Governo Federal Presidente da República

Texto

(1)

André Gustavo Campos Pereira

Joaquim Elias de Freitas

Roosewelt Fonseca Soares

Cálculo I

D I S C I P L I N A

A integral definida

Autores

aula

(2)

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede” Governo Federal

Presidente da República

Luiz Inácio Lula da Silva

Ministro da Educação

Fernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEED

Carlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Reitor

José Ivonildo do Rêgo

Vice-Reitora

Ângela Maria Paiva Cruz

Secretária de Educação a Distância

Vera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos Materiais

Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de Edição

Ary Sergio Braga Olinisky

Projeto Gráfico

Ivana Lima

Revisores de Estrutura e Linguagem

Eugenio Tavares Borges Jânio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT

Verônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua Portuguesa

Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisores Técnicos

Leonardo Chagas da Silva Thaísa Maria Simplício Lemos

Revisora Tipográfica

Nouraide Queiroz

Ilustradora

Carolina Costa

Editoração de Imagens

Adauto Harley Carolina Costa

Diagramadores

Bruno de Souza Melo Dimetrius de Carvalho Ferreira Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo

Adaptação para Módulo Matemático

André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos

Colaboradora

Viviane Simioli Medeiros Campos

Imagens Utilizadas

(3)

Apresentação

N

as aulas 8 (A primitiva) e 9 (Mais primitivas e as somas de Riemann), calculamos as primitivas de diversas funções, introduzimos as somas de Riemann e utilizamos em particularuma soma de Riemann para calcular a área sob o gráfico de uma função contínua positiva. Nesta aula, voltaremos a tratar das somas de Riemann no sentido de ampliar o cálculo de áreas sob o gráfico de funções não mais necessariamente positivas, definiremos a integral definida de uma função e, finalmente, faremos a conexão entre primitivas e a integral definida utilizando o importante teorema fundamental do cálculo.

Objetivos

(4)

Somas de Riemann

Na aula 9, vimos que para calcular a área pretendida executamos os seguintes procedimentos:

1) subdividimos o intervalo fechado

฀a฀ b] em n subintervalos usando um conjunto P ฀฀x฀, x1, ฀ ฀ ฀ , x฀฀1, x฀, ฀ ฀ ฀ , xn฀1, xn} com n + 1 pontos, onde a฀x฀ < x1 < ฀ ฀ ฀ < x฀฀1 < x฀< ฀ ฀ ฀ < xn฀1 < xn฀b, definindo n subintervalos ฀x฀, x1], ฀x1, x2], ฀ ฀ ฀ , ฀x฀฀1, x฀], ฀ ฀ ฀ , ฀xn฀1, xn]. O conjunto P é chamado de partição de ฀a฀ b];

2) em cada subintervalo fechado

฀x฀฀฀฀ x฀], com k= ฀,2, ฀ ฀ ฀ , n, escolhemos ฀฀฀ um ponto tal que ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀. Denotamos por Sk a área do retângulo de base ฀฀฀ e altura ฀(฀x฀), ou seja, ฀฀=f(¯x฀)฀x฀;

3)

denominamos por An a soma das áreas dos n sub-retângulos definidos anteriormente, isto é,

฀n= n ฀

฀=฀ S฀=

n ฀

฀=฀

f(¯x฀)฀x฀ ;

4) fazemos a quantidade de pontos da partição crescer indefinidamente, ou seja, tender

para infinito.

(5)

Observação 1 - Note que dizer que ฀ ฀฀ é equivalente a dizer que ฀฀ ∞, pois se o comprimento do maior intervalo está se aproximando de zero quer dizer que a quantidade de pontos da partição está crescendo indeterminadamente. Logo, podemos escrever

lim

฀฀฀฀n= limn฀∞฀n= limn฀∞ n ฀

k=1

f(¯xk)฀฀xk.

Observação 2 - Vimos também na aula 9, que se considerarmos a norma ฀฀฀ como uma constante, todos os subintervalos ฀x฀฀฀฀ x฀] terão o mesmo comprimento e, se

f ฀ [a฀ b]฀R for positiva e contínua em ฀a฀ b], então, a área sob a curva y=฀฀x) no intervalo ฀a฀ b] é definida por ฀= lim

n฀∞฀n= limn฀∞ n ฀

฀=฀

f(¯x฀)฀x.

