Sólitons a temperatura finita: correções quânticas e térmicas à massa

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(2)

(3)

UNIVERSIDADE DE S ˜AO PAULO INSTITUTO DE F´ISICA

S´

olitons a temperatura finita:

corre¸

c˜

oes quˆ

anticas e t´

ermicas `

a

massa

Luana Perez Fran¸

ca

Orientador: Prof. Dr. Adilson Jos´e da Silva

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de F´ısica da Universidade de São Paulo para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciências.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Adilson Jos´e da Silva (IF-USP)

Prof. Dr. Fernando Tadeu Caldeira Brandt (IF-USP) Prof. Dr. Enrique Alberto Gallegos Collado (ICT-UNIFAL)

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- - -

FICHA CATALOGRÁFICA

Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação do Instituto de Física da Universidade de São Paulo

França, Luana Perez

Sólitons a temperatura finita: correções quânticas e térmicas à massa. São Paulo, 2014.

Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo. Instituto de Física. Departamento de Física Matemática

Orientador: Prof. Dr. Adilson José da Silva

Área de Concentração: Física

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Agradecimentos

Ao meu orientador, Adilson José da Silva, pela compreensão, motiva¸cão e, princi-palmente, pela disposi¸cão e paciência em sanar todas as minhas dúvidas;

Aos meus pais, Sônia Maria Perez Fran¸ca e Israel Pinheiro Fran¸ca, e ao meu irmão, Raul Perez Fran¸ca, por todo o apoio, pois sem eles eu não teria chegado até aqui;

Ao meu marido, Marco Aur´elio Savoia, por todo o ˆanimo e for¸ca para persistir;

Aos meu colegas do Instituto de F´ısica, especialmente Fabr´ıcio Marques do Carmo, Enrique Alberto Gallegos Collado e Victor Peralta Cano, que me aconselharam e aju-daram sempre que poss´ıvel;

`

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(7)

RESUMO

Sólitons são solu¸cões clássicas de equa¸cões de campos não lineares, que possuem energia finita e densidade de energia localizada. Eles constituem pacotes de energia que se movem de maneira uniforme e não dispersiva, assemelhando-se a part´ıculas estendidas. Quando se estuda um sistema à temperatura finita é poss´ıvel tecer um paralelo entre a teoria quântica de campos e a mecânica estat´ıstica. Neste trabalho calculamos, na aprox-ima¸cão de um la¸co, a corre¸cão quântica à massa do kink do modelo λφ4

(8)

(9)

ABSTRACT

Solitons are classical solutions of non-linear field equations, that have fi-nite energy and localised energy density. They constitute non-dispersive localised packages of energy moving uniformly, resembling extended par-ticles. When studying a system at finite temperature one can make an analogy between quantum field theory and statistical mechanics. In this work we calculate, in one loop approximation, the quantum correction to the mass of the kink of the model λφ4 _{coupled to a fermionic field. The}

(10)

(11)

Sum´

ario

1. Introdu¸c˜ao 1

2. Uma introdu¸c˜ao aos s´olitons 7

2.1. Uma breve vis˜ao geral . . . 7

2.2. O modelo λφ4 _{. . . .} ₉

3. Teoria de Campos a temperatura finita 15 3.1. O formalismo de integrais funcionais . . . 15

3.2. Representa¸cão da fun¸cão de parti¸cão em integrais funcionais . . . 20

3.2.1. Periodicidade . . . 22

3.3. Aproxima¸c˜ao de fase estacion´aria . . . 23

4. Corre¸cão quântica da massa do kink no modelo λφ4 ₂₇ 4.1. Quantiza¸cão do modelo λφ4 _{. . . 27}

4.2. Cálculo das flutua¸cões bosônicas a temperatura zero . . . 31

4.3. Corre¸c˜ao da massa a temperatura zero . . . 37

4.4. Efeitos t´ermicos . . . 41

5. Modelo λφ4 _{acoplado a campo Fermiˆ}_onico ₄₅ 5.1. F´ermions a temperatura finita . . . 45

(12)

5.2. Quantiza¸c˜ao do modeloλφ4 _{acoplado a campo Fermiˆonico . . . 47}

5.3. Cálculo das flutua¸cões fermiônicas . . . 49

5.4. Corre¸c˜ao da massa a temperatura zero . . . 55

5.5. Efeitos t´ermicos . . . 59

6. Conclusões 63 Apêndice A. Integrais funcionais 65 A.1. Integral funcional gaussiana para variáveis bosônicas . . . 65

A.2. Integral funcional gaussiana para vari´aveis fermiˆonicas . . . 67

Apêndice B. Demonstra¸cão da identidade ln detA=trlnA 71 Apêndice C. Alguns resultados importantes 75 C.1. Cálculo de ∞ X n=−∞ ln α2+ 4π 2_n2 β2 . . . 75

C.2. C´alculo de ∞ X n=−∞ ln α2+ (2n+ 1) 2_π2 β2 . . . 76

C.3. Modo zero . . . 77

C.4. Integral divergente . . . 77

Apêndice D. Conjuga¸cão de carga 79 Apêndice E. Propagadores de Feynman bosônico e fermiônico 81 E.1. Propagador bosônico . . . 81

E.2. Propagador fermiˆonico . . . 83

Apêndice F. Renormaliza¸cão 87 F.1. Campo bosônico . . . 87

(13)

Sum´ario iii

(14)

(15)

1. Introdu¸

c˜

ao

Em 1834, J. Scott Russel estava observando o movimento de um barco sendo puxado por dois cavalos no canal de Edimburgo. Quando o barco subitamente freou criou uma grande onda solit´aria de forma arredondada e bem definida. Ele seguiu a onda formada por um longo trecho e observou que ela se propagava numa velocidade constante e mantinha sua forma original inalterada.

O que Russel observou era um modelo de sólitons. Matematicamente, sólitons são solu¸cões clássicas de equa¸cões não lineares de campos, na métrica de Minkowski, que possuem energia finita e densidade de energia localizada. Se propagam com velocidade uniforme e sem mudar a forma. Por constitu´ırem pacotes de energia que se movem de maneira uniforme e não dispersiva se assemelham a part´ıculas estendidas [1].

Para entender melhor estes conceitos vamos considerar a mais simples das equa¸c˜oes de onda relativ´ıstica, dada por:

∂µ∂µφ =

1

c2

∂2

∂t2 −

∂2

∂x2

φ(x, t) = 0, (1.1)

onde φ(x, t) é um campo escalar em 1 + 1 dimensões e cé a velocidade da luz. Esta equa¸cão é linear e não-dispersiva, desta forma, suas solu¸cões possuem as seguintes caracter´ısticas [2]:

(16)

sua forma. Por exemplo:

f(x±ct) = Z

dk[a1(k) cos(kx±ωt) +a2(k) sin(kx±ωt)].

O pacote de onda viaja sem mudar sua forma e com velocidade constante cpelo fato de que todas suas componentes s˜ao ondas planas com a mesma velocidade

ω/k =c.

2. Dadas duas solu¸cões de pacotes de onda, após uma colisão, recuperam sua forma e velocidade originais num tempo assintótico (t →+∞).

No entanto, a maioria das equa¸cões de onda são mais complicadas, podendo conter termos não-lineares e/ou dispersivos. A t´ıtulo de compara¸cão, consideremos agora a equa¸cão de Klein-Gordon em duas dimensões [3]:

✷+ m

2_c2

~2

φ(x, t)≡

1

c2

∂2 ∂t2 −

∂2 ∂x2 +

m2c2

~2

φ(x, t) = 0. (1.2)

Esta equa¸cão também é linear e ondas planas cos(kx±ωt) e sin(kx±ωt) são solu¸cões. Mas agora ω2 ₌ _k2_c2 ₊_m2_c4_{, portanto, diferentes comprimentos de onda viajam a}

diferentes velocidades, já queω(k)/k =v, o que torna a equa¸cão dispersiva. Portanto, esta equa¸cão não segue nenhuma das caracter´ısticas (1) e (2).

Consideremos adicionar um termo não-linear à equa¸cão 1.1:

1

c2

∂2

∂t2 −

∂2

∂x2

φ(x, t) +φ3(x, t) = 0 (1.3)

(17)

3

s´olitons.

Vamos nos restringir às equa¸cões de campo que tenham associada uma densidade de energiaǫ(x, t) que é fun¸cão dos camposφi(x, t). A integral espacial desta densidade leva à energia total conservadaE[φi]. Diz-se que temos “solu¸cões localizadas” quando as densidades de energia são localizadas no espa¸co, ou seja, são finitas dentro de uma região finita e tendem a zero quando as coordenadas espaciais tendem a infinito. Uma onda solitária (a partir de agora chamada sóliton) define-se como a solu¸cão localizada de qualquer equa¸cão não-linear de campo cuja densidade de energia, além de ser localizada, possui uma dependência no espa¸co-tempo da forma:

ǫ(x, t) =ǫ(x₋ut),

ou seja, a densidade de energia se mant´em constante se movendo com uma velocidade constante ([2] e [4]).

