Universidade de Cabo Verde
Departamento Ciˆencia & Tecnologia
Texto te´orico de Geometria I
Prof. Narciso Resende Gomes
Ano lectivo: 2012/2013
2 Princ´ıpios l´ogicos fundamentais . . . 2
3 Conceitos e suas defini¸c˜oes . . . 2
3.1 Conceitos primitivos . . . 2
3.1.1 Ponto . . . 3
3.1.2 Rectas e planos . . . 3
3.1.3 Propriedades ou proposi¸c˜oes primitivas . . . 4
3.2 Resumo - Axiomas . . . 5
3.3 Exerc´ıcios: . . . 6
4 Determina¸c˜ao do plano . . . 7
5 Posi¸c˜ao relativa entre os conceitos primitivos . . . 8
6 Paralelismo entre recta e plano e entre planos . . . 10
7 Exerc´ıcios . . . 10
Referˆ
encias
[1] A. Morgado e Outros, Geometria I. Franciso Alves Ed., Rio de Janeiro, 1990.
[2] A. Morgado e Outros, Geometria II. FC e Z Livros Ed., Rio de Janeiro, 2002.
[3] F. Oliveira e Outros, Geometria Euclidiana. , Universidade aberta, 2002.
[4] L. Sanchez, Notas para um Curso de Geometria Elementar. FCUL, Lisboa, 2009.
[5] M. J. Bezerra e J. C. Putnoki, Geometria Plana I. Editora Spicione, -.
Aula 1
1
Origens da Geometria
Existem ind´ıcios que aproximadamente a 2000 anos a.C e a 1300 anos a.C, a ci-viliza¸c˜ao babil´onica e a cici-viliza¸c˜ao egipcia, respectivamente, desenvolveram um consi-der´avel conhecimento geom´etrico. As finalidades originais de geometria eram de natu-reza pr´atica, como a constru¸c˜ao de edif´ıcios e marca¸c˜ao de terras. As grandes pirˆamides de Egipto ´e um facto que mostra que os eg´ıpcios conheciam e usavam bem a Geometria.
Fig. 1: As pirˆamides do Egipto.
Por volta de 600 a.C, alguns fil´osofos e matem´aticos gregos come¸caram a sistematizar o conhecimento geom´etrico acumulado, como Tales e Pit´agoras. Alguns consideram que a Geometria antes dos gregos eram puramente experimental e que os gregos foram os primeiros a introduzir o racioc´ınio dedutivo. Entretanto, independentemente de outras opini˜oes, os gregos foram os primeiros a sistematizar e organizar um conjunto de fac-tos geom´etricos conhecidos at´e seu tempo. O trabalho fundamental dos gregos foi feito por Euclides, cerca de 300 a.C. Escreveu uma obra de Geometria de 13 volumes cha-madoElementos, contendo virtualmente tudo o que era conhecido de Geometria naquela ´epoca. OsElementos at´e hoje, possui mais de um milhar de edi¸c˜oes. Nele, a Geometria ´e apresentada de forma l´ogica e organizada, partindo de algumas suposi¸c˜oes simples e desenvolvendo-se por racioc´ınio l´ogico.
2
Princ´ıpios l´
ogicos fundamentais
• Prinic´ıpio de Identidade: ≪Todo conceito ´e igual a si mesmo.≫
• Princ´ıpio de Contradi¸c˜ao: ≪E imposs´ıvel que algo seja e n˜ao seja verdadeiro ao´ mesmo tempo e sob a mesma condi¸c˜ao.≫
• Princ´ıpio de Meio Exclu´ıdo: ≪Uma proposi¸c˜ao ou ´e verdadeira ou ´e falsa.≫
• Princ´ıpio da Raz˜ao Suficiente: ≪Todo juizo deve ter uma raz˜ao suficiente.≫
3
Conceitos e suas defini¸
c˜
oes
3.1
Conceitos primitivos
A Geometria, como se apresenta na actualidade, pode ser vista como uma sequˆencia de propriedades que caracterizam um conjuntos de objectos ou entes. Os entes, cujas propriedades s˜ao estudadas pela Geometria, s˜ao na sua maioria ospontose osconjuntos de pontos, como por exemplo,as rectas, os planos, os poliedros, as curvas, as superf´ıcies,
Entretanto, a matem´atica utiliza a linguagem da l´ogica, ou seja, os conceitos, de um modo em geral, devem ser definidas e as propriedades devem ser demonstradas e assim verdadeiras. A defini¸c˜ao de um conceito ´e feita com base em conceitos anteriores. Mas na pr´atica, n˜ao pode ser prolongado indefinidamente. A afirma¸c˜ao de que na matem´atica todo o conceito ´e definido ´e excessivamente pretenciosa. ´E necess´ario estabelecer um ponto de partida, isto ´e, alguns conceitos devem ser adoptados sem defini¸c˜ao (conceitos primitivos), para que todos os demais possam ser definidos a partir deles. Deste modo, precisa ter uma concordˆancia acerca do seu significado, assim, precisa ser simples, sem que seja necess´ario defini-lo.