Note que a observação 2 é um caso particular da observação 1, pois nesta nada foi dito sobre como é a partição e nenhuma suposição foi feita para a função em estudo. Ou seja, na 1. a partição e a função podem até ser iguais a 2, mas isso seria apenas um dos casos possíveis.

Na aula 6 (Aplicações da derivada), vimos o Teorema da Existência de Valores Extremos, de acordo com o qual se f é uma função contínua no intervalo fechado ฀a฀ b], então, f tem máximo absoluto e mínimo absoluto em ฀a฀ b]. Note que quando fazemos a primeira etapa das somas de Riemann, subdividimos o intervalo fechado ฀a฀ b] em n subintervalos usando a partição P ฀฀x฀, x1, ฀ ฀ ฀ , x฀฀1, x฀, ฀ ฀ ฀ , xn฀1, xn} com n + 1 pontos, onde a฀x฀ < x1 < ฀ ฀ ฀ < x฀฀1 < x฀ < ฀ ฀ ฀ < xn฀1< xn฀b, definindo n subintervalos ฀x฀, x1], ฀x1, x2], ฀ ฀ ฀ , ฀x฀฀1, x฀], ฀ ฀ ฀ , ฀xn฀1, xn]. Portanto, se a função f com a qual estamos trabalhando for contínua, existirão em cada intervalo ฀x฀฀฀ x฀] dois pontos ฀m, e ฀฀k onde a função f tem máximo absoluto e mínimo absoluto em ฀x฀฀฀ x฀], sendo para esses pontos ฀฀xmk )฀฀x฀k ).

Por 2) – soma de Reimann –, temos que ฀฀฀ é a largura do intervalo ฀x฀฀฀฀ x฀] e, portanto, um valor positivo. Assim, multiplicando ambos os lados da desigualdade

฀฀xmk)฀฀x฀k ) por ฀฀฀, obtemos ฀(x m

k)฀x฀฀฀(x ฀

k )฀x฀; como isso vale para qualquer intervalo ฀x฀, x1], ฀x1, x2], ฀ ฀ ฀ , ฀x฀฀1, x฀], ฀ ฀ ฀ , ฀xn฀1, xn], teremos

฀(xm )฀x฀ ฀฀(x ฀ ฀ )฀x฀

฀(xm2 )฀x2 ฀฀(x ฀ 2 )฀x2 ...

฀(xmn)฀x฀฀฀(x ฀ n )฀x฀.

Somando os membros da desigualdade anterior, obedecendo a desigualdade, teremos

n ฀

฀=฀

฀(xmk)฀x฀฀ n ฀

฀=฀

(6)

a

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

b

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x

Note ainda que qualquer outro ponto ฀฀฀, tal que ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀, temos

฀(xmk)฀฀(฀x฀)฀฀(x ฀

k ), e repetindo o procedimento anterior, obteremos n

฀=฀

฀(xmk )฀x฀฀ n ฀

฀=฀

฀(¯x฀)฀x฀฀ n ฀

฀=฀

฀(x฀k )฀x฀.

A partir disso, podemos concluir que para qualquer partição do intervalo ฀a฀ b], P ฀฀x฀, x1, ฀ ฀ ฀ , x฀฀1, x฀, ฀ ฀ ฀ , xn฀1, xn}, a desigualdade (Equação 1) ocorre quando f é

uma função contínua no intervalo fechado ฀a฀ b].

A soma que utiliza o valor ฀฀xm) como altura do retângulo em cada subintervalo

฀x฀฀฀฀ x฀] é chamada soma inferior. A soma que utiliza o valor ฀฀x ฀

k ) como altura do retângulo em cada subintervalo ฀x฀฀฀฀ x฀] é chamada soma superior.

Ilustramos nas Figuras 1a e 1b a seguir as somas inferior e superior, respectivamente, da função f : [฀฀4]R, definida por ฀฀x) =x, utilizando uma partição com 10 pontos.

Figura 1 - (a) Área referente à soma inferior; (b) área referente à soma superior.

(7)

a b c

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x

a b c

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

x A primeira observação que podemos fazer é que as somas superiores sempre são maiores ou iguais à área que desejamos aproximar e as somas inferiores sempre menores ou iguais; cabe ainda observar que as somas superiores são sempre maiores ou iguais a somas inferiores quando estamos calculando-as com base na mesma partição.

A segunda observação é que, se tomamos uma partição e vamos acrescentando cada vez mais pontos a ela, a soma superior vai diminuindo e a inferior vai aumentando. Ilustramos isso na Figura 2, na qual começamos com 4 pontos, depois acrescentamos os pontos médios aumentando para 8, e em seguida acrescentamos outra vez os pontos médios aumentando o número de pontos da partição para 16.

