COMBINAÇÃO LINEAR.
VETORES LINEARMENTE DEPENDENTES; LINEARMENTE INDEPENDENTES.
VETORES GERADORES. EXERCÍCIOS.
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de "novos vetores" a partir de um conjunto pré fixado de vetores desse espaço. Por
exemplo, ao fixarmos em R3 o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde a R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da reta que contém u é "criado" por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u "gera" a reta que o contém.
Revisando e, ao mesmo tempo, ilustrando um pouco mais a definição que segue, sabemos que todo vetor v = (a, b, c) em R3 pode ser
escrito na forma
v = ai + bj + ck
onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), ou seja, v é uma combinação linear dos vetores i, j, k. Esse conceito, como veremos a seguir, não se restringe ao R2 ou R3.
1.3.1 Definição.
Sejam v1, v2, ..., vn vetores quaisquer de um espaço vetorial V e a1, a2, ..., an números
reais. Então todo vetor v V da forma
v = a1v1 + a2v2 + ... + an vn
é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn.
1.3.2 Exemplo. Em R3, o vetor v = (– 7, 7, 7) é uma combinação linear dos vetores u
1 =
(– 1, 2, 4) e u2 = (5, – 3, 1), pois:
(– 7, 7, 7) = 2(– 1, 2, 4) – 1(5, – 3, 1).
de forma que o vetor
é uma combinação linear dos vetores do conjunto
e também de .
Esse exemplo mostra que um mesmo vetor pode ser escrito como combinação linear de diferentes conjuntos de vetores.
1.3.4 Exemplo. Em Pn, qualquer polinômio pode ser escrito como combinação linear
dos monômios 1, x, x2, ..., xn. Esclarecendo e particularizando: em P3, o polinômio p(x) = – 3 + 4x2 é uma combinação de 1, x, x2, x3, pois:
– 3 + 4x2 = – 3.1 + 0.x + 4.x2 + 0.x3
Observamos aqui que qualquer polinômio p(x) = a + bx + cx2 + dx3 em P3 é obtido através de uma combinação linear dos vetores do conjunto {1, x, x2, x3} pois:
a + bx + cx2 + dx3 = a.1 + b.x + c.x2 + d.x3
Já o polinômio q(x) = 2 + 3x + x2 + 2x3 + 4x4 não é uma combinação linear dos vetores 1, x, x2, x3. Dizemos, neste caso, que o polinômio q(x) não pertence ao
subespaço gerado pelos vetores 1, x, x2 e x3. Isto nos leva à seguinte definição.
1.3.5 Definição.
Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} de um espaço vetorial V é dito gerador de V se todo vetor em V pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para todo v V, existem escalares a1, a2, ..., an, tais que
v = a1v1 + a2v2 + .. + anvn
Usa-se a notação V = [v1, v2, ..., vn], que se lê "V é gerado pelos vetores v1,
Uma vez que todo subespaço de um espaço vetorial V é também um espaço vetorial, a definição acima se extende a todos os subespaços vetoriais de V.
O conjunto de vetores gerados por v1, v2, ...,vn, isto é, W = {v V / v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn} é um subespaço vetorial de V. (A prova é feita em 1.2.6).
1.3.6 Exemplo. Vimos, no item 1.3.4, que o espaço vetorial P3 é gerado pelos vetores 1, x, x2, x3, pois
P3 = {p(x) / p(x) = a.1 + b.x + c.x2 + d.x3}.
Podemos, então, escrever P3 da seguinte forma: P3 = [1, x, x2, x3].
1.3.7 Exemplo. Consideremos em R2 o vetor v = (1, 1) e determinemos o subespaço W gerado por v, ou seja,
W = [v] = {u R2 / u = a.v}
Facilmente se percebe que W R2 pois tomando t = (1, 2) vemos que t a.v,
a R, ou seja, t W. Voltando a definição de W, temos: W = {(x, y) R2 / (x, y) = a(1, 1)}
de forma que , isto é, y = x.
Assim, W = {(x, y) R2 / y = x} ou W = {(x, x) / x R }. Geometricamente, W é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares.
Observe que se tomarmos w = (2, 2), o subespaço gerado por w é o mesmo que o gerado por v, e que pode ser gerado por ambos, isto é,
W = [v] = [w] = [v, w]
Isto vale porque w = 2.v, ou seja, v e w estão sobre a mesma reta.
Na verdade, se tivermos n vetores v1, v2, ..., vn, todos não nulos e sobre a mesma reta suporte, podemos dizer que a reta é gerada por cada um dos vetores ou por "k" deles, onde k pode variar de 1 a n.
