Andamento das aulas - Prova 1

Andamento das aulas - Prova 1

Caros alunos, neste pdf colocarei de forma sucinta os t´opicos vistos em cada se- mana de aula, assim como indicac¸˜oes de materiais para leitura.

Recomendei para vocˆes o seguinte livro: Fundamentos de Matem´atica Elementar - Vol. 1 - Conjuntos - Func¸˜oes. Podem encontrar v´arias c´opias deste livro (edic¸˜oes novas e antigas, mas com o mesmo conte´udo) na biblioteca central ou setorial¹.

Como leitura complementar e de embasamento matem´atico, quem quiser, pode ler os cap´ıtulos 1,2,3 e 4 e fazer a Lista 0. Nosso curso comec¸a no cap´ıtulo 5.

Aulas dos dias 23/03 e 27/03

Nesta primeira semana, definimos os seguintes conceitos: func¸˜oes, dom´ınios, con- tra dom´ınios e imagens. Foram feitos alguns exemplos, como a func¸˜ao raiz quadrada, func¸˜oes na forma de frac¸˜ao e outras. Lembrem-se que quando queremos encontrar o dom´ınio de uma func¸˜ao temos que ver os pontos nos quais ’ter´ıamos problemas’, por exemplo:

• func¸˜ao raiz quadrada: s´o esta definida para n´umeros positivos;

• func¸˜oes como frac¸˜ao: o denominador nunca pode ser 0.

Com isso, cobrimos quase todo Cap´ıtulo 5 do Fundamentos...

Falamos tamb´em sobre gr´aficos de algumas func¸˜oes, as chamadas elementares.

Aulas dos dias 31/03 e 03/04

Nesta semana (Sexta feira feriado), vimos como fazemos a soma/subtrac¸˜ao, pro- duto, quociente e produto por um escalar (um n´umero fixado) de func¸˜oes. Lembrem-se que devemos fazer ponto a ponto, ou seja,

(f+g)(x) =f(x) +g(x) e assim por diante em todas as operac¸˜oes.

Tamb´em estudamos as composic¸˜oes entre func¸˜oes: a composic¸˜ao entre duas func¸˜oes f∶A→Beg∶B→C´e uma nova func¸˜ao chamadag○f, em que

(g○f)(x) =g(f(x)).

Temos sempre que verificar se o contra dom´ınio da primeira func¸˜ao ´e igual ao dom´ınio da segunda (no caso acima, C.D(f) =B=Dom(g)).

Outros conceitos que vimos foram:

1http://migre.me/palEs

• func¸˜ao injetora: cada ponto da imagem est´a associada a apenas um ponto do dom´ınio;

• func¸˜ao sobrejetora: seu contra dom´ınio ´e igual `a sua imagem.

Dica para descobrir pelo gr´afico da func¸˜ao: dada uma func¸˜aof∶A→B, n´os esboc¸amos o gr´afico desta func¸˜ao e fazemos a seguinte an´alise:

• se nenhuma reta horizontal corta o gr´afico mais de uma vez, ent˜aof ´e injetora;

• se toda reta horizontal no contra dom´ınio corta o gr´afico, ent˜aof ´e sobrejetora.

Quando um func¸˜ao ´e injetora e sobrejetora, dizemos que ela ´e bijetora. Toda func¸˜ao bijetora possui uma func¸˜ao inversa, isto ´e, sef∶A→B ´e bijetora, existe uma func¸˜ao f⁻¹∶B→Atal que

(f○f⁻¹)(x) =xe(f⁻¹○f)(x) = (x).

Resumindo: para verificar se uma func¸˜ao possui inversa primeiro temos de conferir sua injetividade e sua sobrejetividade; depois encontramos a inversa fazendo ’y troca por x, x troca por y e isola y’ e por fim conferimos se as composic¸˜oes s˜ao como acima.

Bom feriado a todos!

Aulas dos dias 07/04 e 10/04

Nesta semana conversamos sobre inversas e comec¸amos limites.