Classicamente, o estado de energia mais baixo de uma part´ıcula sujeita a um poten-cial de um oscilador harmˆonico cl´assico, mω2_x2_/_{2, possui energia nula e corresponde}

à part´ıcula em repouso emx = 0. Na teoria quântica este estado não é permitido. O princ´ıpio de incerteza de Heisenberg não permite que a part´ıcula esteja em repouso (momento definido nulo) para determinado valor de x (posi¸cão definida). Quando a part´ıcula se encontra no estado fundamental, a oscila¸cão quântica faz sua energia aumentar de ~_ω/_{2. Os estados excitados ocorrem em energias (}_n_{+ 1}_/₂₎~_ω_.

(18)

no geral, constituem uma generaliza¸cão da expansão semiclássica da teoria quântica não relativ´ıstica (método WKB) aplicada a teoria de campos relativ´ıstica [5]. Esta expansão semiclássica parte de uma solu¸cão clássica ao redor da qual se quantizam flutua¸cões. Com a quantiza¸cão podemos associar a uma solu¸cão solitônica clássica vários estados de part´ıculas quânticas. Desta forma, podemos obter propriedades dos sólitons como a corre¸cão de sua energia (ou massa para caso estático) devido às flutua¸cões quânticas.

Quando se estuda um sistema a temperatura finita, podemos tecer um paralelo entre a teoria quântica de campos e a mecânica estat´ıstica. O comportamento estat´ıstico de um sistema quântico, em equil´ıbrio térmico, é estudado através de um ensemble. Na mecânica estat´ıstica podemos encontrar três tipos de ensemble. O ensemble micro-canônico é usado para descrever um sistema isolado com uma energia E, número de part´ıculasN e volume fixos. O ensemble canônico se utiliza para descrever um sistema em contato com um reservatório de calor a temperatura T e o sistema pode trocar energia com o reservatório. Desta forma, T, N e V são variáveis fixas. No ensemble grande canônico, o sistema pode trocar part´ıculas e energia com o reservatório. Neste caso, T, V e o potencial qu´ımico, µ, são variáveis fixas. Ao longo desta disserta¸cão usaremos apenas o ensemble canônico para descrever nosso sistema.

A fun¸cão de parti¸cão da mecânica estat´ıstica é o tra¸co da matriz densidade do sistema, que no ensemble canônico é dada por:

Z =T r ρ=T r e−βH_,

onde H ´e a hamiltoniana do sistema e β representa o inverso da temperatura de equil´ıbrio (estamos assumindo que a constante de Boltzmann k = 1, caso contr´ario,

β = 1/kT).

(19)

5

estáticos em equil´ıbrio [6]. Neste formalismo, a fun¸cão de parti¸cão é representada por uma integral de trajetória onde a a¸cão é definida no espa¸co euclidiano e o tempo é integrado num intervalo finito, em que o limite do tempo é igual ao inverso da temperatura. Além disso, as variáveis de campo desta a¸cão euclidiana devem satis-fazer condi¸cões periódicas ou antiperiódicas de per´ıodoβ, conforme estejamos lidando com bósons ou férmions, respectivamente. O formalismo de Matsubara fornece uma maneira de avaliar a fun¸cão de parti¸cão de forma perturbativa usando o método da expansão semiclássica.

O que faremos neste trabalho ser´a estudar um modelo de s´oliton 1₍_λφ4_{) em duas}

dimensões a temperatura finita e determinar a corre¸cão à sua energia devido a flu-tua¸cões quânticas e térmicas. Primeiro analisaremos o modelo puramente bosônico e depois veremos como se comporta quando o acoplamos a um campo fermiônico. Isto foi feito no trabalho [7] em quatro dimensões.

A disserta¸cão está organizada como segue. No cap´ıtulo 2, fazemos uma introdu¸cão aos sólitons e apresentamos o modelo a ser estudado,λφ4_{. No cap´ıtulo 3 é desenvolvido}

o formalismo de integrais de trajetória e temperatura finita de tal forma a quantizar o modelo. No cap´ıtulo 4 é feita a corre¸cão da massa quântica a temperatura zero e o cálculo das flutua¸cões a temperatura finita. Finalmente, no cap´ıtulo 5 é feita a corre¸cão da massa quântica, a temperatura zero, do modelo λφ4 _{acoplado a campo fermiônico}

e o cálculo das flutua¸cões a temperatura finita. Os apêndices contêm alguns detalhes sobre os cálculos e demonstra¸cão de fórmulas importantes utilizados no decorrer da disserta¸cão.

1_{Na verdade, este modelo ´e uma}_{onda solit´}_aria_{, mas na literatura convencionou-se cham´}_{a-lo tamb´em}

(20)

(21)

2. Uma introdu¸

c˜

ao aos s´

olitons

Como foi explicado na introdu¸cão, do ponto de vista matemático, sólitons são solu¸cões clássicas localizadas de equa¸cões não lineares de campo. Em referenciais em repouso são estáticos e em referenciais em movimento constituem pulsos de en-ergia se propagando com velocidade uniforme e sem dissipa¸cão, ou seja, a densidade de energia em um certo ponto não se anula quando o tempo tende a infinito. Neste cap´ıtulo apresentaremos em detalhe o modelo λφ4_{. Este modelo teórico é bastante}

simples e possui um ´unico campo escalar,φ, em 1 + 1 dimens˜oes.

2.1. Uma breve vis˜

ao geral

Consideremos um campo escalar φ(x, t) em duas dimens˜oes governado por uma densidade lagrangiana:

L= 1 2( ˙φ)

2₋ 1

2(φ

′₎2₋_U₍_φ₎_, _(2.1)

onde (_·) e (′_{) representam diferencia¸c˜ao com respeito ao tempo e ao espa¸co (vari´avel}

x), respectivamente. A velocidade da luz é definida como 1. O ‘potencial’, U(φ), é qualquer fun¸cão deφ que tende a zero para um valor (ou vários) deφ.

Podemos determinar a equa¸c˜ao de movimento aplicando a esta Lagrangiana a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange:

∂µ

∂_L ∂(∂µφ) −

∂_L

(22)

onde o ´ındice µ= 0,1. Obtemos ent˜ao:

✷φ≡φ¨−φ′′=−∂U

∂φ(x, t). (2.3)

Esta é nossa equa¸cão de onda, cujos termos não lineares dependem da escolha de U(φ). Quandot varia, a energia total, E, é conservada e dada por:

E[φ] = Z ∞

−∞

dx

1 2( ˙φ)

2₊1

2(φ

′₎2₊_U₍_φ₎

. (2.4)

Suponhamos que o ‘potencial’ U(φ) pode assumir valores m´ınimos (que tamb´em correspondem aos seus zeros) em M _≥1 pontos. Ou seja:

U(φ) = 0 para φ=gi_; _i_{= 1}_{, ..., M.} _(2.5)

A energia, E[φ], também é minimizada quando o campo φ(x, t) é constante no espa¸co-tempo e assume qualquer um destes valores. Ou seja:

E[φ] = 0 para φ(x, t) =gi; i= 1, ..., M. (2.6)

Estamos interessados apenas em solu¸c˜oes est´aticas. Neste caso (2.3) se reduz a

φ′′₍_x₎_≡ d2φ

dx2 =

dU

dφ(x). (2.7)

Uma onda solitária (ou sóliton) deve possuir energia finita e uma densidade de energia localizada. Em vista de (2.5) o campo de um sóliton deve se aproximar, quando x → ±∞, a algum dos valores gi_{. Se} _U₍_φ_{) possuir um ´}_{unico m´ınimo em}

φ =g, então nossa solu¸cão estática deve ter φ _→ g quando x_{→ ±∞}. Caso existam m´ınimos degenerados (M >1), entãoφ(x) pode tender a qualquer um dos valores de gi quando x→ −∞e, ao mesmo valor, ou mesmo outro valor quando x→+∞.

(23)

multiplicar-2.2 O modelo λφ4 ₉

mos ambos os lados por φ′ _{e integrarmos em x, teremos:}

Z

φ′φ′′dx= Z _dU

dφφ

′_dx _(2.8)

ou

1 2(φ

′₎2 ₌_U₍_φ₎_. _(2.9)

Tirando a raiz quadrada de (2.9):

dφ

dx =±[2U(φ)]

1

2. (2.10)

A equa¸c˜ao pode ser integrada mais uma vez, levando a:

x−x0 =±

Z φ(x)

φ(x0)

dφ¯

[2U( ¯φ)]12

, (2.11)

onde a constante de integra¸c˜aox0 corresponde a um ponto arbitr´ario no espa¸co em que

o campo tem valor φ(x0). A solu¸c˜ao φ(x) pode ser obtida, em princ´ıpio, integrando

(2.11) e invertendo o resultado.

