O INVESTIMENTO SEQÜENCIAL EM EMPREENDIMENTOS DE CAPITAL DE RISCO: UM ESTUDO COM OPÇÕES REAIS

O INVESTIMENTO SEQÜENCIAL EM EMPREENDIMENTOS DE CAPITAL

DE RISCO: UM ESTUDO COM OPÇÕES REAIS

Fabini Hoelz Bargas Alvarez Faculdades IBMEC-RJ

Avenida Rio Branco, 108/5° andar – Rio de Janeiro – CEP: 20040-001. fabini@petronline.com.br

Resumo: Este estudo tem como objetivo a obtenção, e conseqüente aplicação, de uma regra ótima de investimento seqüencial por parte de firmas investidoras em Capital de Risco. A característica mais marcante é a que concerne à utilização da Teoria de Opções Reais mesclando os efeitos do tempo em regime contínuo e da presença de incerteza e o desenvolvimento do modelo foi lastreado em técnicas de programação dinâmica. Quanto à solução do modelo, encontrou-se uma Equação Diferencial Parcial (EDP). Esta EDP pode ser decomposta em duas equações distintas, dependendo das duas situações possíveis, ou seja, investir (exercer a opção) ou não investir (manter a opção). No caso de investimento, a solução se dará por meio de uma solução numérica e o ferramental matemático escolhido foi o Método de Diferenças Finitas (MDF). Já na hipótese de diferimento do investimento, onde não há exercício da opção, implica na redução da EDP a uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que possui solução analítica.

Palavras-chave: capital de risco, investimento seqüencial, opções reais.

Abstract: The objective of this paper is to obtain, and to apply, an optimal rule of sequential investment by investors in Venture Capital. The most peculiar characteristic is the use of the Real Options Theory, mixing the effects of the continuous regime and the uncertainty, using dynamic programming techniques. The solution of the model used Partial Differential Equation (PDE). This PDE can be decomposed in two different equations, depending on the two possible situations: to invest (exercising the option) or not (maintaining the option). In the case of investing, the solution will be obtained by a numeric solution and the mathematical technique used was the Finite Differences Method (FDM). In the hypothesis of not investing, where there is no exercise of the option, it implicates in the reduction of PDE to an Ordinary Differential Equation (ODE) that has an analytical solution.

Keywords: venture capital, sequential investment, real options.

O objetivo do estudo é otimizar os investimentos em Capital de Risco, obtendo regras eficientes de investimento, levando em conta o elevado grau de incerteza que caracterizam os empreendimentos de Capital de Risco. Daí surgiu a escolha pela utilização da Teoria de Opções Reais, pois esta possibilita a avaliação das possíveis oportunidades de negócio, por meio de sua propriedade de flexibilidade gerencial. Já sua utilização conjugada com a estratégia de investimento seqüencial justifica-se pela conseqüente flexibilidade advinda da opção de diferimento nas sucessivas rodadas de investimento, o que proporciona maior valor ao empreendimento. Então, buscou-se um modelo partindo da condição de investimento contínuo durante o desenvolvimento do empreendimento, baseado numa estrutura de metas pré-determinadas entre o empreendedor e o investidor. Apesar de ser um investimento definido como contínuo, este pode ser suspenso, e até mesmo retardado, visando a máxima taxa de retorno para cada desembolso de capital (time-to-build). A intuição conceitual parte do princípio de que cada unidade de valor investida no empreendimento compra uma opção para investir no próximo estágio.

É importante salientar que a oportunidade de investimento pode ser vista como uma call perpétua, com direito de aquisição do empreendimento a um custo I. Logo, pode-se considerar a decisão de investir tal qual a decisão de quando e como exercer esta opção, e assim sendo, a avaliação desta opção passa a ser o objetivo a partir de agora. Na solução desta avaliação será utilizada a técnica de Programação Dinâmica, pois há nos investimentos em Capital de Risco a dificuldade de “replicar” os seus ativos por ativos já existentes (essencial para utilização da técnica de Direitos Contingentes).

Considerando que, como em sua maioria, os empreendimentos de Capital de Risco advêm de projetos de Pesquisa e Desenvolvimento tecnológicos, então, tem-se como premissa que os fluxos de caixa não apresentarão nenhuma receita operacional antes da conclusão do projeto (por exemplo, o lançamento de um produto no mercado). A questão baseia-se em qual o ponto ótimo para investir I no empreendimento, a fim de gerar V como valor operacional do projeto. Assume-se, então, que o valor operacional do projeto V seja estocástico e siga o Processo de Wiener, também denominado de Movimento Browniano Geométrico Exógeno descrito por McDonald e Siegel (1986):

Vdz Vdt

dV =

α

+

σ

(1)

Onde dz é um incremento do Processo de Wiener, α é a taxa de crescimento esperada para V e σ o desvio-padrão. A equação (1) implica que o valor corrente do empreendimento é conhecido, mas valores futuros são distribuídos por uma Distribuição Log-normal com variância crescente e linear ao longo do tempo.

