A For¸ ca de Lorentz

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NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica

Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi

Aula 1 (vers˜ao 04/11/2013)

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A For¸ ca de Lorentz

A For¸ca de Lorentz

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Campos magn´ eticos

Aula 1 3 / 19

■ Problema básico da eletrodinâmica: calcular a for¸ca que atua sobre uma carga Q (que chamaremos de carga teste) devida à uma cole¸cão de cargas q¹, q², · · · (as cargas fontes).

Cargas fontes

Carga teste q1

q2

q3

Q

■ Na eletrostática, onde as cargas fontes estão em repouso, a tarefa é relativamente simples: obtemos primeiro os campos elétricos E1, E2,· · ·

devidos às cargas q¹, q², · · · , respectivamente, na posi¸cão em que se encontra Q. De acordo com o princ´ıpio de superposi¸cão, a for¸ca resultante é

F_eletrost´_atica = QE1 + QE2 + · · · = F1 + F2 + · · · = QE

onde F_i é a for¸ca da carga qi sobre Q e E é o campo elétrico resultante.

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Campos magn´ eticos

■ Como proceder quando as cargas estiverem em movimento? Observa-se experimentalmente que correntes em sentidos opostos se repelem e no mesmo sentido se atraem.

Bateria Bateria

Corrente

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Campos magn´ eticos

Aula 1 5 / 19

■ As for¸cas de atra¸cão e repulsão entre os fios não são de natureza

eletrostática. De fato, em ambas as situa¸cões, a soma das cargas negativas em movimento (corrente elétrica) e das cargas positivas em repouso dá zero, ou seja, o fio como um todo é eletricamente neutro.

■ As for¸cas observadas são de origem magnética. Cargas elétricas estacionárias produzem somente campo elétrico E em torno delas, enquanto que as em movimento produzem também o campo magnético B.

■ O campo magnético pode ser detectado por uma bússola – a extremidade da agulha de magnetita (Fe³O⁴) da bússola interage com o campo magnético.

No caso, ela aponta aproximadamente em dire¸cão ao polo norte geográfico da Terra. Por conven¸cão, esta extremidade é denominada polo norte do ´ımã. O oposto

´e denominado polo sul.

Polo norte geogr´afico

Polo sul geogr´afico

A b´ussola interage com o campo magn´etico da Terra.

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Campos magn´ eticos

■ Se aproximarmos uma b´ussola de um fio conduzindo corrente el´etrica,

verificamos tamb´em que a agulha sofre uma deflex˜ao. No caso, passa a se orientar circularmente em torno do fio, conforme mostra a figura abaixo

I I

■ O comportamento acima da bússola indica que o fio cria um campo magnético circular, em torno dele, cujo sentido pode ser determinado pela regra da mão di- reita.

Corrente

Campo magn´etico

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Campos magn´ eticos

Aula 1 7 / 19

■ Qual a for¸ca que age sobre um segundo fio, conduzindo uma corrente I, tamb´em para cima?

◆ Conforme mostra a figura ao lado, como a for¸ca F sobre o fio 2 ´e atrativa, ela deve ser horizontal e apontar para `a esquerda.

◆ O campo magn´etico B devido ao fio 1, no fio 2, aponta para dentro da p´agina;

◆ A corrente no fio 2 é para cima. Isto significa que (de acordo com a conven¸cão padrão), há carga elétrica positiva subindo com velocidade v.

Fio 1 Fio 2

■ Vamos `a seguir discutir a for¸ca que age sobre o fio conduzindo corrente

(carga em movimento); mais adiante, veremos como uma corrente gera um campo magn´etico.