2.2. O modelo

λφ

4

A seguir estudaremos a solu¸c˜ao “kink” (e antikink) da teoria λφ4_{. Neste caso, a}

densidade lagrangiana tem a forma de (2.1) com

U(φ) = λ 4(φ

2₋_m2_/λ₎2_, _(2.12)

onde λ e m2 _{s˜ao constantes positivas.}

O potencial U(φ) possui dois m´ınimos degenerados (Veja figura 2.1), dados por:

(24)

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

Φ

0.01 0.02 0.03 UHΦL

Figure 2.1.: Gr´afico do potencial do modelo λφ4 para λ = 0,1 e m2/λ= 1.

A densidade de energia se anula quando φ(x, t) assume algum destes valores, que representam vácuos da teoria. Solu¸cões solitônicas, caso existam, devem tender a algum destes valores quando x→ −∞ e a outro valor ou mesmo quandox→+∞.

Neste caso, teremos quatro configura¸c˜oes poss´ıveis dadas por:

V´acuo→

φ(x) = −m/√λ para x→ −∞;

φ(x) = ₋m/√λ para x_→+_∞. (2.14)

V´acuo→

φ(x) = +m/√λ para x→ −∞;

φ(x) = +m/√λ para x→+∞. (2.15)

Setor kink_→

φ(x) = ₋m/√λ para x_{→ −∞};

φ(x) = +m/√λ para x→+∞. (2.16)

Setor antikink_→

φ(x) = ₋m/√λ para x_→+_∞;

φ(x) = +m/√λ para x_{→ −∞}. (2.17)

Nos primeiros dois casos temos os v´acuos da teoria. No terceiro setor, a fun¸c˜ao φ(x) deve ir de₋m/√λa +m/√λquandox vai de_−∞a +_∞. Por continuidade do campo, deve haver pelo menos um ponto no espa¸co, x0, tal que φ(x0) = 0. Como U(0) 6= 0,

a energia potencial na vizinhan¸ca de x0 não é nula. A solu¸cão da equa¸cão clássica de

(25)

2.2 O modelo λφ4 ₁₁

λφ4_{. O quarto setor, conhecido como antikink, representa a configura¸c˜ao contr´aria,}

em que a fun¸c˜aoφ(x) deve ir de₋m/√λ a +m/√λ quando x vai de +_∞ a_−∞.

Cada um destes setores est´a associado a uma carga topol´ogica constante definida da seguinte forma [2]:

Q= (√λ/m) [φ(x=_∞)₋φ(x=_−∞)]. (2.18)

A carga dos setores vácuo é dada por Q = 0, no caso do kink, Q = 1 e, para o antikink, temos Q =₋1. Setores com cargas topológicas distintas não podem decair uns nos outros devido à energia ser finita. Assim, podemos concluir que as solu¸cões são estáveis. A seguir vamos determinar as solu¸cões da equa¸cão de movimento.

A equa¸cão de movimento estática (2.7) é dada por:

φ′′ ₌_dU/dφ ₌_λφ3

−m2φ (2.19)

e pode ser resolvida usando (2.11), neste caso:

x−x0 =±

Z φ(x0)

φ(x)

dφ¯

p

λ/2 ( ¯φ2₋_m2_/λ₎. (2.20)

Escolhendo φ(x0) = 0, integrando em ¯φ e invertendo o resultado, obtemos:

φk(a)(x) =±(m/

√

λ) tanhhm(x₋x0)/

√

2i. (2.21)

O sinal _± indica que há duas ondas solitárias: o “kink” (com o sinal positivo) e o “antikink”. Pode se verificar que esta solu¸cão tende aos valores assintóticos φ =

±m/√λ como deveria. Para melhor entendimento observe o gr´afico da solu¸c˜ao kink na figura 2.2 a seguir:

(26)

-15 -10 -5 5 10 15

x

-1.0

-0.5 0.5 1.0

ΦHxL

Figure 2.2.: Gr´afico da solu¸c˜ao kink para λ = 0,1 e m2_/λ_{= 1.}

-15 -10 -5 5 10 15 x

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Ε

Figure 2.3.: Gr´afico da densidade de energia do kink paraλ = 0,1 e m2_/λ_{= 1.}

por:

ε= 1 2(φ

′₎2₊_U₍_φ

k) = 2U(φk)

ε= (m4/2λ)sech4hm(x₋x0)/

√

2i.

(2.22)

A energia total do kink, ou massa para o caso est´atico, ´e dada por:

Mcl = Z _∞

−∞

dx ε= m

4

2λ

Z _∞

−∞

dx sech4hm(x₋x0)/

√

2i = m

4

2λ

Z ∞

−∞

dx sech2hm(x₋x0)/

√

2i 1₋tanh2[m(x₋x0)/

√

2]

= m

4

2λ

√

2

m

tanhhm(x₋x0)/

√

2i₋ 1 3tanh

3h_m₍_x

−x0)/

√

2i

+∞

−∞

= 2

√

2 3

m3

λ ,

(27)

2.2 O modelo λφ4 ₁₃

ou seja:

Mcl = 2√2

3

m3

λ . (2.24)

Este resultado é a massa clássica do sistema, que seria exata se descontados os efeitos quânticos1_.

Como o sistema é relativ´ıstico e invariante de Lorentz, podemos obter a solu¸cão dependente do tempo fazendo uma transforma¸cão de Lorentz na solu¸cão estática do kink 2.21. Obtem-se:

φu(x) =

m λ tanh

m

√

2

(x−x0)−ut

√

1₋u2

, (2.25)

onde 1> u > −1 ´e a velocidade. Assim, a energia total do kink ´e dada por:

E[φu] = Z _∞

−∞

dx

1 2( ˙φu)

2₊1

2(φ

′

u)2+U(φu)

= √Mcl

1−u2, (2.26)

onde Mcl é a energia do kink estático. Observa-se que a rela¸cão entre 2.26 e 2.24 é a mesma que a equa¸cão massa-energia de Einstein para uma part´ıcula.

1_{A dimens˜}_{ao da constante}_λ_{´e [}_M2_{] e, portanto, a dimens˜}_{ao de}_M

(28)

(29)

3. Teoria de Campos a temperatura

finita

Neste cap´ıtulo apresentamos o formalismo de integrais funcionais (se¸cão 3.1) em Teo-ria de Campos, que será utilizado para representar a fun¸cão de parti¸cão da Mecânica Estat´ıstica (se¸cão 3.2), tecendo, assim, um paralelo entre ambas as teorias. Isto será feito para o caso puramente bosônico. Na se¸cão 3.3 será mostrado um método de aproxima¸cão muito utilizado para determinar o valor da fun¸cão de parti¸cão: a aprox-ima¸cão de fase estacionária.

3.1. O formalismo de integrais funcionais

Integrais funcionais em teoria de campos correspondem a generaliza¸cões de integrais de trajetória na mecânica quântica não relativ´ıstica.

Vamos estudar o exemplo simples de um sistema não relativ´ıstico com um grau de liberdade, ou seja, uma part´ıcula se movendo livremente ou sob a influência de um potencial em uma dimensão espacial. Segundo a formula¸cão de Hamilton da mecânica clássica, o sistema é descrito por uma coordenada espacialq e a coordenada do momento canonicamente conjugadop [8]. Sob quantiza¸cão canônica as coordenadas são representadas por operadores que obedecem a seguinte rela¸cão de comuta¸cão:

(30)

Os autoestados dos operadores, no formalismo de Schr¨oedinger, s˜ao dados por: ˆ

q|qi =q|qi

ˆ

p_|p_i =p_|p_i (3.2)

e obedecem `as seguintes rela¸c˜oes de completeza e ortogonalidade:

hq′_|_q_i ₌_δ₍_q′₋_q₎

R

dq|qi hq| = 1 (3.3)

e

hp′_|_p_i _{= 2}_π~_δ₍_p′ ₋_p₎

R dp

2π~|pi hp| = 1.

(3.4)

A representa¸c˜ao no espa¸co de coordenadas do autoestado do momento ´e uma onda plana:

hq_|p_i=eipq/~

. (3.5)

O estado quântico do sistema é descrito por um vetor _|ψ(t)_ino espa¸co de Hilbert e a fun¸cão de onda correspondente no espa¸co de coordenadas é dada por:

ψ(q, t) = hq|ψ(t)i, (3.6)

que obedece à equa¸cão de Schröedinger:

i~∂

∂tψ(q, t) = Hψ(q, t). (3.7)

A fun¸c˜ao de ondaψ(q,0) em t= 0 evolui para t =T da seguinte maneira:

ψ(q, T) =e−iHT /~

ψ(q,0). (3.8)

No formalismo de Heisenberg os operadores dependem do tempo e satisfazem a equa¸c˜ao de Heisenberg [9]:

(31)

3.1 O formalismo de integrais funcionais 17

Assim, a evolu¸c˜ao temporal de um operador de coordenadas ´e dada por:

ˆ

qH(t) =ei ˆ Ht/~

ˆ

q e−iHt/ˆ ~ (3.10)

Tal operador possui autoestados dados por:

ˆ

qH|q, ti=q|q, ti, (3.11)

que evoluem no tempo de acordo com

|q, ti=eiHt/ˆ ~|q,0i. (3.12)

Além disso, |q, ti obedecem às mesmas rela¸cões de completeza e ortogonalidade que

|qi:

hq′_{, t}_|_{q, t}_i ₌_h_q′_|_e−iHt/ˆ ~

eiHt/ˆ ~

|qi=hq′_|_q_i₌_δ₍_q′₋_q₎

R

dq|q, ti hq, t| =R dq eiHt/ˆ ~

|qi hq|e−iHt/ˆ ~

=eiHt/ˆ ~

e−iHt/ˆ ~

= 1.