Limites inicia nossa Unidade 2, podem conferir como apoio o livro: Fundamentos da Matem´atica Elementar Vol. 8.

O conceito intuitivo de limites ´e o seguinte: quando estou me aproximando de um certo ponto (xtende a este pontoa, digamos) quero saber o que acontece comf(x), por notac¸˜ao matem´atica

lim

x→af(x).

As propriedades para se calcular limites, quando eles existem:

• Unicidade: o limite quando existe ´e ´unico;

• Semene s˜ao constantes (n´umeros) e a func¸˜ao ´e dada porf(x) =mx+n, ent˜ao

x→alimf(x) =ma+n;

• Se a func¸˜ao ´e constante, isto ´e,f(x) =cpara todoxec´e um n´umero, ent˜ao

x→alimf(x) =c;

• O limite da soma/diferenc¸a de func¸˜oes ´e a soma/diferenc¸a dos limites de cada func¸˜ao,

x→alim[f(x) ±g(x)] =lim

x→af(x) ±lim

x→ag(x);

• O limite do produto de func¸˜oes ´e o produto dos limites de cada func¸˜ao,

x→alim[f(x) ⋅g(x)] =lim

x→af(x) ⋅lim

x→ag(x);

• O limite da divis˜ao de func¸˜oes ´e a divis˜ao dos limites de cada func¸˜ao quando for poss´ıvel dividir, isto ´e,

x→alim[f(x) g(x)] = lim

x→af(x)

x→alimg(x) quandog(x) ≠0elim

x→ag(x) ≠0;

• O limite de uma func¸˜ao elevada a um n´umeron´e o limite desta func¸˜ao elevado ao mesmo n´umeron,

x→alim[f(x)]ⁿ= [lim

x→af(x)]ⁿ;

• O limite da raizn-´esima de uma func¸˜ao (raiz quadrada, raiz quarta, raiz quinta, etc.) ´e a raizn-´esima do limite da func¸˜ao (o limite ’pula’ pra dentro da raiz),

x→alim

√n

f(x) = ⁿ√

x→alimf(x);

• O limite do m´odulo de uma func¸˜ao ´e o m´odulo do limite desta func¸˜ao,

x→alim∣f(x) ∣=∣lim

x→af(x) ∣.

Com essas propriedades em mente, calcular limites (quase sempre) ´e uma tarefa de apenas substituir o valor dexna f´ormula def e resolver as continhas.

ATENC¸ ˜AO: quando temos o limite de uma frac¸˜ao, devemos primeiro verificar se podemos substituir. Quero dizer, devemos verificar se ’aparece’ o n´umero0em baixo da frac¸˜ao. Caso isto ocorra, devemos simplificar a frac¸˜ao. Dicas para simplificar:

• Se aparecer algo do tipof(x) =ax²+bx+cfazemos B´askara, isto ´e, x= −b±√

b²−4⋅a⋅c 2⋅a ,

onde encontramos duas ra´ızesx1 ex2. Da´ı podemos reescrever nossa func¸˜ao como

f(x) =a(x−x1)(x−x2).

Errata: em sala errei ao passar uma simplificac¸˜ao como esta, por favor chequem o material de vocˆes. Acredito que foi um dos exemplos em func¸˜oes por partes.

• Se aparecer algo do tipoa²±2ab+b²podemos usar o produto not´avel a²±2ab+b²= (a±b)².

• Se aparecer algo do tipoa²−b², podemos reescrever na forma do produto not´avel a²−b²= (a+b)(a−b).

• Se aparecer algo do tipoa³+b³podemos usar o produto not´avel a³+b³= (a+b)(a²−ab+b²).

• Se aparecer algo do tipoa³−b³podemos usar o produto not´avel a³−b³= (a−b)(a²+ab+b²).

Aulas dos dias 14/04 e 17/04

Esta semana vimos mais duas estrat´egias para simplificarmos uma func¸˜ao e resol- vermos limites, s˜ao elas:

• Pode ser ´util a seguinte identificac¸˜ao x−y= (√

x)²− (√ x)². Pois desta temos algo do tipoa²−b².

