Open Cúbicas Resas e Redes de Quádricas

(1)

Centro de Ciˆ

encias Exatas e da Natureza

Programa de P´

os–Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

C´

ubicas Reversas e Redes de

Qu´

adricas

Ageu Barbosa Freire

(2)

Programa de P´

os–Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

C´

ubicas Reversas e Redes de

Qu´

adricas

por

Ageu Barbosa Freire

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Fernando Antˆ

onio Xavier de Souza

(3)

F866c Freire, Ageu Barbosa.

Cúbicas reversas e redes de quádricas / Ageu Barbosa Freire.- João Pessoa, 2016.

53f.

Orientador: Fernando Antonio Xavier de Souza Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Cúbica reversa. 3. Rede de quádricas. 4. Teorema da Dimensão das Fibras. 5. Cônica irredutível.

(4)

(5)

(6)

- A Deus.

- A minha fam´ılia, em especial aos meus pais e av´os, pela cobran¸ca, carinho, apoio e ajuda em todas as decis˜oes.

- Ao professor Fernando Xavier por ter me orientado neste trabalho, pelo conheci-mento transmitido, por me motivar a enfrentar novos desafios e, principalmente, pela confian¸ca depositada.

- Aos meus amigos de mestrado, em especial a Sally Vieira, Isabelly Camila, Lucas Ara´ujo, Leon Costa, Rayssa Caj´u, Thiago Luis e Kelyane Abreu pela amizade e companheirismo.

(7)

Resumo

Neste trabalho, apresentamos uma caracteriza¸cão geométrica expl´ıcita para o espa¸co das formas quadráticas que se anulam precisamente sobre uma cúbica reversa. Mostra-mos que o conjunto das quádricas degeneradas pertencentes a uma rede de quádricas que contém a cúbica reversa é descrita por uma curva cuja equa¸cão é dada pelo qua-drado de uma cônica irredut´ıvel. Rec´ıprocamente, se ρ é uma rede de quádricas cuja interse¸cão com o conjunto das quádricas não degeneradas é uma curva dada pelo qua-drado de uma cônica irredut´ıvel, fornecemos condi¸cões sob as quais o lugar dos zeros comuns deρseja uma cúbica reversa. É suficiente queρnão contenha um par de plano.

(8)

In this work, we present an explicit geometric characterization for the space of qua-dratcs form vanishing precisely on a twisted cubic. We show that the set of degenerate quadrics lying on a net of quadrics containing a twisted cubic is described by a curve whose equation is given by the square of an irreducible conic. Conversely, ifρ is a net of quadrics whosw intersection with the set of degenerate quadrics is a curve given by the square of an irreducible conic, we furnish conditions under which the cammon zero locus of ρ turns out to be a twisted cubic. It is enough to require that ρ does not contain a pair of planes.

(9)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Hipersuperf´ıcies Qu´adricas 2

1.1 Equivalˆencia Projetiva . . . 2

1.2 Forma normal das Qu´adricas . . . 4

1.3 O Mapa de Segre . . . 8

1.4 O discriminante de uma qu´adrica . . . 10

1.5 O hiperplano tangente de ∆ . . . 11

2 Cúbicas Reversas e Redes de Quádricas 14 2.1 Quádricas em P3 _{. . . .} ₁₄

2.2 A C´ubica Reversa . . . 15

2.3 Redes de Qu´adricas se anulando na C´ubica Reversa . . . 16

2.4 Recuperando a c´ubica reversa . . . 17

A O Teorema da Dimens˜ao das Fibras 27 A.1 Resultados de ´Algebra Comutativa . . . 27

A.2 Morfismos . . . 28

A.3 Dimens˜ao . . . 32

A.4 Teorema da Dimens˜ao das Fibras . . . 37

(10)

A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

• K denota um corpo algebricamente fechado, salvo men¸c˜ao em contr´ario;

• An _{denota o espa¸co afim sobre o corpo} _K_;

• Pn _{denota o espa¸co projetivo sobre o corpo}_K_;

• ρ denota uma rede de qu´adricas;

• K[X1,· · · , Xn] denota o anel dos polinˆomios nas vari´aveisX1,· · · , Xn com

coefi-cientes emK ;

• I(X) denota o ideal de defini¸c˜ao do conjunto X;

• F rac(A) denota o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınioA;

• A(X) denota o anel de coordenadas do conjunto X ⊂An_;

• O(X) denota o anel das fun¸c˜oes regulares sobre X;

• K(X) denota o corpo das fun¸c˜oes racionais de X;

• ∆ denota o lugar das qu´adricas degeneradas emPn_;

(11)

Introdu¸c˜

ao

Neste trabalho, com base no artigoCúbicas Reversas e Redes de Quádricas dos au-tores I. Vainsencher e M.A. G. Zarzar [7], apresentamos uma caracteriza¸cão geométrica expl´ıcita para o espa¸co das formas quadráticas que se anulam exatamente sobre uma cúbica reversa. Ultilizamos os livros Algebraic Curves [3], Algebraic Geometry-A First Course[4] e Basic Algebraic Geometry-Varieties in Projective Space [6], para obten¸cão de conhecimentos básicos da Geometria Algébrica nescessários para a realiza¸cão deste trabalho.

NoCap´ıtulo1 com base no livroIdeals, Varieties and Algorithmos [2], classificamos as qu´adricas do espa¸co projetivoPn _{segundo equivalˆencia projetiva, com o objetivo de}

demonstrar o Teorema da Forma Normal das Quádricas. Definimos a hipersuperf´ıcie ∆ dada pelas quádricas degeneradas de um espa¸co projetivo, e caracterizamos o hiper-plano tangente da hipersuperf´ıcie ∆ nos pontos que representam um cone. Por fim, estudamos o mergulho de Segre motivados a idendificar o produdo de espa¸cos projetivos como uma subvariedade algébrica de um mesmo espa¸co projetivo ambiente.

Iniciamos o Cap´ıtulo 2 explicitando a classifica¸c˜ao das qu´adricas em P3 _e

apresen-tamos as defini¸cões de cúbica reversa e redes de quádricas. Mostramos que seρ é uma rede de quádricas que contém a cúbica reversa, então a interse¸cão ρ∩∆ é dada pelo quadrado perfeito de uma cônica irredut´ıvel. Além disso, verificamos as condi¸cões para que também fosse válida a rec´ıproca, i.é., dada uma rede de quádricasρtal que ρ_∩∆ é dada pelo quadrado perfeito de uma cônica irredut´ıvel, sobre quais condi¸cões os zeros comuns as quádricas pertencentes aρ são uma cúbica reversa.

(12)

Hipersuperf´ıcies Qu´

adricas

Um dos mais importantes objetivos em estudar o espa¸co projetivo Pn _{´e classificar}

as variedades por equivalência projetiva. O principal objetivo deste cap´ıtulo é estudar as hipersuperf´ıcies quádricas no espa¸co projetivo Pn _{com o objetivo de classificá-las.}

Também daremos algumas defini¸cões e provaremos alguns resultados que serão usados nos cap´ıtulos seguintes. No decorrer deste, assumiremos que K é um corpo com ca-racter´ıstica diferente de 2. Usaremos z0, . . . , zn como as coordenadas homogêneas de

Pn_.

1.1 Equivalˆ

encia Projetiva

Denote por GL(n + 1) o conjunto das matrizes invert´ıveis (n+ 1)×(n + 1) com entradas em um corpo K. Cada M _∈ GL(n + 1) induz uma transforma¸c˜ao linear

M : Kn+1 _−→ _Kn+1 _{dado pelo produto usual de matrizes, que ´e um isomorfismo}

já que A é invert´ıvel. Esta aplica¸cão leva subespa¸cos lineares de Kn+1 _{em subespa¸cos}

lineares deKn+1_{com a mesma dimens˜ao, em particular tal aplica¸c˜ao leva retas contendo}

a origem em retas contendo a origem. Assim, a aplica¸c˜ao M induz uma aplica¸c˜ao

M :Pn _−→_Pn_{. Chamaremos esta ultima aplica¸c˜ao de}_{transforma¸c˜ao linear projetiva}_.

Em termos de coordenadas homogˆeneas, podemos descrever M : Pn

−→ Pn _da

seguinte forma. Suponha que M = (aij), onde 0 ≤ i, j ≤ n. Se p= [z0, . . . , zn] ∈Pn,

temos que as coordenadas homogˆeneas paraA(p) ser˜ao dadas por

M(p) = (aij)·p= [a00z0+· · ·+a0nzn, . . . , an0z0+· · ·+annzn] (1.1)

Temos queM :Pn _−→_Pn _{é uma bije¸cão cuja inversa é dada por} _M−1 _∈_GL₍_n_{+ 1).}

Dada uma variedade X ⊂ Pn _{e uma matriz} _M _∈ _GL₍_n_{+ 1), podemos aplicar} _M

sobre todos os pontos de X, isto nos d´a um subconjunto M(X) ={M(p) :p ∈X} ⊂

(13)

Proposi¸c˜ao 1.1. Sejam M _∈GL(n+ 1) e X _⊂Pn _{uma variedade, ent˜ao}_M₍_X₎

⊂Pn

é também uma variedade. Neste caso diremos que X e M(X) são projetivamente equivalentes.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que X = Z(f1, . . . , fs), onde cada fi ∈ K[z0, . . . , zn] ´e um

polinômio homogêneo, i ∈ {1, . . . , s}. Como M é invert´ıvel, M possui uma matriz inversa , digamos B =M−1_{. Para cada} _i _{∈ {}₁_{, . . . , s}_}_{, seja} _g

i = fi◦B. Se B = (bij),

temos o seguinte

gi([z0, . . . , zn]) = fi([b00z0+· · ·+b0nzn, . . . , bnoz0+· · ·+bnnzn]).

