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COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2010

PROVA DE MATEMÁTICA II – 1ª SÉRIE – MANHÃ COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: _______________ DATA:

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: TURMA: _

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

Complete a tabela abaixo:

ARCO 1ª DETERMINAÇÃO QUADRANTE SENO COSSENO TANGENTE

-1395º 360º - 315º = 45º 1º

2 2

2 2 ₁

7  3

 3 _1º

3 2

1 2

₃

Solução. Utilizando as técnicas para encontrar a 1ª determinação, temos:

i) - 1395º ÷ 360º = - 3, resto - 315º ii)

3 3 6 3

7  _  _ 

QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB = 3km, BC= 2km e a medida do ângulo ABC seja de 120°.

a) Calcule a medida do lado AC do triângulo.

Solução. O ângulo ABC está oposto ao lado AC. Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:

19 19 6 2 13

. 1 12 4 9 º 120 cos ) 2 )(

3 ( 2 ) 2 ( ) 3

(

² ²

2





 



 

  











 AC AC

b) Calcule o raio dessa circunferência.

Solução. Se o triângulo está inscrito na circunferência, então pela Lei dos Senos a razão entre cada lado e o respectivo seno do ângulo oposto vale o diâmetro. Isto é, 2R. Logo,

3 57 3 . 3 3 19 3

2 19 2 3

. 2 19 2

3 2 2 19 º 2

120  R  R   R   R   

sen AC

1

(2)

QUESTÃO 3 (Valor: 0,5)

Resolva a equação cos x = - 2 1 .

Solução. O cosseno de um arco é negativo no 2º e 3º quadrantes. Logo há duas expressões

gerais para essa solução:

 



 













 



 















Zk k ou

Zk k x Zk k ou

Zk k x x

3 ;2 4 3 ;2 2

;º.360 º240

;º.360 º120 2 cos 1

 

QUESTÃO 4 (Valor: 0,5) Resolva a expressão abaixo:

 11 cos º

405 ) º 315 - ( º

1080 cos



  sen E sen

Solução. Encontrando as 1ª determinações e encontrando as relações com o 1º quadrante, temos:

2

(3)

 

     

 

2 2 3

2 2 4 6 4 2

2 2 4 4 2 2

2 . 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 . 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 1

2 2 1 2

2 1 2

2 1 2 11

cos º 405

)º 315 -(

º 1080 cos

1 cos 11 cos 10

11 2 º 2 45 º

405 º

45 º 360 1 º 405

2 º 2 45 )º

315 º 360 ( )º 315 (

1 º0 cos º 1080 cos º 360 3 º 1080







 

 





 





 



 



 









 





 





 



 



 

 

 

 



 





 







































E E

sen E sen sen

sen

sen sen

sen



QUESTÃO 5 (Valor: 0,5)

O triângulo ABC da figura é eqüilátero de lado 6. Sabendo que AM = MC = 3 e PB = 2, calcule o perímetro do quadrilátero BPMC.

Solução. O triângulo é eqüilátero e se PB = 2, então AP = 4. Calculando PM

pela Lei dos Cossenos, temos:

   

13 13 12 9 2 16

. 1 3 . 4 . 2 3 4

º 60 cos . . . 2