(3.13)

A amplitude de probabilidade de uma part´ıcula num estado _|q, t_i passar para um estado|q′_{, t}′_i_{, ou sua amplitude de transi¸c˜ao, ´e dada por:}

hq′_{, t}′_|_{q, t}_i₌_h_q′_|_e−iHˆ(t′₋_t₎_/~

|q_i. (3.14)

O formalismo de integrais de trajetória permite calcular a amplitude de transi¸cão a partir da Hamiltoniana clássica. A seguir vamos ver como obter este resultado.

Primeiramente vamos substituir o intervalo de tempo [t′_{, t}_{] por pontos equidistantes}

tn com

tn−tn−1 =ǫ, onde t′−t=N ǫ.

(32)

forma:

hq′, t′|q, ti= Z

dqN−1. . .

Z

dq2

Z

dq1hq′, t′|qN−1, tN−1i · · · × hq2, t2|q1, t1i hq1, t1|q, ti.

(3.15) Cada um dos elementos da integral pode ser aproximado da seguinte forma:

hqn+1, tn+1|qn, tni=hqn+1|e−i ˆ H(ˆp,qˆ)ǫ/~

|qni=hqn+1|1−

iǫ

~Hˆ(ˆp,qˆ)|qni+O(ǫ

2₎

=hqn+1|qni −

iǫ

~ hqn+1|Hˆ(ˆp,qˆ)|qni+O(ǫ

2₎_,

(3.16)

onde ǫ << 1.

Vamos calcular os elementos de matriz da hamiltoniana H, temos:

hqn+1|Hˆ(ˆp,qˆ)|qni= Z

dpn

2π~hqn+1|pni hpn|Hˆ(ˆp,qˆ)|qni=

Z

dpn

2π~hqn+1|pni hpn|qniH(pn, qn)

= Z

dpn 2π~e

ipnqn+1/~_e−ipnqn/~_H₍_p

n, qn) = Z

dpn 2π~e

ipn(qn+1−qn)/~_H₍_p n, qn). (3.17) Ent˜ao:

hqn+1, tn+1|qn, tni=hqn+1|qni −

iǫ

~ hqn+1|Hˆ(ˆp,qˆ)|qni+O(ǫ

2₎

= Z

dpn 2π~e

ipn(qn+1−qn)/~

1− iǫ_~H(pn, qn)

+O(ǫ2).

(3.18)

Fazendo agora o limite N → ∞e ǫ→0, podemos reescrever 3.15 da seguinte forma:

hq′, t′|q, ti= lim N→∞

Z N−1

Y

n=1

dqn N−1

Y

n=0

dpn 2π~ exp

iǫ

~

N−1

X

n=0

pn

qn+1−qn

ǫ

!

×

N−1

Y

n=0

1−iǫ_~H(pn, qn)

.

(3.19)

O integrando desta equa¸c˜ao pode ser reescrito da seguinte forma (levando em conta que ǫ <<1):

hq′_{, t}′_|_{q, t}_i_{= lim}

N→∞

Z N−1

Y

n=1

dqn N−1

Y

n=0

dpn 2π~ exp

"

iǫ

~

N−1

X

n=0

pn

qn+1−qn

ǫ −H(pn, qn)

#

.

(33)

3.1 O formalismo de integrais funcionais 19

Podemos reescrever 3.20 utilizando a seguinte nota¸c˜ao: N−1

Y

n=1

dqn→ Z

Dq e

N−1

Y

n=0

dpn 2π~ →

Z

Dp. (3.21)

Al´em disso, com os limites N _{→ ∞} e ǫ _→ 0, podemos transformar os termos da exponencial da seguinte forma:

qn+1−qn

ǫ →q˙(tn) , ǫ

N−1

X

n=0

f(tn)→ Z t′

t

dτ f(τ). (3.22)

Assim, a express˜ao da amplitude de transi¸c˜ao fica dada por:

hq′_{, t}′_|_{q, t}_i₌

Z

Dq

Z

Dpexp "

i

~

Z t′

t

dτ(pq˙₋H(p, q)) #

, (3.23)

que possui como condic˜oes de contorno q(t) = q e q(t′_{) =}_q′_.

Muito frequentemente, a hamiltoniana do sistema possui uma dependˆencia quadr´atica no momento, da seguinte forma:

H(p, q) = 1 2mp

2₊_V₍_q₎_. _(3.24)

Desta forma, o termo contido na exponencial em 3.23 corresponde `a pr´opria la-grangiana do sistema, tal que:

L_≡pq˙₋H(p, q). (3.25)

Neste caso, podemos realizar as integrais nos momentos separadamente [10] e obter uma integral apenas nas coordenadas, que ´e a forma inicialmente proposta por Feyn-man, dada por:

hq′_{, t}′_|_{q, t}_i₌_N

Z

Dq exp "

i

~

Z t′

t

dτ L

#

. (3.26)

(34)

campo escalar neutro φ(x), ´e dada por:

hφf, tf|φi, tii=hφf|e−i(tf−ti) ˆH/

~ |φii

= Z

Dφ

Z

Dπ exp

i

~

Z tf

ti

dt

Z

d3x(π∂0φ− H(π, φ))

= Z

Dφ

Z

Dπ exp

i

~

Z tf

ti

dt

Z

d3xL(φ,φ˙)

,

(3.27)

ondeLé a densidade lagrangiana do sistema eπ = _∂₍∂_∂L₀_φ₎ é o momento canonicamente conjugado a φ. As condi¸cões de contorno são dadas por φ(x, tf) =φf(x) e φ(x, ti) =

φi(x).

Caso a densidade hamiltoniana _H tenha uma dependˆencia quadr´atica na “veloci-dade”, como, por exemplo:

H= 1 2π

2₊1

2φ

′2₊_V₍_φ₎_, _(3.28)

ent˜ao podemos executar a integral dependente deπseparadamente [10] e 3.27 se torna:

hφf, tf|φi, tii=N Z

Dφexp

i

~

Z tf

ti

dt

Z

d3xL(φ,φ˙)

, (3.29)

onde

L= 1 2∂µφ ∂

µ_φ

−V(φ). (3.30)

3.2. Representa¸

c˜

ao da fun¸

c˜

ao de parti¸

c˜

ao em integrais

funcionais

Nesta se¸c˜ao vamos ver como funciona a teoria de campos a temperatura finita para o caso de campos puramente bosˆonicos. A partir de agora consideraremos ~_{= 1.}

(35)

3.2 Representa¸cão da fun¸cão de parti¸cão em integrais funcionais 21

se determinar efeitos de temperatura é o cálculo de sua fun¸cão de parti¸cão [11]:

Z =T re−βH = Z

dφahφa|e−βH|φai, (3.31)

onde

β = 1

kT, (3.32)

sendok a constante de Boltzmann, que, a partir de agora consideraremos comok= 1. O tra¸co significa somar sobre todas as configura¸cões de campo que o sistema pode ter. Observa-se que a fun¸cão de parti¸cão Z é bastante similar à amplitude de transi¸cão 3.27:

hφf, tf|φi, tii=hφf|e−i(tf−ti) ˆH|φii =

Z

Dφ

Z

Dπexp

i

Z tf

ti

dt

Z

d3x(πφ˙− H)

. (3.33)

De fato, podemos expressar Z como uma integral funcional sobre campos e seus momentos conjugados se fizermos as seguintes mudan¸cas:

1. Fa¸camos β = i(tf −ti). Como a origem do tempo ´e arbitr´aria, podemos fazer

ti = 0 etf =−iβ. Nosso tempo é uma variável imagináriaτ =it, ou seja, apenas fizemos uma rota¸cão de Wick passando para o espa¸co euclidiano de coordenadas (x4 =ix0).

2. Fa¸camos φi = φf = φa , ou seja, as configura¸cões inicial e final do campo são iguais, e, como diferem por um “tempo” β, temos uma configura¸cão periódica, onde φ(x, t) = φ(x, t+β) é a condi¸cão de contorno a ser seguida pela integral funcional.

Tomemos como exemplo a lagrangiana 3.30 somada a um termo de massa: ₋m2_φ2_/_2.

