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Aula 34-Pres

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Academic year: 2021

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(1)

ProfaCátia Regina de Oliveira Quilles Queiroz Instituto de Ciências Exatas

UNIFAL - Alfenas

(2)

No cálculo da integral definidaRb

a f (x )dx , supomos que [a, b] é um

intervalo finito e que a função f é integrável.

A seguir vamos ampliar o conceito de integral definida para permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com as assíntotas verticais dentro do intervalo de integração.

Chamamos as assíntotas verticais de descontinuidades infinitas e as integrais com intervalos de integração infinitos ou com

descontinuidades infinitas dentro do intervalo de integração de integrais impróprias.

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No cálculo da integral definidaRb

a f (x )dx , supomos que [a, b] é um

intervalo finito e que a função f é integrável.

A seguir vamos ampliar o conceito de integral definida para permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com as assíntotas verticais dentro do intervalo de integração.

Chamamos as assíntotas verticais de descontinuidades infinitas e as integrais com intervalos de integração infinitos ou com

descontinuidades infinitas dentro do intervalo de integração de integrais impróprias.

(4)

No cálculo da integral definidaRb

a f (x )dx , supomos que [a, b] é um

intervalo finito e que a função f é integrável.

A seguir vamos ampliar o conceito de integral definida para permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com as assíntotas verticais dentro do intervalo de integração.

Chamamos as assíntotas verticais de descontinuidades infinitas e as integrais com intervalos de integração infinitos ou com

descontinuidades infinitas dentro do intervalo de integração de integrais impróprias.

(5)

Exemplos de Integrais Impróprias:

intervalos infinitos de integração

Z +∞ 1 dx x2, Z 0 −∞ exdx , Z +∞ −∞ dx 1 + x2

descontinuidades infinitas no intervalo de integração Z 3 −3 dx x2, Z 2 1 dx x − 1, Z π 0 tg(x )dx

descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração

Z +∞ 0 dx √ x, Z +∞ −∞ dx x2− 9, Z +∞ 1 sec(x )dx

(6)

Exemplos de Integrais Impróprias:

intervalos infinitos de integração

Z +∞ 1 dx x2, Z 0 −∞ exdx , Z +∞ −∞ dx 1 + x2

descontinuidades infinitas no intervalo de integração

Z 3 −3 dx x2, Z 2 1 dx x − 1, Z π 0 tg(x )dx

descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração Z +∞ 0 dx √ x, Z +∞ −∞ dx x2− 9, Z +∞ 1 sec(x )dx

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Exemplos de Integrais Impróprias:

intervalos infinitos de integração

Z +∞ 1 dx x2, Z 0 −∞ exdx , Z +∞ −∞ dx 1 + x2

descontinuidades infinitas no intervalo de integração

Z 3 −3 dx x2, Z 2 1 dx x − 1, Z π 0 tg(x )dx

descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração

Z +∞ 0 dx √ x, Z +∞ −∞ dx x2− 9, Z +∞ 1 sec(x )dx

(8)

1. Integrais sobre intervalos infinitos

Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, +∞). Assim a integralR+∞

a f (x )dx é a área sob a curva y = f (x ) no

intervalo [a, +∞).

A princípio podemos achar que esta área é infinita, mas isto não é correto, uma vez que o conceito de área foi definido apenas em intervalos de extensão finita. Precisamos então começar definindo o que entendemos por área desta região, o que faremos por um exemplo.

(9)

1. Integrais sobre intervalos infinitos

Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, +∞). Assim a integralR+∞

a f (x )dx é a área sob a curva y = f (x ) no

intervalo [a, +∞).

A princípio podemos achar que esta área é infinita, mas isto não é correto, uma vez que o conceito de área foi definido apenas em intervalos de extensão finita. Precisamos então começar definindo o que entendemos por área desta região, o que faremos por um exemplo.

(10)

Exemplo 12:

Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo

[1, +∞) sobre o eixo x .

Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l

Aumentando l de forma que l → +∞, teremos A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.

(11)

Exemplo 12:

Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo

[1, +∞) sobre o eixo x .

Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos

A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.

(12)

Exemplo 12:

Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo

[1, +∞) sobre o eixo x .

Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos

A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.

(13)

Exemplo 12:

Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo

[1, +∞) sobre o eixo x .

Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos

A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.

(14)

Exemplo 12:

Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo

[1, +∞) sobre o eixo x .

Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos

A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.

(15)

Tomando como base essa discussão definimos:

Definição 4:

A integral imprópria da função f no intervalo [a, +∞) é definida como

Z +∞ a f (x )dx = lim l→+∞ Z l a f (x )dx .