Figura 2 - (a) Área relativa à soma inferior de uma partição com 4 pontos; (b) acréscimo dos pontos médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 8 pontos; (c) acréscimo dos pontos médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 16 pontos.

(8)

Exemplo 1

Calcule a soma inferior da função f : [฀฀ b]R definida por

฀฀x) =x, utilizando a partição P ฀x฀, x1, x2, ฀ ฀ ฀ , x฀฀1, x฀} do

intervalo [฀฀ b], tal que ฀ =x฀ < x1< x2< ฀ ฀ ฀ < x฀฀1< x฀=b e com

x฀ = ฀, x1=

b n, x2=

2b n, x3 =

3b

n, ฀ ฀ ฀ , x฀฀฀ =

฀n฀1)b n ฀ x฀=

nb n =b.

Solução

Note que o gráfico da função é o da Figura 5 da aula 9. Assim, se observarmos em cada subintervalo ฀x฀฀฀฀ x฀], o menor valor da função será assumido sempre no ponto inferior do intervalo, ou seja, em ฀฀฀฀. Dessa forma, a soma inferior será

s(f, P) = n 

฀=฀

f(xm)฀x฀= n 

฀=฀

f(x฀฀฀)฀x฀= n 

฀=฀ x฀฀฀

b n = b1 n n  ฀=฀

x฀฀฀ = b n

฀ 0 + b

n +

2b

n +฀ ฀ ฀+

(n฀1)b n

s(f, P) = b n

฀ b

n+

2b

n +฀ ฀ ฀+

(n1)b n

 = b2

n2(1 + 2 +฀ ฀ ฀+ (n฀1))

= b2 n2

(n ฀1)n

2 

= b2(n฀1)

2n .

Note que se quisermos saber o que acontece com essa soma inferior quando fizermos ฀ ฀฀, temos que fazer ฀฀ ∞.

Para visualizarmos melhor, reescrevemos s฀f฀ P) = b฀ 2

฀ 1 1

n 

. Pelo que

estudamos na aula 9, vemos que quando ฀฀ ∞ teremos lim

฀฀฀s฀f฀ P) = b2

2 . Denotemos as somas superior e inferior de uma função f relativa a uma partição P por S฀f฀ P) e s฀f฀ P), respectivamente. Pelo que vimos até o momento, temos que à medida que acrescentamos mais pontos à partição P, ou seja, que fazemos ฀ ฀฀, S฀f฀ P) decresce e s฀f฀ P) cresce. Além disso, s฀f฀ P)฀S฀f฀ P). Com essas informações, podemos garantir que os limites lim

(9)

Atividade 1

a)

Calcule a soma superior da função f : [฀฀ b]R defi nida por ฀฀x) =x, utilizando a partição PP ฀฀฀฀xx฀฀, x, x11, x, x22, ฀ ฀ ฀ , x, ฀ ฀ ฀ , x฀฀฀฀11, x, x฀฀}} do intervalo

[฀

[฀฀ b฀ b]], tal que ฀ =x฀ < x1< x2 < ฀ ฀ ฀ < x฀฀1< x฀=b e com

x฀= 0, x1 =

b n, x2 =

2b n, x3=

3b

n, ฀ ฀ ฀ ,x฀฀1 =

฀n฀1)b n , x฀=

nb n =b

b) Depois de calculada a soma superior, encontre

lim

฀฀฀S฀f฀ P).

Se tomarmos outra partição lim

฀฀฀฀s฀f฀ P

) lim

฀฀฀฀S฀f฀ P

) e fi zermos o mesmo procedimento, teremos que os

limites lim

฀฀฀฀s฀f฀ P

) e lim

฀฀฀฀S฀f฀ P

) e existem.

Duas perguntas surgem naturalmente neste momento:

lim

฀฀฀s฀f฀ P) = lim฀฀฀฀s฀f฀ P

)? lim

฀฀฀S฀f฀ P) = lim฀฀฀฀S฀f฀ P

)?

Caso as perguntas sejam respondidas positivamente, outra pergunta ainda pode surgir:

lim

฀฀฀s฀f฀ P) = lim฀฀฀S฀f฀ P)?