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For¸ cas magn´ eticas

■ Considere uma carga puntiforme Q movendo-se com velocidade v em uma região do espa¸co com presen¸ca dos campos elétrico E e magnético B. A for¸ca resultante sobre esta carga é dada por

F = Q[E + (v × B)]

A express˜ao acima ´e conhecida como a lei da for¸ca de Lorentz

■ A figura ao lado mostra a dire¸cão e o sentido da for¸ca magnética, para Q > 0, cuja magnitude é dada por

|F_mag| = Q|v||B| sen φ

Q φ

B

v F_mag

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

Aula 1 9 / 19

Ex. 1 Movimento em um acelerador c´ıclotron. Considere uma part´ıcula de massa m e carga el´etrica Q > 0, com velocidade inicial

v0 = v⁰ xˆ

movendo-se numa regi˜ao com campo magn´etico B =

−B⁰ˆz uniforme. Obtenha a frequˆencia com que a part´ıcula executa o movimento circular.

y

x

R

F

Q

v₀

Solu¸c˜ao:

■ Num dado instante, a part´ıcula ter´a velocidade v = v_x xˆ + v_y yˆ e sentir´a uma for¸ca dada por

F = Qv × B

que ´e perpendicular a v e portanto radial, apontando para o centro do

c´ırculo. Como se trata de uma for¸ca resultante, ela ´e igual a pr´opria for¸ca centr´ıpeta.

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

■ Observando-se que v ⊥ B, temos que

|F| = QB⁰|v| = |F~_cp| = m|v|²

R (^✻)

■ Como a for¸ca resultante é radial e constante em módulo, a part´ıcula vai se mover em uma trajetória circular de raio R, com módulo de velocidade

|v| = v⁰ constante. Da Eq. (^✻), obt´em-se R = mv⁰

QB (^✻✻)

■ Relembre que no movimento circular v⁰ = ωR, onde ω ´e a velocidade

angular. No caso de um movimento circular uniforme, ela está relacionada com a frequência (inversa do per´ıodo T), que é dada por

ν = 1

T = ω 2π

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

Aula 1 11 / 19

■ Utilizando a Eq. (^✻✻), obtemos ν = v⁰

2πR = v⁰ 2π

1

mv⁰ QB

⇒ ν = QB

2πm

➠

A frequência acima, que não depende da velocidade da part´ıcula, é conhecida como frequência de c´ıclotron.

Por outro lado, como p = mv (limite cl´assico), tem-se da Eq. (^✻✻) que

|p| = mQBR

m ⇒ |p| = QBR

◆ Com o aux´ılio da expressão acima, é simples encontrar o momento da part´ıcula, caso se conhe¸ca a carga: basta enviá-la para uma região com campo magnético conhecido e medir o raio da trajetória circular.

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

Ex. 2 Movimento ciclóide. Uma trajetória mais exótica pode ser obtida se

incluirmos um campo elétrico uniforme, em certos ângulos em rela¸cão ao campo magnético. Suponha, por exemplo, que B aponta para a dire¸cão x e E para a

dire¸cão z, conforme a figura abaixo. Se a part´ıcula é solta em repouso e da origem, qual o caminho que ela seguirá?

Solu¸c˜ao:

■ Análise qualitativa. Inicialmente, como a part´ıcula está em repouso, a for¸ca magnética é nula. Por outro lado, a for¸ca elétrica irá acelerar a part´ıcula na dire¸cão z. À medida que o módulo da velocidade for aumentando,

aumenta-se também a for¸ca magnética (que muda a dire¸cão da velocidade).

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

Aula 1 13 / 19

O movimento ocorre no plano yz, que é perpendicular ao campo B. Após atingir um z máximo, a part´ıcula come¸ca a retornar, devido à for¸ca

magnética, até atingir o eixo y em a, com velocidade zero. À seguir, o movimento se repete, sempre ciclicamente.

