O modelo de Schr¨

(1)

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IFT

_{Universidade Estadual Paulista}Instituto de F´ısica Te´orica

DISSERTAC¸ ˜AO DE MESTRADO IFT–D.???/15

O modelo de Schr¨

odinger n˜

ao linear com um defeito integr´

avel

Douglas Rodrigues Silva

Orientador

Jos´e Francisco Gomes

Coorientador

Abraham Hirsz Zimerman

(2)

(3)

Agradecimentos

A minha mãe e meu irmão, pelo apoio incondicional durante toda a minha vida. Ao professor José Francisco Gomes, pela orienta¸cão.

Ao professor Abraham Hirsz Zimerman, pela orienta¸c˜ao e exemplo.

Ao professor Antônio Lima Santos, pelas oportunidades oferecidas a mim. A todos os amigos de São Carlos e São Paulo.

`

(4)

(5)

Resumo

A teoria de defeitos integráveis em teoria de campos em 1+1 dimensões, foi introduzida pela escola de York [16, 17, 22], utilizando transforma¸cões de Bäcklund para descrever o defeito.

Nesta disserta¸cão estudamos o modelo de Schrödinger não linear na presen¸ca de um defeito in-tegrável. Estudamos tanto o modelo discreto [29] como o modelo cont´ınuo dentro dos formalismos lagrangiano [23] e da matriz r [7]. Constru´ımos também o formalismo hamiltoniano para o mo-delo de Schrödinger não linear na presen¸ca de um defeito integrável. Discutimos e relacionamos os formalismos lagrangiano, hamiltoniano e da matriz r.

Palavras chaves: álgebra de Sklyanin; equa¸cão de Schrödinger não linear; matriz r; defeito; dinâmica não linear; integrabilidade.

´

(6)

Abstract

The theory of integrable defects in 1+1 field theory, was introduced by the school of York [16,

17, 22], employing B¨acklund transformation in order to describe the defect.

In this dissertation we have studied the nonlinear Schr¨odinger model in the presence of an inte-grable defect. We study both, the discrete model [29] as the continuous model within the lagrangian [23] and rmatrix [7] formalisms. Also we built the hamiltonian formalism for nonlinear Schr¨odinger model in the presence of an integrable defect. We discuss and relate the lagrangian, hamiltonian and

r matrix formalisms.

Key words: Sklyanin algebra; nonlinear Schr¨odinger equation; r matrix; defect; nonlinear dynamics; integrability.

(7)

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 1

2 O m´etodo da matriz r 6

2.1 Algebras de Poisson´ . . . 6 2.2 Modelos discretos . . . 8 2.3 Modelos cont´ınuos . . . 10

3 O modelo de Schr¨odinger n˜ao linear 13

3.1 O modelo de Schrödinger não linear discreto . . . 13 3.2 O modelo de Schrödinger não linear cont´ınuo com fronteiras periódicas . . . 16

4 O modelo de Schrödinger não linear com um defeito integrável 22

4.1 O modelo de Schrödinger não linear discreto com um defeito integrável . . . 23 4.2 O modelo de Schrödinger não linear cont´ınuo com fronteiras periódicas e um defeito

integrável . . . 28 4.3 O modelo de Schrödinger não linear no formalismo lagrangiano com um defeito integrável 33 4.4 O modelo de Schrödinger não linear no formalismo hamiltoniano com um defeito

in-tegr´avel . . . 34

5 Conclus˜oes e perspectivas 41

A Nota¸c˜ao tensorial 42

B As rela¸cões de comuta¸cão para a representa¸cão da álgebra de Sklyanin, casoN = 2 44

C NLS: Quantidades conservadas para o caso de trˆes part´ıculas 46

D O formalismo hamiltoniano para o modelo NLS 48

E As rela¸cões de comuta¸cão da representa¸cão da álgebra linear de Poisson para o

(8)

F NLS: Quantidades conservadas para o caso de quatro part´ıculas com um defeito

(9)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

O conceito de integrabilidade surgiu na mecânica clássica no século XIX por meio dos desenvolvimen-tos de matemáticos como Hamilton, Poisson, Jacobi, Liouville e outros. Com a inser¸cão da geometria simplética, foi poss´ıvel estabelecer bases concretas e rigorosas para sistemas integráveis na mecânica clássica. Seguindo [6] podemos definir a no¸cão de integrabilidade da seguinte forma: dada uma matriz anti-simétrica Ωmn₍_ξ_{) definida sobre o espa¸co de fase} _M _{pelas coordenadas (}_ξ_{) = (}_ξ1_{, ..., ξ}N₎ determinamos os parênteses de Poisson através de suas coordenadas1

{ξi, ξj}= Ωij(ξ)

e para quaisquer fun¸c˜oes f, g∈C∞_(M)

{f, g}= Ωij_∂ mf ∂ng

desta forma o espa¸co de fun¸cões suaves em C∞_{(M) forma uma álgebra de Poisson. As equa¸cões de}

movimento s˜ao obtidas atrav´es de

d dtξ

j ₌_{_H₍_ξ₎_{, ξ}j_}_, _(1.1)

onde H ∈ C∞_{(M) ´e conhecida como a hamiltoniana e} _{M_,_Ω_{, H}_} _{´e a estrutura hamiltoniana. Em}

cursos básicos de mecânica clássica dimM = 2L, sendo que para i = 1, .., L são tomadas como coordenadas canônicasqi e os demais i=L+ 1, ...,2L são tomadas como as coordenadas canônicas os momentos associados pi_{, tal que}

{pi, qj}=δij. (1.2)

Atrav´es do teorema de Darboux [6] temos que

Ω =

  

0 −I I 0

  

1_{Os parênteses de Poisson n˜}_{ao necessitam desta descri¸cão a priori, pois eles s˜}_{ao livres de coordenadas [}₆_{]. Porém}

(10)

e nossa estrutura hamiltoniana não degenerada neste caso é completamente integrável caso existam

Qi(ξ), i= 1, ..., L−1 tal que

{H, Qi}= 0, {Qi, Qj}= 0 (1.3)

eQi s˜ao as nossas quantidades conservadas.

Após estabelecermos o conceito de integrabilidade no contexto da mecânica clássica, podemos fazer uma mudan¸ca de variáveis de (ξ) para (I, α) conhecidas como variáveis de a¸cão-ângulo, tal que agora I eα passam a ser nossas coordenadas canônicas as quais satisfazem

{Ii, Ij}= 0, {αi, αj}= 0, {Ii, αj}=δij

com H =H(I) e as equa¸c˜oes de movimento s˜ao

d

dtI = 0, d dtαj =

∂H ∂Ij

.

