DECivil Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas MECÂNICA I ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

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DECivil Secção de

Mecânica Estrutural e Estruturas

MECÂNICA I

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

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2

CAPÍTULO 3

PROBLEMA 3.1

(3)

PROBLEMA 3.2

O guindaste da figura encontra-se parcialmente encastrado no solo, podendo ser mobilizado um momento resistente máximo de 62,5 kN.m (em ambos os sentidos). As únicas cargas que suporta são um contrapeso de 50 kN e um peso P que pode deslizar ao longo do braço. A estrutura férrea tem um peso de 1 kN/m em todos os elementos.

a) Calcule a reacção vertical para o máximo peso P que a estrutura pode suportar com a carga na posição da figura.

b) Para P = 7 kN, quais os limites do movimento do motor de elevação ao longo do braço? c) Supondo que o vento exerce uma força equivalente a 1 kN ao nível do braço da grua, quais as

alterações nos resultados anteriores?

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4 PROBLEMA 3.3

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PROBLEMA 3.4

A figura representa um candeeiro de peso P = 50 N suspenso por três cabos. Um deles é ligado directamente à parede, estando os outros dois presos na consola, que se encontra encastrada.

a) Determine os esforços a que os cabos estão sujeitos. b) Calcule as reacções no encastramento da consola.

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6 PROBLEMA 3.5

A placa rectangular A de 75 kg representada na figura seguinte está suspensa de um suporte horizontal DE por anéis em B e C. Um anel na barra em B impede o deslizamento ao longo de DE. Um cabo liga o ponto F a uma roldana na parede. Determine o valor da força P necessária para que a placa fique inclinada de 40˚ com a vertical.

PROBLEMA 3.6

Num salão de exposições fixou-se um cubo de material sintético à parede, através de uma rótula esférica, num dos seus vértices E e de três escoras AF, BG e CD, como se indica na figura.

Sabendo que o cubo pesa 1000 N, determine os esforços a que cada uma das escoras ficou submetida, explicitando os que são de tracção e os que são de compressão.

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PROBLEMA 3.7

O caixote representado na figura tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em E que só permite translação segundo y. Apoia-se em B sobre uma esfera. Sabendo que o caixote pesa 500 N, determine a reacção em B quando uma força horizontal de 300 N é aplicada ao ponto médio D de CE.

PROBLEMA 3.8

Considere a placa OACB, apoiada segundo o eixo OA e suportada pelo tirante CD, sujeita a uma força de 20 N aplicada em B.

a) Calcule o momento em relação ao eixo OA devido à força aplicada em B;

b) Determine a tracção no tirante para garantir o equilíbrio de momentos em torno do eixo OA.

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8

CAPÍTULO 4

PROBLEMA 4.1

Considere a placa ilustrada na figura sujeita a um binário de momento Q.r e a uma força horizontal P. Determine:

a) O vector principal do sistema de forças, o momento mínimo e a equação da recta do espaço onde o momento é mínimo.

b) O lugar geométrico dos pontos do espaço de intersecção dessa recta com o plano XZ quando

θ

varia entre 0 o e 90 o.

PROBLEMA 4.2

Considere o vector

v

=

2 ⋅

e

₁

+

5 ⋅

e

₂ cuja linha de acção passa no ponto A= (2; 1; 2). a) Decomponha o vector

v

em dois vectores

k

e

w

tal que:

- a linha de acção de

k

passa no ponto B (3; -2; 2),

-

w

tem como linha de acção a recta y=10,5x ; z=2.

b) Considere agora que a linha de acção de

k

passa no ponto B1 (5; 8,5; 2). Decomponha, da

mesma forma, o vector

v

em dois vectores

k

e

w

.

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PROBLEMA 4.3

Considere o campo de momentos que toma os seguintes valores em 3 pontos dados: A(0; 0; 0)

M

A

=

5 e

1

+

2 e

2

+

7 e

3

)

(kN

⋅

m)

B(0; 1; 2)

M

B

=

5 e

1

+

8 e

2

+

4 e

3

)

(kN

⋅

m)

C(1; 0; 1)

M

C

=

6 e

1

+

7 e

2

+

6 e

3

)

(kN

⋅

m)

Determine o valor do campo no ponto D (1; 1; 1).

PROBLEMA 4.4

Considere o sistema de forças formado por 5 forças de intensidade P aplicadas nas arestas de um cubo de lado a, como indicado na figura.

a) Determine os elementos de redução do sistema em A e G. b) Classifique o sistema.

c) Verifique a propriedade projectiva entre A e G.

d) Escreva a equação da recta de momentos mínimos e determine a sua intersecção com o plano YZ.

e) Determine as coordenadas do ponto dessa recta mais próximo do ponto G.

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10 PROBLEMA 4.5

Considere um sistema de forças aplicado a um cubo de lado a, do qual se conhecem os momentos resultantes em 3 pontos distintos do espaço.

Identifique o caso de redução.

a) Defina vectorialmente o momento de menor intensidade assim como o vector principal do sistema.

b) Qual a menor força a aplicar em C de modo que o sistema resultante seja equivalente a vector único passando por A.