■ Análise quantitativamente. Como não há for¸ca na dire¸cão x, a velocidade da part´ıcula em qualquer instante é dada por

v = ˙yyˆ + ˙zˆz Assim,

v × B =

ˆ

x yˆ zˆ 0 y˙ z˙ B 0 0

= Bz˙yˆ − Byˆ˙z

■ Aplicando-se a segunda lei de Newton,

F = Q(E + v × B) = Q(Eˆz + Bz˙yˆ − Byˆ˙z) = ma = ¨yyˆ + ¨zˆz

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

Portanto, as componentes y e z levam, respectivamente, `as equa¸c˜oes QBz˙ = my¨ e QE − QBy˙ = mz¨

Introduzindo, por conveniˆencia, a frequˆencia angular de c´ıclotron, dada por ω = 2πν = QB

m (veja p´ag. 11), as equa¸c˜oes acima ficam

¨

y = ωz˙ e z¨ = ω

E

B − y˙

■ Fazendo u ≡ y, temos que diferenciando a primeira equa¸c˜ao, obtemos˙

¨

u = ωz. Substituindo-a na segunda equa¸c˜ao, obtemos¨

¨

u + ω²u = ω²E B

Ou seja, obtemos uma equa¸cão diferencial de segunda ordem inomogênea, cuja solu¸cão é

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

Aula 1 15 / 19

u(t) = u_p(t) + u_c(t)

onde u_p(t) é a solu¸cão particular e u_c(t) a solu¸cão complementar, que é a solu¸cão da equa¸cão diferencial ordinária. Temos que

u_p(t) = C e u_c(t) = Acosωt + B sen ωt

Substituido u(t) na equa¸c˜ao diferencial, obtemos C = E/B. Portanto, u = ˙y = Acosωt + B sen ωt + E/B

⇒ y(t) = C¹ cosωt + C² senωt + (E/B)t + C³ Substituindo a última expressão em z˙ = ÿ/ω, obtemos

˙

z = −ω(C¹ cosωt + C² sen ωt) Portanto, z(t) = C² cosωt − C¹ sen ωt + C⁴.

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For¸ cas magn´ eticas – exemplos

■ Podemos obter as constantes C_i, i = 1 a 4, impondo-se as seguintes condi¸c˜oes iniciais (t = 0):

˙

y(0) = ˙z(0) = 0 (velocidade inicial zero) y(0) = z(0) = 0 (part´ıcula parte da origem)

Obtemos assim,

y(t) = E

ωB (ωt − sen ωt) e z(t) = E

ωB(1 − cos ωt)

■ Fazendo R ≡ E/ωB, temos

(y(t) − Rωt = −R senωt

z(t) − R = −R cosωt ⇒ (y − Rωt)² + (z − R)² = R²

➠

A equa¸cão acima é uma equa¸cão do c´ırculo, cujo centro (0, Rωt, R) viaja com velocidade constante Rω = E/B na dire¸cão y.

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Trabalho de for¸ cas magn´ eticas

Aula 1 17 / 19

■ Se uma part´ıcula sob a¸c˜ao de uma for¸ca F sofre um deslocamento infinitesimal dl, o trabalho dessa for¸ca

´e definido como sendo

dW = F · dl

C F

dl

■ Para o caso particular em que a for¸ca ´e magn´etica, dW_mag = F_mag · dl

Como F_mag = Q(v × B) e dl = vdt, tem-se que

dW_mag = Q(v × B) · vdt = 0

➠

For¸cas magnéticas não realizam trabalho. Elas podem mudar a dire¸cão da velocidade, mas não o seu módulo.

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Problemas

Probl. 1 Em 1897, J. J. Thomson descobriu o el´etron ao medir a raz˜ao

carga-massa dos raios cat´odicos (na verdade, uma corrente de el´etrons, com carga q e massa m) como segue:

(a) Primeiro ele passou o feixe através dos campos elétrico e magnético, E e B, uniformes e cruzados (mutuamente perpendiculares, ambos perpendiculares ao feixe) e ajustou o campo elétrico até obter deflexão zero. Qual era, então, a velocidade da part´ıcula (em termos de E e B)?

(b) Ele então desligou o campo elétrico e mediu o raio da curvatura, R, do feixe desviado somente pelo campo magnético. Em termos de E, B e R, qual é a razão carga-massa (q/m) das part´ıculas?

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Referˆ encias

Aula 1 19 / 19

■ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Third Edition, Prentice Hall, 1999.