Caso as perguntas sejam respondidas positivamente, para quaisquer que sejam as partições P,

lim

฀฀฀฀s฀f฀ P

) lim

฀฀฀฀S฀f฀ P

) tomadas, temos pela equação 1 que

s(f฀ P) = n ฀

฀=฀ f(xm

k)฀x฀฀ n ฀

฀=฀

f(¯xk)฀x฀฀ n ฀

฀=฀

f(x฀k )฀x฀=S(f฀ P)

e pelo teorema do confronto visto na aula 2 (Funções contínuas)que

lim

฀฀฀s(f฀ P) = lim฀฀฀S(f฀ P) = lim฀฀฀

n ฀

k=1

(10)

A notação

฀ b

f฀x)฀x foi introduzida por Leibniz, em que o símbolo ฀

foi construído

a partir da letra S de soma, a f(x) denominamos de integrando, ao a, de limite inferior (da integral), e ao b, de limite superior (da integral); o dx indica que x é a variável independente que está assumindo valores no intervalo fechado ฀a฀ b] e é denominada variável de integração.

Agora, vem aquela pergunta que não quer calar: precisaremos calcular a soma superior e inferior de todas as partições possíveis e verifi car se, quando o número de pontos da partição crescer, os limites coincidirão? Mas não existem infi nitas partições?

Pois é!!!!

Mas não se desespere, agora vai entrar em ação o que estamos estudando este tempo todo, as primitivas. Socorro, primitivas!!!

E assim podemos defi nir

Defi nição 1

Integral defi nida – Dizemos que uma função f é integrável no intervalo fechado

฀a฀ ba฀ b]] se limlim

฀฀฀฀฀฀ss฀฀f฀ Pf฀ P) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim฀฀฀฀฀฀SS฀฀f฀ Pf฀ P)), para qualquer partição P de

฀a฀ ba฀ b]]

(o que implicará limlim 

฀฀฀฀฀฀ss((f฀ Pf฀ P) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim฀฀฀฀฀฀SS((f฀ Pf฀ P) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim) = lim฀฀฀฀฀฀ n

n ฀ ฀

k

k=1=1

f

f(¯(¯(¯(¯(¯(¯xx)฀)฀xxkk

para qualquer ฀฀฀฀฀฀ escolhido em ฀฀xx฀฀฀฀฀฀฀ x฀ x฀฀]]. Representaremos esse limite por

฀ ฀ bb

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ f

f฀฀xx))฀x฀x, que se lê integral defi nida de a até b de ff฀฀xx))฀x฀x. Temos então que

  bb

a a     f

f((xx))฀x฀x= lim= lim

 ฀฀฀฀฀฀ n n ฀ ฀ k k=1=1

f

(11)

Teorema fundamental

do cálculo

Acabamos de definir a integral de uma função e constatamos que se f é integrável no

intervalo fechado ฀a฀ b] o valor do limite lim ฀฀฀

n ฀

k=1

฀(¯x)฀xk será sempre o mesmo para

qualquer ฀฀฀ escolhido em ฀x฀฀฀฀ x฀] e o valor desse limite será igual a

฀ b

f฀x)฀x.

Suponhamos que f é integrável no intervalo fechado ฀a฀ b] e que f admita uma primitiva F em ฀a฀ b], isto é, ฀฀฀x) =f฀x) em ฀a฀ b], seja P ฀x฀, x1, x2, ฀ ฀ ฀ , x฀฀1, x฀} uma

partição qualquer do intervalo ฀a฀ b], com a฀x฀ < x1< x2 < ฀ ฀ ฀ < x฀฀1< x฀฀b. Note que podemos escrever ฀฀b)฀฀฀a) =

n ฀

฀=฀

฀฀฀x฀)฀฀฀x฀฀฀)), pois

n ฀

฀=1

฀F฀x฀)฀F฀x฀฀1)) = ฀F฀x1)฀F฀x฀)) + ฀F฀x2)฀F฀x1)) + ฀F฀x3)฀F฀x2))+

฀ ฀ ฀+ ฀F฀xn)฀F฀xn฀1))฀

Note também que o primeiro termo de cada parcela se cancela com o segundo termo da parcela seguinte. Fazendo esses cancelamentos, temos que a expressão anterior se reduz

a n ฀

฀=1

฀฀฀x฀)฀฀฀x฀฀1)) =฀฀xn) =฀฀x฀) =฀฀b)฀฀฀a).