• Quando precisamos lidar com ra´ızes, pode ser ´util uma ’conjugac¸˜ao’, por exem- plo √x+y=√x+y⋅ (√√xx−−yy).

Observe que devemos trocar apenas um sinal, e na frac¸˜ao aparace o mesmo termo em cima e em baixo.

Outro t´opico abordado foi o c´alculo de limites laterais, isto ´e, dada uma func¸˜ao por partes

f(x) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

f₁, x>x₀ f2, x<x0. Calculamos ent˜ao os seguintes limites:

lim

x→x⁺₀f(x) = lim

x→x⁺₀f1,

onde o+significa que estando nos aproximando dex0por valores maiores do quex0. Tamb´em calculamos

lim

x→x⁻₀f(x) = lim

x→x⁻₀f2,

onde o−significa que estando nos aproximando dex0por valores menores do quex0. Lembrem-se da dica que dei, sempre desenhe uma retinha com os pontos maiores e menores do quex0e identifique a func¸˜ao nos dois lados.

Dizemos que O limite de uma func¸˜ao por partes existe quando os limites laterais s˜ao iguais, isto ´e,

x→xlim₀f(x)existe somente quando lim

x→x⁺₀

f(x) = lim

x→x⁻₀

f(x).

Outros conceitos que comec¸amos a estudar foram os limites infinitos e no infinito.

Vimos poucos exemplos, mas a estrat´egia b´asica ´e colocar em evidˆencia o termoxque tem a maior potˆencia. Fazemos isto para evitar ’coisas’ sem sentido como

0 0,∞

∞,∞ ± ∞,0⋅ ∞,1^∞,∞⁰,∞^∞.

Os c´alculos destes limites (infinitos e no infinito) recair˜ao sobre racioc´ınios como os listados a seguir, ondecrepresenta um n´umero qualquer fixado:

• lim

x→0

c x= ∞;

• lim

x→∞

c x=0;

• lim

x→∞

x c = ∞;

• lim

x→∞c⋅x= ∞.

Tendo isto em mente vocˆes ser˜ao capazes de resolver grande quantidade de limites.

Bom feriado a todos.

Aula do dia 24/04

Nesta aula vimos o conceito de func¸˜ao cont´ınua. Intuitivamente ´e uma func¸˜ao que n˜ao tem ’pulos/saltos’. Mais formalmente dizemos que uma func¸˜aof ´e cont´ınua ´e um pontoaquando:

existe lim

x→af(x)e lim

x→af(x) =f(a). Dizemos ent˜ao quef ´e cont´ınua ema.

Com isto finalizamos a mat´eria para a P1.

Aulas dos dias 28/04

Revisamos a mat´eria para prova e resolvemos d´uvidas das listas, num aul˜ao de exerc´ıcios.

Aula do dia 05/05

Prova 1

Andamento das aulas - Prova 2

Aula do dia 08/05

Iniciamos os estudos das derivadas.

Nesta primeira aula, apenas definimos a derivada de uma func¸˜aof num pontoxo

como sendo o limite

x→xlim0

f(x) −f(x0)

x−x₀ =∶f^′(x0),

quando o este limite existe. H´a quem chame a derivada de ’Taxa M´edia de Variac¸˜ao’

da func¸˜ao

Tamb´em vimos que, geometricamente, a derivada de uma func¸˜ao num ponto es- pec´ıfico ´e igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico da func¸˜ao neste ponto.

Em particular se queremos a equac¸˜ao da tangentetao gr´afico de uma func¸˜aofno ponto (x0, y0), em quef ´e deriv´avel, basta fazery0 =f(x0)em=tg(α) =f^′(x0), onde tg(α)´e o coeficiente angular da reta. Assim, a equac¸˜ao da retat´e dada por

y−f(x0) =f^′(x0) ⋅ (x−x0).

