Rotações de Corpos Rígidos

Física I

Rotações de Corpos Rígidos

1

0

_{semestre, 2011}

Professor: Rogerio M. de Almeida

email:

rmenezes@id.uff.br

Sala: C9

https://sites.google.com/site/rogeriomenezesdealmeida/

: constante característica do par (i, j)

Movimento de um corpo rígido

Vamos abandonar o modelo de

partícula

: passamos a levar em

conta as dimensões do corpo, introduzindo o conceito de

corpo rígido

(

CR

): é aquele em que a distância entre

quaisquer

dois de seus pontos

é constante. Sendo

i

e

j

dois pontos quaisquer de um

CR

:

ij ij

c

r

=

ij

c

O tipo mais geral de movimento de um

CR

é uma combinação de

uma translação com uma rotação. Neste capítulo consideraremos

apenas o caso de rotação de um

CR

em torno de um

eixo fixo

, como é

o caso do movimento de roldanas, rotores, CDs, etc.

Excluiremos, por exemplo, movimentos como o do Sol (não

rígido) ou o de uma bola de boliche, cuja rotação se dá em torno de

um eixo que não é fixo (rolamento).

Rotação de um corpo rígido

Queremos estudar a rotação de um

corpo

rígido

em torno de um

eixo fixo

. O eixo fixo é

denominado

eixo de rotação

.

Por conveniência,

vamos tomar o eixo

z

y

de rotação (fixo) como sendo o eixo

z

.

O eixo de rotação

não precisa ser

um dos

eixos de simetria

do corpo.

É conveniente escolher uma

linha de referência (arbitrária)

presa ao corpo, perpendicular ao eixo

z,

para definir as variáveis

angulares em relação a ela.

θ

x

Variáveis rotacionais

A posição da linha de referência (fixa ao corpo) define o

ângulo de

rotação

do corpo rígido em torno do eixo. é a

posição angular

do

corpo rígido.

O

sentido da rotação

é dado pela

regra da mão direita

.

a) Posição angular

θ

θ

negativo positivo

z

Variáveis rotacionais

•

Cada ponto

do corpo rígido executa um

movimento circular

de raio

r

em torno do eixo.

• distância percorrida pelo ponto:

y

x

z

θ

s

s r

(

θ

em

radianos

)

θ

r

s

=

b) Deslocamento angular

b) Deslocamento angular

1 θ

2

θ _∆θ

x

y

r

z

• O deslocamento angular é definido como:

1 2

θ

θ

θ

=

−

∆

Esta variável tem

módulo

( ) ,

direção

e

sentido

( )

a ela associados.

θ

∆

z

ˆ

Variáveis rotacionais

Não podemos associar um vetor a uma rotação, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece com as rotações.

Por exemplo, a soma vetorial é comutativa ( ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes!

O exemplo ao lado mostra duas rotações sucessivas

A B B

A+ = +

O exemplo ao lado mostra duas rotações sucessivas de em torno dos eixos x e y nas duas ordens possíveis:

o resultado final depende da ordem!

2 /

π

Então:

não é um vetor!

x

y

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

θ

θ

θ

θ

+

∆

≠

∆

+

∆

∆

(a menos que os

ângulos de rotação

sejam

infinitesimais

)

.

z

ˆ

Deslocamento angular:

Velocidade angular (

escalar

) média

c) Velocidade angular

Variáveis rotacionais

ω

n zˆ≡ ˆ

r ∆ = θ ω

)

(

)

(

)

(

t

θ

t

t

θ

t

θ

=

+

∆

−

∆

Velocidade angular instantânea

(vetor)

Deslocamento angular em torno de :

) (t

θ

) (t+∆t

θ _{( )}

t θ ∆ x y n dt d n t

t ˆ ˆ

lim 0

θ

θ

ω

A velocidade angular é uma característica do corpo como um todo e não somente de um ponto particular nele situado

.

n

ˆ

∫

( _{2 1}

t t t d t t

t θ ω

Exercício

9.1 – O volante do protótipo de um motor automotivo está sendo testado. A posição angular θ deste volante é dada por

O diâmetro do volante é igual a 0,36 m. (a) Ache o ângulo θ, em radianos e em graus, nos instantes t₁=2,0 s e t₂=5,0 s. (b) Ache a distância percorrida por uma partícula na periferia do volante nesse intervalo de tempo. (c) Calcule a

velocidade angular média, em rad/s e em ver/min (rpm), entre t =2,0 s e t =5,0 s.

