FPI-45-306-CL-AULA1

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Circuitos Lógicos

Paulo R. C. Vilela

Aula 02 – Sistemas de Numeração

• Motivação;

• Sistema Binário;

• Sistema Octal;

• Sistema Hexadecimal;

• Operações Aritméticas no Sistema

Binário;

• Exercícios

• O sistema de numeração com o qual estamos mais familiarizados é o decimal, cujo alfabeto (coleção de símbolos) é formado por 10 dígitos (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9). • Um Computador Decimal: se trabalhasse com o sistema

decimal um computador precisaria codificar 10 níveis de referência para caracterizar os 10 dígitos do sistema

utilizado. Esses níveis de referência poderiam ser

valores de tensão (0V, 1V, 2V, etc.) que precisariam ser definidos e interpretados de maneira clara e precisa pela máquina.

• Desvantagem: quanto maior o número de interpretações maior a probabilidade de erro. Para decidir que está

lendo o número 5 a máquina precisaria ter certeza de que o que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.

Motivação

• Conseqüência: O sistema de numeração

mais seguro deveria ser aquele com o

menor número de símbolos (dígitos).

• Conclusão: o melhor sistema de

numeração para uma máquina seria o

binário com apenas dois dígitos, o zero (0)

e o um (1).

• Apenas 2 algarismos:

– 1 e 0

• A quantidade zero é representada por “0”; • A quantidade um é representada por “1”; • E a quantidade dois?

• No caso decimal, tínhamos:

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 • Para o caso binário teremos:

0 – 1 – 10 – 11 – 100 – 101 – 110 - 111

Sistema Binário de Numeração

• Algumas definições:

– Bit = 1 algarismo binário;

• 1 • 0 – Nibble = 4 bits; • 1111 • 1011 – Byte = 8 bits • 11101001 • 10101101

– LSB = Bit menos significativo (Least Significant Byte); – MSB = Bit mais significativo (Most Significant Byte).

• Conversão Decimal – Binário:

– Dividir o número por 2 até quando possível:

– Utilizar os valores obtidos (resultado e resto) para compor o número binário, lendo de baixo para cima:

– Teremos então: (27)₁₀ = (11011)₂

Sistema Binário de Numeração

• Conversão Decimal – Binário:

– Outros Exemplos:

• 35₁₀ = 100011₂ • 11₁₀ = 1011₂ • 7₁₀ = 111₂

• Conversão Binário - Decimal :

– Um número decimal (base 10) pode ser

representado na forma unidade,

dezena, centena, milhar, etc...:

• 594 = 500 + 90 + 4

= 5.100 + 9.10 + 4.1 = 5.102 _{+ 9.10}1 _+4.100

Sistema Binário de Numeração

• Conversão Binário - Decimal :

– Considerando agora um número binário (base 2):

• 11101 = 10000 + 1000 + 100 + 00 + 1 = 1.24 _{+ 1.2}3 _{+ 1.2}2 _{+ 0.2}1 _{+ 1.2}0

– Realizando as operações, teremos:

• 11101 = 1.24 _{+ 1.2}3 _{+ 1.2}2 _{+ 0.2}1 _{+ 1.2}0

= 1.16 + 1.8 + 1.4 + 0.2 + 1.1 = 16 +8 +4 + 0 + 1

= 29

– Logo, (11101)

• Conversão Decimal – Binário:

– Outros Exemplos:

• 10011₂ = 19₁₀ • 101₂ = 5₁₀

• 1100₂ = 12₁₀

Sistema Binário de Numeração

• Conversão Decimal Fracionário – Binário:

– (8,375)₁₀ = (?)₂

– Separar parte inteira e fracionária:

• 8 + 0,375

– Para a parte inteira, o procedimento é o explicado anteriormente:

• Conversão Decimal Fracionário – Binário:

– Para a parte fracionária, multiplica-se o valor por 2.

• 0,375 . 2 = 0,75

– Caso o resultado seja maior que 1, prosseguir com o cálculo, subtraindo 1 do resultado e

utilizando este novo resultado para realizar o cálculo:

• 0,75 . 2 = 1,5 • 0,5 . 2 = 1

– Prosseguir com os cálculos até não ser mais possível calcular ou até o primeiro 1

aparecer.