Na técnica de Programação Dinâmica a taxa de crescimento esperada α, ou tendência, é de extrema importância e é proveniente da equação de dividendo (2), como a seguir:

δ

=

ρ

−

α

(2)

Sendo ρ a taxa de desconto exógena e δ como o dividendo proveniente da diferença entre a taxa específica de desconto e a taxa de crescimento esperada do empreendimento. Outra definição importante para δ é o custo de oportunidade de atrasar o projeto e manter a opção em aberto. Assume-se, então que, α < ρ, pois se acontecesse o contrário, ou seja, α > ρ, a opção não teria valor algum e sempre haveria investimento. Usualmente, nas avaliações, considera-se como um valor referencial para esta taxa de desconto ρ a taxa livre de risco do mercado r.

O empreendimento tem seu período de desenvolvimento e maturação, sendo k a parcela máxima do capital total destinado ao empreendimento a qual o investidor pode investir num único estágio. O investimento, ora realizado, é irreversível, logo, a taxa de investimento I(t) tem como restrição:

k

t

I

≤

≤

(

)

0

Caso nenhum investimento seja realizado, o montante de capital já investido não é depreciado. Se V atinge um patamar bastante baixo, o investimento será suspenso e, se passado um período, V apresentar recuperação, e ultrapassar um valor crítico V*, pode-se tornar a investir.

Denominando K como o total remanescente de investimento projetado necessário para a conclusão do empreendimento tem-se a seguinte relação com o investimento I:

dK =−Idt (3)

Neste instante, notam-se duas variáveis que afetam, dinamicamente, a decisão ótima de investimento. A primeira variável é o total remanescente de investimento requerido para a conclusão do empreendimento, que segue a equação (3). A outra variável é o valor corrente de mercado do empreendimento completo, segundo a equação (1). O objetivo, então passa a concentrar-se em torno da relação ótima de investimento I*(V,K).

Todavia, como não existem custos associados à taxa de investimento, a solução do problema poderá apresentar-se de forma dúbia, ou seja, a qualquer momento o investimento ótimo poderá ser 0 ou k. Assim sendo, normalizando este modelo, o investimento se dará caso obtenha-se no mínimo o valor crítico V*(K), logo, tem-se a condição:

)

(

* K

V

V

≥

Satisfeita esta condição, o empreendimento receberá o investimento à taxa máxima de k, não havendo nenhum fluxo de capital caso contrário.

Semelhantemente às Opções Financeiras, as Opções Reais delegam aos seus detentores o direito, e não a obrigação de exercê-las. Denominando F(V,K) o valor desta opção, e assumindo o

exercício somente em situações ótimas, obter-se-á uma equação diferencial parcial a partir de F(V,K), que produzirá como solução V*(K).

Como o modelo é baseado em Programação Dinâmica, deve-se partir das premissas de tempo contínuo e que a incerteza segue a forma de um processo de Wiener. Ao tratar-se de uma análise de investimentos, considerar-se-á a variável de estado x como o status das operações do investidor. A variável

x

_t é conhecida em qualquer data ou período t, porém valores futuros, tais como,

x

_t+1

,

x

_t+2

,...

, são variáveis aleatórias. Para cada período t, algumas escolhas são dadas ao investidor, que são denominadas variáveis de controle u.

Neste modelo será possível a escolha entre duas hipóteses pela segunda variável acima: investir ou não investir. Logo, esta variável de controle poderá ser binária, onde 0 representará esperar (não investir) e 1 investir. As variáveis de estado e controle num tempo t afetarão o fluxo operacional do empreendimento, que será denominado

π

_t

(

x ,

_t

u

_t

)

. A taxa de desconto entre dois períodos quaisquer será 1/(1+ρ). Outro fator importante é que a técnica básica de Programação Dinâmica aplica a decisão numa seqüência de duas partes: o período corrente ou imediato e a continuação ao longo dos demais períodos.