3.1.1 Ponto
Podemos imaginar um ponto como a marca da tinta de caneta numa folha de pa-pel ou um gr˜ao de areia, etc. A Geometria n˜ao d´a uma defini¸c˜ao formal do conceito deponto, mas espera-se que todos imaginem a mesma coisa sem necessidade de defini-lo.
Ponto´e umconceito primitivo.
A partir do conceito de ponto, podemos definir outros conceitos.
Defini¸c˜ao 1: Espa¸co ´e um conjunto de todos os pontos.
Defini¸c˜ao 2: Figura geom´etrica´e qualquer conjunto n˜ao vazio de pontos.
3.1.2 Rectas e planos
Um fio ou uma linha pode representar uma recta e uma mesa, por exemplo, um plano. Entretanto, um fio, uma linha ou um plano s˜ao limitados.
Recta e plano s˜ao conceitos primitivos.
Observa¸c˜ao 1:
•• Ospontos s˜ao sempre indicados com alfabetos latinos mai´uculos - A, B, C, D, . . .
• As rectas s˜ao indicadas com alfabetos latinos min´usculos - a, b, c, d, . . .
• Osplanos s˜ao indicados com alfabetos gregos min´usculos - α, β, γ, δ, . . .
Defini¸c˜ao 3: Dois ou mais pontos s˜ao ditos colineares se todos eles pertencem a mesma recta.
D
E
A, B e C s˜ao n˜ao-colineares D e E s˜ao colineares
A B
Defini¸c˜ao 4: Duas ou mais figuras s˜ao ditascoplanaresse todos os seus pontos pertencem ao mesmo plano.
α
r s
As rectas r e s s˜ao coplanares
3.1.3 Propriedades ou proposi¸c˜oes primitivas
As propriedades ou proposi¸c˜oes s˜ao demonstradas a partir de outras propriedades anteriores, chamados de teoremas. Assim ´e preciso que algumas propriedades sejam aceites sem demonstra¸c˜oes para evitar que o processo se repita indefinidamente.
Defini¸c˜ao 5: As propriedades admitidas sem demonstra¸c˜ao chamam-se axiomas ou pos-tulados.
Um axiomab´asico:
Axioma 1 - Existem infinitos pontos.
A seguir introduziremos mais alguns axiomas.
Axioma 2 - Dados dois pontos distintos, A eB, existe uma ´unica recta tal que A∈r e
B ∈r, ou seja, por dois pontos distintos passam uma ´unica recta.
Axioma 3 - Dada uma recta, existem infinitos pontos que pertencem a ela, e tamb´em infinitos pontos que est˜ao fora dela.
Axioma 4 - Dados trˆes pontos, A, B e C, n˜ao-colineares, existe um ´unico plano, diga-mos, α, tal que A ∈ α, B ∈ α e C ∈ α, ou seja, por trˆes pontos n˜ao-colineares
passa um ´unico plano.
α
C
A B
D
Observa¸c˜ao 2: Qualquer terno de pontos n˜ao colineares tomados sobre um plano, digamos α, caracteriza esse plano. O plano α da figura, por exemplo, pode ser indicado indiferentemente porpl(ABC), ou pl(ABD), oupl(ACD), ou pl(BCD).
Axioma 6 - Se dois pontos distintos, A e B de uma recta r pertencem a um plano α, ent˜ao todos os pontos dessa recta pertencem a α, ou seja, uma recta com dois pontos distintos em um plano, est´a contida nesse plano.
Axioma 7 - Axioma das paralelasou de Euclides Dados uma recta e um ponto fora dela ent˜ao existe uma ´unica recta que passa por esse ponto paralela a recta dada.
r
s P
P /∈r⇒ ∃s: (P ∈s ∧ rs)
Axioma 8 - Se dois planos distintos tem algum ponto em comum ent˜ao a sua intersec¸c˜ao ´e uma recta.
α
β
r
A∈α∧A∈β∧α=6 β ⇒ ∃r|r =α∩β.
Observa¸c˜ao 3:
• Dois planos que n˜ao se intersectam s˜ao paralelos.
3.2
Resumo - Axiomas
A1 - Existem infinitos pontos.
A2 - Dois pontos destintos definem uma recta.
A3 - Existem infinitos pontos que pertencem a uma recta e infinitos que n˜ao a pertence.
A4 - Trˆes pontos n˜ao colineares definem um plano.
A6 - Se dois pontos distintos de uma recta pertencem a um plano, ent˜ao a recta pertence ao plano.
A7 - Dados uma rectar e um ponto P fora dela, existe uma ´unica recta que passa por
P e ´e paralela a recta r.
A8 - Se dois planos distintos tˆem um ponto em comum, ent˜ao a sua intersec¸c˜ao ´e uma recta.
Observa¸c˜ao 4:
1. Quando dizemos que dois pontos distintos determinam uma recta, queremos dizer que existe uma ´unica recta que passam por esses dois pontos. Assim uma figura ´e determinada quando est´a garantida n˜ao s´o a sua existˆencia como tamb´em a sua unicidade.