1.3.8 Exemplo. Para encontrarmos um conjunto de geradores do R2 e do R3, basta lembrar que:
a) todo vetor v = (x, y) R2 pode ser escrito na forma v = xi + yj,
onde i = (1, 0) e j = (0, 1). Assim, R2 = [i, j].
b) todo vetor v = (x, y, z) R3 pode ser escrito na forma v = xi + yj + zk
de forma que R3 = [i, j, k].
1.3.9 Exemplo. Seja W = [(1, 1, 2), (2, – 1, 1)]. Vimos, seguindo a definição 1.3.5, que W é um subespaço vetorial do R3. De posse do que dispomos até o momento podemos determinar W das seguintes formas:
a) Aplicando a definição e resolvendo o sistema resultante. W = {(x, y, z) R3 / (x, y, z) = a(1, 1, 2) + b(2, – 1, 1)} Então
.
O sistema tem solução somente se – x – y + z = 0 ou x + y – z = 0. Assim: W = {(x, y, z) R3 / x + y – z = 0}
ou seja, W é o plano definido pela equação x + y – z = 0. b) Utilizando 1.2.5:
1o) W não é a origem pois quem gera a origem é o vetor nulo.
2o) W não é uma reta pois os vetores que geram W não são múltiplos, isto é, (1, 1, 2)
a(2, – 1, 1) para todo a R.
3o) Como os dois vetores não são múltiplos, eles determinam um plano. Assim, qualquer outro vetor (x, y, z) do plano deve satisfazer:
Logo, o subespaço W gerado pelos vetores (1, 1, 2) e (2, – 1, 1) é o plano que passa pela origem definido pela equação x + y – z = 0, ou seja, W = {(x, y, z) R3 / x +
y – z = 0}.
1.3.10 Exemplo. Para gerar o espaço M22 = são necessários, no mínimo, 4 vetores, pois os vetores de M22 são formados por 4 elementos (aij) de valores
quaisquer. Uma maneira simples de encontrar geradores de um espaço é buscar uma combinação linear de vetores que resulte na forma genérica apresentada.
Por exemplo:
ou
etc...
Assim podemos dizer que
M22 = ou
M22 =
Observemos que existem infinitas possibilidades para a combinação linear acima. Além disso, é também verdadeiro afirmar que:
M22 =
pois, uma vez identificado um conjunto mínimo de geradores de um espaço, podemos a ele acrescentar quantos vetores quisermos, desde que sejam do mesmo espaço.
Veja que o vetor é uma combinação linear dos outros vetores pois
,
de forma que ele é "criado" por estes. Essa observação foi também explorada no exemplo do item 1.3.7.
No estudo da Álgebra Linear, muitos conceitos estão estreitamente ligados à obtenção de um conjunto com um número mínimo de vetores que geram um espaço vetorial V. Na verdade, não é uma tarefa muito difícil encontrar um conjunto de geradores de um espaço que satisfaça essa condição. No entanto, quando é solicitado mais de um conjunto ou quando é necessário que identifiquemos, numa coleção de vetores, quais e quantos são suficientes e necessários para gerar um determinado espaço, o trabalho (braçal) pode se tornar cansativo e complicado. Se, por outro lado,
conhecemos como os vetores se relacionam entre si, a tarefa torna-se mais simples e a compreensão da teoria mais rica.
Com este propósito, seguimos com os conceitos de dependência e independência linear de vetores.
Consideremos, apenas para introduzir os conceitos citados, V = R2 e os vetores u = (1, 1) e v = (2, 2). Como já visto no exemplo 1.3.7, o subespaço W gerado por u ou v ou ambos é
W = {(x, y) R2 / y = x} que representa a reta bissetriz dos quadrantes ímpares.
e v = 2u v – 2u = 0.
Tomemos agora os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1). Sabemos, por 1.3.8, que eles geram o R2 e que não são múltiplos. Isto é,
bi aj para todo a, b R*, de forma que
bi – aj 0 ou
bi + cj 0 se b 0 e c 0.
No primeiro caso, v – 2u = 0, é possível obter o vetor nulo através de uma combinação linear, com escalares não todos nulos, dos vetores v e u. No segundo, bi +
cj = 0 somente se b = c = 0. Dizemos, então, que os vetores v e u são linearmente
dependentes e que os vetores i e j são linearmente independentes, significando que u e v estão relacionados entre si através de uma combinação linear, e que i e j não se
relacionam por uma combinação linear.