Temos assim que cada gi é homogêneo com o mesmo grau de fi, além disso vale a

seguinte igualdade

M(X) =M(Z(f1, . . . , fs)) =Z(g1, . . . , gs) (1.2)

De fato,

y∈M(X) ⇒ B(y) = M−1₍_y₎_∈_Z₍_f

1, . . . , fs) =X

⇒ fi(B(y)) =gi(y) = 0 ∀i∈ {1, . . . , s}

⇒ y_∈Z(g1, . . . , gs)

⇒ M(X)_⊂Z(g1, . . . , gs)

Por outro lado,

y∈Z(g1, . . . , gs) ⇒ gi(y) =fi(B(y)) = 0 ∀i∈ {1, . . . , s}

⇒ fi(M−1(y)) = 0 ∀i∈ {1, . . . , s}

⇒ M−1₍_y₎_∈_Z₍_f

1, . . . , fs)

⇒ y_∈M(X)

⇒ Z(g1, . . . , gs)⊂M(X)

Podemos considerar M = (aij) como a transforma¸c˜ao das coordenadas z0, . . . , zn

nas novas coordenadas Z0, . . . , Zn definidas por

Zi = n

X

j=0

aijzj. (1.3)

Segue de 1.1 que nós podemos pensar emA(X) como o próprioXvisto com as novas coordenas Z0, . . . , Zn. Note que equivalência projetiva é uma rela¸cão de equivalência.

(14)

1) X _∼ X para todo X _⊂ Pn _pois _X ₌ _Id₍_X_{), onde} _Id

∈ GL(n + 1) denota a matriz identidade;

2) Sejam X, Y _⊂ Pn _{tais que} _X

∼ Y, isto ´e, existe M _∈ GL(n+ 1) tal que Y =

M(X). Como A ´e invert´ıvel segue que X =M−1₍_Y_{) e portanto}_Y _∼_X_;

3) SejamX, Y, Z ∈Pn _{tais que}_X _∼_Y _e_Y _∼_Z_{, logo existem}_{M, B} _∈_GL₍_n_{+1) tais}

que Y =M(X) e Z =B(Y), juntando essa duas igualdades temosZ =M B(X) e desta forma X _∼Z pois M B _∈GL(n+ 1).

1.2 Forma normal das Qu´

adricas

Nosso objetivo agora é classificar as quádricas dePn_{usando equivalência projetiva,}

para isso precisaremos da seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 1.1. Uma hipersuperf´ıcie quádrica emPn_{é definida por uma forma quadrática}

não nula, isto é, um polinômio homogêneo de grau dois,

Q=

n

X

i,j=0

aijzizj (1.4)

Teorema 1.2. (Forma Normal das Quádricas)Seja Kum corpo com caracter´ıstica diferente de 2. Sef =Pn_i,j=0aijzizj ∈K[z0, . . . , zn]um polinômio homogêneo não-nulo

de grau 2, então Z(f) é projetivamente equivalente a uma quádrica definida por uma equa¸cão da seguinte forma

c0z20+· · ·+cnzn2 = 0,

onde c0, . . . , cn s˜ao elementos de K, n˜ao todos nulos.

Demonstra¸cão. Nossa estratégia é encontrar uma mudan¸ca de coordenadasZi =

Pn

j=0bijzj

tal que f vista nas novas vari´aveis tenha a forma

c0Z02+· · ·+cnZn2 = 0,

Para isto, usaremos indu¸cão finita sobre o número de variáveis.

Com efeito, para uma variável, o resultado é imediato poisa00z20 é o único polinômio

homogˆeneo de grau total 2. Agora assumimos que o teorema ´e verdadeiro para n

vari´aveis e vamos mostrar que vale paran+ 1 vari´aveis.

Afirma¸c˜ao 1. Dado f = Pn_i,j=0aijzizj, a menos de uma mudan¸ca de coordenadas

podemos assumir quea00 6= 0 .

(15)

Caso 1. ajj 6= 0 para algum 1 ≤ j ≤ n. Neste caso, temos a seguinte mudan¸ca de

coordenadas

Z0 =zj, Zj =z0 e Zi =zi para i6= 0, j. (1.5)

Desta forma, a expans˜ao def em termo das coordenadas Z0, . . . , Zn ´e tal que o

coefi-ciente deZ2

0,ajj, ´e n˜ao-nulo como desejado.

Caso 2. aii = 0 para todo 1≤i≤n. Comof 6= 0, existemi 6=j tais que aij 6=−aji,

fazendo uma mudan¸ca de coordenadas como em 1.5 podemos assumir quea106=−a01.

Neste caso, n´os temos a seguinte mudan¸ca de coordenadas

Z0 =z0, Z1 =z1−z0 e Zi =zi para i≥2. (1.6)

Desta forma, a expans˜ao def em termo das coordenadas Z0, . . . , Zn ´e tal que o

coefi-ciente deZ2

0,a10+a01, ´e n˜ao-nulo.

Voltemos à demonstra¸cão do Teorema. Assuma que f = Pn_i,j=0aijzizj, é tal que

a006= 0. Seja bi =ai0+a0i e considere a seguinte mudan¸ca de coordenadas

Z0 =z0+

1 a00 n X i=1 bi

2zi, e Zi =zi para i≥1. (1.7)

Sendo assim, a expans˜ao de f em termo das coordenadasZ0, . . . , Zn´e

f = a00 Z0−

1 a00 n X i=1 bi

2Zi

!2

+

n

X

j=1

bj Z0−

1 a00 n X i=1 bi

2Zi !

Zj+F

= a00Z02− n

X

i=1

biZiZ0+ n

X

i,j=1

bibj

4a00

ZiZj + n

X

i=1

biZiZ0− n

X

i,j=1

bibj

2a00

ZiZj +F

= a00Z02+ n

X

i,j=1

dijZiZj

onde F denota um polinômio homogêneo nas variáveis Z1, . . . , Zn de grau 2.

Usando a hip´otese de indu¸c˜ao para Pn_i,j=1dijZiZj, podemos encontrar uma

mu-dan¸ca de coordenas (apenas envolvendoZ1, . . . , Zn) que transforma Pn_i,j=1dijZiZj em

e1Z12 +· · ·+enZn2. Podemos assumir que esta ´e uma mudan¸ca de coordenadas para

Z0, . . . , Zn a qual deixaZ0 fixo. Assim temos uma mudan¸ca de coordenadas que

trans-forma f =Pn_i,j=0aijzizj na forma desejada.

Observa¸c˜ao 1.1. Na forma normal dada pelo Teorema 1.2, alguns dos coeficientes

ci podem ser nulos. Por uma mudan¸ca de coordenas, podemos assumir que ci 6= 0

(16)

equivalente a uma outra qu´adrica dada por uma equa¸c˜ao da seguinte forma

c0Z02+· · ·+cpZp2 = 0, c0, . . . , cp 6= 0 (1.8)

Defini¸c˜ao 1.2. SejaV _⊂Pn _{uma hipersuperf´ıcie qu´adrica.}

(i) Se V ´e definida por uma equa¸c˜ao como em 1.8, diremos que V tem postop+ 1.

(ii) Mais geralmente, se V é uma quádrica arbitrária, diremos queV tem postop+ 1 se V é projetivamente equivalente a uma quádrica definida por uma equa¸cão como em 1.8.

Precisamos mostrar que o posto está bem definido, isto é, se V é uma quádrica devemos mostrar que todas as quádricas projetivamente equivalente definida por uma equa¸cão da forma 1.8, possuem o mesmo número de coeficientes não-nulos.

Para isto, primeiro observe que n´os podemos supor aij = aji para todo i, j. De

fato, basta considerar bij = (aij +aji)/2 e assim reescrevemos f = Pn_i,j=0bijzizj com

bij =bji.

Uma segunda observa¸cão é que podemos representar f através de multiplica¸cões de matrizes. Temos que os coeficientes de f formam uma matriz (n + 1)×(n + 1),

Q = (aij) , que pela primeira observa¸c˜ao podemos supor sim´etrica. Seja X o vetor

coluna com entradasz0, . . . , zn. Temos que

f(X) =XtQX,

onde Xt _{´e a transposta do vetor} _X_.

Proposi¸cão 1.3. Sejaf =Xt_QX_{, onde} _Q_{é uma matriz simétrica (}_n_{+ 1)}_×₍_n_{+ 1).}

(i) Dada uma matriz A_∈GL(n+ 1), seja B =A−1_{. Ent˜ao}

A(Z(f)) = Z(g).

onde g(X) = Xt_Bt_QBX_.

(ii) O posto da superf´ıcie qu´adrica Z(f) ´e igual o posto da matriz Q

Demonstra¸c˜ao. Para provar (i) lembremos de 1.2 queA(Z(f)) =Z(g), ondeg =f◦B. Temos assim que

(17)

Para provar (ii), primeiro note que QeXt_QX _{possuem o mesmo posto. Isto segue}

do fato de que multiplicar uma matriz pela direita ou pela esquerda por uma matriz invert´ıvel n˜ao altera o posto.

Agora, podemos usar o Teorema 1.2 para encontrar uma matriz A ∈ GL(n+ 1) tal que A(f) =g =c0x20+· · ·+cpx2p com c0, . . . , cp 6= 0. A matriz de g ´e uma matriz

diagonal cujos elementos da diagonal s˜ao c0, . . . , cp 6= 0. Pela parte (i) temos que

Bt_QB ₌_g ₌

            c0 . .. cp 0 . .. 0            

ondeB =A−1_{. Lembremos que o posto de uma matriz ´e o n´}_{umero m´aximo de colunas}

lineramente independentes, segue ent˜ao que Bt_QB _{tem posto} _p _{+ 1. Dai segue o}

resultado, poisQ e Bt_QB _{possuem o mesmo posto.}

Quando Ké um corpo algebricamente fechado, o Teorema 1.2 junto com a Pro-posi¸cão 1.3 classificam as quádricas segundo seu posto da seguinte forma.

