Aula 07 Razão e proporção. Prof. Arthur Lima. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Oficial de Promotoria do MP SP. 1 de 100

Aula 07 – Razão e proporção

Matemática e Raciocínio Lógico p/ Oficial de

Promotoria do MP SP

Sumário

RAZÃO E PROPORÇÃO ... 3

GRANDEZASDIRETAMENTEPROPORCIONAIS 4 GRANDEZASINVERSAMENTEPROPORCIONAIS 6 REGRADETRÊSCOMPOSTA 9 Método tradicional para regras de três compostas 9 Método alternativo para regras de três compostas 14 DIVISÃOEMPARTESPROPORCIONAIS 17 DIFERENÇASDERENDIMENTO 22 QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 27

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 78

GABARITO ... 98

RESUMO DIRECIONADO ... 99

Razão e proporção

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Razão e proporção. Regra de três simples e composta.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

Para começar esta aula, imagine que estamos dirigindo um carro. Você concorda que, quanto MAIS rápido eu dirigir o carro, MAIOR será a distância que eu vou conseguir percorrer em um determinado período de tempo (por exemplo, 1 hora)? E, quanto MENOR for a minha velocidade, MENOR será a distância por mim percorrida? Perceba que temos duas “entidades” ou “grandezas” envolvidas neste exemplo: a velocidade que eu dirijo o carro e a distância percorrida. Nós podemos falar que a distância é proporcional à velocidade pois, como vimos, essas duas grandezas variam juntas!

Portanto, já guarde isso: duas grandezas são proporcionais quando elas variam juntas – seja as duas aumentando, as duas diminuindo, ou uma aumentando e a outra diminuindo.

Precisamos conhecer dois tipos de proporcionalidade: aquelas com grandezas diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais. Vamos lá?

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas variam no mesmo sentido, isto é: quando uma cresce, a outra também cresce. Já, se a primeira diminui, a segunda diminui também.

Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente proporcional ao tempo de serviço.

O que significa isso? Ora, significa que, à medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta. Por outro lado, quanto menor for o tempo de serviço do funcionário, menor será o seu salário. Essa variação ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário e o tempo trabalhado.

Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha nesta empresa?

Temos duas grandezas envolvidas (tempo e salário). Para encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), podemos organizar as informações da seguinte maneira:

Tempo (anos) Salário (reais)

5 1000

T 1500

Veja que, na primeira linha, coloquei as informações relativas a João. Na segunda linha estão as informações relativas a Kléber. A forma de resolver um exercício como este é muito conhecida: estamos diante de uma regra de três simples. Basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000). Costumamos chamar isso de “multiplicação cruzada”. Veja:

5 x 1500 = T x 1000 7500 = T x 1000 𝑇 =7500

1000 𝑇 = 7,5 𝑎𝑛𝑜𝑠 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.

Guarde esse procedimento básico para a solução de problemas de proporcionalidade direta:

PROPORÇÃO DIRETA:

1 – Confirme que as grandezas são diretamente proporcionais (aumentam juntas / diminuem juntas);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Veja essa questão:

FCC – TRT/PE – 2018) A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma repartição pública é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários homens e 12 novas funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a proporção entre funcionários homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, nessa ordem. Sendo assim, depois do concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias mulheres igual a

(A) 64.

(B) 78.

(C) 80 (D) 72.

(E) 70.

RESOLUÇÃO:

Foi afirmado que para cada 5 homens, temos 4 mulheres na repartição. Sendo H e M os totais de homens e mulheres inicialmente, temos:

5 homens --- 4 mulheres H homens --- M mulheres

5 x M = 4 x H H = 5M/4

Após entrarem 5 homens e 12 mulheres, ficamos com H+5 homens e M+12 mulheres, e a razão passou a ser de 9 homens para 8 mulheres. Ou seja:

9 homens --- 8 mulheres H + 5 homens --- M + 12 mulheres

9 x (M + 12) = 8 x (H + 5) 9M + 108 = 8 x (5M/4) + 40

9M + 108 = 10M + 40 10M – 9M = 108 – 40

M = 68

Originalmente havia 68 mulheres. Com as 12 contratações, passamos para 80 mulheres.

Resposta: C

Antes de prosseguir, trabalhe mais esta questão:

CESPE – EMAP – 2018) Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios.

Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.

( ) Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

RESOLUÇÃO:

Observe que, aparentemente, temos TRÊS grandezas envolvidas: o número de operadores, o número de horas de trabalho, e o número de navios carregados. Entretanto, perceba que o número de operadores NÃO MUDA (permanecem 6). Quando uma grandeza não muda, podemos simplesmente ignorá-la e trabalhar somente com as demais. Anotando-as em uma tabela:

Horas por dia --- Navios

8 12

X 18

Perceba que quanto MAIS horas de trabalho por dia nós tivermos, MAIS navios conseguiremos carregar. Ou seja, temos grandezas diretamente proporcionais. Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

8 . 18 = X . 12 2 . 18 = X . 3

2 . 6 = X . 1 12 = X

Portanto, os operadores precisam trabalhar 12 horas. O item é ERRADO, pois afirma que os operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

Resposta: E

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer uma parede.

Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas inversamente proporcionais: número de pedreiros e tempo para erguer a parede. Isso porque, quanto MAIS pedreiros trabalhando em uma obra, MENOS tempo é necessário para finalizá-la, concorda? É muito importante ser capaz de imaginar o “mundo real” para fazer esse julgamento!

A forma de resolução do problema é bem parecida com o caso anterior, há apenas uma pequena (mas importantíssima) diferença. O primeiro passo consiste em anotar as informações do enunciado em uma tabela:

Número de pedreiros Tempo (hr)

2 6

3 T

Aqui vem a diferença: como as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais, antes de realizar a multiplicação cruzada nós precisamos INVERTER uma das colunas. Você pode escolher qualquer coluna para inverter, ok? Eu escolhi inverter os termos da coluna dos Pedreiros. Veja como ficou:

Número de pedreiros Tempo (hr)

3 6

2 T

Feito isso, basta efetuar a multiplicação cruzada:

3 x T = 2 x 6 3 x T = 12

𝑇 =12 3 𝑇 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Portanto, o AUMENTO de número de pedreiros (de 2 para 3) REDUZ o tempo necessário para erguer a parede de 6 para 4 horas. Era exatamente isso que nós esperávamos, concorda?

Vamos então anotar a “receita de bolo” para enfrentar problemas de proporcionalidade inversa:

PROPORÇÃO INVERSA:

1 – Confirme que as grandezas são inversamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra diminui, e vice-versa);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – INVERTA os valores de uma das colunas (troque-os de linha);

4 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Perceba que a única diferença está no passo 3!

Resolva essa questão introdutória antes de avançarmos:

FCC – TRT/11 – 2017) Um ciclista cumpriu seu trajeto de treinamento com uma velocidade média de 20 km/h e um tempo de 6 horas e 24 minutos. No dia seguinte, ao voltar, o ciclista cumpriu o mesmo trajeto em exatamente 8 horas. Nesse dia sua velocidade média caiu, em relação ao treinamento do dia anterior, um valor igual a

(A) 1,5 km/h.