Temos que a a¸c˜ao correspondente no espa¸co de Minkowski ´e dada por:

SM = Z

d4xLM = Z

d4x

1 2(∂µφ)

2

− 1

2m

2_φ2₋_V₍_φ₎

(36)

Após a rota¸cão de Wick (x0 =−ix4, xi =xiE), esta expressão toma a forma [12]:

i

Z

d4xELE =i Z

d4xE

1

2(∂Eµφ)

2

+ 1 2m

2_φ2₊_V₍_φ₎

. (3.35)

Seguindo esta mudan¸ca e, observando que o “tempo” agora varia de 0 a β, podemos escrever Z como:

Z = Z

Dπ

Z

Dφ exp

−

Z β

0

dτ

Z

d3x(iπφ˙_{− H})

. (3.36)

Para o caso de uma lagrangiana com dependência quadrática na “velocidade”, a fun¸cão de parti¸cão pode ser reescrita como [13]:

Z =N

Z

Dφ exp

−

Z β

0

dτ

Z

d3xLE

=N

Z

Dφ e−SE(φ)_, _(3.37)

onde SE ´e a a¸c˜ao euclidiana do sistema.

Expressamos Z como uma integral funcional sobre um campo φ periódico e cuja exponencial possui variável temporal imaginária. A constante de normaliza¸cão N

é irrelevante, já que a multiplica¸cão de Z por qualquer constante não altera a ter-modinâmica do sistema [13].

3.2.1. Periodicidade

Consideremos uma onda plana bosˆonica no espa¸co dos momentos:

φ(x, τ) = ei(k.x+ωnτ)_φ

n(k). (3.38)

Para uma fun¸cão periódica arbitrária, definida no intervalo 0≤ τ ≤β, as frequências discretas ωn podem assumir os valores ωn = 2nπ/β. Isto segue da defini¸cão do tra¸co na fun¸cão de parti¸cão 3.31.

(37)

3.3 Aproxima¸c˜ao de fase estacion´aria 23

Green t´ermica definida como [14]:

G(x, y;τ,0) = Z−1T rnρˆThφˆ(x, τ) ˆφ(y,0)io, (3.39)

onde ˆρ=e−β H _e_T_{representa o operador produto ordenado, que para b´osons ´e definido} como 1_:

Thφˆ(τ1) ˆφ(τ2)

i

=θ(τ1 −τ2) ˆφ(τ1) ˆφ(τ2) +θ(τ2−τ1) ˆφ(τ2) ˆφ(τ1). (3.40)

Usando o fato de que Tcomuta com ˆρ e a propriedade c´ıclica do tra¸co, temos:

GB(x, y;τ,0) =Z−1T r h

e−β Hφˆ(x, τ) ˆφ(y,0)i =Z−1_{T r}h_φ_ˆ₍_y,₀₎_e−β H_φ_ˆ₍_{x, τ}₎i

=Z−1_{T r}h_e−β H_eβ H_φ_ˆ₍_y,₀₎_e−β H_φ_ˆ₍_{x, τ}₎i =Z−1T rhe−β Hφˆ(y, β) ˆφ(x, τ)i

=Z−1_{T r}n_ρ_Th_φ_ˆ₍_{x, τ}_{) ˆ}_φ₍_{y, β}₎io_.

(3.41)

Isto implica emφ(y,0) =φ(y, β) e, portanto, ωn = 2nπ/β.

3.3. Aproxima¸

c˜

ao de fase estacion´

aria

Integrais da forma

I ≡

Z

dx e−a(x) (3.42)

podem ser aproximadas expandindo a(x) em torno de um ponto x0 em que a(x) ´e

estacion´aria, isto ´e, em que a′₍_x

0) = 0.

Com isso temos:

a(x)_≈a(x0) +

1

2(x−x0)

2_a′′₍_x

0) +. . . , (3.43)

1_θ _{representa a fun¸c˜}_{ao degrau, igual a 1 para um argumento positivo e 0 para um argumento}

(38)

de onde segue que:

I ≈e−a(x0)

Z

dx e−12(x−x0)2a

′′₍_x

0)_. _(3.44)

Desta forma chegamos a uma integral gaussiana (para a′′₍_x

0) > 0) f´acil de ser

resolvida.

Vamos aplicar este método para avaliar as fun¸cões de parti¸cão. Consideremos o gerador funcional definido no espa¸co euclidiano, que corresponde também à fun¸cão de parti¸cão do sistema, dado por [15]:

Z =N

Z

Dφ e−SE[φ,J]_, _(3.45)

onde

SE[φ, J] = Z

d4x

1 2(∂µφ)

2₊ 1

2m

2_φ2₊_V₍_φ₎

−Jφ

, (3.46)

sendo J ´e uma fonte externa.

Expandindo a a¸c˜ao em torno de um pontoφ0, teremos:

SE[φ, J] =SE[φ0, J] +

Z

d4xδSE δφ

φ0

(φ₋φ0) +

1 2

Z

d4x

Z

d4y δ

2_S E

δφ(x)δφ(y)

φ0

(φ₋φ0)x(φ−φ0)y +O(φ−φ0)p,

(3.47) onde p≥3.

Se SE for estacionária em φ0, então φ0 obedece à equa¸cão clássica de movimento

dada por:

δSE

δφ

φ0

(39)

3.3 Aproxima¸c˜ao de fase estacion´aria 25

Assim:

SE[φ, J] =SE[φ0, J]

+1 2

Z

d4x

Z

d4y −✷yδ4(x−y) +m2δ4(x−y) +

d2_V

dφ(x)dφ(y)

φ0

δ4(x−y)×

(φ₋φ0)x(φ−φ0)y +O(φ−φ0)p

=SE[φ0, J] +

1 2

Z

d4x(φ₋φ0)x −✷+m2+V′′(φ0)

(φ₋φ0)x+O(φ−φ0)p.

(3.49) Portanto:

Z =N

Z

Dφ e−SE[φ,J]

≈N e−SE[φ0,J]

Z

Dφ exp

−1₂

Z

d4x(φ₋φ0) −✷+m2+V′′(φ0)

(φ₋φ0)

×

exp [O(φ−φ0)p].

(3.50)

Se desprezarmos os termos com p≥3, teremos uma integral gaussiana dada por:

Z _≈N e−SE[φ0,J]

Z

Dφ exp

−1₂

Z

d4x(φ₋φ0) −✷+m2+V′′(φ0)

(φ₋φ0)

,

(3.51) cuja solu¸cão é (Veja apêndice A.1):

Z =N e−SE[φ0,J]_det₋_✷₊_m2₊_V′′₍_φ

0) − 1/2

. (3.52)

Podemos reescrever esta express˜ao usando a identidade:

det ˆA=eln det ˆA, (3.53)

como

Z =N e−SE[φ0,J]−₂1ln det[−✷+m2₊_V′′₍_φ

0)]_. _(3.54)

(40)

gerador no espa¸co euclidiano ´e dado por [16]:

Z(J) = e−W(J), (3.55)

onde W(J) corresponde ao funcional gerador das fun¸cões de Green conexas. Tendo isto em mente, se observarmos a equa¸cão 3.54, veremos que estamos determinando corre¸cões a W(J), ou seja:

W(J) = SE[φ0, J] +

1 2ln det

−✷+m2 +V′′(φ0)

. (3.56)

O primeiro termo ´e o resultado cl´assico de ordem ~0_{, o segundo termo corresponde}

à primeira corre¸cão quântica de ordem ~_{. Esta aproxima¸cão é chamada de expansão}

(41)

4. Corre¸

c˜

ao quˆ

antica da massa do

kink no modelo

λφ

4

Neste cap´ıtulo fazemos o cálculo das flutua¸cões bosônicas do modelo λφ4_{. Na se¸cão}

4.1 apresentamos a fun¸cão de parti¸cão do modelo para o caso do vácuo e do kink e mostramos como determinar seu valor utilizando o método da aproxima¸cão de fase estacionária apresentado no cap´ıtulo anterior. Na se¸cão 4.2 é feito o cálculo das flu-tua¸cões bosônicas a temperatura zero. Na se¸cão 4.3, através da técnica de renormal-iza¸cão, obtemos um resultado finito para as flutua¸cões. Finalmente, na se¸cão 4.4 são determinadas as flutua¸cões a temperatura finita.

4.1. Quantiza¸

c˜

ao do modelo

λφ

4

A partir de agora vamos atuar no espa¸co euclidiano em 1 + 1 dimens˜oes. O primeiro a ser feito ´e transformar a lagrangiana do nosso modeloλφ4 _{para o espa¸co euclidiano.}

Para isso devemos aplicar as seguintes rela¸c˜oes:

x0 =−ix4; ~x=x~E. (4.1)

A densidade lagrangiana no espa¸co de Minkowski ´e dada por 2.1:

LM = 1 2( ˙φ)

2₋ 1

2(φ

′₎2₋_U₍_φ₎_, _(4.2)

(42)

Assim, no espa¸co euclidiano, teremos:

L= 1 2( ˙φ)

2₊ 1

2(φ

′₎2₊_U₍_φ₎_, _(4.3)

onde, al´em de aplicar as transforma¸c˜oes 4.1, multiplicamos convenientemente por (₋1) (Veja 3.34 e 3.35).