3 3

₎

/

0

,

2

(

rad

s

t

=

θ

Exemplo 1

Cálculo da velocidade angular da Terra em torno do seu eixo.

5

2 rad

π

6, 28 rad

rad

ω

₌

₌

₌

_×

A Terra completa uma revolução a cada

23h56min (dia sideral).

O módulo da sua velocidade angular é

5

2 rad

6, 28 rad

rad

7, 23

10

dia

86160 s

s

π

ω

₌

₌

₌

_×

e a sua direção aponta para o

norte

ao

longo do

eixo de rotação

, cujo

período de

precessão é de aproximadamente 26.000 anos

(analisaremos a questão da precessão mais

tarde).

Variáveis rotacionais

Variação da velocidade angular

Aceleração angular média

c) Aceleração angular

)

(

)

(

t

t

ω

t

ω

ω

=

+

∆

−

∆

t

∆

∆

=

ω

α

d

ω

ω

∆

na direção fixa ( ):

A aceleração angular instantânea é um vetor paralelo a quando o

eixo de rotação é

fixo

!

Aceleração angular instantânea

Velocidade angular em função de

2

' '

2 1

( )

( )

( )

t

t

t

t dt

ω

−

ω

=

_∫

α

ω

∫

=

−

2

)

(

)

(

)

(

dt

t

t

t

ω

α

Variáveis rotacionais

Exercício

9.2 – No exemplo 9.1, verificamos que a velocidade angular instantânea do volante em qualquer instante t é dada por

(a) Ache a aceleração angular média entre t₁=2,0 s e t₂=5,0 s. (b) Ache a aceleração angular instantânea para t₂=5,0 s.

2 3

₎

/

0

,

6

(

rad

s

t

z

=

Cinemática angular

Movimento circular uniformemente acelerado

α

é cte!

Dadas as condições iniciais:

Em capítulo anterior já estudamos o movimento circular uniforme.

Vamos estudar agora o

0 0

2

1

=

0

e

t

=

t

→

θ

(

0

)

=

θ

e

ω

(

0

)

=

ω

t

Temos, para

α

constante:

Comparando com as variáveis do movimento linear:

)

(

2

2

1

)

(

;

)

(

θ

θ

α

ω

ω

α

ω

θ

θ

α

ω

ω

−

+

=

+

+

=

+

=

t

t

t

t

t

)

(

)

(

);

(

)

(

);

(

)

(

t

↔

x

t

ω

t

↔

v

t

α

t

↔

a

t

Exercício

Pião sujeito à aceleração angular

α

(

t

)

=

5

t

+

−

4

t

Condições iniciais

:

ω

(0)

=

5 rad/s e

ϕ

(0)

=

2 rad

Calcular e .

ω

(

t

)

θ

(

t

)

4

2

( )

5 5

2

(rad/s)

4

t

t

t

ω

= +

−

5 3

( ) 2 5

2

(rad)

4

3

t

t

t

t

Relação com as variáveis lineares

•

Posição

θ

r

s

=

•

Velocidade

θ

d

ds

z

_ω

v

r

ω

θ

r

dt

d

r

dt

ds

v

=

=

=

é tangente à trajetória no ponto

considerado

r

v

=

ω

×

x

s

y

Em módulo:

v

=

ω

r

v

θ

Relação com as variáveis lineares

•

Aceleração

=

×

=

=

(

r

)

dt

d

dt

v

d

a

ω

dt

r

d

r

dt

d

×

+

×

=

ω

ω

zˆ θ r ω

v

dt

r

dt

×

+

×

=

ω

v

r

r

a

=

α

×

=

α

ˆ

r

r

r

v

a

=

ω

×

=

ω

×

(

ω

×

)

=

−

ω

ˆ

t

a

a

é o vetor unitário tangente à trajetória;

é o vetor unitário na direção que vai do eixo de rotação até a

partícula (

versor da direção radial

)

v

ˆ

r

ˆ

(em módulo: )

a

=

α

r

(em módulo: )

a

=

ω

r

xˆ

Exercício

9.4 – O lançador de um disco faz o disco se mover ao longo de uma

circunferência de raio igual a 0,80 m. Em um dado instante, o lançador gira com velocidade escalar angular de 10,0 rad/s, que aumenta a 50 rad/s2_{. Nesse}

Exercício

9.5 – Você foi solicitado para projetar a hélice de um avião que deve girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de 75,0 m/s (270 km/h), e a

velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m/s (isto é cerca de 0,80 vezes a velocidade do som no ar.Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas poderiam produzir uma enorme quantidade de ruído.)