Existem inúmeros problemas interessantes de sistemas integráveis clássicos em mecânica clássica como o problema de Kepler, pião de Kovalevskaya e outros [9]. Porém em 1967 um novo sistema integrável surgiu em outro contexto, o da teoria de campos clássicos escalares pelo grupo GGKM (Gardner, Greene, Kruskal e Miura) [39], onde foi desenvolvido um método para encontrar solu¸cões da equa¸cão KdV

ut+ 6uux+uxxx = 0. (1.4)

Esta equa¸cão foi primeiramente deduzida através da mecânica dos flu´ıdos para descrever a propaga¸cão de ondas em águas rasas. Posteriormente ela foi empregada em outros contextos, como o da f´ısica de plasma [39] e mais recentemente o da gravita¸cão [1]. Na f´ısica de plasma o grupo [39] encontrou a seguinte solu¸cão

u(x, t) = d

dxK(x, x), (1.5)

onde K(x, x) é o núcleo de uma equa¸cão integral. A solu¸cão mais simples da equa¸cão KdV obtida de um caso particular a partir de (1.5) é

u(x, t) =Asinh2(a(x−ct)). (1.6)

Observamos que esta solu¸cão descreve uma onda solitária, motivo pelo qual é chamada de um soliton

2_{, tal denomina¸cão foi justificada depois na teoria quântica de campos [}₃₄_{]. O método desenvolvido}

pelo grupo GGKM [39] é conhecido como o método do espalhamento inverso e consiste em uma mudan¸ca de variáveis que envolve

Lψ =k2ψ, (1.7)

ondeL´e o operador de Schr¨odingerL=− d2

dx2+u(x) e o potencialu(x) est´a relacionado ao problema

de valor inicial, ou seja, o comportamento de nossa solu¸c˜ao no instante t = 0 e nossa condi¸c˜ao

(11)

de fronteira u(x) → 0 para | x |→ ∞. Assim, a primeira parte do método, consiste em resolver um problema de mecânica quântica, que tem como objetivo encontrar as autofun¸cões de (1.7) para

k > 0. Isto recai em um problema de espalhamento no qual o espectro de estados ligados só vão ter correla¸cão com o espectro cont´ınuo no limite assintótico. Desta forma, a solu¸cão deψ no regime assintótico é

ψ(x, k)∼eikx+r(k)e−ikx, x→ −∞

ψ(x, t)∼t(k)eikx, x→ ∞,

onde os coeficientes de reflexãor(k) e transmissão t(k) satisfazem a condi¸cão de unitariedade |r(k)|2 ₊_|_t₍_k₎_|2_{= 1. Precisamos saber somente um dos dois} _r₍_k_{) ou} _t₍_k_{) para encontrar o outro.}

Para k <0 temos o espectro discreto k2 ₌₋_k2

j, j = 1, ..., no qual pode ser encontrado tamb´em a partir da propriedade de analiticidade do espectro cont´ınuo 3_{. As autofun¸c˜oes associadas no regime}

assint´otico s˜ao:

ψj ∼ekjx, x→ −∞

ψj ∼cje−kjx, x→ ∞.

Com os dados do espalhamento4 _r₍_k_), _k

j e cj no instante t = 0 podemos definir de forma única o potencial u(x). Assim, temos um problema inverso de espalhamento que consiste em determinar o potencial u(x) a partir da equa¸cão de Schrödinger sendo fornecido os dados espectrais no regime assintótico do problema associado ao espalhamento. Este procedimento de reconstru¸cão do potencial foi desenvolvido nos anos 50 por Gelfand, Levitan, Marchenko dentre outros [40, 49], assim basta restringir isto ao caso particular do operador de SchrödingerL. O método se completa com a evolu¸cão temporal do sistema.

O ponto crucial é o de que a transforma¸cão do potencialu(x) para os dados de espalhamento line-ariza a equa¸cão KdV, que através da evolu¸cão temporal, se observa como os dados de espalhamento se comportam, sendo os mesmos dados por

r(k, t) =e−ik3tr(k,0), cj(t) = ekj3c

j(0).

O último passo é o de reconstruir o potencial para qualquert, que consiste em aplicar o procedimento de [40, 49] para este caso e por fim obter u(x, t), que é nosso potencial para qualquer t e ao mesmo tempo o campo escalar da solu¸cão da equa¸cão KdV.

u(x) −→ u(x, t)

↓ ↓

S −→ S(t)

(1.8)

3_{Este resultado pode ser encontrado pelo c´alculo de res´ıduos dos coeficientes de reflex˜ao ou transmiss˜}_{ao no}

semi-eixo positivo do plano complexo, o qual esta relacionado ao procedimento tomado na teoria da matrizS da mecˆanica quˆantica.

(12)

O diagrama (1.8) resume o método do espalhamento inverso aplicado a equa¸cão KdV:S corresponde aos dados do espalhamento emt = 0, como já especificado eS(t) são os dados do espalhamento sobre a evolu¸cão temporal dados por

r(k, t) =e−ik3_t

r(k,0), cj(t) =ek

3

jtcj(0).

Observamos quekj é constante e o mesmo esta relacionado a propriedade de identidade das solu¸cões solitônicas na equa¸cão KdV, ao passo que para obtermos a solu¸cão do tipo um sóliton (1.6), basta tomarmos j = 1.

Logo após este método, Lax relacionou as equa¸cões (1.4) e (1.7), e que, em trabalhos posteriores mostrou que sua constru¸cão é geral para qualquer equa¸cão em 1+1 dimensões. Lax associa para cada variávelu definida no espa¸co de fun¸cões um operador auto-adjunto Lno espa¸co de Hilbert. No caso da equa¸cão KdV (1.4) este operador é o de Schrödinger. Para uma equa¸cão de movimento geral

ut=K(u), (1.9)

conforme u varia com o tempo, o operador L(t) permanece unitariamente equivalente. Os autova-lores de L estão associados as quantidades conservadas na equa¸cão não linear. Da propriedade de equivalência unitária de L(t) obtemos a famosa equa¸cão de Lax [46]

Lt= [M, L], (1.10)

onde M ´e um operador anti-sim´etrico, no qual o mesmo esta associado a

Ut=M U,

sendo U um operador unitário. Desta forma, a partir da equa¸cão de Lax (1.10), reescrevemos a equa¸cão de movimento; a equa¸cão (1.9) indica que a equa¸cão (1.10) é uma deforma¸cão isoespectral do operador auto adjuntoL.

Depois, o método do espalhamento inverso foi aplicado para resolver o modelo de Schrödinger não linear (NLS) [65]

iut+uux+ 2u|u|2 = 0, (1.11)

por´em neste caso nosso o operadorL ´e o operador de Dirac

L=

  

0 −1

1 0

  

d dx +

  

0 2u

2¯u 0

  .

(13)

[36]. Eles observaram que os dados do espalhamento sobre a evolu¸cão temporal poderiam ser in-terpretados como variáveis de a¸cão-ângulo, de modo que o mapa u(x, t) → S(t) consiste em uma transforma¸cão canônica, onde as quantidades conservadas foram encontradas em [52]; mais do que isto, conseguiram mostrar como o espalhamento inverso se manifesta neste formalismo. Como exem-plo a hamiltoniana para a equa¸cão KdV e momento são:

H =

Z ∞

−∞dx

1

2u

2

x+u3x

, P = 1 2

Z ∞

−∞u 2

xdx,

e conforme [36], podemos considerar ρ(k) = k

2ln(1− |r(k)| 2_{) e} _k

j. As nossas variáveis de a¸cão, portanto H =H[ρ(k), kj] e o momento podem ser expressos sobre esta mudan¸ca de variáveis como

H =−X

j

kj3+

Z ∞

0 k

3_ρ₍_k₎_dk, _P ₌X

j

kj +

Z ∞

0 kρ(k)dk. (1.12)

As equa¸cões (1.12) lembram muito as expressões da teoria de muitos corpos da f´ısica do estado sólido e destas podemos analisar a rela¸cão de dispersão.

(14)

Cap´ıtulo 2

O m´

etodo da matriz r

A introdu¸cão de modelos integráveis em teoria de campos em 1+1 dimensões foi concebida com o problema associado a equa¸cão KdV [39]. Esta equa¸cão exibe infinitas quantidades conservadas [52], e as solu¸cões exatas dela ficaram conhecidas como sólitons.

