E Cap´ıtulo22GruposdeLiee´AlgebrasdeLie.UmaBreveIntrodu¸c˜ao

(1)

Grupos de Lie e ´ Algebras de Lie. Uma Breve Introdu¸c˜ ao

Conte´ udo

22.1 Variedades e Grupos de Lie . . . 1180

22.2 Breves Considera¸c˜oes sobre Grupos Topol´ogicos . . . 1182

22.3 Grupos de Lie Matriciais . . . 1184

22.3.1 Uma Topologia M´etrica em GL(n,

C

) . . . 1185

22.3.2 O Grupo de Lie GL(n,

C

) . . . 1185

22.3.3 Subgrupos Uniparam´etricos e seus Geradores Infinitesimais . . . 1188

22.3.4 Subgrupos Uniparam´etricos e ´ Algebras de Lie . . . 1191

22.3.5 Subgrupos Fechados de GL(n,

C

) . . . 1195

22.4 A Rela¸c˜ao entre Grupos de Lie Matriciais e suas ´Algebras de Lie . . . 1198

22.4.1 Algebras de Lie Nilpotentes, Sol´ ´ uveis, Simples e Semissimples . . . 1199

22.4.2 Quest˜ oes sobre a Exponencia¸c˜ ao de ´ Algebras de Lie . . . 1202

22.4.3 Alguns Exemplos Especiais . . . 1204

E ^ste cap´ıtulo pretende ser uma modesta introdu¸c˜ ao ao estudo de grupos de Lie. Algumas observa¸c˜ oes prévias são necessárias. Para a discuss˜ ao do conceito geral de grupo de Lie são indispens´ aveis algumas no¸c˜ oes b´ asicas sobre espa¸cos topológicos. Para tal, vide Cap´ıtulos 24, 27, 30 e 32, páginas 1245, 1357, 1433 e 1512, respectivamente, assim como outras referências lá citadas. De importˆ ancia especial é a no¸c˜ ao de variedade diferenci´ avel. Esse importante conceito, proveniente da Geometria, desempenha um papel importante em várias ´ areas de F´ısica, tais como a Teoria da Relatividade Geral e as Teorias de Calibre. O conceito de variedade diferenci´ avel nasceu inspirado na no¸c˜ ao mais familiar de superf´ıcie em espa¸cos R

ⁿ

e n˜ ao se desvincula totalmente daquela. N˜ ao pressuporemos da parte do leitor conhecimento pr´evio do conceito de variedade diferenci´ avel e, por isso, vamos introduz´ı-lo adiante. N˜ ao iremos, no entanto, desenvolver esse assunto em detalhe no presente cap´ıtulo e, para tal, remetemos o estudante interessado ao Cap´ıtulo 33, p´ agina 1604, e aos (in´ umeros) bons livros sobre Geometria Diferencial, por exemplo [292].

Trataremos primordialmente de grupos de Lie matriciais, o que simplifica um pouco o tratamento e reduz um tanto o escopo destas notas introdut´orias. No entanto, a grande maioria dos grupos de Lie de interesse (especialmente em F´ısica)

é formada por grupos de Lie matriciais. Para o tratamento de grupos de Lie matriciais discutiremos com certo detalhe aspectos algébricos e topológicos de grupos de matrizes.

Mais de 100 anos de pesquisa intensa nos separam dos prim´ ordios do estudo dos grupos e álgebras de Lie e nossas pretensões aqui são a de uma modesta introdu¸c˜ ao a esse vast´ıssimo assunto. Para tratamentos gerais e abrangentes de grupos de Lie recomendamos as referências [311], [290], [74], [223], [410], [177], [178] ou [354]. Para álgebras de Lie, recomendamos [201] e [332].

V´ arios grupos de Lie são importantes na F´ısica e seu tratamento é particularmente importante na Mecânica Quˆ antica e nas Teorias Quˆ anticas de Campos. Exemplos de grupos de Lie importantes para a F´ısica são discutidos com certo detalhe no Cap´ıtulo 21, tais como os grupos SO(3), SU(2) e o grupo de Lorentz.

22.1 Variedades e Grupos de Lie

• Variedades diferenci´ aveis

Uma variedade diferenci´ avel real de dimens˜ao n ´e um espa¸co topol´ ogico Hausdorff segundo-cont´ avel V dotado de uma fam´ılia de abertos F = {U

_α

, α ∈ Λ} com as seguintes propriedades:

1180

(2)

1. V = S

α∈Λ

U

α

.

2. Para cada U

α

∈ F existe um conjunto aberto C

α

de R

ⁿ

e uma bije¸c˜ ao cont´ınua com inversa cont´ınua φ

α

: U

α

→ C

α

. 3. Para todo par U

α

, U

β

∈ F com U

α

∩ U

β

6= ∅ a fun¸c˜ ao

φ

α

◦ φ

⁻¹_β

: φ

β

(U

α

∩ U

β

) → φ

α

(U

α

∩ U

β

)

´e infinitamente diferenci´ avel como fun¸c˜ ao de (um subconjunto de) R

ⁿ

em R

ⁿ

. Vide Cap´ıtulo 33, p´ agina 1604.

Uma variedade anal´ıtica complexa de dimens˜ao n ´e definida analogamente, substituindo-se R

ⁿ

por C

ⁿ

e substituindo- se a condi¸c˜ ao de diferenciabilidade infinita do item 3, acima, por analiticidade.

Observa¸c˜ ao 1. Acima, Λ ´e apenas um conjunto de ´ındices usados para rotular os elementos de F e n˜ ao tem nenhum papel especial. Λ pode ser finito ou n˜ ao, cont´ avel ou n˜ ao.

Observa¸c˜ ao 2. As fun¸c˜ oes φ

α

◦ φ

⁻¹_β

acima são denominadas fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao. Em uma variedade k-diferenci´ avel exige-se apenas que as fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao sejam k-vezes diferenci´ aveis. Esses objetos têm, porém, interesse relativamente limitado.

Observa¸c˜ ao 3. Os pares (φ

α

, U

α

) s˜ao frequentemente denominados cartas locais da variedade ou simplesmente cartas. A cole¸c˜ ao das cartas ´e frequentemente denominada atlas.

Vamos `a interpreta¸c˜ ao das condi¸c˜ oes acima. A condi¸c˜ ao 1 diz apenas que a fam´ılia {U

_α

, α ∈ Λ} ´e um recobrimento de V , ou seja, todo elemento de V pertence a pelo menos um aberto U

α

, podendo naturalmente ocorrer que alguns pontos de V perten¸cam a v´arios elementos da fam´ılia F , ou seja, os elementos de F podem ter intersec¸c˜ oes n˜ ao-vazias.

A condi¸c˜ ao 2 ´e importante e diz que os elementos de cada U

α

podem ser rotulados (univocamente) por uma n-upla de n´ umeros reais (ou complexos). Ou seja, podemos dotar cada U

α

de um sistema de coordenadas. Note que esses sistemas podem ser diferentes para U

α

’s diferentes. Como dissemos, pontos de V podem pertencer a v´arios U

α

’s e, portanto, podem ter a si atribu´ıdas coordenadas diferentes, uma para cada U

α

ao qual pertence. Assim, os pontos de U

α

∩ U

β

tˆem a si atribu´ıdos pelo menos dois sistemas de coordenadas: as coordenadas C

α

de U

α

e as coordenadas C

β

de U

β

. A condi¸c˜ ao 3 diz-nos como esses sistemas de coordenadas devem relacionar-se, a saber, o que se deseja ´e que a passagem das coordenadas C

β

para as coordenadas C

α

, a qual ´e definida pela fun¸c˜ ao φ

α

◦ φ

⁻¹_β

, seja infinitamente diferenci´ avel (ou anal´ıtica).

Como mencionamos, a conceito de variedade foi inspirado na no¸c˜ ao de superf´ıcie em conjuntos como R

ⁿ

e C

ⁿ

. Sem entrarmos em detalhes t´ecnicos, toda superf´ıcie em R

ⁿ

convenientemente definida (tais como a superf´ıcie da esfera e o toro, em R

³

) é uma variedade, ou seja, tem um sistema de coordenadas local. Isso pode ser garantido, por exemplo, pelo conhecido teorema da fun¸c˜ ao impl´ıcita da análise real. Note-se porém que variedades n˜ ao são apenas conjuntos de pontos, como as superf´ıcies de R

ⁿ

o são, podendo ser também conjuntos de outros tipos de objetos, como fun¸c˜ oes, curvas, vetores, matrizes etc. A ideia intuitiva b´ asica em torno da no¸c˜ ao de variedade é que a mesma representa uma cole¸c˜ ao cont´ınua de objetos que podem ser rotulados por sistemas de coordenadas e de tal forma que possamos, ao menos localmente, manipular essas coordenadas de modo (infinitamente) diferenci´ avel, como se faz em R

ⁿ

.

E. 22.1

Exerc´ıcio.

Mostre que o conjunto de matrizes

R

=

−^ab a^b

, a, b∈R

com det(R) = 1 ´e uma variedade diferenci´ avel de

dimens˜ ao 1.

6

• Grupos topol´ ogicos

Vamos agora apresentar a defini¸c˜ ao de grupo topol´ ogico, da qual precisaremos para discutir grupos de Lie.

