Modelagem e Otimização na geração
hidrelétrica de energia: uma abordagem com
emprego de sistemas inteligentes
Área de concentração: Sistemas Inteligentes Modelagem Matemática e Computacional
Orientador:
Prof. Dr. Paulo Eduardo Maciel de Almeida
CEFET-MG
Mestrado em Modelagem Matemática e computacional Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Diretoria de Pesquisa e Pós-graduação
Belo Horizonte Dezembro de 2010
A geração hidrelétrica responde por grande parte do total da produção de energia elétrica do Brasil. No contexto atual de produção existe a necessidade pela utilização sustentada dos recursos naturais, sendo que a produtividade e também a eficiência no aproveitamento dos recursos são requisitos para as companhias que desejam se manter sólidas no mercado. Um problema, ao se trabalhar com a produtividade de uma usina hidrelétrica, é o de aumentar a eficiência na utilização de recursos hídricos para geração de energia elétrica. Busca-se minimizar a vazão de água, maximizar a produção e fornecer um cenário estável para o atendimento de uma demanda diária de energia. Este trabalho propõe um procedimento para definir a produção da usina que minimiza a vazão de água e maximiza a produção de energia elétrica. Um modelo de produtividade foi apresentado e, com a aplicação de técnicas de inteligência computacional, foi possível obter uma solução factível para o problema de otimização. Os resultados foram alcançados com a aplicação de um algoritmo genético e forneceram, em ambiente de simulação, soluções alternativas aos modos convencionais de operação de uma unidade hidrelétrica de geração.
Agradeço a Deus por sua bondade e pela força que me foi transmitida ao longo do desenvolvimento do trabalho.
Agradeço aos meus pais e família pelo apoio incondicional, pelo amparo nos momentos difíceis e por compartilharem comigo todas as alegrias ao longo do meu desenvolvimento. Agradeço ao CEFET-MG pela oportunidade, em especial ao Professor Paulo Almeida pela orientação, dedicação e principalmente pelos momentos de discussão que permitiram evoluir o trabalho mesmo em condições adversas.
1 Etapas do Planejamento da Operação (ARCE, 2006) . . . p. 4 2 Quadro de variáveis de interesse do problema . . . p. 7 3 Etapas metodológicas propostas . . . p. 10 4 Representação de uma usina Hidrelétrica com seus componentes (ARCE,
2006) . . . p. 17 5 Curva de Capabilidade hipotética de um gerador síncrono . . . p. 19 6 Descrição da usina hidrelétrica com destaque para características que
determinam a produção do sistema . . . p. 21 7 Diagrama de Blocos de um sistema de Otimização (TAKAHASHI, 2007) p. 26 8 Representação das funções objetivo f1, f2 e das funções ponderadas 0.7
f1 + 0.3 f2 e 0.4 f1 + 0.6 f2 (TAKAHASHI, 2007) . . . p. 28 9 Conjunto de soluções Pareto Ótimas para um problema com duas funções
objetivo . . . p. 29 10 Exemplo de um problema de otimização com dois objetivos . . . p. 30 11 Pareto com soluções para o problema de otimização da figura 10 . . . . p. 31 12 Algoritmo do Gradiente. Fonte: (TAKAHASHI, 2007) . . . p. 32 13 Gráfico de aplicação do algoritmo Busca Gradiente . . . p. 32 14 Detalhamento do Algoritmo Correção de Posto 1 . . . p. 33 15 Estrutura dos algoritmos Quasi-Newton . . . p. 35 16 Gráfico de aplicação do algoritmo Quasi-Newton . . . p. 36 17 Formulação básica que caracteriza a evolução dos métodos da categoria p. 37 18 Uma iteração do método elipsoidal . . . p. 37 19 Gráfico de aplicação do algoritmo Elipsoidal . . . p. 38
21 Gráfico de aplicação do Algoritmo Genético . . . p. 39 22 Visão bidimensional da aplicação do Algoritmo Genético . . . p. 40 23 Tratamento de restrições: aplicação do método de barreiras . . . p. 42 24 Tratamento de restrições: aplicação do método de penalidades . . . p. 43 25 Gráfico de demanda ao longo de um dia . . . p. 47 26 Avaliação da função objetivo para duas unidades variando a vazão . . . p. 49 27 Curvas de nível para o gráfico da figura 26 . . . p. 50 28 Gráfico de demanda de energia para um dia de geração . . . p. 55 29 Determinação do número mínimo e máximo de unidades de produção
para o atendimento da demanda . . . p. 56 30 Resultado do algoritmo gradiente . . . p. 57 31 Resultado algoritmo do gradiente . . . p. 57 32 Correção posto 1 . . . p. 58 33 Correção posto 1 . . . p. 59 34 Resultado algoritmo quasi-newton . . . p. 59 35 Resultado quasi-newton . . . p. 60 36 Algoritmo Elipsoidal . . . p. 61 37 Algoritmo Elipsoidal . . . p. 62 38 Algoritmo Genético . . . p. 63 39 Algoritmo Genético . . . p. 65 40 Algoritmo genético aplicado na usina com uma demanda reduzida . . . p. 66 41 Gráfico comparativo da vazão necessária aplicado a uma demanda reduzida p. 67 42 Algoritmo Genético . . . p. 68 43 Algoritmo Genético . . . p. 69 44 Procedimento proposto para a resolução do problema . . . p. 72
1 Tabela dos coeficientes das funções de produção para cada unidade . . p. 46 2 Tabela dos coeficientes das funções de produção para cada unidade . . p. 46 3 Limites de operação das unidades simuladas . . . p. 48 4 Valores médios do número de iterações, na determinação da solução
ho-rária, para os algoritmos de direção de busca e exclusão de semi espaços p. 70 5 Características e desempenho do algoritmo genético . . . p. 70 6 Características do computador utilizado para as simulações . . . p. 70
Resumo p. i Agradecimentos p. ii Lista de Figuras p. iv Lista de Tabelas p. v 1 Introdução p. 1 1.1 Contextualização . . . p. 1 1.1.1 Cadeia de Planejamento . . . p. 2 1.1.2 Planejamento da Operação . . . p. 3 1.1.3 Planejamento de Curto Prazo . . . p. 3 1.2 Despacho de Geração . . . p. 5 1.2.1 Alocação de Unidades . . . p. 6 1.3 Objetivos . . . p. 6 1.3.1 Hipótese . . . p. 6 1.4 Metodologia . . . p. 8 1.5 Organização do trabalho . . . p. 9
2 Revisão Conceitual e Fundamentação teórica p. 11 2.1 Introdução . . . p. 11 2.2 Estado da Arte . . . p. 12 2.3 Sistema de Geração . . . p. 17
2.3.2 Curvas de geração . . . p. 19 2.3.3 Modelo de cálculo de geração e eficiência . . . p. 20 2.4 Perdas na Geração de Energia . . . p. 21 2.4.1 Nível do reservatório . . . p. 22 2.4.2 Nível do canal de fuga . . . p. 22 2.4.3 Perda Hidráulica . . . p. 22 2.4.4 Perda por rendimento . . . p. 23 2.4.5 Modelo de geração revisitado . . . p. 23 2.5 Discussões finais . . . p. 24
3 Otimização p. 25
3.1 Introdução . . . p. 25 3.2 Modelagem de Otimização . . . p. 26 3.3 Algoritmos de Otimização . . . p. 29 3.3.1 Algoritmo Busca Gradiente . . . p. 31 3.3.2 Algoritmo Correção de Posto 1 . . . p. 33 3.3.3 Algoritmo Quasi-Newton . . . p. 33 3.3.4 Algoritmo Elipsoidal . . . p. 37 3.3.5 Algoritmo Genético . . . p. 38 3.4 Tratamento de Restrições . . . p. 41 3.5 Considerações finais . . . p. 44 4 Formulação do Problema p. 45 4.1 Introdução . . . p. 45 4.2 Modelo de Simulação . . . p. 46 4.2.1 Parâmetros do modelo . . . p. 46
4.3 Restrições . . . p. 48 4.4 Modelo de Otimização . . . p. 48 4.5 Justificativa para os métodos e modelos aplicados . . . p. 50 4.6 Discussões Finais . . . p. 51
5 Resultados p. 53
5.1 Introdução . . . p. 53 5.2 Dados de Referência . . . p. 53 5.3 Resultado da otimização . . . p. 54 5.3.1 Métodos de direção de busca . . . p. 56 5.3.2 Método de exclusão de semi espaços . . . p. 61 5.3.3 Método de populações . . . p. 63 5.4 Análise comparativa . . . p. 70 6 Conclusão p. 73 6.1 Discussão . . . p. 73 6.2 Contribuição do trabalho . . . p. 75 6.2.1 Contribuição científica . . . p. 75 6.2.2 Contribuição tecnológica . . . p. 76 6.2.3 Contribuição Sócio Ambiental . . . p. 76 6.3 Trabalhos futuros . . . p. 77 6.4 Discussões finais . . . p. 77
Referências Bibliográficas p. 79
1
Introdução
A geração hidrelétrica é parte de um sistema complexo de abastecimento de energia e é responsável pelo atendimento da maior parte da demanda nacional. Uma usina aproveita o potencial de um determinado reservatório para a geração e está sujeita, em determinados períodos, a uma escassez de sua matéria prima que é a água disponível na bacia.