A a¸c˜ao euclidiana ´e dada por:

S[φ(x, τ)] = Z β

0

dτ

Z

dx_L(φ(x, τ)). (4.4)

Conforme foi visto na se¸cão 3.2, a fun¸cão de parti¸cão para o caso de um campo escalar φ(x, τ) é dada por 3.37:

Z =T rhe−βHˆi =N

Z

Dφexp

−

Z β

0

dτ

Z

dxL

=N

Z

Dφ e−S[φ(x,τ)]. (4.5)

Precisamos, primeiramente, determinar as condi¸c˜oes de contorno no tempo e no espa¸co de φ(x, τ). No caso do tempo, como se trata de um campo escalar, este possui periodicidade, tal que, φ(x,0) = φ(x, β) (Veja se¸c˜ao 3.2.1).

Para o caso das condi¸c˜oes de contorno no espa¸co, devemos relembrar que o sistema

λφ4 _{possui quatro setores poss´ıveis de estados quˆanticos (Veja 2.16 e 2.17):}

φ(∞, τ) =±m/√λ e φ(−∞, τ) =±m/√λ

Desta forma, podemos determinar a fun¸cão de parti¸cão sobre cada setor separada-mente. Ou seja, na correspondente integral funcional, o campo φ(x, τ) deve obedecer às condi¸cões de contorno daquele setor. Se estamos interessados no setor do kink, os campos devem obedecer a:

(43)

4.1 Quantiza¸c˜ao do modelo λφ4 ₂₉

para todoτ.

O objetivo é determinar a fun¸cão de parti¸cão 4.5 através de uma aproxima¸cão semiclássica. Conforme foi visto anteriormente, a aproxima¸cão semiclássica de Z(φc) é obtida expandindo a a¸cão até termos quadráticos no expoente da integral funcional. Suponhamos, então, uma solu¸cão estável e estática do sóliton φ(x, τ) = φc(x). Va-mos expandir a a¸cãoS em torno deφc(x):

S[φ(x, τ)] =S[φc(x)] + Z

d2xδS δφ φc

(φ−φc) + 1 2

Z

d2x

Z

d2y δ

2_S

δφxδφy φc

(φ−φc)x(φ−φc)y +O(φ−φc)3.

(4.6) Como φc(x) é uma solu¸cão clássica, é, portanto, um extremo da a¸cão:

δS δφ φc = 0.

Desprezando os termos da ordem de (φ₋φc)3, temos:

S[φ(x, τ)] =S[φc(x)] + 1 2

Z

d2_x

Z

d2_y δ2S

δφxδφy

φc

(φ₋φc)x(φ−φc)y

=S[φc(x)] + 1 2

Z

d2xΦ[₋✷+ 3λφ2_c ₋m2]Φ =S[φc(x)] +

1 2

Z

d2xΦ ˆΩB(φc) Φ,

(4.7)

onde Φ = (φ−φc) e ˆΩB(φc) ´e o operador bosˆonico:

ˆ

ΩB(φc) =−✷+ 3λφ2c −m2. (4.8)

O resultado cl´assico ´e dado por S[φc(x)]:

S[φc(x)] = Z dx Z β 0 dτ ( 1

2(∂µφc)

2

+λ 4

φ2_c ₋ m

2

λ

2)

(4.9)

(44)

Z(φc) = exp{−S[φc(x)]} Z

DΦe−SB(Φ) = exp{−S[φc(x)]}

Z

DΦ exp

−1

2 Z

d2xhΦ ˆΩB(φc) Φ i

.

(4.10)

Lembrando que o “tempo” se extende de 0 a β = 1/T (Veja se¸c˜ao 3.2), sendoT a temperatura do sistema.

Vimos na se¸c˜ao 2.2 que o modelo estudado, λφ4_{, para ser mais exato o “kink” do}

sistema, corresponde a uma solu¸c˜ao cl´assica dada por 2.21:

φk(x) =

m/√λtanhhm(x₋x0)/

√

2i, (4.11)

al´em de seus valores assint´oticos dados por:

φk(∞) =−φk(−∞) =m/

√

λ, (4.12)

que representam os v´acuos da teoria.

O que importa fisicamente é a diferen¸ca entre as energias do kink e no vácuo. Em termos da fun¸cão de parti¸cão correspondente Z(φc), temos para a massa corrigida:

Mc =− 1

βln

Z(φk)

Z(φv)

. (4.13)

onde1

Z(φk) = exp{−S[φk(x)]} × Z

DΦ exp

−1

2 Z

d2xhΦ ˆΩB(φk)Φ i

= exp (

−

Z

d2x

" 1

2(∂µφc)

2

+λ 4

φ2_c ₋ m

2

λ

2#)

×

Z

DΦ exp

−1

2 Z

d2xhΦ ˆΩB(φk)Φ i

= exp[−βMcl]×

Chdet ˆΩB(φk)

i−1/2

,

(4.14)

(45)

4.2 Cálculo das flutua¸cões bosônicas a temperatura zero 31

em que Mcl = 2

√

2m3_/₃_λ _{é a massa clássica, já calculada na se¸cão 2.2, e}

Z(φv) = exp{−S[φv(x)]} × Z

DΦ exp

−1

2 Z

d2xhΦ ˆΩB(φv)Φ i

=Chdet ˆΩB(φv) i−1/2

,

(4.15)

onde S[φv(x)] = 0. Ent˜ao:

Mc =− 1

β ln

Z(φk)

Z(φv)

=₋1

β{lnZ(φk)−lnZ(φv)}

=−1

β

−βMcl+ lnC− 1

2ln det ˆΩB(φk)−lnC+ 1

2ln det ˆΩB(φv)

=Mcl + 1 2β

n

lnhdet ˆΩB(φk) i

−lnhdet ˆΩB(φv) io

=Mcl + ΓB,

(4.16)

onde ΓB é a primeira corre¸cão quântica.

Usando a identidade lndetAˆ=trln ˆA (Veja apˆendice B), teremos:

ΓB = 1 2β

n

trln ˆΩB(φk)−trln ˆΩB(φv) o

. (4.17)

Os autovalores deste operador ˆΩB(φc) representam as flutua¸cões bosônicas em torno da solu¸cão clássicaφc(x) que pode ser o kink ou o vácuo. O que importa é a diferen¸ca entre as energias.

4.2. C´

alculo das flutua¸

c˜

oes bosˆ

onicas a temperatura

zero

Nesta se¸cão vamos determinar o valor de 4.17, isto é, a contribui¸cão das flutua¸cões bosônicas à corre¸cão da massa.

O operador bosˆonico ´e dado por 4.8:

ˆ

(46)

Devemos calcular ln det ˆΩB(φc) e sabemos que o determinante de um operador é igual ao produto de seus autovalores. No caso do vácuo do modelo λφ4 _{a solu¸cão}

cl´assica ´e dada por:

φv =±m/

√

λ.

Vamos considerar o resultadoφv = +m/

√

λ, assim:

ˆ

ΩB(φv) =−✷+ 2m2. (4.19)

No vácuo, as autofun¸cões do operador bosônico correspondem a ondas planas, dadas por 2_:

φ(x, τ) = ei(k.x+ωnτ)_φ

n(k). (4.20)

Vamos considerar que as ondas est˜ao contidas numa caixa de comprimentoL, assim:

φ(₋L/2) =φ(L/2)

⇒e−ikL

2 =eik

L

2,

(4.21)

ent˜ao krL= 2πr (r= 0,±1,±2, . . .).

Para o caso da parte temporal, como estamos lidando com ondas peri´odicas, temos:

φ(τ) =φ(τ +β)

⇒eiωτ_ei2πn ₌_eiω(τ+β)_, (4.22)

ent˜ao: ωnβ = 2nπ (n= 0,±1,±2, . . .).

Portanto, os autovalores do operador bosônico no vácuo são dados por: ˆ

ΩBφ(x, τ) = εB(φv) φ(x, τ)

⇒εB(φv) = ωn2 +kr2+ 2m2.

(4.23)

Este resultado corresponde aos quanta da teoria, são flutua¸cões que existem ao redor do vácuo (excita¸cões do vácuo) e são comumente conhecidos como “mésons”. O valor

(47)

2m2 _{corresponde ao quadrado da massa da flutua¸c˜ao.}

Para o caso do kink, a solu¸cão estática é dada por 2.21:

φk(x) = (m/

√

λ) tanhhmx/√2i.