Consideremos agora V = R3 e os vetores u = (1, 2, 3), v = (– 4, 1, 5) e w = (– 5, 8, 19). Procedendo como no exemplo 1.3.9 e conhecendo os subespaços de R3, temos que estes vetores geram um plano que passa pela origem ou o próprio R3 (pense no porquê disso). Tomando apenas 2 dos 3 vetores, por exemplo, u e v, obtemos o subespaço que estes dois geram:
ou seja, o subespaço gerado por u e v é o plano de equação 7x – 17y + 9z = 0. Substituindo as componentes de w na equação obtida temos:
7(– 5) – 17(8) + 9(19) = 0, ou seja, w também pertence a este plano. Isto significa que w é "criado" por u e v, ou melhor, existem escalares a e b tais que
Ao resolvermos o sistema obtemos:
w = 3u + 2v, de forma que
w – 3u – 2v = 0.
Desta maneira, é possível obter o vetor nulo através de uma combinação linear dos vetores u, v e w sem que tenhamos que multiplicá-los todos por zero. De acordo com o anteriormente exposto, dizemos que os vetores u, v e w são linearmente dependentes.
Generalizando temos a seguinte definição:
1.3.11 Definição.
Sejam v1, v2, ..., vn, vetores de um espaço vetorial V. Diz-se que o conjunto {v1, v2, ...,
vn} é linearmente independente (l.i.), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são l.i., se a equação
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = ... = an = 0. No caso em que a igualdade se verifique para algum ai
0 diz-se que {v1, v2, ..., vn} é linearmente dependente (l.d.), ou que os vetores v1,
v2, ..., vn são l.d.
1.3.12 Propriedades da dependência e independência linear
Propriedade 1. Um único vetor v é l.d. se e somente se v = 0. Prova.
De fato, .v = 0, 0.
Propriedade 2. Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é l.d. se e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros.
Prova.
( ) Sejam v1, v2, ..., vn l.d. e consideremos a equação
Segundo a definição dada, ao menos um dos coeficientes é diferente de zero. Suponhamos aj 0 para algum j.
Então
vj =
e portanto
ou seja, vj é uma combinação linear dos outros (n – 1) vetores.
( ) Consideremos, para algum j, que vj é uma combinação linear dos outros (n
– 1) vetores do conjunto {v1, ..., vj, ..., vn}. Então
vj = b1v1 + ... + bj-1vj-1 + bj+1 vj+1 + ... + bnvn. Daí
b1v1 + ... – 1vj + ... + bnvn = 0 com bj = – 1 0 e, {v1, v2, ..., vn} é l.d.
Observações. Decorre dessa propriedade o que segue:
Dois vetores u e v são l.d. se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Por exemplo, os vetores (– 1, 1, 2) e (2, – 2, 4) são l.d. pois
(2, – 2, – 4) = – 2(– 1, 1, 2).
Três vetores em R3 são l.d. se e somente se são coplanares .
Prova.
( ) Sejam u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3) vetores l.d. Então, pela propriedade 2, podemos escrever
w = au + bv,
ou seja, w = (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2). Daí, utilizando propriedades de determinante, temos:
Ou seja,
(u, v, w) =
o que prova que os vetores u, v e w são coplanares (propriedade de produto misto). ( ) u, v e w são coplanares (hipótese), então (u, v, w) = 0.
Tomemos a equação
a1u + a2v + a3w = 0. Devemos provar que ai 0 para algum i = 1, 2, 3.
Da equação resulta o sistema homogêneo que tem a representação matricial
Observemos que a matriz A dos coeficientes é tal que det (A) = (u, v, w)t = 0
Assim o sistema é compatível e indeterminado, o que significa que tem infinitas soluções. Portanto os
escala-res ai não são obrigatoriamente todos nulos e os vetores u, v e w são l.d.
Para verificar a dependência ou independência linear de 3 vetores em R3 podemos utilizar o enunciado anterior na forma:
Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 3), v = (– 2, 1 ,– 3) e w = (1, 0, 1) são l.d. pois
Também podemos pensar da seguinte forma: u e v são colineares (pois são múltiplos). Então, não importa como seja definido w, pela propriedade 2 sendo um dos vetores combinação linear dos outros, no caso, u = – 1v + 0w, temos que o conjunto {u, v, w} é l.d.
Consideremos a matriz K, cujas linhas são formadas pelos vetores v1, v2, ..., vn, ou seja,
,
e suponhamos que vj = a1v1 + a2v2 + ... + aj-1vj-1 + aj+1vj+1 + ... + anvn.
Então pela propriedade 2, os n vetores dados são l.d. Vamos ver, neste caso, o que acontece com as linhas da matriz K.
