Geometria3D

Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas

Aula

3

Curso de Geometria - Nível 1

Objetos Tridimensionais

Neste cap´ıtulo iremos tratar de um assunto que ´e pouco explorado em competi¸c˜oes de matem´atica para alunos que est˜ao no ensino m´edio, mas que possuem certa frequˆencia nas competi¸c˜oes para alunos mais jovens: a geometria em espa¸cos tridimensionais. Por´em, muito mais do que f´ormulas, as quest˜oes de olimp´ıada sobre esse tema tentam testar a capacidade do aluno em perceber e visualizar mentalmente estrutudas espaciais. Os ´unicos fatos te´oricos que precisaremos saber (e que adotaremos como premissas) s˜ao os seguintes:

Premissa I. A volume de uma caixa retangular de comprimento x, altura y e profun-didade z ´e dado por xyz.

Premissa II. Se um objeto tridimensional ´e dividido em duas ou mais partes, a soma dos volumes das partes ´e igual ao volume do objeto original.

Premissa III. Se dois objetos s˜ao idˆenticos, ent˜ao possuem o mesma volume.

Problemas Propostos

Problema 1. (OBM 2016 - 1afase) Um cubo foi pintado de verde. Em seguida, foi cortado paralelamente `as faces, obtendo-se oito blocos retangulares menores. As faces sem cor desses blocos foram pintadas de vermelho. Qual ´e a raz˜ao entre a ´area da superf´ıcie total verde e a ´area da superf´ıcie total vermelha?

Problema 2. (OBM 2005 - 2a fase) Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas na parte de cima, pregando duas placas retangulares de 600 cm2 cada uma, duas placas retan-gulares de 1200 cm2 cada uma e uma placa retangular de 800 cm2, conforme representado no desenho. Qual ´e o volume, em litros, da caixa? Note que 1 litro = 1000 cm3.

Problema 3. (OBM 2007 - 2a fase) Um reservat´orio c´ubico internamente tem 2 metros de lado e cont´em ´agua at´e a sua metade. Foram colocados no reservat´orio 25 blocos retangulares de madeira, que n˜ao absorvem ´agua, de dimens˜oes 20 × 30 × 160 cent´ımetros. Sabendo que 80% do volume de cada bloco permanece submerso na ´agua, calcule, em cent´ımetros, a altura atingida pela ´agua, no reservat´orio.

Problema 4. (OBM 2011 - 2afase) Com cubinhos de mesmo tamanho construiu-se um cubo 4 × 4 × 4. Os cubinhos s˜ao feitos de madeiras diferentes e foram colados assim: cubinhos com trˆes cubos vizinhos (cubos com faces comuns) pesam 10 gramas, com quatro vizinhos pesam 8 gramas, com cinco vizinhos pesam 6 gramas e com seis vizinhos pesam 4 gramas. Qual ´e a massa do cubo, em gramas?

Problema 5. (OBM 2013 - 2a fase) O ourives Carlos tem um cubo de madeira de arestas de 10 cent´ımetros. Ele retira cubos de 2 cent´ımetros de aresta de cada v´ertice do cubo e cola sobre toda a superf´ıcie do s´olido resultante uma folha fina de ouro ao pre¸co de 8 reais por cent´ımetro quadrado. Sem desperd´ıcios, qual ´e o custo em reais dessa cobertura?

Problema 6. (OBM 2015 - 2a _{fase) Esmeralda cola cubinhos brancos para montar cubos}

maiores. Depois de montar os cubos maiores, ele pinta algumas faces dos cubinhos de verde ou de amarelo.

a) Depois de montado um cubo grande, Esmeralda pintou de verde as faces dos cubinhos com trˆes faces vis´ıveis e de amarelo as faces dos cubinhos com duas faces vis´ıveis. Ap´os a pintura, s˜ao vis´ıveis no cubo grande exatamente 120 faces pintadas de amarelo. Quantas faces vis´ıveis permaneceram brancas?

b) Depois de montar um cubo com oito cubinhos, Esmeralda pintou trˆes faces do cubo maior de verde e trˆes faces de amarelo. No m´aximo, quantos cubinhos tiveram duas faces pintadas de verde e uma face pintada de amarelo?