Considerando

F

_t

( )

x

_t como o valor presente de todos os fluxos operacionais do empreendimento o investidor utilizará a variável

u

_ta fim de maximizar este valor, logo:

( )

(

)

[

(

)

]













+

+

=

_{+1 +1}

1

1

,

max

t t t t t t u t t

x

x

u

F

x

F

t

ε

ρ

π

(4)

Esta equação é denominada por Equação de Bellman ou equação fundamental da otimização. Supondo que cada período de tempo equivale a ∆t, e que este tende a 0, o tempo será contínuo. Feito isto, e multiplicando por (1+ρ∆t), tem-se:

( )

(

)

[ ]













₊

=

dF

dt

t

u

x

t

x

F

u

ε

π

ρ

,

max

,

,

1

(5)

Como, baseado na premissa do modelo, a oportunidade de investimento F(V) não gera nenhum fluxo operacional, ou seja,

π

_t

(

x ,

_t

u

_t

)

= 0, até o tempo em que o investimento é concluído e o único retorno existente é o seu ganho de capital. Dessa forma, e assumindo que a opção pode ser exercida em qualquer estágio de investimento, pode-se abandonar a variável t e a equação (5) resulta em:

ρ

Fdt

=

ε

[dF

]

(6)

Daí utiliza-se a expansão de Taylor para:

dV

dF

F

'

=

₂ 2

''

dV

F

d

F

=

₂ 2

( )

( )

2 2

''

2

1

'

2

1

dV

V

F

dV

V

F

dV

dV

F

d

dV

dV

dF

dF

=

+

=

+

(7)

Mas V segue um Movimento Browniano Geométrico como a equação (1):

( ){

}

_''

( ){

}

2

2

1

'

V

Vdt

Vdz

F

V

Vdt

Vdz

F

dF

=

α

+

σ

+

α

+

σ

Feito isto, deve-se obter o valor esperado de dF:

( ){

}

( )

{

}

_







₊

₊

₊

₊

=

_''

2 2 2

₂

2 2 2

2

1

'

]

[

dF

ε

F

V

α

Vdt

σ

Vdz

F

V

α

V

dt

α

Vdt

σ

Vdz

σ

V

dz

ε

Porém, lembrando que:

dz² = dt dt² = 0 ε[dz] = 0 O que resulta em:

[ ]

dF

F

( )

V

Vdt

F

_''

( )

V

2

V

2

dt

2

1

'

α

σ

ε

=

+

Substituindo na equação (6):

dt

V

F

V

F

Fdt













₊

=

_''

2 2

2

1

'

α

σ

ρ

Onde, re-arranjando: '' ' 0 2 1_F

_σ

2_V2 _+F

_α

_{V −}

_ρ

_{F = (8)}

Esta equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, e possui forma geral:

e

Vd

cF

bVF

F

aV

2

''

+

'

+

=

+

A solução desta equação:

c e c b Vd V A V A V F + + + + = 1 2 2 1 ) ( β β

Para a equação (8) tem-se então:

0 ) ( ' ) ( '' 2 1_{F V}

_σ

2_V2_{+F V}

_α

_V−

_ρ

_{F =} Onde: a = 1/2σ² b = α c = ρ d = 0 e = 0

Logo a equação se reduz a:

2 1 2 1 ) (

V

A

V

β

A

V

β

F

=

+

Nesta equação,

A

₁e

A

₂são constantes a serem determinadas enquanto que

β

₁e

β

₂são constantes conhecidas, já que dependem de σ, δ e ρ da equação diferencial.

Como o comportamento limite de F(V) em torno de zero é zero, pois, devido ao fator

drift α do Movimento Browniano Geométrico descrito na equação (1), para V igual a zero, são muito pequenas as chances deste crescer e alcançar o valor crítico V*. A fim de garantir que F(V) tenda a zero quando V também tender a zero, e como usualmente

β

₂é menor que zeroi_{, o coeficiente}

2

A

tem

que ser igual a zero, pois caso contrário, F(V) tenderá a infinito quando V tender a zero. Assim sendo:

1

1

)

(

V

A

V

β

F

=

(9)

A partir da equação diferencial homogênea de segunda ordem (8) pode-se conseguir a extração de suas duas soluções, desde que linearmente independentes. A solução geral é:

β V A V F( )= 1 ) ( ' _V =

_β

_AVβ− F 2 ) 1 ( ) ( '' _V =

_β

_β

− _AVβ− F Substituindo na equação (8): 0 ) 1 ( 2 1 _{2 2 2 1} = − + − β−

_α

_β

β−

_ρ

β

β

β

σ

V AV V AV AV

E as duas raízes são:

2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1

σ

ρ

σ

σ

α

α

σ

β

+       − + − = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1

σ

ρ

σ

σ

α

α

σ

β

+       − − − =

Já, a equação para o investimento seqüencial é um pouco mais elaborada que a equação (8). No cálculo da opção, devem-se considerar o fluxo de capital proveniente dos investimentos ao longo do tempo, ou seja, Idt, bem como o total de capital remanescente a ser investido no empreendimento em função de seu montante F’(K)dK. Estes fluxos de capital investidos ao longo do tempo, Idt, irão diminuir o valor da opção, pois, ao investir neste momento haverá um menor capital remanescente, diminuindo então o montante de investimento em opção de espera. Já o capital remanescente tende a aumentar o valor da opção porém sofrerá a seguinte substituição, a partir da equação (3) dK =−Idt, daí re-escreve-se:

( )

K

dK

I

F

( )

K

dt

F

'

=

−

.

