Professor: Rubens Penha Cysne Macroeconomia I - 2010
Monitor: Cassiano Breno M. Alves EPGE
Gabarito - Lista 4
Exercício 1.(Ausência de Pareto Otimalidade em Equilíbrio Geral Competitivo) Ver seção 9.1 (Problems of in…nity) nas páginas 328, 329 do livro do Acemoglu.
Exercício 2.(Modelo GS Canônico)
No modelo GS canônico a utilidade dos agentes assume a forma logaritma, que assegura uma taxa de poupança independente da taxa de juros. Visto de outra forma o efeito renda oriundo de uma alteração na taxa de juros se cancela com o efeito substituição. Além disso, a função de produção assume a forma Cobb-Douglas.
(a) Com efeito, o problema do indivíduo será:
max ln (c1(t)) + ln (c2(t+ 1)) s.a.: (i) c1(t) +s(t)5w(t)
(ii) c2(t+ 1) 5R(t+ 1)s(t)
Como a função objetivo é estritamente crescente as restrições devem valer com igualdade.
Logo podemos reescrever o problema todo em função de s(t).
max
s(t) ln (w(t) s(t)) + ln (R(t+ 1)s(t))
A função objetivo é estritamente côncava e diferenciável podendo ser plenamente carac- terizada pela CPO
c2(t+ 1)
c1(t) = R(t+ 1)) R(t+ 1)s(t)
w(t) s(t) = R(t+ 1))s(t) =
1 + w(t) que corresponde a uma taxa de poupança constante assim como no modelo de Solow.
(b) Lembrando a equação de acumulação do capital que diz que o capital do próximo período será igual a poupança realizada no período atual.
k(t+ 1) = s(t)
(1 +n) )k(t+ 1) =
(1 +n) (1 + )w(t)
Recorrendo a relação de equilíbrio para o salário
w(t) =f(k(t)) k(t)f0(k(t)))w(t) = (1 )k(t)
Substituindo na relação acima obteremos
k(t+ 1) = (1 )
(1 +n) (1 + )k(t)
Podemos veri…car que existe um único steady state com a razão capital trabalho dada por
k = (1 )
(1 +n) (1 + )
1 1
É fácil ver que @k@n < 0 e @k@n > 01, ou seja, a elevação da paciência intertemporal e a redução do crescimento populacional elevam a razão capital trabalho de equilíbrio de steady state.
Exercício 3.(Gerações sobrepostas com crescimento Exógeno)
Vimos no exercício anterior que com preferências do tipo log a solução do problema do indi- víduo é dada porc1(t) = 1+1 w(t) es(t) = 1+ w(t) Por outro lado a condição de maximização de lucros da …rma nos dará:
w(t) = @Y(t)
@L(t) = @[A(t)K(t) L(t)1 ]
@L(t) = (1 )A(t) (k(t))
R(t) = @Y(t)
@K(t) = @[A(t)K(t) L(t)1 ]
@K(t) = A(t) (k(t)) 1
onde k(t) = K(t)L(t) de…nido da forma usual. A outra condição de equilíbrio nos diz que a lei de movimento do estoque de capital será dada por.
k(t+ 1) = s(t) 1 +n
Podemos de…nir equilíbrio de steady state como um equilíbrio no qual razão capital trabalho k(t); e o produto por trabalhadory(t)crescem a uma taxa constante.
(a) Usando as equações que descrevem a movimentação do capital, a poupança do indivíduo e a taxa de salário encontramos a equação que descreve a evolução de k(t)
k(t+ 1) =
(1 + ) (1 +n)(1 )A(t) (k(t))
Note que desta expressão vemos que o capital crescerá a uma taxa(1+g)1=(1 )em steady state. Portanto …ca fácil ver que uma normalização do tipo k(t) = L(t)A(t)K(t) não levará a convergência para um capital estacionário normalizado (…xo).