Seja G um grupo. Para cada g ∈ G podemos definir uma fun¸c˜ ao λ

g

: G → G por λ

g

(h) := gh. Fora isso tem-se tamb´em em G a fun¸c˜ ao inv : G → G definida por inv(h) := h

⁻¹

.

Defini¸ c˜ ao. Um grupo G ´e dito ser um grupo topol´ ogico em rela¸c˜ ao a uma topologia τ definida em G se nessa topologia

a fun¸c˜ ao inv e todas as fun¸c˜ oes λ

g

forem cont´ınuas. ♠

Coment´ario

.

Podemos definir também para cadag∈Ga fun¸cãoρg:G→Gporρg(h) =hg, que representa a multiplica¸cão à direita porg.

E f´´ acil de se ver, porém, queρg=inv◦λ_g₋1◦inv. Assim, em um grupo topológico as fun¸cõesρg são também cont´ınuas. ♣

(3)

Coment´ario

.

Um grupo pode ser topológico em rela¸cão a uma topologia mas não em rela¸cão a outra. Veremos exemplos. ♣

Informalmente, um grupo G ´e topol´ ogico se as opera¸c˜ oes de produto por elementos do grupo e invers˜ao forem cont´ınuas.

Em termos mais precisos um grupo topol´ ogico ´e formado por um grupo G e uma cole¸c˜ ao G de subconjuntos de G, G ⊂ P(G), satisfazendo as condi¸c˜ oes definidoras de um Espa¸co Topol´ ogico (vide Cap´ıtulo 27):

1. ∅ ∈ G e G ∈ G,

2. Se A ∈ G e B ∈ G ent˜ ao A ∩ B ∈ G,

3. Se I ´e um conjunto arbitr´ario de ´ındices e A

_λ

∈ G para todo λ ∈ I ent˜ ao [

λ∈I

A

_λ

tamb´em ´e um elemento de G,

e tais que para todo O ∈ G as imagens inversas inv

⁻¹

(O) e λ

⁻¹_g

(O), para todo g ∈ G, s˜ao igualmente elementos de G.

Os elementos de G são ditos ser os conjuntos abertos de G. Como em geral se faz em espa¸cos topológicos, um conjunto F ⊂ G é dito ser fechado se seu complementar G \ F for aberto.

• Grupos de Lie

Um grupo topol´ ogico que, enquanto espa¸co topol´ ogico, seja uma variedade real diferenci´ avel (complexa anal´ıtica)

´e dito ser um Grupo de Lie

¹

real (complexo) se as opera¸c˜ oes de multiplica¸c˜ ao ` a direita e invers˜ao forem infinitamente diferenci´ aveis (anal´ıticas).

E. 22.2

Exerc´ıcio.

Verifique que (

R,

+) (o grupo aditivo dos reais) e (

R₊\ {0}, ·)

(o grupo multiplicativo dos reais n˜ ao-negativos)

s˜ ao grupos de Lie reais.

6

E. 22.3

Exerc´ıcio.

Verifique que

R

=

−^ab a^b

, a, b∈R

com det(R) = 1 ´e um grupo de Lie real.

6

Na Se¸c˜ ao 22.3.2, p´ agina 1185, mostraremos com detalhe que GL(n, C ) ´e um grupo de Lie. Para mais exemplos, vide a discuss˜ ao sobre os grupos SO(3), SU(2) etc. do Cap´ıtulo 21.

22.2 Breves Considera¸c˜ oes sobre Grupos Topol´ ogicos

Nesta se¸c˜ ao nos limitaremos a apresentar alguns poucos resultados sobre grupos topológicos, dos quais faremos uso adiante ao tratarmos de grupos de Lie. O estudo de grupos topol´ ogicos gerais é bastante vasto e para um texto clássico recomendamos fortemente [311].

Introduzimos aqui a seguinte nota¸c˜ ao. Seja G um grupo topol´ ogico. Se U ´e algum subconjunto de G e g ∈ G definimos gU := {x ∈ G| x = gu para algum u ∈ U } .

Analogamente,

U g := {x ∈ G| x = ug para algum u ∈ U } .

E. 22.4

Exerc´ıcio.

Se

U

´e um conjunto aberto de

G

mostre que para todo

g∈G

os conjuntos

gU

e

U g

s˜ ao tamb´em conjuntos

abertos de

G. 6

• Grupos topol´ ogicos conexos e desconexos

Um grupo topol´ ogico H é dito ser desconexo se for a uni˜ ao disjunta de dois conjuntos A e B, ambos n˜ ao-vazios e ambos simultaneamente abertos e fechados. Ou seja, H = A ∪ B, A ∩ B = ∅ com A 6= ∅, B 6= ∅, onde A e B são abertos e fechados. Um grupo topol´ ogico H é dito ser conexo se n˜ ao for desconexo.

1Marius Sophus Lie (1842-1899). Lie introduziu esse conceito em cerca de 1870 em seus estudos de propriedades de invariˆancia de equa¸c˜oes diferenciais parciais.

(4)

• Alguns fatos sobre grupos topol´ ogicos

Vamos aqui provar alguns fatos b´ asicos sobre grupos topol´ ogicos gerais. Faremos uso da Proposi¸c˜ ao 22.3 abaixo quando falarmos da rela¸c˜ ao entre ´ algebras de Lie matriciais e ´ algebras de Lie.

Seja H um grupo topológico e G ⊂ H um subgrupo de H . Dizemos que G é um subgrupo topologicamente aberto de H (ou simplesmente subgrupo aberto de H ) se G for um subconjunto aberto de H . Analogamente, dizemos que G é um subgrupo topologicamente fechado de H (ou simplesmente subgrupo fechado de H ) se G for um subconjunto fechado de H . A seguinte proposi¸c˜ ao é relevante nesse contexto.

Proposi¸ c˜ ao 22.1 Seja H um grupo topol´ ogico e G um subgrupo aberto de H . Ent˜ ao, G ´e igualmente um subgrupo

fechado de H . 2

Prova. Seja g

^′

∈ G, onde G ´e o fecho de G. Ent˜ ao, se U

g^′

´e qualquer aberto de H que cont´em g

^′

, tem-se U

g^′

∩ G 6= ∅ (Proposi¸c˜ ao 27.8, p´ agina 1375). Vamos escolher cuidadosamente um tal aberto U

g^′

. Seja U

e

um aberto de H que cont´em a identidade. Como G ´e aberto, V = U

e

∩ G ´e igualmente aberto. Escolhemos U

g^′

= g

^′

V := {x ∈ H, x = g

^′

v para algum v ∈ V }. Ent˜ ao, como U

g^′

∩ G 6= ∅ existe algum elemento g ∈ G que ´e tamb´em elemento de U

g^′

, ou seja, g = g

^′

v para algum elemento v ∈ V . Mas isso implica que g

^′

= gv

⁻¹

. Agora, v ∈ V = U

e

∩ G ⊂ G e, portanto, g

^′

∈ G por ser o produto de dois elementos de G, que ´e um grupo.

Proposi¸ c˜ ao 22.2 Seja H um grupo topol´ ogico conexo e G um subgrupo aberto de H . Ent˜ ao, G = H . 2

Prova. Vamos supor que G 6= H, ou seja, H \ G 6= ∅. Como G ´e um conjunto aberto e fechado (pela proposi¸c˜ ao anterior) H \ G = H ∩ G

^c

é um conjunto aberto e fechado. Assim, H é a uni˜ ao disjunta de dois conjuntos abertos e fechados, a saber G e H \ G. Isso é uma contradi¸c˜ ao com o fato de H ser conexo. Logo, G = H .

Proposi¸ c˜ ao 22.3 Seja H um grupo topol´ ogico conexo e U um aberto de H que cont´em a identidade e que seja tal que para todo u ∈ U tem-se u

⁻¹

∈ U . Ent˜ ao,

H = [

∞ n=1

U

ⁿ

, onde U

¹

:= U e U

ⁿ

:= n

x ∈ H x = u

n

· · · u

1

para u

i

∈ U, i = 1, . . . , n o

, n > 1. 2

Prova. Todos os conjuntos U

ⁿ

s˜ao conjuntos abertos. Isso ´e f´ acil de se ver. De fato, U

²

= [

u2∈U

u

2

U

e, assim, U

²

´e aberto, pois ´e uma uni˜ ao de abertos (vide exerc´ıcio ` a p´ agina 1182). Analogamente, U

ⁿ

= [

un∈U

u

n

U

ⁿ⁻¹

, n > 2 . (22.1)

Por indu¸c˜ ao, segue facilmente que todo U

ⁿ

´e aberto.

Assim U := S

∞

n=1

U

ⁿ

´e igualmente um conjunto aberto (por ser uma uni˜ ao de abertos). Se provarmos que U ´e um grupo, a proposi¸c˜ ao anterior garante a prova desejada.

E evidente que ´ U cont´em a identidade e (que est´ a contida em U ). Fora isso, se g

1

∈ U

ⁿ¹

e g

2

∈ U

ⁿ²

, ent˜ ao g

1

= u

n1

· · · u

1

e g

2

= u

^′_n2

· · · u

^′₁

para certos u

i

e u

^′_i

∈ U. Logo, g

1

g

2

= u

n1

· · · u

1

u

^′_n2

· · · u

^′₁

, mostrando que g

1

g

2

∈ U

ⁿ¹⁺ⁿ²

⊂ U.