A operação de um sistema como o de uma hidrelétrica deve elaborar uma estratégia de geração que seja capaz de atender a uma determinada demanda mas sempre considerando as restrições de seus recursos, ou seja, deve determinar uma produtividade ótima que respeite as limitações, economize matéria prima e reduza custos.
O problema, ao se trabalhar com a produtividade de uma usina, é o de aumentar a eficiência na utilização de recursos hídricos para geração de energia elétrica. Portanto, o ponto inicial deste trabalho é estabelecer um cálculo da eficiência para o aproveitamento do potencial da usina hidrelétrica e em seguida proceder a otimização da produção dos conjuntos turbina-gerador, minimizando a vazão de água.
O problema abordado é o da modelagem e otimização na geração hidrelétrica de energia. Trata de uma etapa do planejamento da operação de um sistema de geração que visa não apenas minimizar os custos e gastos dos recursos energéticos, mas também controlar os riscos como por exemplo o de racionamento e inoperabilidade devido a um volume do reservatório insuficiente para a geração.
1.1
Contextualização
Segundo (RODRIGUES, 2003), o objetivo do planejamento da operação de um sistema de energia elétrica é atender os requisitos do mercado com confiabilidade e com um custo mínimo por consumo de combustível nas usinas. O uso correto da energia hidrelétrica, disponível em quantidades limitadas na forma de água armazenada nos reservatórios, torna a operação de um sistema hidrelétrico complexa, pois estabelece um compromisso
entre a decisão de operação imediata e as consequências futuras desta decisão.
Atualmente, algumas das centrais de geração de energia hidrelétrica possuem um sis-tema automatizado denominado "controle-conjunto de geração", que é implementado pela divisão equalitária das potências ativa e reativa requeridas entre as unidades geradoras que fazem parte de uma instalação e que estão em operação. No entanto, este sistema não leva em conta se cada unidade em particular está operando no ponto de melhor rendimento do conjunto Turbina-Gerador-Transformador Elevador(ALMEIDA, 2007).
O emprego de uma técnica alternativa, que leve em consideração os pontos de ope-ração de cada conjunto de geope-ração, deve gerar economia em várias frentes, a saber: eco-nomia da matéria-prima(água dos reservatórios), redução das perdas nos equipamentos eletromecânicos envolvidos(operação próxima aos valores nominais), aumento dos ciclos de manutenção preventiva(espaçamento entre paradas programadas), dentre outros.
Com a implementação de um sistema que possibilite o diagnóstico, em tempo de execução, do estado das unidades geradoras do ponto de vista do seu funcionamento ótimo pode subsidiar decisões dos responsáveis pela operação da Usina de modo ágil e confiável, melhorando os fluxos de potência entre as unidades geradoras e para o Sistema Elétrico.
1.1.1
Cadeia de Planejamento
A energia em uma usina hidrelétrica está disponível no potencial existente do volume de água em um reservatório. Portanto, a energia potencial é tão maior quanto maior for o volume armazenado levando também em consideração a diferença de alturas entre a montante e a jusante(PROVENÇANO, 2003).
Em períodos de cheias nos rios, a abundância do recurso principal que é a água faz com que parte da vazão tenha que ser escoada por um outro caminho que não o que passa pelas turbinas. Assim, quando o volume de água em uma bacia é muito grande, parte da água é destinada para geração de energia elétrica e outra parte é escoada pelo vertedouro em direção ao canal de fuga. Em tais períodos não existe a necessidade de economia de água, pelo contrário, a água necessita seguir o seu curso e a barragem corre risco caso o volume ultrapasse o limite máximo do nível na montante.
Já em períodos de seca, se o volume de água é utilizado para a geração, sem um planejamento, as consequências futuras podem ser desastrosas para a operação. Isto significa que o nível da barragem pode reduzir ao longo do tempo chegando ao ponto de
não permitir a geração planejada ou em casos extremos pode até inviabilizar a operação das máquinas.
Em outras situações, pode-se ter mais de uma usina em um mesmo curso de um rio ou em um de seus afluentes. Nesta situação a decisão pela utilização ou não da água pode ter impacto em uma outra unidade de produção.
Diante do cenário apresentado, pode-se observar que o planejamento de uma usina é um trabalho complexo e com decisões difíceis com impacto alto sobre operações futuras. Tal planejamento deve levar em conta horizontes que permitam uma análise das possíveis decisões e impactos.
Como foi visto, a cadeia de produção envolve não apenas uma usina mas todo um complexo sistema, cada sistema com suas restrições e características. Para atender aos requisitos e a demanda de produção, faz-se necessário um planejamento da operação que devido à sua complexidade é normalmente dividido em etapas.
1.1.2
Planejamento da Operação
De acordo com (ARCE, 2006), o planejamento da operação pode ser decomposto nas etapas de longo, médio e curto prazo.
No planejamento da operação de longo prazo o objetivo é estabelecer uma estratégia de operação que determine, a cada estágio, e em condições incertas de afluências futuras, os totais de energia hidrelétrica e térmelétrica a serem gerados, de modo a minimizar o custo esperado da operação.
Já a médio prazo determina-se a política de operação de cada usina, de forma que o custo operacional do sistema ao longo do horizonte seja minimizado e ao mesmo tempo sejam atendidos os requisitos de demanda, as restrições operativas do sistema e as metas especificadas pelo planejamento de longo prazo. O planejamento da operação de médio prazo determina as metas semanais de operação de cada usina.
1.1.3
Planejamento de Curto Prazo
O objetivo principal do planejamento da operação de curto prazo é procurar compa-tibilizar a operação do sistema hidrelétrico ao longo do dia ou da semana com as metas energéticas estabelecidas pelo planejamento de médio prazo. Devido à sua proximidade da operação em tempo real, o planejamento da operação de curto prazo requer uma
repre-sentação matemática mais detalhada do sistema como, por exemplo, a reprerepre-sentação da rede elétrica, suas limitações operativas bem como uma representação mais detalhada do sistema hidráulico, incluindo tempo de atraso no transporte de água entre os reservatórios, limitações de tomada de carga, etc. Também, devido ao curto horizonte do planejamento, supõe-se disponível uma boa previsão de afluência e de demanda de carga, podendo então este problema ser considerado determinístico.
A programação diária de operação define as formas finais de uso das fontes geradoras, assegurando o atendimento às diretrizes do planejamento da operação de curto prazo e os ajustes às condições atuais do sistema. Nesta fase do planejamento da operação, são atribuídos os valores de energias que cada usina termelétrica ou hidrelétrica deverá produzir e a reserva de potência operativa que deverá manter nas próximas 24 horas.
Figura 1: Etapas do Planejamento da Operação (ARCE, 2006)
A figura 1 mostra as etapas de planejamento desde o longo prazo até o nível de su-pervisão em tempo real e análise pós-operativa. As etapas de planejamento de longo,
médio e curto prazo seguem uma sequência de acordo com o nível de profundidade, com-plexidade e valor das informações. A programação de longo prazo necessita de modelos muito mais complexos, sujeitos a grandes pertubações e variáveis com comportamento pouco previsíveis. Na medida em que abordamos os subsistemas deste planejamento as variáveis são mais facilmente obtidas e modeladas, mas ainda assim são sistemas com um nível bastante elaborado no que diz respeito a obtenção de relações e determinação de parâmetros que regem a dinâmica de seus comportamentos.