(b) De…na agora uma razão de capital trabalho normalizada k(t) =^ k(t)
A(t)1=(1 )
utilizando esta nova variável e a lei de movimentação do capital podemos calcular a lei
1@k
@n =1 1
h (1 ) (1+n)(1+ )
i11 1h
(1 ) (1+ )
1 (1+n)2
i
@k
@n = 11
h (1 ) (1+n)(1+ )
i1 h
(1 )(1+n)(1+ ) (1 )(1+n) (1+ )2(1+n)2
i
=11
h (1 ) (1+n)(1+ )
i1 h
1 ( +1)2(n+1)
i
>0
de movimentação do capital para k(t)^ 2
^k(t+ 1) = (1 )
(1 + ) (1 +n) (1 +g)1=(1 ) k(t)^
não é difícil ver que neste caso teremos a convergência de ^k(t)para k^ de…nido por:
^k = (1 )
(1 + ) (1 +n) (1 +g)1=(1 )
1=(1 )
Pode-se se provar (de maneira análoga ao feito no modelo de Solow) que este steady state é assintoticamente estável. E concluímos que no s.s. a razão capital trabalho crescerá por um fator (1 +g)1=(1 ).
(c) Calcularemos agora o comportamento das variáveis chave no steady state. Usando as equações que de…nem k^ eR(t) nós teremos
R = k^
1
= (1 + ) (1 +n) (1 +g)1=(1 )
(1 )
ou seja, a taxa de juros permanece constante na taxa R . Usando a equação dos salários teremos:
w(t) = (1 ) ^k A(t)1=(1 )
podemos ver então que os salários crescerão a mesma taxa qua a razão capital trabalho (1 +g)1=(1 ). Analogamente para o consumo de steady state em cada geração teremos:
c1(t) = 1
1 + w(t) c2(t) = B
1 + w(t)R(t+ 1) = B
1 + w(t)R
podemos ver então que ambos os consumos no s.s. crescerão a mesma taxa que a razão capital trabalho (1 +g)1=(1 ):Por último analisando a razão produto por trabalhador
y(t) = A(t)k(t) = ^k A(t)1=(1 ) que também cresce a taxa (1 +g)1=(1 ):
Exercício 4.(Sistemas de Seguridade Social e Acumulação de Capital)
(a) Analisamos o caso em que existe um sistema de seguridade social unfunded. O governo recolhe um montante d(t) dos jovens no período t e distribui para os idosos do período t
2k(t+ 1) 1
A(t+1)1=(1 )=(1+ )(1+n)(1 ) A(t)(k(t)) 1
A(t+1)1=(1 )=(1+ )(1+n)(1 ) (k(t)) A(t)
(1 ) (1 )
1 A(t+1)1=(1 )
=(1+ )(1+n)(1 ) [(k(t))) A(t)
( )
(1 )
][A(t)
(1) (1 )
1
A(t+1)1=(1 )]=(1+ )(1+n)(1 ) ( k(t)) A(t)
1 (1 )
| {z }
)
k(t)^
1
(A(t+ 1) A(t) )
| {z }
(1+g) 1 (1 )
com a transferência per capita b(t) = (1 +n)d(t)3. O problema do indivíduo se torna:
max
c1(t);c2(t+1);s(t)u(c1(t)) + u(c2(t+ 1)) s.a.: (i) c1(t) +s(t) +d(t)5w(t)
(ii) c2(t+ 1)5R(t+ 1)s(t) + (1 +n)d(t+ 1)
para uma dada sequência de pagamentos fd(t)g1t=0:Neste contexto a taxa de retorno dos pagamentos com seguridade social é n ao invés der(t+ 1) =R(t+ 1) 1, pois o sistema de seguridade social é um sistema de transferências. Deste modo, apenas a poupanças(t) importa para acumulação de capital. Calculando de maneira mais precisa o efeito.
Primeiramente resolveremos o problema do indivíduo. Como a função objetivo é estrita- mente crescente as restrições devem valer com igualdade. O problema se torna
max
s(t) u(w(t) s(t) d(t)) +u(R(t+ 1)s(t) + (1 +n)d(t+ 1)) As condições necessárias serão dadas por
u0(c1(t)) = R(t+ 1)u0(c2(t+ 1))
Consideremos o efeito da seguridade social na poupança privada, dados os salários e as taxas de juros. Utilizando o teorema da função implícita na equação que de…ne a cpo e assumindo que d(t) = d(t+ 1) teremos.