Finalmente, se g ∈ U

ⁿ

e g = u

n

· · · u

1

, ent˜ ao g

⁻¹

= u

⁻¹₁

· · · u

⁻¹_n

∈ U

ⁿ

⊂ U . Isso completa a prova que U ´e um grupo.

Informalmente, essa proposi¸c˜ ao diz que se H ´e um grupo topol´ ogico conexo, ent˜ ao qualquer aberto U que cont´em a

identidade gera o grupo H , ou seja, todo elemento de H pode ser escrito como o produto finito de elementos de U .

Observa¸c˜ ao.

Como a identidadee´e um elemento deU, segue facilmente de (22.1) queUⁿ⁻¹⊂Uⁿpara todon≥1. ♣

(5)

Seja H um grupo topol´ogico. Dizemos que uma cole¸c˜ ao de conjuntos abertos A

_λ

∈ H , λ ∈ Λ, ´e um recobrimento de H se

H = [

λ∈Λ

A

_λ

.

Um grupo topol´ogico ´e dito ser compacto

²

se possuir a seguinte propriedade: para todo recobrimento A

_λ

∈ H , λ ∈ Λ, de H existir um subconjunto finito A

_λ1

, . . . , A

_λn

de conjuntos abertos que tamb´em ´e um recobrimento de H :

H = A

_λ1

∪ · · · ∪ A

_λn

. A seguinte proposi¸c˜ ao ´e imediata:

Proposi¸ c˜ ao 22.4 Seja H um grupo topol´ ogico conexo e compacto e seja U um aberto de H que cont´em a identidade e que seja tal que para todo u ∈ U tem-se u

⁻¹

∈ U . Ent˜ ao, existe um n tal que

H = U

ⁿ

.

2 Prova. Como H ´e conexo, pela Proposi¸c˜ ao 22.3 tem-se H = S

∞

n=1

U

ⁿ

. O lado direito ´e, portanto, um recobrimento de H por abertos. Assim, como H ´e compacto, H tem um recobrimento finito pelos abertos U

ⁿ

: existem n

1

< n

2

< · · · < n

k

tais que H = U

ⁿ¹

∪ · · · ∪ U

ⁿ^k

. Como U

ⁿ¹

⊂ · · · ⊂ U

ⁿ^k

, tem-se H = U

ⁿ^k

, como quer´ıamos provar.

Coment´ario

.

Na proposi¸cão acima, a igualdadeH=Uⁿafirma que todo elemento deHé obtido por um produto de no máximonelementos deU. O númeroné dependente deUe é intuitivo dizer que quanto “menor” for o abertoUque contém a identidade, maior serán. ♣

• Continuidade uniforme de fun¸ c˜ oes em grupos topol´ ogicos

Seja G um grupo topol´ogico. Uma fun¸c˜ ao f : G → C ´e dita ser uniformemente cont´ınua se para cada ǫ > 0 existir uma vizinhan¸ca aberta V

ǫ

do elemento neutro de G tal que f (g) − f (h) ≤ ǫ sempre que g e h pertencerem a V

ǫ

.

A seguinte afirma¸c˜ ao ´e importante no presente contexto.

Proposi¸ c˜ ao 22.5 Seja G um grupo topol´ ogico. Seja f

1

: G → C uma fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua e seja f

2

: G → G uma fun¸c˜ ao cont´ınua com f

2

(e) = e. Ent˜ ao, a fun¸c˜ ao composta f

1

◦ f

2

: G → C ´e uma fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua.

2 Prova. Como f

1

´e uniformemente cont´ınua, existe para cada ǫ > 0 uma vizinhan¸ca aberta V

ǫ

do elemento neutro de G tal que f

1

(g) − f

1

(h) ≤ ǫ sempre que g e h pertencerem a V

ǫ

. Defina-se W

ǫ

:= f

₂⁻¹

(V

ǫ

). Trata-se de um aberto em G, pois V

ǫ

´e aberto e f

2

cont´ınua. Al´em disso, e ∈ W

ǫ

, pois e ∈ V

ǫ

e f

2

(e) = e. Logo, se g e h s˜ao ambos elementos de W

ǫ

, teremos f

2

(g) ∈ V

ǫ

e f

2

(h) ∈ V

ǫ

. Portanto, valer´ a tamb´em f

1

◦ f

2

(g) − f

1

◦ f

2

(h) ≤ ǫ, completanto a prova que f

1

◦ f

2

: G → C ´e uma fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua.

22.3 Grupos de Lie Matriciais

Nosso objetivo nesta se¸c˜ ao e nas que se seguem é introduzir os grupos de Lie matriciais e discut´ı-los. Trataremos de alguns exemplos ilustrativos com algum detalhe, come¸cando com o grupo GL(n, C ). Comentemos que essencialmente todas as nossas afirma¸c˜ oes adiante sobre GL(n, C ) são também válidas para o grupo real GL(n, R ).

2Para a defini¸cão da no¸cão de compacidade e suas propriedades, vide Se¸cão 32.3, página 1536.

(6)

22.3.1 Uma Topologia M´ etrica em GL( n, C )

Como prepara¸c˜ ao, fa¸camos alguns coment´ arios topol´ ogicos sobre GL(n, C ). A topologia métrica de Mat ( C , n) discutida na Se¸c˜ ao 11.1, p´ agina 585, pode ser introduzida naturalmente em GL(n, C ), que afinal é um subconjunto de Mat ( C , n), ao definirmos para A, B ∈ GL(n, C ) a métrica d(A, B) = kA − Bk, sendo k · k a norma operatorial de Mat ( C , n).

Mostremos que GL(n, C ) ´e um conjunto aberto e denso de Mat ( C , n).

• GL(n, C ) ´ e um conjunto aberto de Mat ( C , n)

E relevante notarmos que GL(n, ´ C ) n˜ ao é um subconjunto fechado de Mat ( C , n). Isso se vê tomando o exemplo da sequência de matrizes diagonais 2 × 2 da forma A

m

=



 



1/m 0

0 1/m



 

 , m ∈ N , sequˆencia essa formada por elementos de GL(2, C ) mas que converge para a matriz nula, que obviamente n˜ ao ´e elemento de GL(2, C ).

Em verdade, GL(n, C ) ´e um conjunto aberto de Mat ( C , n). Para mostrar isso temos que provar

³

que se A ∈ GL(n, C ) e B ´e uma matriz tal que kB − Ak

C

é suficientemente pequena, ent˜ ao B é invers´ıvel e, portanto, também pertence a GL(n, C ). Observemos que B = A 1 + A

⁻¹

(B − A)

. Se provarmos que 1 + A

⁻¹

(B − A) ´e invers´ıvel ent˜ ao teremos que B

⁻¹

existe, sendo dada por 1 + A

⁻¹

(B − A)

−1

A

⁻¹

.

Escolhendo B pr´oximo o suficiente de A de modo que kB − Ak

C

< 1/kA

⁻¹

k

C

ent˜ ao A

⁻¹

(B − A) ter´ a norma menor que 1 e, portanto, 1 + A

⁻¹

(B − A) tem uma inversa dada pela s´erie de Neumann

⁴

convergente

⁵

1 + A

⁻¹

(B − A)

−1

= 1 + X

∞ m=1

(−1)

^m

A

⁻¹

(B − A)

m

. Isso prova que B tem inversa e completa a prova que GL(n, C ) ´e um conjunto aberto.

E. 22.5

Exerc´ıcio.

H´ a uma maneira alternativa “r´ apida” de provar que GL(n,

C

) ´e um conjunto aberto. Pela Proposi¸c˜ ao 11.18, p´ agina 623, a fun¸c˜ ao Mat (

C, n)∋A7→

det(A)

∈C

´e cont´ınua em qualquer norma matricial. Conclua que GL(n,

C

) ´e um conjunto aberto, observando para tal que se trata do conjunto de todas as matrizes complexas com determinante n˜ ao-nulo e notando que

C\ {0}

´e um conjunto aberto em

C

.

6

• GL(n, C ) ´ e denso em Mat ( C , n)

Provemos que todo elemento de Mat ( C , n) pode ser aproximado em norma por uma matriz invers´ıvel. Isso equivale a dizer que GL(n, C ) ´e denso em Mat ( C , n). Seja A ∈ Mat ( C , n) e seja σ(A) = {λ

1

, . . . , λ

r

} o conjunto de seus autovalores distintos (r ≤ n). ´ E claro que se α 6∈ σ(A) ent˜ ao det(α1 − A) 6= 0 e A − α1 tem inversa (recorde que os autovalores de A s˜ao os zeros do polinˆomio caracter´ıstico de A). Seja agora, α

n

, n ∈ N , uma sequˆencia de n´ umeros complexos tais que α

n

6∈ σ(A) para todo n, e tais que α

n

→ 0 para n → ∞. Teremos que as matrizes A

n

:= A − α

n

1 s˜ao todas invers´ıveis e d(A, A

n

) = kA − A

n

k = |α

n

| k1k = |α

n

| → 0 para n → ∞. Isso prova nossa afirma¸c˜ ao.