'

Como foi visto na equação (2), há uma relação para que deve ser substituída para α na equação final, bem como utilizar, ao invés da taxa de retorno ρ, a taxa de risco neutro do mercado r:

δ

α

δ

ρ

α

=

−

⇔

=

r

−

Feito isso, a equação resultante para avaliação da opção do empreendimento será uma equação diferencial parcial F(V,K). Para facilitar a compreensão serão substituídas algumas notações das derivadas como:

K VV V F K F F V F F V F = = = ) ( ' ) ( '' ) ( '

Logo, já é possível, após estas substituições, encontrar a equação do modelo:

(

)

0 2 1 2_V2_{F + r− VF −rF−IF −I =} K V VV

δ

σ

(10)

Nota-se uma linearidade da equação (10) em relação a I, logo, confirma-se que a regra de investimento ótimo será reduzida a tão somente duas hipóteses: investe-se ao nível máximo k ou não se investe nada neste estágio. Quando não há nenhum investimento, ou seja, I = 0, o termo

K

F

desaparece, o que torna a equação (10) numa equação diferencial ordinária que pode ser solucionada de forma analítica. Porém quando I = k, a equação terá uma solução numérica para

F(V,K) com a restrição crítica V*(K).

Têm-se, então, as restrições para a solução do modelo, levando-se em conta que F(V,K) e

) , (V K

F_V são contínuos para V=V*:

( )

V

V

F

,

0

=

(11)

(

0

,

K

)

=

0

F

(12)

(

)

Kk V V K V F −δ ∞ → = l ,

lim

(13)

A análise destas restrições:

• Restrição (11): quando K tende a zero o empreendimento estará completo, não havendo necessidade de investimento adicional, assim o retorno do investimento será igual V;

• Restrição (12): se V chegar a zero, não mais sairá deste valor, pois, segundo o Movimento Geométrico Browniano descrito na equação (1) caso V = 0 implica em dV = 0. Sendo assim a opção de investir, quando V é igual a zero, é zero também;

• Restrição (13): esta restrição refere-se ao valor da opção quando o valor do projeto tende ao infinito. Quando o valor do projeto V tornar-se grande se comparado ao total restante de investimento K, é improvável que o investimento seja suspenso antes de sua conclusão. O projeto apresenta, portanto exatos K/k períodos de tempo até completar-se, lembrando que por mais rápida seja a realização do investimento, o tempo mínimo para seu término, K/k, depende da taxa máxima de investimento da firma, no caso k por período. Durante esse período, o detentor da opção perde a taxa de distribuição de dividendos δ, relativos ao projeto. Essa é a taxa apropriada para o desconto do valor do projeto. Conforme a restrição (11), ao término do investimento, K = 0, o valor da opção é V, F(V,0) = V, e sabe-se que o período restante para o término do projeto é K/k. Calculando o valor presente da opção

quando o valor do projeto tende a infinito, utilizando a taxa de desconto apropriada δ, obtêm-se:

(

)

Kk V V K V F −δ ∞ → = l ,

lim

Derivando em relação a V, obtêm-se justamente a restrição (13) como re-escrita a seguir:

(

)

Kk V V K V F −δ ∞ → = l ,

lim

Solução do Modelo

Quando o valor do projeto completo for menor que seu valor crítico correspondente num mesmo momento (V < V*), não haverá algum investimento, logo I = 0, implicando na mudança da equação (10) para:

(

)

0 2 1 _{2 2} = − − + r VF rF F V _VV

δ

_V

σ

(14)

Sujeita à condição de contorno (12). A equação (14) é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e tem como solução analítica à mesma indicada para a equação (8) anteriormente. A fim de ser possível a eliminação da incógnita A e obtenção de uma restrição de valor ótimo do contorno comum a todas as soluções divide-se a função F(V*,K) de sua derivada de primeira ordem:

Função:

( )( )

* 1 ) *, (V K A₁ K V β F =

Derivada de Primeira Ordem:

( ) ( )

1 1 1 1 * ) *, (_{V K} =_{A K}

_β

_V β − F_V

O que resulta na Restrição de Valor Ótimo:

F

(

V*,K

)

V* F_V

(

V*,K

)

1      =

β

(15)