Proposi¸cão 1.4. SeKé um corpo algebricamente fechado, então uma hipersuperf´ıcie quádrica de postop+ 1 é projetivamente equivalente a quádrica definida pela equa¸cão

p

X

i=0

zi2.

Em particular duas qu´adricas s˜ao projetivamente equivalentes se, e somente se, possuem o mesmo posto.

Demonstra¸cão. SejaQ=Z(f) uma quádrica de postop+1, peloTeorema1.2 podemos supor que a quádrica é definida por um polinômio da formac0z20+· · ·+cpzp2 = 0, onde

c0, . . . , cp 6= 0 e ci = 0 para p < i ≤ n. Como K ´e algebricamente fechado, a equa¸c˜ao

z2₋_c

i = 0 possui 2 raizes em K, denote por √ci uma delas. Note que √ci 6= 0, pois

ci 6= 0. Portanto temos a seguinte mudan¸ca de coordenadas

Zi =√cizi 0≤i≤p,

(18)

Temos que, em termos das novas vari´aveis Z1, . . . , Zn, Q possui a forma desejada.

Fica então provado que as quádricas de mesmo posto são projetivamente equivalen-tes. Agora suponha queQ = Z(f) e Q′ ₌_Z₍_g_{) são projetivamente equivalente. Pela}

Proposi¸cão 1.3 nós temos que Q′ ₌ _Bt_QB_{, onde} _B _{é uma matriz invert´ıvel.}

Vi-mos tamb´em na Proposi¸c˜ao1.3 que Q e Bt_QB _{possuim o mesmo posto, da´ı segue o}

desejado.

Observa¸cão 1.2. Observe que a hipótese deKser algebricamente fechado é essencial nesta última proposi¸cão. Por exemplo, em P2₍_R_{), as cônicas} _Q

1 = V(x2 +y2+z2) e

Q2 =V(x2 +y2−z2) possuim posto 3 mas n˜ao s˜ao projetivamente equevalentes pois

Q1 é vazia enquanto Q2 não é.

1.3 O Mapa de Segre

Durante o nosso trabalho precisaremos identificar o protudo Pn_×_Pm _{como uma}

variedade, e uma das formas de obter esta identifica¸cão é através domapa de Segre. Considere a seguinte aplica¸cão

ϕ : Pn_×_Pm _֒_→ _PN

([x0, . . . , xn],[y0, . . . , ym]) 7→ [x0y0, . . . , x0ym, . . . , xnym]

(1.9)

OndeN =nm+n+m.

Como x ∈ Pn _e _y _∈ _Pm _{segue que} _x

i 6= 0 e yj 6= 0 para algum i ∈ {0, . . . , n} e

j _{∈ {}0, . . . , m_}, logo xiyj 6= 0. Al´em disso, observe que dados α, β ∈K\ {0} tem-se

ϕ([αx0, . . . , αxn],[βy0, . . . , βym]) = [αβx0y0, . . . , αβxnym].

em outras palavras, ϕ ´e bem definida.

Procederemos agora com a prova de que ϕ ´e injetiva. De fato, sejam x, x′ _∈ _Pn _e

y, y′ _∈_Pm _{tais que}

[x0y0, . . . , x0ym, . . . , xny0, . . . , xnym] = [x′0y0′, . . . , l0′y′m, . . . , x′ny0′, . . . , x′nym′ ],

isto ´e, existe λ_∈K\ {0_}tal que xiyj =λx′iyj′.

Sejam i0 ∈ {0, . . . , n} e j0 ∈ {0, . . . , m} tais que xi0yj0 6= 0, consequentemente

teremos x′

i0y

′

j0 6= 0. Agora fixe j0 e fa¸ca variar i ∈ {0, . . . , n}, temos com isso que xiyj0 = λx

′

iy′j0, mas isso implica que xi =

λy′

j0

yj0 x

′

i, e portanto x = x′. Procedendo de

maneira an´aloga, isto ´e, fixando i0 e variando j ∈ {0, . . . , m} conclu´ıremos que y=y′

(19)

No que segue usaremos a seguite nota¸c˜ao, zij =xiyj 0≤i≤n e 0≤j ≤m. Nosso

próximo objetivo é mostrar que a imagem de ϕ é a variedade definida pela anula¸cão das seguintes equa¸cões,

zijzkl=zkjzil, para 0≤i, k≤n e 0≤l, j ≤m. (1.10)

Obviamente cada ponto emϕ(Pn_×_Pm_{) satisfaz simultˆaneamente as equa¸c˜oes 1.10.}

Por outro lado, considere um ponto Z = [z00, . . . , znm] ∈ PN satisfazendo as

equa¸c˜oes 1.10. A menos de uma mudan¸c˜a de coordenadas, podemos supor quez006= 0.

Note que os pontos x= [z00, . . . , zn0]∈Pn e y= [z00, . . . , z0m] s˜ao tais que

ϕ(x, y) = [z00z00, . . . , z00z0m, . . . , zn0z00, . . . , zn0z0m].

Como Z satisfaz as equa¸c˜oes 1.10 temos, em particular, que Zi0Z0j = Z00Zij para

0_≤i_≤n e 0 _≤j _≤m. Logo

ϕ(x, y) =z00[z00, . . . , z0m, . . . , zn0, . . . , znm] =Z.

Com isso mostramos a igualdade desejada. A aplica¸cão ϕ é chamadamapa de Segre e a imagem desta aplica¸cão é chamada devariedade de Segre.

Defini¸cão 1.3. Um subconjunto X ⊂Pn_×_Pm _{é uma subvariedade algébrica fechada}

seϕ(X) for uma subvariedade alg´ebrica fechada de PN_.

O seguinte resultado é uma cracteriza¸cão para a defini¸cão anterior.

Teorema 1.5. Um subconjunto X _⊂ Pn

×Pm _{´e uma subvariedade alg´ebrica fechada}

se, e somente se, ´e dado por um sistema de equa¸c˜oes

Gk(x0, . . . , xn;y0, . . . , ym) = 0, para k= 1, . . . , t.

bihomogêneas, isto é, homogêneas em cada grupo de variáveis xi e yj.

Demonstra¸cão. (=_⇒) Suponha que X é uma subvariedade algébrica fechada, isto é,

ϕ(X) ´e dada por um sistema de equa¸c˜oes

Gk(z00, . . . , znm) = 0, para k= 1, . . . , t.

homogêneas nas variáveiszij. Trocandozij porxiyj obtemos outro sistema de equa¸cões

(20)

que são homogêneas em cada grupo de variáveis xi e yj, e além disso, a solu¸cão desse

sistema ´e exatamente o conjuntoX.

(_⇐=) Suponha queX ´e dado por um sistema de equa¸c˜oes

Gk(x0, . . . , xn;y0, . . . , ym) = 0, para k = 1, . . . , t.

homogˆeneas em cada grupo de vari´aveis xi e yj. Para cada k denote por rk e sk os

graus do polinômio Gk com rela¸cão as variáveis xi e yj respectivamente. Se rk = sk

para todo k ∈ {1, . . . , t}, trocamos xiyj por zij em cada Gk e obtemos um sistema de

equa¸cões homogêneas nas variáveiszij cuja solu¸cão é exatementeϕ(X). Agora suponha

querk > sk para algum k ∈ {1, . . . , t} e observe que Gk = 0 ´e equivalente ao seguinte

sistema yrk−sk

j Gk = 0 para i = 0, . . . , m. Desta forma, trocamos Gk por este ´ultimo

sistema e com isso obtemos um novo sistema onderk=skpara todok ∈ {1, . . . , t}.

Observa¸cão 1.3. Em particular, para o caso em quen =m = 1 a imagem do mapa de Segre é dado apenas pela equa¸cão z11z00 =z01z10, ou sejaϕ(P1×P1) é exatamente

a superf´ıcie qu´adrica n˜ao degenerada deP3_.

1.4 O discriminante de uma qu´

adrica

Vimos anteriormente que uma qu´adrica Q ∈ Pn _{pode ser representada por uma}

matriz sim´etrica (n+ 1)_×(n+ 1), (aij(Q)) = (aij). Desta forma, podemos reescrever

a equa¸c˜ao 1.4 da seguinte forma

Q= X

1≤i≤n

aiizi2+ 2

X

1≤i<j≤n

aijzizj. (1.11)

Observe que aparecem exatamente (n+1)(n+2)₂ = N + 1 coeficientes aij n˜ao todos

nulos. Podemos dar uma ordem para estes coeficientes, digamos

[a00, . . . , a0n, a11, . . . , a1n, a22, . . . , a2n, . . . , ann],

e observar que qualquer múltiplo não-nulo de Q define a mesma superf´ıcie quádrica. Com isso podemos identificarQ ou sua matriz simétrica associada como um ponto no espa¸co projetivoPN_{. Neste caso os}_a

ij, 0≤i≤j ≤n, s˜ao as coordenadas homogˆeneas

para PN_.

Chamaremos o determinante da matriz associada a qu´adrica Q, det(aij), de

discri-minante da qu´adrica.

Denote por ∆ a hipersuperf´ıcie qu´adrica de PN _{definida pela anula¸c˜ao do}

(21)

n_×n da matriz (aij).

Agora gostar´ıamos de destacar dois conjuntos de qu´adricas contidas emPn_{, primeiro}

o conjunto dosQ_∈PN_\_{∆, isto ´e, a classe das qu´adricas cuja matriz que as representam}

tem posto máximo, essas quádricas são chamadas de quádricas não degeneradas pois não possuim singularidade. O outro é o conjunto dos Q∈ ∆\X, isto é, a classe das quádricas cuja matriz que as reprezentam tem posto n, essas serão chamadas de cone quadrático de poston (ou simplesmente cone). Cada coneQ_∈∆_\X possui um único ponto singular v(Q) _∈ Pn _{o qual chamaremos de vértice do cone} _Q_{. Como} _Q _{é dada}

por uma equa¸c˜ao da forma 1.11, o ponto singularv(Q) de Q ´e tal que

∂Q ∂zi

(v(Q)) = 0 ∀ i∈ {0, . . . , n}

mas note que,

∂Q ∂zi

(v(Q)) =

n

X

j=0

2aijvj = 0 ∀ i∈ {0, . . . , n}

ou seja v(Q) satisfaz a seguinte equa¸c˜ao matricial

v(Q)·(aij(Q)) = 0. (1.12)

1.5 O hiperplano tangente de

∆

Defini¸c˜ao 1.4. SejaZ(F)_⊂Pn _{uma hipersuperf´ıcie. O hiperplano tangente de}_F _no

pontoP ∈Z(F) ´e definido pelo ortogonal do gradiente de F no ponto P.