Problema 7. (OBM 2010 - 3a fase) Dado um s´olido formado por cubos de 1 cm de aresta, como mostra a figura da esquerda, podemos indicar a quantidade de cubos em cada dire¸c˜ao, como mostra a figura da direita.

1 0 0 1 0 2 2 0 1 3 2 3 3 0 1 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3 2 3

Esmeraldino montou um s´olido com cubos de 1 cm de aresta e fez uma figura similar `a da direita. d 1 2 1 2 a 2 2 x 2 1 2 1 e b 3 f c 1 3 2 3 3 1 m 2 2

Problema 8. (OBM 2006 - 2a fase) Com a parte destacada da folha retangular a seguir, pode-se montar um cubo. Se a ´area da folha ´e 300cm2, qual ´e o volume desse cubo, em cm3?

Problema 9. (OBM 2015 - 1a fase) Juliana fez a planifica¸c˜ao de uma caixa de papel˜ao com duas faces brancas, duas pretas e duas cinzentas. As faces brancas tˆem ´area de 35cm2 cada uma, as faces pretas tˆem ´area de 21cm2 cada uma e as cinzentas, 15cm2. Qual ´e o volume da caixa?

Problema 10. Uma caixa fechada de vidro em formato de paralelep´ıpedo est´a parcialmente preenchida com 1 litro de ´agua. Ao posicionarmos essa caixa sobre uma mesa de trˆes for-mas diferentes, a altura do n´ıvel da ´agua ´e de 2cm, 4cm e 5cm respectivamente. Qual ´e a capacidade m´axima (em litros de ´agua1_{) dessa caixa?}

Problema 11. (OBM 1998) Pintam-se de preto todas as faces de um cubo de madeira cujas arestas medem 10 cent´ımetros. Por cortes paralelos `as faces, o cubo ´e dividido em 1000 cubos pequenos, cada um com arestas medindo 1 cent´ımetro. Determine:

a) o n´umero de cubos que n˜ao possuem nenhuma face pintada de preto. b) o n´umero de cubos que possuem uma ´unica face pintada de preto.

c) o n´umero de cubos que possuem exatamente duas faces pintadas de preto. d) o n´umero de cubos que possuem trˆes faces pintadas de preto.

Problema 12. (OBM 1999) Diga como dividir um cubo em 1999 cubinhos. A figura mostra uma maneira de dividir um cubo em 15 cubinhos.

Problema 13. (OBM 2001) Um cubinho foi colocado no canto de uma sala, conforme a Figura 1. Empilharam-se outros cubinhos iguais ao primeiro, de forma a cobrir as faces vis´ıveis do mesmo, usando-se o menor n´umero poss´ıvel de pe¸cas. Como se pode ver na Figura 2, ap´os a coloca¸c˜ao dos novos cubinhos, restam 9 faces vis´ıveis desses cubinhos.

Figura 1

Figura 2

a) Quantos cubinhos iguais a esses, no m´ınimo, seria necess´ario empilhar, de forma a cobrir aquelas 9 faces vis´ıveis?

b) Continua-se a fazer essa pilha, repetindo-se o procedimento descrito. Quando a pilha tiver um total de 56 cubinhos, quantas faces poder˜ao ser vistas?

Problema 14. (OBM 2004) Juntando cubinhos de mesmo volume mas feitos de materiais diferentes cada cubo branco pesando 1 grama e cada cubo cinza pesando 2 gramas -formou-se um bloco retangular, conforme mostrado na figura abaixo. Qual ´e a massa, em gramas, desse bloco?