(B) 3 km/h.

(C) 7 km/h.

(D) 4 km/h.

(E) 6 km/h.

RESOLUÇÃO:

Podemos escrever:

20km/h —————— 6h 24min V km/h ——————– 8h

Uma dica importante: nunca trabalhe com horas e minutos. O ideal é transformar tudo em minutos. Como 1 hora corresponde a 60 minutos, fica fácil dizer que 8 horas são 8 x 60 = 480 minutos. Da mesma forma, 6 horas são 6 x 60 = 360 minutos. Somando ainda os 24 minutos (de 6h24min), temos 384 minutos. Assim, ficamos com:

20km/h —————— 384 min V km/h —————— 480 min

Repare que, quanto MAIOR a velocidade que percorremos um trajeto, MENOR será o tempo gasto no trajeto.

O enunciado não disse, mas nós percebemos claramente que as grandezas são inversamente proporcionais!

Devemos inverter uma das colunas. No caso, vou inverter a coluna das velocidades:

V km/h —————— 384 min 20 km/h ——————– 480 min Agora basta fazer a multiplicação cruzada:

V x 480 = 20 x 384 V x 24 = 384 V = 384 / 24 V = 16 km/h

A queda na velocidade foi de 20 para 16 km/h, ou seja, uma queda de 4km/h.

Resposta: D

Vamos trabalhar mais uma questão?

VUNESP – PM/SP – 2018) Uma máquina trabalhando ininterruptamente 5 horas por dia produz um lote de peças em 3 dias. Para que esse mesmo lote fique pronto em 2 dias, o tempo que essa máquina terá que trabalhar diariamente, de forma ininterrupta, é de

(A) 7 horas e 50 minutos.

(B) 6 horas e 45 minutos.

(C) 6 horas e 35 minutos.

(D) 7 horas e 30 minutos.

(E) 7 horas e 05 minutos.

RESOLUÇÃO:

Vamos anotar os dados do enunciado na tabela abaixo:

Horas por dia Dias

5 3 T 2

Note que quanto MAIS horas trabalhamos por dia, conseguimos produzir um lote em MENOS dias. Isto evidencia que as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais. Portanto, devemos inverter uma das colunas.

Vou inverter a coluna das horas por dia. Veja:

Horas por dia Dias

T 3 5 2 Agora é só montar a nossa multiplicação cruzada:

T x 2 = 3 x 5 T = 15/2

T = 7,5 T = 7h + 0,5h T = 7 horas + 30 minutos Resposta: D

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas por vez. Nas questões onde aparecem 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos a famosa regra de três composta.

Quero te ensinar a resolver as questões de regra de três composta usando dois métodos, para que você fique à vontade para escolher aquele que se identificar melhor, ok?

Método tradicional para regras de três compostas

Vamos entender como funciona este método através de um exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Perceba que agora nós temos 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e tempo de construção. Veja o esquema abaixo, onde anotei os dados fornecidos:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

A seguir, podemos colocar uma seta na coluna onde está a grandeza que precisamos descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como você quiser):

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X (número de paredes), para descobrir se há uma relação direta ou inversamente proporcional entre elas. Observe que, quanto MAIOR o número de paredes, MAIS pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no MESMO SENTIDO (isto é, para baixo) na coluna do Número de pedreiros:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Da mesma forma, vemos que quanto MAIOR o número de paredes, MAIOR será o tempo de construção.

Portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos exercícios tratando sobre isso.

Uma vez alinhadas as setas, podemos montar a nossa proporção. Para isso, montamos a razão (divisão) entre os termos da coluna onde está o X (isto é, fazemos _𝑋⁴) e a igualamos à multiplicação das razões obtidas nas demais colunas (²₅ e ¹₇), ficando com:

4 2 1

5 7

X = 

Para obter o valor de X, basta terminar os cálculos. É interessante, neste momento, tentar SIMPLIFICAR os números, visando trabalhar com valores menores. Para você não ficar inseguro, vamos lembrar do ÚNICO caso em que você NÃO PODE simplificar: nunca simplifique na DIAGONAL, ou seja, o numerador de um lado com o denominador do outro. Ou seja, não é possível fazer as simplificações nos sentidos vistos na figura abaixo:

Podemos simplificar o 4 (numerador da esquerda) com o 2 (numerador da direita). Basta dividir ambos por 2, ficando com:

2 𝑋=1

5𝑥1 7

2 𝑋= 1

35

2 . 35 = X . 1

70 = X

Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 meses. Veja no quadro abaixo um resumo do que fizemos neste exemplo.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com elas;

2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X);

3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto;

4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário;

5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto das demais razões;

6. Obter X.

Uma observação: você verá que muitas vezes eu nem desenho as setas! Elas são um bom recurso em um momento inicial, para que você fixe melhor o procedimento de resolução. Mas, se preferir, nem perca tempo as desenhando!

A propósito, resolva essas questões comigo:

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar assim:

Funcionários Máquinas Dias

20 150 45

30 275 D

Note que quanto MAIS dias tivermos para fazer o trabalho, MENOS funcionários são necessários, e MAIS máquinas podem ser despachadas. Portanto, devemos inverter a coluna dos funcionários, que é inversamente proporcional. Ficamos com:

Funcionários Máquinas Dias

30 150 45

20 275 D

Montando a proporção:

45 𝐷 =30

20𝑥150 275 Preste atenção nas simplificações:

45 𝐷 =3

2𝑥150 275

15 𝐷 =1

2𝑥150 275

1 𝐷=1

2𝑥 10 275

1 𝐷=1

1𝑥 5 275

1 𝐷= 5

275

Podemos inverter os dois lados, ficando com:

𝐷 =275 5

Multiplicando em cima e embaixo por 2 (é um bom truque para quando o denominador é 5):

𝐷 =550

10 = 55 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Anotando as informações fornecidas:

2 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 3 funcionários --- 24 relatórios --- N dias

Agora devemos comparar a coluna onde está a variável (dias) com as demais. Note que quanto MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MENOS funcionários são necessários para concluir um trabalho. E quanto MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MAIS relatórios podem ser feitos. Fica claro que “funcionários” é INVERSAMENTE proporcional ao número de dias, o que nos leva a inverter essa coluna:

3 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 2 funcionários --- 24 relatórios --- N dias Agora podemos montar a nossa proporção:

3 𝑁=3

2𝑥12 24 3

𝑁=3 2𝑥1

2 1

𝑁=1 2𝑥1

2 1 𝑁 =1

4 𝑁 = 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: D

Método alternativo para regras de três compostas

Pela minha experiência, a maioria dos alunos acaba tendo alguma dificuldade em verificar se duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Existe um segundo método de resolução que dispensa este passo. Para resolvê-lo, entretanto, é preciso ser capaz de separar as grandezas do enunciado em dois

“tipos”:

- aquela grandeza que representa o “resultado”;

- aquelas grandezas que representam os “ingredientes” para aquele resultado.