Nota¸c˜ao: Denotaremos porTPF o hiperplano tangente de F no ponto P ∈Z(F).

Para a hipersuperf´ıcie ∆ vale a seguinte interpreta¸c˜ao geom´etrica.

O hiperplano tangenteTQ0∆ num ponto correspondente a um cone não degenerado Q0 consiste de todas as quádricas passando pelo vértice v(Q0). Em s´ımbolos temos o

seguinte:

Lema 1.6. Para cada Q_∈∆_\X temos:

TQ∆ ={Q′ ∈PN/v(Q)∈Q′}. (1.13)

Demonstra¸cão. SejaQ _∈∆_\X, fazendo uma mudan¸ca de coordenadas se nescessário, podemos supor que Qé dada pela seguinte equa¸cão

(22)

isto é, a00 = · · · = an−1n−1 = 1 e aij = 0 para os demais ´ındices. Seu vértice é dado

pela solu¸c˜ao do seguinte sistema

h

v0 · · · vn

i ·       

1 0 · · · 0

0 . .. ... ... ... ... 1 0

0 _{· · ·} 0 0

      

=h 0 · · · 0

i

Isto ´e, v0 =· · ·=vn−1 = 0 e vn qualquer, logo v(Q) = [0 :· · ·: 0 : 1]. Desta forma,

a única condi¸cão para que v(Q)_∈Q′ _⊂_Pn _{é que} _a

nn = 0.

Por outro lado, lembremos que a hipersuperf´ıcie ∆ ´e dada pelo polinˆomiodet(aij).

Agora fixando uma ordem para as vari´aveis, digamosa00, . . . , a0n, a11, . . . , a1n, . . . , ann,

calculemos as derivadas parciais de ∆ com rela¸c˜ao a vari´avelaij

1. Consideremos inicialmente as vari´aveis aii i∈ {0, . . . , n}. Sabemos que

∆ =

n

X

j=0

(₋1)i+jaijDij =Dii+ n

X

j=0,j6=i

(₋1)i+jaijDij.

onde Dij denota o determinante da matriz n × n, (acij), obtida eliminando a

i-´esima linha e a j-´esima coluna da matriz (aij). Desta forma, segue que

∂∆

∂aii

=Dii.

2. Devemos aqui calcular ∂∆

∂aij

parai < j comi, j _{∈ {}0, . . . , n_}, calcularemos apenas

a deriva parcial com rela¸cão a a01 os outros casos são análogos. Para este caso

escrevemos ∆ na seguinte forma

∆ =a00D00−a01D01+ n

X

k=2

(−1)ka0kD0k.

mas por outro lado temos que para k_{∈ {}1, . . . , n_}

D0k =a10D0k10+Rk,

onde D0k

10 denota o determinante do menor (n−1)×(n −1) obtido da matriz

(aij) eliminando as linhas 0 e 1 e as colunas k e 0, e Rk é um polinômio que não

(23)

vari´avel a01. Portanto,

∂∆

∂a01

=−D01−a01D1001+ n

X

k=2

(−1)ka0kD100k =−2D01.

Em geral temos que,

∂∆

∂aij

= (−1)i+j2Dij, com i < j.

Portanto o gradiente de ∆ ´e dado por

∇= [D00, . . . ,(−1)n2D0n, D11, . . . ,(−1)n+12D1n, . . . , Dnn].

Calculando o gradiente no ponto Q temos, _∇(Q) = [0 : _{· · ·} : 0 : 1]. Logo seu ortogonal consiste de todos os pontos Q′ _∈ _PN _{tal que} _a

nn = 0. Esta ´e exatamente a

(24)

C´

ubicas Reversas e Redes de

Qu´

adricas

2.1 Qu´

adricas em

P

3

Denotaremos por z = [z0, z1, z2, z3] as coordenadas homogˆeneas em P3.

Inicialmente descreveremos mais explicitamente a classifica¸c˜ao das qu´adricas emP3_.

Primeiro lembremos que as quádricas em P3 _{estão em correspondência com os pontos}

deP9_{. Do que vimos anteriormente, temos que cada ponto} _Q _∈_P9_\_{∆ corresponde a}

uma qu´adrica n˜ao degenerada, que a menos de uma mudan¸ca de coordenadas em P3_,

pode ser escrita na forma,

Q=z1z2−z0z3.

Segue daObserva¸cão 2.1 queQé a variedade de Segre para o caso n=m= 1, isto é

Q´e a imagem da seguinte aplica¸c˜ao:

σ:P1_×_P1 _−→ _P3

([x1, x2],[y1, y2]) 7−→ [x1y1, x1y2, x2y1, x2y2]

(2.1)

Observa¸c˜ao 2.1. Note que, se F(z) = P_|_I_|_=mcIzI ´e uma superf´ıcie de grau mem P3

(que não contém a quádrica de Segre), então intersectandoF com a quádrica de Segre, isto é, substituindo z1 =x1y1, z2 = x1y2, z3 =x2y1 e z4 =x2y2 temos um polinômio

F(x1, x2, y1, y2) =F(x, y) que ´e bihomogˆeneo de bigrau (m, m), que pelo mapa acima

corresponde a uma curva emP1_×_P1_.

Observa¸c˜ao 2.2. Observe que a aplica¸c˜ao ϕ : C[z]/hQi −→ C[x1, x2, y1, y2],

defi-nida por z1 7→ x1y1, z2 7→ x1y2, z3 7→ x2y1, z4 7→ x2y2, ´e um isomorfismo sobre a

sub´algebra gerada pelos xiyj. Com efeito, considere a homomorfismo ϕb : C[z] −→

(25)

Por outro lado temos que _hQ_{i ⊂} Ker(ϕ_b), al´em disso, se F _∈ Ker(ϕ_b) implica que

F(x1y1, x1y2, x2y1, x2y2) = 0 ou seja F ∈ I(Z(Q)) = hQi. Segue do Teorema dos

Iso-morfismo que a aplica¸cãoϕ definida anteriormente é, de fato, um isomorfismo sobre a subálgebra gerada pelos xiyj.

Cada ponto Q ∈ ∆\X corresponde a um cone definido por uma forma quádrica cuja matriz simétrica associada tem posto exatamente igual a três. Por uma mudan¸ca de coordenadas tal quádrica pode ser escrita na forma,

Q=z2

2 −z1z3.

fazendo uso da equa¸cão 1.12 temos que o vértice deste cone é o ponto,

v(Q) = [0,0,0,1].

Os pontos deXcorrespondem as quádricas de posto 1 ou 2, estas são projetivamente equivalentes az1z2 ouz12. Qualquer dessas é a união de dois planos.

2.2 A C´

ubica Reversa

Considere a seguinte aplica¸c˜ao

ν3 : P1 −→ P3

[t, u] _7−→ [t3_{, t}2_{u, tu}2_{, u}3_] (2.2)

ν3 ´e um mapa polinomial e portanto um morfismo. Como P1 ´e irredut´ıvel segue que

a imagem desta aplica¸c˜ao ´e um conjunto irredut´ıvel. Por outro lado temos do (TDF)

quedim(P1₎₋_dim₍_ν

3(P1))≥0, ou sejadim(ν3(P1))≤1. Como ν3(P1) ´e um conjunto

infinito conclu´ımos que a imagem da aplica¸c˜ao ν3 ´e de fato uma curva irredut´ıvel C.

Nosso objetivo agora ´e mostrar que a curva C ⊂ P3 _{´e dada pelos zeros comuns dos}

seguintes polinˆomios

z₁2₋z0z2, z22−z1z3, z1z2 −z0z3. (2.3)

Com efeito, denote por V o conjunto dos zeros comuns aos polinˆomios dados acima. Obviamente C _⊂ V. Por outro lado considere um ponto P = [z0 : z1 : z2 : z3] ∈ V,

podemos supor sem perda de generalidade quez0 6= 0. Temos queP satisfaz todas as

equa¸c˜oes em 2.3, portanto segue a seguinte rela¸c˜ao

(26)

⇒z2 =

z2 1

z0

e z3 =

z3 1

z2 0

.

logo, P pode ser reescrito da seguinte forma

P = [z0, z1,

z2 1 z0 ,z 3 1 z2 0

] = [z₀3, z₀2z1, z0z12, z13] =ν3([z0, z1]).

mostramos assim a igualdade desejada.

Observa¸c˜ao 2.3.Se considerarmos quatro polinˆomiosA0 =A0(t, u), A1 =A1(t, u), A2 =

A2(t, u), A3 =A3(t, u) homogˆeneos de grau 3 e linearmente independentes, imagem da

aplica¸c˜ao

ν3 : P1 −→ P3

[t, u] 7−→ [A0(t, u), A1(t, u), A2(t, u), A3(t, u)]

ainda ´e uma curva irredut´ıvel. Isso nos motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.1. A curvaC definida como a imagem da aplica¸c˜ao ν3, para uma escolha

adequada de coordenadas homogˆeneas na reta projetiva P1 _{e, para uma escolha}

ade-quada de coordenadas homogˆeneas para o espa¸co projetivo P3_{, ser´a chamada} _c´_ubica

reversa.

