Construção de mapas de iluminação e estimativa de incertezas associadas aos modelos de velocidade obtidos pela inversão da forma de onda completa

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Centro de tecnologia - CT

Centro de ciências exatas e da Terra - CCET

Programa de Pós Graduação em Ciência e Engenharia do Petróleo - PPGCEP

Construção de mapas de iluminação e

estimativa de incertezas associadas aos

modelos de velocidade obtidos pela inversão da

forma de onda completa.

Rafael Alves de Azevedo de Paula

(2)

Rafael Alves de Azevedo de Paula

Construção de mapas de iluminação e estimativa de

incertezas associadas aos modelos de velocidade obtidos

pela inversão da forma de onda completa.

Orientador: Gilberto Corso

Natal-RN

30 de Junho de 2020

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Paula, Rafael Alves de Azevedo de.

Construção de mapas de iluminação e estimativa de incertezas associadas aos modelos de velocidade obtidos pela inversão da forma de onda completa / Rafael Alves de Azevedo de Paula. -2020.

53 f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia do Petróleo, Natal, RN. 2020. Orientador: Prof. Dr. Gilberto Corso.

1. Inversão da forma completa de onda - Dissertação. 2. Estatística Bayesiana Dissertação. 3. Iluminação sísmica -Dissertação. 4. Point spread function - -Dissertação. I. Corso, Gilberto. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 519.24

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

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Rafael Alves de Azevedo de Paula

Construção de mapas de iluminação e estimativa de

incertezas associadas aos modelos de velocidade obtidos

pela inversão da forma de onda completa.

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciência e Engenharia de Petróleo.

Trabalho aprovado em 30 de junho de 2020.

Gilberto Corso - UFRN

Orientador

João Medeiros de Araújo - UFRN

Convidado

Marcos V. C. Henriques - Ufersa

Convidado

Pedro Tiago C. Carvalho - UFRN

Convidado

Natal-RN

30 de Junho de 2020

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Agradecimentos

Agradeço primeiro a Deus, por me conceder a oportunidade de fazer uma graduação e em seguida um mestrado. A minha família deixo meu muito obrigado, pelo suporte durante a essa jornada.

Não citarei nomes, pois são tantos a quem devo agradecer, que seria injusto alguém não ser mencionado.

Aos amigos que fiz aqui no Rio Grande do Norte e aos amigos que deixei em Belém do Pará, presto meus sinceros agradecimentos, sem vocês sem dúvida não seria possível terminar essa parte de minha jornada.

Aos amigos que fiz no mestrado, obrigado pelo suporte, ajuda e pelos momentos de descontração.

Agradeço ao meu orientador pela paciência e ajuda no desenvolvimento do trabalho. Agradeço a Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pelo suporte e pelo espaço físico concedido.

Agradeço, por fim, ao apoio da Shell Brasil através do projeto Métodos para inversão de forma de onda completa na Universidade Federal do Rio Grande do Norte -UFRN e a importância estratégica do apoio dado pela Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis ANP através do regulamento de PD. E ao apoio do Conselho Nacional Brasileiro de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).

(6)

Resumo

O imageamento da subsuperfície é um importante tema na geofísica e um tópico de grande interesse econômico. Diversas técnicas têm sido usadas na construção de modelos geológicos com informações precisas de suas propriedades físicas, e pode ser aplicada desde estudos ambientais até exploração de petróleo e gás. Uma das técnicas mais poderosas tem como base o uso da equação de onda e é conhecida na literatura como Inversão da Forma de Onda Completa (Full-Waveform Inversion - FWI, em inglês). O FWI é uma técnica formulada como um método de otimização em que tem como objetivo encontrar as propriedades físicas da subsuperfície, que conduzem às menores diferenças entre dados observados em campo e dados simulados computacionalmente. Essa técnica apresenta grande potencial, pois tem em consideração todos os fenômenos sofridos pela onda ao propagar-se no meio em que atravessa, tais como por exemplo, reflexões, refrações, difrações, atenuação, etc. No entanto o FWI é um problema inverso mal-posto no sentido de Hadamard, isto significa que vários modelos de velocidades podem ser uma solução para o problema. Ou por outras palavras, o modelo de velocidades resultante pode não corresponder ao modelo verdadeiro. Deste modo, surge a necessidade de avaliar a confiabilidade dos resultados fornecidos pelo FWI. A iluminação sísmica pode ser uma boa ferramenta no controle de qualidade da inversão e existem maneiras diferentes de se calcular, como traçamento de raios, ou usando a própria equação da onda. Outra alternativa é usar formulações provenientes da estatística bayesiana, nas quais é possível incorporar informação a prior acerca da região em estudo, através das incertezas relativas às velocidades do modelo inicial e posteriormente obter incertezas associadas aos modelos de velocidades obtido. Uma vez que existem técnicas que ajudam no controle de qualidade da inversão, juntamente com a necessidade da indústria desses tipo de estudo, o presente trabalho tem com objetivo comparar métodos que visam quantificar o quão bem essa inversão ocorreu e quais seus níveis de correlação. Os métodos utilizados são: Iluminação baseada na função de ponto de espalhamento (point spread function - PSF, em inglês), Iluminação baseada na energia da fonte e o cálculo de incertezas posterior com base em estatística bayesiana.Na tentativa de buscar essas relações , foram obtidos três inversões para o mesmo modelo de velocidades (Buja2019) e denominados BUJA I, II e III. Os mapas de iluminação mostraram um resultado coerente com o obtido na inversão, para as os casos BUJA I e II, contudo para o caso BUJA III não foi possível visualizar essa relação. Para os três casos, o cálculo de incertezas finais foram coerentes, porém o decaimento de incertezas finais com relação às incertezas iniciais, mostrou-se muito baixo, sempre menor que 17% para ,os três casos.