Como assim? Vamos retomar o nosso exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Repare que temos os PEDREIROS, as PAREDES e o TEMPO (meses). Note que o resultado buscado é a construção de paredes, concorda? E quais são os ingredientes utilizados para construir as paredes? Os pedreiros e o tempo de trabalho! Sabendo disso, podemos anotar as informações em uma tabela como esta abaixo, deixando de um lado dos ingredientes e do outro lado o resultado:

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Para chegar em nosso resultado, basta fazermos as multiplicações dos termos marcados pelas linhas abaixo:

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Repare que o procedimento é simples: basta multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra linha. Agora, podemos igualar as duas multiplicações:

2 x 1 x P = 5 x 7 x 4

Uma vez montado o problema, basta terminarmos de resolver:

2P = 140 P = 70

Simples e rápido, não? Anote aí a “receita de bolo”:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA (MÉTODO ALTERNATIVO):

1 – identificar qual é o OBJETIVO ou RESULTADO pretendido e quais são os INGREDIENTES necessários;

2 – montar uma tabela separando os ingredientes do resultado;

3 – multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra;

4 – igualar as duas multiplicações, obtendo o valor da variável buscada.

Vamos praticar esse método nos mesmos exercícios que trabalhamos anteriormente?

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Temos as grandezas: máquinas despachadas, funcionários trabalhando, e dias de trabalho. Qual é o RESULTADO que buscamos? Ora, queremos despachar máquinas! E, para fazer isso, quais são os ingredientes utilizados? Nós estamos utilizando funcionários e tempo de trabalho, concorda? Portanto, podemos montar a nossa tabela:

Veja que eu já coloquei as linhas que indicam as multiplicações a serem realizadas: multiplicamos os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra! Ficamos com:

20 x 45 x 275 = 30 x D x 150 Simplificando os cálculos:

2 x 45 x 275 = 3 x D x 150 2 x 15 x 275 = 1 x D x 150 2 x 1 x 275 = 1 x D x 10

550 = D x 10 D = 55 dias Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Veja que o OBJETIVO aqui é produzir relatórios. Para produzi-los, os ingredientes são:

- funcionários trabalhando;

- tempo (dias) de trabalho.

Podemos anotar as informações:

Agora basta seguir as linhas azul e vermelha para resolvermos o exercício:

2 x 3 x 24 = 3 x D x 12 2 x 3 x 2 = 3 x D x 1 2 x 1 x 2 = 1 x D x 1

4 = D Resposta: D

DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

Algumas questões nos apresentam situações onde devemos dividir alguma coisa (ex.: lucro da empresa) entre algumas pessoas de maneira PROPORCIONAL a algum critério (ex.: fatia da empresa possuída por cada sócio). A resolução é relativamente tranquila, pois podemos usar até mesmo regras de três simples! Para você compreender melhor, vejamos um exemplo.

Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam juntos na construção de uma casa. O patrão combinou de pagar um total de R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz?

Veja que temos uma coisa (40.000 reais) a ser dividida entre 3 pessoas seguindo um determinado critério de proporcionalidade (a divisão deve ser diretamente proporcional aos tempos de trabalho de cada um).

Uma primeira forma de resolver consiste em uma regra de três simples com a seguinte “cara”:

Dinheiro TOTAL --- Tempo TOTAL Dinheiro de Fulano --- Tempo de Fulano

Veja que basta montar uma regra de três relacionando os valores totais (dinheiro e tempo) e os valores de um determinado indivíduo (que pode ser André, Bruno ou Carlos). O dinheiro total é 40.000 reais, e o tempo total é dado pela soma 200 + 300 + 500 = 1000 horas de trabalho. Assim, no caso de André, que trabalhou 200 horas, temos a regra de três:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de André --- 200 horas Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 200 = 1000 x Dinheiro de André 40 x 200 = Dinheiro de André 8000 reais = Dinheiro de André

De maneira similar, podemos calcular o dinheiro de Bruno. Como ele trabalhou 300 horas:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de Bruno --- 300 horas

Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 300 = 1000 x Dinheiro de Bruno 40 x 300 = 1 x Dinheiro de Bruno 12000 reais = Dinheiro de Bruno

Você pode calcular a parcela de Carlos da mesma forma, basta usar 500 horas. Outra forma, até mais fácil, é simplesmente pegar o total (40.000 reais) e subtrair os valores dados a André e Bruno, ou seja,

Carlos = 40.000 – 8.000 – 12.000 = 20.000 reais

Perceba que a divisão foi mesmo DIRETAMENTE proporcional! André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MENOS dinheiro. Já Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MAIS dinheiro.

Uma segunda forma de resolver consiste no uso de ‘constantes de proporcionalidade’. Considero IMPORTANTÍSSIMO que você aprenda este segundo método, pois ele é fundamental em questões mais complexas sobre divisão proporcional. A ideia básica é criar uma variável, que chamamos de constante de proporcionalidade. Eu costumo usar a letra K. Assim, como André trabalhou 200 horas, ele tem direito a 200K.

Como Bruno trabalhou 300 horas, ele faz jus a 300K e, como Carlos trabalhou 500 horas, ele deve receber 500K.

A soma dos valores recebidos, que é 200K + 300K + 500 K = 1000K, deve ser igual a 40.000 reais, concorda?

Logo,

1000K =40000 K =40

Sabendo o valor da constante, conseguimos calcular rapidamente o valor recebido por cada rapaz:

André = 200K = 200 . 40 = 8000 reais Bruno = 300K = 300 . 40 = 12000 reais Carlos = 500K = 500 . 40 = 20000 reais Entendeu? Excelente!

E se a questão falasse que o dinheiro deveria ser distribuído de forma INVERSAMENTE proporcional ao tempo de trabalho de cada um??? Neste caso, você poderia usar a mesma constante K. Entretanto, André faria jus a ^𝐾

200 , Bruno a ^𝐾

300, e Carlos a ^𝐾

500. Essa é a única mudança! Ao invés de multiplicar a constante pelos valores de cada pessoa, nós dividimos a constante pelo valor de cada pessoa, uma vez que a divisão é inversamente proporcional a esses valores.

A soma continua sendo de 40000 reais, portanto:

𝐾 200+ 𝐾

300+ 𝐾

500= 40000

Multiplicando todos os termos por 100, ficamos com:

𝐾 2+𝐾

3 +𝐾

5 = 4.000.000

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 5 é o 30. Podemos multiplicar todos os termos por 30, ficando com:

15𝐾 + 10𝐾 + 6𝐾 = 120.000.000 31𝐾 = 120.000.000

𝐾 =120.000.000 31 𝐾 = 3.870.967,74

(não se assuste com o tamanho dos números... isso ocorre porque este exercício NÃO foi concebido para trabalharmos com divisão inversamente proporcional, só estamos fazendo para entender o método)

Agora que sabemos o valor da constante, podemos encontrar o valor recebido por cada rapaz:

André = K/200 = 3.870.967,74 / 200 = 19.354,83 reais Bruno = K/300 = 3.870.967,74 / 300 = 12.903,22 reais Carlos = K/500 = 3.870.967,74 / 500 = 7.741,93 reais

Repare que a soma dos valores é mesmo 40.000 reais (ou quase isso, por conta dos arredondamentos). E veja que a divisão foi mesmo INVERSAMENTE proporcional. André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MAIS dinheiro! E Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MENOS dinheiro!

Compreendido? Vamos então empregar os dois métodos nos próximos exercícios!