2.3 Redes de Qu´

adricas se anulando na C´

ubica

Re-versa

O objetivo desta se¸cão é encontrar as condi¸cões nescessárias para que uma quádrica contenha a cúbica reversa. Inicialmente temos a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 2.2. Uma rede de quádrica ρ é um subespa¸co linear de dimensão três no espa¸co vetorial P9_{, isto é,} _ρ ₌ _h_Q

1, Q2, Q3i, onde Q1, Q2, Q3 ∈ P9 s˜ao qu´adricas (em

P3_{) linearmente independentes.}

Lembremos que uma quádrica Q_⊂P3 _{é dada por uma equa¸cão da seguinte forma}

Q=

3

X

i=0

aiizi2+ 2

X

0≤i<j≤3

aijzizj.

Queremos agora calcular a interse¸cão de Qcom a cúbica reversa, esta interse¸cão é dada substituindoz = [t3 _:_t2_u_:_tu2 _:_u3_{] na equa¸cão de} _Q

(27)

isso resulta num polinômio homogêneo Q(t, u) de grau seis. Impondo a condi¸cão de que este polinômio se anule identicamente, isto é, supondo que a cúbica reversa esteja contida em Q, temos um sistema linear

          

a11 = a12 = a34 = a44 = 0

a22 = −2a13

a14 = a23

a33 = −2a24

cuja a solu¸cão é um subespa¸co do espa¸co vetorial das quádricas, de dimensão três. Uma base é dada por:

Q1 =z22 −z1z3, Q2 =z2z3−z1z4, Q3 =z32−z2z4.

Conclu´ımos assim que o conjunto das quádricas que contém a cúbica reversa formam uma rede de quádricas.

Seja ρ _⊂ P9 _{a rede de qu´adricas gerada por} _Q

1, Q2, Q3. Seja [a1 : a2 : a3] as

coordenadas homogˆeneas para o plano projetivoρ_≃P2_{. Um elemento geral de} _ρ_{´e da}

formaQa =

P

aiQi. Vamos calcular a intese¸cãoρ∩∆, esta interse¸cão é definida em ρ

pelo determinante da matriz associada aQa.

det      

0 0 ₋a1 −a2

0 2a1 a2 −a3

−a1 a2 2a3 0

−a2 −a3 0 0

    

= (a1a3−a

2

2)2. (2.4)

Vemos assim queρ∩∆ é uma quártica plana dada pelo quadrado perfeito da equa¸cão de uma cônica irredut´ıvel. Dizemos também que se trata de uma cônica dupla. Além disso, se supormos que os menores 3_×3 na matriz acima se anulam simultaneamente teremos nescessariamente que a1 = a2 = a3 = 0, o que é pro´ıbido para pontos em ρ.

Logo temos queρ_∩X =_∅.

2.4 Recuperando a c´

ubica reversa

Mostramos até aqui que se ρé uma rede de quádricas que se anula sobre a cúbica reversa, então ρ_∩∆ é o quadrado perfeito da equa¸cão de uma cônica irredut´ıvel e ρ

não contém par de planos. Nosso objetivo agora é mostrar que vale a rec´ıpocra, isto é: Fixada uma rede de quádricas ρ=hQ1, Q2, Q3i tal que

(28)

(ii) ρ_∩X =_∅, isto é, ρnão contém par de planos;

Devemos mostrar que os zeros comuns aos Q′

is formam uma c´ubica reversa.

O primeiro passo é mostrar que os vértices dos cones correspondentes aos pontos sobre a cônica C =ρ_∩∆ devem descrever uma curva irredut´ıvel em P3_.

Lema 2.1. v(C) ={v(Q)|Q∈C} ⊂P3 _{´e uma curva projetiva irredut´ıvel.}

Prova. Como C ´e uma curva irredut´ıvel, resta-nos mostrar que o mapa v :C −→ P3

que associa a cada cone não degeneradoQ∈C ⊂ρ∩∆\X o seu vérticev(Q)∈P3_{, é}

um morfismo injetivo. Cf. Corol´arioA.16

Primeiro vamos mostrar quev :C _−→P3 _{´e injetivo. De fato, suponha que existam}

Q1 e Q2 cones distintos e tais que v(Q1) = v(Q2). Seja L ⊂ P9 a reta que passa por

Q1 e Q2. Cada ponto de Lé uma quádrica dada por α1Q1+α2Q2, αi ∈C não ambos

nulos, desta forma L ⊂ ρ. Agora observe o seguinte, dado α1Q1 +α2Q2 ∈ L temos,

para i= 0,1,2,3, que

(α1

∂Q1

∂zi

+α2

∂Q2

∂zi

)(v(Q1)) =α1

∂Q1

∂zi

(v(Q1)) +α2

∂Q2

∂zi

(v(Q1)) = 0

portanto v(Q1) é um ponto singular de α1Q1 +α2Q2. Como L ⊂ ρ e ρ não contém

par de planos segue queα1Q1+α2Q2 é um cone cuja o vértice é tambémv(Q1). Logo

L_⊂ρ_∩∆ = C, contradizendo a hip´otese de irredutibilidade de C.

Para completar a prova, devemos mostrar que v ´e um morfismo, faremos isto pro-vando que v pode ser expresso localmente por polinˆomios. Para isso tome Q0 ∈ C,

devemos exibir um mapa polinomial u : U _−→ P3 _{tal que} _u₍_Q_{) =} _v₍_Q_{) para todo}

Q ∈ C, onde U ´e um aberto em ∆\X contendo Q0. Estando Q0 em C ⊂ ∆\X,

a matriz (aij(Q0)) tem posto exatamente igual a trˆes. Assim, podemos escolher trˆes

linhas, digamos 1_≤ α < β < γ _≤4 que sejam linearmente independentes em alguma vizinhan¸caU deQ0. Trata-se de um aberto pois seu complementar ´e o fechado definido

pela anula¸c˜ao dos menores 3_×3 formados com as linhas α, β e γ. Agora para cada

Q∈U construa o ponto u(Q) = [z1, z2, z3, z4] pela seguinre regra. Ponha

BQ =

     

i j k l

aα1 aα2 aα3 aα4

aβ1 aβ2 aβ3 aβ4

aγ1 aγ2 aγ3 aγ4

     ,

onde i, j, k, l denotam indeterminadas e os ars abreviam ars(Q). Ent˜ao z1, z2, z3 e z4

s˜ao definidos pela expans˜aodet(BQ) =z1i+z2j+z3k+z4l. Pela regra de Cramer, o

(29)

do sistema 1.12. Logo u(Q) = v(Q). Como a express˜ao para u(Q) ´e polinomial nas coordenadas aij, segue o resultado.

Proposi¸cão 2.2. Nota¸cão como acima, temos que a curva v(C) está contida em Q

para cada qu´adricaQ∈ρ.

A prova desta proposi¸cão é uma consequência do seguinte lema.

Lema 2.3. Sejam F _⊂ Pn _{uma hipersuperf´ıcie e} _H ₌ _V₍_H

1, . . . , Hk) ⊂ Pn um

su-bespa¸co linear, aqui Hi denota um hiperplano. Suponha que p ∈ F ´e um ponto n˜ao

singular. Ent˜ao,p_∈F _∩H ´e um ponto singular se, e somente se, H _⊂TpF.

Demonstra¸cão. Por hipóteseH1, . . . , Hksão polinômios homogêneos de grau 1, os quais

podemos supor linearmente independentes. Desta forma,H é constituido de todos os pontos de Pn _{que são solu¸cão do seguinte sistema:}

      

H1 = α11x1 +· · ·+ α1nxn = 0

... ... ...

Hk = αk1x1 +· · ·+ αknxn = 0

Temos assim um sistema com k equa¸cões linearmente independentes em n + 1 variáveis. Sendo assim podemos escrever k variáveis em fun¸cão das outras n+ 1−k

variáveis. Sem perda de generalidade, podemos supor que ask primeiras variáveis são escritas em fun¸cão das n+ 1₋k ultimas, isto é:´

x1 =βk+11 xk+1+. . .+βn+11 xn+1, . . . , xk =βk+1k xk+1+. . .+βn+1k xn+1.

Deste modo, um pontox∈H se, e somente se, pode ser escrito da seguinte forma

x= (βk+11 xk+1+· · ·+βn+11 xn+1, . . . , βk+1k xk+1+· · ·+βn+1k xn+1, xk+1, . . . , xn+1).

Suponha que p ∈ F ∩H ´e um ponto singular, isto ´e ∂f

∂xi

(p) = 0 para todo i ∈ {1, . . . , n+ 1}onde

f =F(β_k+11 xk+1+· · ·+βn+11 xn+1, . . . , βk+1k xk+1+· · ·+βn+1k xn+1, xk+1, . . . , xn+1).

Agora observe o seguinte:

• Para i= 1, . . . , k temos que ∂f

(30)

• Para i=k+ 1, . . . , n+ 1 temos

0 = ∂f

∂xi

(p) =

n+1

X

j=1

∂F ∂xj

(p)· ∂xj

∂xi

(p) =

k

X

j=1

∂F ∂xj

(p)βij +

∂F ∂xi

(p). (2.5)

=_⇒ k X j=1 ∂F ∂xj

(p)β_ij =₋∂F

∂xi

(p) (2.6)

Agora, lembremos que q= (q1, . . . , qn+1)∈TpF ⇐⇒

P ∂F

∂xi(p)·(qi−pi) = 0. Como p_∈H temos que

p= (β_k+11 pk+1+· · ·+βn+11 pn+1, . . . , βk+1k pk+1+· · ·+βn+1k pn+1, pk+1, . . . , pn+1),

e desta forma para

q = (β_k+11 qk+1+· · ·+βn+11 qn+1, . . . , βk+1k qk+1+· · ·+βn+1k qn+1, qk+1, . . . , qn+1)∈H,

temos o seguinte

n+1

X

i=1

∂F ∂xj

(p)(qj−pj) = k

X

j=1

∂F ∂xj

(p)(qj −pj) + n+1

X

j=k+1

∂F ∂xj

(p)(qj −pj) (2.7)

= k X j=1 ∂F ∂xj

(p)

n+1

X

i=k+1

βij(qi−pi) + n+1

X

j=k+1

∂F ∂xj

(p)(qj −pj)

= n+1 X i=k+1 k X j=1 ∂F ∂xj

(p)β_ij(qi−pi) + n+1

X

j=k+1

∂F ∂xj

(p)(qj −pj)

= − n+1 X i=k+1 ∂F ∂xi

(p)(qi−pi) + n+1

X

j=k+1

∂F ∂xj

(p)(qj −pj)

= 0

Onde a pen´ultima igualdade segue de 2.6, portanto H ⊂TpF.