Substituindo na equa¸c˜ao 4.18, tal como foi feito para o v´acuo, temos:

ˆ

ΩB(φk) = −✷+ 2m2−3m2sech2

mx

√

2

. (4.24)

Ent˜ao,

ˆ

ΩB(φk) φ(x, τ) =εB(φk) φ(x, τ)

⇒

−✷+ 2m2−3m2sech2

mx

√

2

φ(x, τ) =εB(φk)φ(x, τ),

(4.25)

ondeεB s˜ao os autovalores do operador ˆΩB(φk). Se tentarmos uma solu¸c˜ao da forma:

φ(x, τ) = eiωnτ_φ

n(x), (4.26)

temos que a equa¸c˜ao puramente espacial ´e dada por:

−∂_x2+ 2m2₋3m2sech2

mx

√

2

φ(x, τ) = (εB−ω2n)φ(x, τ). (4.27)

Esta equa¸cão de autovalores é semelhante à equa¸cão de Schröedinger com o potencial dePoschl-Teller, resolvido em detalhe em [17]. Os autovalores são dados por dois n´ıveis discretos e um cont´ınuo:

εB(φk) =  



ω2 n

ω2

n+ 32m2

ω2

n+k′2+ 2m2

(4.28)

onde 2m2 _{corresponde ao quadrado da massa da flutua¸c˜ao bosˆonica e} _ω

nβ = 2nπ (n= 0,_±1,_±2, . . .), tal como no v´acuo.

(48)

zero” da teoria, ω0 = 0. Este valor será excluido dos cálculos, pois não contribui para

a massa do sóliton. A presen¸ca deste “modo zero” se refere à invariância translacional do kink (para mais detalhes veja [2] e [5]).

O valor dek′ _{´e determinado a partir das condi¸c˜oes de contorno na presen¸ca do kink.}

Colocando as ondas dentro de uma caixa de comprimento L e levando em conta o deslocamento de fase δ dos estados espalhados, teremos:

φ(−L/2) =φ(L/2)

⇒e−ik′L2 =eik

′L

2eiδ(k

′₎

,

(4.29)

ent˜ao k′

rL+δ(k′r) = 2rπ (r = 0,±1,±2, . . .).

O valor de δ ´e visto em detalhe em [17], [2] e [5] e dado por:

δ(k′) = 2 (

π−arctan "√

2k′

m

#

−arctan "√

2k′

2m

#)

. (4.30)

Determinadas as flutua¸cões bosônicas na presen¸ca do kink e no vácuo, podemos prosseguir ao cálculo de ΓB.

As condi¸cões de contorno no espa¸co para as flutua¸cões em torno do vácuo são dadas por:

krL= 2πr

⇒∆k = 2π

L.

(4.31)

FazendoL→ ∞, tem-se:

∞

X

r=−∞

f(kr) = X

r

f(kr)

L

2π∆k → L

2π

Z +∞

−∞

(49)

Para o caso do kink, temos:

krL+δ(kr) = 2πr

⇒∆kL+ dδ

dk∆k = 2π

⇒∆k

1 + 1

L dδ dk

= 2π

L.

Fazendo L_{→ ∞}, tem-se:

∞

X

r=−∞

g(kr) = X

r

g(kr)

L

2π∆k

1 + 1

L dδ dk

⇒ ₂L_π

Z +∞

−∞

g(k)

1 + 1

L dδ dk dk. (4.32)

Usando os autovalores do operador bosônico no vácuo e no kink, equa¸cões 4.23 e 4.28, respectivamente, teremos para 4.17:

ΓB = 1 2β

n

trln ˆΩB(φk)−trln ˆΩB(φv) o

= 1 2β

+∞

X

n=−∞

(

ln′ ωn2

+ ln

ωn2 + 3 2m

2

+ Z +∞

−∞

dk L

2π

1 + 1

L dδ dk

ln ωn2 +k2+ 2m2

−

Z +∞

−∞

dk L

2πln ω

2

n+k2+ 2m2 ) = 1 2β +∞ X

n=−∞

ln′ ω_n2+ ln

ω_n2 +3 2m

2

+

Z +∞

−∞

dk

2π dδ dk ln ω

2

n+k2+ 2m2

(4.33) O sinal em ln′(ω2

n) significa que o “modo zero” n˜ao est´a sendo levado em conta.

Com δ(k) dado por 4.30 temos:

dδ dk =

−m√2

m2_{+ 2}_k2 −

m√2

2m2₊_k2 =−m

√

2

1 2k2₊_m2 +

1

k2_{+ 2}_m2

(50)

E portanto:

ΓB= 1 2β

+∞

X

n=−∞

(

ln′ ω_n2+ ln

ω_n2+ 3 2m

2

−m√2 Z +∞

−∞

dk

2π

1 2k2₊_m2 +

1

k2_{+ 2}_m2

ln ω2_n+k2+ 2m2

)

.

(4.35) Usando na express˜ao acima, a identidade (Veja apˆendice C.1):

+∞

X

n=−∞

ln α2+ω_n2 =βα+ 2 ln 1₋e−βα₊

C,

e desprezando o modo zero (Veja apˆendice C.3), teremos:

ΓB = 1 2β

(

−2 ln 2 +β

r 3 2m

2_{+ 2 ln}₁₋_e−β√3₂m2

−m2√2 Z +∞

−∞

dk

2π

1 2k2 ₊_m2 +

1

k2_{+ 2}_m2

h

β√k2_{+ 2}_m2 _{+ 2 ln}₁₋_e−β√k2₊₂_m2i

)

⇒ΓB =− 1

β ln 2 +

1 2

r 3 2m

2₊ 1

βln

1₋e−β√3 2m2

−m√2 Z

dk

2π

1 2k2₊_m2 +

1

k2_{+ 2}_m2

√

k2_{+ 2}_m2 ₊ 2

β ln

1−e−β√k2+2m2.

(4.36) Esta express˜ao pode ser separada em uma parte dependente e outra independente da temperatura:

ΓB = ΓB(0) + ΓB(T), (4.37) onde 3

ΓB(0) = 1 2

r 3 2m

2₋_m√₂

Z _dk

4π

√

k2_{+ 2}_m2

k2₊_m2_/₂

| {z }

I1 + Z _dk 2π 1 √

k2_{+ 2}_m2

| {z }

I2

. (4.38)

Como podemos observar, as integraisI1eI2s˜ao divergentes. A seguir vamos

calcul´a-3_{O termo}_k2 _{corresponde apenas ao quadrado do m´odulo do momento}_k2₌

|~k2

(51)

4.3 Corre¸c˜ao da massa a temperatura zero 37

las por meio decut-off.

Temos que I1 ´e uma integral do tipo:

Z ∞

−∞

dk

√

k2₊_b

k2₊_a ,

resolvida em detalhes no apˆendice C.4. O resultado ´e dado por:

I1 =

1 2π

h√

3 arctan(√3) + ln Λ + ln 2₋ln√2m2i_,

onde Λ_{→ ∞}. Para I2 temos:

I2 =

Z Λ −Λ dk 2π 1 √

k2_{+ 2}_m2 =

Z Λ 0 dk π 1 √

k2_{+ 2}_m2 =

1

π

h

ln Λ + ln 2−ln√2m2i_.

Assim:

ΓB(0) =

m

2 r

3 2 −

m√2 2π

√

3 arctan(√3) + 3 ln Λ + 3 ln 2₋3 ln√2m2_. _(4.39)

Veremos na próxima se¸cão como renormalizar a divergência contida no logaritmo ln Λ.

4.3. Corre¸

c˜

ao da massa a temperatura zero

A densidade lagrangiana do modelo λφ4 _{no espa¸co euclidiano ´e dada por:}

L= 1 2(∂µφ)

2

+ λ 4

φ2₋ m

2

λ

2

. (4.40)

A lagrangiana renormalizada ´e dada por:

LR= 1

2(1 +A) (∂µφ)

2

+ 1 2 −m

2₊_B₊1

4(λ+C)φ

4₊

m4

4λ +H

(4.41)

(52)

solu¸c˜ao cl´assica φc separamos os campos na forma:

φ=φc+ Φ (4.42)

onde se assume um fator de ~12 multiplicando Φ. Analogamente, os contratermos que

contribuem para a expans˜ao em 1 loop carregam um fator de ~_.

Substituindo 4.42 em 4.41 e mostrando os fatores de~_{, teremos:}

LR=~0

−1

2φc∂

2 µφc−

1 2m

2_φ2₊ λ

4φ 4 c + m4 4λ

+~1/2 ₋_∂_µ2_φ_c₋_m2_φ_c₊_λφ3_c_Φ

+~

−1₂Φ∂_µ2Φ₋ 1 2m

2_Φ2₊3

2λ φ

2 cΦ2−

A

2φc∂

2 µφc +

B 2φ 2 c + C 4φ 4 c +H

+~3/2 _{λ φ}_c_Φ3₋_{A φ}_c_∂2

µΦ +B φcΦ +C φ3cΦ

+~2

λ

4Φ

4 ₋A

2Φ∂

2 µΦ +

B

2Φ

2₊ 3

2C φ

2 cΦ2

(4.43)

Observa-se que o termo proporcional a ~1/2 _{corresponde `a equa¸c˜ao de movimento}

do s´oliton, 2.19, e, portanto, se anula.