@s(t)
@d(t) = u00(c1(t)) + (1 +n)R(t+ 1)u00(c2(t+ 1)) u00(c1(t)) + [R(t+ 1)]2u00(c2(t+ 1)) <0
e @s(t)@d(t) ?1dependendo sen?R(t+ 1). Entretanto este é apenas um efeito de equilíbrio parcial (note que tomamos as derivadas parciais tomando constante os salários e as taxas de juros). A queda na poupança e conseqüentemente no estoque de capital diminui os salários e aumenta as taxas de juros. A queda nos salários contribuirá ainda mais para a queda da poupança. O efeito das taxas de juros tem um efeito ambíguo. Assumimos o caso em que 0< dk(t+1)dk(t) <1. Considere a equação de dinâmica do capital.
s(w(k(t)); R(k(t+ 1)); d(t)) = (1 +n)k(t+ 1)
Queremos saber a equação de movimentação do capital como função do capital do período anterior varia quando d(t) aumenta partindo do nível zero. Derivando a relação acima, mantendo k(t)constante.
dk(t+ 1) dd(t) =
@s(t)
@d(t)
(1 +n) sRf00(:) <0
O numerador é negativo como já vimos; o denominador será positivo se supusermos sR>04:Vemos que o sistema de seguridade social do tipounfuded desencoraja poupança agregada reduzindo a acumulação de capital.através da redução da taxa de acumulação
3Visto que a população cresce aqui estamos considerando o fato de existirem mais jovens do que idosos.
4Esta é a condição que garante a estabilidade do equilibrio de steady state.
de capital e através da redução do estoque de capital de steady state.
Comparando com o sistema de seguridade socialfunded a taxa de retorno dos pagamentos com seguridade social éR(t+ 1) 1igual da poupança não compulsórias(t):e neste caso a quantia total investida em acumulação de capital és(t) +d(t) = (1 +n)k(t+ 1):No caso em que s(t) é livre o equilíbrio será idêntico a situação em que não há seguridade social.
Isso ocorre porque como não há diferença nas taxas de retorno da poupança voluntária e compulsória o indivíduo sempre escolherá um mix que o leve a ter o mesmo montante de poupança do caso em que não existe seguridade social.
(b) Numa situação em que o equilíbrio da economia ocorre na região de ine…ciência dinâmica (e superacumulação de capital) a introdução (ou mudança para) de um sistema de se- guridade social do tipo unfuded poderá levar a uma melhoria de Pareto. A idéia é que os indivíduos não acumulariam capital enquanto a taxa de retorno deste fosse menor que taxa de retorno da aplicação em seguridade social, ou seja, r(t+ 1) 6 n. Assim have- ria um aumento da taxa de juros de forma a tirar a economia da região de ine…ciência dinâmica. Veremos formalmente na seguinte proposição.
Teorema 1. Considere a economia de gerações sobrepostas descrita acima e suponha que o equilíbrio competitivo desta economia é dinamicamente ine…ciente. Então existe uma sequência factível de pagamentos à seguridade social fd(t)g1t=0 que leva a um equilibrio competitivo que domina no sentido de Pareto o equilíbrio competitivo na ausência de seguridade social.
(c) Uma possível interpretação da China é uma economia com superacumulação de capital em que a poupança é mais alta do que a ótima trazendo para baixo as taxas de juros e consequentemente realimentando os incentivos a poupança. Se essa hipótese se mostrar verdadeira o modelo nos diz que mudança para um sistema de seguridade social do tipo unfuded poderá levar a uma melhoria de Pareto
Exercício 5.(Altruismo Impuro - Warm-glow Preferences)
Ver seção 9.6 (Overlapping Generations with Impure Altruism) nas páginas 342-345 do livro do Acemoglu