(16)

Observação 9:

No caso onde o limite existe, dizemos que a integral imprópria

converge, e o limite é definido como sendo o valor da integral. Caso o limite não exista ou tenda ao infinito, dizemos que a integral diverge.

(17)

Exemplo 13:

Calcule

1 R1+∞dxx3;

(18)

Exemplo 13:

Calcule

1 R1+∞dxx3;

(19)

Observação 10:

Pelos Exemplos 12 e 13 vimos que no intervalo [1, +∞] a área sob y = x13 é 1 2, sob y = 1 x2 é 1, e sob y = 1 x é infinita.

Porém, superficialmente o gráfico das três funções são muito parecidos.

Uma explicação é que x13 e 1

x2 tendem a zero mais rapidamente que 1 x, quando x → +∞, de tal forma que a área no intervalo [1, l] é

acumulado menos rapidamente, essa diferença é suficiente para que as duas primeiras áreas sejam finitas e a terceira infinita.

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Observação 10:

Pelos Exemplos 12 e 13 vimos que no intervalo [1, +∞] a área sob y = x13 é 1 2, sob y = 1 x2 é 1, e sob y = 1 x é infinita.

Porém, superficialmente o gráfico das três funções são muito parecidos.

Uma explicação é que x13 e

1

x2 tendem a zero mais rapidamente que

1 x,

quando x → +∞, de tal forma que a área no intervalo [1, l] é

acumulado menos rapidamente, essa diferença é suficiente para que as duas primeiras áreas sejam finitas e a terceira infinita.

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Observação 10:

Pelos Exemplos 12 e 13 vimos que no intervalo [1, +∞] a área sob y = x13 é 1 2, sob y = 1 x2 é 1, e sob y = 1 x é infinita.

Porém, superficialmente o gráfico das três funções são muito parecidos.

Uma explicação é que x13 e

1

x2 tendem a zero mais rapidamente que

1 x,

quando x → +∞, de tal forma que a área no intervalo [1, l] é

acumulado menos rapidamente, essa diferença é suficiente para que as duas primeiras áreas sejam finitas e a terceira infinita.

(22)

Exemplo 14:

Para quais valores de p a integralR+∞

1 dxxp converge? Provamos assim: Teorema 4: Z +∞ 1 dx xp = ( 1 p−1, se p > 1 diverge, se p ≤ 1.

(23)

Exemplo 14:

Para quais valores de p a integralR+∞

1 dxxp converge? Provamos assim: Teorema 4: Z +∞ 1 dx xp = ( 1 p−1, se p > 1 diverge, se p ≤ 1.

(24)

Analogamente,

Definição 5:

A integral imprópria da função f no intervalo (−∞, b] é definida como

Z b −∞ f (x )dx = lim l→−∞ Z b l f (x )dx .

(25)

Definição 6:

A integral imprópria da função f no intervalo (−∞, +∞) é definida como Z +∞ −∞ f (x )dx = Z c −∞ f (x )dx + Z +∞ c f (x )dx , onde c é um número real qualquer.

(26)

2. Integrais cujos integrandos tem descontinuidades infinitas

Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, b), e a descontinuidade infinita ocorre no extremo direito. Analogamente, ao invés de calcular toda a área de uma vez, procedemos por partes. Assim,

(27)

2. Integrais cujos integrandos tem descontinuidades infinitas

Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, b), e a descontinuidade infinita ocorre no extremo direito. Analogamente, ao invés de calcular toda a área de uma vez, procedemos por partes. Assim,

(28)

Definição 7:

Se f for contínua no intervalo [a, b], exceto por uma descontinuidade infinita em b, então a integral imprópria da função f sobre o intervalo [a, b] é definida como

Z b a f (x )dx = lim l→b− Z l a f (x )dx

(29)

Exemplo 15: CalculeR1 0 dx √ 1−x.

(30)

Analogamente, definimos as integrais impróprias com

descontinuidades no extremo esquerdo ou dentro do intervalo de integração como segue:

Definição 8:

Se f for contínua no intervalo [a, b], exceto por uma descontinuidade infinita em a, então a integral imprópria de f no intervalo [a, b] é definida como Z b a f (x )dx = lim l→a+ Z b l f (x )dx

(31)

Definição 9:

Se f for contínua no intervalo [a, b], exceto por uma descontinuidade infinita em um ponto c em (a, b), então a integral imprópria de f no intervalo [a, b] é definida como

Z b a f (x )dx = Z c a f (x )dx + Z b c f (x )dx

(32)

Exemplo 16:

CalculeR7

Referências

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