Palavras-chaves: Inversão da forma completa de onda. estatística Bayesiana. iluminação

(7)

Abstract

Subsurface imaging is an important topic in geophysics and a topic of great economic interest. Several techniques have been used in the construction of geological models with precise information on their physical properties, and can be applied from environmental studies to oil and gas exploration. One of the most powerful techniques is based on the use of the wave equation and is known in the literature as Full Waveform Inversion -FWI.The FWI is a technique formulated as an optimization method in which it aims to find the physical properties of the subsurface, which lead to the smallest differences between data observed in the field and computationally simulated data. This technique has great potential, as it takes into account all the phenomena suffered by the wave when it propagates in the environment in which it crosses, such as, for example, reflections, refractions, diffractions, attenuation, etc. However, the FWI is an inverse problem in the Hadamard sense, this means that several velocity models can be a solution to the problem. In other words, the resulting velocity model may not match the actual model. Thus, there is a need to assess the reliability of the results provided by the FWI. Seismic illumination can be a good tool in controlling inversion quality and there are different ways to calculate it, such as ray tracing, or using the wave equation. Another alternative is to use formulations from Bayesian statistics, in which it is possible to incorporate prior information about the region under study, through the uncertainties related to the velocities of the initial model and later obtain uncertainties associated with the obtained velocity models. Since there are techniques that help in the quality control of the investment, together with the industry’s need for these types of studies, the present work aims to compare methods that aim to quantify how well this investment has occurred and what its levels of correlation are. The methods used are: Illumination based on the point spread function - PSF, Illumination based on the energy of the source and the calculation of uncertainties later based on Bayesian statistics. these relationships, three inversions were obtained for the same velocity model (Buja2019) and called BUJA I, II and III. The illumination maps showed a result consistent with that obtained in the inversion, for the BUJA I and II cases, however for the BUJA III case it was not possible to visualize this relationship. For the three cases, the calculation of final uncertainties was consistent, but the decay of final uncertainties in relation to the initial uncertainties was very low, always less than 17 % for the three cases.

Keywords: Full waveform inversion. Bayesian statistics. Seismic illumination. Point spread

(8)

Lista de ilustrações

Figura 1 – Modelo de velocidades overthrust. . . 10

Figura 2 – Fluxograma para inversão, mostrando os principais passos para aplicação do FWI. . . 11

Figura 3 – Sismograma observado (A) obtido em campo; Sismograma calculado numericamente (B); Resíduo entre o sismograma calculado e observado (C) . . . 11

Figura 4 – Evolução das inversões.A Figura (A) representa o modelo inicial utilizado na inversão, as demais são iterações do FWI. . . 12

Figura 5 – Iluminação sísmica para um ponto. A Figura representa diferentes pontos com diferentes intensidades de iluminações. A Figura 5A ilustra um pontos com todos os traçados de raios associados a aquisição. As Figuras 5B, 5C e 5D ilustram intensidades de iluminação media, baixa e máxima respectivamente (LECOMTE, 2008). . . 13

Figura 6 – Modelo de velocidades Buja2019. A alta velocidade no centro do modelo representa um domo salino. . . 16

Figura 7 – Sismograma A representa o campo adquirido sem perturbação no mo-delo, já o B representa o campo com perturbação e C a diferença entre eles. . . 17

Figura 8 – Ilustração das PSFs. Os pares de figuras representam o ponto perturbado e a PSF do ponto respectivamente . . . 18

Figura 9 – Fluxograma para obtenção do mapa de iluminação com base nas PSFs 18

Figura 10 – Matriz que representa os pontos que foram perturbados para obtenção do mapa de iluminação. . . 19

Figura 11 – Mapa de iluminação extraído das Point Spread Function . . . 19

Figura 12 – Mapa de iluminação Fonte . . . 20

Figura 13 – Parte do modelo Marmousi utilizado para obtenção de resultados preli-minares. . . 26

Figura 14 – Modelo invertido. A Figura 14 (A) mostra mo modelo inicial utilizado na inversão. As Figura 14 (B) e (C) são iterações intermediárias, o modelo final obtido está na Figura 14 (D) . . . 27

Figura 15 – Mapa de incertezas. A Figura 15 (A) está mostrando as variância inicias associadas ao modelo e A Figura 15 (B) esta mostrando as incertezas associadas após a inversão.. . . 28