Problema 15. (OBM 2005) Esmeraldinho tem alguns cubinhos de madeira de 2 cm de aresta. Ele quer construir um grande cubo de aresta 10 cm, mas como n˜ao tem cubinhos suficientes, ele cola os cubinhos de 2 cm de aresta de modo a formar apenas as faces do cubo, que fica oco. Qual ´e o n´umero de cubinhos de que ele precisar´a?

Problema 16. (OBMEP 2005) Em´ılia quer encher uma caixa com cubos de madeira de 5cm de aresta. Como mostra a figura, a caixa tem a forma de um bloco retangular, e alguns cubos j´a foram colocados na caixa.

5 cm

a) Quantos cubos Em´ılia j´a colocou na caixa?

b) Calcule o comprimento, a largura e a altura da caixa.

c) Quantos cubos ainda faltam para Em´ılia encher a caixa completamente, se ela continuar a empilh´a-los conforme indicado na figura?

Problema 17. (OBMEP 2017 - adaptado) Jana´ına junta cubinhos de modo que as faces em contato coincidam completamente. Ela montou a pe¸ca a seguir sobre uma mesa.

Em seguida, Jana´ına acrescentou o menor n´umero poss´ıvel de cubinhos at´e completar um cubo. Quantos cubinhos ela teve que acrescentar?

Problema 18. (OBM 2015) Zuleica cola cubinhos iguais de isopor para montar “esqueletos” de cubos, estruturas conforme o exemplo dado.

a) Quantos cubinhos ela usou para montar o esqueleto da figura?

b) Se ela quiser completar o maior cubo maci¸co com este esqueleto, preenchendo os espa¸cos vazios com cubinhos iguais aos usados e continuando a ver o esqueleto, quantos cubinhos a mais dever´a usar?

c) Existe um cubo cujo esqueleto, para ser montado, precisa de uma quantidade de cubi-nhos igual `a quantidade de cubinhos necess´arios para completar os espa¸cos vazios do esqueleto desse cubo. Se Zuleica quiser montar esse esqueleto, quantos cubinhos ter´a que usar?

Problema 19. (OPM 2011) Temos um cubo de aresta 4 cm, com 3 faces marcadas com •.

a) Vamos cobrir essas 3 faces marcadas com cubos de aresta 2 cm para formar um cubo de aresta 6 cm. Quantos cubos de aresta 2 cm s˜ao necess´arios?

b) Agora, vamos obter um cubo de aresta 7 cm a partir do cubo de aresta 6 cm que acabamos de formar. Para isso, cobriremos as trˆes faces formadas apenas por cubos de aresta 2 cm com cubos de aresta 1 cm. Quantos cubos de aresta 1 cm s˜ao necess´arios? c) Nos itens anteriores, cobrimos com cubos de aresta 2 cm e 1 cm as faces marcadas do cubo de aresta 4 cm para obter o cubo de aresta 7 cm. Vamos agora acrescentar apenas cubos de arestas 3 cm e 1 cm (n˜ao utilizaremos cubos de aresta 2 cm) ao cubo original para obter um cubo de aresta 7 cm. Qual ´e o maior n´umero de cubos de aresta 3 cm que podemos utilizar? N˜ao se esque¸ca de que vocˆe deve justificar a sua resposta.

Dicas e Solu¸

c˜

oes

1. (OBM 2016 - 1a fase) Cada face verde dos oito blocos menores obtidos ap´os cortar o cubo ´e oposta a extamente uma face pintada de vermelho, e vice-versa. Assim, a raz˜ao entre a ´area da superf´ıcie total verde e a ´area da superf´ıcie total vermelha ´e 1 : 1.

2. (OBM 2005 - 2a fase) Sejam a, b e c as medidas da caixa. Segundo o enunciado, podemos escrever ab = 600, ac = 1200 e bc = 800. Sabemos que o volume da caixa ´e abc. Utilizando as propriedades das igualdades e de potˆencias, podemos escrever ab × ac × bc = 600 × 1200 × 800 ⇔ a2× b2_{× c}2 _{= 2 × 3 × 10}2_{× 2}2_{× 3 × 10}2_{× 2}3_{× 10}2 _⇔

(abc)2 = 26 × 32 _{× 10}6 _{⇔ abc =} √₂6_{× 3}2_{× 10}6 _{= 2}3_{× 3 × 10}3 _{= 24 × 1000 cm}3_.