Observe que esta ´e a famosa f´ormula: y−y₀=m⋅ (x−x₀)chamada carinhosamente de ’yo-yˆo-mi-xi-xˆo!’

Aulas dos dias 12/05 e 15/05

Observe que primeiro definimos a derivada de uma func¸˜ao f em um ponto es- pec´ıficox0como o limite

x→xlim₀

f(x) −f(x0) x−x0

,

quando este existe. Podemos tamb´em definir a derivada da func¸˜aof para um pontox qualquer, atrav´es do limite

lim

∆x→0

f(x+∆x) −f(x)

∆x =∶f^′(x),

quando este existe, em que∆x = x−x0. Mas no fundo podemos sempre pensar no primeiro limite.

Continuando o estudo das derivadas, aprendemos v´arias regrinhas que facilitam o c´alculo destas. Em resumo n´os vimos que dadas func¸˜oesf eg deriv´aveis ea,b ek n´umeros reais quaisquer:

• f(x) =kpara todo x Ô⇒ f^′(x) =0;

• f(x) =ax+b Ô⇒ f^′(x) =a;

• k⋅f(x) Ô⇒ (k⋅f(x))^′=k⋅f^′(x);

• f(x) =xⁿparanqualquer Ô⇒ f^′(x) =nxⁿ⁻¹;

• f(x) +g(x) Ô⇒ (f(x) +g(x))^′=f^′(x) +g^′(x);

• f(x) ⋅g(x) Ô⇒ (f(x) ⋅g(x))^′=f^′(x) ⋅g(x) +f(x) ⋅g^′(x);

• f(x)

g(x) parag(x) ≠0 Ô⇒ (f(x) g(x))

′

= f^′(x) ⋅g(x) −f(x) ⋅g^′(x) (g(x))² ;

• f(x) =a^xem quea>0ea≠1 Ô⇒ f^′(x) =a^x⋅ln(a)(ln´e olog_e);

• caso especial do anterior: sea=eent˜aof(x) =e^x Ô⇒ f^′(x) =e^x;

• f(x) =loga(x)em quea>0ea≠1ex>0 Ô⇒ f^′(x) = 1 x⋅ln(a);

• caso especial do anterior: sea=eent˜aof(x) =ln(x) Ô⇒ f^′(x) = 1 x;

• (f○g)(x) =f(g(x)) Ô⇒ (f○g)^′(x) =f^′(g(x)) ⋅g^′(x);

• sejaf⁻¹ a inversa de f e deriv´avel, ent˜ao (f⁻¹)^′(x) = 1

f^′(f⁻¹(x)), em que f^′(f⁻¹(x)) ≠0

Outro fato importante ´e que podemos pensar na derivada da derivada de uma func¸˜ao, quando poss´ıvel, isto ´e,

f^′′(x) =f⁽²⁾(x), f^′′′(x) =f⁽³⁾(x),

e assim por diante. Procedemos da seguinte forma para calcular tais derivadas, por exemplo se queremos calcular a terceira derivada de uma func¸˜ao fazemos: a primeira derivada, depois derivamos esta e por fim derivamos a derivada da derivada, isto ´e,

f⁽³⁾(x) = (f⁽²⁾(x))^′= ((f^′(x))^′)^′.

Aulas dos dias 19/05 e 22/05

Esta semana aprendemos a diferencial de uma func¸˜ao e aplicac¸˜oes das derivadas no estudo da variac¸˜ao das func¸˜oes, isto ´e, como identificamos onde uma func¸˜ao ´e crescente ou decrescente e seus pontos de m´aximo e m´ınimo.

Primeiro, a diferencial significa uma ’micro variac¸˜ao’ da func¸˜ao quando ∆x ´e muito pequeno. A diferencial de uma func¸˜aof em um pontox0´e calculada usando a f´ormula:

df=f^′(x0)∆x.

