MODELOS E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA DE LABORATÓRIO 5

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© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 26 de Setembro de 2013

MODELOS E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA DE LABORATÓRIO 5

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Exemplo 1: Em um drive-in com 1 atendente 10 carros chegam por hora.

Assumindo que o tempo médio de serviço por cliente é de 4 minutos e tanto o tempo entre as chegadas e o tempo de

atendimento são exponenciais:

TEORIA DE FILAS

(B) Qual o número médio de carros na fila esperando atendimento (carro em atendimento não está na fila)?

(C) Qual o tempo médio gasto por um carro no sistema?

(A) Qual a probabilidade do servidor estar vazio?

(D) Na média quanto clientes são atendidos por hora?

(2)

Sabendo que o modelo de filas segue M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞, que a taxa de chegadas é de λλλλ = 10 carros por hora e de atendimento

é de µµµµ= 15 carros por hora e que ρρρρ = λλλλ/µµµµ = 10/15 = 2/3.

j+1 j

j-1

λλλλ

= 10

λλλλ

= 10

µµµµ

= 15

µµµµ

= 15

ππππ0

= (1 -

ρρρρ

) = (1 – 2/3) = 1/3

4

(B) Qual o número médio de carros na fila esperando atendimento (carro em atendimento não está na fila)?

TEORIA DE FILAS

) 3 / 4 ) ( 3 / 1 (

) 9 / 4 ( ) 3 / 2 ( 1

) 3 / 2 ( 1

2

= =

= −

−

= ρ

ρ ρ L Lq

(C) Qual o tempo médio gasto por um carro no sistema?

(3)

3

(D) Na média quanto clientes são atendidos por hora?

Se o servidor estivesse sempre ocupado, então, µµµµ = 15 clientes seriam atendidos em 1 hora. Mas, do item (a) sabe-se que o

servidor está ocupado 2/3 do tempo. Assim, em qualquer, hora em média (2/3)*15 = 10 clientes são atendidos. E este

deve ser justamente o caso dado que por hora chegam 10 clientes.

6

PROMODEL

Passo 1: Construir os locais

Locais

(4)

8

PROMODEL

(5)

5

Máximo de itens na fila

10

PROMODEL

Estatísticas do local

(6)

© UNESP 6 Agosto 2008 1

12

PROMODEL

Passo 2: Construir as entidades

Entidades

(7)

7

Passo 2: Construir as entidades

14

PROMODEL

Passo 3: Chegadas

Chegadas

(8)

16

PROMODEL

(9)

9 Clicar com o botão direito

18

PROMODEL

(10)

20

PROMODEL

(11)

11

22

PROMODEL

Taxa de Chegada:

λλλλ

= 10

(12)

Intervalo entre chegadas: E(6)

E(6)

24

PROMODEL

Passo 4: Processamento

Processamento

E(6)

(13)

13

26

PROMODEL

(14)

28

PROMODEL

Processamento

(15)

15 Taxa de proc.:

µµµµ

30

PROMODEL

Taxa de proc.:

µµµµ

(16)

Taxa de proc.:

µµµµ

32

PROMODEL

Taxa de proc.:

µµµµ

= 15

(17)

17 Tempo médio de serviço: E(4)

E(4)

34

PROMODEL

Tempo médio de serviço: E(4)

E(4)

(18)

Finalizando: Rotear para saída

36

PROMODEL

Finalizando: Rotear para saída

E(4)

(19)

19

Passo 5: Configuração da Simulação

Informação Geral

E(4)

38

PROMODEL

Passo 5: Configuração da Simulação

Informação Geral

(20)

Opções

40

PROMODEL

Passo 7: Execução da Simulação

Executar

(21)

21

ππππ0

= (1 -

ρρρρ

) = (1 – 2/3) = 1/3

W = 2/10 = 1/5 hora

= 12 minutos

0,13 hora = 7,8 min

58% do tempo

42

PROMODEL

Passo 7: Opções de Simulação

Opções

(22)

W = 2/10 = 1/5 hora

= 12 minutos

ππππ0

= (1 -

ρρρρ

) = (1 – 2/3) = 1/3

0,18 hora = 11 min

34% do tempo

44

ANÁLISE ESTATÍSTICA

X

₀

X

_n

Se uma simulação com variáveis aleatórias for executadas duas vezes, os valores

produzidos serão diferentes.

(23)

23

Se a performance do sistema é medida por um parâmetro θθθθ, então, a simulação tem por objetivo fornecer uma

estimativa de θθθθ, bem como determinar a acuracia através do desvio padrão do estimador . Essa medida

de variabilidade pode ser colocada na forma de um intervalo de confiança para um dado nível de confiança.

O propósito da análise estatística é fornecer este intervalo de confiança. Alguns problemas para determinar

o intervalo de confiança em simulação são:

(1)Os dados de saída geralmente são relacionados.

(2)As condições iniciais no tempo t = 0 podem influenciar os dados de saída.