Como 1 litro ´e igual a 1000 cm3, conclu´ımos que o volume da caixa ´e de 24 litros.

a

b

c

3. (OBM 2007 - 2a fase) O volume de cada bloco de madeira ´e 0, 2 × 0, 3 × 1, 60 = 0, 096 m3; o volume de cada bloco que fica submerso no l´ıquido ´e 0, 80 × 0, 096 m3. O volume de l´ıquido deslocado pelos 25 blocos ´e igual a 25 × 0, 80 × 0, 096 = 1, 92 m3. Como o reservat´orio ´e um cubo de 2 m de lado, sua base ´e um quadrado de ´area 4 m2. Podemos pensar no l´ıquido deslocado como se fosse um bloco cuja base ´e igual `

a base do reservat´orio, de altura h e volume acima.

Portanto 4h = 1, 92 ⇔ h = 1, 92

4 = 0, 48 m = 48 cm. Como a altura inicial do l´ıquido era 100 cm, a nova altura ser´a 148 cm.

4. (OBM 2011 - 2a fase) No cubo 4 × 4 × 4, h´a 8 cubinhos nos v´ertices (que tem 3 vizinhos), 2 × 12 = 24 cubinhos nas arestas (que tem 4 vizinhos), 4 × 6 = 24 cubinhos nas faces (que tem 5 vizinhos) e 8 cubinhos no interior do cubo maior (que tem 6 vizinhos). Assim, o cubo maior pesa 8 × 10 + 24 × 8 + 24 × 6 + 8 × 4 = 448 g. 5. (OBM 2013 - 2a fase) O corte dos cubinhos em cada v´ertice do cubo n˜ao muda a

superf´ıcie total do cubo (´e como retirar e aumentar trˆes faces de cada cubinho), igual a 6 × 102= 600 cm2. Logo o pre¸co do revestimento ´e 8 × R$600 = R$4.800, 00.

6. (OBM 2015 - 2a fase)

a) Os cubinhos com apenas duas faces vis´ıveis s˜ao aqueles dispostos ao longo da aresta do cubo maior, sem estar nos v´ertices dessas arestas, como no exemplo ao lado, onde mostramos a camada superior de um cubo 4×4. Assim, em cada uma das doze arestas de um cubo n × n s˜ao pintados de amarelo exatamente n − 2 cubinhos, num total de 12 × (n − 2) cubinhos. Neste caso, temos 12 × (n − 2) = 120

2 ⇔ n − 2 = 5 ⇔ n = 7 Em cada uma das seis faces do cubo maior h´a (n − 2) × (n − 2) = (n − 2)2_{faces vis´ıveis dos cubinhos que permanecem brancas,}

num total de 6 × (n − 2)2. Em nosso caso, temos que 6 × (7 − 2)2= 6 × 25 = 150 faces vis´ıveis n˜ao foram pintadas, isto ´e, permaneceram brancas.

b) H´a somente duas maneiras diferentes de pintar trˆes faces de verde e trˆes faces de amarelo de um cubo. Numa delas as trˆes faces pintadas de mesma cor tˆem um v´ertice comum e as faces opostas tˆem cores diferentes (1), enquanto que na outra maneira h´a duas faces opostas amarelas, duas faces opostas verdes e uma face amarela oposta a uma face verde (2). Note que os cubos s˜ao formados por oito cubinhos menores. No primeiro caso, h´a um cubinho com trˆes faces verdes, um cubinho com trˆes faces amarelas, trˆes com duas faces amarelas e uma verde e trˆes com duas faces verdes e uma amarela. No segundo caso, h´a quatro cubinhos com duas faces verdes e uma amarela e quatro cubinhos com duas faces amarelas e uma verde. Portanto, o n´umero m´aximo de cubinhos que tiveram duas faces pintadas de verde e uma de amarelo ´e 4.

