Universidade de Cabo Verde

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Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto te´orico de Geometria I

Prof. Narciso Resende Gomes

Ano lectivo: 2011/2012

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2 Princ´ıpios l´ogicos fundamentais . . . 2

3 Conceitos e suas defini¸c˜oes . . . 2

3.1 Conceitos primitivos . . . 2

3.1.1 Ponto . . . 3

3.1.2 Rectas e planos . . . 3

3.1.3 Propriedades ou proposi¸c˜oes primitivas . . . 4

3.2 Resumo - Axiomas . . . 5

3.3 Exerc´ıcios: . . . 6

Referˆ

encias

[1] A. Morgado e Outros, Geometria I. Franciso Alves Ed., Rio de Janeiro, 1990.

[2] A. Morgado e Outros, Geometria II. FC e Z Livros Ed., Rio de Janeiro, 2002.

[3] F. Oliveira e Outros, Geometria Euclidiana. , Universidade aberta, 2002.

[4] L. Sanchez, Notas para um Curso de Geometria Elementar. FCUL, Lisboa, 2009.

[5] M. J. Bezerra e J. C. Putnoki, Geometria Plana I. Editora Spicione, -.

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2 _{Aula te´}_{orica de apoio - An´}_{alise Matem´}_{atica III, UniCV}

Aula 1

1 Origens da Geometria

Existem ind´ıcios que aproximadamente a 2000 anos a.C e a 1300 anos a.C, a ci-viliza¸cão babilónica e a cici-viliza¸cão egipcia, respectivamente, desenvolveram um consi-derável conhecimento geométrico. As finalidades originais de geometria eram de natu-reza prática, como a constru¸cão de edif´ıcios e marca¸cão de terras. As grandes pirâmides de Egipto é um facto que mostra que os eg´ıpcios conheciam e usavam bem a Geometria.

Fig. 1: As pirˆamides do Egipto.

Por volta de 600 a.C, alguns filósofos e matemáticos gregos come¸caram a sistematizar o conhecimento geométrico acumulado, como Tales e Pitágoras. Alguns consideram que a Geometria antes dos gregos eram puramente experimental e que os gregos foram os primeiros a introduzir o racioc´ınio dedutivo. Entretanto, independentemente de outras opiniões, os gregos foram os primeiros a sistematizar e organizar um conjunto de fac-tos geométricos conhecidos até seu tempo. O trabalho fundamental dos gregos foi feito por Euclides, cerca de 300 a.C. Escreveu uma obra de Geometria de 13 volumes cha-madoElementos, contendo virtualmente tudo o que era conhecido de Geometria naquela época. OsElementos até hoje, possui mais de um milhar de edi¸cões. Nele, a Geometria é apresentada de forma lógica e organizada, partindo de algumas suposi¸cões simples e desenvolvendo-se por racioc´ınio lógico.

2 Princ´ıpios l´

ogicos fundamentais

• Prinic´ıpio de Identidade: ≪Todo conceito ´e igual a si mesmo.≫

• Princ´ıpio de Contradi¸cão: ≪E imposs´ıvel que algo seja e não seja verdadeiro ao´ mesmo tempo e sob a mesma condi¸cão.≫

• Princ´ıpio de Meio Exclu´ıdo: ≪Uma proposi¸cão ou é verdadeira ou é falsa.≫

• Princ´ıpio da Raz˜ao Suficiente: ≪Todo juizo deve ter uma raz˜ao suficiente.≫

3 Conceitos e suas defini¸

c˜

oes

3.1 Conceitos primitivos

A Geometria, como se apresenta na actualidade, pode ser vista como uma sequência de propriedades que caracterizam um conjuntos de objectos ou entes. Os entes, cujas propriedades são estudadas pela Geometria, são na sua maioria ospontose osconjuntos de pontos, como por exemplo,as rectas, os planos, os poliedros, as curvas, as superf´ıcies,

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Entretanto, a matemática utiliza a linguagem da lógica, ou seja, os conceitos, de um modo em geral, devem ser definidas e as propriedades devem ser demonstradas e assim verdadeiras. A defini¸cão de um conceito é feita com base em conceitos anteriores. Mas na prática, não pode ser prolongado indefinidamente. A afirma¸cão de que na matemática todo o conceito é definido é excessivamente pretenciosa. É necessário estabelecer um ponto de partida, isto é, alguns conceitos devem ser adoptados sem defini¸cão (conceitos primitivos), para que todos os demais possam ser definidos a partir deles. Deste modo, precisa ter uma concordância acerca do seu significado, assim, precisa ser simples, sem que seja necessário defini-lo.

3.1.1 Ponto

Podemos imaginar um ponto como a marca da tinta de caneta numa folha de pa-pel ou um grão de areia, etc. A Geometria não dá uma defini¸cão formal do conceito deponto, mas espera-se que todos imaginem a mesma coisa sem necessidade de defini-lo.

Ponto´e umconceito primitivo.

A partir do conceito de ponto, podemos definir outros conceitos.

Defini¸c˜ao 1: Espa¸co ´e um conjunto de todos os pontos.

Defini¸cão 2: Figura geométricaé qualquer conjunto não vazio de pontos.