Na escola de St. Petersburgo [36] foram dados os primeiros passos do formalismo hamiltoniano da teoria de sólitons e através deste método, conseguiram provar a integrabilidade da equa¸cão KdV. Faddeev e seus alunos [35] come¸caram a desenvolver a quantiza¸cão do método do espalhamento inverso - este foi o tema da tese de doutorado de E. Sklyanin - introduzido pelo grupo GGKM e a escola de Potsdam [2]. Neste contexto ressurge a matrizR[12], que está relacionada com a fatoriza¸cão da matriz de espalhamento a qual satisfaz a célebre equa¸cão de Yang-Baxter [50,68,12]. Esta equa¸cão é o ponto fundamental para mostrar a existência de uma classe de sistemas integráveis unificados por uma determinada solu¸cão dela. Posteriormente foi desenvolvido a teoria clássica tomando os limites clássicos da teoria quântica.

Neste cap´ıtulo apresentaremos os resultados referentes aos modelos cl´assicos com fronteiras fe-chadas tanto na sua vers˜ao discreta quanto cont´ınua.

2.1 Algebras de Poisson

´

Nos modelos integráveis discretos no formalismo da matriz r, existem dois tipos de estruturas algébricas conhecidas: a estrutura linear, que tem a cadeia de Toda como exemplo, e a estrutura quadrática (álgebra de Sklyanin), que tem como exemplo o modelo de Schrödinger não linear dis-creto. A ideia por trás de ambas as constru¸cões é mostrar como as mesmas chegam na condi¸cão de integrabilidade.

(15)

por

W(λ, µ)= det(. v−L(λ)) = vN + N

X

k=1

(−1)kvN−kτk(λ) (2.1)

que está associado ao problema espectral do espalhamento inverso L(λ)ψ = vψ, sendo que N é a ordem da matriz e os invariantes espectrais são os coeficientes de (2.1), tal que τn(λ) = Tr(L(λ)n₎ para n6=N eτN(λ) = (−1)NdetL(λ).

As quantidades conservadas são obtidas a partir de τk(λ) como os coeficientes deste anel de polinômios em C[λ]. Sendo assim, qualquer carga conservada pode ser gerada a partir de uma combina¸cão linear dos coeficientes desse anel e consequentemente podemos obter as equa¸cões de movimento através de

˙

L(λ) ={L(λ), τk(µ)}.

Como estamos tratando de sistemas finitos, sabemos que eles respeitam nosso crit´erio de integra-bilidade, dado pela equa¸c˜ao (1.3).

A partir de nossos invariantes espectrais τj(λ), temos que a equa¸cão (1.3) é equivalente à

{τi(λ), τj(µ)}= 0. (2.2)

Devido ao fato das quantidades conservadas serem os coeficientes do polinômioτj(λ). A condi¸cão de integrabilidade (2.2) implica na existência de uma representa¸cão da matrizr que satisfaz a equa¸cão de Yang Baxter

[r12(λ, µ), r13(λ, ν)] + [r32(ν, µ), r13(λ, µ)] + [r12(λ, µ), r23(µ, ν)] = 0. (2.3)

e atrav´es de uma solu¸c˜ao desta, podemos formar a estrutura de Poisson dos elementos da matriz de Lax2 _{_L

ij(λ),Lkl(µ)}. A equa¸cão (2.2) é equivalente a uma representa¸cão da estrutura de Poisson para o par de Lax [10]. Desta forma a partir de uma dada solu¸cão de (2.3), temos

{L1(λ),L2(µ)}= [r12(λ, µ),L1(λ)]−[r21(λ, µ),L2(µ)], (2.4)

onde L1 ≡ L⊗I, L2 ≡ I ⊗L, r12 ≡ r⊗I, r21 ≡ I ⊗r | r ∈ End(V ⊗V), onde V ´e o

espa¸co auxiliar. No lado esquerdo de (2.4) temos os parênteses de Poisson que estão associados aos elementos de matriz do produto L1(λ)L2(µ) (No apêndice A os resultados sobre a nota¸cão tensorial são expostos em detalhes) que está relacionado somente as rela¸cões de comuta¸cão do lado direito. A equivalência entre (2.2) e (2.4), esta no fato de tomarmos os tra¸cos nesta, com rela¸cão ao primeiro e segundo subespa¸co auxiliar. Não calculamos a estrutura de Poisson por primeiros princ´ıpios. No entanto, (2.4) respeita as rela¸cões de canonicidade fundamentais dos respectivos modelos, os quais

simplética, porém, na nossa nota¸cão, não escrevemos explicitamente esta dependência.

2_{Estes elementos de matriz podem ser fun¸c˜oes geradoras com rela¸c˜ao ao parˆ}_{ametro espectral dos geradores da}

sub-álgebra de Borel, além do elemento central que neste formalismo é o det(L₍_λ_{)), assim obtemos todo o conjunto}

(16)

são os elementos da matriz dos parênteses de Poisson desta representa¸cão que está associada a matriz

r.

Os modelos com os quais iremos trabalhar nesta disserta¸cão não abrangem a classe de solu¸cões não anti-simétrica da equa¸cão de Yang Baxter (2.3). Isto é tema de pesquisa atual [63]. Todas as matrizesrestão conectadas com expansões semi-clássicas de “grupos quânticos”. Sistemas integráveis quânticos estão relacionados com matrizes r anti-simétricas. Por enquanto matrizes r não anti-simétricas são somente pertinentes no contexto clássico, todavia trabalharemos somente com as matrizes r anti-simétricasr21(µ, λ) =−r12(λ, µ), as quais possuem solu¸cões com a diferen¸ca entre os

parˆametros espectraisr(λ, µ) = r(λ−µ). Assim (2.3) fica da forma [56]

[r12(λ−µ), r13(λ) +r23(µ)] + [r13(λ), r23(µ)] = 0 (2.5)

e (2.4) se torna

{L1(λ),L2(µ)}= [r12(λ−µ),L1(λ) +L2(µ)]. (2.6)

Existe outra representa¸cão importante, que é a álgebra de Sklyanin

{L1(λ),L2(µ)}= [r12(λ−µ),L1(λ)L2(µ)], (2.7)

a qual ser´a utilizado nos modelos com fronteiras fechadas.

2.2 Modelos discretos

Em modelos discretos uma representa¸cão, que utilizaremos da álgebra (2.7), parte da seguinte mo-tiva¸cão: nos modelos clássicos associamos para cada part´ıcula noj-ésimo s´ıtio da cadeia a matriz de Lax local Lj(λ), onde o s´ımbolo subscrito faz referência à posi¸cão. O problema auxiliar

ψj+1 =Lj(λ)ψj ˙

ψj =Mj(µ)ψj,

(2.8)

nos diz a informa¸cão por meio de ψ relacionada à part´ıcula na posi¸cão j através do Lax local Lj, o qual faz o papel de intermediador perante a transla¸cão discreta entre o primeiro vizinho. Ainda temos o outro Lax local Mj, que não é utilizado no formalismo da matriz r, então só precisamos de uma representa¸cão de L e r com rela¸cão ao espa¸co auxiliar. Através destes podemos obter M, porém, introduzimosM por completude. Desta forma a condi¸cão de compatibilidade de (2.8)

˙

Lj(λ) =Mj+1(λ, µ)Lj(λ)−Lj(λ)Mj(λ, µ) (2.9)

´e a equa¸c˜ao de curvatura nula discreta.

