Central(Centro da cidade); • nó 696: Região Norte (Proximidades do

Dis-trito Industrial). Figura 6: Regionaliza¸cão de Uberlândia. Os gráficos das Figuras 7 e 8 apresentam a concentra¸cão de poluentes após 8 itera¸cões nos nós 644, 130, 159, 512 e 696. As simula¸cões foram feitas nesses cinco nós para identi-ficar qual seria a melhor localiza¸cão para se construir outras indústrias. Esta identifica¸cão é realizada verificando-se onde a concentra¸cão de poluentes assume o menor valor. Ob-serve que os gráficos das figuras mostram que a concentra¸cão de poluentes aumenta até a itera¸cão 5, mostrando que a indústria está emitindo poluente. Nas itera¸cões seguintes, a concentra¸cão de poluentes diminui a cada itera¸cão. Este comportamento é compat´ıvel com o esperado. Na Figura 9 é apresentada a diferen¸ca de concentra¸cão de poluentes entres os meses de junho e setembro em cada nó e através dessa figura nota-se que a região mais adequada para a constru¸cão de outras indústrias é próximo do nó 644.

(7)

1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tempo (t) Concentração de Poluentes Nó 644 Nó 130 Nó 159 Nó 512 Nó 696 Figura 7: Concentra¸cão de poluentes no ar em cada nó, no mês de junho. 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tempo (t) Concentração de Poluentes Nó 644 Nó 130 Nó 159 Nó 512 Nó 696 Figura 8: Concentra¸cão de poluentes no ar em cada nó, no mês de setembro. 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Tempo (t)

Diferença de Concentração de Poluentes

Nó 644 Nó 130 Nó 159 Nó 512 Nó 696

Figura 9: Diferen¸ca de con-centra¸c˜ao de poluentes dos meses em cada n´o.

5 Conclus˜

oes

Como o nó 644 está localizado na região central da cidade, pela lógica não seria viável construir uma indústria neste local, assim devemos observar o nó que teria a segunda menor concentra¸cão. Logo, a melhor localiza¸cão seria no nó 159 que está localizado na região leste da cidade. Portanto conclu´ımos que a melhor localiza¸cão para se construir outras indústrias na cidade de Uberlândia seria na região Leste da cidade, considerando os nós estudados. No modelo determin´ıstico a concentra¸cão de poluentes é a mesma em qualquer ponto da cidade, pois não é levado em conta fatores importantes que influenciam a dispersão e a velocidade dos poluentes. Assim, acreditamos que, devido à incerteza dos fenômenos naturais, a combina¸cão de equa¸cões diferenciais e a teoria da lógica fuzzy nos permite retratar o fenômeno estudado mais próximo da realidade poss´ıvel.

Agradecimentos

A primeira autora agradece à CAPES pela bolsa de doutorado e a segunda autora agradece à bolsa da Capes/Estágio Sênior/Processo no

88881.119095/2016-01.

Referˆ

encias

[1] J. C. Borges, Estudo da Concentra¸cão da Polui¸cão do Ar com Parâmetro Fuzzy em Uberlândia, Disserta¸cão de Mestrado, UFU, 2016.

[2] M. V. O. Fernandes, Simula¸cão da Concentra¸cão de Material Particulado Inalável de Origem Veicular em uma Interse¸cão Sinalizada de Uberlândia-MG, Disserta¸cao de mestrado em Engenharia Qu´ımica, UFU, 2013.

[3] Gmsh: a three finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities. http://geuz.org/gmsh/. Acesso: 28 de janeiro, 2015.

[4] S. A. Marciel e L. A. Oliveira, Avalia¸cão do valores gerados de temperatura de su-perf´ıcie dos sensores TIRs do satélite Landsat 8 aplicados ao per´ımetro urbano do munic´ıpio de Uberlândia-MG, AMBI ÊNCIA, 12(3): 821-830, 2016.

[5] C. C. Oliveira, P. H. Mello, R. S. M. Jafelice and J.F. Meyer, A Model of Dispersion of Pollutants in the Air using Fuzzy Parameters, In International Symposium on Mathematical and Computational Biology, Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 2010.

[6] D. S. Oliveira, Aplica¸cões de Equa¸cões Diferenciais com Parâmetro Fuzzy, Monografia, UFU, 2011.