θ^ˆ

θˆ

46

(1)Os dados de saída geralmente são relacionados:

Ou seja, na simulação de uma fila o tempo de espera de um cliente depende de clientes anteriores. Na simulação de um estoque, o volume inicial do estoque em um dia depende do volume final do dia anterior.

dessa forma, métodos estatísticos clássicos que supõem independência não são aplicáveis diretamente.

t=0

t

t t+1

ANÁLISE ESTATÍSTICA

(24)

primeiros clientes de um problema com filas não esperam o mesmo tempo que aqueles que chegam bem depois.

t=0

t

Período de transição ou de “warm-up”.

Duas formas de resolver o problema do warm-up.

Período de estado permanente.

48

(2.1) Usar um conjunto de condições iniciais que sejam representativas do estado permanente do sistema. O problema é que em muitas simulações é difícil determinar estas condições iniciais.

Período de transição ou de “warm-up”.

t=0

ANÁLISE ESTATÍSTICA

(25)

25

(2.2) A alternativa é rodar a simulação por um período de tempo e descartar a parte inicial da simulação relativa ao “warm-up” e assumir que a simulação começa (estatísticas são coletadas) já em estado permanente.

t

Período de transição ou de “warm-up”.

t=0

Sem estatísticas Coleta de estatísticas

50

Para realizar a análise dos dados de saída, as

simulações podem ser classificadas em duas categorias:

(1)SIMULAÇÃO TERMINAL: É aquela que funciona por um período de tempo T_E, onde E é um ou mais eventos especificados. O evento E pode ser também um instante de tempo específico, resultando em um tempo máximo de simulação.

(2)SIMULAÇÃO DE ESTADO ESTACIONÁRIO: É tal que funciona por um longo período de tempo, ou seja, o tempo de simulação tende a infinito.

ANÁLISE ESTATÍSTICA

T

_E

T

→→→→∞

(26)

exemplo, se a simulação de uma fila em banco deve usar simulação terminal, pois o banco fecha de tarde.

T

_E

10:00-16:00

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Já a simulação de um sistema computacional é melhor usar estado estacionário, pois o sistema funciona por um tempo suficientemente grande até que o sistema sofra um quebra ou tenha que realizar manutenção.

ANÁLISE ESTATÍSTICA

(27)

27

Suponha que são realizadas n replicações independentes que empregam a simulação terminal. Se as n simulações começam com a mesma condição inicial e usam diferentes sequências de valores aleatórios, então, cada simulação pode ser tratada com uma replicação independente. Por simplicidade suponha que exista uma medida de

performance representada pela variável X. Então, X_j é o estimador da medida de performance da j-ésima

replicação, tal que a sequência X₁, X₂, ..., X_n será de variáveis aleatórias i.i.d. Para estas variáveis a análise estatística clássica pode ser aplicada para construir um intervalo de confiança 100*(1-α)% para θ = E(x) usando:

( )

n t S

X

_n

2 1 , 2

/ −

±

_α

54

ANÁLISE ESTATÍSTICA

( )

n t S

X

_n

2 1 , 2

/ −

±

_α

∑

=

ⁿ

i i

n X X

1

( )

∑

=

ⁿ

−

i i

n X S X

1

2 2

Média Variância amostral

É o valor da distribuição t com n – 1 graus de liberdade tal que: P(t_n-1 ≥≥≥≥ t_(α_αα_α,n-1)) = αααα. Esse valor pode ser encontrado com o Excel usando:

=TINV(2*alpha, graus_de_liberdade).

Erro que se comete (em αααα% dos casos) ao se afirmar que a medida está no intervalo de valores fornecido.

(28)

Simulação X_j

1 9,252

2 ^9,273

3 9,413

4 ^9,198

5 9,532

6 9,355

7 ^9,155

8 9,558

9 ^9,310

10 9,269

de tempo, como dado na Tabela a seguir.

O número médio de terminais em operação é de 9,331, a variância S² = 0,018 e se t(0,25, 9) = 2,26, então:

10 0180 , 26 0 , 2 331 ,

9 ±

096 , 0 331 ,

9 ±

E para a amostra de dados é este o intervalo com confiança de 95%

56

ANÁLISE ESTATÍSTICA

OBSERVAÇÃO: O tamanho do intervalo de confiança irá depender da qualidade da nossa amostra. Se o intervalo

de confiança for inaceitável, então, para reduzir o seu tamanho é necessário aumentar o número de amostras

ou o tempo de cada simulação. Por exemplo, se o Número de amostras aumentar de 10 para 20 ocorrem

duas melhorias:

(1)A média da amostra (passa para 9,359) se

(29)

29

Matematicamente, seja εεεε o tamanho desejado do intervalo:

(_α ₋)

≥ ε

n t

_n

S

2 1 , 2

/

n t

( _/₂_,_{n 1})

S

1

−

≥

α

ε

( )

2

1 , 2 /

1  





 



≥ 

−

S t

n

_α _n

ε

( /2, 1) ²

 



 

≥ 

⁻

ε

α

S

n t

ⁿ

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