A álgebra de Sklyanin na representa¸cão conhecida como local será a seguinte:

{L1_j(λ), L2_k(µ)}=hr12(λ−µ), L1j(λ)L

2

k(µ)

i

(17)

Agora, se considerarmos a informa¸cão correlacionada entre oi-ésimo e k-ésimo membros da cadeia, tal que i < k , teremos

ψk+1 =LkLk−1· · ·Li+1Liψi =T(k, i|λ)ψi, (2.11)

que ´e obtido a partir de uma aplica¸c˜ao recursiva de (2.8) dois a dois. O termo

T(k, i|λ) =

x

Y

i≤j≤k

Lj(λ)

é conhecido como a matriz de transi¸cão entre i e k. A partir do momento em que levamos em conta toda a cadeia, bastando tomari= 1 ek =N na matriz de transi¸cão, temos o que é conhecido como a matriz de monodromia:

T(λ) =

x

Y

i≤j≤N

Lj(λ). (2.12)

Observamos que tanto na matriz de transi¸cão quanto na matriz de monodromia se estabelece um ordenamento, o qual cada Lax local está relacionado a uma posi¸cão na cadeia. Assim, a matriz de monodromia (2.12) representa toda a cadeia, tal que temos que esta satisfaz a mesma álgebra de Sklyanin (2.7)

{T1(λ), T2(µ)}=hr12(λ−µ), T1(λ)T2(µ)

i

. (2.13)

A propriedade que está por trás disto se chama comultiplica¸cão [33], que aqui podemos entender como a partir do ponto que a representa¸cão da álgebra de Sklyanin é satisfeita para a matriz de Lax local (2.10). Isto implica que a monodromia (2.12) satisfaz a mesma álgebra [43].

Para os sistemas que trabalharemos nesta disserta¸c˜ao, teremos somente um invariante espectral em (2.1) que ´e

τ(λ) = Tr(L(λ)). (2.14)

Devido a dimensão do nosso espa¸co auxiliarV [35], no qual trabalhamos com a representa¸cão de L, (2.14) é conhecida como a matriz de transferência3_{. Para os modelos discretos temos que a matriz}

de transferˆencia ´e

τ(λ) = Tr(T(λ)) = Tr





x

Y

1≤j≤N

Lj(λ)



=λ

N +

N

X

j=1

IjλN−j, (2.15)

da qual garantimos a integrabilidade, bastando tomari=j = 1 em (2.2). Desta forma, a (2.15) gera todas as quantidades conservadas através de seus coeficientes Ij. Para podermos comparar com as quantidades f´ısicas devemos fazer uma combina¸cão dos coeficientes, porém é mais conveniente usar

T₍_λ_{) = ln}_τ₍_λ₎_.

3_{Observamos aqui que isto n˜}_{ao é uma matriz, apesar do nome, o qual advém do método utilizado por Onsanger ao}

(18)

Devido `a (2.15) expandimos com rela¸c˜ao a λ → ∞

T₍_λ_{) = ln}_τ₍_λ_{) =}_N_ln(_λ_{) +}

∞

X

j=1

Hjλ−j. (2.16)

Em [35] é mostrado que os coeficientesHj são obtidos através de combina¸cões deIj quantidades conservadas para não mais do que j part´ıculas vizinhas. Assim, tendo obtido (2.16) podemos obter as equa¸cões de movimento para j-ésima part´ıcula da hierarquia através de

˙

Lj(λ) ={Lj(λ),T(µ)} (2.17)

e desta forma ainda encontramos a outra matriz de Lax localMj [35] por meio de (2.9),(2.16) e (2.17)

Mj(λ, µ) = T−1Tr

1

h

T1(N, j|λ)r12(λ−µ)T1(j−1,1|λ)

i

onde o 1 embaixo do tra¸co denota que tomamos o tra¸co com rela¸c˜ao ao primeiro subespa¸co auxiliar.

2.3 Modelos cont´ınuos

Os modelos cont´ınuos são os modelos da teoria de campos clássicos escalares em 1+1 dimensões. Come¸camos por resultados conhecidos no formalismo de Lax. A versão cont´ınua de (2.8) é [35]

Ψx(x, t) =U(x, t|λ)Ψ(x, t)

Ψt(x, t) = V(x, t|λ)Ψ(x, t),

(2.18)

na qual podemos considerar isto como o limite cont´ınuo dos modelos discretos, bastando tomarmos o limite do espa¸camento entre os primeiros vizinhos nos s´ıtios da cadeia tendendo a zero e o número de s´ıtios tendendo ao infinito - ao invés de termos um intervalo o qual sua medida está relacionada aos Z_{, teremos um intervalo cont´ınuo representado pela posi¸cão} _x _∈ R_{. A condi¸cão de compatibilidade} de nosso problema auxiliar (2.18) é

Ut(x, t)−Vx(x, t) + [U(x, t), V(x, t)] = 0 (2.19)

que é a nossa equa¸cão de curvatura nula. Notamos ainda que (2.19) é invariante por uma trans-forma¸cão de gauge G

Gx = ˜UG − GU, Gt= ˜VG − GV. (2.20)

Assim, como no caso discreto, nossa matriz de transi¸c˜ao no caso cont´ınuo pode ser constru´ıda a partir do transporte paralelo [35, 43] da conex˜ao4 _U

Ψ(x) = T(x, y|λ)Ψ(y), (2.21)

4_N˜_{ao escrevemos explicitamente a dependˆencia sobre a vari´}_avel _t_{, pois a mesma ´e fixa quando consideramos a}

(19)

onde T(x, y|λ) ´e nossa matriz de transi¸c˜ao que satisfaz as seguintes propriedades:

(2.22)

Sendo a primeira propriedade obtida a partir de (2.21). Fazendo x = y, a segunda propriedade ´e obtida a partir de (2.21) do qual ∂xT(x, y|λ) =∂xΨ(x)Ψ−1(y) e T(x, y|λ) = Ψ(x)Ψ−1(y), utilizando tamb´em (2.18), do qualU(x|λ) =∂xΨ(x)Ψ−1₍_x_{) e desta forma}

[∂x−U(x|λ)]T(x, y|λ) =∂xT −U T =∂xΨ(x)Ψ−1(y)−∂xΨ(x)Ψ−1(x)Ψ(x)Ψ−1(y) = 0.

Na terceira propriedade basta tomarmos y ≤ x e z ≤ x, que esta de acordo com a h´ıpotese da proposi¸c˜ao, assim temos respectivamente

T(x, y|λ) = P_e

Rx y U(x

′_,t

|λ)dx′

, (2.24)

uma solu¸cão formalmente conhecida [35], ondeP _{denota a trajetória ordenada de fatores não} comu-tativos.

Tomando y e x como pontos de fronteira, temos que nossa matriz de transi¸cão (2.24) se torna a matriz de monodromia. Assumindo aqui que U satisfaz a representa¸cão de uma álgebra de Poisson linear no caso cont´ınuo [35]

n

U1(x|λ), U2(y|µ)o=hr12(λ−µ), U1(x|λ) +U2(y|µ)

i

δ(x−y), (2.25)

então, a matriz de transi¸cão satisfaz a álgebra de Sklyanin [43]

n

T1₍_{x, y}_|_λ₎_{, T}2₍_{x, y}_|_µ₎o

=hr12(λ−µ), T1(x, y|λ)T2(x, y|µ)

i

, (2.26)

sendo a matriz r a mesma que no caso discreto 5 _{para o mesmo modelo. A equa¸c˜ao (2.26) resulta}

nas infinitas quantidades conservadas na teoria de campos em 1+1 dimens˜oes e isto segue do fato que nossa matriz de transferˆencia6

τ(λ) = Tr (T(x, y|λ)) | x, y ∈∂V (2.27)

5_{Pois a matriz}_r_s´_{o depende do parˆ}_{ametro espectral.}

6_{Os modelos tratados nesta disserta¸c˜ao n˜}_{ao englobam outros invariantes espectrais devido ao rank de nossa matriz}

(20)

está em involu¸cão para diferentes parâmetros espectrais:

{τ(λ), τ(µ)}= 0. (2.28)

Assim, como no caso discreto, este resultado é provado bastando calcular o tra¸co com rela¸cão a álgebra de Sklyanin (2.26), levando em conta que o tra¸co do produto tensorial de duas matrizes é igual ao produto dos tra¸cos de cada matriz (ApêndiceA).