As etapas de longo, médio e curto prazo foram anteriormente descritas. Já a etapa de supervisão acompanha as variáveis do sistema, fornece um monitoramento e permite a ação do operador em caso de pertubações e o não atendimento aos requisitos e diretrizes pelo sistema automático. A análise pós-operativa permite o levantamento estatístico de comportamentos de equipamentos e variáveis e fornece informações importantes para o planejamento de longo prazo.
1.2
Despacho de Geração
Dentro do problema de planejamento de curto prazo tem-se o problema de progra-mação diária. Tal problema trata do atendimento da demanda e geração de energia para a carga determinada em um período de 24 horas. De acordo com o planejamento de curto prazo, uma estimativa da produção por hora é fornecida e cabe aos operadores do sistema determinar quais unidades de geração devem ser ligadas e quanto cada unidade deve produzir.
O problema exposto foi dividido em dois subproblemas cujas soluções são os objetivos deste trabalho: o subproblema de Despacho de Unidades Geradoras (DU) que determina a configuração de unidades geradoras hidrelétricas em operação em cada uma das usinas e em cada um dos intervalos de tempo. O segundo subproblema é o Despacho de Geração (DG), o qual determina a alocação ótima de geração, para uma dada configuração de unidades geradoras em operação. Estes dois subproblemas são resolvidos a cada instante de tempo até obter-se a solução global, ou seja, a solução do problema para as 24 horas. O problema de despacho de geração é o principal objeto a ser solucionado, mas em um segundo momento o problema de alocação de unidades será abordado.
1.2.1
Alocação de Unidades
O problema de alocação de unidades ou Despacho de Unidades Geradoras procura determinar, a cada estagio de tempo, o estado das unidades geradoras, ou seja, se uma unidade de geração deve estar ligada ou desligada de tal forma a minimizar os custos de operação.
A função de produção hidrelétrica é altamente complexa e está sujeita às restrições operativas, aos custos de ligamento e desligamento das unidades de produção. Tal função é não linear, sofre influência das diferentes características e parâmetros dos conjuntos turbina-gerador que podem ser combinadas de várias maneiras para o atendimento de uma demanda. Os custos para ativar e desativar uma unidade sofrem alterações ao longo do tempo, estão relacionados com a vida útil do equipamento e com variáveis não apenas de operação mas também de manutenção. A discussão da alocação de unidades é retomada ao longo do texto mas foi considerada como sendo um objetivo secundário.
1.3
Objetivos
O objetivo geral do projeto é desenvolver uma técnica de otimização que possa ser aplicada ao problema de produtividade e eficiência na geração de energia hidrelétrica, mais especificamente nos conjuntos turbina-gerador existentes. A razão central do trabalho portanto é economizar água do reservatório ou da bacia que alimenta a usina.
O tema da dissertação trata então da eficiência na utilização de Recursos Hídricos para geração de energia elétrica. O assunto ou objeto principal de estudo é o cálculo da produtividade do aproveitamento do potencial da usina hidrelétrica e otimização da produção dos conjuntos turbina-gerador minimizando a vazão de água.
Os limites para o trabalho são apresentados:
• A modelagem do sistema de geração será realizada considerando trabalhos anteriores que tratam dos problemas de despacho de unidades e despacho de geração;
• Os teste serão realizados em ambiente de simulação.
1.3.1
Hipótese
Em uma usina hidrelétrica, um sistema otimizador que determine quanto cada unidade turbina-gerador deve produzir, considerando as eficiências destes conjuntos, é capaz de maximizar a produtividade e ainda assim atender a demanda de energia a ser produzida. De posse do objetivo e hipótese, uma análise das variáveis quantitativas e qualitativas foi realizada. O quadro abaixo apresenta as variáveis de interesse do problema:
Figura 2: Quadro de variáveis de interesse do problema
A variável produtividade é definida aqui como sendo a razão entre a potência de saída do sistema e a vazão de água para tal geração. É a principal variável do problema, maximizar esta variável significa produzir mais com uma quantidade menor de água, ou seja, minimizar a vazão e maximizar a produção para uma mesma carga.
A variável eficiência determina quanto uma unidade de produção, turbina-gerador, consegue gerar em relação ao valor teórico máximo de potência possível para aquele con-junto. Em outras palavras, a variável determina o aproveitamento na conversão do poten-cial energético, o quão eficiente é um conjunto turbina-gerador que recebe uma potência
mecânica como estímulo e na sua saída fornece potência elétrica.
Para a determinação dos modelos que determinam os valores das variáveis citadas são necessárias outras variáveis. Estas podem ser obtidas por instrumentos de medição, para as hipóteses apresentadas são necessários dados de potência, vazão e altura do reservatório. Uma variável qualitativa determinante para a resolução do problema analisa o pro-cedimento operacional realizado na usina. Tal variável fornece informações sobre como o sistema é operado, qual a experiência do operador/usuário, como ele determina a produ-ção e como reage quando o sistema sofre alterações ou pertubações. Esta variável fornece o estado atual, ou como o sistema é operado e serve como referência para comparação dos resultados que possam ser obtidos. Um resultado será bom ou ruim se comparado à forma de operação atual, ou melhor, se o sistema é capaz de economizar recursos em relação à forma de execução pelo operador e ainda facilitar a operação não adicionando complexidade ao trabalho do usuário.
1.4
Metodologia
Esta seção apresenta a metodologia de pesquisa desenvolvida para o trabalho. A necessidade de uma revisão crítica da literatura que trata do problema proposto é a pri-meira questão metodológica que se coloca, juntamente com estudos da teoria de sistemas inteligentes e ferramentas de inteligência computacional que se adequem à resolução do objeto de estudo. Além disso, a revisão deve identificar o estado da arte de sistemas de otimização e detectar as potencialidades e as limitações das técnicas abordadas.
A partir da revisão bibliográfica e da proposta de solução segue a implementação do sistema, execução de testes e avaliação.
Finalmente, um estudo sobre as possíveis estratégias de medição, acompanhamento e avaliação de um sistema de tomada de decisões para otimização da geração deve ser realizado com a finalidade de eleger uma ou mais estratégias imparciais, ou minimamente polarizadas pela metodologia utilizada no processo de tomada de decisão. A definição de tais estratégias vai possibilitar uma análise isenta e confiável sobre o desempenho do sistema de otimização desenvolvido.
Para atingir os objetivos traçados, as seguintes etapas serão percorridas:
2. Caracterização do sistema de geração, definição do modelo cada conjunto gerador da usina;
3. Definição de critérios de otimização para produtividade de uma usina;
4. Estudo de técnicas de otimização que se mostrem adequadas aos critérios levantados no item 3;
5. Coleta, tratamento e normalização dos dados para uma usina que será simulada. Investigação dos sistemas envolvidos na geração hidrelétrica de energia, que sejam relevantes para obtenção de um modelo matemático do processo;
6. Desenvolvimento de um modelo matemático para produtividade do processo de geração, considerando também a eficiência do mesmo, com o propósito de subsidiar estudos sobre as possibilidades de aumento da eficiência;
7. Implementação e testes de algoritmos de otimização para o processo, em laboratório;
8. Codificação e preparação da ferramenta desenvolvida para testes;
9. Planejamento de testes e processamento de dados para determinação da produ-tividade e eficiência de cada conjunto gerador existente, nas condições atuais de operação;
10. Análise preliminar dos resultados obtidos e definição da potência a ser gerada pelos conjuntos geradores;
11. Avaliação dos testes;
12. Conclusão.
1.5
Organização do trabalho
O trabalho está dividido em seis capítulos. Este Capítulo apresentou uma introdução ao projeto desenvolvido e retratado nesta dissertação, introduziu os diversos conteúdos teóricos necessários a um entendimento amplo do objeto de estudo.
O Capítulo 2 descreve os princípios básicos de um sistema de geração e abrange todos os conceitos necessários para um entendimento aprofundado do projeto, trata aspectos de geração de energia bem como os métodos e conceitos aplicados.
Figura 3: Etapas metodológicas propostas
O Capítulo 3 aborda a otimização, as técnicas utilizadas para a resolução do pro-blema. O capítulo apresenta conceitos sobre otimização assim como algumas aplicações que exemplificam a aplicação dos métodos.
O Capítulo 4 discorre sobre a formulação do problema, modelagem e dados utilizados. Aqui serão apresentados a modelagem e implementação, os instrumentos de coleta de dados, testes, validação, análise e comparações.
