ProfaCátia Regina de Oliveira Quilles Queiroz Instituto de Ciências Exatas
UNIFAL - Alfenas
No cálculo da integral definidaRb
a f (x )dx , supomos que [a, b] é um
intervalo finito e que a função f é integrável.
A seguir vamos ampliar o conceito de integral definida para permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com as assíntotas verticais dentro do intervalo de integração.
Chamamos as assíntotas verticais de descontinuidades infinitas e as integrais com intervalos de integração infinitos ou com
descontinuidades infinitas dentro do intervalo de integração de integrais impróprias.
No cálculo da integral definidaRb
a f (x )dx , supomos que [a, b] é um
intervalo finito e que a função f é integrável.
A seguir vamos ampliar o conceito de integral definida para permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com as assíntotas verticais dentro do intervalo de integração.
Chamamos as assíntotas verticais de descontinuidades infinitas e as integrais com intervalos de integração infinitos ou com
descontinuidades infinitas dentro do intervalo de integração de integrais impróprias.
No cálculo da integral definidaRb
a f (x )dx , supomos que [a, b] é um
intervalo finito e que a função f é integrável.
A seguir vamos ampliar o conceito de integral definida para permitir intervalos infinitos de integração e integrandos com as assíntotas verticais dentro do intervalo de integração.
Chamamos as assíntotas verticais de descontinuidades infinitas e as integrais com intervalos de integração infinitos ou com
descontinuidades infinitas dentro do intervalo de integração de integrais impróprias.
Exemplos de Integrais Impróprias:
intervalos infinitos de integração
Z +∞ 1 dx x2, Z 0 −∞ exdx , Z +∞ −∞ dx 1 + x2
descontinuidades infinitas no intervalo de integração Z 3 −3 dx x2, Z 2 1 dx x − 1, Z π 0 tg(x )dx
descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração
Z +∞ 0 dx √ x, Z +∞ −∞ dx x2− 9, Z +∞ 1 sec(x )dx
Exemplos de Integrais Impróprias:
intervalos infinitos de integração
Z +∞ 1 dx x2, Z 0 −∞ exdx , Z +∞ −∞ dx 1 + x2
descontinuidades infinitas no intervalo de integração
Z 3 −3 dx x2, Z 2 1 dx x − 1, Z π 0 tg(x )dx
descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração Z +∞ 0 dx √ x, Z +∞ −∞ dx x2− 9, Z +∞ 1 sec(x )dx
Exemplos de Integrais Impróprias:
intervalos infinitos de integração
Z +∞ 1 dx x2, Z 0 −∞ exdx , Z +∞ −∞ dx 1 + x2
descontinuidades infinitas no intervalo de integração
Z 3 −3 dx x2, Z 2 1 dx x − 1, Z π 0 tg(x )dx
descontinuidades infinitas e intervalos infinitos de integração
Z +∞ 0 dx √ x, Z +∞ −∞ dx x2− 9, Z +∞ 1 sec(x )dx
1. Integrais sobre intervalos infinitos
Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, +∞). Assim a integralR+∞
a f (x )dx é a área sob a curva y = f (x ) no
intervalo [a, +∞).
A princípio podemos achar que esta área é infinita, mas isto não é correto, uma vez que o conceito de área foi definido apenas em intervalos de extensão finita. Precisamos então começar definindo o que entendemos por área desta região, o que faremos por um exemplo.
1. Integrais sobre intervalos infinitos
Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, +∞). Assim a integralR+∞
a f (x )dx é a área sob a curva y = f (x ) no
intervalo [a, +∞).
A princípio podemos achar que esta área é infinita, mas isto não é correto, uma vez que o conceito de área foi definido apenas em intervalos de extensão finita. Precisamos então começar definindo o que entendemos por área desta região, o que faremos por um exemplo.
Exemplo 12:
Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo
[1, +∞) sobre o eixo x .
Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l
Aumentando l de forma que l → +∞, teremos A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.
Exemplo 12:
Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo
[1, +∞) sobre o eixo x .
Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos
A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.
Exemplo 12:
Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo
[1, +∞) sobre o eixo x .
Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos
A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.
Exemplo 12:
Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo
[1, +∞) sobre o eixo x .
Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos
A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.
Exemplo 12:
Vamos calcular a área da figura sob a curva y = f (x ) = x12 no intervalo
[1, +∞) sobre o eixo x .
Ao invés de encontrar toda a área de uma vez, vamos começar por parte da área que está no intervalo [1, l], onde l > 1 qualquer. Esta área é Z l 1 dx x2 = [ −1 x ] l 1=1 − 1 l Aumentando l de forma que l → +∞, teremos
A = Z +∞ 1 dx x2 =l→+∞lim Z l 1 dx x2 =l→+∞lim (1 − 1 l) =1 Portanto, A = 1.