Podemos sempre comparar o valor da diferencial com o real valor da variac¸˜ao da func¸˜ao que ´e dada por

∆f =f(x0+∆x) −f(x0),

e perceber que quanto menor∆xmais esses valores s˜ao parecidos/pr´oximos.

Quanto ao comportamento da func¸˜ao sobre crescente, decrescente, m´aximos e m´ınimos os seguintes resultados nos ajudam.

A primeira derivada nos diz onde uma func¸˜ao ´e crescente e decrescente.

Sejaf uma func¸˜ao deriv´avel em(a, b), ent˜ao:

• sef^′(x) =0em(a, b)ent˜aof ´e constante em(a, b);

• sef^′(x) >0em(a, b)ent˜aof ´e crescente em(a, b);

• sef^′(x) <0em(a, b)ent˜aof ´e decrescente em(a, b).

Agora para m´aximos e m´ınimos temos o Teste da Segunda Derivada.

Sejax0um ponto cr´ıtico de ma func¸˜aof, isto ´e,f^′(x0) =0e suponha quef^′(x) existe para qualquer valor dexem algum intervalo aberto contendox0. Ent˜ao

• sef^′′(x₀) <0ent˜aox₀ ´e ponto de m´aximo def;

• sef^′′(x₀) >0ent˜aox₀ ´e ponto de m´ınimo def.

Aulas dos dias 26/05 e 29/05

Fizemos uma revis˜ao sobre regras de derivac¸˜ao e vimos exemplos de como esboc¸ar o gr´afico de uma func¸˜ao qualquer apenas com t´ecnicas aprendidas at´e o momento no curso (roteiro junto `a quest˜ao bˆonus).

Aula do dia 02/06

Aula de exerc´ıcios para a prova.

Aulas dos dias 09/06

Prova 2.

Andamento das aulas - Prova 3

Agora usaremos o livro Fundamentos da Matem´atica elementar Volume 4.

Aulas do dia 12/06

Nesta primeira aula definimos que uma tabelaM commlinhas encolunas preen- chida por n´umeros reais recebe o nome dematriz. Por notac¸˜aoM_m×n.

Vimos tamb´em, que cada elemento de uma matriz M pode ser denotado pelo s´ımbolo a_ij em que i indica a posic¸˜ao na linha e j a posic¸˜ao na coluna da matriz, desta forma1⩽i ⩽me1⩽j ⩽n. Por convenc¸˜ao as linhas s˜ao numeradas de cima para baixa e as colunas da esquerda para a direita.

Uma matrizM de ordemm×n´e presentada por:

M_m×n=

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 ⋯ amn

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦ .

Dada uma matrizMde ordemn×n, ela ´e chamadaquadrada(pois se assemelha a um quadrado).Os elementosaijtais quei=jdesta matriz recebem o nome dediagonal principal. Veja em negrito a diagonal principal da matrizM

Mn×n=

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 ⋯ ann

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦ .

Vimos alguns exemplos de matrizes e como podemos atrav´es de uma regrinha (lei de formac¸˜ao) criar uma matriz.

Aulas dos dias 16/06 e 19/06

Nesta semana aprendemos tipos especiais de matrizes, operac¸˜oes entre matrizes e determinantes.

Matrizes que recebem nomes especiais:

• Matriz quadrada: toda matrizA= [aij]de ordemn×n;

• Matriz nula: toda matrizAm×n= [aij]^m×n, tal queaij =0para todoiej;

• Matriz identidade: toda matrizIn×n= [aij], tal queaij =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩ 0, i≠j 1, i=j ;

• Matriz linha: toda matrizA_1×n, comn>1;

• Matriz coluna: toda matrizAm×1, comm>1;

Aprendemos que duas matrizesAm×n = [aij]^m×neBm×n = [bij]^m×n s˜ao iguais quandoaij=bij para todoiej.

Definimos as seguintes operac¸˜oes entre matrizes:

• Soma de matrizes: Dadas duas matrizesA_m×n= [a_ij]^m×neB_m×n = [b_ij]^m×n, ent˜ao

(A+B)^m×n= [aij+bij]^m×n.