O Capítulo 5 trata dos resultados obtidos, análise e discussão. Neste capítulo serão apresentados a eficiência e a eficácia dos métodos propostos.
Finalmente, o Capítulo 6 termina com a conclusão do trabalho e sugestões para de-senvolvimentos futuros. Este capítulo proporciona uma avaliação geral do trabalho desen-volvido, descrevendo as conclusões bem como as possíveis limitações, além de apresentar os trabalhos futuros que poderão surgir a partir deste trabalho.
2
Revisão Conceitual e
Fundamentação teórica
2.1
Introdução
Um sistema de potência é constituído essencialmente de três partes que são os centros geradores, os centros consumidores e, fazendo um elo entre estes dois centros, o sistema de escoamento de fluxo de potência. Este último, por sua vez, se subdivide em outras três partes, que compreendem os sistemas de transmissão, subtransmissão e distribuição. Em cada uma destas partes existem limites de operação dos equipamentos elétricos de tal forma a assegurar uma determinada qualidade no fornecimento de energia elétrica aos centros consumidores.
Nos centros de geração, a preocupação é principalmente com a produção de potência ativa. O Brasil, possuindo predominância de geração hidrelétrica, constantemente se defronta com o risco do racionamento de energia elétrica já que o crescimento do parque gerador brasileiro não acompanhou o crescimento do consumo da forma adequada.
A predominância de geração hidráulica, com reservatórios de regularização plurianual e pertencentes a diferentes empresas, resulta na necessidade de ações integradas, visando a otimização eletroenergética do sistema, o aumento da eficiência e a obtenção do custo mínimo no fornecimento da energia elétrica(ARCE, 2006).
O objetivo de projetar um sistema de otimização em usinas hidrelétricas é determinar a melhor combinação de plantas hidráulicas, ou conjuntos turbina-gerador, que minimiza o custo total de produção, maximiza a produção, a eficiência da turbina e o volume do reservatório durante um curto período de tempo enquanto satisfaz várias restrições hidráulicas e da rede do sistema de potência. É um problema bastante complexo, pois a formulação deve levar em conta as restrições operacionais de sistemas de energia, incluindo os aspectos hidráulicos e elétricos.
Existem várias fontes de incertezas apresentadas na otimização do quadro de agen-damento de curto prazo associado a usinas hidrelétricas, como o fluxo de água, os preços marginais, disponibilidades das unidades de geração e assim por diante(PROVENÇANO, 2003).
O funcionamento eficaz da usina hidrelétrica exige a melhor estimativa possível do fluxo em um período de trabalho. Infelizmente, a previsão deste fluxo depende principal-mente de fatores com grandes incertezas como o caso do clima, o estado atual da bacia e assim por diante. Há uma variabilidade considerável nestes fatores de incertezas que devem ser incorporados ao processo de otimização, especialmente sobre dias chuvosos.
O fluxo para os reservatórios pode ser visto como um fator estocástico que possui dependência espacial e temporal. Uma decisão de operação de um reservatório em um determinado estágio e a programação em um estágio futuro devem estar ligados a estes fatores estocásticos(RODRIGUES, 2003).
Muitas características dos sistemas hidrelétricos, como o volume de água, os fluxos de água, descarga de água, as incertezas no fluxo, preço e estado da unidade são considerados para a operação prática de sistemas. Uma proposta seria obter uma quantidade ideal de produção das unidades hidrelétricas a fim de maximizar o lucro total. Outra forma de atuação seria o controle e otimização voltados para as partes do sistema relativas a transmissão.
Nas seções seguintes serão abordados aspectos importantes dos sistemas de geração, questões que definem qual deve ser a melhor proposta. Ao final do capítulo tem-se uma visão geral das características, limites do problema e das principais equações que descre-vem seu comportamento. A partir de tais informações, as técnicas de resolução podem ser investigadas.
2.2
Estado da Arte
Os trabalhos referentes ao planejamento da operação de curto prazo de um sistema de geração são recentes mas fazem parte de um universo relativamente grande de pesquisa. Na literatura são encontradas muitas referências que tratam de sistemas puramente ter-melétricos devido aos altos custos envolvidos em sua operação e logicamente à necessidade de maximização da produtividade. Com um número menor, está o conjunto de pesquisas sobre sistemas predominantemente hidrelétricos que durante muito tempo foram deixa-dos em segundo plano no que diz respeito à otimização justamente por uma visão de que
a água é um recurso abundante. A sociedade, cada vez mais consciente sobre questões ambientais, passa então a cobrar das empresas a responsabilidade sobre os efeitos de suas operações. Também as companhias buscam níveis de eficiência na operação cada vez mais elevados, necessitam se manter competitivas em um cenário econômico caracterizado pela necessidade de inovações e novos empreendimentos que sejam sustentáveis e garantam a sobrevivência da empresa.
Os trabalhos mais antigos foram modelados de maneira que a maior preocupação recaiu sobre o custo da geração termelétrica. Neste sentido, o objetivo destes modelos sempre foi direcionado para minimizar o custo da geração termelétrica, deixando a geração hidrelétrica apenas como uma complementação já fixada de antemão pelos modelos de longo e médio prazo, na forma de metas de geração. De acordo com (ARCE, 2006), foram nestas abordagens que a dinâmica dos reservatórios das usinas hidrelétricas ganhou relevância, mas a representação da função de geração hidrelétrica ainda ficou limitada apenas ao produto da vazão turbinada pela produtividade média da usina hidrelétrica (SHEBLE; FAHD, 1994).
A seguir, algumas das referências sobre modelagem são comentadas com o objetivo de levantar um panorama geral da pesquisa na área e apresentar a evolução das abordagens em modelagem e também otimização aplicadas à geração de energia.
Um modelo de planejamento diário da operação é apresentado em ( HABIBOLLAHZA-DEH; FRANCES D.; SUI, 1990). Os autores determinaram uma abordagem que levava em consideração o sistema térmico e hidráulico com as necessidades de reserva e também as perdas na transmissão. Neste trabalho, o sistema hidráulico foi formulado de modo detalhado considerando inclusive o acoplamento no que diz respeito a usinas ao longo de um mesmo rio ou de seus afluentes. Uma técnica de programação linear foi utilizada de forma computacionalmente eficiente. Neste trabalho os modelos de produção não são suficientemente detalhados para que se tenha uma noção do comportamento do sistema com relação à variável vazão, por exemplo. Muitos aspectos são omitidos principalmente do ponto de vista do comportamento físico do processo.
Seguindo na mesma linha, (WONG; WONG, 1993) apresentam uma metodologia para a resolução do problema de planejamento de curto prazo considerando também o ponto de vista térmico e hidráulico. No artigo, tem-se acesso a uma modelagem mais detalhada com a apresentação dos conceitos físicos e restrições do processo no que diz respeito a modelagem. Quanto à otimização, a abordagem utilizando a técnica simulated annealing foi capaz de determinar soluções ótimas globais e de fato o trabalho mostrou-se de grande
relevância científica tanto do ponto de vista da pesquisa em geração de energia quanto de otimização, inclusive apresentando uma lista de vantagens e desvantagens na aplicação do método.
Os artigos (LIANG; HSU, 1994) e (LIANG; HSU, 1996) apresentam abordagens para a solução do problema de planejamento citado anteriormente com aplicação de técnicas de inteligência computacional. Foram utilizadas redes neurais artificiais e o objetivo de minimizar a função objetivo relacionada com os custos operativos foi alcançado com um custo computacional menor que o de técnicas como a programação dinâmica. São também trabalhos de referência para o estudo desenvolvido neste trabalho apesar de também tratar do problema híbrido de solução térmica e hidráulica.
Em (LYRA; FERREIRA, 1995), ocorreu a aplicação de programação dinâmica ao pro-blema de planejamento de curto prazo considerando usinas ao longo do rio Iguaçu. O acoplamento entre as unidades foi modelado e como resultado ganhos da ordem de 1,5% foram alcançados. O trabalho apresenta uma contribuição importante para a geração hidrelétrica, comprovando a hipótese de que é possível obter ganhos energéticos com a adoção de uma operação baseada em regras não convencionais e com negociações que evitem o desperdício de energia.