FCC – SABESP – 2018) Em um centro de telemarketing de uma rede de academias, três operadores dividem entre si um bônus no final do ano de forma proporcional às quantidades de clientes matriculados por cada um ao longo do ano. No ano de 2017, o operador Carlos matriculou 700 clientes; a operadora Silvânia, 850 clientes;

o operador Josias, 800 clientes. Se o bônus recebido por Josias foi de R$ 1.200,00, então o valor total do bônus dividido entre os três operadores em 2017 foi de

(A) R$ 2.515,50.

(B) R$ 9.600,00.

(C) R$ 8.400,00.

(D) R$ 3.525,00.

(E) R$ 10.200,00.

RESOLUÇÃO:

➔ PRIMEIRA SOLUÇÃO (regra de três simples):

Veja que temos mais informações em relação a Josias: ele ganhou 1200 reais de bônus, e matriculou 800 clientes. Podemos montar a seguinte regra de três relacionando os bônus e os números de matriculados:

Bônus total --- Total de matriculados Bônus de Josias --- Matriculados por Josias

O total de matriculados é de 700 + 850 + 800 = 2350. Assim, substituindo os valores conhecidos, temos:

Bônus total --- 2350 1200 --- 800 Resolvendo a regra de três simples:

Bônus total x 800 = 1200 x 2350 Bônus total x 8 = 12 x 2350

Bônus total x 2 = 3 x 2350 Bônus total = 3 x 1175 Bônus total = 3525 reais Podemos marcar a alternativa D, que é o nosso gabarito.

➔ SEGUNDA SOLUÇÃO (constante de proporcionalidade):

Outra forma de resolver consiste em trabalhar com “k”, a nossa constante de proporcionalidade. As partes a serem divididas para os operadores são diretamente proporcionais à quantidade de clientes matriculados por cada um (700, 850 e 800 clientes), ou seja, os valores de cada um são 700k, 850k e 800k. Foi dado que Josias recebeu 1200 reais. O bônus de Josias é 800k, ou seja,

800k = 1200 k = 1200/800

k = 1,5 Assim, o valor total do bônus foi de:

Total = 700k + 850k + 800k Total = 2350k Total = 2350 . 1,5 Total = 3525 reais Resposta: D

Veja ainda uma situação menos comum em prova, mas que você também deve aprender a resolver:

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em três partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o menor desses números.

(A) 120.

(B) 160.

(C) 180.

(D) 200.

(E) 240.

RESOLUÇÃO:

Como temos uma divisão que é diretamente proporcional a alguns números e inversamente proporcional a outros, a solução mais recomendável é o uso da constante de proporcionalidade K.

Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que podemos escrever cada uma das três partes da seguinte forma:

- 7

K2 (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2);

- 4

K3 (diretamente proporcional a 4 e inversamente proporcional a 3);

- 8

K5 (diretamente proporcional a 8 e inversamente proporcional a 5);

Neste caso, chamamos K de “constante de proporcionalidade”. A soma dos 3 números é igual a 772, ou seja:

7 4 8

772=  +  + K 2 K 3 K 5 105 40 48

772 30

K+ K+ K

=

23160 193K= 120 K =

Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são:

7

K2 = 120 x (7/2) = 420 4

K3= 120 x (4/3) = 160 8

K5 = 120 x (8/5) = 192 Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160.

Resposta: B

DIFERENÇAS DE RENDIMENTO

Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para completar o serviço?

Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho.

Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre:

a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 hora para arrumar 600 livros);

b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo levaria 3 horas).

Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro funcionário, para então calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho sozinho.

Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levará 1,5 hora para guardar os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam necessárias para resolver este exercício:

1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos:

Horas de trabalho Livros guardados

3 600

1 P

3 1 600 200 P

P livros

= 

=

2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos:

P + M = 600

M = 600 – P = 600 – 200 = 400livros

3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho:

Horas de trabalho Livros guardados

1 400

T 600

1 600 400 600 1,5 400

T

T hora

 =

= =

Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado (tempo gasto por um dos funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionário. Em alguns exercícios, o enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário.

Por exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho sozinho, o exercício poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, enquanto Marcos guarda 400).

Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria possível resolver o exercício.

Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50%

de M, ou seja, 0,5M livros no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 1 hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos (M):

1,5M --- 600 livros M --- X livros

1,5 600

600 400 1,5

M X M X

 = 

= =

Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos constatado no caso anterior.

Vamos resolver juntos a questão a seguir:

FCC – TRT/24ª – 2011) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho – Matilde e Julião – foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3

5 ^{de X em 2} horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1

4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria para, sozinho, arquivar todos os X processos?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

RESOLUÇÃO:

O exercício apresentou dois casos: os 2 funcionários trabalhando juntos e Matilde trabalhando sozinha. E pediu um terceiro caso: Julião trabalhando sozinho. Nessas questões, não podemos assumir que os 2 funcionários tem a mesma eficiência, isto é, são capazes de arquivar o mesmo número de processos por hora. Estamos diante de um exercício onde há diferença de rendimento! Devemos, portanto, começar analisando o caso onde Matilde trabalha sozinha, pois assim saberemos de sua capacidade de trabalho. Feito isso, analisaremos o caso dos dois funcionários trabalhando juntos, para descobrir a capacidade de trabalho de Julião (uma vez que já saberemos a de Matilde). Por fim, podemos trabalhar com o caso de Julião trabalhando sozinho. Acompanhe tudo isso abaixo.

Matilde arquiva 1

4de X em 5 horas. Assim, podemos descobrir quanto Matilde arquiva em 2 horas (que é o tempo em que ela e Julião trabalharam juntos) utilizando uma regra de três simples:

Número de processos arquivados por Matilde Tempo gasto 1

4^{X 5}

P 2

Efetuando a multiplicação cruzada:

1 2 5

4

2 5

4 2 5

2 5 10

X P

X P X P

X X

P

 = 

=

=

= =

 Portanto, em 2 horas Matilde arquiva

10

X processos. O enunciado disse que, trabalhando juntos, Matilde e

Julião arquivam 3

5 X em 2 horas. Como a parte de Matilde é de 10

X , restam para Julião:

3

5 10 6

10 10 5

10 2

X X X X X X

− =

− =

=

Portanto, em 2 horas Julião arquiva 2

X processos. Como Julião arquiva metade dos processos em 2 horas, ele arquivará todos os processos no dobro deste tempo (4 horas) trabalhando sozinho. Você também poderia descobrir isso através da seguinte regra de três:

Número de processos arquivados por Julião Tempo gasto

2

X 2

X T

2 2

1 2

2 4 X T X

T T

 = 

 =

= Resposta: A

E aí, compreendeu? Eu sei que esse é o caso mais complicado! Fique à vontade para me procurar no fórum de dúvidas se for necessário.

Podemos sintetizar assim o processo de resolução das questões onde há diferença de rendimento:

MÉTODO DE SOLUÇÃO – DIFERENÇAS DE RENDIMENTO:

1 - Partir da pessoa sobre a qual temos a informação de sua capacidade de trabalho isolada;

2 - Descobrir quanto essa pessoa produz (sozinha) no tempo em que ela trabalhou junto da outra;

3 - Subtrair essa parte do trabalho total realizado pelas duas pessoas juntas, para descobrir quanto a outra pessoa fez sozinha naquele tempo de trabalho conjunto;

4 – Montar uma regra de três para saber em quanto tempo a segunda pessoa é capaz de fazer o trabalho sozinha.