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PROBLEMA 4.6

Considere o sistema formado por 3 forças aplicadas num cone, como indicado na figura.

a) Será possível equilibrar o sistema adicionando uma única força passando por A? Justifique. b) Será possível que o eixo central passe por V? Justifique.

c) Determine o ponto do plano XY onde deverá ser aplicada uma força F de modo a transformar o sistema num conjugado de momento

)

.

(

31 ,

4

15

20 e

₁

e

₂

e

₃

kN

m

M

=

⋅

+

⋅

+

⋅

Quais as componentes dessa força.

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12 PROBLEMA 4.7

Considere o sistema de forças do qual se sabe que o eixo central passa na aresta AC da pirâmide indicada na figura, e que o momento resultante em D vale

M

D

=

e

₁

+

2 e

₂

+

M

D_Z

e

₃. Determine:

a) a componente

M

_D_z.

b) O vector principal e o momento resultante em B.

c) o lugar geométrico dos pontos do espaço onde o momento resultante é paralelo à direcção

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PROBLEMA 4.8

Considere o sistema de forças representado na figura. ABCD é um quadrado de lado a pertencente ao plano XY.

a) Identifique o caso de redução, justificando

b) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço nos quais a intensidade do momento resultante é de 3aF. Comente a forma desse lugar geométrico.

F

₁

=

₂

=

₃

=

2

₄

=

PROBLEMA 4.9

Considere o sistema constituído pelos vectores F1 e F2, cujas linhas de acção se representam na

figura. Sabe-se que |F2| = 2F e |F1| = F.

a) Calcule os elementos de redução do sistema de forças no Ponto H. b) Calcule o momento em G:

i. Directamente, somando o momento provocado por cada força; ii. Usando a equação de propagação de momentos.

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14 PROBLEMA 4.10

Considere a placa ilustrada na figura sujeita ao conjunto de forças representado. a) Calcule os elementos de redução no ponto O.

b) Determine a equação do eixo central do sistema de vectores.

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CAPÍTULO 6

PROBLEMA 6.1

Analise os corpos rígidos planos indicados, quanto às suas ligações ao exterior e indique a respectiva estatia; diga se o equilíbrio é possível ou não em face dos sistemas de cargas indicados (Nota: nas alíneas a), b), c) e e) as cargas são complanares e com qualquer direcção).

a) b) c) d) e) f) g) h) P (vertical) P (horizontal)

(16)

16

i)

(17)

PROBLEMA 6.2

Analise a estatia exterior, interior e global das estruturas planas seguintes. a)

b) c)

d)

(18)

(19)

p) q)

r)

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20 PROBLEMA 6.3

Uma ponte rolante desloca-se sobre carris ao longo de uma oficina, cujo edifício é constituído por arcos de três articulações com 12,0 m de vão. A viga transversal DE pode deslocar-se sobre os carris, tem de comprimento 9,0 m e pesa 12 kN. O peso da grua é de 8 kN. O peso de metade do arco é de 60 kN e está aplicado no respectivo centro de massa, a 1,70 m de distância da vertical que passa pelo apoio A ou B. As restantes forças aplicadas representam a acção do vento sobre a cobertura e sobre as faces laterais do edifício.

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CAPÍTULO 7

PROBLEMA 7.1

Para as estruturas esquematizadas representar os diagramas de corpo livre (D.C.L.) de todas as barras de eixo recto.

(22)

(23)

(24)

(25)

PROBLEMA 7.2

Esquematize os diagramas de corpo livre dos vários corpos rígidos que constituem cada uma das estruturas representadas a seguir. Para cada estrutura, identifique as incógnitas e as equações que as permitem determinar. Proceda analogamente para cada uma das barras de eixo rectilíneo que não tenham ainda sido separadamente consideradas.

(26)

26 PROBLEMA 7.3

Considere a viga representada na figura, existente no plano XY e sujeita ao carregamento indicado. a) Calcule as reacções no encastramento A.

b) Trace os diagramas de corpo livre das barras AB, BC e CD. c) Trace os diagramas de esforços internos.

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PROBLEMA 7.4

O pórtico tridimensional indicado na figura tem três ligações ao exterior, em A, B e C. O apoio A permite os três movimentos de rotação, o apoio B apenas restringe os movimentos de translação segundo Z e o apoio C restringe os movimentos de translação segundo Y e Z.

a) Calcule as reacções de apoio em A, B e C.

b) Trace os diagramas de corpo livre das barras BF, FI, IH e HD, determinando as forças e momentos nas extremidades dessas barras que garantem o equilíbrio de cada uma delas. c) Trace os diagramas de todos os esforços nas peças da alínea anterior.

d) Trace os diagramas de corpo livre das barras AE, EI, IG e GC, determinando as forças e momentos nas extremidades dessas barras que garantem o equilíbrio de cada uma delas. e) Verifique que o nó I está em equilíbrio.

f) Trace os diagramas de todos os esforços nas peças da alínea d).