(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?

Engrenagens de uma bicicleta

9.6 – Como relacionar as velocidades angulares das duas rodas dentadas de uma bicicleta com o número de dentes de cada roda dentada?

traseira frontal

frontal traseira

N

N

=

No corpo em rotação, todos os pontos, exceto

os radiais, têm mesma velocidade angular . Então:

Energia Cinética de rotação

A energia cinética de um corpo em rotação é a soma:

2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 .... 2 1 2 1 i i n n v m v m v m v m K

∑

ω

os radiais, têm mesma velocidade angular . Então:

ω

2 2

2

₍

₎

2

1

)

(

2

1

_ω

_ω

i i i

i

r

m

r

m

K

=

∑

=

∑

A grandeza entre parênteses é definida como o

momento de

inércia

I

do corpo em relação ao eixo de rotação. Isto é:

2

i i

r

m

I

=

∑

ou:

2

1

ω

I

Cálculo do momento de inércia

No caso de partículas puntiformes:

r

No caso de uma distribuição

contínua de massa:

,

2

∫

=

r

dm

I

r

m

I

=

∑

,

2

∫

=

r

dm

I

é uma massa infinitesimal,

dm









=

volume

um

em

:

superfície

uma

em

:

fio

um

em

:

dV

ds

dl

dm

ρ

σ

λ

onde

que pode ser a de um fio, a de uma superfície ou a de um volume:

:

:

:

λ

σ

Cálculos de momento de inércia

Exemplos:

θ

π

π

λ

R M dm R M 2

2 ⇒ =

= Rdθ

θ d R dl= 2

M

a) Anel de raio

R

e massa

M

uniformemente distribuída

2

d

MR

M

R

dm

R

I

=

∫

=

∫

θ

=

π

π

b) Disco de raio

R

e massa

M

(idem)

dr r R M dA dm R M

_π

π

σ

π

σ

2 0 4 2 2 0 2 2

2

1

4

2

2

MR

r

R

M

dr

r

R

M

r

dm

r

I

=

=

=

=

_∫

_∫

dm

Exercício

9.11 – A figura mostra uma barra delgada uniforme de massa M e comprimento L. Ela poderia ser, por exemplo, a batuta de um maestro. Determine o seu

Exercício

9.12 – A figura mostra um cilindro oco e uniforme de comprimento L, raio interno R₁ e raio externo R_2. Esse objeto poderia ser um cilindro de aço para máquina de impressão ou um cilindro para laminação de aço. Calcule o

momento de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro.

Exercício

O teorema dos eixos paralelos

Se conhecermos o momento de inércia

I

de um corpo em relação

a um eixo que passa pelo seu centro de massa, podemos

facilmente determinar

I

do corpo em relação a um eixo paralelo que

passa por um ponto

P

a uma distância

d

.

2

Md

I

Exercício

9.8 – Um cabo leve, flexível e não deformável é enrolado diversas vezes em

torno da periferia de um tambor, um cilindro maciço com diâmetro de 0,120 m e massa igual a 50 kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário horizontal mantido por mancais sem atrito. A extremidade livre do cabo é puxada com uma força constante de módulo igual a 9,0 N, deslocando-se por uma distância de 2,0 m. Ele se desenrola sem deslizar e faz o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está em repouso, calcule sua velocidade angular e a velocidade escalar final do cabo.

Exercício

Energia Potencial Gravitacional para um

corpo com massa distribuída

g

y

m

y

m

gy

m

gy

m

U

=

+

+

...

=

(

+

+

...)

cm

mgy

Movimento linear velocidade linear aceleração linear força resultante dt dx v= dt v d = α a m F i i=

∑

Movimento de rotação (eixo fixo)

velocidade angular aceleração angular torque resultante t α ω ω= +

α τ I i i=

∑

Equações dos movimentos linear e rotacional

t a v v= +

a = constante

trabalho energia cinética potência ) ( 2 ₀ 2 0 2 x x a v

v = + −

∫

=

dx

F

W

v

F

P

=

α

2 0 0 2 1 t t α ω θ

θ= + +

) (

2 ₀

2 0

2 _{ω α θ θ}

ω = + −

∫

=

d

W

θ

τ

ω

τ

=

P

2 0 0 2 1 t a t v x

x = + +