Figura 16 – Gráfico de decaimento dos auto valores associados à decomposição SVD. 29

Figura 17 – Diagonal da matriz hessiana obtida a partir das PFSs. . . 29

(9)

Figura 19 – Comparação de perfis em x = 2800m (A), x = 3200m (B) e x = 3600m

(C) entre o modelo real e invertido para o caso BUJAI. . . 37

Figura 20 – Gráficos apresentados, referentes ao caso BUJA I . . . 38

Figura 21 – Gráfico iluminação PSF versus resíduo referentes ao caso BUJA I. . . . 38

Figura 22 – Resultado apresentados referentes ao caso BUJA II. . . 39

Figura 23 – Gráficos apresentados referentes ao caso BUJA II . . . 39

Figura 24 – Resultado apresentados referentes ao caso BUJA III. . . 40

(10)

Sumário

Introdução . . . . 1

I

METODOLOGIA

4

1 INVERSÃO DA FORMA COMPLETA DE ONDA . . . . 5

1.1 Gradiente e matriz Hessiana . . . 6

1.2 Cálculo do gradiente . . . 7

1.3 Campo Adjunto . . . 8

1.4 Gradiente da norma L2 . . . 8

1.5 Passos para calcular o gradiente. . . . 9

1.6 Fluxograma e exemplos numéricos . . . 10

2 ILUMINAÇÃO SÍSMICA . . . 13

2.1 Point Spread Function . . . 14

2.1.1 Cálculo do Point Spread Function . . . 14

2.1.2 Passos para cálculo do Point Spread Function . . . 15

2.1.3 Exemplos numéricos de Point Spread Function . . . 16

2.1.4 Construção de mapas de iluminação a partir de Point Spread Function . . . 17

2.2 Iluminação quanto as fontes . . . 19

2.2.1 Exemplo numérico . . . 20

3 CÁLCULO DE INCERTEZAS ASSOCIADAS AO MODELO DE VE-LOCIDADE OBTIDO . . . 21

3.1 Decomposição em valores singulares (singular value decomposition - SVD) . . . 23

3.1.1 Estimando produto hessiana gradiente com PSFs . . . 24

3.1.2 Algoritmo de cálculo do produto hessiana-gradiente . . . 24

3.1.3 Algoritmo do single pass SVD . . . 25

3.1.4 Exemplo numérico . . . 25

II

RESULTADOS E DISCUSSÕES

30

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . 31

4.1 Testes numéricos no modelo Buja2019 . . . 31

(11)

4.3 Conclusões . . . 35

(12)

1

Introdução

O imageamento da subsuperfície é um importante tema na geofísica e um tópico de grande interesse econômico (YILMAZ, 2001). Diversas técnicas têm sido usadas na construção de modelos geológicos com informações precisas de suas propriedades físicas, o conhecimento desses parâmetros aplicam-se desde estudos ambientais até exploração de petróleo e gás (GRIFFITHS; KING, 2013). Tratando-se de prospecção de petróleo e gás, o método sísmico é o que mais se destaca, uma vez que este dentre os métodos geofísicos, é o que apresenta melhor resultado de imageamento de subsuperfície (BERKHOUT,

2012). Apesar disso, estudos com objetivo de melhorar essa imagem são necessários, posto que existem bacias sedimentares com geometrias extremamente complexas, que por sua vez limita o imageamento sísmico (MILKEREIT et al., 1996). Uma das técnicas que visa melhorar esse imageamento é a Inversão da Forma de Onda Completa (Full-Waveform Inversion - FWI). Essa técnica foi proposta inicialmente por Lailly(1983) e

Tarantola (1984a) e posteriormente desenvolvida por Tarantola (1986) e Pica, Diet e Tarantola (1990), contudo necessitava de hardware robustos. Com o desenvolvimento desses componentes fez com que a aplicabilidade dessa técnica se tornasse possível e uma das mais exploradas por pesquisadores no ramo da prospecção petrolífera (VIRIEUX; OPERTO, 2009; BROSSIER, 2009). No entanto, é ainda atualmente uma técnica que exige bastantes recursos computacionais. O FWI é uma técnica com grande potencial, pois considera todos os fenômenos ondulatórios que ocorrem no meio em que elas atravessam. Por se tratar de um problema não-linear, ela é formulada como um problema de otimização, o qual tem como objetivo minimizar a diferença entre os dados sísmicos observados no campo e os dados simulados em um determinado modelo parametrizado. Em sua maior parte, é empregado como otimização local, apresentando desafios como o cycle-skipping (ENGQUIST; FROESE, 2013). Uma vez que não se trata de um método de otimização global, sua solução está sujeita a atingir um mínimo local. Isso traz a necessidade de técnicas que possam quantificar o quão bem a inversão ocorreu (GOUVEIA; SCALES, 1998). A iluminação sísmica pode ser uma boa ferramenta no controle de qualidade da inversão e existem algumas maneiras de calculá-la, como traçamento de raios (MUERDTER; KELLY; RATCLIFF, 2001), ou usando a própria equação da onda (SANTOS; PESTANA, 2016;

CHEN; JIA; XIE,2016). Outra maneira é usar estatística bayesiana (GOUVEIA; SCALES,

1998; ZHU et al.,2016;IZZATULLAH; LEEUWEN; PETER, 2019; BUI-THANH et al.,

2013) que usa um modelo de covariância inicial e fornece uma estimativa da covariância final associada ao modelo invertido.