Para determinar os contratermos na aproxima¸cão de 1 loop impomos as seguintes condi¸cões de renormaliza¸cão:

  

 

Γ(1) _{= 0}

Γ(2)₍_p2 _{= 0) = 2}_m2 dΓ(2)

dp2

(p2₌₀₎ = 1

(4.44)

Onde Γ(1) _{e Γ}(2) _{s˜ao as fun¸c˜oes de Green 1PI} 4 _{de um ponto e dois pontos,}

re-spectivamente, calculadas na aproxima¸cão de 1 loop no setor do vácuo, isto é, para

φc =φv =m/

√

λ (Veja apˆendice F.1).

A fun¸cão de parti¸cão bosônica na presen¸ca dos contratermos é dada por:

Z(φc) = exp{−S[φc(x)]−SCT(φc)} Z

(53)

4.3 Corre¸c˜ao da massa a temperatura zero 39

onde à fun¸cão de parti¸cão 4.10 foi adicionada a a¸cão correspondente aos contratermos

SCT.

Como estamos fazendo uma aproxima¸cão semiclássica, apenas termos de LR pro-porcionais a ~_{são utilizados em} _S_CT_{, assim:}

SCT(φc) = Z

d2x

A

2 (∂µφc)

2

+B 2φ

2 c +

C

4φ

4 c

. (4.46)

Como o que importa ´e a diferen¸ca entre as energias do kink e no v´acuo, temos:

ΓCT =− 1

β ln

ZCT(φk)

ZCT(φv)

, (4.47)

onde φk eφv correspondem às solu¸cões do kink e do vácuo, respectivamente, e

ZCT(φc) = e−SCT(φc).

Levando a cabo esta conta, teremos:

SCT(φk) = Z β

0

dτ

Z +∞

−∞

dx

"

A m4

4λ sech

4_mx/√₂₊ B m2

2λ

1₋sech2mx/√2

+C m

4

4λ2

1₋2sech2(mx/√2) +sech4(mx/√2) #

(4.48) e

SCT(φv) = Z β

0

dτ

Z +∞

−∞

dx

B

2

m2

λ + C

4

m4

λ2

(54)

Ent˜ao:

ΓCT =− 1

β ln

ZCT(φk)

ZCT(φv)

=₋1

β ln

e−SCT(φk)

e−SCT(φv)

=−1

β

(

−β

Z +∞

−∞

dxhAm

4

4λ sech

4_mx/√₂₊Bm2

2λ

1−sech2mx/√2

+ Cm

4

4λ2

1₋2sech2(mx/√2) +sech4(mx/√2) i+β

Z +∞

−∞

dx

Bm2

2λ + Cm4

4λ2

)

= Z +∞

−∞

dxhAm

4

4λ sech

4₍_mx/√₂₎₋ Bm2

2λ sech

2₍_mx/√₂₎₋ Cm4

2λ2 sech

2₍_mx/√₂₎

+Cm

4

4λ2 sech

4₍_mx/√₂₎i

(4.50)

⇒ΓCT =A

√

2m3

3λ −B m√2

λ −C

2√2m3

3λ2 . (4.51)

Substituindo os valores de A, B e C (Veja apˆendice F.1), teremos5_:

ΓCT = 3

√

2m

Z

d2_k

(2π)2

h ₁

k2_{+ 2}_m2

| {z } Id

+ m

2

(k2_{+ 2}_m2₎2 +

2m4

(k2_{+ 2}_m2₎3 −

8m6

(k2_{+ 2}_m2₎4

| {z }

Ic

i

.

(4.52) A ´unica integral divergente de ΓCT ´e a contida em Id, as demais integrais, Ic, con-vergem. A seguir vamos calcular Id usandocut-off:

Id = Z

d2_k

(2π)2

1

k2_{+ 2}_m2 =

Z

dk

(2π)2

Z +∞

−∞

dk0

1

k2

0 +~k2+ 2m2

=

Z _dk

(2π)2

"

1 p

~k2_{+ 2}_m2 arctan

k0

p

~k2_{+ 2}_m2

!#+∞ −∞ = Z +Λ −Λ dk

(2π)2

π

p

~k2_{+ 2}_m2

= Z Λ 0 dk 2π 1 p

~k2_{+ 2}_m2 =

1 2π

h

ln Λ + ln 2−ln√2m2i_.

5_{Neste caso, o termo}_k2_{corresponde a}_k2₌_k2

0+~k2, sendok0 a parte temporal e~ka parte espacial

(55)

4.4 Efeitos t´ermicos 41

A massa do s´oliton, a temperatura zero, resulta em:

Mc =Mcl+ ΓB(0) + ΓCT =

2√2m3

3λ + Γ|B(0) + Γ{z CT} ǫB

. (4.53)

Ent˜ao:

ǫB =

m

2 r

3 2 −

m√2 2π

√

3 arctan(√3) + 3 ln Λ + 3 ln 2₋3 ln√2m2

+m3√2

1 2π

ln Λ + ln 2₋ln√2m2₊_I c

.

(4.54)

Observa-se que as divergˆencias contidas em ln Λ se anulam. No fim, obtem-se:

ǫB=

m

2 r

3 2+

√

2m

16π (5−8

√

3) =

1₋ 2

π

√ 6m

4 +

5√2m

16π . (4.55)

Portanto, a massa corrigida ´e dada por:

Mc =

2√2m3

3λ +

1₋ 2

π

√ 6m

4 +

5√2m

16π

≈ 2 √

2m3

3λ + 0,36m

(4.56)

Observa-se que a corre¸c˜ao quˆantica aumenta o valor da massa a temperatura zero.

4.4. Efeitos t´

ermicos

Como vimos na se¸cão 4.2, as flutua¸cões bosônicas possuem uma parte dependente da temperatura T (Veja 4.36) dada por6_:

(56)

ΓB(T) =− 1

β ln 2 +

1

β ln

1₋e−β√3m2_/₂

− m

√

2 2π

Z +∞

−∞

dk 1 β

ln1−e−β√k2₊₂_m2

k2₊_m2_/₂ −

m√2

π

Z +∞

−∞

dk 1 β

ln1−e−β√k2₊₂_m2

k2_{+ 2}_m2

=−1

β ln 2 +

1

β ln

1−e−√3m2β2/2

−mβ

√

2 2π

Z +∞

−∞

dk

ln1₋e−√k2_β2₊₂_m2_β2

k2_β2₊_m2_β2_/₂ −mβ

√

2

π

Z +∞

−∞

dk

ln1₋e−√k2_β2₊₂_m2_β2

k2_β2_{+ 2}_m2_β2

(4.57) onde β = 1/T.

Vamos ver como a contribui¸c˜ao bosˆonica se comporta a altas temperaturas. Para

T _{→ ∞}, 4.57 se torna:

ΓB(T→∞)=−

1

βln 2 +

1

β ln

h

1−1−p3m2_β2_/₂i

−mβ

√

2 2π

Z +∞

−∞

dk

ln1₋e−√k2_β2₊₂_m2_β2

k2_β2₊_m2_β2_/₂ −mβ

√

2

π

Z +∞

−∞

dk

ln1₋e−√k2_β2₊₂_m2_β2

k2_β2_{+ 2}_m2_β2

=₋1

βln 2 +

1

β

h

ln(p3/2) + ln(mβ)i

−mβ

√

2 2π 2

Z ∞

0

dk

ln1₋e−√k2_β2₊₂_m2_β2

k2_β2₊_m2_β2_/₂

| {z }

B1 −mβ √ 2 π 2 Z ∞ 0 dk

ln1₋e−√k2_β2₊₂_m2_β2

k2_β2_{+ 2}_m2_β2

| {z }

B2

(4.58) Repare que paraT _{→ ∞}apenas o segundo termo de 4.57 teve a exponencial aprox-imada da seguinte forma:

(57)

4.4 Efeitos t´ermicos 43

No caso das integrais B1 e B2 esta aproxima¸c˜ao n˜ao pode ser feita. Por um lado

β _→ 0 para T _{→ ∞}, no entanto, a variável k contida na exponencial está sendo integrada de zero a infinito, o que não torna poss´ıvel fazer a mesma aproxima¸cão.

Fa¸camos em B1 e B2 a seguinte mudan¸ca de vari´avel:

x=kβ; dx=dkβ; y= 2m2β2

teremos:

ΓB(T→∞) =−

1

β ln 2 +

1

β

h

ln(p3/2) + ln(mβ)i

−m

√

2

π

Z ∞

0

dx

ln1₋e−√x2₊_y2

x2₊_y2_/₄

| {z }

B1

−m

√

2

π

Z ∞

0

dx

ln1₋e−√x2₊_y2

x2₊_y2

| {z }

B2

.

(4.59)

Ou seja:

ΓB(T→∞) =−

1

β ln 2 +

1

β

h

ln(p3/2) + ln(mβ)i−m

√

2

π (C1+C2)

= 1

β

h

ln(p3/8) + ln(mβ)i₋m CB.

(4.60)

(58)