Análogo ao caso discreto, podemos encontrar as quantidades conservadas obtidas a partir de (2.27), por meio da seguinte representa¸cão formal, com rela¸cão ao ponto λ→ ∞

T₍_λ_{) = ln}_τ₍_λ_{) = ln(}_λ_{) +}_R₊

∞

X

j=1

Hj

λj . (2.29)

Tendo constru´ıdo o formalismo da matriz r, no caso cont´ınuo no bulk, podemos estabelecer a correspondˆencia deste com aquele da equa¸c˜ao de curvatura nula (2.9), bastando encontrarmos somente V no par de Lax. Assim, definimos

M1(x, y, µ)=. T1(L, x|λ)r12(λ−µ)T1(x,−L|λ), (2.30)

sendo que aqui−L eLsão os pontos da fronteira exey são pontos interiores tal quey≤x. Assim, com esta defini¸cão, V será [35]:

V(x|λ, µ) =τ−1(λ) Tr

1 (M1(x|λ, µ)). (2.31)

(21)

Cap´ıtulo 3

O modelo de Schr¨

odinger n˜

ao linear

O modelo de Schrödinger não linear é um sistema integrável que em suas diversas versões, como o modelo de Schrödinger não linear discreto (DNLS), descreve uma rede de osciladores anarmônicos acoplados. Sua versão cont´ınua, que é o famoso modelo de Schrödinger não linear (NLS) iut+

uxx+ 2u|u|2 = 0, é classicamente uma teoria de campos escalares complexos em 1+1 dimensões [65], que pode descrever vários tipos de sistemas f´ısicos. Ressaltamos alguns deles, como a descri¸cão da propaga¸cão da luz em fibras óticas não lineares, condensados de Bose-Einstein, cuja equa¸cão pode ser derivada da mecânica quântica através da aproxima¸cão de Hartree-Fock [55], e ondas de Langmuir. Na teoria quântica de campos a equa¸cão de Schrödinger não linear descreve part´ıculas bosônicas com intera¸cões do tipo delta. Quando o número de part´ıculas é finito esta teoria quântica de campos é equivalente ao modelo de Lieb-Liniger [47], que é o modelo que descreve um gás de Bose-Einstein em uma dimensão com intera¸cão do tipo delta.

3.1 O modelo de Schr¨

odinger n˜

ao linear discreto

Os modelos que utilizaremos nesta disserta¸cão abrangem a classe que possuem como solu¸cão da equa¸cão de Yang Baxter (2.5)

r(λ) = P

λ,

ondeP_{é o operador de permuta¸cão, como exposto no apêndice}_{A, e}_r_{∈ Y(}_sl_{(2)) é a Yangian [}₃₃_,₅₃_] da álgebra de Lie sl(2). Iremos utilizar a representa¸cão de spin-1/2 da matriz r que é dada por

r(λ) = 1

λ

        

1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

        

, (3.1)

(22)

Vamos trabalhar inicialmente com o modelo de Schrödinger não linear discreto, o qual é definido pela seguinte matriz de Lax local [44]:

Lj(λ) =

  

Aj(λ) Bj(λ)

Cj(λ) Dj(λ)

 

=λΞj + Λj, (3.2)

onde Ξj =    1 0 0 0  

, Λj =   

Nj Xj

−xj 1

 

, Nj = 1−xjXj,

que representa cada part´ıcula na cadeia de tamanho N sujeito as condi¸c˜oes de fronteiras peri´odicas

j+N ≡j. A matriz de Lax local (3.2) satisfaz (2.10) através do cálculo desta, como se encontra no apêndice B, podemos mostrar a sua canonicidade (1.2) através das rela¸cões (B.4) e (B.7):

{Bj(λ), Bk(µ)}= 0, {Cj(λ), Ck(µ)}= 0⇒ {Xj, Xk}={xj, xk}= 0 (3.3)

{Cj(λ), Bk(µ)}= Aj(λ)Dk(µ)−Dj(λ)Ak(µ)

λ−µ δjk ⇒ {−xj, Xk}=

λ+Nj−µ−Nk

λ−µ δjk

{Xk, xj}=δjk. (3.4)

Desta forma nossa matriz de Lax ´e consistente. Iremos obter agora suas quantidades conservadas e para este fim consideremos inicialmente o caso particular de duas part´ıculas N = 2. Neste caso, nossa matriz de monodromia (2.12) se torna

T(λ) =L2(λ)L1(λ) =



 

(λ+N1)(λ+N2)−x1X2 (λ+N2)X1+X2

−x1−x2(λ+N1) 1−x2X1



 

e a matriz de transferˆencia (2.15) ´e

τ(λ) = Tr(T(λ)) = (λ+N1)(λ+N2) + 1−(x1X2+x2X1).

Utilizando (2.16), temos

T₍_λ_{) =} _lnτ₍_λ_{) = 2 ln(}_λ_{) +} N1+N2

λ +

1

λ2 1−

N2 1

2 −

N2 2

2 −x2X1−x1X2

!

+ 1

3λ3(N1+N2)(−3 +N 2

1 −N1N2+N22+ 3x2X1+ 3x1X2) +. . . ,

(3.5)

no qual em (3.5) consideramos termos at´e a terceira ordem, pois desejamos exibir somente as primeiras quantidades conservadas. No entanto, o procedimento gera todas elas. Comparando (2.16) com (3.5), obtemos

H1 =N1+N2

H2 = 1−

N2 1

2 −

N2 2

2 −x2X1−x1X2

H3 =

1

3(N1+N2)(−3 +N

2

1 −N1N2+N22+ 3x2X1+ 3x1X2)

=−H1+ (N1 +N2)(x2X1+x1X2) +

1 3(N

3

(23)

Com o objetivo de expor para o caso geral, reescrevemos H2 e H3 como

H2 =−

1 2(N

2

1 +N22)−x1X2−x2X1

H3 =−x1X1−x2X2+ (N1+N2)(x2X1+x1X2) +

1 3(N

3

1 +N23),

onde s´o utilizamos Nj = 1−xjXj. As quantidades conservadas independem do fator constante 1 em H2 e H3, que foi incorporado nestes. Para o caso N = 3, que esta desenvolvido em detalhes no

apêndice C, utilizaremos aqui somente o resultado deste. Desta maneira as quantidades conservadas para o caso de três part´ıculasN = 3 são

H1 =N1+N2+N3

H2 =−(x1X2 +x2X3+x3X1)−

1 2(N

2

1 +N22+N32)

H3 =−(x1X3 +x2X1−x3X2) + (N1+N2)x1X2+ (N2+N3)x2X3+ (N1+N3)x3X1+

1 3(N

3

1 +N23+N33),

(3.6)

no qual absorvemos o n´umero 1 em (3.6) dentro de H3.