(13)

Introdução 2

Objetivos do trabalho

Uma vez que existem técnicas que possibilitam fazer um controle de qualidade da inversão, juntamente com a necessidade da indústria desses tipo de estudo, o trabalho tem com objetivo comparar métodos que visam quantificaras incertezas dessa inversão. Os métodos utilizados são:

• Iluminação baseada na point spread function; • Iluminação baseada na fonte;

• Cálculo de incertezas com base em estatística bayesiana.

Uma vez definidos os métodos utilizados no estudo, iremos usar inversões diferentes para um mesmo modelo de velocidades. O modelo escolhido foi o Buja2019 (REGO et al., 2019), este modelo foi escolhido, pois apresenta uma estrutura geológica conhecida como domo salino. Na sísmica, o domo salino sempre mostrou-se ser um grande obstáculo, se tratando de imageamento sísmico e por isso escolhemos esse modelo de velocidades. Feita a escolha do modelo, aplicamos o FWI clássico (NormaL2) para três modelos de velocidades iniciais diferentes. A qualidade da inversão está diretamente relacionado ao modelo de entrada, ou seja, quando mudamos o modelo inicial obtemos resultados com qualidades diferentes. Fazendo assim relação, não somente, com com inversões bem sucedidas, evidenciando se de fato a iluminação e o cálculo de incertezas indicam região de onde as inversões se mostraram correta.

Organização do trabalho

O trabalho apresenta 3 metodologias dessa forma o dividimos em quatro capítulos, como os códigos foram desenvolvidos pelo próprio autor, no fim de cada metodologia é feita uma aplicação do método a fim de uma confirmação da eficiência do código.

O capítulo 1 mostra os conceitos básicos de FWI, assim como a aplicação do operador adjunto para o FWI com a função objetivo NormaL2. A metodologia foi aplicada no modelo de velocidades Overthrust.

O capítulo 2 mostra os conceitos básicos de iluminação sísmica. Neste é possível reproduzir dois tipos de iluminação (fonte e PSF). Essas duas metodologias foram aplicadas para o modelo de velocidades Buja2019.

O capítulo 3 mostra os conceitos básicos sobre estatística bayesiana aplicada ao FWI, neste caso é utilizada a decomposição SVD na hessiana pré condicionada para estimar essas incertezas. Essa metodologia foi aplicada em uma parte do modelo marmousi.

(14)

Introdução 3

Por fim, o capítulo 4 é a aplicação das metodologias doo capítulos 1, 2 e 3 no modelo Buja2019. E também uma discussão sobre a eficiência dos métodos para diferentes resultados.

(15)

Parte I

Metodologia

(16)

5

1 Inversão da forma completa de onda

A inversão completa da forma de onda (em inglês full-waveform inversion - (FWI)) é um problema de otimização que tem como objetivo minimizar a diferença entre os dados sísmicos observados (obtido em campo) e calculados (obtido numericamente), afim de alcançar parâmetros físicos da subsuperfície da terra, tais como densidade, velocidade, etc. No domínio de tempo, foi proposta simultaneamente por Lailly(1983) e Tarantola

(1984b) , e posteriormente desenvolvida por Tarantola (1986) e Pica, Diet e Tarantola

(1990). Este método também foi desenvolvido no domínio da frequência (PRATT; SHIN; HICK, 1998) e desde de então vem sendo estudado estratégias para melhorar e aperfeiçoar esta metodologia. Neste capitulo faremos uma breve introdução desse método e quais seus principais desafios ele pode apresentar.

O FWI é formulado como um problema de otimização local não linear, que, em geral, consiste em minimizar a diferença entre os dados observados no campo e os dados calculados com a equação de onda. Em nosso caso, a função que queremos minimizar (função objetivo) é definida como ∆p = p(m)cal − pobs onde pobs é o dado adquirido em campo, pcal = f (m) é o dado simulado e f (m) a solução da equação de onda na posição dos receptores ao longo do tempo. O m pode significar diferentes parâmetros do subsolo(elasticidade, velocidade da onda s, densidade ), porém iremos nos reter neste trabalho somente a velocidade da onda-P do modelo, logo m = _v12.

A função objetivo mais utilizada no FWI é baseada na distância de mínimos quadrados conhecida também como norma L2 e matematicamente é escrita como:

Φ( ~m) = 1 2 nr X r=1 nf X rs=1 Z tmax 0 dt|~p(m)cal(xr, t, xs) − ~pobs(xr, t, xs)|2 (1.1)

onde pcal é o dado calculado, pobs o dado observado e tmax o tempo máximo de aquisição. nr e nf refere-se aos números de receptores e fontes sísmicas envolvidas na aquisição dos dados sísmicos, respectivamente.