Coordenar a operação de um sistema hidroelétrico consiste em determinar quanto cada usina deve gerar a cada instante, a fim de que o sistema consiga atender à carga que lhe é solicitada, a um mínimo custo, respeitando critérios de confiabilidade. Trata-se de uma tarefa bastante complexa, principalmente porque estes sistemas usualmente são al-tamente interligados, tanto elétrica quanto hidraulicamente. O artigo (SILVA; CARNEIRO, 1999) apresentou uma metodologia para simulação da operação de usinas hidroelétricas utilizando redes neurais artificiais, mais especificamente redes RBF. A rede neural repro-duziu as relações existentes entre os reservatórios de um sistema hidroelétrico durante suas operações ótimas. Os testes mostraram que o simulador neural possui uma forte tendência em seguir os resultados da otimização determinística, otimizando o uso dos recursos hídricos disponíveis para geração de energia.
Em (NARESH; SHARMA, 2000) e (NARESH; SHARMA, 2002), o autor trata do problema de sistemas interconectados de geração e propõe uma metodologia utilizando redes neurais com duas camadas. Já (YUAN; YUAN, 2002) apresenta uma complexa abordagem, mas efetiva e que contribuiu pela utilização de uma técnica nova capaz de solucionar o problema não linear restrito. A técnica lança mão de um método híbrido que incorpora um algoritmo genético caótico com um operador de mutação adaptativo. Outra abordagem híbrida é
a fornecida por (GUOQIANG; RENMU, 2005), que propõe um algoritmo genético aliado a técnicas de sistemas nebulosos, fuzzy. Neste caso o autor demonstra também as relações entre o tratamento de objetivos individuais e a solução do problema do ponto de vista multiobjetivo.
Um trabalho também interessante foi realizado por (VILLASANTI; LÜCKEN, 2004), no qual o autor aborda o problema com o tratamento multiobjetivo. Neste artigo, duas funções objetivo são apresentadas e o método proposto incorpora técnicas de algoritmos evolucionários e heurísticos para tratamento de restrições das unidades de geração. Os autores buscam maximizar a eficiência e também minimizar o número de partidas e pa-radas de conjuntos de geração. Trata-se também de um trabalho importantíssimo e de referência para a metodologia proposta no presente estudo, sendo significativa as contri-buições tanto na definição do procedimento e implementação dos modelos e algoritmos mas também no que diz respeito ao planejamento dos testes e apresentação dos resultados. O trabalho de (AGUIRRE; MARTINEZ, 2004) foi importante para o estudo do cálculo de eficiência para usinas da realidade do presente trabalho, assim como a monografia (BOMTEMPO, 2008) que fornece uma metodologia para implantação de um monitoramento contínuo de eficiência de turbinas hidráulicas.
Alguns trabalhos foram essenciais para o desenvolvimento desta dissertação. Foram base para a metodologia proposta e são destacados dos demais não pelo nível de significân-cia científica mas essensignificân-cialmente por terem fornecido elementos que deram materialidade às propostas para a resolução do problema.
Em (FINARDI; SILVA, 2005) e (FINARDI; SILVA, 2006), os autores apresentaram um
modelo de despacho de unidades geradoras. A modelagem do sistema de geração considera o nível do reservatório constante, a altura de queda é obtida pela diferença entre o nível do reservatório e o nível do canal de fuga para um valor constante de descarga correspondente ao valor da descarga meta, também considera as faixas operativas das turbinas e a reserva de potência. Como técnicas de solução aplicaram um procedimento que, por meio da técnica de Branch and Bound, seleciona as configurações de unidades geradoras capazes de atender as metas de descarga. Após a seleção das configurações factíveis de unidades geradoras para o atendimento da descarga meta, ele busca definir qual é a configuração de unidades geradoras e o nível de geração em cada uma das unidades geradoras que compõem essa configuração e que leva à maximização da geração hidrelétrica. Para isto utiliza técnica de gradiente projetado. A publicação mostra a aplicação da metodologia num sistema composto de três unidades geradoras.
Já em (ARCE, 1999), (ARCE; OHISHI, 2002), (ARCE, 2006), os autores apresentaram um modelo de despacho de unidades geradoras em usinas hidrelétricas. A modelagem utiliza como critérios de desempenho as perdas no sistema de geração e o custo das partidas e paradas das unidades geradoras. A metodologia que quantifica as perdas no sistema de geração leva em consideração a elevação do nível do canal de fuga, o atrito do fluxo de água pelo sistema de adução e as variações do rendimento do conjunto turbina-gerador. Como solução, foi adotada a técnica de programação dinâmica, na qual a variável de estágio é o tempo, a variável de estado ou de decisão é partir ou parar o número de unidades geradoras para atender a carga horária. A dimensão do espaço de estado está limitada pelo número mínimo e máximo de unidades geradoras que pode atender a demanda horária de geração. A metodologia foi aplicada à usina hidrelétrica de Itaipu para diferentes custos de partida e parada na otimização do despacho de unidades geradoras.
Já (RODRIGUES, 2003) apresentou um trabalho como dissertação de mestrado, que trata do despacho das unidades geradoras hidrelétricas. A modelagem é feita no contexto do planejamento da operação de curto prazo de um sistema hidrotérmico. Utilizando a técnica de decomposição, ele separa o problema do despacho de unidades geradoras hidrelétricas daqueles relacionados aos problemas termelétricos e de intercâmbios entre subsistemas. A modelagem do despacho das unidades hidrelétricas inclui faixas proibidas de operação, grupos de unidades geradoras diferentes numa mesma usina hidrelétrica, reserva de potência e restrições relacionadas a tempo mínimo/máximo de operação e de parada das unidades geradoras. Como solução foi adotada técnica de lagrangeano aumentado. A metodologia foi aplicada a duas usinas hidrelétricas do sistema elétrico brasileiro.
De acordo com (ARCE, 2006), foi desenvolvido por E. F. Santos e T. Ohishi um modelo no qual se otimiza o despacho das unidades geradoras observando as restrições de metas de geração em cada usina hidrelétrica e de atendimento da demanda horária. Como técnica de solução foi adotada uma heurística que combina Algoritmo Genético e Relaxação Lagrangeana. Este trabalho apresenta um modelo de despacho ótimo de unidades geradoras hidrelétricas que adota como critério de desempenho um modelo que avalia as perdas no sistema de geração, ocasionadas pela elevação do nível de canal de fuga, pela variação do rendimento do conjunto turbina-gerador e pelo atrito do fluxo de água nas tubulações do sistema hidráulico. Além das perdas no sistema de geração também forma parte do critério de desempenho o custo associado à partida e parada das unidades geradoras. A formulação do problema inclui restrições de atendimento à demanda, de meta de geração oriunda do Planejamento energético e restrições de capacidade de geração.
Como técnica de solução foi adotada uma heurística que combina Relaxação Lagrangeana e Programação Dinâmica. A técnica é aplicada ao parque gerador hidrelétrico do sistema elétrico brasileiro, tomando como referência os dados de geração programada num dia típico da operação para verificar o seu desempenho.
2.3
Sistema de Geração
Uma usina hidrelétrica tem o objetivo de aproveitar o potencial hidráulico para a geração de energia. Sua instalação é composta por uma barragem que dá origem ao reservatório e juntamente o alagamento de áreas vizinhas. Outra parte importante é o vertedouro que conduz o excesso de água do reservatório ao curso do rio. Na usina existem condutos forçados que fornecem a vazão de água necessária para a geração de energia, esta vazão segue para a casa de força onde estão os conjuntos de turbina-gerador. Ao passar pela turbina, a água segue em direção ao canal de fuga no nível mais baixo, na jusante e então se junta ao fluxo de água do vertedouro voltando assim ao seu curso normal.
Figura 4: Representação de uma usina Hidrelétrica com seus componentes (ARCE, 2006)
A figura 4 apresenta as partes principais do sistema de geração. Pode-se observar a diferença de nível entre montante e a jusante que é uma questão fundamental da explora-ção do potencial hidráulico, a localizaexplora-ção da casa de máquinas e o caminho seguido pela água desde o conduto forçado até o canal de fuga.
2.3.1
Descrição dos componentes
Um elemento importante na geração de energia é a turbina hidráulica. As turbinas hidráulicas são projetadas para transformar a energia hidráulica (a energia de pressão e a energia cinética) de um fluxo de água, em energia mecânica. A água entra pela tomada de água à montante da usina hidrelétrica que está em um nível mais elevado e é levada por meios de um conduto forçado até a entrada da turbina. Então a água passa por um sistema de palhetas guias móveis que controlam a vazão volumétrica fornecida à turbina. Para se aumentar a potência as palhetas se abrem, para diminuir a potência elas se fecham. Após passar por este mecanismo a água chega ao rotor da turbina(MACINTYRE, 1983).