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões comentadas pelo professor

1.

Uma máquina trabalhando ininterruptamente 5 horas por dia produz um lote de peças em 3 dias. Para que esse mesmo lote fique pronto em 2 dias, o tempo que essa máquina terá que trabalhar diariamente, de forma ininterrupta, é de

(A) 7 horas e 50 minutos.

(B) 6 horas e 45 minutos.

(C) 6 horas e 35 minutos.

(D) 7 horas e 30 minutos.

(E) 7 horas e 05 minutos.

RESOLUÇÃO:

Seja T o tempo gasto diariamente para a máquina produzir o lote em 2 dias. Vamos montar uma regra de três para esse caso:

Horas/dia dias 5 3 T 2

Note que as grandezas são inversamente proporcionais. Quanto mais horas trabalhadas no dia, menos dias são necessários para a produção do lote. Portanto, devemos inverter uma das colunas:

Horas/dia dias T 3 5 2 T x 2 = 3 x 5

T = 15/2

T = 7,5 = 7 horas e 30 minutos Resposta: D

2.

Uma professora propôs o seguinte problema para os seus alunos:

Cláudio comprou na feira duas dúzias e meia de laranjas, pagando, nessa compra, o total de R$5,25. Se ele comprasse apenas uma dúzia e meia da mesma laranja, quanto pagaria?

A resposta correta esperada pela professora era

(A) R$ 3,10.

(B) R$ 3,15.

(C) R$ 3,20.

(D) R$ 3,25.

(E) R$ 3,30.

RESOLUÇÃO:

Uma dúzia corresponde a 12 laranjas, de modo que duas dúzias são 24, e meia dúzia é 6. Assim, duas dúzias e meia são 30 laranjas. O preço disto foi 5,25 reais. Uma dúzia e meia são 12 + 6 = 18 laranjas. O preço é:

30 laranjas --- 5,25 18 laranjas --- P

30P = 18x5,25 10P = 6x5,25

10P = 31,5 P = 3,15 reais Resposta: B

3.

Em uma indústria, 20 máquinas iguais, de mesmo rendimento, produzem juntas 5000 parafusos iguais, em meia hora de funcionamento simultâneo e ininterrupto. Desse modo, para produzir 1000 unidades dos mesmos parafusos em uma hora, seria necessário o funcionamento, nas mesmas condições operacionais, de apenas (A) 2 máquinas.

(B) 3 máquinas.

(C) 5 máquinas.

(D) 6 máquinas.

(E) 8 máquinas.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar o problema assim:

Máquinas Parafusos Tempo (minutos)

20 5000 30

M 1000 60

Quanto MAIS máquinas trabalhando, podemos produzir MAIS parafusos em MENOS tempo. Devemos inverter a coluna do tempo, ficando:

Máquinas Parafusos Tempo (minutos)

20 5000 60

M 1000 30

Montando a proporção:

20

𝑀 =5000 1000 𝑥60

30 20

𝑀 = 5 𝑥 2 20 = 10M M = 2 máquinas Resposta: A

4.

Para realizar determinado projeto, um profissional leva 10 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se esse profissional mantiver o mesmo ritmo diário de trabalho, o número de horas diárias que ele terá que trabalhar para realizar esse projeto em 8 dias será

(A) 8,5.

(B) 8,0.

(C) 7,5.

(D) 7,0.

(E) 6,5.

RESOLUÇÃO:

Podemos montar a regra de três:

10 dias --- 6 horas/dia 8 dias --- N horas/dia

Quanto MAIS horas por dia de trabalho, MENOS dias são necessários para finalizar o trabalho. As grandezas são inversamente proporcionais, de modo que devemos inverter uma das colunas:

10 dias --- N horas/dia 8 dias --- 6 horas/dia

Finalizando a regra de três:

10 x 6 = N x 8 60 = 8N N = 60/8 N = 7,5 horas por dia Resposta: C

5.

Um total de 30 mil unidades de determinado produto seria produzido por 6 máquinas, todas idênticas, trabalhando ao mesmo tempo, durante 5 horas e 30 minutos, de forma ininterrupta. No exato instante em que se produziu metade das unidades, 2 das máquinas quebraram, e a produção foi automaticamente interrompida em todas as máquinas. Após a retomada do trabalho, o restante das unidades foi produzido pelas 4 máquinas não quebradas, nas mesmas condições iniciais. Dessa forma, contando apenas o tempo em que as máquinas estiveram em funcionamento, a produção toda foi concluída em um período de tempo de, aproximadamente, (A) 6 horas e 50 minutos.

(B) 6 horas e 35 minutos.

(C) 6 horas e 20 minutos.

(D) 6 horas e 05 minutos.

(E) 5 horas e 50 minutos.

RESOLUÇÃO:

No instante em que houve a quebra, já haviam sido produzidas 15 mil unidades (faltavam 15 mil).

Portanto, sabemos que 6 máquinas produzem 30 mil unidades em 5 horas e 30 minutos (330 minutos), e queremos saber em quanto tempo 4 máquinas produzem as 15 mil unidades restantes. Montando a proporção:

Máquinas Unidades Tempo

6 30.000 330

4 15.000 T

Quanto MAIS tempo, MAIS unidades podem ser produzidas por MENOS máquinas. Assim, devemos inverter a coluna das máquinas:

Máquina Unidades Tempo 4 30.000 330

6 15.000 T

Montando a proporção:

330 x 3 = 4T 990 = 4T T = 247,5 minutos

T = 240 + 7 + 0,5

T = 4 horas + 7 minutos + 30 segundos

O tempo total de produção foi a soma do primeiro período, com as 6 máquinas (2 horas e 45 minutos) e mais o segundo período, com apenas 4 máquinas (4 horas e 7 minutos, aproximadamente), totalizando 6 horas e 52 minutos.

Resposta: A

6.

O consumo médio de combustível de um carro que está rodando em uma pista de testes, que tem 4,5 km de extensão, é de 1 litro para cada 10 km percorridos. Em uma parada para reabastecimento, com o tanque completamente vazio, injeta-se combustível durante 8 minutos, sendo que a bomba usada injeta 120 mL de combustível a cada 2 segundos. Mantendo o mesmo consumo médio, o número máximo de voltas completas que o carro poderá dar nessa pista usando a quantidade de combustível injetada, nesse reabastecimento, será igual a

(A) 58.

(B) 60.

(C) 64.

(D) 68.

(E) 70.

RESOLUÇÃO:

Vejamos qual a quantidade de combustível injetada. Para isto, veja que 8 minutos correspondem a 8x60 segundos = 480 segundos. Assim:

2 segundos --- 120mL 480 segundos --- X mL

2.X = 480.120 X = 240.120 X = 28.800mL

X = 28,8 L

Lembrando que o carro percorre 10km com 1 litro, podemos calcular a distância percorrida:

1 litro --- 10km 28,8 litros --- D km

1.D = 28,8.10 D = 288 km

Com cada volta tem 4,5km, o número de voltas que correspondem a 288km é igual a ²⁸⁸_4,5 =⁵⁷⁶₉ = 64.