• SL(n, C ) ´ e um subconjunto fechado de Mat ( C , n)

O grupo especial SL(n, C ) ´e composto pelos elementos de Mat ( C , n) cujo determinante ´e igual a 1. Se considerarmos a fun¸c˜ ao F : Mat ( C , n) → C dada por F (M ) = det(M ) − 1, podemos identificar SL(n, C ) = F

⁻¹

{0}

, a pré-imagem de {0}. Como F é uma fun¸c˜ ao cont´ınua (pela Proposi¸c˜ ao 11.18, p´ agina 623), conclu´ımos disso que SL(n, C ) é um subconjunto fechado de Mat ( C , n).

22.3.2 O Grupo de Lie GL(n, C )

Nesta se¸c˜ ao mostraremos que GL(n, C ) é um grupo de Lie. Para isso mostraremos primeiro que GL(n, C ) é um grupo topol´ ogico e depois que é uma variedade anal´ıtica, para ent˜ ao mostrar que o produto e a inversão são anal´ıticos. Esses

3Vide a defini¸cão de conjunto aberto em espa¸cos métricos dada à página 1265.

4Karl Neumann (1832-1925).

5A justificativa dessa expressão foi apresentada na Se¸cão 11.2. Note que a expansão de Taylor da fun¸cão anal´ıtica _1+z¹ para|z|<1 em torno dez= 0 é precisamente 1 +P∞

m=1(−1)^mz^m.

(7)

resultados, al´em de importantes em si, servem ao prop´ osito pedag´ ogico de ilustrar os conceitos de grupo topol´ogico e de variedade.

• GL(n, C ) ´ e um grupo topol´ ogico

Para provarmos que GL(n, C ) é um grupo topol´ ogico precisamos mostrar que o produto em GL(n, C ) e a inversão de matrizes em GL(n, C ) são opera¸c˜ oes cont´ınuas.

Sejam G, G

^′

, H ∈ GL(n, C ). Temos que

kG

^′

H − GHk

C

= k(G

^′

− G)Hk

C

≤ kG

^′

− Gk

C

kH k

C

,

mostrando que kG

^′

H − GH k

C

→ 0 se kG

^′

− Gk

C

→ 0. Assim, o produto ` a esquerda ´e cont´ınuo.

Sejam agora G, H ∈ GL(n, C ). Fixemos H e tomemos kG − Hk

C

< ǫ com ǫ > 0 escolhido pequeno o su- ficiente de modo que ǫkH

⁻¹

k

C

< 1. E claro que ´ G = H + (G − H ) = H (1 + H

⁻¹

(G − H)), de maneira que G

⁻¹

=

1 + H

⁻¹

(G − H )

−1

H

⁻¹

. Logo,

G

⁻¹

− H

⁻¹

= n

1 + H

⁻¹

(G − H )

−1

− 1 o H

⁻¹

. Assim, como pela escolha de ǫ temos kH

⁻¹

(G − H)k

C

≤ ǫkH

⁻¹

k

C

< 1, podemos escrever

G

⁻¹

− H

⁻¹

=

"

_∞

X

m=1

(−1)

^m

H

⁻¹

(G − H)

m

# H

⁻¹

.

A justificativa dessa express˜ao

⁶

foi apresentada na Se¸c˜ ao 11.2. Tem-se, ent˜ ao, kG

⁻¹

− H

⁻¹

k

C

≤

"

_∞

X

m=1

kH

⁻¹

k

^mC

kG − H k

^mC

#

kH

⁻¹

k

C

≤ ǫkH

⁻¹

k

²_C

1 − ǫkH

⁻¹

k

C

.

Portanto kG

⁻¹

− H

⁻¹

k

C

→ 0 quando kG − Hk

C

→ 0, provando a continuidade da opera¸c˜ ao de invers˜ao de matrizes. Isso completa a prova que GL(n, C ) ´e um grupo topol´ ogico.

E. 22.6

Exerc´ıcio.

H´ a uma maneira alternativa “r´ apida” de provar que a opera¸c˜ ao de invers˜ ao ´e cont´ınua: use a regra de Laplace, express˜ ao (10.20), p´ agina 467, para calcular a inversa de uma matriz e evoque o fato que o determinante ´e cont´ınuo.

6

• GL(n, C ) ´ e uma variedade anal´ıtica

Vamos agora mostrar que GL(n, C ) ´e uma variedade anal´ıtica. Seja, para cada ǫ > 0, o subconjunto C

_ǫ

de C

ⁿ²

definido por

C

_ǫ

:= n

(x

11

, . . . , x

1n

, x

21

, . . . , x

2n

, . . . , x

n1

, . . . , x

nn

) ∈ C

ⁿ²

com |x

ij

| < ǫ para todos i, j = 1, . . . , n o . Para x = (x

11

, . . . , x

1n

, x

21

, . . . , x

2n

, . . . , x

n1

, . . . , x

nn

) ∈ C

_ǫ

, denotemos por X a matriz cujo elemento ij ´e X

ij

= x

ij

e denotemos 1 + X por A(x). Obviamente A(x)

ij

= δ

ij

+ x

ij

, i, j = 1, . . . , n.

E bem claro que cada ´ C

_ǫ

´e um subconjunto aberto de C

ⁿ²

. Seja tamb´em U

_ǫ

:= {A(x) ∈ Mat ( C , n)| x ∈ C

_ǫ

}.

E. 22.7

Exerc´ıcio.

Mostre que cada

U_ǫ

´e um subconjunto aberto de Mat (

C, n). 6

E bem claro que para toda matriz ´ A(x) como acima tem-se det(A(x)) = 1 + p(x), onde p(x) é um polinômio nas variáveis x

ij

que se anula quanto todas as x

ij

s˜ao nulas. Assim, se x ∈ C

_ǫ

vˆe-se que det(A(x)) 6= 0 caso ǫ seja pequeno o suficiente, pois isso garante que |p(x)| < 1. Portanto, se escolhermos ǫ pequeno o suficiente, teremos que U

_ǫ

´e um subconjunto aberto de GL(n, C ), o que suporemos daqui por diante.

Seja agora g uma matriz arbitr´aria de GL(n, C ) e seja

U

g

= {gA(x), com A(x) ∈ U

_ǫ

} .

6Note que a expansão de Taylor da fun¸cão anal´ıtica _1+z¹ −1 para|z|<1 em torno dez= 0 é precisamenteP∞

m=1(−1)^mz^m.

(8)

Pela nota¸c˜ ao que apresentamos quando discutimos grupos topol´ ogicos, U

g

= gU

ǫ

, e U

g

´e um aberto de GL(n, C ). Fora isso, g ∈ U

g

, pois 1 = A(0) ∈ U

_ǫ

. Conclu´ımos que

GL(n, C ) = [

g∈GL(n,C)

U

g

,

ou seja, GL(n, C ) possui um recobrimento por abertos.

Vamos agora mostrar que cada U

g

´e bijetivamente mapeado em um aberto de C

ⁿ²

. Isso ´e bem simples pois, se para cada g ∈ GL(n, C ) definirmos fun¸c˜ oes φ

^g_ij

: U

g

→ C por

φ

^g_ij

(gA(x)) = φ

^g_ij

(g + gX)) := (gX)

ij

, i, j = 1, . . . , n , ou seja,

φ

^g_ij

(gA(x)) :=

X

n k=1

g

ik

x

kj

, i, j = 1, . . . , n ,

vemos facilmente que todo h ∈ U

g

´e da forma h

ij

= g

ij

+ φ

^g_ij

(gA(x)). Assim, o conjunto C

g

⊂ C

ⁿ²

formado pelas vari´aveis x

ij

= P

n

k=1

g

ik

x

kj

com x

ij

∈ C

_ǫ

´e um sistema de coordenadas para U

g

.

Por fim, para todo h ∈ U

g

∩ U

g^′

, teremos h = gA(x) = g

^′

A(x

^′

), ou seja, A(x

^′

) = (g

^′

)

⁻¹

gA(x) e x

^′_ij

= −δ

ij

+

X

n k=1

(g

^′

)

⁻¹

g

ik

(δ

kj

+ x

kj

) = (g

^′

)

⁻¹

g − 1

ij

+ X

n k=1

(g

^′

)

⁻¹

g

ik

x

kj

,

o que mostra que as coordenadas x

^′

são expressas em termos de polinômios nas variáveis x. Portanto, a mudan¸ca nas coordenadas de U

g

para as de U

g^′

é expressa em termos de fun¸c˜ oes anal´ıticas (em verdade, polinômios). Isso provou que GL(n, C ) é uma variedade anal´ıtica.

• GL(n, C ) ´ e um grupo de Lie

Para finalmente provarmos que GL(n, C ) é um grupo de Lie, resta-nos provar que a multiplica¸c˜ ao à direita e a inversão são anal´ıticas. A primeira parte é elementar. Tomemos g, h ∈ GL(n, C ). Os elementos de U

h

s˜ao da forma hA(x) e os de gU

h

s˜ao da forma ghA(x) ∈ U

gh

. Agora, as fun¸c˜ oes de C

_ǫ

em C dadas por

C

_ǫ

∋ x 7→ φ

^gh_ij

(ghA(x)) = X

n k=1

(gh)

ik

x

kj

, i, j = 1, . . . , n , são polinômios nas variáveis x

ij

e, portanto, s˜ao anal´ıticas. Assim, o produto ´e anal´ıtico.