7. (OBM 2010 - 3a fase) Nesse cubo, podemos formar express˜oes a partir das placas 3 × 3 × 1 e a partir delas, encontramos o resultado. Ao encontrarmos uma express˜ao que depende de mais de uma letra, tentamos encontrar outra express˜ao que retorne o valor de uma letra s´o e substitu´ımos na express˜ao que depende de mais letras.

1 3 a 2 2 1 c b 1 2 x 2 2 2 3 3 1 x a + 3 + 1 = 2 + 2 + 1 ⇔ a = 1 e 2 + 2 + x = 3 + 3 + 1 ⇔ x = 3.

1 + b + c = 2 + x + 2 ⇔ 1 + b + c = 2 + 3 + 2 ⇔ b + c = 6. Como os valores de cada letra s´o podem ser de 0 a 3, e a ´unica soma que d´a 6 ´e 3 + 3, ent˜ao b = 3 e c = 3.

1 1 m 2 2 2 3 b e 3 3 2 a 1 d 1 3 m 1 c f 2 1 2 1 + 2 + 1 = m + 2 + 2 ⇔ m = 0. 3 + b + e = 3 + 3 + 2 ⇔ 3 + 3 + e = 3 + 3 + 2 ⇔ e = 2. a + 1 + d = 1 + 3 + m ⇔ 1 + 1 + d = 1 + 3 + 0 ⇔ d = 2 e finalmente 1 + c + f = 2 + 1 + 2 ⇔ 1 + 3 + f = 5 ⇔ f = 1.

8. (OBM 2006 - 2a fase) Note que a folha pode ser dividida em 12 quadrados iguais atrav´es de uma grade 3 × 4. Cada um desses quadrados ter´a ´area igual a 300₁₂ = 25. Logo, o lado de cada quadrado ser´a igual a 5. Al´em disso, observe que os seis quadrados cinzas ser˜ao as faces do cubo. Consequentemente, o cubo ter´a aresta igual a 5 e seu volume ser´a 5 × 5 × 5 = 125cm3.

9. (OBM 2015 - 1afase) Sejam x, y e z as dimens˜oes da caixa. Pelo enunciado, xy = 35, yz = 21 e zx = 15. Multiplicando essas trˆes equa¸c˜oes, obtemos

Observe que xyz corresponde exatamente ao volume da caixa. Portanto, o volume ´e 105cm3.

10. Sejam x, y, z (em cent´ımetros) as dimens˜oes da caixa de vidro. Observe que o volume da ´agua n˜ao muda ao posicionarmos a caixa sobre as diferentes faces. Assim, temos as seguintes equa¸c˜oes:

2xy = 4yz = 5zx = 1000.

Ou seja, xy = 500, yz = 250 e zx = 200. Multiplicando essas trˆes equa¸c˜oes, obtemos (xyz)2= 502· 104 ⇒ xyz = 5000.

Portanto, o volume total da caixa ´e 5000cm3 ou 5` litros de ´agua.

11. (OBM 1998)

(a) Est˜ao sem nenhuma face pintada, os cubos interiores ao cubo maior. Portanto devem ser retiradas uma fila de cima e uma fila de baixo, uma da frente e outra de tr´as, e uma de cada lado, ficando assim com um cubo de aresta 8 que cont´em 83= 512 cubos pequenos.

(b) Est˜ao com uma face pintada aqueles que pertencem a uma face mas n˜ao possuem lado comum com a aresta do cubo maior, isto ´e, 82 _{= 64 em cada face. Como}

s˜ao seis faces, temos 6 × 64 = 384 cubos pequenos.

(c) Est˜ao com duas faces pintadas aqueles que est˜ao ao longo de uma aresta mas n˜ao no v´ertice do cubo maior, isto ´e, 8 cubos em cada aresta. Como s˜ao 12 arestas, temos 8 × 12 = 96 cubos pequenos.