Como F é derivável ฀฀฀฀x) =f฀x)), pelo teorema do valor médio estudado na aula 6, podemos garantir que existe um ponto ฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀, tal que

฀(x฀)฀฀(x฀฀฀) =฀(¯x฀)(x฀฀x฀฀฀) =฀(¯x฀)฀x฀=f(¯x฀)฀x฀.

Dessa forma,

฀(b)฀฀(a) = n ฀

฀=฀

(฀(x฀)฀฀(x฀฀฀)) = n ฀

฀=฀

f(¯x฀)฀x฀.

Aplicando o limite quando ฀ ฀฀, temos que

lim

฀฀฀(฀(b)฀฀(a)) = lim฀฀฀

n ฀

k=1

f(¯xk)฀xk=  b

a

f(x)dx.

Note, entretanto, que ฀฀b)฀฀a) é um número fixo, e é a diferença de dois números

฀฀฀b)฀฀a)), ou seja, é uma constante. Vimos na aula 1 (Limite de funções reais em um ponto)que o limite de uma constante é a própria constante, assim, a equação anterior pode ser reescrita da seguinte forma

฀฀b)฀฀฀a) =

฀ b

(12)

Teorema 1 (Teorema fundamental do cálculo)

Se f for integrável no intervalo fechado ฀฀a฀ ba฀ b]] e f admite uma primitiva F em

฀a฀ ba฀ b]], então,

฀฀฀bb))฀฀฀฀฀฀aa) =) =

฀ ฀ bb

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

f f฀฀xx))dxdx.

Mostra-se que toda função contínua no intervalo fechado ฀a฀ b] é integrável nesse intervalo, assim podemos enunciar uma outra versão do teorema 1, a qual usaremos mais freqüentemente, já que as funções que trabalharemos nesta disciplina serão em sua maioria funções contínuas.

Teorema 2 (Teorema fundamental do cálculo)

Se f for contínua no intervalo fechado ฀฀a฀ ba฀ b]] e f admite uma primitiva F em

฀a฀ ba฀ b]], então,

฀฀฀bb))฀฀฀฀฀฀aa) =) =

฀ ฀ bb

฀ ฀ ฀ ฀ ฀

f f฀฀xx))dxdx.

Exemplo 2

Calcule a integral defi nida ฀ ฀/2 ฀

sen฀x)฀x.

Solução

Identifi quemos cada elemento necessário à aplicação do teorema. Primeiro o intervalo ฀a฀ b], neste caso, temos que a= ฀eb=฀

฀, logo, o intervalo é [฀฀฀/฀]. Sabemos da aula 2 que a função seno é contínua e sua primitiva é ฀฀os฀x), logo, pelo teorema 2 temos que

 ฀/2

sen฀x)dx=฀cos฀฀

2

(13)

Exemplo 3

Calcule a integral definida ฀ 3 ฀

e฀฀x.

Solução

Identifiquemos cada elemento necessário à aplicação do teorema. Primeiro o intervalo ฀a฀ b], neste caso, temos que ฀= ฀eb= 3, logo, o intervalo é [฀฀3].

Sabemos da aula 2 que a função exponencial é contínua e sua primitiva é ฀฀, logo, pelo

teorema 2 temos que

฀ 3

e฀฀x฀e3฀e฀.

Usaremos a notação ฀฀x)฀x฀b

x฀฀ ou simplesmente ฀฀x)฀b฀ para denotar ฀฀b)฀฀฀a).

Assim, quando usarmos os teoremas anteriores, escreveremos

฀ b

f฀x)dx=฀฀x)|x฀bx฀฀=฀฀x)|b฀=฀฀b)฀฀฀a).

Na aula 9, vimos que se f ฀ [a฀ b]฀R for positiva e contínua em

฀a฀ b], então, a área sob a curva y=฀฀x) no intervalo ฀a฀ b] é definida por

฀= lim

n฀∞฀n= limn฀∞ ฀ ฀

฀=฀

f(x฀)฀x. Vimos nesta aula que esse limite é um caso particular

das somas de Riemann estudadas nesta aula, ou seja, se a função tiver primitiva F, então,

฀= lim

n฀∞฀n= limn฀∞ k ฀

k=฀

f(xk)·฀x=  b

f(x)dx=F(b)F(a).

Exemplo 4

(Refazendo o exemplo 5 da aula 9)

Seja f : [฀฀ b]฀R a função definida por ฀฀x) =x, a função identidade. Calcule a

área sob o gráfico da f.