Rec´ıprocamente, suponha que H _⊂ TpF, isto ´e, para todo q ∈ H vale a seguinte

igualdade n+1 X i=1 ∂F ∂xj

(p)(qj−pj) = n+1 X i=k+1 k X j=1 ∂F ∂xj

(p)βij(qi−pi) + n+1

X

j=k+1

∂F ∂xj

(31)

Reorganizando esta equa¸c˜ao temos que n+1 X i=k+1 _Xk j=1 ∂F ∂xj

(p)β_ij+ ∂F

∂xi

(p)(qi−pi) = 0.

Como a igualdade acima vale para todo q∈H, concluimos que

k

X

j=1

∂F ∂xj

(p)βij+

∂F ∂xi

(p) = 0, para cada i=k+ 1, . . . , n+ 1.

Portanto, segue da igualdade acima junto com a equa¸c˜ao 2.5 que

∂f ∂xj

(p) =

k

X

j=1

∂F ∂xj

(p)βij +

∂F ∂xi

(p) = 0, para cada i=k+ 1, . . . , n+ 1.

Como ∂f

∂xi ≡

0 para i= 1, . . . , k, segue que p_∈F _∩H ´e um ponto singular.

Prova da Proposi¸cão 2.2. Por hipótese C é uma cônica dupla para a interse¸cão

ρ_∩∆, portanto todo ponto Q _∈ C ´e singular. Segue do lema anterior que ρ _⊂ TQ∆

para cadaQ_∈C. Pela descri¸c˜ao 1.13 o hiperplano tangente TQ∆ consiste de todas as

qu´adricasQ′ _∈_P9 _{que cont´em} _v₍_Q_{). Como} _ρ_⊂_T

Q∆ implica que v(Q)∈Q′ para cada

Q′ _∈_ρ_{e para cada} _Q_∈_C_{. Conclu´ımos que} _v₍_C₎_⊂_Q _{para toda} _Q_∈_ρ_.

Note que ρ 6⊂ ∆ pois caso contrário ρ∩∆ = ρ. Logo, existe uma quádrica não singularQ0 ∈ρ tal que v(C)⊂ Q0. Sabemos que v(C)⊂P3 é uma curva irredut´ıvel,

desta forma existe uma outra curva irredut´ıvelD_⊂P1_×_P1 _≃_Q

0tal que a imagem deD

pelo mapa de Segre corresponde av(C). Agora, emP1_×_P1_,_D_{´e dada por um polinˆomio}

irredut´ıvel bihomogˆeneo F(x1, x2, y1, y2) de bigrau (a, b). Lembremos que ρ ´e gerada

por três quádricas linearmente independentes e sendo assim, existem duas quádricasQ1

eQ2 linearmente independentes m´oduloQ0 e tais queρ=hQ0, Q1, Q2i. As interse¸c˜oes

de Q1 e Q2 com Q0 ∼= P1 ×P1 são dadas por polinômios bihomogênios linearmente

independentes G1 e G2 de bigrau (2,2) (Cf. Observa¸c˜ao 2.1). Como v(C) ⊂ Q0 ∩

Q1 ∩Q2, segue que cada Gi se anula sobre D. Logo F divide Gi. Isto deixa apenas

as seguintes possibilidades para o bigrau (a, b) de F: (0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) e sim´etricos. Vamos analisar cada possibilidade.

Caso 1. (a, b) = (0,1) ou (a, b) =(1,0)

Precisaremos do seguinte lema:

Lema 2.4. Sejam H1 e H2 polinˆomios bihomogˆeneos linearmente independentes de

(32)

H = α1H1 +α2H2 pode ser fatorado na forma H = P1P2 com bigrau(P1) = (1,1) e

bigrau(P2) = (1,0).

Demonstra¸cão. Denote por S o espa¸co projetivo dos polinômios bihomogêneos de bi-grau (2,1), nas variáveis [x1, x2],[y1, y2]. Podemos identificarS com o espa¸co projetivo

P5_{. De fato, se}_P _∈_S_{, ent˜ao}

P = X

1≤i,j,k≤2

akijxixjyk,

com isso idenficamos P com o ponto [a1

11, a211, a112, a212, a122, a222]∈P5.

Deste modo, podemos pensar em H1 e H2 como pontos distintos neste P5. Seja

L_⊂P5 _{a reta passando por} _H

1 eH2. Considere o seguinte conjunto,

S′ ={H ∈P5_/H ₌_P

1P2, com bigrau(P1) = (1,1) e bigrau(P2) = (1,0)}.

Vamos mostrar queS′_∩_L₆₌_∅_{. Primeiro note que}_S′ _{´e a imagem da seguinte aplica¸c˜ao:}

ϕ: P3_×_P1 _−→ _P5

(P1, P2) 7−→ P1P2

OndeP1_e_P3_{denotam os espa¸cos dos polinômios bihomogêneos, nas variáveis [}_x

1, x2],[y1, y2],

de bigrau (1,0) e (1,1) respectivamente (aqui fizemos uma identifica¸cão análoga a que fizemos paraS). Esta aplica¸cão é um morfismo pois é uma aplica¸cão polinomial.

Afirma¸cão 1. ϕ é uma aplica¸cão injetiva fora da subvariedade de P3 _×_P1 _formada

pelos pares (P1, P2) comP1 redut´ıvel.

Prova. Cosidere o seguinte conjunto

U ={(P1, P2)∈P3×P1/P1 ´e irredut´ıvel}.

Trata-se de um aberto, pois seu complementar ´e um fechado. Agora tome (P1, P2),(Q1, Q2)∈

U tais que P1P2 = Q1Q2, suponha por absurdo que P1 6= Q1, isto implica que

mdc(P1, Q1) = 1 e, portanto,P1 |Q2eQ1 |P2o que ´e uma contradi¸c˜ao poisP2, Q2 ∈P1

s˜ao irredut´ıveis. LogoP1 =Q1 e consequentemente P2 =Q2, da´ı segue a injetividade

deϕ.

Afirma¸cão 2. S′ _{tem dimensão 4 em} _P5 _{e portanto é uma hipersuperf´ıcie.}

Prova. Temos queS′ ₌_ϕ₍_P3_×_P1_{) ´e um fechado irredut´ıvel. Segue do}_TDF_{A.13 que}

existe um abertoU′ _⊂_S′ _{tal que para cada}_y_∈_U′ _{e, para cada componente irredut´ıvel}

(33)

eP3_×_P1 _{´e irredut´ıvel temos que}_U _∩_ϕ−1₍_U′₎₆₌_∅_{. Tome ent˜ao}_x_∈_U _∩_ϕ−1₍_U′_{), isso}

implica que y =ϕ(x)_∈U′ _{e que} _ϕ−1₍_y_{) =}_{_x_}_{, pois em} _{U ϕ} _{´e injetiva. Portanto} _{_x_}

´e componente irredut´ıvel de ϕ−1₍_y_{), e assim 0 =}_dim₍_{_x_}_{) = 4}₋_dimS′_{. Conclu´ımos}

ent˜ao que dimS′ _{= 4.}

Como toda hipersuperf´ıcie encontra qualquer reta num espa¸co projetivo, temos que

S′_∩_L₆₌_∅_{ou seja, existe um polinˆomio}_H _{tal que}_H ₌_α

1H1+α2H2 e H=P1P2 com

bigrau(P1) = (1,1) e bigrau(P2) = (1,0).

Voltemos ao nosso caso. Suponha que (a, b) = (0,1) (o caso (1,0) é análogo). Sejam G1 eG2 os polinômios bihomogêneos correspondentes as quádricas lineramente

independentesQ1eQ2. Dados queF |G1eF |G2, existemH1eH2tais queG1 =F H1

eG2 =F H2, com bigrau(H1) =bigrau(H2) = (2,1).

Pelo lema acima, podemos encontrar H=α1H1+α2H2 =P1P2, combigrau(P1) =

(1,1) e bigrau(P2) = (1,0). Da´ı temos

F H =F(α1H1+α2H2) =F(P1P2) =P1(F P2).

Lembremos do isomorfismo ϕ : C[z]/_hQ0i ∼= C[x1, x2, y1, y2] dado pelo mapa de

Segre, vemos que o polinˆomio bihomogˆeneo P1 corresponde a uma forma linear A[z] .

Da mesma forma,F P2 corresponde a uma forma linear B[z], valendo a igualdade

AB =α1G1+α2G2+α0Q0.

isso mostra que ρ cotém um par de planos AB, o que contraria a hipótese. Portanto, o caso 1 está eliminado.

Caso 2. (a, b) = (0,2) ou (a, b) =(2,0)

Lembremos que um polinômio homogêneo não nulo em duas variáveis (sobre um corpo algébricamente fechado) é sempre redut´ıvel. De fato, sejaH =a0Xn+a1Xn−1Y+

· · ·+anYn ∈K[X, Y], com K um corpo alg´ebricamente fechado. Se a0 = 0 ou an = 0

temos que X ou Y divide H. Suponha ent˜ao que a0 6= 0 e an 6= 0, e considere

α1, . . . , αn ∈ K as n ra´ızes (não nescessáriamente distintas) do polinômio que é a

desomogeneiza¸c˜ao deH. Desta forma temos que

H(X,1) =a0· n

Y

i=1

(34)

Homogeneizando temos que

H(X, Y) = a0· n

Y

i=1

(X−αiY).