2. Para caracterizarmos uma recta, podemos tomar sobre ela qualquer par de pontos distintos.
r A
D
B
C
Por exemplo, podemos optar por indicar a recta na figura de AB, AD, CD, etc
3.3
Exerc´ıcios:
1. (a) Podem trˆes pontos estar sobre uma mesma recta? Porquˆe? (b) Trˆes pontos s˜ao sempre colineares? Porquˆe?
2. Assinale Verdadeiro(V) ou Falso(F):
(a) Um ponto ´e tudo que n˜ao tem dimens˜ao. (b) O conceito de ponto n˜ao ´e definido.
(c) Toda a recta ´e um conjunto de pontos. (d) Por um ponto dado passa uma ´unica recta.
(e) Por dois pontos distintos passa uma ´unica recta. (f) Um ponto determina uma recta que passa por ele. (g) Por trˆes pontos n˜ao colineares passa um ´unico plano. (h) Trˆes pontos distintos n˜ao podem ser colineares.
(i) Uma recta contida num plano tem um ponto que pertence a esse plano. (j) Uma recta contida num plano tem um ´unico ponto que pertence a esse plano. (k) Trˆes pontos coplanares s˜ao colineares.
Aula 2
Continua¸
c˜
ao
Observa¸c˜ao 5: Duas rectas que se intersectam num ponto s˜ao concorrentes.
Observa¸c˜ao 6: Dois planos que se intersectam s˜ao secantes.
Axioma 9 - Por um ponto n˜ao pertencente a um plano passa um ´unico plano paralelo ao primeiro.
α
β
A
4
Determina¸
c˜
ao do plano
A partir de A4, conclu´ımos que um plano fica determinado por: 1. Trˆes pontos n˜ao colineares.
α
C
A B
2. Uma recta e um ponto n˜ao pertencente a essa recta.
α
A
B
C
3. Duas rectas concorrentes.
α s r
A
B
4. Duas rectas paralelas distintas.
α r
s
5
Posi¸
c˜
ao relativa entre os conceitos primitivos
1. Pontos
A≡B
coincidentes distintos
B C
2. Ponto e recta
pertencente n˜ao pertencente
A
B
3. Rectas
r ≡s rs
coincidentes paralelas distintas
r s
a
b
concorrentes reversas
I P
4. Recta e plano
α
r
paralela
contida
r
r
α β
secante
5. Planos
α
β
coincidentes secantes
A
B C
D
α
β
6
Paralelismo entre
recta e plano
e entre
planos
1. Recta e plano
• Se uma recta ´e paralela a uma recta de um plano, ela ´e paralela a esse plano.
α
r
r′
2. Planos
• Se duas rectas concorrentes r es s˜ao respectivamente paralelas a duas rectas
r′ e s′ de um planoβ, o plano determinado por r es ´e paralelo a β.
α
β
r
s
r′
s′
7
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1:
1. (a) S˜ao dados uma recta r e um pontoA /∈r. Construa um plano que passa por
A e ´e paralelo `a recta r.
1. Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Duas rectas distintasr es, reversas a uma terceira rectat, s˜ao reversas entre si.
(b) Duas rectas ou s˜ao conicidentes ou s˜ao reversas. (c) Duas rectas reversas n˜ao tem ponto comum. (d) Duas rectas reversas s˜ao distintas.
(e) Duas rectas que tem um ponto comum s˜ao concorrentes. (f) Duas rectas que tem um ´unico ponto comum s˜ao concorrentes. (g) Duas rectas reversas n˜ao s˜ao coplanares.
(h) Se duas rectas distintas n˜ao s˜ao reversas, ent˜ao elas s˜ao paralelas.
(i) Duas rectas que n˜ao tem ponto coumum s˜ao paralelas. (j) Duas rectas que n˜ao tem ponto comum s˜ao reversas.
(k) Duas rectas que n˜ao tem ponto comum s˜ao reversas ou s˜ao paralelas. (l) Duas rectas distintas ou s˜ao concorrentes ou s˜ao paralelas.
2. Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) A interse¸c˜ao de dois planos s´o pode ser uma recta.
(b) Se dois planos distintos tem um ponto em comum, ent˜ao eles s˜ao secantes. (c) Se dois planos s˜ao secantes, eles tem um ´unico ponto em comum.
(d) Dois planos s˜ao secantes tem um ponto em comum. (e) Se α∩β 6=∅, ent˜ao α=β.
3. (a) Sejam r, s e t trˆes rectas contidas num mesmo plano, tais que rs. Prove que se t ´e concorrente com r ent˜ao t tamb´em ´e concorrente coms.
(b) Prove que se a rectar ´e secante ao planoα, e a recta s´e paralela a r, ent˜ao
s tamb´em ´e secante ao plano α.
(c) Seja a recta s contida no plano α e seja P um ponto exterior a α. Por P