A soma satisfaz:A+B=B+Ae(A+B) +C=A+ (B+C).

• Multiplicac¸˜ao por um escalar/n´umero: Dada uma matrizAm×n = [aij]^m×n e k∈R, ent˜ao

k⋅A= [k⋅a_ij].

Isto ´e, multiplicar uma matriz por um n´umero significa multiplicar todos os ele- mentos desta matriz por este n´umero.

• Matriz transposta: Dada uma matrizAm×n= [aij]^m×n, definimos A^t_n×m= [aji]^n×m.

Isto ´e, trocamos as linhas deApor suas colunas, por isso a ordem da matriz se inverte.

A transposic¸˜ao satisfaz `as seguintes propriedades:

– (A+B)^t=A^t+B^t; – (k⋅A)^t=k⋅A^t,k∈R; – (A^t)^t=A;

– (A⋅B)^t=B^t⋅A^t, quando existe o produtoA⋅B.

• Produto de matrizes: Dadas duas matrizesA_m×n= [a_ij]^m×neB_n×p= [b_ij]^m×n - as colunas deAdevem ser iguais em n´umero `as linhas deB-, ent˜ao

(A⋅B)^m×p=

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

∑^nj=1a_1j⋅b_j1 ⋯ ∑^nj=1a_1j⋅b_jp

⋮ ⋯ ⋮

∑^nj=1a_mj⋅b_j1 ⋯ ∑^nj=1a_mj⋅b_jp

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦ .

Isto significa que operaremos os elementos das linhas deAcom os elementos das colunas deB.

Propriedades do produto de matrizes:

– (A⋅B) ⋅C=A⋅ (B⋅C); – A⋅ (B+C) =A⋅B+A⋅C;

– (A+B) ⋅C=A⋅C+B⋅C;

– Em geralA⋅B≠B⋅A;

– SeA⋅B=0, n˜ao necessariamenteA=0ouB=0.

Aprendemos na ´ultima aula que o determinante de uma matriz quadrada ´e um n´umero associado a operac¸˜oes feitas com os elementos desta matriz. Por notac¸˜ao

det(A) =∣A∣.

• Determinante de2^aordem:

det(A_2×2) = ∣a11 a12

a21 a22∣ =a₁₁a₂₂−a₁₂−a₂₁.

• Determinante de3^aordem:

det(A3×3) =RRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ RRRRR RRRRR RRR=

=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃. Para ordem superior a trˆes o c´alculo pode se tornar muito dif´ıcil. Uma forma de encontrar tais determinantes ´e via cofatores, como exemplificamos em sala. Por´em algumas propriedades ajudam a identificar certos determinantes.

Propriedades dos determinantes: sejaAn×nent˜ao

(P1) se todos os elementos de uma linha ou coluna deAs˜ao nulos, ent˜ao det(A) =0;

(P2) se duas linhas ou colunas deAs˜ao iguais, ent˜ao det(A) =0;

(P3) se duas linhas ou colunas deAs˜ao proporcionais, ent˜ao det(A) =0;

(P4) se os elementos de uma linha ou coluna deAs˜ao combinac¸˜oes lineares dos ele- mentos correspondentes das outras linhas ou colunhas (respectivamente, linha- linha ou coluna-coluna), ent˜ao det(A) =0;

(P5) det(A^t) =det(A);

(P6) quando os elementos de uma linha ou coluna forem multiplicados por um n´umero, ent˜ao o determinante desta matriz sera multiplicado por este n´umero. Exemplo

RRRRR RRRRR RRRRR RRR

k⋅a₁₁ k⋅a₁₂ ⋯ k⋅a_1n a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a_m1 a_m2 ⋯ a_mn RRRRR RRRRR RRRRR RRR

=k⋅RRRRR RRRRR RRRRR RRR

a₁₁ a₁₂ ⋯ a_1n a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a_m1 a_m2 ⋯ a_mn RRRRR RRRRR RRRRR RRR .