Já, caso V > V*, haverá investimento à taxa máxima por período, logo I = k, e a equação será, então, igual à (10):

(

)

0 2 1 _{2 2} = − − − − + r VF rF IF I F V _VV

δ

_{V K}

σ

(10)

Sujeita às condições de contorno (11), (12), (13) e (15). A equação (10) é uma equação diferencial parcial parabólica e deve ser solucionada numericamente. O método escolhido para esta solução é o Método das Diferenças Finitas na forma explícita. Este método consiste na transformação das variáveis V e K em incrementos discretos e da equação (10) em uma equação de diferenças finitas, a qual pode ser resolvida algebricamente a partir da condição de contorno terminal (11), e procedendo de trás para frente, por meio de pequenos incrementos ∆K até encontrar o valor ótimo V*(K) para cada valor de K.

Considera-se, no modelo apresentado, que o valor total de investimento K para o desenvolvimento do empreendimento é conhecido, ou seja, trata-se de um valor determinístico, porém os valores do empreendimento V são aleatórios. Logo, a fim de tornar o modelo mais preciso do ponto de vista numérico, deve-se utilizar um intervalo de valores V razoavelmente grande.

Com o intuito de solucionar a equação diferencial parcial (10) deve-se primeiramente efetuar a seguinte substituição:

(

V K

)

G

(

X K

)

F , _{= l}−rK k ,

Onde: X = lnV.

Esta transformação tem por objetivo facilitar a convergência do método, pois, passa-se a trabalhar com coeficientes constantes na equação de diferenças finitas. A utilização da transformação logarítmica se deve ao fato de que enquanto o desvio padrão σ se mantiver constante, o desvio padrão instantâneo de lnV também se manterá constante, ou seja, o desvio padrão correspondente às variações

de lnV num intervalo de tempo ∆t será independente de V e de t. Feito isto obtêm-se as seguintes derivadas: V G F_{V = l}−rK k _X 1









₋

=

−

1

₂

1

₂

V

G

V

G

F

_VV

_l

rK k _{XX X} K k rK K k rK K G G k r F =− _l− +_l−

Substitui-se, então na equação (10):

0

2

1

2

1

2 2

_

₋

₋

₌











₋

₋

+

rKk K X XX

r

G

kG

k

G

δ

σ

_l

σ

(16)

Equação esta sujeita às condições de contorno:

( )

_X X G ,0 =_l (17) Kk X k rK X X G −δ − − ∞ → =    _{l l l}

lim

(18) G

(

X*,K

)

1 G_X

(

X*,K

)

1      =

β

(19)

(

,

)

0 lim = −∞ → X K X G (20)

Nota-se então, que os coeficientes da equação (16) não são mais funções de V, sendo agora constantes. Isto é importantíssimo, pois, houve a transformação de uma equação diferencial parcial numa equação de diferenças finitas que pode ser resolvida algebricamente.

Considerando a seguinte “discretização” para duas variáveis:

(

X K

)

G

(

i X j K

)

Gi j

G , ≡ ∆ , ∆ ≡ _,

Onde –a ≤ i ≤ m e 0 ≤ j ≤ n.

Com essa “discretização”, pode-se montar um domínio retangular onde a solução pode ser encontrada. A região de domínio para as variáveis é:

X ∈ [

X

_min,X_máx] K ∈ [ 0 , K_máx] Onde : X_máx= m∆X; min

X

= -a∆X; máx K = n∆K.

A condição de contorno (18) presume que a variável X torne-se infinita, pois X_máx→∞. Isto é conseguido fazendo o valor de m o maior possível.

Já a condição de contorno (20) tornar-se-á crítica, pois, com a transformação logarítmica, a variável X assume um valor de menos infinito, ou seja,

X

_min→-∞. Isto é conseguido de maneira semelhante, fazendo o valor de –a o maior possível em módulo.

O valor de K_máx, que é o total de investimento restante, é conhecido e o valor de n corresponde a: K K n máx ∆ =

Porém, a escolha dos limites m e -a, ou seja, do intervalo

X

_min e X_máx e das "discretizações" ∆X e ∆K, influenciam no grau de precisão da solução bem como na convergência da mesma. Assim sendo, escolhem-se os limites os mais abrangentes possíveis. Já a escolha das "discretizações" ∆X e ∆K deve ser realizada em conjunção com os coeficientes da equação de

diferenças finitas, de modo que esses coeficientes sejam sempre positivos para qualquer valor do domínio de X e K. Caso a equação possua coeficientes positivos em todo o domínio, pode-se assegurar que o Método de Diferenças Finitas explícito converge para a solução procurada.