Observe que a linha ocupada pelo vetor vj foi toda anulada.
Isto aconteceu porque a linha j da matriz K é uma combinação linear das outras linhas. Assim, para mostrarmos que um conjunto é l.d. basta anularmos, através de operações elementares, ao menos uma linha de K. Ainda, o número de vetores l.i. corresponde ao número de linhas que não se anulam em K.
Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 1, 3), v = (1, 0, – 1, 2), w = (1, 3, – 1, 1) e t = (–
1, 2, 1, 0) são l.i. pois nenhuma linha de K pode ser anulada:
Nota. Não é necessário realizar operações elementares sobres as linhas de K até
chegar (ou tentar chegar) na matriz identidade pois isto é válido somente para matrizes quadradas. As operações podem ser suspensas quando for possível garantir que
nenhuma linha se anula ou que mais nenhuma se anula. No exemplo da observação , a terceira matriz já garante isso pois os elementos k11, k22, k34 e k43 não podem ser
anulados.
Exemplo. Retomemos o enunciado do exemplo 1.3.9. Podemos utilizar a última
observação para determinar o plano W gerado pelos vetores (1, 1, 2) e (2, – 1, 1). Seja u = (x, y, z) um vetor qualquer do plano W. Então u é uma combinação linear dos vetores
dados, de forma que a última linha da matriz , após serem aplicadas operações elementares convenientes, deve se anular. Vejamos como fazer isto:
Aqui, – x – y + z = 0, ou seja,
W = {(x, y, z) R3 / x + y – z = 0}.
Propriedade 3. Um conjunto de n vetores em Rm é sempre l.d. se n > m. Prova.
Sejam v1, v2, ..., vn vetores em Rm e consideremos escalares a1, a2, ...,an, tal que a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 (A)
Tomemos vi = (x1i, x2i, ..., xmi), i = 1, 2, ..., n. A equação anterior resulta no sistema linear
homogêneo
que tem m equações e n incógnitas. Se n > m, temos um sistema compatível e indeterminado, ou seja, ele admite infinitas soluções. Assim, a equação (A) é válida com ai 0 para algum i = 1, 2, ..., n, o que prova que os vetores v1, v2, ..., vn são l.d.
Exemplo. Quatro vetores em R3 são l.d. Tomemos u = (2, – 3, 4), v = (4, 7, – 6), w = (18, – 11, 4) e t = (2, – 7, 3). A equação
a.u + b.v + c.w + d.t = 0
origina o sistema
que é compatível e indeterminado. Assim os escalares a, b, c e d não são todos nulos (obrigatoriamente) e os vetores u, v, w e t são l.d. (refaça este exemplo usando a matriz K da observação acima).
Propriedade 4. Um conjunto de vetores l.i. em Rn contém, no máximo, n
vetores.
Essa propriedade é uma conseqüência imediata da propriedade anterior (Propriedade 3).
Exemplo. Consideremos aqui os vetores do exemplo anterior.
Tomando os conjuntos unitários {u}, {v}, {w} e {t}, todos são l.i. (Propriedade 1).
Tomando o conjunto {u, v}, que contém 2 vetores, ele é l.i. pois u e v não são múltiplos.
O conjunto {u, v, t}, de 3 vetores, é tal que
ou seja, é l.i.
O conjunto {u, v, w, t}, como já vimos, é l.d.
Propriedade 5. Qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é l.d. Prova.
Seja = {v1, v2, ..., vk, 0} um conjunto de vetores. Aqui não interessa se os k primeiros vetores são l.i. ou l.d. Independentemente disso a equação
a1v1 + a2v2 + ... + akvk + .0 = 0
é verdadeira para a1 = a2 = ... = ak = 0 e um número real qualquer. Assim, pela
definição 3, o conjunto é l.d.
Propriedade 6. Seja A uma matriz quadrada e o conjunto formado pelos vetores que compõem as linhas (ou colunas) de A. é l.i. se, e somente se, det(A) 0.
Prova.
é l.i
Ax = 0 tem apenas a solução trivial x = 0
det (A) = 0.
Observação. Na prática a propriedade acima é utilizada para o caso de três vetores em
R3.
Propriedade 7. Qualquer conjunto de n vetores l.i. em Rn gera o Rn. Prova.