(28)

28 PROBLEMA 7.5

A abertura de um poço circular está protegida por três barras de igual comprimento, c, ligadas entre si e apoiadas, como se mostra na figura, num plano horizontal. A extremidade de uma barra apoia-se no meio da outra, de modo que o triângulo DEF é equilátero com os lados iguais a c/2. Calcular as reacções nos apoios A, B e C e as forças de ligação nos pontos D, E e F, quando a estrutura está solicitada por uma carga vertical P aplicada a meio do tramo DE.

PROBLEMA 7.6

(29)

PROBLEMA 7.7

Determinar o esforço axial na barra AB da treliça representada na figura, utilizando o método das secções. A carga P está aplicada no nó F e os triângulos ABC e DEF são equiláteros.

PROBLEMA 7.8

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30 PROBLEMA 7.9

Considere as duas estruturas isostáticas indicadas, com os respectivos carregamentos. Indique para cada uma delas o andamento dos diagramas de esforço (M, V, N) com a conveniente informação do tipo de função e pontos notáveis (valores de máximos, pontos de esforço nulo, etc.)

(31)

PROBLEMA 7.10

Para a estrutura indicada na figura, trace os diagramas de momentos flectores esforços transversos e esforços normais, indicando o tipo e grau das funções, a localização dos pontos notáveis e os valores que elas assumem nesses pontos.

PROBLEMA 7.11

Trace o diagrama de momentos flectores na estrutura esquematizada e determine as expressões analíticas que definem esse diagrama no troço DE.

(32)

(33)

PROBLEMA 7.13

Determine, justificando, o diagrama de momentos flectores da estrutura autoequilibrada indicada, indicando os respectivos sinais e os valores máximos e mínimos, com a indicação das secções em que os mesmos ocorrem. Nota – nos troços curvos, marcar as ordenadas segundo as direcções radiais.

PROBLEMA 7.14

Considere a estrutura isostática indicada com o respectivo carregamento. Indique o andamento dos diagramas de esforço (M, V, N) com a conveniente informação do tipo de função e pontos notáveis (valores de máximos, pontos de esforço nulo, etc.).

(34)

(35)

PROBLEMA 7.16

(36)

Sem determinar previamente as reacções de apoio, trace o diagrama de momentos flectores para a viga contínua a seguir esquematizada, indicando o respectivo valor numérico nos pontos de máximo e mínimo.

PROBLEMA 7.18

Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. a) Determine as reacções nos apoios C e F.

(37)

PROBLEMA 7.19

Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. a) Determine as reacções nos apoios A, C, G e I.

(38)

Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. a) Determine as reacções nos apoios A e F.

(39)

PROBLEMA 7.21

Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. À articulação B liga-se um cabo que passa pela roldana E e em cuja extremidade se suspende um peso de 80 kN.

a) Determine as reacções nos apoios A e D.

b) Trace o diagrama de corpo livre da barra CE, explicitando o valor de todas as cargas que a mantêm em equilíbrio.

c) Trace os diagramas de esforços internos em todas as barras da estrutura.

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Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. Ao ponto F liga-se um cabo que passa pela roldana D e em cuja extremidade se suspende um peso de 28 kN.

a) Determine as reacções nos apoios A e E, utilizando o menor número possível de equações de equilíbrio.

b) Trace os diagramas de corpo livre da barra AB e do corpo que é constituído pelas barras BCD e ECF.

c) Trace os diagramas de corpo livre de cada uma das barras BC, EC, CD e CF, explicitando o valor de todas as cargas que as mantêm em equilíbrio.

d) Verifique que o nó C está em equilíbrio.

e) Trace os diagramas de esforços internos em todas as barras da estrutura, indicando para cada um deles o tipo de função e grau, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos na estrutura.

(41)

PROBLEMA 7.23

Para cada uma das vigas encastradas representadas, trace os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores, tirando partido das relações existentes entre diagrama de carga, diagrama de esforço transverso e diagrama de momento flector.

(42)

42

CAPÍTULO 8

PROBLEMA 8.1

Considere a estrutura representada na figura. Por aplicação do P.T.V. determine: a) o esforço normal na barra GD;

(43)

PROBLEMA 8.2

Considere a estrutura representada na figura. Por aplicação do P.T.V. determine: a) o esforço normal no ponto H;

b) o esforço transverso no ponto I.

(44)

44 PROBLEMA 8.3

Considere a estrutura representada na figura. Por aplicação do P.T.V. determine: a) o esforço transverso no ponto E;

b) o esforço normal no ponto B; c) o esforço normal na barra IJ.

(45)

PROBLEMA 8.4

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado. Por aplicação do P.T.V. calcule o momento flector na secção E.

PROBLEMA 8.5

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado. Por aplicação do P.T.V. calcule o esforço normal na barra GJ.

(46)

46 PROBLEMA 8.6

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado. Por aplicação do P.T.V. calcule o momento flector em D.

(47)

PROBLEMA 8.7

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado. Por aplicação do P.T.V. calcule o esforço normal na barra GH.

PROBLEMA 8.8

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado. Por aplicação do P.T.V. calcule o esforço transverso na secção I.