As derivadas parciais serão aproximadas pelas formas de diferenças como a seguir:

[

]

X

G

G

G

_X i j i j

∆

−

≈

+ −

2

, 1 , 1 (21)

[

]

( )

2 , 1 , , 1 2 X G G G G_XX i j i j i j ∆ + − ≈ + − (22)

[

]

K

G

G

G

_K i j i j

∆

−

≈

, +1 , (23)

Utiliza-se, então a aproximação de “central-difference” em relação à X para (21) e a aproximação “forward-difference” em relação à K para (23).

Substituindo as aproximações de diferenças finitas (21), (22) e (23) na equação (16):

[

]

[

] [

]

0

2

2

1

2

2

1

2 1, 1, , 1 , 2 , 1 , , 1 2

₋

₌

∆

−

−

∆

−













₋

₋

+

∆

+

−

_{− + − +} ∆ + j i j i j i j i j i j i j rj K_k i

k

K

G

G

k

X

G

G

r

X

G

G

G

l

σ

δ

σ

Cambiando a variável j para j-1:

[

]

[

] [

]

0

2

2

1

2

2

1

( 1) 1 , , 1 , 1 1 , 1 2 2 1 , 1 1 , 1 , 1 2

₋

₌

∆

−

−

∆

−













₋

₋

+

∆

+

−

_{− − − + − − − −} − ∆ − + j ij i j i j i j i j i j r j K_k i

k

K

G

G

k

X

G

G

r

X

G

G

G

l

σ

δ

σ

Re-arranjando têm-se: 0 _{, 1 1, 1 1} 1 , 1 ,j = + i+ j− + ij− + − i− j− − j− i p G p G p G n G (24) Onde: k K rj j K n r X X k K p X k K p r K K k K p ∆ − + ∆ =       + + − ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ − =       − − + ∆ ∆ ∆ = l 2 2 2 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 σ δ σ σ σ δ σ

Já foi mencionado que a equação (24) é uma equação de diferenças finitas, cujos coeficientes _{p ,} + _{p e} 0 _{p são constantes independentes de i ou j, devido à transformação logarítmica} −

utilizada. Para garantir a convergência do método é necessário que todos os coeficientes da equação (24) sejam positivos em toda a região a qual a solução é analisada. Então, escolhem-se as "discretizações" ∆X e ∆K de maneira que isto ocorra.

Deve-se salientar também, que a soma dos coeficientes _{p +}+ _{p +}0 _{p = 1, o que permite a} −

interpretação da equação (24) em termos de “jump process”, com probabilidades de “subida” (_{p ) e} +

“descida” (_{p ). Para uma análise mais aprofundada dessa abordagem, bem como discussões sobre a} −

convergência do Método de Diferenças Finitas em sua forma explícita aplicada à Teoria das Opções recomenda-se a leitura de Brennan e Schwartz (1978).

Feito isso, deve-se transformar as condições de contorno correspondentes com o método. Pela condição (17):

G_{i j} i∆X =0 = l

, (25)

Pela condição de contorno superior (18), e fazendo X = m∆X:

(

)

m X r j Kk

X m X j K

Utilizando a aproximação (21) das diferenças finitas para a condição acima:

[

_{m j m j}

]

_{m X} r j K_k

X

G

G

_{+ − ∆ +} − ∆

=

∆

−

_1, ( ) , 1

2

δ

l

Isolando o termo G_m+1,j da aproximação acima:

j m k K j r X m j m X G G _+1, =2∆ _l ∆ +( −δ) ∆ + _−1, (26) Agora, fazendo a equação (24) tender ao seu limite superior, ou seja, i = m:

1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 ,j = + mi+ j− + mj− + − mi− j− − j− m p G p G p G n G

E, realizando a substituição j = j+1, a equação acima torna-se:

j j mi j m j mi j m p G p G p G n G = + + − ₋ − + + + , 1, 0 , 1 1 , (27)

Substituindo a equação (25) em (26) obtêm-se:

mX r j Kk _{m j}

(

)

_{mi j j} j m p X p G p p G n G + + + −     ∆ = + ∆ + − ∆ + − ₋ + , 1, 0 ) ( 1 , 2 δ l (28)

A restrição de valor ótimo (19) torna-se: X G G G_{i j} i j i j ∆ −       = *=1, *, 1 *, 1

β

Resolvendo para G_i*,j, têm-se:

j i j i

G

X

G

_{* 1,} 1 *,

1

1

+

+

∆

=

β

(29)

Na condição de contorno inferior (20) fazendo X = -a∆X :

0

, = − ja

G (30)

Daí conclui-se o modelo para resolução, onde a equação de diferenças finitas a ser calculada: 0 _{, 1 1, 1 1} 1 , 1 ,j = + i+ j− + ij− + − i− j− − j− i p G p G p G n G (24) Sujeita às restrições: i X j i G_{, =0 = l}∆ (25) mX r j Kk _{m j}

(

)

_{mi j j} j m p X p G p p G n G + + + −     ∆ = + ∆ + − ∆ + − ₋ + 0 , 1, ) ( 1 , 2 δ l (28) j i j i

G

X

G

_{* 1,} 1 *,

1

1

+

+

∆

=

β

(29) G_{− ja,} =0 (30) Exemplo Numérico

A fim de demonstrar a eficácia, tanto do modelo de investimento seqüencial utilizando a opção tipo “time-to-build”, quanto do software desenvolvido, é apresentado um exemplo numérico hipotético.