Por transferência de quantidade de movimento parte da energia potencial dela é trans-ferida para o rotor na forma de torque e velocidade de rotação. Por este fato a água na saída da turbina estará a uma pressão bem menor do que a inicial.
O índice η é a eficiência total da turbina. A eficiência é a fração da energia total da fonte de energia primária (no caso a água) que é convertida em energia útil (no caso potência de eixo). As principais causas da "perda"de energia nas turbinas são:
• perdas hidráulicas: a água tem que deixar a turbina com alguma velocidade, e esta quantidade de energia cinética não pode ser aproveitada pela turbina;
• perdas mecânicas: são originadas por atrito nas partes móveis da turbina e calor perdido pelo aquecimento dos mancais.
Tipicamente turbinas modernas têm uma eficiência entre 85% e 95%, que varia con-forme a vazão de água e a queda líquida(MACINTYRE, 1983).
Outro dispositivo utilizado no controle de tensão é o gerador. A principal função dos geradores síncronos nos sistemas de potência é converter energia mecânica em energia elétrica, injetando potência ativa na rede e injetando ou absorvendo potência reativa (PAVÃO, 2006), (MACINTYRE, 1983). A habilidade de um gerador injetar ou absorver potência reativa do sistema depende de sua excitação e da produção de potência ativa.
A habilidade de um gerador injetar ou absorver potência reativa do sistema depende de sua excitação e da produção de potência ativa. Quando os geradores síncronos são sobreexcitados fornecem potência reativa ao sistema, enquanto que, quando subexcitados, absorvem potência reativa. A figura 5 apresenta uma curva de capabilidade hipotética retirada de (RAGNEV, 2005) destacando os limites envolvidos na produção de potência reativa.
Figura 5: Curva de Capabilidade hipotética de um gerador síncrono
A turbina de um gerador é geralmente projetada com menor capacidade que a má-quina resultando no limite de potência da fonte primária apresentada na figura 5. Quando o gerador estiver operando em sua máxima capacidade de potência ativa a máxima produ-ção/absorção de potência reativa é limitada pela corrente máxima da armadura, calculada afim de que não se tenha aquecimento excessivo dos enrolamentos. O aumento da produ-ção/absorção de potência reativa a partir desses limites exige uma diminuição da produção de potência ativa. Como consequência, em sistemas reestruturados, os produtores de ener-gia não têm interesse na produção de potência reativa para fins de suporte de tensão, a menos que as tarifas compensem o custo de oportunidade associado à redução da produ-ção de potência ativa ou que o suporte de tensão seja uma condiprodu-ção para a conexão a rede.
2.3.2
Curvas de geração
Como visto anteriormente, uma usina hidrelétrica possui um reservatório, condutos forçados, vertedouro, canal de fuga e a casa de máquinas onde estão os conjuntos turbina-gerador. Tais conjuntos apresentam características de rendimento em função da vazão de água turbinada, a variação do rendimento possui um padrão que faz com que a curva de rendimento seja conhecida como curva de colina .
tipi-camente de tal rendimento juntamente com as características principais da usina, como o peso específico da água, a altura ou queda líquida, a vazão, dentre outras.
2.3.3
Modelo de cálculo de geração e eficiência
De acordo com (PAVÃO, 2006), a transformação de energia potencial em energia elé-trica é dada pela função de produção da unidade geradora hidreléelé-trica:
pit = k × ηit× ht× qit (2.1)
onde:
• t - intervalo de tempo;
• i - índice da unidade geradora;
• k é uma constante que tipicamente engloba o peso específico da água, a aceleração da gravidade e um fator 10−6 para fornecer os resultados em MW;
• η é a eficiência do conjunto turbina-gerador, normalmente é uma função do nível e da vazão;
• h é a altura de queda da usina (m);
• q é a vazão turbinada por grupo gerador (m3/s).
Na equação 2.1, o termo referente a altura de queda líquida é definido por:
ht= hmt(v) − hjt(Q, s) − hait(Q, q) (2.2)
sendo:
• hm - cota do nível da água na montante;
• hj - cota do nível da água na jusante ou no canal de fuga;
• ha - perda de carga nos condutos forçados representada como perda em altura;
• Q - Soma das vazões turbinadas;
Figura 6: Descrição da usina hidrelétrica com destaque para características que determi-nam a produção do sistema
• vt - Volume do reservatório.
A cota do nível na montante depende tipicamente do volume do reservatório, já a cota do nível na jusante depende do volume de água escoado ou vazão defluente, ou seja, é o resultado da soma das vazões do vertedouro com as vazões turbinadas(Q). O último termo da expressão de queda líquida representa a perda de carga nos condutos forçados. Tipicamente, estas perdas são representadas como uma função do quadrado da vazão turbinada.
2.4
Perdas na Geração de Energia
O sistema de geração está sujeito a várias perdas ao longo do processo de geração. Se o nível na barragem aumenta significativamente em um período de cheias, o excesso de água deve seguir pelo vertedouro até a jusante ocasionando um aumento do nível no canal de fuga. Como vimos, a queda líquida representada pela equação 2.2 tende a diminuir nesta situação e, portanto, o resultado seria uma diminuição da potência gerada. Caso o nível da barragem diminua em um período de seca, novamente teremos uma diminuição da produtividade devido à redução da cota do nível na montante.
Ao aumentar o valor da vazão turbinada, tem-se o acompanhamento das perdas de carga nos condutos forçados. E por fim, o conjunto turbina-gerador possui um comporta-mento típico que varia com a altura líquida e também com a vazão turbinada. Para cada
valor de altura tem-se uma curva de variação do rendimento com relação a vazão e existe um ponto ótimo em que o rendimento é máximo.
2.4.1
Nível do reservatório
A cota do nível na montante, ou o nível do reservatório, de acordo com (FINARDI; SILVA, 2005) pode ser representado como uma função do volume médio do reservatório. Uma equação típica é dada por:
hmt= a0+ a1vˆt+ a2ˆvt2+ a3ˆvt3+ a4vˆt4 (2.3)
onde a0, a1, a2, a3, a4 são coeficientes do polinômio de grau 4.
2.4.2
Nível do canal de fuga
O nível do canal de fuga, ou cota do nível na jusante, de acordo com (FINARDI; SILVA, 2005) também pode ser representado por um polinômio, porém aqui a variável independente é a vazão defluente. A vazão defluente é igual a soma das vazões vertida e turbinada.
hjt= b0+ b1dˆt+ b2dˆt2+ b3dˆ3t + b4dˆ4t (2.4)
Na equação, b0, b1, b2, b3, b4 são os coeficientes do polinômio e dt representa a vazão
defluente em um intervalo de tempo t.
2.4.3
Perda Hidráulica
As perdas por atrito nos condutos forçados dependem das características da tubulação, mas tipicamente pode ser representada como uma função do quadrado da vazão turbinada multiplicada por uma constante:
2.4.4
Perda por rendimento
O cálculo do rendimento de um conjunto turbina-gerador representa uma dificuldade na medida em que por mais padronizados que possam ser os equipamentos, por mais conhecido que seja o padrão de rendimento e a forma das curvas de colina, cada unidade apresenta comportamentos distintos uns dos outros e também podem apresentar respostas diferentes se colocadas para operar em usinas com características diferentes.
Uma usina com uma média da altura líquida maior pode obter um melhor resultado e possivelmente um melhor rendimento com um mesmo conjunto que opera em uma outra usina menor. Assim, um conjunto ligado a condutos com características construtivas diferentes pode oferecer um resultado completamente diferente ao analisarmos as curvas. De acordo com (PAVÃO, 2006) e (FINARDI; SILVA, 2005) pode-se representar a eficiência como sendo uma função quadrática dada por:
ηit = p0i+ p1iqit+ p2iht+ p3iqitht+ p4iqit2 + p5ih2t (2.6)
onde p0i, p1i, p2i, p3i, p4i, p5i são os coeficientes que variam de acordo com as unidades
indexadas por i. As variáveis são a vazão qit de um conjunto em determinado estágio de
tempo e a altura ou queda líquida representada por ht.
