Aula6 parte2

Natureza da Informação

Profª Ana Carolina Lorena

Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC

Outubro 2010

Códigos retangulares



Provêm

correção de um único erro

e

detecção de erro duplo

simultaneamente



Supor ter que proteger informação de um byte

Oito bits D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7



Arranjá-los em uma tabela retangular e adicionar bits de

paridade para cada uma das linhas e colunas:

D0 D1 D2 D3 PL0 D4 D5 D6 D7 PL1 PC0 PC1 PC2 PC3 P

Há outros códigos geométricos também, baseados em arranjar os bits em triângulos, cubos, pirâmides, cunhas ou estruturas de maior dimensão

Códigos retangulares



Cada bit de paridade de linha e coluna é ajustado

tal que paridade total na linha ou coluna é par (ou

ímpar, dependendo do sistema adotado)



PL0, PL1, PC0, PC1, PC2, PC3



Paridade total P é ajustada tal que coluna de bits de

paridade mais à direita também tenha número par

de 1s



Já garante que a linha mais abaixo também tem

Códigos retangulares



No ex., os 15 bits são então enviados pelo canal



Decodificador de canal os analisa na recepção

 Faz um total de 8 checagens de paridade

 Nas 3 linhas e nas 5 colunas

 Um único erro: uma das três paridades de linha e uma das

cinco paridades de coluna estará errada

 Esse bit pode então ser identificado e corrigido

 _{Na intersecção da linha e coluna com paridades incorretas}

 Dois erros: haverá um padrão diferente de falhas de paridade

 Erros duplos podem ser detectados, mas não corrigidos

Corrigindo múltiplos erros



No caso geral, para criar um código que corrija L

erros, precisamos que a

distância mínima

(d

)

entre os padrões seja

maior ou igual a 2L + 1



Exemplo:

 Para detectar 1 erro, é preciso uma distância mínima de 3

 No código de paridade para 1 bit, podemos apenas detectar o

erro: 00 11

 Mas se colocarmos 1 bit a mais, teremos: 000 e 111

 _{Neste caso, podemos saber qual era o bit original}

 Os códigos válidos 000 e 111 estão à distância 3

Códigos de Hamming



Supor correção de um único erro



Ignorando a possibilidade de erros múltiplos



Richard Hamming inventou conjunto de códigos

com número mínimo de bits de paridade extra

Cada bit adicionado no codificador permite uma

checagem de paridade no decodificador



Um bit de informação pode ser usado para ajudar a

Códigos de Hamming



Ex. 3 bits extra

⇒

3 testes podem identificar até 8

condições



Uma delas será “não erro”



7 remanescentes para identificar a localização de até 7

locais onde erro possa estar



Bloco transmitido pode então ter 7 bits

 3 para checagem de erros

 4 para carregar os dados (carga)



Ex. 4 bits de paridade

⇒

blocos com 15 bits

Códigos de Hamming

• Número de bits de paridade

– Se o número de bits de dados for d, o número

de bits de paridade p é determinado por:

• Ex.: 4 bits de dados (mensagens com 4 bits)

– p = 2 _⇒ 2p _{= 2}2 _{= 4 e d + p + 1 = 4 + 2 + 1 = 7}

» 4 < 7, relação não é satisfeita

– p = 3 _⇒ 2p _{= 2}3 _{= 8 e d + p + 1 = 4 + 3 + 1 = 8}

» 8 ≥ 8, relação é satisfeita

1

2

≥

d

+

p

+

Precisa de 3 bits de paridade para proporcionar correção de um único erro em quatro bits de dados

Códigos de Hamming



Detecção e correção são proporcionados por

todos os bits no grupo



De paridade e de dados

Códigos de Hamming



Inserção de bits de paridade no código:



Arranjar os bits adequadamente no código

Ex. com 4 bits de dados e 3 bits de paridade

 Bit mais à esqueda é designado como bit 1, próximo como

2 e assim por diante

 _{bit 1, bit 2, bit 3, bit 4, bit 5, bit 6, bit 7}

 Bits de paridade são colocados nas posições numeradas

em correspondência às potências 1, 2, 4, 8, ...:  P₁, P₂, D₁, P₃, D₂, D₃, D₄

 P_i é um bit de paridade em particular e D_i é um bit de dado em particular

Códigos de Hamming



Determinação dos valores de bits de

paridade



Designar apropriadamente o valor 0 ou 1 a cada

bit de paridade



Cada bit de paridade provê verificação em outros

determinados bits no código total

 Deve saber valor desses outros bits para determinar o de

Códigos de Hamming



Determinação dos valores de bits de paridade



Para determinar o valor do bit, primeiro numere cada

posição de bit em binário



Escreva o binário equivalente a cada decimal da

posição

Códigos de Hamming



Determinação dos valores de bits de paridade



Em seguida, indique a localização dos bits de dados e

de paridade



Primeira linha da tabela:

