COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br LEI DOS SENOS E COSSENOS – 2012 - GABARITO
1. No triângulo, a5 2cm e os ângulos indicados valem A = 30º e B = 45º. Calcule b.
Solução. O lado b está oposto ao ângulo B. Aplicando a lei dos senos, temos:
cm 10 2 b
b 2 10 2 b 2 . 2 2 5
22 b 12
2 5 º 45 sen
b º 30 sen
2 5 senB
b senA
a
.
2. Calcule os valores de x, y e α (quando aparecem) em cada triângulo:
Solução. As informações indicarão se será aplicada a lei dos senos ou a dos cossenos.
a) Lei dos senos:
10 x y x ) iii
10 y 3 2 5
3 . y 2 3 1 2 10
. 3 º y 120 sen
3 10 º 30 sen ) y ii
º 30 º 150 º 180 º
180 º 120 º 30 ) i
.
b) Lei dos senos:
3 4 48 x 16 64
² x
² y
² 4
² x ) iii
8 y 1 2 4
. 1 º y 30 sen
4 º
90 sen
y º
30 sen
4 º
30 3 sen ) y ii
º 30 º
180 6
º 180 3
2 ) i
.
c) Lei dos cossenos:
13 x 13
² x ) 3 ( 6 31
² x
2 . 3 3 12 4 27
² x º 30 cos ).
2 .(
3 3 . 2 )² 2 ( 3 3
²
x 2
.
3. Um triângulo ABC possui ângulos B e C medindo, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8cm.
Solução. As informações estão representadas na figura mostrada. Aplicando a lei dos senos, temos:
cm 2 2 4
2 x 8
2 . 2 2 8 2 x 8 2
2 4 x 2 . 2 2 x . 1 º 8 30 sen
x º 45 sen
8
.
4. Na figura mostrada, os ângulos A e B medem, respectivamente, 75º e 45º. O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 6cm. Determine as medidas dos lados AB e AC.
Solução. O ângulo C mede 60º. Lembrando que a constante de proporcionalidade na lei dos senos é o diâmetro, temos:
cm 3 2 6
. 3 12 y º 12
60 sen ) y ii
; cm 2 2 6
. 2 12 x º 12
45 sen ) x
i
.
5. Na figura, os ângulos A e C medem, respectivamente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determine a medida do lado AC e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
Solução. O ângulo B mede 180º - (45º + 15º) = 120º. Aplicando a lei dos senos e utilizando o diâmetro como a constante de proporcionalidade, temos:
i)
cm 6 2 6 . 2 2
3 . 12 2
3 . x 12 3 . 12 2 . x
2 12 3 2 x 2 º 45 sen
12 º
120 sen
x
.
ii)
cm 2 2 6 . 2 2 12 2 R 12 2 12
R 2 2 R º 2 45 sen
12
.
6. Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 60º.
Solução. O lado AC está oposto ao ângulo B. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
cm 39 AC 109
² AC 35 49 25
² AC
2 . 1 70 49 25
² AC º 60 cos ).
7 .(
5 . 2
² 7 5
²
AC 2
.
7. Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 120º.
Solução. O lado AC está oposto ao ângulo B. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
cm 37 2 148 AC
148
² AC 48 64 36
² AC
2 . 1 96 64 36
² AC º 120 cos ).
8 .(
6 . 2
² 8 6
²
AC 2
.
8. Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno e do seno do menor ângulo interno desse triângulo.
Solução. O menor ângulo está oposto ao menor lado. Considerando α esse ângulo e aplicando a lei dos cossenos em relação ao lado 5cm, temos:
i)
14 11 112 cos 88
88 cos
. 112
cos . 112 113
25 cos
. 112 64 49 25 cos
).
8 .(
7 . 2
² 8 7
²
5 2
.
ii)
14 3 sen 5
196 75 196
121 sen 196
196 1 121
² sen 14 1
² 11 sen 14
cos 11
1
² cos
²
sen
2
.
9. Um triângulo ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
Solução. Mediana é o segmento que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto em partes iguais. A figura ilustra a situação. Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos ABC e ABM considerando o ângulo α, temos:
cm 7 2 28 22 50 m
25 . 11 50 50
² m cos
).
5 .(
5 . 2
² 5 5
² m ) ii
25 11 100
44 100
125 cos 81
cos ).
10 .(
5 . 2
² 10 5
² 9 ) i
2 2
.
10. Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
Solução. O raio da circunferência será encontrado através da razão na lei dos senos. Aplicando a lei dos cossenos em relação a um dos lados (6cm, por exemplo) e encontrando o seno pela relação fundamental, temos:
i)
8 1 40 cos 5
cos . 40 41 36 cos
. 40 25 16 36 cos
).
5 .(
4 . 2
² 5 4
²
6 2
.
ii)
8
7 3 8 63 64
1 sen 64
64 1 1
² sen 8 1
² 1 sen 8
cos 1
1
² cos
²
sen 2
.
iii)
cm
7 7 R 8 7 . 7 7 8 7 8 7 6 R 48 8 6
7 R2 3 R2 7 8 3
6 8
7 sen 3 sen R2 6
.
11. Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine a altura desse triângulo relativa ao maior lado.
Solução. Altura é o segmento que parte de um vértice do triângulo e intersecta o lado oposto perpendicularmente. A figura ilustra a situação. Aplicando a lei dos cossenos considerando o ângulo a e a razão do seno no triângulo retângulo, temos:
4 cm 7 5 4 . 7 5 h 5 sena
) h iii
4 7 16
9 16 16
1 9 sena 4
a 3 cos
1 a
² cos a
² sen ) ii
4 3 60 45 60
61 a 16
cos a
cos ).
6 .(
5 . 2
² 6 5
² 4
)i
2
.
12. Na figura mostrada, determine:
a) o cosseno do ângulo α.
Solução. O lado BC vale 10cm. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
10061 100
125 cos 64
cos ).
10 .(
5 . 2
² 10 5
²
8 2
.
b) a medida do segmento AD.
Solução. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
5122 5
183 305 5
61 183 100 AD
. 61 60 61
² AD cos
).
6 .(
5 . 2
² 6 5
²
AD 2
.
13. Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a distância entre o farol e o navio no instante em que fez a 2ª leitura.
(Use 21,4).
Solução. Observe a situação ilustrada na figura. A distância
“d” pedida pode ser calculada pela lei dos senos:
milhas 14
) 4 , 1 ( 2 10
) 4 , 1 .(
20 2 d 20 20 2 d
2 20 1 2
. 2 º d 45 sen
20 º
30 sen
d
.