Considera-se uma firma gestora de um fundo de investimento em Capital de Risco. Esta firma prospectou um empreendimento no ramo tecnológico cujo orçamento de capital ficou em $ 10 milhões (K). Como este empreendimento desenvolve uma nova tecnologia, seu valor do projeto (V) somente será recebido quando do término do investimento total e varia de acordo com o Movimento Browniano Geométrico. Fica convencionado que a firma possui uma taxa máxima de investimento de $ 500 mil por rodada semestral (k), implicando que o investimento terá duração de 5 anos (K/k). O valor da taxa de juros livre de risco praticada no mercado é de 10% ao ano (r). O desvio padrão é estimado em 20% (σ) e a taxa de distribuição de dividendos anuais do projeto é de 10% (δ). Assim sendo, a firma deseja obter uma regra ótima de investimentos que maximize seu valor.

Na resolução, utilizaram-se valores de "discretizações" ∆X = 0.15 e ∆K = 0.25. Ao utilizar estes valores foi possível obter a convergência do Método das Diferenças Finitas do tipo explícito, pois os coeficientes de sua equação tornam-se positivos, ou seja, _{p = 0.2056,} + _{p = 0.5556 e} 0

−

p = 0.2389. A tabela de resultados é apresentada a seguir: Tabela de Resultados

Valor Montante a ser investido

Projeto 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,5 0 57.397 39.537 40.631 41.84 43.176 44.652 46.283 48.085 50.077 52.278 54.71 56.02 57.397 49.402 31.545 32.639 33.847 35.183 36.658 38.289 40.091 42.083 44.283 46.715 48.025 49.402 42.521 24.666 25.76 26.968 28.303 29.779 31.409 33.211 35.202 37.402 39.834 41.144 42.521 36.598 18.746 19.839 21.047 22.382 23.857 25.487 27.289 29.28 31.48 33.911 35.221 36.598 31.5 13.65 14.743 15.951 17.285 18.76 20.39 22.192 24.183 26.382 28.814 30.123 31.5 27.113 9.264 10.356 11.564 12.899 14.374 16.004 17.805 19.795 21.995 24.426 25.736 27.113 23.336 5.488 6.581 7.789 9.123 10.598 12.228 14.029 16.019 18.219 20.65 21.959 23.336 20.086 2.239 3.332 4.539 5.874 7.348 8.978 10.779 12.769 14.968 17.399 18.709 20.086 17.288 0 0.53486 1.742 3.077 4.551 6.181 7.981 9.972 12.171 14.602 15.911 17.288 14.88 0 0 0 0.66906 2.144 3.773 5.574 7.564 9.763 12.194 13.503 14.88 12.807 0 0 0 0 0.071325 1.701 3.501 5.491 7.691 10.121 11.431 12.807 11.023 0 0 0 0 0 0 1.718 3.708 5.907 8.337 9.647 11.023 9.4877 0 0 0 0 0 0 0.1824 2.172 4.372 6.802 8.111 9.488 8.1662 0 0 0 0 0 0 0 0.8509 3.05 5.480 6.790 8.166 7.0287 0 0 0 0 0 0 0 0 1.913 4.343 5.652 7.029 6.0496 0 0 0 0 0 0 0 0 0.93363 3.364 4.673 6.050 5.207 0 0 0 0 0 0 0 0 0.09102 2.521 3.831 5.207 4.4817 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.796 3.105 4.482 3.8574 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.172 2.481 3.857 3.3201 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6344 1.944 3.320 2.8577 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1719 1.481 2.858 2.4596 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.083 2.460 2.117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7406 2.117 1.8221 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4457 1.822 1.5683 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1919 1.568 1.3499 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.350 1.1618 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.162 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabela I – Valor das Opções e seus respectivos valores do projeto e montantes a serem investidos, em destaque os valores críticos.