Para o caso com N part´ıculas as trˆes primeiras quantidades conservadas s˜ao da seguinte forma:

H1 =

N

X

i=1

Ni

H2 =−

N

X

i=1

xiXi+1−

1 2

N

X

i=1

Ni2 mod N

H3 =−

N

X

i=1

xiXi+2+

N

X

i=1

(Ni+Ni+1)xiXi+1+

1 3

N

X

i=1

N_i3,

(3.7)

no qual levamos em conta os resultados obtidos paraN = 2,3 e o módulo N é devido a condi¸cão de fronteira periódica j+N ≡ j. Assim, em (3.7), H1 é a conserva¸cão do número de part´ıculas, H2 é

a conserva¸cão do momento eH3 é a conserva¸cão da hamiltoniana. A partir desta podemos obter as

equa¸c˜oes de movimento atrav´es de (1.1)

˙

xj ={H3, xj}, X˙j ={H3, Xj}. (3.8)

Para podermos calcular (3.8), além de utilizarmos as rela¸cões de canonicidade fundamentais (3.3) e (3.4), necessitaremos de mais rela¸cões, as quais formam uma representa¸cão da álgebra de Heisenberg. Assim, precisamos calcular os parênteses de Poisson deNj com xj eXj, os quais são obtidos a partir das nossas rela¸cões de comuta¸cão (B.5) e (B.6),

{Aj(λ), Ck(µ)}= 1

λ−µ[Cj(λ)Ak(µ)−Aj(λ)Ck(µ)]δjk ⇒

{Nj,−xk}= 1

λ−µ[−xj(µ+Nk)−(λ+Nj)(−xk)]δjk ⇒

(24)

{Aj(λ), Bk(µ)}= 1

λ−µ[Aj(λ)Bk(µ)−Bj(λ)Ak(µ)]δjk ⇒

{Nj, Xk}= 1

λ−µ[(λ+Nj)Xk−Xj(µ+Nk)]δjk ⇒

{Nj, Xk}=δjkXk. (3.10)

Desta forma atrav´es de1 _{(3.3), (3.4), (3.9) e (3.10) obtemos nossas equa¸c˜oes de movimento}

˙

xj ={H3, xj}=

(

− N

X

i=1

xiXi+2+

N

X

i=1

(Ni+Ni+1)xiXi+1+

1 3

N

X

i=1

N_i3, xj

)

=− N

X

i=1

xi{Xi+2, xj}+ N

X

i=1

xi{(Ni+Ni+1)Xi+1, xj}+ 1 3

N

X

i=1

Ni2{Ni, xj}

=− N

X

i=1

xiδi+2,j− N

X

i=1

xi[(Ni+Ni+1){xj, Xi+1}+{xj,(Ni+Ni+1)}Xi+1]−

N

X

i=1

Ni2xjδij

=− N

X

i=3

xi−2δij+ N

X

i=1

xi(Ni+Ni+1)δi+1,j− N

X

i=1

xi(δij +δi+1,j)xjXi+1−Nj2xj

=−xj−2+

N

X

i=2

xi−1(Ni−1+Ni)δij − N

X

i=1

xixjXi+1δij − N

X

i=2

xi−1xjXiδij −Nj2xj

=−xj−2+ 2xj−1Nj+xj−1Nj +xj−1Nj−1−x2jXj+1−xjNj2−xj−1

em cujo cálculo não foi utilizada a (3.10), que será usada agora para obter a equa¸cão de movimento para Xj

˙

Xj ={H3, Xj}=−

N

X

i=1

Xi+2{xi, Xj}+ N

X

i=1

Xi+1{(Ni+Ni+1)xi, Xj}+ 1 3

N

X

i=1

{N_i3, Xj}

= N

X

i=1

Xi+2δij − N

X

i=1

Xi+1(Ni+Ni+1)δij − N

X

i=1

Xi+1(−δijXjxi−δi+1,jXjxi) + N

X

i=1

Ni2Xjδij

=Xj+2−2Xj+1Nj −Xj+1−Xj+1Nj+1+Xj2xj−1+Nj2Xj +Xj+1,

assim

˙

xj =−xj−2+ 2xj−1Nj+xj−1Nj+xj−1Nj−1−x2jXj+1−xjNj2−xj−1

˙

Xj =Xj+2−2Xj+1Nj −Xj+1−Xj+1Nj+1+Xj2xj−1+Nj2Xj+Xj+1.

(3.11)

3.2 O modelo de Schr¨

odinger n˜

ao linear cont´ınuo com

fron-teiras peri´

odicas

No formalismo da matriz r introduziremos o modelo de Schrödinger não linear cont´ınuo, com condi¸cões de fronteira periódica.

Nossa matrizrpara o caso cont´ınuo permanece a mesma do caso discreto (3.1). No entanto, nosso par de Lax muda, pois este ´e obtido a partir de uma expans˜ao da matriz de Lax do caso discreto L

(25)

com rela¸c˜ao ao espa¸camento da rede ∆ [43]. Deste modo nossa matriz de Lax U ´e dada por [35, 38]

U(x|λ) =U0(x) +λU1,

onde

U0(x) = i(¯uσ++uσ−), U1 =

λ

2iσ3

σ+=

  

0 1 0 0

 

, σ−=   

0 0 1 0

 

, σ3 =   

1 0

0 −1

  ,

a qual satisfaz a representa¸c˜ao da ´algebra de Poisson linear (2.25)

n

U1₍_x_|_λ₎_{, U}2₍_y_|_µ₎o

=hr12(λ−µ), U1(x|λ) +U2(y|µ)

i

δ(x−y).

Através das rela¸cões de comuta¸cão desta mostramos a canonicidade dos parênteses de Poisson, assim utilizaremos o resultado do apêndiceEno qual fizemos este cálculo explicitamente. Basta utilizarmos (E.4) e (E.5) com

A(x|λ) = −iλ

2, B(x|λ) =iu¯(x), C(x|λ) = iu(x), D(x|λ) =i

λ

2

{B(x|λ), B(y|µ)}={C(x|λ), C(y|µ)}= 0⇒ {¯u(x),u¯(y)}={u(x), u(y)}= 0 (3.12)

{C(x|λ), B(y|µ)}= A(x|λ)−A(y|µ) +D(y|µ)−D(x|λ)

λ−µ δ(x−y)⇒ {u(x),u¯(y)}=iδ(x−y). (3.13)

Tendo visto que a matriz de Lax U satisfaz a condi¸c˜ao de canonicidade, podemos construir a matriz de transi¸c˜ao (2.24), a qual no caso cont´ınuo utilizamos o seguinte ansatz [35]

T(x, y|λ) = (1 +W(x|λ))eZ(x,y|λ)_{(1 +}_W₍_y_|_λ₎₎−1_, _(3.14)

ondeZ eW s˜ao respectivamente as matrizes diagonal e n˜ao diagonal. Substituindo (3.14) em (2.22), temos:

[∂x−U(x|λ)]T(x, y|λ) = 0⇒

∂x(1 +W(x|λ))eZ(x,y|λ)_{(1 +}_W₍_y_|_λ₎₎−1_{+ (1 +}_W₍_x_|_λ₎₎_Z

xeZ(x,y|λ)(1 +W(y|λ))−1 = (U0+λU1(x|λ))(1 +W(x|λ))eZ(x,y|λ)(1 +W(y|λ))−1 ⇒

Wx(x|λ) + (1 +W(x|λ))Zx(x, y|λ) = (U0(x|λ) +λU1(x|λ))(1 +W(x|λ)).