Como o FWI é um problema não linear, usa-se métodos iterativos para resolvê-lo. Assim, assumindo que a solução do problema está próximo do ponto inicial ~m0, podemos

aplicar a série de Taylor para fazer uma aproximação, dessa forma temos:

Φ( ~m0+ ∆ ~m) = Φ( ~m0) + M X i=1 ∂Φ( ~m0) ∂mi ∆mi+ 1 2 M X i=1 M X j=1 ∂2Φ( ~m0) ∂mi∂mj ∆mi∆mj+ O( ~m3) (1.2)

(17)

Capítulo 1. Inversão da forma completa de onda 6

os termos de terceira ordem em diante nas derivadas, encontramos: ∂Φ( ~m0+ ∆ ~m) ∂mk = ∂Φ( ~m0) ∂mk + M X i=1 ∂2_{Φ( ~}_m 0) ∂mi∂mk ∆mi. (1.3)

Com objetivo de encontrar um ponto crítico da função Φ, igualamos aEquação 1.3

a zero: 0 = ∂Φ( ~m0) ∂mk + M X i=1 ∂2_{Φ( ~}_m 0) ∂mi∂mk ∆mi. (1.4)

Após isto reescrevendo aEquação 1.4 na forma vetorial: ∂Φ( ~m0) ∂ ~m ! M ×1 + HM ×M(∆ ~m)M ×1= 0 (1.5) onde Hij = ∂ 2_{Φ( ~}_m 0)

∂mi∂mk é conhecida como a matriz Hessiana e

_{∂Φ( ~}_m

0)

∂ ~m

é o gradiente da função objetivo no ponto inicial. Os subíndices representam as dimensões das matrizes. Da última equação pode-se calcular o termo de correção da forma

∆ ~m = H−1 ∂Φ( ~m0) ∂ ~m

!

(1.6)

a qual constitui a equação mais importante da otimização não linear de nosso problema. Em geral, otimização é feita através de um processo iterativo onde um nova interação é calculada a partir da última usando a seguinte equação

~ mk+1 = ~mk− αH−1 ∂Φ( ~mk) ∂ ~m ! (1.7)

onde α é conhecido como tamanho do passo e é um ajuste do vetor de correção que visa minimizar a Equação 1.1 mais rapidamente (NOCEDAL; WRIGHT, 2006), em outras palavras, acelerar a convergência.

1.1 Gradiente e matriz Hessiana

O FWI consiste em calcular numericamente o gradiente e estimar a hessiana. Um exemplo típico da ordem de grandeza M = 104_{, onde M é número de pontos}

que descrevem o modelo de velocidades. Tem-se um vetor gradiente com M elementos:

_{∂Φ( ~}_m 0) ∂ ~m =h∂Φ(m0) ∂m1 , ∂Φ(m0) ∂m2 , ∂Φ(m0) ∂m3 , ..., ∂Φ(m0) ∂mM iT

e uma matriz Hessiana da elementos M2 = 108: Hij = ∂2_{Φ( ~}_m 0) ∂mi∂mk =          ∂2_Φ(m 0) ∂m2 1 ∂2_Φ(m 0) ∂m1m2 · · · ∂2_Φ(m 0) ∂m1mM ∂2_Φ(m 0) ∂m2m1 ∂2_Φ(m 0) ∂m2m2 · · · ∂2_Φ(m 0) ∂m2m2_M .. . ... . .. ... ∂2_Φ(m 0) ∂mMm21 ∂2_Φ(m 0) ∂mMm2 · · · ∂2_Φ(m 0) ∂mMm2M          . (1.8)

(18)

Do ponto de vista computacional, um gradiente ocuparia aproximadamente 10MB, enquanto que uma matriz hessiana ocuparia 100GB. Considerando que é um problema iterativo, seria necessário calcular essa matriz dezenas a centenas de vezes, fazendo assim com que o cálculo dela seja inviável. Por isso, não calculamos de fato a hessiana. Fazemos então o cálculo do gradiente e a influência da hessiana sobre ele. Portanto, a quantidade mais significativa a ser calculada é o gradiente.

1.2 Cálculo do gradiente

Como a função-custo é composta, o gradiente deve ser calculado usando a regra da cadeia da seguinte forma:

∂Φ(u( ~m)) ∂ ~m ! M ×1 = ∂u ∂ ~m ! M ×N ∂Φ(u( ~m)) ∂u ! N ×1 (1.9)

A matriz _{∂ ~}∂u_m é conhecida como jacobiana, ou derivada de Frechét, ou sensibilidade, o índice N é referente ao número de amostras temporais. O cálculo direto dessa matriz implica em um custo computacional muito grande, uma vez que deveríamos calcular a influência de cada ponto do modelo nos sismogramas. Em diferenças finitas, isto implicaria fazer M (considerando um modelo de M variáveis) propagações de onda, o que tornaria o cálculo do gradiente muito caro, com relação a tempo de processamento.