PortantoH ´e redut´ıvel.

Como F ´e irredut´ıvel, este caso nunca ser´a poss´ıvel.

Caso 3. (a, b) = (2,2)

Se (a, b) =(2,2), então F =α1G1,F =α2G2ondeα1,α2 são constantes não-nulas,

o que implicaα1G1−α2G2 = 0, o que contradiz o fato da independˆencia linear de G1

eG2.

Caso 4. (a, b) = (1,1)

Vamos usar o seguinte resultado.

Lema 2.5. ?? Seja Q ∈ P9 _{uma quádriva que contém uma cônica irredut´ıvel} _C ₌

Q0 ∩H, onde H é um plano e Q0 é uma quádrica. Então Q = αQ0 +LH, onde α é

constante e Lé um polinômio linear homogêneo.

Prova. A menos de uma mudan¸ca de coordenadas podemos supor que H ´e dado por

z0 = 0. Sendo assim, a interse¸cão H∩Q0 é obtida fazendo z0 = 0 na equa¸cão de Q0.

Resulta num plinˆomio homogˆeneo Q′

0 de grau 2 nas vari´aveis z1, z2 e z3. De maneira

análoga, fazendo z0 = 0 na equa¸cão de Q obtemos um polinômio homogêneo Q′ de

grau 2 nas vari´aveisz1,z2 ez3. Como C ⊂Q′0 ⊂Q temos queQ′ se anula onde Q′0 se

anula. Portanto, Q′

0 divide Q′ e assim Q′ =αQ′0. Logo Q=αQ0+Lz0, onde L ´e um

polinˆomio homogˆeneo de grau 1.

Se (a, b) = (1,1) ent˜aoF corresponde pelo mapa de Segre a um planoH _⊂P3_{. Da´ı,}

v(C) deve ser uma cônica, interse¸cão de H e Q0. Seja Q uma quádrica que contém

v(C). Pelo Lema ??, segue uma rela¸cão Q = αQ0 +LH, onde α é constante e L é

homogêneo de grau 1. Sabemos que toda quádrica em ρ contém v(C), e portanto ela pode ser escrita comoαQ0+LH. Mas isso implica que ρ contém pares de planos. De

fato, sejamQ1 :=α1Q0+L1H eQ2 :=α2Q0+L2H elementos distintos na rede ρ. Se

α2 6= 0, ent˜ao (α1Q0+L1H)−αα12(α2Q0+L2H) = (L1−

α1

α2L2)H ´e um par de planos e

pertence a ρ, j´a que se encontra sobre a reta em P9 _ligando _Q

1 e Q2. Mas isto ´e uma

contradi¸cão, poisρ não contém par de planos. Logo o caso (a, b) = (1,1) é imposs´ıvel. Nosso objetivo final é mostrar que, no caso restante, v(C) é de fato uma cúbica reversa.

(35)

Proposi¸cão 2.6. Seja D _⊂P1 _×_P1 _{a curva definida por um polinômio bihomogêneo}

irredut´ıvelF(x1, x2, y1, y2) de bigrau (1,2). Ent˜ao a imagem de D pelo mapa de Segre

´e uma c´ubica reversa.

Demonstra¸c˜ao. Podemos escrever

F(x1, x2, y1, y2) = A1(y1, y2)x1−A2(y1, y2)x2,

onde A1 e A2 são polinômios homogêneos de grau 2 com mdc(A1, A2) = 1, pois F é

irredut´ıvel. Parax2A1 6= 0 temos a seguinte rela¸c˜ao:

x1

x2

= A2

A1

.

Da´ı segue a igualdade de pontos em P3_,

[x1y1 :x1y2 :x2y1 :x2y2] =

h

x1y1

x2 ,

x1y2

x2 , y1, y2

i =

=h y1A2

A1 ,

y2A2

A1 , y1, y2

i

=h y1A2, y2A2, y1A1, y2A1

i

Isso mostra que um aberto denso de v(C) coincide com um aberto denso da curva dada peram´etricamente por

P1

∋[y1, y2]7→[y1A2, y2A2, y1A1, y2A1]∈P3.

Mostraremos agora que os polinˆomiosy1A2, y2A2, y1A1,ey2A1s˜ao linearmente

inde-pendentes, e assim eles parametrizam uma c´ubica reversa. Sejamα, β, γ eδ constantes tais que

αy1A2+βy2A2+γy1A1+δy2A1 = 0.

Reescrevemos essa identidade na forma

(αy1+βy2)A2 =−(γy1+δy2)A1.

Segue que A2 divide (γy1+δy2)A1. Como mdc(A1, A2) = 1 segue que A2 divide

(γy1+δy2). Sendo o grau deA2 igual a dois, temos necess´ariamente α =β =γ =δ=

0.

(36)

Q1 = z1z4,

Q2 = 2z1z3+ 2z2z4+ (z3+z4)2

Q3 = 2z2z3+z32+z42.

Calculando a interse¸c˜ao ρ_∩∆ obtemos

(2a2₂−a1a3)2,

(37)

Apˆ

endice A

O Teorema da Dimens˜

ao das Fibras

Dedicamos este apendice ao estudo de um dos mais importantes resultados da Ge-ometria Algébrica, o Teorema da Dimensão das Fibras, este foi de grande importância para o desenvolvimento deste trabalho. Antes de demonstrá-lo faremos algumas de-fini¸cões e provaremos alguns resultados que serão nescessários para a demonstra¸cão.

A.1 Resultados de ´

Algebra Comutativa

Nesta se¸cão enunciaremos alguns resultados da Álgebra Comutativa que posterior-mente serão ultilizados.

Teorema A.1. Seja K um corpo infinito e B uma K-álgebra finitamente gerada que é um dom´ınio de integridade. Então,

dimB =trdegKF rac(B).

Proposi¸cão A.2. Seja B uma K-álgebra finitamente gerada e assuma que B é um dom´ınio de integridade. Então para todoP _∈Spec(B) verifica-se que

dimB

P =dimB−ht(P).

Proposi¸cão A.3. Sejam A e B K-álgebras finitamente geradas tais que ambas são dominio de integridade. Temos que: se ϕ : A _−→ B é um homomorfismo injetivo de

K-´algebras, ent˜aoϕ_e:F rac(A)_−→F rac(B), dada porϕ_e(a b) =

ϕ(a)

ϕ(b), ´e uma extens˜ao de

corpos.

(38)

ϕ(a)ϕ(d)₋ϕ(b)ϕ(b) = 0, isso implica que ϕ(ad₋bc) = 0, como ϕ ´e injetiva segue

ad₋bc= 0.

Teorema do Ideal Principal de Krull A.1. SejamA um anel Noetheriano ea _∈A

um elemento não-invert´ıvel. Então, para todo P _∈ Spec(A) minimal dentre os que contém a, tem-se que ht(P)_≤1. Em particular, se a não é um divisor de zero, então

ht_ha_i= 1.

Demonstra¸c˜ao. Vide [8] p´ag. 179

A.2 Morfismos

No que segue um fechado afim irredut´ıvel ser´a chamado de variedade. Chamaremos de variedade quase-projetiva um subconjuntoX_⊂Pn _{que ´e isomorfo a algum conjunto}

projetivo localmente fechado.

Defini¸cão A.1. Seja X _⊂ An _{um fechado afim. Uma fun¸cão} _f _: _X _−→ _K _{é dita}

polinˆomial se existe um polinˆomioF ∈K[X1, . . . , Xn] tal quef(X) = F(X) para todo

x∈X.

Observe que na defini¸cão anterior o polinômio F não é únicamente determinado. De fato, dois polinômios F e G determinam a mesma fun¸cão polinômial em X se, e somente se,F(x) =G(x) para todo x ∈X, isto é,F(x)−G(x) = 0 para todo x∈X, mas isso acontece se, e somente se,F ₋G_∈I(X). Assim o anel quociente

A(X) := K[X1, . . . , Xn]

I(X)

está em bije¸cão com o conjunto das fun¸cões polinômiais emX. Chamaremos este anel quociente deanel de coordenadas de X.

Verifica-se que o anel A(X) é uma K-álgebra finitamente gerada e reduzida. E rec´ıpocramente, toda K-álgebra finitamente gerada e reduzida é isomorfa a alguma

K-´algebra A(X), para algum fechado afimX.

Defini¸cão A.2. Seja X _⊂ An _{não-vazio. Uma fun¸cão} _f _: _X _−→ _A1 _{é regular em}

um ponto x0 ∈ X, se existe um aberto U ⊂ X contendo x0 e fun¸c˜oes polinˆomiais

p, q ∈A(X) tais que Z(q)∩U =∅ e f(x) =p(x)/q(x) para todox ∈U. Dizemos que

f ´e regular em um subconjunto Y de X se for regular em cada y ∈ Y. Note que se

(39)

Lembremos que seX é um variedade, então seu idealI(X) é primo e, portanto, seu anel de coordenadas é um dom´ınio de integridade. Chamaremos o corpo de fra¸cões do dom´ınio A(X) decorpo das fun¸cões racionais de X, ou seja, é o conjunto dosh=p/q

com p, q ∈ A(X), onde identificamos p/q com p′_/q′ _se _pq′ ₌ _p′_q _em _X_{. Denotaremos}

este corpo por K(X) e chamamos seus elementos de fun¸c˜oes racionais. Observe que

A(X)⊂ O(X)⊂K(X).

Defini¸c˜ao A.3. Sejam X _⊂An _e _Y

⊂Am _{fechados afins. Uma fun¸c˜ao} _ϕ_:_X

−→Y ´e

dita um morfismo se existemϕ1, . . . , ϕm ∈ O(X) tais que

ϕ(x) = (ϕ1(x), . . . , ϕm(x)),

para todox_∈X.