Separando nas partes n˜ao diagonal e diagonal

Wx(x|λ) +W(x|λ)Zx(x|λ) =U0(x|λ) +λU1(x|λ)W(x|λ) (3.15)

Zx(x|λ) =λU1(x|λ)W(x|λ) +U0(x|λ), (3.16)

substituindo (3.16) em (3.15)

(26)

Resolvemos a equa¸c˜ao de Ricatti em (3.17) e com este resultado obtemos W. Por fim, resolvemos

Z em (3.16). Como nosso objetivo é o de obter as quantidades conservadas e consequentemente as equa¸cões de movimento, assumimos a seguinte expansão numa série de potências sobre 1/λ[35]

W(x|λ) =

∞

X

j=1

Wj(x)

λj , Z(x, y|λ) =−i

∞

X

j=−1

Zj(x, y)

λj . (3.18)

Através de (2.16) geramos todas as quantidades conservadas, tendo em vista que nossa matriz de monodromia aqui é dada por (3.14) com x= L e y=−L, que é a nossa fronteira para o c´ırculo de comprimento 2L. Com estas considera¸cões

T₍_λ_{) = ln}_τ₍_λ_{) = ln Tr}h_{(1 +}_W₍_L_|_λ₎₎_eZ(L,−L|λ)_{(1 +}_W₍₋_L_|_λ₎₎−1i_. _(3.19)

Através da nossa condi¸cão de fronteira periódica temos que W(−L|λ) = W(L|λ), por meio desta, (3.19) se torna

T₍_λ_{) = ln Tr}h_eZ(L,−L|λ)i _(3.20)

devido a propriedade c´ıclica do tra¸co. Observamos em (3.20) que basta obtermos Z para determi-narmos a fun¸cão geradora das quantidades conservadas. Para fazermos isto, primeiramente, devemos resolver a equa¸cão de Ricatti (3.17) utilizando a expansão (3.18). Nosso interesse reside somente até a obten¸cão dos coeficientes em W até a terceira ordem, devido ao fato de desejarmos obter somente as três primeiras quantidades conservadas. Sendo assim, substituindo (3.18) em (3.17)

∞

X

j=1

Wjx(x)

λj +λ





∞

X

j=1

Wj(x)

λj U1−U1

∞

X

j=1

Wj(x)

λj  + ∞ X j,k=1

Wj(x)U0(x)Wk(x)

λj+k −U0(x) = 0 −

  

i

2[W1(x), σ3] +

  

o iu¯(x)

iu(x) 0

     + 1 λ

W1x(x)−

i

2[W2(x), σ3]

+ 1

λ2

 

W2x(x)−

i

2[W3(x), σ3] +W1(x)

  

0 iu¯(x)

iu(x) 0

  W1(x)

  +o

1

λ3

=0.

(3.21)

Obervamos que o coeficiente do termo de ordemλé o único que não tem dependência com os demais coeficientes da expansão de W, assim para este temos:

  −

i

2[W1(x), σ3]−

  

0 iu¯(x)

iu(x) 0

    

=0. (3.22)

Como W ´e uma matriz n˜ao diagonal, supomos que seus coeficientes sejam

Wj(x) =



 

0 aj(x)

bj(x) 0





(27)

substituindo (3.23) em (3.22) − i 2      

0 a1(x)

b1(x) 0

  , σ3

  =   

0 iu¯(x)

iu(x) 0

     

0 ia1(x)

−ib1(x) 0

  =   

0 iu¯(x)

iu(x) 0

 

 ⇒a1(x) = ¯u(x), b1(x) = −u(x)

(3.24)

e substituindo (3.24) em (3.23)

W1(x) =

  

0 u¯(x) −u(x) 0

 

. (3.25)

Desta forma, com (3.25), podemos determinarW2 a partir de (3.21), atrav´es do coeficiente do termo

de 1/λ,

W1x(x)−

i

2[W2(x), σ3] =0. Fazendo uso de (3.23)

  

0 u¯′₍_x₎

−u′₍_x₎ ₀

  − i 2      

0 a2(x)

b2(x) 0

  , σ3

  =0 

 

0 u¯′₍_x₎

−u′₍_x₎ ₀

  +   

0 ia2(x)

−ib2(x) 0





=0⇒a2(x) =iu¯

′₍_x₎_, _b

2(x) =iu′(x),

(3.26)

W2(x) =



 

0 iu¯′₍_x₎

iu′₍_x₎ ₀





. (3.27)

Por fim, tendo obtido (3.25) e (3.27), s´o nos resta determinar W3, o qual obtemos a partir do

coeficiente do termo 1/λ2 _{em (3.21)}

W2x(x)−

i

2[W3(x), σ3] +W1(x)

  

0 iu¯(x)

iu(x) 0

 

W1(x) = 0 

 

0 iu¯′′₍_x₎

iu′′₍_x₎ ₀

  − i 2      

0 a3(x)

b3(x) 0

  , σ3

  +   

0 u¯(x) −u(x) 0

     

0 iu¯(x)

iu(x) 0

     

0 u¯(x) −u(x) 0

  =0 

 

0 iu¯′′₍_x₎

iu′′₍_x₎ ₀

  +   

0 ia3(x)

−ib3(x) 0

  +   

0 iu¯(x)|u(x)|2

iu(x)|u(x)|2 ₀

  =0

⇒a3(x) =−¯u′′(x)−u¯(x)|u(x)|2, b3(x) = u′′(x) +u(x)|u(x)|2,

(3.28)

W3(x) =

  

0 −¯u′′₍_x₎₋_u_¯₍_x_)|_u₍_x_)|2

u′′₍_x_{) +}_u₍_x_)|_u₍_x_)|2 ₀

 

(28)

Tendo determinado (3.25),(3.27) e (3.29), com estes podemos obter os coeficientes deZ at´e a terceira ordem junto com (3.16) e (3.18)

Zx(x, y|λ) =λU1 +U0(x)W(x|λ)⇒Z(x, y|λ) =λU1(x−y) +

Z x

y U0(z)W(z|λ)dz −i

∞

X

j=−1

Zj(x, y)

λj −λU1(x−y)− 1

λ

Z x

y U0(z)W1(z|λ)dz− 1

λ2

Z x

y U0(z)W2(z|λ)dz

− 1

λ3

Z x

y U0(z)W3(z|λ)dz+o

1

λ4

=0⇒

λ[−iZ−1(x, y)−U1(x−y)]−iZ0(x, y) +

1

λ

−iZ1(x, y)−

Z x

y U0(z)W1(z|λ)dz

+ 1

λ2

−iZ2(x, y)−

Z x

y U0(z)W2(z|λ)dz

+ 1

λ3

−iZ3(x, y)−

Z x

y U0(x, y)W3(z|λ)dz

+o

1

λ4

=0.

(3.30)

Desta forma, de modo direto, determinamos os coeficientes Zj, pois não há matrizes multiplicando os mesmos e ainda eles não se misturam, como no caso dos Wj. Como podemos ver, tomando de (3.30), os coeficientes dos termos de ordens λ,0,1/λ,1/λ2_,₁_/λ3 _{respectivamente, temos}

Z−1(x, y) =iU1(x−y) =

1 2

  

(x−y) 0 0 −(x−y)

  

Z0(x, y) = 0

Z1(x, y) = i

Z x

y U0(z)W1(z|λ)dz =

  

Rx

y|u(z)|2dz 0

0 −Rx

y|u(z)|2dz

  

Z2(x, y) = i

Z x

y U0(z)W2(z|λ)dz =



 

−iRx

y u¯(z)u′(z)dz 0

0 −iRx

y u(z)¯u′(z)dz



 

Z3(x, y) = i

Z x

y U0(x, y)W3(z|λ)dz =

  

−Rx

y(u′′(z)¯u(z) +|u(z)|4)dz 0

0 Rx

y(¯u′′(z)u(z) +|u(z)|4)dz

  .

(3.31)

Com os Zj determinados podemos obter as quantidades conservadas por meio de (3.20), com as seguintes oberva¸cões: tomamosy =−L e x=L em (3.31), pois a fun¸cão geradora está associada a matriz de monodromia. Fizemos a expansão da matriz de transferência com rela¸cão ao pontoλ→ ∞ e obtivemos a expansão em termos de 1/λ (3.5).