Existe um método para simplificar o cálculo do gradiente. Para isso estabelecemos um vínculo com a função-objetivo, dessa forma devemos minimizar à função-custo vinculada a equação Equação 1.10 que é a própria equação da onda.

(L)N ×NuN ×1 = sN ×1 (1.10) onde s é um vetor que representa a fonte, e L é uma representação matricial do operador de propagação de onda. Para nosso caso, o operador L da equação de onda acústica (Equação 1.10) com densidade constante é:

L = m∂

2

∂t2 − ∇

2 _(1.11)

onde m = 1/v2 _{é o inverso do quadrado da velocidade (quadrado da vagarosidade) e ∇}2 _é

o operador laplaciano. Nesse caso o inverso do quadrado da velocidade foi escolhido como as variáveis do modelo m. Derivando a Equação 1.10 de onda com relação a ~m é obtido que: (L)N ×N ∂u ∂ ~m !T N ×M + ∂L ∂ ~m ! N ×M ×N uN ×1= 0 (1.12)

(19)

o supra índice T representa o transposto da matriz. A matriz cúbica _{∂ ~}∂L_m

N ×M ×N é uma matriz altamente esparsa e é fácil de calcular analiticamente diretamente da definição do operador (Equação 1.11). Deixando em evidência a matriz jacobiana da Equação 1.12, temos: ∂u ∂ ~m ! M ×N = − ∂L ∂ ~m ! N ×M ×N uN ×1 !T (L−1)T_{N ×N} (1.13)

substituindo Equação 1.13 na Equação 1.9, temos:

∂Φ(u( ~m)) ∂ ~m ! M ×1 = − ∂L ∂ ~m ! N ×M ×N uN ×1 !T (L−1)T_{N ×N} ∂Φ(u( ~m)) ∂u ! N ×1 (1.14)

1.3 Campo Adjunto

O termo (L−1)T_{N ×N}∂Φ(u( ~_∂um))

N ×1 é chamado de campo adjunto q e pode ser calculado reinterpretando sua definição (PLESSIX, 2006). Assim temos:

q = (L−1)T_{N ×N} ∂Φ(u( ~m)) ∂u

!

N ×1

(1.15)

multiplicando L em ambos os lados da Equação 1.15:

Lq = ∂Φ(u( ~m)) ∂u ! N ×1 !T (1.16)

Analisando a Equação 1.16, vemos uma grande semelhança desta equação com a Equa-ção 1.10. De fato, esta equação difere apenas pelo termo de fonte. Desse modo, o campo adjunto é calculado como um campo de onda cuja fonte é o transposto do campo ∂Φ(u( ~_∂um)). A seguir vamos ver esse conceito com o FWI no domínio do tempo e a norma L2.

1.4 Gradiente da norma L

₂

O operador adjunto é, no momento, o método de cálculo de gradiente mais utilizado no FWI. Assim, o gradiente da maioria das funções objetivos propostas no FWI são calculadas usando o operador adjunto. Usando esse princípio aplicaremos essa metodologia à função objetivo na norma L2 (Equação 1.1). Da Equação 1.14, o termo

∂L ∂ ~m

que define a derivada do operador de onda pode ser calculado/reinterpretado como:

∂L ∂ ~m ! = ∂ 2 ∂t2 (1.17)

(20)

Da definição da função objetivo na norma L2 (Equação 1.1), o termo ∂Φ(u( ~_∂um)) pode ser

calculado como:

∂Φ(u( ~m))

∂u = u − d (1.18)

e este passa a ser a fonte do campo adjunto (Equação 1.16). A transposição desse vetor no domínio do tempo é concebido como uma inversão do domínio temporal, ou seja, a fonte é injetada no propagador em direção reversa no tempo. Substituindo essas quantidades na definição de gradiente (Equação 1.14), é obtido a seguinte equação:

∂Φ(u( ~m)) ∂ ~m ! M ×1 = −∂ 2_u ∂t2q (1.19)

onde q é calculado com a equação:

Lq = (u − d)T (1.20)

.

Na linguagem do FWI, a propagação reversa no tempo é conhecida como retropro-pagação, portanto, se diz que o campo adjunto é calculado como a retropropagação das diferenças entre o dado calculado e o dado observado. O produto de ∂_∂t2u2 e q é feito para

cada ponto do modelo somando ao longo de todos os tempos. A expressão do gradiente calculado desta forma implica somente duas propagações de onda vezes o número de fontes. Uma para calcular o campo direto u e uma outra para calcular o campo adjunto q, o qual é muito mais rápido que o cálculo por diferenças finitaa, ou seja, usando a derivada de Fréchet.

1.5 Passos para calcular o gradiente.

Como temos todas as equações para calcular o gradiente via operador adjunto basta seguir os seguintes passos:

• Calcula-se o campo direto u no modelo de velocidades atual obtido e salve as segunda derivada de todo o campo de onda em todos os instantes.