Exemplo A.1. Se f1, . . . , fm ∈A(X) ent˜ao o mapa ϕ : X −→ Am dada por ϕ(x) =

(f1(x), . . . , fm(x)) ´e um morfismo.

Observa¸cão A.1. Um fato interessante a ser observado é que se X e Y são duas variedades afins, então cada morfismo ϕ : X −→ Y induz um homomorfismos de K -álgebras de_O(Y) em _O(X) dado por f _{∈ O}(Y)_7→f_◦ϕ _{∈ O}(X). Também é poss´ıvel verificar que todo morfismo entre variedades afins é uma fun¸cão cont´ınua.

Queremos agora estender o conceito de morfismo para variedades quase projetivas, para isto precisamos do conceito de fun¸c˜ao regular para o caso projetivo. Considere

X ⊂Pn_{um conjunto algébrico quase projetivo. Diremos que uma fun¸cão}_f _:_X _−→_K_é

regular emx0 ∈X se existir um abertoV ⊂X, com x0 ∈V, e polinˆomios homogˆeneos

de mesmo grauP, Q_∈K[X0, . . . , Xn] tais queV ∩Z(Q) =∅ eϕ(x) =P(x)/Q(x) para

todox_∈V. A fun¸cão ϕé dita regular em X se é regular em cadax_∈X. Note que se

α _∈ K e f, g são fun¸cões regulares sobre X então αf, f +g e f g são ainda regulares sobre X, desta forma o conjunto _O(X) das fun¸cões regulares sobre X tem estrutura deK-álgebra. Chamaremos O(X) de anel das fun¸cões regulares sobre X.

Defini¸cão A.4. Sejam X e Y conjuntos algébricos quasi-projetivos. Uma fun¸cão

ϕ : X _−→ Y ´e um morfismo se para todo aberto V _⊂ Y e toda fun¸c˜ao regular

f _{∈ O}(V) tem-se

(i) ϕ ´e cont´ınua;

(ii) f _◦ϕ_{∈ O}(U), ondeU =ϕ−1₍_V_).

(40)

nova defini¸cão. Além disso, assim como observado anteriormente para o caso afim, todo morfismo, ϕ : X _−→ Y, entre conjuntos algébricos quase projetivos induz um homomorfismo deK-álgebras

ϕ∗ _: _O₍_Y₎ _{−→ O}₍_X₎

f 7−→ f◦ϕ

Teorema A.4. Seja ϕ : X _−→ Y uma fun¸c˜ao cont´ıniua, onde X _⊂ Pn _e _Y _⊂ _Pm_.

Ent˜ao, ϕ ´e um morfismo se, e somente se, para cada a _∈ X existem um aberto V

de Y contendo ϕ(a) e fun¸c˜oes regulares ϕ0, . . . , ϕm ∈ O(ϕ−1(V)) tais que, para cada

x∈ϕ−1₍_V₎ _{se tenha}

ϕ(x) = (ϕ0(x), . . . , ϕm(x)). (A.1)

Demonstra¸c˜ao. (=⇒) Suponhamos queϕseja um morfismo. Tomea∈X. Lembremos que todo espa¸co projetivoPn _{pode ser coberto por abertos}_U′

is dados por Ui =D(Xi).

Desta forma ϕ(a)_∈Ui para algum i= 0, . . . , m. Sem perda de generalidade podemos

supor queϕ(a)_∈U0, entãoV =Y∩U0é um aberto que contémϕ(a). SejaU =ϕ−1(V).

Para cada 1 _≤ i _≤ m, a fun¸cão Xi/X0 é regular em V, como ϕ é um morfismo,

temos que ϕi := _XXi₀ ◦ ϕ|U ´e uma fun¸c˜ao regular em U. Sendo assim, se x ∈ U e

ϕ(x) = (y0 :· · ·:ym), temos o seguinte

ϕ(X) = (y0 :· · ·:ym)

=

1 : y1

y0

:· · ·: ym

y0

=

1 : X1

X0 ◦

ϕ(x) :· · ·: Xm

X0 ◦

ϕ(x)

= (1 :ϕ1(x) :· · ·:ϕm(x))

(⇐=) Suponha que exista uma cobertura aberta {Vi} deY tal que ϕ|U ´e da forma

A.1 para cada i. Seja V um aberto de Y e considere f ∈ O(V). Sendo U = ϕ−1₍_V₎

vamos mostrar que f_◦ϕ_|U ´e regular em U. Para isto, basta mostrar que ´e regular em

cada ponto de U.

Seja a _∈ U, ent˜ao ϕ(a) _∈ Vi para algum i. Ponhamos V′ = V ∩ Vi e U′ =

U _∩ϕ−1₍_V′_{), logo} _g _{∈ O}₍_V′_{) e} _ϕ₍_x_{) = (}_ϕ

0(x) : · · · : ϕm(x)) para todo x ∈ U′, onde

ϕ1, . . . , ϕm ∈ O(U′).

Como f ´e regular em V′_{, existem um aberto} _V′′ _⊂_V′ _contendo _ϕ₍_a_{) e polinˆomios}

homogˆeneosP eQde mesmo grau tais queQn˜ao se anula emV′′ _e_f₍_y_{) =}_P₍_y₎_/Q₍_y₎

para todo y _∈ V′′_{. An´alogamente, cada} _ϕ

j ´e regular em X, logo existem um aberto

U′′ _⊂_U′ _{e polinˆomios}_F

(41)

U′′ _e _ϕ

j(x) = Fj(X)/Gj(x) para todo x ∈ U′′. Sem perda de generalidade, podemos

supor que U′′ _{est´a contido em}_ϕ−1₍_V′′_).

Desta forma, para cada x_∈U′′ _temos

f _◦ϕ(x) =

P F0(x)

G0(x), . . . ,

Fm(X)

Gm(x)

QF0(x)

G0(x), . . . ,

Fm(X)

Gm(x)

= P(y)

Q(y)

Onde y=ϕ(x)_∈V′′_{. Ent˜ao} _Q₍_y₎₆_{= 0, temos que} _f_◦_ϕ _{´e regular em} _ϕ−1₍_V′′_).

Corolário A.5. SeXé um conjunto algébrico quasi-projetivo eF0, . . . , Fm ∈K[T0, . . . , Tn]

são polinômios homogêneos de mesmo grau sem zeros comum em X, então

ϕ: X −→ Pm

x 7−→ [F0(x) :· · ·:Fm(x)]

´e um morfismo.

Demonstra¸cão. Primeiro note queϕ está bem definida, pois os polinômiosFi não têm

zeros em comum no conjunto X. Por outro lado, sendo os polinˆomios homogˆeneos de mesmo grau, digamosd, tem-se que

ϕ(λx) = (λd_F

0(x) :· · ·:λdFm(x)) = (F0(x) :· · ·:Fm(x)) =ϕ(x).

Vamos usar o TeoremaA.4 para mostrar que ϕ é um morfismo. Observe que ϕ é cont´ınua, com efeito, sejaW é um fechado em Pm_{, digamos} _W ₌_Z

p(G1, . . . , Gr) com

G0, . . . , Gr ∈K[S0, . . . , Sm]. Temos queϕ−1(W) é fechado em X pois é a interse¸cão de

X com o conjunto de zeros dos polinˆomios Gi◦ϕ para i= 0, . . . , r.

Agora tome a ∈ X. Ent˜ao ϕ(a) ∈ Ui para algum i. Sem perda de generalidade,

podemos supor i = 0. Portanto, para todo x em U = ϕ−1₍_U

0), temos F0(x) 6= 0.

Assim, as fun¸c˜oesFi/F0 s˜ao regulares em U e para todo x∈U

ϕ(x) = (F0(x) :· · ·:Fm(x)) =

1 : F1(x)

F0(x)

:. . .: Fm(x)

F0(x)

,

mostrando queϕ ´e da forma A.1 do TeoremaA.4.

Defini¸c˜ao A.5. SejamX eY variedades quase projetivas ef :X _−→Y um morfismo. Dizemos quef ´e um morfismo dominante se f(X) = Y.

(42)

Demonstra¸cão. De fato, se f _{∈ O}(Y) é tal que f _◦ϕ = 0 em _O(X) então f(y) = 0 para todo y _∈ ϕ(X). Assim temos ϕ(X)_⊂ Z(f)_⊂ Y e, como Z(f) é fechado em Y, temos também que ϕ(X) _⊂ Z(f). Como ϕ é dominante, isto implica que Z(f) = Y, ou seja, f = 0 em O(Y) e portanto ϕ∗ _{é injetor.}

A.3 Dimens˜

ao

Dado um variedadeX, sabemos que existe uma bije¸cão entre os subconjuntos irre-dut´ıveis de X e os ideais primos do seu respectivo anel de coordenadas, A(X). Com isso podemos estabelecer mais uma rela¸cão entre a geometria e a álgebra através da segunte defini¸cão.

Defini¸c˜ao A.6. SejaX um variedade. Definimos a dimens˜ao de X como sendo

dimX =dimA(X) (A.2)

Proposi¸c˜ao A.7. SejaX uma variedade.

(i) Se X ´e irredut´ıvel, ent˜ao

dimX =trdegKA(X)

(ii) Se X =Sr_i=1Xi é a decomposi¸cão de X em componentes irredut´ıveis, então

dimX =maxi{dimXi}=maxi{trdegKA(Xi)}

Demonstra¸c˜ao. Vide [8] p´ag. 174.

Teorema A.8. Se X _⊂Y, então dimX _≤ dimY. Se Y é irredut´ıvel e X _⊂Y é uma subvariedade fechada com dimX =dimY, então X =Y.

Demonstra¸c˜ao. Vide [6] p´ag. 68.

Defini¸cão A.7. SejaX um fechado afim eZ _⊂X uma subconjunto também fechado. Definimos a codimensão de Z em X como sendo

codimXZ :=dimX −dimZ.

Teorema A.9. Sejam Z ⊆ X ⊆ An _{fechados afins irredut´ıveis. Ent˜ao} _codim

XZ = 1