Resposta: C

7.

Uma plantação requer pulverizações semanais de certo defensivo agrícola. Se uma tonelada desse defensivo pulveriza 2 alqueires durante 4 semanas, então o número de toneladas necessárias para pulverizar 3 alqueires durante 10 semanas será igual a

(A) 3,75.

(B) 3,5.

(C) 3,25.

(D) 3.

(E) 2,75.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar assim:

Toneladas de defensivo Alqueires Semanas

1 2 4

T 3 10

Quanto MAIS defensivo, MAIS alqueires podem ser pulverizados por MAIS semanas. Assim, as grandezas são todas diretamente proporcionais. Montando a proporção:

1 𝑇=2

3. 4 10 1

𝑇=1 3.4

5 𝑇 =15

4 =7,5

2 = 3,75 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 Resposta: A

8.

Em determinada região, para cada 90 pessoas que contraíram uma doença e sobreviveram, 8 contraíram a mesma doença e morreram em decorrência dela. Se considerarmos 4 mil mortes decorridas por aquela doença, então é verdade que o número total de pessoas que a contraíram seria de

(A) 45 000.

(B) 46 000.

(C) 47 000.

(D) 48 000.

(E) 49 000.

RESOLUÇÃO:

Podemos escrever que:

Sobreviveram Morreram

90 8

X 4000

Quanto MAIS pessoas sobreviventes, MAIS pessoas morreram. Montando a regra de três simples:

90 x 4000 = 8X 90 x 4000 / 8 = X

90 x 500 = X

X = 45000 sobreviventes

Portanto, o total de pessoas que contraíram a doença é de 45000 sobreviventes mais 4000 que morreram, ou seja, 49000.

Resposta: E

9.

Para executar serviços de pintura, com 2 demãos, ou seja, duas camadas de tinta, o fabricante de uma tinta recomenda a utilização de um galão de tinta, contendo 3,6 L, para cada 60 m² a serem pintados. Para pintar uma determinada área, Pedro comprou 3 galões da referida tinta, mas ao invés de fazer 2 demãos, ele fez 3. Se, ao final da pintura, sobraram 1 200 mL da tinta, então, das alternativas a seguir, a que mais se aproxima da área pintada por Pedro, em m², com a quantidade de tinta comprada é

(A) 107.

(B) 141.

(C) 175.

(D) 209.

(E) 243.

RESOLUÇÃO:

Veja que para 2 demãos em uma área de 60 m² é preciso usar 3,6 litros. No caso concreto foram feitas 3 demãos, e a quantidade de tinta utilizada foi de 3x3,6 – 1,2 = 9,6 litros (afinal foram usados 3 galões de 3,6 litros e sobrou 1,2 litro). Assim:

Demãos Área Tinta

2 60 3,6

3 A 9,6

Quanto MAIOR a área a ser pintada, MENOS demãos podem ser feitas com uma mesma quantidade de tinta.

E quanto MAIOR a área a ser pintada, MAIOR é a quantidade de tinta usada para uma mesma área. Veja que as grandezas DEMÃOS e ÁREA são inversamente proporcionais. Devemos inverter a coluna das demãos, ficando com:

Demãos Área Tinta

3 60 3,6

2 A 9,6

Montando a proporção:

60 𝐴 =3

2.3,6 9,6

60 𝐴 =3

2.36 96

60 𝐴 =3

1.18 96

60 𝐴 =1

1.18 32

60 𝐴 =1

1. 9 16

60.16 9 = 𝐴

20.16 3 = 𝐴

𝐴 = 106,6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 Resposta: A

10.

Em uma escola de dança, há 3 homens para cada 2 mulheres, num total de 210 alunos. No mês de março, o número de homens aumentou em X, o número de mulheres diminuiu também em X, e a razão entre os números de homens e mulheres matriculados passou a ser igual a 2, o que permite concluir que X é igual a

(A) 9.

(B) 10.

(C) 12.

(D) 14.

(E) 15.

RESOLUÇÃO:

Sendo k nossa constante de proporcionalidade, podemos dizer que os homens são 3k e as mulheres 2k inicialmente. Como o total é de 210 pessoas, então:

3k + 2k = 210 5k = 210 10k = 420

k = 42

Portanto, inicialmente os homens são 3k = 3.42 = 126, e as mulheres são 2k = 2.42 = 84. Os homens passaram para 126+X e as mulheres para 84-X, de modo que a razão entre homens e mulheres passou a ser 2, ou seja:

ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠= 2

126 + 𝑋 84 − 𝑋 = 2

126 + 𝑋 = 2. (84 − 𝑋) 126 + X = 168 – 2X X + 2X = 168 – 126

3X = 42 X = 14 Resposta: D

11.

Para imprimir 200 apostilas com 27 páginas cada uma, 5 impressoras levam 54 minutos. Estas impressoras imprimem um mesmo número de páginas por minuto e têm sistema automático de alimentação de folhas, ou seja, não precisam parar para o reabastecimento de folhas. Para a impressão de 1 040 apostilas com 35 páginas impressas cada uma, em 52 minutos, será necessário um número dessas impressoras igual a

(A) 30.

(B) 35.

(C) 40.

(D) 45.

(E) 50.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar assim:

Apostilas Páginas Impressoras Tempo

200 27 5 54

1040 35 N 52

Quanto MAIS impressoras é possível imprimir MAIS apostilas com MAIS páginas em MENOS tempo. Devemos inverter somente a coluna do tempo, que é inversamente proporcional:

Apostilas Páginas Impressoras Tempo

200 27 5 52

1040 35 N 54

Montando a proporção:

5

𝑁= 200 1040.27

35.52 54

5 𝑁= 20

104.27 35.26

27

1 𝑁= 4

104. 1 35.26

1

1 𝑁=4

4. 1 35.1

1

1 𝑁=1

1. 1 35.1

1

𝑁 = 35 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑎𝑠 Resposta: B

12.

Uma empresa utiliza máquinas iguais, de mesmo rendimento, para produzir um único tipo de peça. O número de máquinas utilizadas e o número de horas diárias de funcionamento ininterrupto, que é o mesmo para todas

as máquinas utilizadas, são determinados em função da quantidade de peças e do prazo de entrega de cada lote. A tabela mostra dados referentes à produção dos lotes I e II.

Nessas condições, é correto afirmar que as 63 000 peças do Lote II foram produzidas em um número de dias igual a

(A) 50.

(B) 48.

(C) 42.

(D) 35.

(E) 33.

RESOLUÇÃO:

Podemos dispor os dados da seguinte forma. Veja que eu já omiti as horas diárias de funcionamento, pois elas são as mesmas (x) nos dois lotes, de modo que esta variável não tem influência no prazo que precisamos calcular:

Máquinas Peças Prazo

10 90.000 60

12 63.000 y

Quanto MAIS prazo tivermos, conseguimos produzir MAIS peças usando MENOS máquinas. Devemos inverter a coluna das máquinas, ficando com:

Máquinas Peças Prazo

12 90.000 60

10 63.000 y

Montando a proporção:

5.7 = y y = 35 dias Resposta: D

13.