Seja = { v1, v2, ..., vn} um conjunto de n vetores l.i. em Rn, onde vi = (x1i, x2i, ...,
xni). Para mostrar que gera o Rn devemos provar que todo vetor v = ( y1, y2 , ..., y n) de
Rn se escreve como combinação linear dos vetores de . Isto é, que existem escalares a1, a2, .., an tais que
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. Substituindo os vetores nessa equação temos:
(y1, y2, ..., yn) = a1( x11, x21, ..., xn1) + ... + an( x1n, x2n, ..., xnn),
que resulta no sistema
A representação matricial do sistema é Ax = b, onde
Observemos que as colunas de A são formadas pelos vetores de que, por hipótese, são l.i. Então pela Propriedade 6, det(A) 0. Assim, o sistema Ax = b é
compatível e determinado, isto é, tem uma única solução . Isto mostra que v é uma combinação linear dos vetores de .
Observação. Além de provarmos a propriedade também mostramos que os escalares a1,
a2, ..., an são únicos. Isto será útil futuramente.
1.3.13 Exemplo. Três vetores l.i em R3 geram o R3. Sejam v
1 = (2, – 1, 4), v2 = (1, 0, 2)
de forma que = {v1, v2, v3} é um conjunto l.i. Assim, gera o R3, ou seja, todo vetor v
= (x, y, z) R3 se escreve (de forma única) como combinação linear dos vetores de (mostre isso como exercício).
Convém lembrar o que isto significa: que o R3 é "criado" por estes três vetores. Na verdade, quaisquer três vetores l.i. do R3 "criam" o R3. Isto é o que afirma a
Propriedade 7.
1.3.14 Exemplo. O conjunto = {( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0), ( 1, 2, – 1), ( 3, 2, 1)} gera o R3 mas não é l.i., pois 4 vetores em R3 são l.d. (Propriedade 3). No entanto, se três vetores de são l.i. então estes geram o R3 (Propriedade 7).
Podemos utilizar o procedimento dado na observação para obtermos de os vetores l.i. que ali estão.
.
Observemos que os elementos k11, k23 e k32 não podem ser zerados, de forma que as linhas 1, 2 e 3 não se anulam. Estas linhas correspondem, respectivamente, aos vetores ( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0) e ( 1, 2, – 1) de . Assim
1 = {( 1, 3, – 1), ( 2, 1, 0), ( 1, 2, – 1)}
é um conjunto l.i. de 3 vetores que geram o R3. Podemos tomar os vetores resultantes, de modo que
2 = {(1, 3, – 1), ( 0, 0, 2), ( 0, – 1, 0)} também é um conjunto l.i. de 3 vetores que geram o R3.
1.3.15 Exemplo. Quando o espaço em questão não é o Rn, como no caso das matrizes e
de polinômios, para verificar a dependência linear (ou independência) de vetores nestes espaços, utilizamos dos recursos exibidos nos itens seguintes:
a) Sejam vetores de M23.
1a Possibilidade: (definição)
a1A1 + a2A2 + a3A3 = 0
E procuramos os valores de a1, a2 e a3:
é equivalente ao sistema
cuja única solução é a1 = a2 = a3 = 0 (façam como exercício). Assim o conjunto {A1, A2, A3} é l.i.
2a Possibilidade: Seja
a matriz cujas linhas são formadas por A1, A2 e A3. Tentemos, através de operações
elementares sobre as linhas de K, zerar uma linha da matriz:
. Observemos que nenhuma linha pode ser zerada. Assim {A1, A2, A3} é l.i.
Ainda, ao colocarmos os vetores nas linhas de K estamos relacionando cada vetor de M23 com sêxtuplas ordenadas do R6. Sabemos que 6 vetores l.i. do R6 geram o R6, de forma que os 3 vetores, se considerados como sêxtuplas, (1, 0, 2, 3, 1, – 1),
(– 1, 1, 4, 2, 3, 0), (– 1, 0, 1, 1, 2, 1) não geram o R6. Da mesma forma podemos dizer que A1, A2 e A3 não geram M23 e que são necessários 6 vetores l.i. de M23 para gerar M23.
b) Podemos representar qualquer polinômio p(x) Pn por uma (n + 1)-upla de Rn+1 da
seguinte forma:
p(x) = a0 + a1x + ... + anxn p(x) = (a0, a1, ..., an).
Assim, os polinômios
p1(x) = 2 + 3x
p3(x) = 3x2 + 2x3
p4(x) = 3 – 4x3
podem ser representados pelas quádruplas ordenadas v1 = (2, 3, 0, 0)
v2 = (– 1, 2, 0, – 1)
v3 = (0, 0, 3, 2)
v4 = (3, 0, 0, – 4).
