 xx 3.23. 

LISTA DE EXPONENCIAIS: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E PROBLEMAS - GABARITO 1) Resolver as equações (em  ):

a)

25 ^x 124.5 ^x 125

b) ₄

^x1

 _{9 . 2}

^x

 ₂  ₀ c)

8^x 0,25

d) ₂

^x1

_{ 2}

^x

_{ 2}

^x1

_{ 2}

^x2

_{ 2}

^x3

_{ 120} e)

3 2 1

3

25 5 1









 



 

x

x

f) x

²

. 3

^x

 2 x . 3

^x1

Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos:

a)

^{25 x 124.5 x 125}

 

^{52 x 124.5 x 125}

 

^{5 x 2 124.5 x 125}

^{. Fazendo}

  

 







2 2

5 5

y y

x x

vem:

 





 



















 1

0 125 )1 ).(

125 ( 0 125 124 125

124 ²

2

y y y

y y

y y

y . Substituindo esses valores na expressão

em “x”, temos:



 

























)0 5 .(

1 5

9 3

5 5 125

5 ³

x x

x x

impossível

x

x . Logo, S = {9}.

b)

^{4x19.2x 20}

 

^{22 x19.2x 2022x29.2x 2022x.229.2x 20}

^.

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Fazendo



 







2

2 2

2 y y

x x

, vem:

8 32 81 9 )

4 ( 2

) 2 )(

4 ( 4 ) 9 ( ) 9 0 (

2 . 9 4

2

2

       











y y

y

. Resolvendo a

equação encontramos:



 















 



 



 



 



 

 _

2 4 22

2 1 1 22

4 1 8

79 8 2

79 8

499

2 x

x y

y

y _{x x}

x

. S ={1, -2}

c)  

3 2 2

3 2 4 2

2 1 100 2 25

25 , 0

8

^x

 

^{3 x}

 

^3x

 

^3x



^2



x

  

x

  . S =

 



 

 3 2

d) ₂

^x1

 ₂

^x

 ₂

^x1

 ₂

^x2

 ₂

^x3

 ₁₂₀ . Desmembrando os expoentes em produtos de mesma base, temos:

120 2 7

. 1 2 120 ) 8 4 2 1 2 ( 2 120 2 . 2 2 . 2 2 . 2 2 2 .

2

^{1 2 3 1}

 



 

  

























^

 x x x x x x

x

. Calculando a soma

entre parênteses, vem: 2 16 2 2 4

15 . 2 120 2 2 120

. 15

2     

⁴

 



 



 



 



 





^{x x x}

x

x

. S = {4}

e)  

7 6 5

4 1 3 5

5 5

25 5

5 1 ^{3 1 2 2 3 3 1 4 6}

3 2 1

3           



 



 ^{     }



 ^{x x x x} x x x

x

x

. S =

 



 

 7 5

f)

 





 





















 ^

6 0 0

)6 ( 0 6 )0

3(

3.

3.

2 3.

3.

2

3. ^{1 2 2}

2

x x x

x x

x x

x x

x ^{x x x x x} . S = {0, 6}

2) Para que valores reais de m, a equação m a a

a a

x x

x

x











, onde 0  a  1 , admite raiz real?

Solução. O numerador da fração é sempre positivo e não nulo, pois 1 0 ,

0     



^x _x

x

a a IR x

a .

i) A análise restringe-se ao denominador que não pode ser nulo. Temos:

^{x x x} _x

a a a

a 

^

 0   1 . Essa

situação ocorre se x = 0, pois teríamos

a⁰



a^0

 1  1  0 . Logo, é possível calcular “m” se “x” não for nulo.

ii) m a a ma ma a ma a ma a ( 1 m ) a ( 1 m ) a

a a

a

x x x x x x x x x x

x

x

              





    



.

Isolando os termos em “m”, vem: 



 







 



 

 



 

 





m

a m m a m

m m a

a _{x x}

x x

1 1 )

1 (

) 1 ( )

1 (

) 1

(

₂

. O radicando

apresenta um sinal negativo antes da fração e deve ser positivo. Logo o

quociente 0

) 1 (

) 1

( 



 m

m . Analisando as possibilidades, verifica-se que a

condição satisfaz-se se: m < -1 ou m > 1. Repare que o denominador não pode se anular, logo, m ≠ 1. A exponencial não se anula, logo m ≠ - 1.