2.4.5
Modelo de geração revisitado
De posse da equação 2.6, substituindo o termo da altura pela equação 2.2 mas levando em consideração o nível da montante, jusante e perdas por atrito com suas respectivas representações em 2.3, 2.4, 2.5 e, ainda, considerando a expressão de eficiência dada por 2.6 pode-se obter uma nova representação para a potência gerada.
Cabe porém uma observação:
De acordo com (FINARDI; SILVA, 2005), considerando um ponto de operação com volume do reservatório e descargas típicas do vertedouro e vazão turbinada, as variações diárias no nível da montante são muito pequenas e o resultado é que a expressão final de geração depende unicamente da vazão turbinada e pode então ser representada por:
sendo p0i, p1i, p2i, p3i, p4i, p5i, p6i, p7i os coeficientes do polinômio de sétimo grau que
varia com a vazão da turbina i no instante de tempo t.
2.5
Discussões finais
O Capítulo 2 apresentou uma visão geral do funcionamento de uma usina hidrelétrica, seus componentes principais e funções que determinam a produção de energia, eficiência e perdas considerando parâmetros físicos. O planejamento da rede elétrica possui vários níveis dependendo do horizonte de trabalho, conforme visto anteriormente, e tal plane-jamento determina a contribuição que cada unidade deve oferecer ao sistema de geração para o atendimento das necessidades impostas pela carga.
É importante que se destaque o trabalho de (ARCE, 2006) que apresenta o arcabouço teórico, referências e as funções que são aqui utilizadas. O problema resolvido pelo autor trata do despacho ótimo de unidades geradoras e para tanto o objeto de estudo foi dividido em dois subproblemas que são o despacho de geração e o despacho de unidades. A solução proposta utiliza heurística baseada em relaxação lagrangeana e programação dinâmica. A complexidade do problema abordado é muito alta e a justificativa para tanto está no fato de o trabalho tratar do problema de otimização não apenas de uma usina mas de um sistema de grande porte, constituído de várias usinas que se integram ao Sistema Interligado Nacional.
A aplicação da metodologia sugerida por (ARCE, 2006) para solução do problema de otimização em apenas uma usina hidrelétrica parece não ser a mais adequada considerando o nível mais baixo de complexidade. Já em (FINARDI; SILVA, 2005), uma abordagem para uma usina é apresentada e foi de grande valia para o presente estudo. Porém o autor aborda o problema do ponto de vista da maximização da produção o que é diferente da maximização da produtividade. O artigo apresenta uma metodologia que propõe produzir mais energia e para tanto considera restrições do sistema como demanda, limites de operação e o número de unidades que podem ser utilizadas.
Nos próximos capítulos serão tratados aspectos necessários ao entendimento do pro-blema e direcionamentos para a tentativa de comprovação da hipótese sugerida. O obje-tivo é demonstrar a possibilidade de aumentar ou maximizar a produtividade e ganhar em economia na vazão de água se comparada a metodologia atual empregada na operação com a metodologia estudada e proposta no Capítulo 5.
3
Otimização
3.1
Introdução
Com o objetivo de entender melhor a realidade, geralmente descrevemos um fenômeno matematicamente. Um modelo matemático é a idealização de um fenômeno do mundo real e nunca uma representação completa e exata. Apesar das limitações, um bom modelo é capaz de prover resultados e conclusões valiosos.
No âmbito do presente trabalho faz-se necessário um estudo do comportamento do sistema, levantamento do seu modelo e seus parâmetros, simulação e validação. Em seguida procede-se o levantamento de critérios de otimização da distribuição da potência a ser gerada pelos conjuntos geradores e um estudo de técnicas de otimização que se mostrem adequadas aos critérios levantados.
Considerando o contexto do problema, as etapas de modelagem e otimização têm como objetivo obter e tratar informações relevantes para que, a partir da solução encontrada, o sistema de geração de energia se comporte da melhor maneira possível, utilizando o mínimo de recursos, energia e fornecendo o resultado esperado. Se trata portanto de uma situação em que se deve otimizar, e além disso, raciocinar sobre aspectos imprecisos e assim gerar e embasar decisões.
Em matemática, o termo otimização refere-se ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar uma função por meio da escolha sistemática dos valores de variáveis reais ou inteiras dentro de um conjunto viável.
Os mecanismos de otimização respondem a questão de determinar a "melhor solu-ção"de problemas abstratos para os quais é possível quantificar o grau de adequação à necessidade em causa.
De acordo com (TAKAHASHI, 2007), os sistemas de projeto assistido por computador baseados em otimização são definidos em termos de dois blocos funcionais básicos:
• O modelo do sistema, incluindo agora uma avaliação de uma figura de mérito asso-ciada a uma dada implementação do sistema. Esse bloco possui como entradas os parâmetros de projeto do sistema, e como saída aquela figura de mérito;
• Um mecanismo "otimizador", que possui como entrada a figura de mérito obtida do bloco anterior, e que produz como saída um conjunto de parâmetros de projeto (uma tentativa de solução).
Esses blocos funcionais devem interagir autonomamente, sem intervenção do usuário, produzindo ao final do processo uma solução "ótima", ou seja, um conjunto de parâmetros de projeto que minimiza (ou maximiza) a figura de mérito. Um diagrama esquemático é apresentado na figura 7.
Figura 7: Diagrama de Blocos de um sistema de Otimização (TAKAHASHI, 2007)
3.2
Modelagem de Otimização
Para a busca de uma solução ótima, uma abordagem que pode ser utilizada é a escalar. Tal abordagem visa minimizar uma função, Seja x ∈ <n 7→ < a função objetivo f (x) que
quantifica a adequação de cada solução x. O problema de otimização pode ser expresso como:
x∗ = arg min
ou seja, o mecanismo de otimização deve ser capaz de determinar o vetor x∗ que minimiza a função f(x).
Na maioria das vezes o problema de otimização não se retringe a minimizar o funcional. É necessário atender algumas restrições que correspondem a limitações do sistema. Para expressar tais restrições, definem-se regiões no espaço de parâmetros <n por meio de
desigualdades ou de igualdades:
gi ≤ 0 ∀i = 1,...,r (3.2)
hi = 0 ∀i = 1,...,p (3.3)
As soluções do problema de otimização serão procuradas apenas entre aquelas que atenderem a tais igualdades e desigualdades. O problema de determinação de soluções que atendam às restrições é o chamado problema de factibilidade.
O problema de otimização combinado com um problema de factibilidade é a situação mais frequentemente encontrada na prática.
A existência ou não de restrições define uma classificação do problema de otimização, ou seja, são pesquisados tanto problemas irrestritos quanto problemas com restrições.
Muito embora a formulação mono-objetivo represente uma gama enorme de proble-mas, frequentemente observa-se situações que possuem múltiplos objetivos. Estas situ-ações geralmente possuem várias soluções que ponderam sobre os objetivos individuais, uma análise de qual a melhor solução dado o contexto é capaz de gerar a melhor situação para o problema.
Objetivos conflitantes são comuns e a abordagem ponderada, que privilegia aspectos mais importantes em detrimento de outros objetivos individuais menos importantes, pode ser representada pelas equações:
x∗ = arg min x m X i=1 λifi(x) (3.4) sujeito a: gi ≤ 0 ∀1 = 1, ..., r (3.5)
hi = 0 ∀1 = 1, ..., p (3.6)
Figura 8: Representação das funções objetivo f1, f2 e das funções ponderadas 0.7 f1 +
0.3 f2 e 0.4 f1 + 0.6 f2 (TAKAHASHI, 2007)
A figura 8 apresenta duas funções f1 e f2 dadas por:
f 1(x) = 1 − e−(x−4)29
f 2(x) = 1 − e−(x+4)29
As soluções do problema variam de acordo com as diferentes ponderações, sendo uma solução única determinada para cada conjunto de pesos λ.
A abordagem multiobjetivo ou otimização vetorial permite uma análise de um con-junto de soluções eficientes ou concon-junto de soluções Pareto Ótimas. Uma análise posterior deve determinar qual a solução escolhida uma vez que geralmente um problema com mais de um objetivo não possui um resultado que minimize todos simultaneamente.
Algum agente externo ou mesmo um decisor pode ser projetado para a determinação de uma solução, dadas as opções do conjunto. Cada possibilidade é apresentada para um julgamento, as melhores alternativas são mantidas e uma decisão racional é definida baseada em critérios estabelecidos.