Para provar que a inversão é anal´ıtica tomemos g ∈ GL(n, C ). Um elemento genérico de U

g

´e da forma gA(x) = g(1 + X ). Agora,

(gA(x))

⁻¹

= (1 + X )

⁻¹

g

⁻¹

= g

⁻¹

(1 + gY (x)g

⁻¹

), com Y (x) :=

X

∞ m=1

(−1)

^m

X

^m

.

Cada elemento de matriz de Y (x) ´e uma fun¸c˜ ao anal´ıtica dos x

ij

, pois a s´erie de Neumann

⁷

acima converge absolutamente (claramente, temos que escolher ǫ pequeno o suficiente). Agora, as fun¸c˜ oes

C

_ǫ

∋ x 7→ φ

^g⁻

1

ij

(gA(x))

⁻¹

= φ

^g⁻

1

ij

g

⁻¹

(1 + gY (x)g

⁻¹

)

= gY (x)g

⁻¹

ij

s˜ao fun¸c˜ oes anal´ıticas dos x

ij

, provando que a aplica¸c˜ ao de invers˜ao ´e anal´ıtica. Isso estabelece finalmente que GL(n, C )

´e um grupo de Lie de dimens˜ao n

²

.

E. 22.8

Exerc´ıcio.

H´ a uma maneira alternativa “r´ apida” de provar que a opera¸c˜ ao de invers˜ ao ´e anal´ıtica: use a regra de Laplace, express˜ ao (10.20), p´ agina 467, para calcular a inversa de uma matriz e evoque o fato que o determinante ´e anal´ıtico.

6

7Karl Neumann (1832-1925).

(9)

• SL(n, C ) ´ e um grupo de Lie

Já vimos acima que SL(n, C ) é um subconjunto fechado de Mat ( C , n). Portanto, é um subgrupo fechado de GL(n, C ). Logo, pelo Teorema 22.2, p´ agina 1195, é um grupo de Lie.

• Grupos de invariˆ ancia de formas sesquilineares e bilineares em dimens˜ ao finita s˜ ao grupos de Lie Na Se¸c˜ ao 21.3.3, p´ agina 1051, introduzimos grupos de invariˆancia de formas bilineares e sesquilineares definidas em espa¸cos vetoriais. No caso de espa¸cos de dimens˜ao finita apresentamos em (21.47) e (21.48), os grupos Ω( R

ⁿ

, ω

A

) e Ω( C

ⁿ

, ω

A

), respectivamente, que mantˆem invariantes, respectivamente, a forma bilinear real ω

A

(u, v) := hu, Avi

R

(com u, v ∈ R

ⁿ

e A ∈ Mat ( R , n)) e a forma sesquilinear ω

A

(u, v) := hu, Avi

C

(com u, v ∈ C

ⁿ

e A ∈ Mat ( C , n)).

Os grupos Ω( R

ⁿ

, ω

A

) e Ω( C

ⁿ

, ω

A

) possuem subgrupos (ditos especiais) de matrizes com determinante igual a 1, denotados por SΩ( R

ⁿ

, ω

A

) e SΩ( C

ⁿ

, ω

A

), respectivamente.

Para esses diversos grupos vale o seguinte resultado fundamental, j´ a anunciado anteriormente sem demonstra¸c˜ ao (Proposi¸c˜ ao 21.3, p´ agina 1055):

Proposi¸ c˜ ao 22.6 Os grupos Ω( C

ⁿ

, ω

A

) (ou Ω( R

ⁿ

, ω

A

)), com det A 6= 0, definidos acima, e que mantˆem invariantes as formas sesquilineares (ou bilineares) definidas por A, s˜ ao subgrupos topologicamente fechados de GL(n, C ) e, portanto (pelo Teorema 22.2, p´ agina 1195), s˜ ao grupos de Lie. O mesmo se d´ a para os grupos SΩ( C

ⁿ

, ω

A

) (e SΩ( R

ⁿ

, ω

A

)). 2

Prova. Tomemos o exemplo dos grupos Ω( C

ⁿ

, ω

A

), definidos em (21.49), que mantˆem invariante a forma sesquilinear ω

A

(u, v) := hu, Avi

C

, com A ∈ Mat ( C , n), sendo u, v ∈ C

ⁿ

. ´ E claro que Ω( C

ⁿ

, ω

A

) ´e um subgrupo de GL(n, C ), o grupo das matrizes complexas invers´ıveis n × n. ´ E sabido que GL(n, C ) ´e um grupo de Lie (vide Se¸c˜ ao 22.3.2, p´ agina 1185). Sucede que, como logo veremos, Ω( C

ⁿ

, ω

A

) ´e um subgrupo fechado de GL(n, C ) (na topologia m´etrica induzida pela norma operatorial. Vide Se¸c˜ ao 22.3.1, p´ agina 1185) e, assim, pelo Teorema 22.2, p´ agina 1195, conclu´ımos que Ω( C

ⁿ

, ω

A

) ´e tamb´em um grupo de Lie.

A mesma argumenta¸c˜ ao se aplica ao grupo SΩ( C

ⁿ

, ω

A

).

Para provar que Ω( C

ⁿ

, ω

A

) ´e fechado, consideremos uma sequˆencia M

n

∈ Ω( C

ⁿ

, ω

A

), n ∈ N , que converge em norma a uma matriz M ∈ Mat ( C , n), ou seja, tal que kM

n

− M k → 0 para n → ∞. Por defini¸c˜ ao, temos que M

_n^∗

AM

n

= A para todo n ∈ N . Desejamos provar que M

^∗

AM = A. De fato, M

^∗

AM = (M − M

n

)

^∗

AM +M

_n^∗

A(M − M

n

) + M

_n^∗

AM

n

= (M − M

n

)

^∗

AM + M

_n^∗

A(M − M

n

) + A, como facilmente se constata. Logo,

M

^∗

AM − A ≤ (M − M

n

)

^∗

AM + M

_n^∗

A(M − M

n

) ≤ M − M

n

kAk kM k + kM

n

k kAk M − M

n

= M − M

n

kAk kM k + kM

n

k

≤ M − M

n

kAk 2kM k + kM − M

n

k

, (22.2) sendo que, na ´ ultima passagem usamos kM

n

k ≤ kM k + kM − M

n

k, o que decorre trivialmente de M

n

= M + (M

n

− M ).

Assim, tomando-se n → ∞ no lado direito de (22.2), conclu´ımos que M

^∗

AM − A = 0, estebelecendo o que desej´avamos.

No caso dos grupos SΩ( C

ⁿ

, ω

A

) resta ainda verificar que se M

n

∈ SΩ( C

ⁿ

, ω

A

), n ∈ N , é uma sequência que converge em norma a M ∈ Mat ( C , n), ent˜ ao det M = 1. Mas isso é uma consequência da continuidade do determinante na norma operatorial, demonstrada na Se¸c˜ ao 11.7, p´ agina 623.

22.3.3 Subgrupos Uniparam´ etricos e seus Geradores Infinitesimais

Subgrupos uniparam´etricos s˜ao muito importantes na teoria dos grupos de Lie. Vamos apresent´ a-los no caso de matrizes.

Defini¸ c˜ ao. Um subgrupo uniparam´etrico de GL(n, C ) ´e um homomorfismo cont´ınuo

⁸

do grupo ( R , +) em GL(n, C ).

Em outras palavras, ´e uma fun¸c˜ ao que a cada t real associa continuamente uma matriz invers´ıvel γ(t) de modo que

γ(t)γ(t

^′

) = γ(t + t

^′

) (22.3)

8Vide nota `a p´agina 1191.

(10)

para todos t, t

^′

∈ R . Note que de (22.3) segue automaticamente que γ(0) = 1 (por quê?). ♠ A importˆ ancia dos subgrupos uniparamétricos reside na seguinte proposi¸c˜ ao, a qual também come¸ca a revelar a relevância das exponenciais de matrizes na teoria dos grupos de Lie.

Proposi¸ c˜ ao 22.7 Seja γ : R → GL(n, C ) um subgrupo uniparam´etrico cont´ınuo. Ent˜ ao, existe uma matriz M ∈ Mat ( C , n), univocamente definida, tal que γ(t) = exp(tM ) para todo t ∈ R . Esse fato, em particular, mostra que γ ´e real-anal´ıtica (e, portanto, diferenci´ avel) e que M = γ

^′

(0). A matriz M ´e dita ser o gerador infinitesimal do subgrupo

uniparam´etrico γ. 2

Prova.

⁹

Se supuséssemos que γ é uma matriz diferenci´ avel próximo a t = 0, ter´ıamos que para qualquer t γ

^′

(t) = lim

s→0

1 s (γ(t + s) − γ(t)) = γ(t)

s→0

lim 1

s (γ(s) − γ(0))

= γ(t)γ

^′

(0) .

Definindo M := γ

^′

(0), concluir´ıamos que γ satisfaz a equa¸c˜ ao diferencial γ

^′

(t) = γ(t)M , cuja solu¸c˜ ao ´e ´ unica (vide Cap´ıtulo 14) e dada por γ(t) = exp(tM), como quer´ıamos provar.

A demonstra¸c˜ ao estaria completa, n˜ ao fosse o fato de que no enunciado supomos apenas que γ é cont´ınua, o que em geral n˜ ao implica que γ seja também diferenci´ avel em t = 0. ´ E, no entanto, poss´ıvel provar que se γ é cont´ınua, ent˜ ao pelo fato de ser um homomorfismo de ( R , +) segue que γ é também diferenci´ avel próximo a t = 0! A ideia é construir a partir de γ uma fun¸c˜ ao ˜ γ infinitamente diferenci´ avel e posteriormente mostrar que γ pode ser recuperada de ˜ γ por opera¸c˜ oes diferenci´ aveis.