• Guarda-se o campo obtido nos receptores e faz-se a diferença u − d.

• Uma vez terminado o cálculo do campo direto, faz-se o cálculo do campo reverso e multiplica-se pela segunda derivada do campo direto (ajuda na otimização de memória).

(21)

• Por último multiplica-se por um sinal negativo e esse é o resultado do gradiente. Uma vez que o gradiente dá o sentido de maior crescimento da função, devemos multiplicar por um sinal negativo, como mostrado no ultimo passo.

1.6 Fluxograma e exemplos numéricos

Aqui mostraremos um exemplo numérico com o objetivo de ressaltar a eficiência do método, uma vez que se tenha uma bom modelo de velocidades inicial. Vale ressaltar também que estamos trabalhando com dados sintéticos desde a aquisição até a inversão. Dessa forma obtendo um dado sísmico totalmente sem ruído, sem atenuação. O modelo que utilizamos para a inversão foi o Overthurst (Figura 1)(PAGEOT et al., 2013). Esse modelo é discretizado com 401 pontos (Nx) na direção horizontal (x) e 98 pontos (Nz) na direção vertical (em profundidade) (z). As 10 primeiras linhas que discretizam o modelo têm velocidade constante de 1500m/s2_{, que representaria a camada de água. Uma vez que}

a velocidade do som na água é conhecida, podemos já adicionar essa informação no modelo inicial para inversão. Os hidrofones estão localizados ao longo de toda a primeira linha que

Figura 1 – Modelo de velocidades overthrust.

discretiza o modelo. Para simular uma aquisição sísmica, utilizamos 50 fontes espaçadas de 400 m, com a primeira fonte localizada em x = 0m. O tempo de aquisição é de 6 segundos, com uma fonte Ricker de frequência pico de 6Hz. Para montar o sismograma observado, basta armazenar o campo de onda calculado com o modelo de velocidades verdadeiro nos pontos em que desejar situar os hidrofones, ao longo de todo o tempo de propagação.

O modelo inicial obtido para inversão foi extraído do modelo verdadeiro, aplicando uma suavização que retira as altas frequências (Figura 4 (A)). Na prática não é possível fazer isso, uma vez que o modelo verdadeiro não é conhecido, porém o modelo de velocidades obtido da tomografia de tempo de transito é um excelente ponto de partida para o FWI. O modelo de velocidade obtido na tomografia de tempo de transito é uma versão suave do

(22)

Figura 2 – Fluxograma para inversão, mostrando os principais passos para aplicação do FWI.

modelo verdadeiro de velocidades, isso se deve ao limite de resolução da primeira zona de Fresnel.

O fluxograma apresentado na Figura 2 mostra os principais passos para a inversão. Para calcular a função custo, fazemos o quadrado da diferença entre os dados observados e calculados de todos os sismogramas e somamos todos os pontos. A diferença entre o sismograma observado e calculado para a primeira iteração esta ilustrado na Figura 3. A

Figura 3 (A) é o dado observado (obtido em campo) a e Figura 3 (B) é o dado calculado no modelo inicial. Por fim a Figura 3 (C) é o resíduo obtido da diferença entre esses dois dados, que por sua vez é nossa fonte injetada no campo adjunto para obtenção do gradiente.

Figura 3 – Sismograma observado (A) obtido em campo; Sismograma calculado numerica-mente (B); Resíduo entre o sismograma calculado e observado (C)

(23)

O resultado de algumas das iterações da inversão está ilustrado na Figura 4(B), (C) e (D). De fato, a iteração 50 (Figura 4 (B)) já apresentou um excelente resultado de inversão e não difere muito das iterações 100 e 300 (Figura 4 (C) e (D) respectivamente). Dessa forma, deve-se aplicar um bom critério de parada para o FWI, afim de evitar gastar recursos sem obtenção de resultados relevantes, uma vez que o custo do processamento é extremamente alto. O limite direito do modelo apresenta distorções devido a geometria de aquisição utilizada que não favorece uma boa redundância do dado para a região.

Figura 4 – Evolução das inversões.A Figura (A) representa o modelo inicial utilizado na inversão, as demais são iterações do FWI.

(24)

13

2 Iluminação sísmica

Uma vez que foram apresentados os princípios de FWI, vamos agora introduzir o conceito de iluminação sísmica. Uma vez que estamos tratando de um problema inverso é natural que se tenha uma resposta física e que a partir dela iremos inferir um modelo de um dado parâmetro. Se tratando de FWI, que para nosso caso, estamos considerando somente a equação da onda acústica com densidade constante (Equação 1.10), a resposta física é a pressão e o parâmetro físico a ser inferido é a velocidade da onda P. Contudo todo o campo de pressão gerado pela fonte na aquisição sísmica não retorna à superfície, fazendo assim com que determinadas regiões não fiquem bem identificadas. Usando esse raciocínio iremos introduzir o conceito de iluminação sísmica, que nada mais é que uma forma de identificar quais pontos do modelo são melhor identificados em uma dada geometria de aquisição. Usualmente se faz essa analise utilizando traçamento de raios.