Para definir as melhores estratégias para a busca de soluções, o projetista necessita de um conhecimento do problema, com informações relevantes das principais características,
Figura 9: Conjunto de soluções Pareto Ótimas para um problema com duas funções objetivo
comportamentos de funções e requisitos do sistema.
3.3
Algoritmos de Otimização (
TAKAHASHI
, 2007)
Os algoritmos serão as implementações práticas dos métodos de otimização, cujo objetivo é determinar as soluções do problema. Esses algoritmos irão chamar sub-rotinas que executam a avaliação das funções objetivo e de restrições, devendo entretanto fazer a chamada dessas sub-rotinas o menor número de vezes que for possível.
Dentre os métodos que serão abordados, existem os que utilizam a estratégia de direções de busca. O otimizador deve descobrir qual o ponto mínimo de uma função objetivo utilizando amostras de valores da função. As estratégias de direções de busca, tipicamente, iniciam em algum ponto da superfície da função e, passo a passo, analisam as proximidades. Os algoritmos determinam uma aproximação numérica do gradiente, que indica em qual direção a função cresce mais rapidamente, e então "caminha"na direção contrária. O otimizador segue percorrendo as amostras de acordo com a estratégia até que algum critério de parada estabelecido decida por uma solução final.
As estratégias de exclusão de regiões começam em algum ponto aleatório, determi-nam uma curva de nível e o gradiente no ponto. Com base no gradiente, descobre-se a reta tangente à curva de nível e descarta a região do lado da reta para o qual o vetor gradiente aponta. O otimizador determina um novo ponto no interior da região válida e
Figura 10: Exemplo de um problema de otimização com dois objetivos
segue o processo até que algum critério determine uma solução. Estas estratégias são boas alternativas quando algoritmos de direção de busca não funcionam por dificuldades em de-terminação do gradiente em algum ponto, é o caso por exemplo da não-direrenciabilidade em alguns pontos da função objetivo.
A grande maioria das funções que são utilizadas na prática não são unimodais, ou seja, não possuem apenas um mínimo e sim várias bacias com mínimos locais(TAKAHASHI, 2007). O resultado é que os métodos de direção de busca e exclusão de regiões estão su-jeitos a dificuldades, podem ser atraídos e terminar a execução determinando soluções associadas com mínimos locais. Nas estratégias de populações, um grupo de otimizadores é espalhado pela superfície da função objetivo e, ao avaliarem o valor da função, trocam informações e o método seleciona então as melhores soluções. As demais soluções par-tem para uma nova busca e o processo segue até que o resultado seja suficienpar-temente satisfatório para o problema.
Figura 11: Pareto com soluções para o problema de otimização da figura 10
3.3.1
Algoritmo Busca Gradiente
A técnica mais básica dos métodos de direção de busca é o "Algoritmo Gradiente". Um ponto inicial, dentro da região factível, é determinado e o método evolui na medida em que calcula o gradiente da função, ou seja, ele busca a direção por onde a função decresce mais rapidamente.
A figura 12 demonstra os passos do algoritmo na busca pela solução. A variável dk
define a direção contrária ao gradiente, gk, no ponto xk. Supõe-se, no algoritmo, que a
função objetivo é diferenciável em todos seus pontos.
A figura 13 apresenta uma aplicação típica do método, note como a solução é encon-trada partindo de um ponto inicial e, ponto a ponto, "caminhando"na direção do mínimo da bacia de atração.
O resultado final é obtido de acordo com algum critério de parada, pode-se considerar a variação da função objetivo, das próprias variáveis ou do vetor gradiente. Uma margem de variação pode ser estabelecida, caso a função ou as variáveis comecem a estabilizar seus valores, ou seja, passem a não alterar além da margem, o algoritmo pode decidir pela
Figura 12: Algoritmo do Gradiente. Fonte: (TAKAHASHI, 2007)
Figura 13: Gráfico de aplicação do algoritmo Busca Gradiente
3.3.2
Algoritmo Correção de Posto 1
O algoritmo de Correção de Posto 1 faz parte da família dos métodos que utilizam o cálculo do gradiente juntamente com uma estimativa da Hessiana para determinação da solução ótima. A ideia explorada pelo algoritmo é a de que deve ser possível fazer a construção recursiva da estimativa da Hessiana, ou de sua inversa, durante o decorrer do processo de otimização, o que é particularmente útil na otimização de funções não-quadráticas em que a Hessiana não é constante.
A solução então é a correção de posto da função Hessiana. O algoritmo de otimização utiliza então a estrutura básica da direção de busca, inicia em um ponto x0 qualquer e
toma Hk como aproximação da inversa da Hessiana.
Figura 14: Detalhamento do Algoritmo Correção de Posto 1
3.3.3
Algoritmo Quasi-Newton
Os métodos Quasi-Newton seguem a mesma lógica do algoritmo de Correção de Posto 1, porém foram elaborados para resolver dificuldades de convergência como, por
exem-plo, garantir que a matriz Hk seja sempre definida positiva, e preferencialmente bem
condicionada.
Dois métodos eficientes foram desenvolvidos para atender aos requisitos menciona-dos, são os métodos DFP(Davidon-Fletcher-Powell) e BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) que levam os nomes de seus formuladores.
Correção proposta pelo método DFP:
CkDF P = vkv 0 k vk0rk − Hkrkr 0 kHk rk0Hkrk (3.7)
Correção proposta pelo método BFGS:
CkBF GS = (1 + r 0 kHkrk r0kvk )vkv 0 k v0krk − vkr 0 kHk+ Hkrkv0k rk0vk (3.8)
Os algoritmos obtidos a partir da família de Broyden, Quasi-Newton, são estruturados da seguinte forma, dados um x0 e um α:
A figura 16, apresenta a utilização do método sobre uma função objetivo com uma região de não diferenciabilidade. Note que ainda assim o método consegue evoluir para a solução em um número de passos relativamente pequeno, o algoritmo de busca utilizando o gradiente não poderia ser utilizado nesta situação. Uma alternativa para tal problema seria a utilização dos algoritmos de exclusão de semi-espaços como o elipsoidal que será apresentado a seguir.
3.3.4
Algoritmo Elipsoidal
Os métodos de exclusão de semi-espaços empregam propriedades dos subgradientes de funções, a idéia é dividir o espaço em dois semi-espaços e determinar em qual destes a função decresce. Admitem funções não diferenciáveis, e para tais funções são amplamente utilizados os métodos de plano de corte e elipsoidal.
Figura 17: Formulação básica que caracteriza a evolução dos métodos da categoria
O algoritmo elipsoidal, como o próprio nome indica, determina um elipse com centro em xk. O subgradiente avaliado em xk resulta no vetor gk que determina a nova elipse
cujo centro é o ponto xk+1.
A figura 19 demonstra a aplicação do método em uma função objetivo que possui regiões de não diferenciabilidade. Note que o método converge em poucos passos para um mínimo.
Figura 19: Gráfico de aplicação do algoritmo Elipsoidal
3.3.5
Algoritmo Genético
Os métodos de otimização por populações trabalham com a avaliação de mais de um ponto da função objetivo. A forma geral pode ser estruturada de acordo com a figura 20, sendo Pk, Φk e G o conjunto de pontos pertencentes ao espaço de objetivos, o vetor
de variáveis aleatórias com determinada distribuição de probabilidades e a função que determina a transição de uma população para a seguinte.
Os algoritmos genéticos possuem a grande vantagem de serem eficientes na otimização de funções multimodais, que apresentam várias bacias de atração e mínimos locais diferen-tes. Neste tipo de problema, a determinação de um mínimo global por parte de métodos de direção de busca e exclusão de semi-espaços fica muito comprometida dependendo do ponto inicial analisado.
Figura 20: Formato básico da família de algoritmos de populações (TAKAHASHI, 2007)
A figura 21 demonstra a aplicação do método em uma função com uma certa "rugo-sidade", observa-se a formação de várias bacias e a existência de um mínimo global.
Figura 21: Gráfico de aplicação do Algoritmo Genético
Os Algoritmos Genéticos, (AGs) são baseados na ideia de uma "evolução"de um con-junto de pontos, ou população, seguindo regras probabilísticas de combinações que levam à uma população seguinte, determinando assim uma sequência de gerações.
Tipicamente, os AGs apresentam três operações básicas que são o cruzamento, a sele-ção e a mutasele-ção. A operasele-ção de cruzamento combina dois ou mais pontos, ou indivíduos, gerando assim uma nova população. A operação de seleção utiliza a avaliação da função