Para tal seja θ uma fun¸c˜ ao real, positiva infinitamente diferenci´ avel, com suporte compacto contendo t = 0 e tal que Z

∞

−∞

θ(s)ds = 1 . Um exemplo de uma tal fun¸c˜ ao seria (para a < 0 < b)

θ(s) =

 

 

 



K exp

−

_(s−a)2¹(s−b)²

, para s ∈ (a, b)

0, de outra forma,

que tem suporte [a, b] ∋ 0. Uma escolha conveniente da constante K garante que R

∞

−∞

θ(s)ds = 1.

Assim, seja uma tal fun¸c˜ ao θ desse tipo e com suporte em, digamos, [−a, a] para algum a > 0, e seja

˜ γ(t) :=

Z

∞

−∞

θ(t − s)γ(s)ds .

E f´acil (Exerc´ıcio!) ver que ˜ ´ γ assim definida ´e infinitamente diferenci´ avel. Fora isso,

˜ γ(t) =

Z

∞

−∞

θ(t − s)γ(s)ds = Z

∞

−∞

θ(u)γ(t − u)du = Z

∞

−∞

θ(u)γ(t)γ(−u)du = γ(t) Z

∞

−∞

θ(u)γ(−u)du = γ(t)Y , com Y := R

∞

−∞

θ(u)γ(−u)du. Temos que

Y − 1 = Z

∞

−∞

θ(u)(γ(−u) − 1)du , pois R

∞

−∞

θ(u)du = 1, por hip´ otese. Logo, kY − 1k

C

≤

Z

∞

−∞

θ(u) kγ(−u) − 1k

C

du = Z

a

−a

θ(u) kγ(−u) − 1k

C

du ≤ c Z

a

−a

θ(u) du = c Z

∞

−∞

θ(u) du = c ,

9Extra´ıda de [177]. A observa¸cão de que no enunciado da Proposi¸cão 22.7 é suficiente supor-se que o subgrupo uniparamétricoγé apenas cont´ınuo (dispensando uma condi¸cão de diferenciabilidade) é devida a von Neumann (John von Neumann (1903–1957)).

(11)

onde c := sup

_{u∈[−a, a]}

kγ(−u)−1k

C

. Como γ ´e cont´ınua e γ(0) = 1, podemos fazer c arbitrariamente pequena, escolhendo a pequeno. Mas isso diz que Y = 1 − (1 − Y ) ´e invers´ıvel, com Y

⁻¹

dado pela s´erie convergente P

∞

m=0

(1 − Y )

^m

. Assim, com a pequeno teremos γ(t) = ˜ γ(t)Y

⁻¹

, o que prova que γ(t) ´e infinitamente diferenci´ avel.

Defini¸ c˜ ao. O que essa proposi¸c˜ ao provou é que todo subgrupo uniparamétrico cont´ınuo de GL(n, C ) é da forma exp(tM ) para alguma matriz M ∈ Mat ( C , n). Essa matriz M é dita ser o gerador infinitesimal do subgrupo uniparamétrico em

quest˜ ao. ♠

Comentemos brevemente que a Proposi¸c˜ ao 22.7, que acabamos de provar, tem generaliza¸c˜ oes importantes na teoria dos espa¸cos de Hilbert e de Banach, onde ´e conhecida como Teorema de Stone

¹⁰

. Vide, por exemplo, [315].

• A cole¸ c˜ ao de todos os geradores infinitesimal de subgrupos uniparam´ etricos Seja G um subgrupo de GL(n, C ). Seja definido o seguinte conjunto:

L(G) := {M ∈ Mat ( C , n)| exp(tM) ∈ G, ∀t ∈ R } . Analogamente, seja G um subgrupo de GL(n, R ). Seja definido o seguinte conjunto:

L (G) := {M ∈ Mat ( R , n)| exp(tM ) ∈ G, ∀t ∈ R } .

Em palavras, L(G) é a cole¸c˜ ao de todos os geradores infinitesimais de todos os subgrupos uniparamétricos de G. ´ E claro, pela defini¸c˜ ao, que L(G) contém sempre pelo menos a matriz nula (pois exp(t0) = 1 ∈ G, ∀t ∈ R ), mas n˜ ao é nem um pouco evidente que esse n˜ ao seja o ´ unico elemento de L(G). Por exemplo, se G for um grupo discreto ent˜ ao L(G) = {0}. Mesmo no caso de G ser um grupo cont´ınuo n˜ ao é nada ´ obvio que G possua subgrupos uniparamétricos n˜ ao-triviais. Logo abaixo estudaremos essa quest˜ ao no caso do grupo GL(n, C ) e, um pouco mais adiante, no caso de subgrupos fechados (não-discretos) de GL(n, C ). Em tais casos veremos que L (G) n˜ ao consiste apenas na matriz nula.

Chamamos a aten¸c˜ ao do estudante para o fato que, para um grupo G genérico, n˜ ao é necessariamente verdade que todo elemento de G pode ser escrito na forma exp(tM ) para algum M ∈ L(G) e algum t ∈ R . Ou seja, existem grupos G nos quais encontram-se elementos que n˜ ao pertencem a nenhum subgrupo uniparamétrico de G. Na Proposi¸c˜ ao 11.11, p´ agina 599, vimos que isso ocorre no grupo real GL(n, R ), pois esse grupo n˜ ao é conexo, mas esse fenômeno pode ocorrer mesmo em grupos conexos. Um exemplo será discutido na p´ agina 1205, adiante.

*

A cole¸c˜ ao de todos os geradores infinitesimais de todos os subgrupos uniparamétricos de um dado grupo G é um objeto muito importante, especialmente na teoria dos grupos de Lie. Discutiremos esse fato adiante. No caso do grupo GL(n, C ) podemos facilmente identificar o que é L GL(n, C )

. Faremos isso agora.

• Subgrupos uniparam´ etricos de GL(n, C ) e a ´ algebra de Lie associada a GL(n, C )

A cole¸c˜ ao de todos os geradores infinitesimais de todos os subgrupos uniparam´etricos do grupo GL(n, C ) ser´a denotada aqui por L GL(n, C )

ou por gl(n, C ). Vamos identificar esse conjunto.

Na Proposi¸c˜ ao 11.12, p´ agina 599, demonstramos que todo elemento A ∈ GL(n, C ) pode ser escrito na forma A = exp(B) para algum B ∈ Mat ( C , n). Consequentemente, A pertence ao subgrupo uniparamétrico composto pelas matrizes da forma exp(tB), t ∈ R . Assim, GL(n, C ) possui subgrupos uniparamétricos n˜ ao-triviais. Reciprocamente, para todo B ∈ Mat ( C , n) o conjunto de matrizes da forma exp(tB), t ∈ R , forma um subgrupo uniparamétrico de GL(n, C ).

Conclu´ımos disso que L GL(n, C )

= Mat ( C , n).

Já discutimos por diversas vezes (vide p´ agina 107 e seguintes) que o conjunto Mat ( C , n) é uma álgebra de Lie com rela¸c˜ ao ao produto definido pelo comutador de matrizes. Um pouco mais adiante, veremos que esse fato é geral: o conjunto de todos os geradores infinitesimais de um subgrupo fechado (não-discreto) de um grupo de Lie é também uma

´

algebra de Lie. Esse fato ´e de importˆ ancia central na teoria dos grupos de Lie.

10Marshall Harvey Stone (1903-1989).

(12)

E. 22.9

Exerc´ıcio.

Para

a, b

= 1, . . . , n e

α∈C

, sejam

γα^ab

(t), matrizes definidas da seguinte forma:

γα^ab

(t) :=











1

+

αtE^ab,

para

a6=b , 1

+ (e

^αt−

1)E

^aa,

para

a

=

b ,

com

t∈R.

Aqui

E^ab

´e a matriz cujos elementos

ij

s˜ ao dados por

E^ab

ij

=

δi aδj b

, ou seja,

E^ab

´e a matriz cujos elementos de matriz s˜ ao todos nulos, exceto o elemento

ab, que vale

1. Mostre que as matrizes

γα^ab

s˜ ao subgrupos uniparam´etricos de GL(n,

C

), ou seja, que

γα^ab

(t) s˜ ao cont´ınuas e que

γα^ab

(t)γ

_α^ab

(t

^′

) =

γα^ab

(t +

t^′

) para todo

a, b

e todo

α. (Sugest˜ao:

mostre que

E^ab2

=

δabE^ab

e use esse fato).

Mostre que seus geradores infinitesimais s˜ ao as matrizes

αE^ab

. Constate tamb´em explicitamente que

γα^ab

(t) = exp

αtE^ab

.

6

Note que a cole¸c˜ ao formada por todas combina¸c˜ oes lineares reais dos geradores infinitesimais dos subgrupos unipa- ram´etricos γ

_α^ab

de GL(n, C ) coincide com Mat ( C , n) (por quˆe?).

E. 22.10

Exerc´ıcio importante.

Como s˜ ao as rela¸c˜ oes de comuta¸c˜ ao das matrizes

E^ab

?