Sistema Binário de Numeração

• Conversão Decimal Fracionário – Binário:

– O resultado final da parte fracionária é obtido usando os números inteiros da parte

calculada, lendo os mesmos de cima para baixo:

• 0,375 . 2 = 0,75 • 0,75 . 2 = 1,5 • 0,5 . 2 = 1

– A conversão é finalizado unindo-se o

resultado inteiro e o resultado fracionário:

Sistema Binário de Numeração

• Conversão Decimal Fracionário – Binário:

– Outros Exemplos:

• (19,258)₁₀ = (10011,01000001)₂ • (22,625)₁₀ = (10110,101)₂

Sistema Binário de Numeração

• Conversão Binário Fracionário – Decimal:

– Da mesma forma que para a conversão de números inteiros, vejamos um exemplo de número decimal fracionário:

• 7,5 = 7 + 0,5

= 7.1 + 5.0,1 = 7.100 _{+ 5.10}-1

– Para um número binário, temos:

• 110,101 = 100 + 10 + 0 + 0,1 + 0,00 + 0,001 = 1.22 + 1.21 + 0.20 + 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3 = 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125

• Conversão Binário Fracionário - Decimal:

– Outros Exemplos:

• (100,011)₂ = (4,375)₁₀ • (111,1101)₂ = (7,75)₁₀

Sistema Binário de Numeração

• Apenas 8 algarismos:

– 0 1 2 3 4 5 6 7

• No caso decimal, tínhamos:

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 - 11

– 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19

-20

• Para o caso octal teremos:

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 10 – 11 – 12 –

13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 20 ...

• Conversão Decimal - Octal :

– Procedimento igual à conversão binário -decimal, porém a base agora é a 8:

– (12587)₁₀ = (?)₈

– Logo (12587)₁₀ = (30453)₈

Sistema Octal

• Conversão Octal - Decimal:

– Procedimento igual à conversão decimal -binário, porém a base agora é a 8:

– (235)₈ = (?)₁₀ • 235 = 200 + 30 + 5 = 2.82 _{+ 3.8}1 _{+ 5.8}0 = 2.64 + 3.8 + 5.1 = 128 + 24 + 5 = 157 – Logo (235) = (157)

Sistema Octal

• 16 algarismos:

– 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

• No caso decimal, tínhamos:

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 - 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19 - 20

• Para o caso hexadecimal teremos:

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 - A – B – C – D – E – F – 10 – 11 – 12 ...

• Aplicação: Microprocessadores, mapeamento de memória em sistemas digitais

Sistema Hexadecimal

• Conversão Decimal - Hexadecimal:

– Procedimento igual à conversão binário -decimal, porém a base agora é a 16:

– (20152)₁₀ = (?)₁₆

Sistema Hexadecimal

Hexadecimal = B

• Conversão Hexadecimal - Decimal:

– Procedimento igual à conversão decimal -binário, porém a base agora é a 16

– (F0CA)₁₆ = (?)₁₀ • F0CA = F + 0 + C + A = 15. 163 _{+ 0. 16}2 _{+ 12.16}1 _{+ 10.16}0 = 61440 + 0 + 192 + 10 = 61642 – Logo (F0CA)₁₆ = (61642)₁₀

Sistema Hexadecimal

• Adição:

• Exemplo:

Operações Aritméticas no Sistema Binário

Anhanguera Educacional S.A. | www.unianhanguera.edu.br

• Multiplicação:

• Procedimento idêntico ao decimal;

• Exemplo:

– 11001₂ x 1011₂ = 100010011₂

Operações Aritméticas no Sistema Binário

• Exercícios:

– Realizar as seguintes conversões:

• 110101101₂ = ?₈ • 10011101110₂ = ?₁₆ • 5427₈ = ?₂ • F01CE₁₆ = ?₂ – Efetue as operações: • 110101₂+1011001₂ • 11110₂ x 110₂