Para verificar se os polinômios são l.i. ou l.d. trabalhamos em R4:
Observemos que os elementos da diagonal principal não podem ser zerados garantindo que nenhuma linha de K é zerada. Assim, os polinômios p1(x), p2(x), p3(x) e
p4(x) são l.i. e, portanto, geram P3. EXERCÍCIOS
1) O primeiro fato importante a destacar sobre combinações lineares é que elas são resultados das operações com vetores, definidas no espaço vetorial: adição e multiplicação por um escalar. Vamos observar esse fato.
1.1) Considere os vetores v1 = (1, 3), v2 = (0, 0), v3 = (– 1, 2) e v4 = (1, 0).
1.1.1) Obtenha o vetor w1 = 3v1 – 2v4;
1.1.2) O vetor w2 = (– 3, – 4) pode ser obtido a partir dos vetores v1, e v3? Se sim,
escreva a correspondente combinação linear, se não, diga por que;
1.1.3) Obtenha o mesmo vetor w2 como combinação linear dos vetores v1 e v4;
1.1.4) O vetor w2 pode também ser obtido como combinação linear de v1 e v2? Por quê?
1.1.5) E se usamos os vetores v1, v2 e v3, podemos obter w2?
1.1.6) O vetor v2, vetor nulo, traz alguma colaboração para a formação de novos
vetores? Justifique.
1.1.7) Que combinação linear de vetores não nulos, resulta no vetor nulo? Dê um exemplo usando os vetores dados em 1.1.
2) Outra questão, muito importante, está relacionada com combinações lineares. Analisemos a questão 1.1.1. Quando escrevemos a combinação linear w1 = 3v1 – 2v4
estabelecemos uma relação de dependência linear entre os vetores w1, v1 e v4, que pode
ser expressa de outras formas.
2.1) Escreva v1 como combinação linear de w1 e v4;
2.2) Escreva v4 como combinação linear de w1 e v1;
2.3) Por isso, dizemos que os vetores w1, v1 e v4 são ld, linearmente dependentes , ou
que o conjunto {w1, v1, v4} é ld;
2.4) Complete a frase que segue, usando "essa" idéia de dependência linear. Um conjunto de vetores {u1, u2, ..., un} é ld quando ... um de seus vetores pode
ser escrito como ... dos outros;
2.5) Observando qualquer uma das igualdades acima, que estabelece a dependência linear entre os vetores, podemos ver que é possível dar a elas uma forma de "equação geral", escrevendo uma combinação linear, de coeficientes não nulos, que resulta no vetor nulo. Complete, para o caso dos vetores que estamos analisando:
... w1 + ... v1 + ... v4 = 0
2.6) Agora, usando "essa" idéia de dependência linear, vamos completar a seguinte frase:
Um conjunto de vetores {u1, u2, ..., un} é ld quando é possível escrever
a ...
a1u1 + a2u2 + ... + anun = ... sendo os escalares a1, a2, ..., an ... todos nulos. Quando
um conjunto de vetores não é ld, dizemos que é linearmente ..., e escrevemos simplesmente li.
Vamos continuar um pouco mais, tratando de vetores do R2, onde nossas idéias podem ter uma representação concreta simples, o que nos auxilia na construção de conceitos, e que podem ser estendidas a outros espaços.
2.7) No caso de um só vetor:
2.7.1) Para v = 0, o vetor w que resulta da combinação linear de v é do tipo w = a(0, 0). Escolha dois valores para o escalar a e veja no que resulta w.
Então, o que pode ser gerado com o vetor nulo?
Além disso, que valores pode ter o escalar b em b(0, 0) = (0, 0)? Nesse caso o vetor nulo é li ou ld?
2.7.2) Escolha um só vetor u = (x, y) 0, alguns valores para a e represente, no mesmo sistema de eixos cartesianos, o vetor u e os vetores resultantes au.
O que pode ser gerado por um só vetor não nulo? E que valor tem a em au = 0?
2.8) Para dois vetores:
2.8.1) Observe, novamente a representação dos vetores em 2.7.2. Se w = av, para algum valor de a, w e v são múltiplos escalares (ou paralelos ou colineares) e portanto são ld. Correto? Justifique.
2.8.2) Portanto, quando dois vetores não são paralelos (um não é múltiplo escalar do outro) eles são...
2.8.3) Considere os vetores r = (1, 2) e s = (– 2, 1). Eles são li ou ld? Por quê? Represente, no mesmo plano cartesianos, os vetores:
r, s, v1 = 2r, v2 = – s, v3 = r – 2s, v4 = – 3r + s.
No que resulta o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de r e s? Complete: ... = {ar + bs, a, b R}.