Número da posição em binário do bit de paridade P₁ tem 1 no dígito mais à direita: esse bit verifica as posições de todos os bits, incluindo ele, que têm

Códigos de Hamming



Determinação dos valores de bits de paridade

Número da posição em binário do bit de paridade P₂ tem 1 no dígito do meio: esse bit verifica as posições de todos os bits, incluindo ele, que têm 1

na mesma posição (bits 2, 3, 6 e 7)

Número da posição em binário do bit de paridade P₃ tem 1 no dígito mais à esquerda: esse bit verifica as posições de todos os bits, incluindo ele, que

Códigos de Hamming



Determinação dos valores de bits de paridade



Em cada caso, é designado ao bit de paridade o valor

que torna a quantidade de 1s, no conjunto de bits que

ele verifica, par ou ímpar

Códigos de Hamming



Ex. 1: Determine o código de Hamming para

o número BCD 1001, usando paridade par



Passo 1

: determinar número de bits de paridade

necessários



p = 3 são suficientes (visto em slide anterior)

Códigos de Hamming



Ex. 1: Determine o código de Hamming para

o número BCD 1001, usando paridade par



Passo 2

: construir tabela de posições de bits e

inserir os bits de dados

Códigos de Hamming



Ex. 1: Determine o código de Hamming para

o número BCD 1001, usando paridade par



Passo 3

: Determinar os bits de paridade

• P₁ verifica bits das posições 1, 3, 4 e 7: tem que ser 0 para no de 1s ser par no grupo

• P₂ verifica bits das posições 2, 3, 6 e 7: tem que ser 0 para no _{de 1s ser par no grupo}

Códigos de Hamming



Ex. 1: Determine o código de Hamming para

o número BCD 1001, usando paridade par

Códigos de Hamming



Ex. 2: Determinar código de Hamming para

bits de dados 10110 usando paridade ímpar



Passo 1

: determinando número de bits de

paridade necessários



d = 5



Tentando p = 4

 2p _{= 2}4 _{= 16}

 d + p + 1 = 5 + 4 + 1 = 10  ⇒ 4 bits são suficientes

Códigos de Hamming



Ex. 2: Determinar código de Hamming para

bits de dados 10110 usando paridade ímpar



Passo 2

: construir tabela de posições de bits e

inserir bits de dados

Códigos de Hamming



Ex. 2: Determinar código de Hamming para

bits de dados 10110 usando paridade ímpar



Passo 3

: determinar bits de paridade

•P₁ verifica bits das posições 1, 3, 5, 7 e 9: tem que ser 1 para no _{de 1s ser ímpar no grupo}

• P₂ verifica bits das posições 2, 3, 6 e 7: tem que ser 0 para no _{de 1s ser ímpar no grupo}

• P₃ verifica bits das posições 4, 5, 6 e 7: tem que ser 1 para no _{de 1s ser ímpar no grupo}

Códigos de Hamming



Ex. 2: Determinar código de Hamming para

bits de dados 10110 usando paridade ímpar

Exercícios



Determinar o código Hamming para o

número BCD 1000 usando paridade par



Determinar o código de Hamming para

Códigos de Hamming



Detecção e correção de erro com o código

de Hamming:



Cada bit de paridade e seus grupos de bits

correspondentes tem que ser verificado



Se possui paridade adequada

 Se há 3 bits de paridade ⇒ 3 verificações são feitas  Se há 4 bits de paridade ⇒ 4 verificações são feitas  Etc.



Cada verificação de paridade produz um

resultado bom ou ruim

Códigos de Hamming



Detecção e correção de erro com o código de

Hamming:



Resultado de todas as verificações indica o bit, se houver

algum, que está errado:

 Passo 1: começar com o grupo verificado por P₁

 Passo 2: Verifique o grupo quanto à paridade correta

 0 representa verificação de paridade correta  1 representa verificação de paridade incorreta

 Passo 3: repetir passo 2 para cada grupo de paridade

 Passo 4: Número binário formado pelo resultado de todas as

verificações de paridade determina a posição do bit do código que está errado

 Código de posição de erro

 Primeira verificação de paridade gera o bit menos significativo  Todas as verificações corretas indicam que não há erro

Código de Hamming



Ex. 1: Considere que transmitiu 0011001

(exemplo 1) e 0010001 foi recebido



Receptor não sabe o que foi transmitido



Tem que testar as paridades para determinar se o

código está correto

Código de Hamming



Ex. 1: Considere que transmitiu 0011001

(exemplo 1) e 0010001 foi recebido



Montar tabela de posição de bit

• Primeira verificação de paridade: Bit P₁ verifica as posições 1, 3, 5 e 7 Há dois 1s nesse grupo