6

• Homomorfismos n˜ ao-cont´ınuos de ( R , +)

Contemplando a defini¸c˜ ao de subgrupo uniparamétrico que apresentamos acima, como sendo um homomorfismo cont´ınuo de ( R , +) em um grupo G, o estudante pode legitimamente questionar se existem, afinal, homomorfismos n˜ ao- cont´ınuos desse grupo que justifiquem a necessidade de evocar a condi¸c˜ ao de continuidade na Proposi¸c˜ ao 22.7. Talvez um tanto surpreendentemente, a resposta é positiva. H´ a até mesmo automorfismos n˜ ao-cont´ınuos de ( R , +) em si mesmo, os quais foram apresentados à p´ agina 161, onde discutimos a existência de fun¸c˜ oes descont´ınuas de R em R que satisfazem f (t) + f (t

^′

) = f (t + t

^′

) para todos t, t

^′

∈ R . Assim, com o uso de uma tal fun¸c˜ ao f , é relativamente fácil construir um homomorfismo n˜ ao-cont´ınuo de ( R , +) em um grupo G dado, caso conhe¸camos um homomorfismo cont´ınuo de ( R , +) em G. De fato, se γ(t), t ∈ R , é um homomorfismo cont´ınuo de ( R , +) em G ent˜ ao γ(f (t)), t ∈ R , é um homomorfismo de ( R , +) em G, mas que n˜ ao é cont´ınuo. Dada a “artificialidade” daquelas fun¸c˜ oes f , tais exemplos são um tanto patológicos, mas explicam a necessidade de incluir a condi¸c˜ ao de continuidade na defini¸c˜ ao de subgrupo uniparamétrico e na Proposi¸c˜ ao 22.7, p´ agina 1189.

22.3.4 Subgrupos Uniparam´ etricos e ´ Algebras de Lie

• Subgrupos uniparam´ etricos em subgrupos fechados

Defini¸ c˜ ao. Seja H um subgrupo fechado mas n˜ ao discreto de GL(n, C ). Definimos, L (H ) :=

X ∈ Mat ( C , n) tais que e

^tX

∈ H para todo t ∈ R .

♠ Como se vˆe, trata-se do conjunto dos geradores infinitesimais de todos os subgrupos uniparam´etricos de H . ´ E claro, pela defini¸c˜ ao acima, que L (H ) possui pelo menos um elemento, a saber a matriz nula, pois, obviamente e

^t0

= 1 ∈ H para todo t ∈ R . N˜ ao ´e nem um pouco ´ obvio, por´em, que haja outros elementos em L (H ) que n˜ ao o elemento nulo. N˜ ao

é sequer óbvio que existam subgrupos uniparamétricos n˜ ao-triviais

¹¹

em H . Na Proposi¸c˜ ao 22.8 adiante, provaremos que L(H ), de fato, é n˜ ao-trivial e que h´ a, de fato, subgrupos uniparamétricos n˜ ao-triviais em H. Para demonstrarmos a Proposi¸c˜ ao 22.8 precisamos de algumas defini¸c˜ oes e de alguns resultados preparat´ orios. Seguiremos muito proximamente a exposi¸c˜ ao de [290] (vide todo o §2 do Cap´ıtulo XI daquela referência), mas com ligeiras corre¸c˜ oes e aperfei¸coamentos.

Para simplificar a nota¸c˜ ao denotaremos aqui o grupo GL(n, C ) por G e sua ´ algebra de Lie Mat ( C , n) por g.

Fixemos doravante um n´ umero r > 0, arbitr´ario mas conveniente, e seja w

r

a bola fechada de raio r centrada na origem em g:

w

r

:= n

X ∈ g kXk ≤ r o

. (22.4)

11Um subgrupo uniparam´etricoγ(t) ´e trivial seγ(t) for igual ao elemento neutro para todot∈R.

(13)

Notemos que w

r

´e sim´etrica, ou seja, se X ∈ w

r

ent˜ ao −X ∈ w

r

. Denotaremos por w

^O_r

a bola aberta de raio r centrada na origem em g:

w

^O_r

:= n

X ∈ g kX k < r o

. (22.5)

Vamos denotar por W

r

a imagem de w

r

pela exponencia¸c˜ ao:

W

r

:= n

exp(X ), X ∈ w

r

o . (22.6)

E claro que ´ W

r

⊂ G e ´e claro que W

r

´e sim´etrico, ou seja, se Y ∈ W

r

ent˜ ao Y

⁻¹

∈ W

r

.

Como H ´e um subconjunto fechado de G, o conjunto H ∩ W

r

´e fechado. Seja f

r

o subconjunto de w

r

formado pelos elementos cuja exponencial est´ a em H ∩ W

r

:

f

_r

:= n

X ∈ w

_r

exp(X ) ∈ H ∩ W

r

o

. (22.7)

Comentemos que, pela Proposi¸c˜ ao 11.12, p´ agina 599, todo elemento de H ´e uma exponencial de algum elemento de g = Mat ( C , n). Portanto, todo h ∈ H ∩ W

r

´e da forma h = exp(f ) para algum f ∈ f

r

. Simbolicamente, podemos escrever

exp(f

r

) = H ∩ W

r

. (22.8)

E bastante claro que ´ f

r

é também simétrico. Como exp é cont´ınua, f

r

´e tamb´em fechado (vide Se¸c˜ ao 30.5.2, p´ agina 1447). Fora isso, f

r

⊂ w

r

, por defini¸c˜ ao. Logo, f

r

´e limitado. Por ser fechado e limitado, f

r

´e compacto.

Definamos M (H, W

r

) ≡ M

_r

por M

_r

:= n

X ∈ g tais que, para algum ǫ > 0, tem-se exp(tX) ∈ H ∩ W

r

sempre que |t| < ǫ o

. (22.9)

Alternativamente, ´e claro que M

_r

= n

X ∈ g tais que, para algum ǫ > 0, tem-se tX ∈ f

r

sempre que |t| < ǫ o .

Note-se que M

_r

contém sempre ao menos um elemento, a saber, 0. N˜ ao é nada óbvio, porém, se esse é o ´ unico elemento de M

_r

. No Corol´ario 22.1, adiante, provaremos que tal n˜ ao ´e o caso, ou seja, M

_r

n˜ ao ´e trivial. Antes disso precisamos de dois lemas preparat´ orios.

Lema 22.1 Com as defini¸c˜ oes acima, valem as seguintes afirma¸c˜ oes. I. Se X ∈ M

_r

ent˜ ao λX ∈ M

_r

para todo λ ∈ R .

II. w

r

∩ M

_r

⊂ f

r

. 2

Prova do Lema 22.1. Se X ∈ M

_r

ent˜ ao, para algum ǫ > 0 tem-se tX ∈ f

r

sempre que |t| < ǫ. Mas, ent˜ ao, se λ 6= 0, vale t(λX ) ∈ f

r

sempre que |t| < ǫ/|λ|. Isso prova a afirmativa I.

Seja agora X ∈ w

_r

∩ M

_r

. Queremos provar que X ∈ f

_r

. Como X ∈ M

_r

ent˜ ao, para algum ǫ > 0 tem-se exp(tX) ∈ H ∩ W

r

sempre que |t| < ǫ. Assim, para n ∈ N grande o suficiente (n > ǫ

⁻¹

) teremos exp(n

⁻¹

X) ∈ H ∩ W

r

o que, em particular, diz que exp(n

⁻¹

X ) ∈ H. Como H ´e um grupo, tem-se que (exp(n

⁻¹

X ))

ⁿ

∈ H. Mas o lado esquerdo ´e exp(X) e, portanto, conclu´ımos que exp(X ) ∈ H. Agora, por hip´ otese, X ∈ w

r

, o que implica, pela defini¸c˜ ao de W

r

, que exp(X) ∈ W

r

. Logo, mostramos que exp(X) ∈ H ∩ W

r

, o que significa que X ∈ f

r

. Provamos, assim, que w

r

∩ M

_r

⊂ f

r

. Isso completa a prova do Lema 22.1.

Podemos agora demonstrar o seguinte lema, de importˆ ancia central no presente contexto e, talvez, o resultado preparat´ orio tecnicamente mais dif´ıcil.

Lema 22.2 Seja X

n

, n ∈ N , uma sequˆencia de elementos de f

r

tais que X

n

6= 0. Suponhamos que X

n

→ 0 para n → ∞

e que X

n

/kX

n

k → Y para algum Y ∈ Mat ( C , n). Ent˜ ao

¹²

, Y ∈ M

_r

. 2

12Após a demonstra¸cão do Lema 22.2, discutiremos à página 1194 que de fato existem sequências satisfazendo essas hipóteses.

(14)

Prova do Lema 22.2. Notemos antes de mais nada que se Y

n

:= X

n

/kX

n

k → Y ∈ Mat ( C , n) ent˜ ao Y 6= 0. Em verdade, kY k = 1 pois, fazendo uso da desigualdade (3.24), p´ agina 234, temos | kY

n

k − kY k | ≤ kY

n

− Y k. Como o lado direito vai a zero quando n → ∞, segue que kY k = 1, pois kY

n

k = 1.

Fixemos tamb´em um n´ umero m ∈ N n˜ ao-nulo. Podemos escrever w

r

como a uni˜ ao w

r

=

[

m k=1

s

k

, onde

s

k

≡ s

^r_k

:=

X ∈ w

r

k − 1

m r ≤ kX k ≤ k m r

,

ou seja, podemos escrever w

r

como uma uni˜ ao de “fatias”, ou cascas esf´ericas, de vetores com normas entre

^k−1_m

r e

_m^k

r.