(d) Est˜ao com 3 faces pintadas aqueles que est˜ao nos v´ertices do cubo maior, ou seja, 8 cubos pequenos.

12. (OBM 1999) O cubo deve ser dividido em 1000 cubinhos, ou seja 10 × 10 × 10, depois, deve-se pegar um deles e divid´ı-lo novamente em 1000 cubinhos para que obtenhamos 1999 cubinhos. Assim teremos (1000 − 1) + 1000 = 1999 cubinhos. O “−1” ocorre na conta anterior pois o cubo que dividido deve deixar de ser contado.

13. (OBM 2001)

(a) Ser˜ao necess´arios mais 6 cubinhos: trˆes para o andar mais baixo, dois para o segundo andar e mais um para o terceiro.

(b) Para chegar a 56, vamos somando: 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. A parede ter´a a altura de 6 cubos, quando isso acontecer. Vamos listar as faces e cubos `a mostra:

• No quinto andar h´a 15 faces e 5 cubos. • No andar de baixo h´a 18 faces e 6 cubos.

Para cada cubo `a mostra, h´a 3 faces vistas. S˜ao 21 cubos `a mostra, 63 faces no total.

14. (OBM 2004) O objeto mostrado no enunciado ´e formado por 5×5×7 = 175 cubinhos. Como 175 ´e ´ımpar, significa que temos um cubinho branco a mais do que pretos. Se P ´e a quantidade de cubos pretos, temos que P + (P + 1) = 175, ent˜ao P = 87. Portanto, temos 87 cubos pretos e 88 cubos brancos. Assim, a massa total ser´a igual a:

88 + 2 × 87 = 262g.

15. (OBM 2005) Se o cubo grande estivesse completamente cheio, seriam necess´arios 53 = 125 cubinhos. Como ele est´a oco, devemos descontar todos os cubinhos que fazem parte do seu interior. Observe que o inteior de um cubo 5 × 5 × 5 ´e um outro cubo menor 3 × 3 × 3. Portanto, apenas para montar a superf´ıcie, s˜ao necess´arios 125 − 27 = 98 cubinhos.

16. (a) Podemos contar os cubos em camadas a partir do fundo da caixa ; na primeira camada temos 14 cubos vis´ıveis e 4 n˜ao vis´ıveis, cuja existˆencia ´e evidente pois h´a cubos sobre eles. Na segunda camada h´a 3 cubos vis´ıveis e 1 oculto; a terceira camada tem 2 cubos, a quarta camada tem 3 cubos, a quinta camada tem 2 cubos e finalmente duas camadas de 1 cubo cada, totalizando (14 + 4) + (3 + 1) + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 31 cubos.

(b) O comprimento da caixa corresponde a 10 cubinhos; logo este comprimento ´e igual a 10 × 5 = 50cm; do mesmo modo, a largura ´e igual a 7 cm e a altura ´e igual a 7 × 5 = 35cm e a altura igual a 6 × 5 = 30cm.

(c) O n´umero m´aximo de cubos que a caixa comporta, empilhados como indicado, ´e igual ao produto do n´umero de cubos que podem ser colocados ao longo de cada uma das dimens˜oes (comprimento, largura, altura) da caixa, ou seja 10 × 7 × 6 = 420 cubos. Como j´a foram colocados 31 cubos, faltam 420 − 31 = 389 cubos para encher a caixa completamente.

17. Visualizando a parte mais ao fundo do objeto, verificamos que ele tem dimens˜oes 4, 4, 5. Portanto, o menor cubo que pode ser constru´ıdo a partir dessa figura deve ter 53= 125 cubinhos. Como j´a foram colocados 16 cubinhos, ainda faltam 125−16 = 109 cubinhos.