3) Resolver as inequações exponenciais (em  ):

a) 2

^x

 32 b) ²⁴³

9 1  



 





^x

c)

₃

16 ) 1

2

(

^x

 d)

^{0,16x 515,625}

e) 3

^t

 9

^2/t

f) 0

1 3

2

2







 x x

x

Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos:

a)

^{2x 322x 25 (base1)x5}

.

b)  

2 5 5

2 5 2 ) 1 (

3 3 3 3 9 243

1 _{2 5 2 5}































 



 



  ^x  ^x base x x x

x

.

c)  

3 8 3

4 ) 2

1 (

2 2 2

2 1 16 ) 1 2

(

^{/2 4/3}

3 4 2

/ 1

3

           



^

x x

x

base

x x

.

d) Utilizando a representação decimal na base 10 e decompondo os números temos:



^{4 2}



^{5 6 3 4 2}



^{6 3}



^{1/5 4 2 6/5 3/5}

515,625 2 .10 5 .10 2 .10 5 .10 2 .10 5 .10

16 ,

0 ^x   ^{ x}  ^  ^{x  x}  ^  ^{x  x}  ^

.

Observando que 10 = 2.5, desmembramos cada termo 10 dessa forma e reagrupam-se as potências:

5 / 3 5 / 6 2 5 / 3 2 4 5 / 3 5 / 3 5 / 6 2 2 4 5 / 3 5

/ 6 2

4

.( 2 . 5 ) 5 .( 2 . 5 ) 2 . 2 . 5 5 . 2 . 5 2 . 2 . 2 5 . 5 . 5

2

^{x  x}



^



^{x  x  x}



^{ }



^{x  x}



^{x }

. Repare

que os sinais dos expoentes mudam ao trocarmos os membros, pois os termos são divididos do lado oposto e o sinal do expoente muda. Aplicando as propriedades de potências, temos:

10 0 3

5 2 3 ) 1 5 (

2 5

1 2 5

1 2 5 . 5 . 5

2 . 2 .

2

^{2 3/5 0}

5 / 3 2

5 / 3 2 5

/ 3 5 / 6 2

5 / 3 2

4

        



 



 

 

 



 

















x x

base

x x

x x

x

x

.

e)   4 0

4 0 ) 4

1 (

3 3 3

3 9 3

2 /

/ 4 2 2 /

2

             



t

t t t

t t

t base

t t t

t

t

. Analisando os intervalos

verifica-se que “t” não pode ser nulo devido ao denominador e o quociente assume valores nulos em 

,2







0,2

 .

-1 0 1 1+m - - - + + + + + + 1- m + + + + + + - -

m m



 1

1 - - - + + + + - -

-2 0 2

2

 4

t + + - - - + +

t - - - + + + + t

t

²

 4

- - - + + - - - + +

f) 0 1 3

2

2







 x x

x

. Observe que o quociente não se anula, pois o numerador é maior que zero. Além disso, é positivo, o que significa que o quociente será negativo somente se o denominador o for. Temos:

0 ) 1 ( 0 )

1 (

3 3 1 3 0 1 3 1 0

3

2

^{2 2 2} 0 2

2

               













x x x

x

x

base

x x

x x

x x

x x

O produto será negativo entre as raízes 0 e 1. Isto é,

t

 

^0,1

4) (UF – MT) A figura mostra um esboço do gráfico da função real de variável real

b

a x

f

( ) 

^x

 , com a e b reais, a > 0 e a ≠ 1. Calcule a

³

 b

³

.

Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos: (0, 2) e (1, 4).

i) 1 2 1

)0(

2) 0(

0    

 







 b b

b a f f

ii) 41 3

1 )1(

4) 1(

1    

 







 a a

a f f

. O valor pedido é

a³



b³

 3

³

 1

³

 27  1  28 .