Temos que (3.20) é uma matriz diagonal, devido ao fato de que a exponencia¸cão das matrizes diagonais (que neste caso são os coeficientes (3.31)) é uma matriz diagonal. Naquele limite deλ→ ∞ em (3.20), os termos Z22

j n˜ao contribuem em (3.20), devido a exponencial. Desta forma

T₍_λ_{) = ln Tr}h_eZ(L,−L|λ)i₌₋_iλL₋i

λ

Z L

−L|u(x)|

2_dx₋ 1

λ2

Z L

−Lu¯(x)u

′₍_x₎_dx₊_i 1

λ3

Z L

−L(¯u(x)u

(29)

e as primeiras quantidades conservadas s˜ao obtidas, a menos de um fator de −i

H1 =

Z L

−L|u(x)|

2_dx

H2 =−

1

i

Z L

−Lu¯(x)u

′₍_x₎_dx

H3 =−

Z L

−L(¯u(x)u

′′₍_x_{) +}_|_u₍_x_)|4₎_dx

(3.32)

e atrav´es delas obtemos as equa¸c˜oes de movimento para as primeiras ordens da hierarquia. Tomando o caso espec´ıfico da terceira quantidade conservada, temos

ut(x, t) = {H3, u(x)}=−

Z L

−Ldz

hn

¯

u(z)uzz(z) +|u(z)|2, u(x)oi

=

Z L

−Ldzuzz{u(x),u¯(z)}+ 2

Z L

−Ldzu

2₍_z_)¯_u₍_z_){_u₍_x₎_,_u_¯₍_z_)}

=iuxx(x, t) +i2u(x, t)|u(x)|2,

(3.33)

que ´e a equa¸c˜ao NLS

(30)

Cap´ıtulo 4

O modelo de Schr¨

odinger n˜

ao linear com

um defeito integr´

avel

O estudo dos defeitos em modelos integráveis se deve primeiramente através do trabalho de [26] no contexto da mecânica estat´ıstica. Ainda no dom´ınio quântico outro ponto de vista foi desenvolvido por [51].

Iremos tratar do estudo de defeitos1 _{na teoria de campos cl´assicos em 1+1 dimens˜oes, que foi bem}

desenvolvido nos ´ultimos 10 anos [16,17,22,21,23,24,29,7, 32, 8,31,30,19,20,4,5, 3]. Existem atualmente duas classes de defeitos conhecidos: os com δ-impuridade, o qual acaba por destruir a integrabilidade do sistema na maior parte dos casos2_{, e os com “saltos”, o qual se divide em dois}

gêneros, o I e o II, que se diferem pela inclusão de um campo auxiliar no caso do tipo-II. Tais defeitos são definidos em um número finito de determinados pontos isolados no interior do dom´ınio dos campos, os quais são caracterizados pelo fato de campos distintos viverem em conjuntos disjuntos deste dom´ınio3_{, tal que a cadeia de campos é correlacionada através de transforma¸cões de}

B¨acklund “congeladas”4_.

1_{Defeitos podem ser referidos tamb´em como condi¸c˜oes de fronteira interna [}₁₆_].

2_{O estudo de impurezas na teoria cl´assica de campos em 1+1 dimens˜}_{oes, o qual preserva a integrabilidade, j´}_{a era}

conhecido a muito tempo atrás. Na investiga¸cão do problema de fronteira sobre o semi-eixo do NLS, Sklyanin [58] usou uma redu¸cão simétrica do problema auxiliar, o qual é chamado a equa¸cão de NLS, com uma impuridade de spin. Isto foi usado em [14] para construir solu¸cões de problemas de fronteira sobre o semi-eixo e o intervalo utilizando a geometria algébrica. Habibullin [41] utilizou outro modo para derivar condi¸cões de fronteira integráveis baseado sobre o uso das transforma¸cões de Bäcklund associada a equa¸cão não linear do problema. Todas as abordagens são equivalentes à impuridade representada pela matriz de Lax L [14], que joga a regra da condi¸cão inicial para uma matriz na transforma¸cão de Bäcklund. Em [15] no formalismo da matrizré mostrado no caso da equa¸cão de NLS e uma condi¸cão de fronteira mista em x= 0, a rela¸cão das condi¸cões de fronteira com a transforma¸cão de Bäcklund. Recentemente temos uma continua¸cão nesta linha [67], o qual é encontrada uma nova fronteira integrável.

3_{Cada subconjunto do dom´ınio que forma estes conjuntos disjuntos ser´}_{a definido pelo intervalo entre dois pontos}

pr´oximos de defeito.

(31)

Por fim, as transforma¸cões de Bäcklund podem ser constru´ıdas do ponto de vista hamiltoniano [37] e as mesmas surgem de modo natural pelo método SOV (separa¸cão de variáveis) de Sklyanin [59]. Sklyanin e Kusnetsov [60] mostraram que a partir das transforma¸cões de Bäcklund era poss´ıvel construir o operador Q de Baxter, o qual foi introduzido pelo mesmo para resolver o modelo de 8-vértices [11], portanto, é natural pensarmos que se possam construir Q operadores a partir de defeitos, assim como obter novas condi¸cões de fronteira tanto no contexto clássico como no quântico.

4.1 O modelo de Schr¨

odinger n˜

ao linear discreto com um

defeito integr´

avel

Desenvolveremos o estudo de defeitos, primeiramente através da análise do modelo discreto de NLS no c´ırculo5_{, neste aplicaremos a condi¸cão de um defeito [}₂₉_{], representado pela matriz de defeito} _D

Dn(λ) =λI+

  

αn βn

γn −αn

 

, (4.1)

referente a posi¸cão n no interior da cadeia, se tratando da aplica¸cão de um defeito integrável apenas nesta posi¸cão. Temos que as outras part´ıculas na cadeia são representadas através da matriz de Lax local (3.2). Desta forma, para este modelo, nossa matriz de monodromia para esta cadeia de comprimento N é

T(λ) =

x

Y

n−1≤j≤N

Lj(λ)Dn(λ)

x

Y

1≤k≤n+1

Lk(λ), (4.2)

sendo que a matriz de monodromia (4.2) é uma representa¸cão da álgebra de Sklyanin (2.13). Assim, pela propriedade de comultiplica¸cão,Lsatisfaz a representa¸cão da mesma álgebra (2.10) paraj, k 6=n

e consequentemente a matriz de defeito tamb´em

{D_n1(λ), D_n2(µ)}=hr12(λ−µ), D1n(λ)D

2

n(µ)

i

, (4.3)

onde r é dado em (3.1). Assim mudan¸cas ocorrem nas quantidades conservadas com rela¸cão ao mesmo modelo e as equa¸cões de movimento no ponto de defeito localizado na posi¸cão n da cadeia.

Desta forma, dado que temos (4.3) e utilizando os resultados do apˆendice B, fazendo An(λ) ≡

αn+λ, Bn(λ) ≡ βn, Cn(λ) ≡ γn e Dn(λ) ≡ −αn+λ, temos as seguintes rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao obtidas a partir de (B.4),(B.5), (B.6) e (B.7) respectivamente

{an, an}= 0, {αn, βn}=βn, {αn, γn}=−γn, {βn, γn}= 2αn, (4.4)

é válida nos respectivos pontos onde se localizam os defeitos, se a transforma¸cão fosse válida para todo o intervalo no respectivo modelo sem defeitos esta caracterizaria as transforma¸cões de Bäcklund do mesmo.