18. (a) Observe que cada aresta do esqueleto possui 6 cubos. Como a estrutura tem 12 arestas, poder´ıamos contar 6 × 12 = 72 cubos. Por outro lado, ao fazermos essa contagem, os cubinhos que est˜ao nos v´ertices do esqueleto s˜ao contados trˆes vezes cada um. Assim, temos que descotar duas contagens repetidas para cada um destes oito cubinhos. Portanto, a estrutura tem 72 − (8 × 2) = 72 − 16 = 56 cubinhos.

(b) O cubo preenchido deve ser formado por 6 × 6 × 6 = 216 cubinhos. Portanto, ainda faltam 216 − 56 = 160 cubinhos.

(c) Seja n a quantidade de cubos na aresta desse segundo esqueleto. Utilizando a mesma estrat´egia de contagem do item (a), a quantidade de cubinhos no novo esqueleto ser´a 12n − 16. Por outro lado, esse n´umero dever´a representar metade dos n3 cubinhos necess´arios para completar o cubo maior. Assim,

12n − 16 = n

3

2 ⇒ 24n − 32 = n

3_{⇒ 24n − n}3 _{= 32 ⇒ n(24 − n}2_{) = 32.}

Como n ´e um inteiro, n ´e divisor de 32. Assim, as ´unicas possibilidades que devemos testar s˜ao n = 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Por´em, o ´unico n´umero que resolve a equa¸c˜ao ´e n = 4.

19. (a) Primeiramente, veja que s˜ao necess´arios 4 cubos de aresta 2 cm para cobrir completamente uma face.

Logo precisamos colocar 3 × 4 = 12 cubos para cobrir as 3 faces marcadas.

Portanto precisamos de 12 + 7 = 19 cubos de aresta 2 cm para formar um cubo de aresta 6 cm.

(b) Usando o mesmo padr˜ao adotado no item anterior, inicialmente vamos cobrir as faces formadas por cubos de aresta 2 cm com cubos de aresta 1 cm. Para isso vamos precisar de 36 cubos de aresta 1 cm para cada face.

Depois de colocar 3 × 36 = 108 cubos para cobrir as 3 faces de aresta 2 cm, precisamos de mais 6 + 6 + 6 + 1 = 19 cubos de aresta 1 cm para finalmente obter um cubo de aresta 7 cm. Portanto precisamos acrescentar 108 + 19 = 127 cubos de aresta 1 cm para formar um cubo de aresta 7 cm.

(c) No plano da base, podemos colocar 3 cubos de aresta 3 cm, conforme a figura. ´

E poss´ıvel coloc´a-los e outras maneiras, mas n˜ao ´e poss´ıvel colocar mais do que 3, pois o queremos um cubo de aresta 7 cm. Veja alguns exemplos.

Da mesma forma, podemos colocar mais uma camada de cubos de aresta 3 cm, ficando agora com 6 cubos de aresta 3 cm. Tamb´em ´e poss´ıvel coloc´a-los de v´arias maneiras, mas n˜ao mais do que 3, pois a soma das arestas alinhadas n˜ao pode ser maior do que 7 cm. Vamos tomar um caso, sem perda de generalidade.

Veja que agora s´o ´e poss´ıvel colocar mais 1 cubo de aresta 3 cm, sob a face marcada que ainda n˜ao recebeu nenhum cubo, ficando agora com 7 cubos de aresta 3 cm. Tamb´em, sem perda de generalidade, vamos tomar um caso.

Para finalmente obter um cubo de aresta 7 cm, os demais espa¸cos devem obri-gatoriamente serem preenchidos com cubos de aresta 1 cm. Como ´e poss´ıvel ter no m´aximo 2 cubos de aresta 3 cm em cada uma das trˆes dimens˜oes do cubo de aresta 7 cm, s´o h´a espa¸co para 23 = 8 cubos de aresta 3 cm. Um deles n˜ao pode ser colocado, para haver espa¸co para o cubo de aresta 4 cm. Assim conclu´ımos que n˜ao ´e poss´ıvel utilizar mais do que 7 cubos.