5) Se f(t) = 10.2

^t

é uma função que avalia a evolução de uma cultura de bactérias, em t horas, ao cabo de quantas horas teremos f(t) = 5120?

Solução. O exercício resume-se em igualar as informações e resolver a equação exponencial.

9 2 2 512 2 5120 2.

2. 10 10 )(

5120

)( ₉















 

 



 t

tf

tf _{t t t}

t . Ao fim de 9 horas.

6) O gráfico representa a fórmula

D

(

t

) 

K

.

e^0,4t

usada para determinar o número D de miligramas de um remédio na corrente sanguínea de um indivíduo, t horas depois de lhe ter sido administrado um medicamento (

67 ,

4

0

,

0



e

).

a) Determine o valor de K.

b) A função D(t) é crescente ou decrescente? Justifique.

c) Quanto tempo leva para que a quantidade do medicamento administrado se reduza à metade?

Solução. Observando o gráfico vemos que se t = 0, D(t) = 5.

a)

D

( 0 ) 

K

.

e^0,4(0)

 5 

K

.( 1 ) 

K

 5 .

b) Decrescente. O valor em t = 0 é maior que o valor após t horas.

c) . 1 45 min

4 7,0 7

4 5,0 ln 4 5,0 5,2

.5 .5 )(

5,2

)( _{4,0 4,0}

4,0 e e t t t horas h

e tD

tD _{t t}

t             

 





 _{ }



matas cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada região, a população de onças-pintadas, P(t) , daqui a t anos, será estimada pela função

 ^e

^t



t

P ( )  60 . 1 

^0,05

. Faça uma estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos. Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo. (Utilize e = 2,7).

Solução. Basta calcular P(20). Substituindo os valores, temos:

      1 82

. 60 1

. 60 1

. 60 ) 20 ( 1

. 60 )

(

^{0,05 0,05(20) 1}

 



 



  















^{  }

e e e

e P

e t

P

^t

8) (Livro: Matemática - Ciência e Aplicações) Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a lei

v

(

t

)  60000 .( 0 , 9 )

^t

, em que t é o número de anos contados a partir de hoje.

a) Qual é o valor atual desse imóvel?

Solução. O valor atual é considerado em t = 0. Logo,

v(0) 60000.(0,9)⁰  R$60000,00

b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel?

Solução. Essa desvalorização será calculada entre o valor atual e o valor 1 ano depois. Ou seja, calculamos o valor para t = 1 e comparamos com o atual.

%10 10,0 60000 1,0

54000 60000 54000

)9,0 ).(

60000 () 9,0.(

60000 )1(

00, 60000

$ )9,0.(

60000 )0(

1 0





 



 

 











 Desvaloriz ação

v

R v

c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos?

Solução. Basta calcular v(2), isto é o valor da função para t = 2.

00 , 48600

$ ) 81 , 0 ).(

60000 ( ) 9 , 0 .(

60000 )

2

( ² R

v   

. Repare que poderíamos ter calculado esse valor

sabendo que estará desvalorizado em 10% em relação ao preço calculado em 1 ano. Daqui a 1 ano ele custará R$54000. A desvalorização um ano depois será de 10% de 54000 = 5400. Logo em dois anos o imóvel custará a diferença 54000 – 5400 = R$48600,00.

d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$35429,40? (Dado: 9

⁵

 59049 )

Solução. Pede-se encontrar “t” tal que v(t) = 35429,40.

4 5

2 11 4 2

5 2 11 2 2

5.3.

2 10.5.

)9,0( 3.2 )9,0 .(5.

3.2 10.5.

)9,0 3.2 .(

60000 )(

10 3542940 40,

35429

)( ^ _ ^







 

 









 _{t t}

tv t

tv

. Simplificando os termos, vem:

   

³

2 10 3

2 10 3

3 2 10

10 10 . 3 5

. 2

10 . 3 5

. 2

10 . ) 3

9 , 0 (







 



t

. Escrevendo os termos em frações decimais, temos:

    ₅

10 9 10 3 10

3 10

9

⁵

5 2 5 5

10

  



 



 



 



 



 t

t

. Logo, daqui a 5 anos.