3.1.2 Rectas e planos

Um fio ou uma linha pode representar uma recta e uma mesa, por exemplo, um plano. Entretanto, um fio, uma linha ou um plano s˜ao limitados.

Recta e plano s˜ao conceitos primitivos.

Observa¸c˜ao 1:

•• Ospontos s˜ao sempre indicados com alfabetos latinos mai´uculos - A, B, C, D, . . .

• As rectas s˜ao indicadas com alfabetos latinos min´usculos - a, b, c, d, . . .

• Osplanos s˜ao indicados com alfabetos gregos min´usculos - α, β, γ, δ, . . .

Defini¸c˜ao 3: Dois ou mais pontos s˜ao ditos colineares se todos eles pertencem a mesma recta.

D

E

A, B e C são não-colineares D e E são colineares

A B

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Defini¸c˜ao 4: Duas ou mais figuras s˜ao ditascoplanaresse todos os seus pontos pertencem ao mesmo plano.

α

r s

As rectas r e s s˜ao coplanares

3.1.3 Propriedades ou proposi¸c˜oes primitivas

As propriedades ou proposi¸cões são demonstradas a partir de outras propriedades anteriores, chamados de teoremas. Assim é preciso que algumas propriedades sejam aceites sem demonstra¸cões para evitar que o processo se repita indefinidamente.

Defini¸c˜ao 5: As propriedades admitidas sem demonstra¸c˜ao chamam-se axiomas ou pos-tulados.

Um axiomab´asico:

Axioma 1 - Existem infinitos pontos.

A seguir introduziremos mais alguns axiomas.

Axioma 2 - Dados dois pontos distintos, A eB, existe uma ´unica recta tal que A∈r e

B ∈r, ou seja, por dois pontos distintos passam uma ´unica recta.

Axioma 3 - Dada uma recta, existem infinitos pontos que pertencem a ela, e tamb´em infinitos pontos que est˜ao fora dela.

Axioma 4 - Dados três pontos, A, B e C, não-colineares, existe um único plano, diga-mos, α, tal que A ∈ α, B ∈ α e C ∈ α, ou seja, por três pontos não-colineares

passa um ´unico plano.

α

C

A B

D

Observa¸c˜ao 2: Qualquer terno de pontos n˜ao colineares tomados sobre um plano, digamos α, caracteriza esse plano. O plano α da figura, por exemplo, pode ser indicado indiferentemente porpl(ABC), ou pl(ABD), oupl(ACD), ou pl(BCD).

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Axioma 6 - Se dois pontos distintos, A e B de uma recta r pertencem a um plano α, ent˜ao todos os pontos dessa recta pertencem a α, ou seja, uma recta com dois pontos distintos em um plano, est´a contida nesse plano.

Axioma 7 - Axioma das paralelasou de Euclides Dados uma recta e um ponto fora dela ent˜ao existe uma ´unica recta que passa por esse ponto paralela a recta dada.

r

s P

P /∈r⇒ ∃s: (P ∈s ∧ rs)

Axioma 8 - Se dois planos distintos tem algum ponto em comum então a sua interseçcão é uma recta.

α β

r

A∈α∧A∈β∧α=6 β ⇒ ∃r|r =α∩β.

Observa¸c˜ao 3:

• Dois planos que n˜ao se intersectam s˜ao paralelos.

3.2 Resumo - Axiomas

A1 - Existem infinitos pontos.

A2 - Dois pontos destintos definem uma recta.

A3 - Existem infinitos pontos que pertencem a uma recta e infinitos que n˜ao a pertence.

A4 - Trˆes pontos n˜ao colineares definem um plano.

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A6 - Se dois pontos distintos de uma recta pertencem a um plano, ent˜ao a recta pertence ao plano.

A7 - Dados uma rectar e um ponto P fora dela, existe uma ´unica recta que passa por

P e ´e paralela a recta r.

A8 - Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseçcão é uma recta.

Observa¸c˜ao 4:

1. Quando dizemos que dois pontos distintos determinam uma recta, queremos dizer que existe uma única recta que passam por esses dois pontos. Assim uma figura é determinada quando está garantida não só a sua existência como também a sua unicidade.

2. Para caracterizarmos uma recta, podemos tomar sobre ela qualquer par de pontos distintos.

r A

D

B

C

Por exemplo, podemos optar por indicar a recta na figura de AB, AD, CD, etc

3.3 Exerc´ıcios:

1. (a) Podem três pontos estar sobre uma mesma recta? Porquê? (b) Três pontos são sempre colineares? Porquê?

2. Assinale Verdadeiro(V) ou Falso(F):

(a) Um ponto é tudo que não tem dimensão. (b) O conceito de ponto não é definido.

(c) Toda a recta ´e um conjunto de pontos. (d) Por um ponto dado passa uma ´unica recta.

(e) Por dois pontos distintos passa uma única recta. (f) Um ponto determina uma recta que passa por ele. (g) Por três pontos não colineares passa um único plano. (h) Três pontos distintos não podem ser colineares.

(i) Uma recta contida num plano tem um ponto que pertence a esse plano. (j) Uma recta contida num plano tem um único ponto que pertence a esse plano. (k) Três pontos coplanares são colineares.