Tomando como base essa discussão definimos:
Definição 4:
A integral imprópria da função f no intervalo [a, +∞) é definida como
Z +∞ a f (x )dx = lim l→+∞ Z l a f (x )dx .
Observação 9:
No caso onde o limite existe, dizemos que a integral imprópria
converge, e o limite é definido como sendo o valor da integral. Caso o limite não exista ou tenda ao infinito, dizemos que a integral diverge.
Exemplo 13:
Calcule
1 R1+∞dxx3;
Exemplo 13:
Calcule
1 R1+∞dxx3;
Observação 10:
Pelos Exemplos 12 e 13 vimos que no intervalo [1, +∞] a área sob y = x13 é 1 2, sob y = 1 x2 é 1, e sob y = 1 x é infinita.
Porém, superficialmente o gráfico das três funções são muito parecidos.
Uma explicação é que x13 e 1
x2 tendem a zero mais rapidamente que 1 x, quando x → +∞, de tal forma que a área no intervalo [1, l] é
acumulado menos rapidamente, essa diferença é suficiente para que as duas primeiras áreas sejam finitas e a terceira infinita.
Observação 10:
Pelos Exemplos 12 e 13 vimos que no intervalo [1, +∞] a área sob y = x13 é 1 2, sob y = 1 x2 é 1, e sob y = 1 x é infinita.
Porém, superficialmente o gráfico das três funções são muito parecidos.
Uma explicação é que x13 e
1
x2 tendem a zero mais rapidamente que
1 x,
quando x → +∞, de tal forma que a área no intervalo [1, l] é
acumulado menos rapidamente, essa diferença é suficiente para que as duas primeiras áreas sejam finitas e a terceira infinita.
Observação 10:
Pelos Exemplos 12 e 13 vimos que no intervalo [1, +∞] a área sob y = x13 é 1 2, sob y = 1 x2 é 1, e sob y = 1 x é infinita.
Porém, superficialmente o gráfico das três funções são muito parecidos.
Uma explicação é que x13 e
1
x2 tendem a zero mais rapidamente que
1 x,
quando x → +∞, de tal forma que a área no intervalo [1, l] é
acumulado menos rapidamente, essa diferença é suficiente para que as duas primeiras áreas sejam finitas e a terceira infinita.
Exemplo 14:
Para quais valores de p a integralR+∞
1 dxxp converge? Provamos assim: Teorema 4: Z +∞ 1 dx xp = ( 1 p−1, se p > 1 diverge, se p ≤ 1.
Exemplo 14:
Para quais valores de p a integralR+∞
1 dxxp converge? Provamos assim: Teorema 4: Z +∞ 1 dx xp = ( 1 p−1, se p > 1 diverge, se p ≤ 1.
Analogamente,
Definição 5:
A integral imprópria da função f no intervalo (−∞, b] é definida como
Z b −∞ f (x )dx = lim l→−∞ Z b l f (x )dx .
Definição 6:
A integral imprópria da função f no intervalo (−∞, +∞) é definida como Z +∞ −∞ f (x )dx = Z c −∞ f (x )dx + Z +∞ c f (x )dx , onde c é um número real qualquer.
2. Integrais cujos integrandos tem descontinuidades infinitas
Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, b), e a descontinuidade infinita ocorre no extremo direito. Analogamente, ao invés de calcular toda a área de uma vez, procedemos por partes. Assim,
2. Integrais cujos integrandos tem descontinuidades infinitas
Vamos começar com o caso onde f é contínua e não negativa em [a, b), e a descontinuidade infinita ocorre no extremo direito. Analogamente, ao invés de calcular toda a área de uma vez, procedemos por partes. Assim,
Definição 7:
Se f for contínua no intervalo [a, b], exceto por uma descontinuidade infinita em b, então a integral imprópria da função f sobre o intervalo [a, b] é definida como
Z b a f (x )dx = lim l→b− Z l a f (x )dx
Exemplo 15: CalculeR1 0 dx √ 1−x.
Analogamente, definimos as integrais impróprias com
descontinuidades no extremo esquerdo ou dentro do intervalo de integração como segue:
Definição 8:
Se f for contínua no intervalo [a, b], exceto por uma descontinuidade infinita em a, então a integral imprópria de f no intervalo [a, b] é definida como Z b a f (x )dx = lim l→a+ Z b l f (x )dx
Definição 9:
Se f for contínua no intervalo [a, b], exceto por uma descontinuidade infinita em um ponto c em (a, b), então a integral imprópria de f no intervalo [a, b] é definida como
Z b a f (x )dx = Z c a f (x )dx + Z b c f (x )dx
Exemplo 16:
CalculeR7