Análise de Resultados

Na solução final do modelo apresentada pela tabela encontram-se os valores das opções de investimento e seus correspondentes valores do projeto, montantes que restam a serem investidos e os valores críticos. Para melhor entendimento da restrição de valor crítico utiliza-se o seguinte exemplo: quando restarem $ 4 milhões a serem investidos no projeto a opção de valor crítico é $ 5,574 milhões e o valor do projeto crítico correspondente é $ 14,88 milhões, ou seja, o projeto somente é interessante aos investidores se o valor do projeto, naquele momento, for igual ou maior a $ 14,88 milhões. Caso contrário o investidor deverá aguardar a próxima rodada de investimento semestral para

realizar o investimento, não investindo neste instante, aguardando uma recuperação no valor de empreendimento. Já, se passadas algumas rodadas e o projeto não recuperar seu valor crítico, o investidor pode abandoná-lo em troca de um valor de revenda ou salvage value.

Conclusões

É sabido, que no Mundo, a incerteza é um fator aumentativo para o grau de dificuldade nas tomadas de decisão. Dessa forma, muitos administradores crêem que a incerteza constitui-se como um problema e deve ser evitada, ou mesmo omitida, a todo custo. Este estudo vem trazer, justificando por meio de um modelo matemático, a mesma incerteza que tanto assusta alguns, e que, pode ser vista como uma oportunidade de obtenção de vantagens. A incerteza é, então, transformada numa fonte de valor, vindo a balizar a estratégia gerencial dos negócios, e em especial neste estudo, na constituição otimizada de uma estratégia de investimento seqüencial.

A aceitação das oportunidades de investimento em ativos reais como uma compilação de opções implica numa nova forma de visualizar as decisões de investimento de capital. Onde existia tão somente o valor presente líquido (NPV) pairam agora três elementos:

Valor Presente Líquido Expandido (Estratégico) = Valor Presente Líquido Estático + Prêmio da Opção

Existe, claro, investimentos onde o prêmio da opção será nulo, acarretando na igualdade entre o Valor Presente Líquido Expandido e o Valor Presente Líquido Estático.

A aplicação da Teoria de Opções Reais, no caso específico da indústria de Capital de Risco, é mais que acertada, pois as muitas oportunidades de crescimento que estes empreendimentos poderão ter são derivadas das decisões de investimentos que ocorrerão no futuro incerto, impossíveis de serem mensuradas pelos métodos tradicionais. Dessa forma, a Teoria de Opções Reais comprova que, ao utilizar dados realísticos e não-viesados, os investimentos em empreendimentos que possuem opções, sejam elas de expansão, contração, diferimento, investimento seqüencial, suspensão e reativação, abandono ou conversão, terão maior retorno.

Ainda no caso específico de Capital de Risco o grande diferencial apresentado pelo modelo é, ao mesmo tempo, unir a Teoria de Opções Reais com o investimento seqüencial, fato este que proporcionou menor risco ao investidor, pois o investimento é dividido em etapas, nas quais pode haver avaliações de performance do empreendimento. Nestas avaliações, caso o empreendimento tenha superado, ou ao menos igualado as expectativas (milestones), o investidor efetua o investimento. Já, caso contrário, o empreendimento obtenha performance inferior à esperada, não haverá fluxo de investimento. Há ainda a opção de abandono do empreendimento caso este não se encontre mais nos planos do investidor. Esta opção de abandono pode ser revertida num valor de revenda de ativos (salvage value), para outro investidor que esteja interessado na continuidade do empreendimento. A Teoria clássica de Orçamento de Capital peca ao não considerar estes fatores, extremamente importantes e possíveis, na avaliação de investimentos.

O modelo de Majd e Pindyck (1987) atende plenamente às características intrínsecas apresentadas pelo problema, de forma a seu resultado satisfazer plenamente à demanda. Apesar de sua aparente complexidade, tanto a teoria financeira quanto a teoria matemática não trouxeram antagonismos uma à outra, implicando numa aplicabilidade com êxito.

A transcrição do modelo para a linguagem computacional MATLAB configurou-se como o uma espécie de justificativa prática para o estudo. A única forma de solucionar o modelo, incontestavelmente, era por meio de sua aplicação computacional, devido aos sucessivos cálculos requeridos à determinação dos valores dos elementos da enorme matriz resultante, bem como com o cumprimento de todas as restrições do modelo. O sucesso desta transcrição foi fundamental para a validação do modelo, e também para a compreensão dos resultados de forma clara e concisa.

São possíveis, também, variações nos inputs do modelo, adaptando-o às características intrínsecas de cada avaliação, desde que se respeitem, é claro, todas as restrições inerentes ao modelo.

Referências Bibliográficas

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Nota

i _{Na abordagem das raízes da equação quadrática pode ser provado que:}

0 2 2 2 2 2 〈 − − =

σ

ρ

σ

α

β