Para imprimir 300 apostilas destinadas a um curso, uma máquina de fotocópias precisa trabalhar 5 horas por dia durante 4 dias. Por motivos administrativos, será necessário imprimir 360 apostilas em apenas 3 dias. O número de horas diárias que essa máquina terá que trabalhar para realizar a tarefa é

(A) 6.

(B) 7.

(C) 8.

(D) 9.

(E) 10.

RESOLUÇÃO:

Podemos montar a seguinte tabela de dados:

Apostilas Horas por dia Dias

300 5 4

360 H 3

Quanto MAIS horas por dia de trabalho, é possível imprimir MAIS apostilas em MENOS dias. Podemos inverter a coluna dos dias, ficando com:

Apostilas Horas por dia Dias

300 5 3

360 H 4

Montando a proporção:

H = 8 horas por dia Resposta: C

14.

Uma indústria possui duas máquinas, A e B, que produzem uma mesma peça. A máquina A produz 7 peças em 15 minutos, e a máquina B produz 8 peças em 20 minutos. Nessas condições, é correto afirmar que, no mesmo tempo gasto pela máquina B para produzir 36 peças, a máquina A irá produzir um número de peças igual a (A) 44.

(B) 42.

(C) 48.

(D) 40.

(E) 46.

RESOLUÇÃO:

A máquina B produz 8 peças em 20 minutos. Assim, para produzir 36 peças:

8 peças ———- 20 minutos 36 peças ———- M minutos

8M = 36×20 2M = 9×20

M = 9×10 M = 90 minutos

Como a máquina A produz 7 peças em 15 minutos, então em 90 minutos fará:

7 peças ———– 15 minutos P peças ———- 90 minutos

7×90 = Px15 7×6 = P 42 peças = P Resposta: B

15.

Josué fez uma viagem em 3 horas e 20 minutos, e a cada hora percorria 45 km. Voltou, pelo mesmo percurso, com velocidade constante e gastando 20% a menos do tempo da viagem de ida. Na volta, a cada hora, Josué percorria

(A) 52,75 km.

(B) 56,25 km.

(C) 60,50 km.

(D) 58,00 km.

(E) 54,00 km.

RESOLUÇÃO:

Como 3h20min corresponde a 200 minutos, note que 20% a menos corresponde a 0,80 x 200 = 160 minutos.

Podemos escrever a regra de três:

Velocidade Tempo 45 200 V 160

Quanto MAIOR a velocidade, MENOR o tempo. Devemos inverter uma coluna:

Velocidade Tempo 45 160 V 200

Resolvendo a regra de três:

45 x 200 = V x 160 V = 56,25 km em uma hora Resposta: B

16.

Em um município, sabe-se que 1 em cada 16 habitantes vive em área de risco. Desse modo, é correto afirmar que, do número total de habitantes, o correspondente àqueles que não vivem em área de risco é:

(A) 93,25%

(B) 93,50%

(C) 93,75%

(D) 94,00%

(E) 94,25%

RESOLUÇÃO:

Se 1 em cada 16 habitantes vive em área de risco, podemos dizer que 15 em cada 16 habitantes não vive em área de risco. Considerando que 16 corresponde ao todo, ou seja, 100%, podemos descobrir o percentual de pessoas que não vive em área de risco com uma regra de três:

Área de risco Total

15 16

P 100%

Montando a proporção:

15 x 100% = P x 16 15 x 25% = P x 4 15 x 12,5% = P x 2

15 x 6,25% = P 93,75% = P Resposta: C

17.

Para percorrer um determinado trecho de estrada, um carro com velocidade constante de 80 km/h gasta 45 minutos. Se esse carro percorresse esse mesmo trecho com velocidade constante de 100 km/h, gastaria Dado: quilômetros por hora (km/h) expressa o número de quilômetros percorridos em uma hora

(A) 36 minutos.

(B) 32 minutos.

(C) 42 minutos.

(D) 30 minutos.

(E) 39 minutos.

RESOLUÇÃO:

Podemos montar a proporção entre a velocidade e o tempo gasto:

Velocidade Tempo gasto

80 45

100 T

Quanto MAIOR a velocidade, MENOR o tempo. As grandezas são inversamente proporcionais, de modo que devemos inverter uma coluna:

Velocidade Tempo gasto

80 T

100 45

Montando a proporção:

80 x 45 = 100 x T 8 x 45 = 10 x T

360 = 10T

T = 36 minutos Resposta: A

18.

Carlos é fabricante de sucos e vende sua produção somente em caixinhas, cada uma com 200 mililitros de suco, ao preço unitário de R$ 1,50. Certa vez, ele recebeu uma encomenda de 500 litros do suco que ele fabrica, o que correspondeu a uma venda no total de

a) R$ 3.750,00.

b) R$ 4.000,00.

c) R$ 4.250,00.

d) R$ 4.500,00.

e) R$ 5.000,00.

RESOLUÇÃO:

Veja que 500 litros correspondem a 500 x 1000 ml = 500.000 ml. Assim, podemos dizer que:

200ml --- 1 caixinha 500.000ml --- N caixinhas

200 x N = 500.000 x 1 2 x N = 5000 N = 2500 caixinhas

Como cada caixinha é vendida por 1,50, as 2500 caixinhas são vendidas por:

1,50 x 2500 = 3750 reais Resposta: A

19.

No ano de 2014, três em cada cinco estudantes, na faixa etária dos 18 aos 24 anos, estavam cursando o ensino superior, segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Supondo-se que naquele ano 2,4 milhões de estudantes, naquela faixa etária, não estivesse cursando aquele nível de ensino, o número dos que cursariam o ensino superior, em milhões, seria

a) 3,0.

b) 3,2.

c) 3,4.

d) 3,6.

e) 4,0.

RESOLUÇÃO:

Se 3/5 dos estudantes cursam ensino superior, os que não cursam este nível de ensino são os 2/5 restantes.

Estes 2/5 restantes correspondem a 2,4 milhões, de modo que os que cursam ensino superior (3/5) correspondem a:

2/5 dos estudantes --- 2,4 milhões 3/5 dos estudantes --- N milhões

2

5. 𝑁 =3 5. 2,4 2. 𝑁 = 3.2,4

𝑁 = 3.1,2 𝑁 = 3,6 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 Resposta: D

20.

Sabe-se que 6 máquinas iguais, trabalhando ininterruptamente durante 6 horas por dia, produzem n unidades de certa peça em 6 dias. Se as mesmas 6 máquinas trabalharem ininterruptamente durante 8 horas por dia, o número de dias necessários para a produção de n unidades da mesma peça será reduzido em

a) um dia.

b) um dia e meio.

c) dois dias.

d) dois dias e meio.

e) três dias.

RESOLUÇÃO:

Podemos montar a seguinte regra de três composta:

Máquinas Horas por dia Peças Dias

6 6 n 6

6 8 n D

Veja que as colunas das Máquinas e das Peças não sofrem variação, ou seja, o mesmo valor se repete na primeira e na segunda linha. Isto significa que podemos ignorá-las, ficando somente com as demais:

Horas por dia Dias

6 6

8 D

Quanto MAIS horas de trabalho por dia, MENOS dias são necessários para terminar a produção. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo-se uma delas:

Horas por dia Dias

8 6

6 D

Montando a regra de três:

8.D = 6.6 D = 36 / 8 D = 9 / 2 D = 4,5 dias

A redução de tempo é de 6 – 4,5 = 1,5 dias (um dia e meio).