3) Pelo que vimos até aqui, podemos concluir que para gerar o subespaço nulo precisamos do vetor ... e o vetor nulo é ...(li/ld);
Para gerar uma reta precisamos de ... vetor ...Esse é um dos motivos pelo qual dizemos que a reta tem dimensão 1, outro é que o vetor genérico de uma reta tem uma só variável livre, outro ainda é que nas retas, que são subespaços, o número máximo de vetores li é 1. Procure observar isso.Veremos logo adiante que qualquer base de subespaços, que são retas, possuem 1 só vetor.
4) Da mesma forma, para gerar um plano precisamos de ... vetores ... Um plano tem dimensão 2, o vetor genérico de plano tem ... variáveis livres e o número máximo de vetores li que podemos obter num plano é 2. Qualquer base de um plano terá exatamente dois vetores.
5) Para cada caso abaixo, escreva se os vetores são li ou ld. Para os casos de dois ou mais vetores, quando sua resposta for ld, justifique escrevendo um dos vetores como combinação linear dos outros.
5.1) u = (0, 0, 0); 5.2) v = (1, – 2, 0);
5.3) w1 = (2, 3), w2 = (1, 4) e w3 = (0, 1); 5.4) p1 = (2, 4, 1), p2 = (– 1, 3, 6); 5.5) q1 = (1, 0, – 1), q2 = (– ½ , 0, ½).
6) Para cada um dos itens, determine se o vetor u pertence ou não a [u1 = (1, – 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 0, 1), u3 = (0, 1, 2, 1)], subespaço gerado por u1, u2 e u3.
6.1) u = (– 1, 4, 2, 2); 6.2) u = (3, – 1, – 2, 0).
7) é uma combinação linear de ?
8) Verifique se o polinômio p(t) = 2t2 – t – 1 pode ser gerado pelos polinômios: p1(t) = t2 – 2t, p2(t) = – t2 + 1 e p3(t) = t2 – 2t + 1.
9) Para verificar se 3 ou mais vetores são li ou ld podemos usar a definição ou alguma das propriedades dadas.
9.1) Verifique em cada item: se os vetores geram R2 e se são li ou ld. 9.1.1) (0, 0), (1, 1), (– 2, 2);
9.1.2) (1, 3), (1, 1), (– 1, 2); 9.1.3) (1, 3), (2, 6);
9.1.4) (1, 3), (– 1, 1).
9.2) Verifique em cada item: se os vetores geram R3 e se são li ou ld. 9.2.1) (1, – 1, 2), (0, 1, – 1);
9.2.2) (1, – 1, 2), (0, 1, – 1), (1, 1, 0);
9.2.3) (1, 2, – 1), (6, 3, 0), (4, – 1, 2), (2, – 5, 4); 9.2.4) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1);
10) É possível escrever uma das matrizes de como combinação linear das demais?
11) Para que valores de c os vetores (1, 0, 1), (2, 1, 2) e ( – 1, – 1, c) são ld?
12) Para que valores de c os vetores t + 3, 2t + c2 + 2 em P 1 são li?
13) Para que valores de c o vetor (c2, c, 1) está em [(1, 1, 1), (1, 2, 3),(0, 1, 2)]? E.14 Escreva w como combinação linear de v1, v2 e v3:
a) v1 = (1, 1); v2 = (– 1, 1); v3 = (3, 0) e w = (1, – 4)
b) v1 = (1, 2); v2 = (– 2, 3); v3 = (5, 4) e w = (– 4, 1)
c) v1 = (2, 1, –5); v2 = (– 1, 3, 0); v3 = (2, – 6, 4) e w = (9, – 6, –13)
E.15 Escreva cada um dos vetores abaixo como combinação linear de
a) A = b) B =
E.16 Seja o subespaço W de M32 gerado por O vetor
pertence a W ?
E.17 Mostre que os polinômios 1 – t3, (1 – t)2, 1 – t, e 1 geram o espaço dos polinômios de grau 3.
S = [(1, 2, – 2, 4), (1, 1, – 1, 2), (1, 4, – 4, 8)]. a) o vetor (2/3, 1, – 1, 2) S ?
b) o vetor (0, 0, 1, 1) S?