Código de Hamming



Ex. 1: Considere que transmitiu 0011001

(exemplo 1) e 0010001 foi recebido



Montar tabela de posição de bit

• Segunda verificação de paridade: Bit P₂ verifica as posições 2, 3, 6 e 7 Há dois 1s nesse grupo

Código de Hamming



Ex. 1: Considere que transmitiu 0011001

(exemplo 1) e 0010001 foi recebido



Montar tabela de posição de bit

• Terceira verificação de paridade: Bit P₃ verifica as posições 4, 5, 6 e 7 Há um 1 nesse grupo

Código de Hamming



Ex. 1: Considere que transmitiu 0011001

(exemplo 1) e 0010001 foi recebido



Montar tabela de posição de bit

• Resultado:

Código de posição de erro é 100 (binário 4) Bit na posição 4 está errado (deveria ser 1)

Código de Hamming



Ex. 2: O código 101101010 é recebido. Corrija

qualquer erro. Há quatro bits de paridade.

Paridade usada é ímpar.



Tabela de posição de bit:

• Primeira verificação de paridade:

Bit P₁ verifica as posições 1, 3, 5, 7 e 9 Há dois 1s nesse grupo

Código de Hamming



Ex. 2: O código 101101010 é recebido. Corrija

qualquer erro. Há quatro bits de paridade.

Paridade usada é ímpar.



Tabela de posição de bit:

• Segunda verificação de paridade: Bit P₂ verifica as posições 2, 3, 6 e 7 Há dois 1s nesse grupo

Código de Hamming



Ex. 2: O código 101101010 é recebido. Corrija

qualquer erro. Há quatro bits de paridade.

Paridade usada é ímpar.



Tabela de posição de bit:

• Terceira verificação de paridade: Bit P₃ verifica as posições 4, 5, 6 e 7 Há dois 1s nesse grupo

Código de Hamming



Ex. 2: O código 101101010 é recebido. Corrija

qualquer erro. Há quatro bits de paridade.

Paridade usada é ímpar.



Tabela de posição de bit:

• Quarta verificação de paridade: Bit P₄ verifica as posições 8 e 9 Há um 1 nesse grupo

Código de Hamming



Ex. 2: O código 101101010 é recebido. Corrija

qualquer erro. Há quatro bits de paridade.

Paridade usada é ímpar.



Tabela de posição de bit:

• Resultado:

Código de posição de erro é 0111 (binário 7) Bit na posição 7 está errado

Exercícios



O código 101111001 é recebido. Corrija

qualquer erro se a paridade ímpar for usada.



Repetir o processo ilustrado no exemplo 1 se

Códigos de Hamming

• Alguns códigos de Hamming:

(255, 247, 3)

0,97

247

255

8

(127, 120, 3)

0,94

120

127

7

(63, 57, 3)

0,90

57

63

6

(31, 26, 3)

0,84

26

31

5

(15, 11, 3)

0,73

11

15

4

(7, 4, 3)

0,57

4

7

3

(3, 1, 3)

0,33

1

3

2

Tipo de bloco de

código

Taxa de

código

Carga

Tamanho

de bloco

Bits de

paridade

Códigos de Hamming

• Alguns códigos de Hamming:

(255, 247, 3)

0,97

247

255

8

(127, 120, 3)

0,94

120

127

7

(63, 57, 3)

0,90

57

63

6

(31, 26, 3)

0,84

26

31

5

(15, 11, 3)

0,73

11

15

4

(7, 4, 3)

0,57

4

7

3

(3, 1, 3)

0,33

1

3

2

Tipo de bloco de

código

Taxa de

código

Carga

Tamanho

de bloco

Bits de

paridade

Códigos de Hamming

• Alguns códigos de Hamming:

(255, 247, 3)

0,97

247

255

8

(127, 120, 3)

0,94

120

127

7

(63, 57, 3)

0,90

57

63

6

(31, 26, 3)

0,84

26

31

5

(15, 11, 3)

0,73

11

15

4

(7, 4, 3)

0,57

4

7

3

(3, 1, 3)

0,33

1

3

2

Tipo de bloco de

código

Taxa de

código

Carga

Tamanho

de bloco

Bits de

paridade

Código de Hamming mais simples com eficiência razoável

Códigos de bloco



É conveniente prover proteção de correção de erros

para uma certa quantidade de dados e enviar o

resultado como um bloco de tamanho n



Se número de bits de dados no bloco é k, então o número

de bits de paridade é n – k

 Costuma-se chamar tal código como código de bloco (n,k)

 Ex. código de Hamming dos slides anteriores é (7,4)