Note-se que s

1

´e a bola fechada de raio r/m centrada em 0:

s

1

= n X ∈ w

r

kX k ≤ r m

o .

Como X

n

converge a 0, existe um n´ umero N

m

(que pode depender de m) tal que X

n

∈ s

1

para todo n > N

m

. Seja agora um k

0

∈ N fixo, escolhido de modo que 1 < k

0

≤ m. Vamos mostrar que para cada n > N

m

podemos encontrar um n´ umero inteiro j

n

(eventualmente dependente de n) de modo que j

n

X

n

∈ s

k0

, ou seja, tal que

(k

0

− 1)r

m ≤ kj

_n

X

n

k ≤ k

0

r m . Para isso, ´e suficiente escolhermos um j

n

inteiro satisfazendo

(k

0

− 1)r

mkX

n

k ≤ |j

n

| ≤ k

0

r mkX

n

k .

Haver´a inteiros no intervalo entre

^(k_mkX⁰^−1)r_n_k

e

_mkX^k⁰^r_n_k

? Para ver isso, notemos que o comprimento desse intervalo ´e k

0

r

mkX

n

k − (k

0

− 1)r

mkX

n

k = r

mkX

n

k ≥ 1 ,

pois kX

n

k ≤

_m^r

, dado que X

n

∈ s

1

. Ent˜ ao, uma tal escolha de j

n

´e sempre poss´ıvel para cada n (pois todo intervalo fechado de comprimento igual ou maior que 1 cont´em ao menos um inteiro).

Vamos denominar j

n

X

n

por Y

n^(k⁰⁾

(com k

0

fixo). ´ E evidente que Y

n^(k⁰⁾

∈ s

k0

⊂ w

r

. Isso implica que exp Y

n^(k⁰⁾

∈ W

r

. Fora isso, exp

Y

n^(k⁰⁾

= exp(j

n

X

n

) = (exp(X

n

))

^jⁿ

. Como exp(X

n

) pertence ao grupo H (pois X

n

∈ f

r

), segue pela propriedade de grupo que tamb´em tem-se exp

Y

n^(k⁰⁾

∈ H (´e por essa raz˜ ao que escolhemos j

n

inteiro). Com isso, provamos que exp

Y

n^(k⁰⁾

∈ H ∩ W

r

, o que significa que

¹³

Y

n^(k⁰⁾

∈ f

r

.

O conjunto f

_r

´e fechado e limitado e, portanto, compacto. Isso significa que existe uma subsequˆencia Y

n^(kl⁰⁾

, l ∈ N , que ´e convergente em f

r

. Agora, como Y

n

= X

n

/kX

n

k converge a Y , isso significa que Y

n^(kl⁰⁾

converge a um m´ ultiplo de Y , digamos λ

^(k⁰⁾

Y , pois Y

n^(kl⁰⁾

´e um m´ ultiplo de Y

nl

, a saber, Y

n^(kl⁰⁾

= j

nl

kX

_nl

kY

_nl

. Portanto, para um tal λ

^(k⁰⁾

temos λ

^(k⁰⁾

Y ∈ f

r

. Note que tamb´em tem-se −λ

^(k⁰⁾

Y ∈ f

r

, bastando para tal trocar X

n

por −X

_n

na argumenta¸c˜ ao acima, o que ´e permitido pois f

_r

´e sim´etrico.

Assim, λ

^(k⁰⁾

= lim

l→∞

j

nl

kX

nl

k e, consequentemente, (k

0

− 1)r

m ≤ λ

^(k⁰⁾

≤ k

0

r m .

O que provamos acima vale para cada k

0

∈ N com 1 < k

0

≤ m. Resumindo nossas conclus˜oes, provamos que para todo m ∈ N , cada intervalo I

k0, m

:= h

(k0−1) m

r,

^k_m⁰

r i

com 1 < k

0

≤ m cont´em pelo menos um λ

^(k⁰⁾

tal que ±λ

^(k⁰⁾

Y ∈ f

r

.

13Em [290] o argumento que prova queY_n^(k⁰⁾∈fr n˜ao est´a correto, lamentavelmente.

(15)

A uni˜ao [

m k0=2

I

k0, m

´e o conjunto

₁

m

r, r

. Esses intervalos I

k0, m

podem ser feitos mais finos e em maior n´ umero, fazendo m → ∞, sendo que [

m∈N

1 m r, r

= (0, r].

Conclu´ımos disso que existe um conjunto cont´ avel denso de n´ umeros λ no intervalo (0, r] tais que ±λY ∈ f

r

. Como f

r

´e fechado, isso implica que λY ∈ f

r

para todo λ ∈ [−r, r]. Agora, isso significa precisamente que Y ∈ M

_r

, que ´e o que quer´ıamos provar.

A prova do Lema 22.2 est´ a completa.

Podemos nos perguntar agora, ser´a que existem sequˆencias X

n

satisfazendo as hip´oteses do Lema 22.2, ou seja, tais que X

n

/kX

n

k convirja para algum Y ? ´ E f´ acil ver que sim. Notemos para isso que para qualquer sequˆencia X

n

∈ f

r

com X

n

→ 0 a sequˆencia Y

n

= X

n

/kX

n

k est´ a contida no conjunto compacto formado pelos vetores de norma 1. Assim, Y

n

sempre tem uma subsequência convergente a algum Y , que também tem norma 1. A essa subsequência aplica-se ent˜ ao o Lema 22.2 e tem-se Y ∈ M

_r

. Isso, em particular, mostra-nos que M

_r

´e n˜ ao-trivial, ou seja, cont´em elementos n˜ ao-nulos.

Provamos ent˜ ao:

Corol´ ario 22.1 O conjunto M

_r

definido acima cont´em elementos diferentes de 0. 2

Esse simples corol´ ario ´e crucial para o que segue

¹⁴

, pois tem a seguinte consequˆencia.

Proposi¸ c˜ ao 22.8 Seja H um subgrupo fechado e n˜ ao-discreto de GL(n, C ). Ent˜ ao, valem as seguintes afirmativas. I.

M

_r

= L (H ) para qualquer r > 0. II. L (H ) ´e n˜ ao-trivial, ou seja, n˜ ao consiste apenas na matriz nula. H´ a, portanto,

subgrupos uniparam´etricos n˜ ao-triviais em H. 2

Prova. Seja o conjunto M

_r

≡ M (H, W

r

) definido em (22.9), com W

r

definido em (22.4)-(22.6) para algum r > 0.

Provaremos que M(H, W

r

) = L(H).

Em primeiro lugar, ´e claro (por defini¸c˜ ao!) que se X ∈ L (H) teremos exp(tX ) ∈ H , ∀t ∈ R . Se X = 0 ent˜ ao X ∈ M (H, W

r

) trivialmente. Se X 6= 0 ent˜ ao, se escolhermos |t| < r/kX k, teremos que tX ∈ w

r

. Logo, X ∈ M (H, W

r

).

Isso mostra que L (H ) ⊂ M (H, W

r

).

Seja X ∈ M(H, W

r

) com X 6= 0. Pelo Corol´ ario 22.1, um tal X existe. Assim, existe um ǫ > 0 tal que exp(t

^′

X ) ∈ H para todo t

^′

∈ (−ǫ, ǫ). Seja agora t ∈ R qualquer. Se escolhermos n ∈ Z com |n| grande o suficiente, teremos |t/n| < ǫ.

Da´ı, exp((t/n)X ) ∈ H e, como H ´e um grupo, exp(tX ) = (exp((t/n)X ))

ⁿ

∈ H . Como isso vale para qualquer t ∈ R provamos que X ∈ L (H).

Com isso provamos que M(H, W

r

) ⊂ L(H ) e, portanto, M(H, W

r

) = L(H ). Assim, pelo Corol´ario 22.1, L(H )

é n˜ ao-trivial. Consequentemente existem em H subgrupos uniparamétricos n˜ ao-triviais, a saber aqueles que têm como geradores infinitesimais os elementos n˜ ao-nulos de M(H, W

r

).

*

Chegamos agora ao ponto em que boa parte do que fizemos ser´a unificado e revelaremos a importˆ ancia de subgrupos uniparam´etricos para os grupos de Lie matriciais.

• Subgrupos uniparam´ etricos e ´ algebras de Lie

Seja H um subgrupo fechado e n˜ ao-discreto de GL(n, C ). O seguinte teorema, o qual é uma consequência das f´ ormulas de Lie-Trotter e do comutador (f´ ormulas (11.41) e 11.42 da Proposi¸c˜ ao 11.13, p´ agina 601. Vide Cap´ıtulo 11), é de importˆ ancia fundamental:

14Infelizmente, alguns textos como [354], [410] e mesmo (surpreendentemente) [311], não provam queM_r é não-trivial, o que torna suas demonstra¸cões do Teorema 22.2 incompletas. Mesmo [290], que prova os Lemas 22.1 e 22.2, não menciona o Corolário 22.1, embora o mesmo fique impl´ıcito pela sua análise. A referência [177]-[178] , que segue outra e muito interessante linha de racioc´ınio, é expl´ıcita quanto ao Corolário 22.1.