(P7) det(A⋅B) =det(A)⋅det(B);

(P8) det(k⋅A) =kⁿ⋅det(A)-kfica elevado `a ordem da matriz.

Aulas dos dias 23/06 e 26/06

Nesta semana aprendemos que dada uma matrizA_n×na sua inversaA⁻¹_n×n´e a matriz tal que

A⋅A⁻¹=I_neA⁻¹⋅A=I_n. A inversa existe somente quando det(A) ≠0.

Para encontrar a inversa procedemos da seguinte forma.

• Matrizes de ordem2: sejaA= [a b

c d]tal que det(A) ≠0, ent˜ao A⁻¹= 1

det(A)[d −b

−c a].

• Matrizes de ordem superior a2: para estes casos usamos o m´etodo de Gauss- Jordan que consiste em realizar operac¸˜oes entre as linhas da matriz a fim de transform´a-la numa matriz identidade. Isto ´e, sejaAn×n tal que det(A) ≠ 0, ent˜ao

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⋮

A_n×n ⋮ I_n×n

⋮

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

∼⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⋮

I_n×n ⋮ A⁻¹_n×n

⋮

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎦ ,

em que∼significa que vamos operar as linhas da matrizAentre si de forma que Ase transforme na matriz identidade.

Por fim, aprendemos Sistemas lineares e escalonamento. Dado um sistema

S=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

a₁₁x₁+a₁₂x₂+ ⋯ +a_1nx_n=c₁ a21x1+a22x2+ ⋯ +a2nxn=c2

⋮

am1x1+am2x2+ ⋯ +amnxn=cm

,

vimos que podemos escrever este sistema em forma matricial. Teremos A⋅X=C

onde

Am×n=

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 ⋯ amn

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦ , X=

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣ x1

x2

⋮ xn

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦ eC=

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣ c1

c2

⋮ cm

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦ .

O sistemaSpossu´ı outra matriz relacionada, chamadamatriz ampliadaque ´e dada

por ⎡⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⋮ Am×n ⋮ C

⋮

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎦ , ou seja, acoplamos a matrizCao final da matrizA.

Vimos que o sistemaS possu´ı uma ´unica soluc¸˜ao somente quandom=n, isto ´e, a matriz A ´e quadrada. Al´em disto, precisamos que det(A) ≠ 0. Neste caso, para encontrarmos a soluc¸˜ao deStemos duas formas de proceder:

• M´etodo da inversa: encontramosA⁻¹e da forma matricial deSobtemos X=A⁻¹⋅C.

• M´etodo do escalonamento: devemos operar as linhas da matriz ampliada entre si de forma a transform´a-la numa matriz triangular superior, desta forma encon- tramos as inc´ognitas (da ´ultima para a primeira); devemos fazer

⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⋮ An×n ⋮ C

⋮

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

∼⎡⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

∗ ∗ ∗ ⋮

0 ∗ ∗ ⋮ C^′

0 0 ∗ ⋮

⎤⎥⎥⎥

⎥⎥⎦ .

Observe que quando alteramos as linhas deAtamb´em devemos fazer as mesmas operac¸˜oes nas linhas deC, por isso no final do processo obtemos uma matriz C^′. Por fim, escrevemos novamente este sistema na forma de equac¸˜oes e subs- titu´ımos as inc´ognitas.

Aulas dos dias 30/06 e 03/07

Aula de exerc´ıcios.

Aulas dos dias 07/07 e 10/07

Prova 3 dia 07/07.

Mat´eria:

• matrizes: lei de formac¸˜ao; tipos de matrizes; operac¸˜oes entre matrizes; determi- nantes e invers˜ao de matrizes.

• sistemas lineares: forma matricial; existˆencia de soluc¸˜ao; m´etodos da inversa e do escalonamento para encontrar soluc¸˜oes.

Prova substitutiva dia 10/07.

Aulas do dia 14/06

Prova de recuperac¸˜ao.

T´ermino das aulas.

Obrigado e boas f´erias!