 É também comum incluir a distância de Hamming mínima

entre dois códigos válidos quaisquer (dados originais), na forma (n,k,d)

Códigos de Hamming



Todos permitem:



Correção de erros isolados ou

Detecção de erros duplos

Códigos avançados



Códigos de bloco com distância de Hamming

mínima maior que 3 são possíveis



Podem lidar com mais de um erro



Alguns são conhecidos como códigos BCH

 Bose-Chaudhuri-Hocquenhem



Códigos Reed-Solomon

 Lidam com bytes de dados ao invés de bits

 Ex. (256, 224, 5) e (224, 192, 5) são usados em tocadores de CD

e podem proteger contra longas sequências de erros



Difícil produzir códigos que sejam eficientes, protejam

contra grandes números de erros, sejam fáceis de

programar e executem rapidamente

Códigos avançados

 Nas missões espaciais e comunicações com satélites

 Código binário de detecção e correção de erros de Golay e

Reed-Solomom

 Na TV digital

 Códigos de Reed-Solomom e Viterbi

 Nas redes locais (LANS) utilizam-se

 Códigos de redundância cíclica (CRC-25)

 Em armazenamento de dados

 Códigos Reed-Solomom para resolver os problemas de

Dígitos de checagem



Detecção de erros é rotineiramente usada

para reduzir erros humanos



Lidar com longos números ou sequências de

caracteres, que devem ser digitadas



Ex. números de cartão de crédito, de RG, de registros

de software



Sujeito a erros



Dígitos ou caracteres adicionais podem ser incluídos

para detectar erros

 Como bits de paridade em cadeias de bits

Cartões de crédito



Têm dígito de checagem extra



Calculado como especificado em 1954 por H. P. Luhn

(IBM)

 Protege contra tipo comum de erro: transposição de bits

adjacentes

 Algoritmo funciona para qualquer número de dígitos



Números de cartão têm tipicamente 15 ou 16 dígitos

 6 primeiros dígitos: organização que emitiu o cartão

 O primeiro denota o setor econômico associado ao cartão

 _{Ex. 1 e 2 para companias aéreas, 3 para viagem e lazer, 4, 5,}

e 6 para bancos e lojas

 O último dígito é o dígito de checagem

Cartões de crédito



Cada emissor de cartão tem seu prefixo



American Express: começa com 34 ou 38

Visa: começa com 4



Mastercard: começa com 51, 52, 53, 54 ou 55



Procedimento de Luhn:



Testa se o número do cartão, incluindo dígito de

checagem, é válido

Cartões de crédito

 Procedimento de Luhn:

 Primeiro, seleciona dígitos do cartão que aparecem em posições

alternadas, começando pelo dígito próximo ao último  Ex. cartão de número 1234 4567 7891

 Esses dígitos são 9, 7, 6, 4, 3 e 1

 Verifica quantos desses dígitos são maiores que 4

 Ex. há 3 deles (9, 7 e 6)

 Adiciona os dígitos alternados:

 Ex. 9 + 7 + 6 + 4 + 3 + 1 = 30

 Adiciona todos dígitos do número do cartão

 Ex. 57

 Soma 3 números anteriores

 Ex. 3 + 30 + 57 = 90

 Se resultado é múltiplo de 10, número passa no teste e pode ser

Cartões de crédito



Procedimento de Luhn detecta todos erros de um

dígito e quase todas transposições de dígitos

adjacentes



Ex. digitando 1243 ao invés de 1234



Mas muitos outros erros de transcrição não são

detectados



Ex. digitando 3412 ao invés de 1234



Tem alta taxa de código



1 dígito de checagem para 14 ou 15 dígitos de carga

Exercícios



Considerando que o número do cartão é

1234 4567 7891



Usar procedimento de Luhn para os casos:

1243 4567 7891



3412 4567 7891

Detecção/correção de erros

 Como vimos, a detecção e a correção de erros implica em um

aumento de numero de bits a serem transmitidos

 Implica em um aumento de processamento na comunicação

 Em algumas situações, não é viável a verificação de erros em

todas as transmissões

 Ex.: as mensagens transmitidas na Internet pelo protocolo IP têm

no cabeçalho da sua mensagem um campo para verificação de erro, o campo checksum

 As estações e os roteadores da rede só verificam erro nos

cabeçalhos dessas mensagens e deixam para as aplicações verificarem os erros,quando isso for necessário

 Ex: transmissão de um programa (FTP)

Referências



Material de:



Prof Dr Francisco Javier Ropero

Profa Dra Itana Stiubiener



Prof Dr Raphael Camargo

Prof Dr Luiz Mirisola



Prof Dr Rogério Neves

Wikipedia



Aula MIT (capítulo 4, no site do curso)

Livro Sistemas Digitais, Floyd