Resposta: B

21.

Para organizar as cadeiras em um auditório, 6 funcionários, todos com a mesma capacidade de produção, trabalharam por 3 horas. Para fazer o mesmo trabalho, 20 funcionários, todos com o mesmo rendimento dos iniciais, deveriam trabalhar um total de tempo, em minutos, igual a

(A) 46.

(B) 54.

(C) 50.

(D) 52.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Podemos escrever que:

Funcionários Horas

6 3

20 H

Quanto MAIS funcionários, MENOS horas são necessárias. Devemos inverter uma coluna:

Funcionários Horas

6 H

20 3

Montando a proporção:

6/20 = H/3 H = 6 x 3 / 20

H = 18 / 20 H = 0,9 hora H = 0,9 x 60 minutos

H = 54 minutos Resposta: B

22.

Um detergente concentrado é comprado em galões com 2 litros cada um. Para seu uso, ele é diluído em água, formando uma mistura com a seguinte proporção: 200 mL de detergente concentrado para 600 mL de água. A quantidade de litros de mistura (detergente + água) que é possível fazer, utilizando completamente 2 galões desse detergente, é

a) 18.

b) 14.

c) 16.

d) 17.

e) 15.

RESOLUÇÃO:

Como temos 2 litros de detergente em um galão, com 2 galões teremos 4 litros de detergente. Repare que cada 200mL (ou 0,2 litro) de detergente permite criarmos 800mL (0,8 litro) de mistura. Podemos montar a seguinte regra de três:

0,2 litro de detergente --- 0,8 litro de mistura 4 litros de detergente --- L litros de mistura

Fazendo a multiplicação cruzada:

0,2 x L = 4 x 0,8 𝐿 =4 × 0,8

0,2 𝐿 = 4 × 4 𝐿 = 16 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 Resposta: C

23.

Uma pessoa encheu o tanque de combustível de seu veículo e, após percorrer 120 km, sempre com a mesma velocidade e com rendimento constante, verificou que ainda restavam 12 litros de combustível no tanque. Se ela tivesse percorrido 150 km, mantendo a mesma velocidade anterior e o mesmo rendimento anterior, o número de litros de combustível que ainda restariam no tanque seria

a) 10,8.

b) 11,7.

c) 10,2.

d) 9,1.

e) 9,6.

RESOLUÇÃO:

Quanto MAIOR a distância percorrida, MENOR a quantidade de combustível que restaria no tanque. Essas grandezas são inversamente proporcionais. Assim, podemos esquematizar:

Distância percorrida Litros restantes

120 12

150 L

Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas. Invertendo a dos litros, temos:

Distância percorrida Litros restantes

120 L

150 12

Montando a regra de três:

120 x 12 = 150 x L 1440 = 150 x L

L = 9,6 litros Resposta: E

24.

Um determinado recipiente, com 40% da sua capacidade total preenchida com água, tem massa de 428 g.

Quando a água preenche 75% de sua capacidade total, passa a ter massa de 610 g. A massa desse recipiente, quando totalmente vazio, é igual, em gramas, a

(A) 338.

(B) 208.

(C) 200.

(D) 182.

(E) 220.

RESOLUÇÃO:

Observe que de 40% da capacidade total para 75% desta mesma capacidade total, temos uma diferença que corresponde a 75% - 40% = 35% da capacidade total. Essa mesma diferença corresponde a 610g - 428g = 182g.

Portanto, podemos dizer que 35 por cento da capacidade total corresponde a 182 gramas. Com uma regra de três simples podemos calcular a quantos gramas corresponde a 40 por cento da capacidade total:

35% --- 182g 40% --- P

35%xP = 40%x182 P = 40%x182 / 35%

P = 0,40x182 /0,35 P = 208g

Portanto, repare que 40 por cento da capacidade total corresponde a 208 gramas de água. Como nesta situação a massa total (água + massa do recipiente) é de 428 gramas, podemos dizer que a massa do recipiente é simplesmente 428 - 208 = 220g.

Resposta: E

25.

Para fazer 200 unidades do produto P, uma empresa Utilizou 3/4 do estoque inicial (E) do insumo Q. Para fazer mais 300 unidades do produto P, vai utilizar a quantidade que restou do insumo Q e comprar a quantidade adicional necessária para a produção das 300 unidades, de modo que o estoque do insumo Q seja zerado após a produção desse lote. Nessas condições, deverá ser comprada, do insumo Q, uma quantidade que corresponde, do estoque inicial E, a:

(A) 2/3.

(B) 7/8.

(C) 1/4.

(D) 3/8.

(E) 9/8.

RESOLUÇÃO:

Podemos escrever a seguinte regra de três para saber a quantidade do estoque E que precisa ser utilizada para produzir 300 unidades:

200 unidades --- 3E/4 300 unidades --- N

200N = 300x3E/4 2N = 3x3E/4

2N = 9E/4 N = 9E/8

Portanto, precisamos de 9/8 do estoque para produzir as 300 unidades. Após produzir as primeiras 200, gastamos 3E/4, sobrando E – 3E/4 = E/4. Assim, para conseguirmos 9E/8 (quantidade necessária para produzir as 300 peças), a quantidade que precisa ser adquirida do insumo é:

Quantidade adquirida = 9E/8 – E/4 Quantidade adquirida = 9E/8 – 2E/8

Quantidade adquirida = 7E/8 Resposta: B

26.

Certa pesquisa realizada pela Confederação Espanhola de Grêmios e Associações de Livreiros mostrou que nos 180 dias em que a pesquisa foi realizada, em média, 5 livrarias independentes fecharam as portas a cada 2 dias, sendo a crise econômica e o desprestígio do livro na sociedade espanhola os principais fatores.

Supondo-se existirem um total de 3150 livrarias independentes na Espanha no final do período pesquisado, o número das referidas livrarias fechadas naquele país, no período da pesquisa, corresponderia, do número total de livrarias independentes existentes no início da pesquisa, a

(A) 10,5%

(B) 11%

(C) 11,5%

(D) 12%

(E) 12,5%

RESOLUÇÃO:

Temos 5 livrarias fechando a cada 2 dias, de modo que em 180 dias temos:

2 dias --- 5 livrarias 180 dias --- N livrarias

2N = 180x5

N = 90x5 = 450 livrarias fechadas

Se sobraram 3150 livrarias abertas no final do período, é porque no início haviam 3150 + 450 = 3600 livrarias.

Portanto, 450 das 3600 livrarias fecharam, correspondendo a:

P = 450 / 3600 = 45 / 360 = 5 / 40 = 1 / 8 = 0,125 = 12,5%

Resposta: E

27.

Joana faz caminhadas regulares em uma pista que tem marcações das distâncias a partir do início da mesma.

Ela começou uma caminhada no ponto inicial da pista e, mantendo ritmo constante, chegou à marca de 800 m