Solução

Pelo que foi discutido, queremos calcular

฀ ฀

f฀x)฀x. Como a função f é contínua e

tem primitiva ฀฀x) = x

2 , temos pelo teorema 2 que

฀ ฀

f฀x)dx=฀฀b)฀฀0) = b 2

2 ฀ 02

2 =

b2

(14)

Atividade 2

Exemplo 5

(Refazendo o exemplo 6 da aula 9)

Vamos considerar agora a função f : [฀฀ b]฀R defi nida por y=฀฀x) =x฀. Calcule

a àrea sob o gráfi co da f.

Solução

Pelo que foi discutido, queremos calcular ฀ ฀

f฀x)฀x. Como a função f é contínua e

tem primitiva ฀฀x) = x

3 , temos pelo teorema 2 que

฀ ฀

f฀x)dx=฀฀b)฀฀฀0) = b 3 3 ฀ 03 3 = b3 3 .

Sabendo que todas as funções a seguir são contínuas no intervalo em que as estamos integrando, calcule as integrais defi nidas.

a)

฀฀ 22 ฀ ฀ ฀฀฀฀

x x55฀x฀x

b)

฀฀

฀ ฀ 10 10 ฀ ฀ ฀฀฀฀ cos cos฀5฀5xx))dxdx

c)

฀฀ bb ฀ ฀ ฀฀฀฀

kdx฀ k kdx฀ kctecte

d)

฀฀ 1515 1฀ 1฀ ฀฀฀฀ ฀฀

x x฀x฀x

e)

฀฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀฀฀฀ sen

sen฀฀xx))22 ฀os฀os฀฀xx))dxdx

f)

฀฀

฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀฀฀฀ sen

sen฀฀xx+ 2+ 2฀฀))dxdx

g)

฀฀ 11

฀ ฀

฀฀฀฀

ee22฀฀฀x฀x

h)

฀฀ 22 ฀ ฀ ฀฀฀฀ 55xx44

x

x55฀ 1฀ 1฀x฀x

i)

฀฀ 22 ฀ ฀ ฀฀฀฀

฀฀xx+ 1)+ 1)฀x฀x

j)

฀฀ bb ฀ ฀ ฀฀฀฀

(15)

Resumo

Nesta aula, revisamos as somas de Riemann, introduzimos as somas superior e inferior e vimos como elas foram utilizadas na definição da integral definida. Vimos o teorema fundamental do cálculo que fez a ligação da integral definida com as primitivas que estudamos nas aulas 8 e 9.

Auto-avaliação

Sabendo a primitiva de uma função contínua, vimos como é fácil calcular sua integral definida. Monte alguns exemplos utilizando a regra da cadeia, da soma, diferença, produto e quociente para calcular a integral definida, como o modelo seguinte.

Sabemos que a primitiva da soma é a soma das primitivas, assim, considerando

f฀ g฀ [a฀ b]฀R funções contínuas com primitivas F฀ G฀ [a฀ b]฀R, temos

฀ b

฀f฀x) +g฀x))dx= ฀฀฀x) +G฀x))|b฀= ฀฀฀b) +G฀b))฀฀฀฀a) +G฀a)) =

฀฀฀b)฀฀฀a)) + ฀G฀b)฀G฀a))

=฀ b c

f฀x)dx+ ฀ b

c

g฀x)dx.

Referências

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.

(16)
(17)
(18)
(19)
(20)

Imagem

Figura 1 - (a) Área referente à soma inferior; (b) área referente à soma superior.

Figura 1 -

(a) Área referente à soma inferior; (b) área referente à soma superior. p.6
Figura 2 - (a) Área relativa à soma inferior de uma partição com 4 pontos; (b) acréscimo dos pontos  médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 8 pontos; (c) acréscimo dos pontos médios  à partição anterior, fazendo uma nova partição com 16

Figura 2 -

(a) Área relativa à soma inferior de uma partição com 4 pontos; (b) acréscimo dos pontos médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 8 pontos; (c) acréscimo dos pontos médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 16 p.7
Figura 3 - (a) Área relativa à soma superior de uma partição com 4 pontos; (b) acréscimo dos pontos  médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 8 pontos; (c) acréscimo dos pontos médios  à partição anterior, fazendo uma nova partição com 16

Figura 3 -

(a) Área relativa à soma superior de uma partição com 4 pontos; (b) acréscimo dos pontos médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 8 pontos; (c) acréscimo dos pontos médios à partição anterior, fazendo uma nova partição com 16 p.7

Referências