E.19 Verifique se cada conjunto de vetores gera o espaço vetorial V. Se não gera V, identifique o subespaço S gerado:
a) (1, 2) e (3, 4), V = R2; b) (1, 1), (2, 1) e (2, 2), V = R2; c) (1, 1), (2, 2) e (5, 5), V = R2; d) (1, 2, 3), (– 1, 2, 3) e (5, 2, 3), V = R3; e) (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1); V = R3; f) (2, 0, 1), (3, 1, 2), (1, 1, 1) e (7, 3, 5), V = R3; E.20 Seja u = (1, 2, 3).
a) Seja H = {v R3; u . v = 0 }. Mostre que H é um subespaçco de R3. b) Ache dois vetores l.i. em H. Chame-os w1 e w2.
c) Calcule w = w1 w2.
d) Mostre que u e w são l.d.
e) Dê uma interpretação geométrica de (a) e (c) e explique por que (d) é verdadeiro.
Observação. 'u . v' denota o produto escalar de u e v.
'w1 w2' denota o produto vetorial de w1 e w2.
E.21 Determine se os seguintes conjuntos de vetores são li ou ld. Para os que forem l.d, escreva um vetor como combinação linear dos outros:
a) {(1, 2), (– 1, – 3)}; em R2
c) {(2, – 1, 4), (4, – 2, 8)}; em R3 d) {(4, 2, 1), (2, 6, – 5), (1, – 2, 3)}; em R3 e) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}; em R3 f) {(1, – 2, 1, 1), (3, 0, 2, – 2), (0, 4, – 1, – 1), (5, 0, 3, – 1)}; em R4 g) {1 – t, 1 + t, t2}; em P2 h) {t, t2 – t, t3 – t}; em P3 i) {2t, t3 – 3, 1 + t – 4t3, t2 + 18t – 9}; em P3 j) {3t + 1, 3t2 + 1, 2t2 + t + 1}; em P3 l) ; em M22. m) ; em M22.
E.22 Para que valores de os vetores (1, 2, 3), (2, – 1, 4) e (3, , 4) são l.d. ?
E.23 Encontre um conjunto de vetores que geram o espaço vetorial solução de Ax = 0, onde . GABARITO A PARTIR DO E 14 RE.14 a) w = av1 + bv2 + cv3 (1, – 4) = a(1, 1) + b(– 1, 1) + c(3, 0)
b) Proceda da mesma forma que o item (a). Uma resposta:
De (2) temos:
a = – 4 – b (3)
Substituindo (3) em (1): – 4 – b – b + 3c = 1 3c = 5 + 2b
Tomando b = 2, por exemplo, temos:
a = – 6 e c = 3 Assim: w = – 6v1 + 2v2 + 3v3. w = – 8v1 + 3v2 + 2v3 c) (9, – 6, – 13) = a(2, 1, – 5) + b(– 1, 3, 0) + c(2, – 6, 4) w = 3v1 – 2v2 + ½ v3.
RE.15 a) A = aA1 + bA2 + cA3
A = 2A1 – A2 + A3
b)
A = – A1 + A2 + ½A3.
Assim, o vetor dado não pode ser escrito como combinação linear de
e portanto não pertence a W.
RE.17 p1(t) = 1 – t3
p2(t) = (1 – t)2 = 1 – 2t + t2
p3(t) = 1 – t
p4(t) = 1
Seja p(t) = a + bt + ct2 + dt3, o vetor genérico.
.
Observe que a última linha (zerada) é combinação linear das quatro primeiras, ou seja, o vetor genérico é combinação linear de p1(t), p2(t), p3(t) e p4(t).
Os polinômios dados geram o espaço dos polinômios de grau 3.
RE.18 Seja (x, y, z, t) o vetor genérico de S.
. S = {(x, y, – y, 2y); x, y R}
a) (2/3, 1, – 1, 2) S pois x = 2/3 e y = 1 z = – y = – 1 e t = 2y = 2. b) (0, 0, 1, 1) S pois x = 0 e y = 0 z = – y = 0 e t = 2y = 0.
RE.19
a) Gera o R2.
b) Gera o R2.
c) y – x = 0 x = y.
Não gera o R2.
Mas gera o subespaço S = {(x, x); x R}, que
repre-senta a reta bissetriz dos quadrantes pares.
2z – 3y = 0 .
Não gera o R3, porém, gera S = {(x, y, 3y/2);
x, y R}
e) Gera o R3.
Não gera o R3, porém gera o plano x + y – 2z = 0, ou
S = {(x, y, z) R3; x + y – 2z = 0}.
RE.20 Reveja alguns conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial (interpretação geométrica de produto escalar u.v e produto vetorial
w1 w2) e siga os passos do exercício.
RE.21
a) LI b) LD c) LD d) LD e) LD f) LD g) LI h) LI i) LI j) LD l) LD m) LI.
RE.23
x = (– z, – z, z, 0) ou z (– 1, – 1, 1, 0).