Figura 5 – Iluminação sísmica para um ponto. A Figura representa diferentes pontos com diferentes intensidades de iluminações. A Figura 5A ilustra um pontos com todos os traçados de raios associados a aquisição. As Figuras 5B, 5C e 5D ilustram intensidades de iluminação media, baixa e máxima respectivamente (LECOMTE, 2008).

Como ilustrado na Figura 5 (A), é possível estimar o quanto um dado ponto do modelo foi bem imageado/iluminado fazendo o traçamento de raios. De uma maneira mais quantitativa, dado um ponto definido na subsuperfície, como ilustrado na Figura 5 (B), o vetor iluminação (Isr) é definido como a diferença dos vetores vagarosidade que incide (p_s) e reflete (p_r) no ponto, respectivamente (LECOMTE,2008). Temos assim que a iluminação sísmica está diretamente relacionada com a geometria de aquisição. Matematicamente, o

(25)

Capítulo 2. Iluminação sísmica 14

vetor iluminação é definido como:

Isr = pr− ps (2.1)

que pode ser reescrito como:

Isr =

2 cos(θsr

2 )

V uˆsr. (2.2)

onde usr é o versor associado ao vetor iluminação e θsr é o angulo entre o vetores vagarosidade que incide e reflete no ponto. Analisando a equação Equação 2.2 temos que o vetor iluminação depende do angulo θsr. Desta forma, note que quando θsr é igual a zero temos que ûs = ûr, logo temos o vetor iluminação máximo, o que seria equivalente a um levantamento sísmico zero-offset (Figura 5 (C)), com fonte e receptor localizado no mesmo ponto. Por outro lado quanto maior θsr, o vetor iluminação tende a se torna menor (Figura 5 (D)). Admitindo um caso extremo em que θsr = 180◦, temos ûs= −ûr e o vetor

iluminação é nulo.

O traçamento de raios é o modo mais antigo de estimar iluminação. Porém, em nosso estudo, usaremos uma estratégia diferente. Utilizaremos neste trabalho, duas metodologias de estimar iluminação com base na própria equação de onda, essas são: iluminação obtida da função de ponto de espalhamento (PSF - Point Spread Function) e iluminação quanto à fonte.

2.1 Point Spread Function

O Point Spread Function, de um modo geral, pode ser entendido como um ponto distorcido que representa um objeto em um único ponto. O grau de distorção desse ponto é uma medida da qualidade de uma imagem. Usaremos esta técnica para fazer a análise de iluminação. Seguindo esse conceito, devemos criar uma imagem de um único ponto do modelo. Dessa forma, devemos calcular o campo espalhado associado a este ponto.

2.1.1 Cálculo do Point Spread Function

Para o cálculo do campo espalhado e o PSF usaremos a metodologia de Chen, Jia e Xie (2016). Se considerarmos um meio de densidade constante temos que a equação da onda é dada por:

1 ν2_(x) ∂2 ∂t2 − ∆ ! p(t, x; xs) = f (t, xs) (2.3)

(26)

posição xs. Calculamos a PSF para um ponto específico, escolhemos o ponto do modelo geológico que queremos analisar, e acrescentamos uma perturbação. Assim a distribuição de perturbação fica: δν(x) =    αν(x) ponto selecionado 0 demais pontos (2.4)

onde δν(x) é a velocidade perturbada e α é uma constante que definirá o valor da pertubação. Desta forma, temos que o campo espalhado desencadeado pela perturbação é δp(t, x; xs) e que a soma do campo sem perturbação com o campo causado pelo perturbação é o campo total δp(t, x; xs) + p(t, x; xs). Assim temos que o campo total é dado:

1 (ν + δν)2 ∂2 ∂t2 − ∆ ! (p + δp) = f (2.5)

Dito isso, o campo espalhado pelo ponto perturbado pode ser obtido da subtração entre a

Equação 2.3 eEquação 2.5. Assumindo que os valores de perturbação são no máximo de 10% (do próprio valor da velocidade do ponto), podemos assumir que α2 ≈ 0 e α∆δp ≈ 0, obtendo-se a seguinte equação:

1 ν(x)2 ∂2δp ∂t2 − ∆δp = 2α ν2 ∂2p ∂t2. (2.6)

Analisando a Equação 2.3e Equação 2.6, vemos que ambas tem a mesma forma, indicando que ambos os campos obedecem à mesma equação. Uma vez que temos o campo espalhado calculado, podemos calcular a migração (reverse time migration - RTM). A migração RTM é a geração da imagem com base em todo o dado adquirido na aquisição sísmica. Esse calculo é semelhante ao cálculo do gradiente via operador adjunto, diferindo somente a fonte utilizada na retropropagação, que é o próprio dado sísmico, para o caso da RTM. Uma vez que temos uma imagem gerada com base somente no sinal obtido por um único ponto do modelo de velocidades Equação 2.6, esperava-se que essa imagem seja de um único ponto. Contudo devido a limitação da geometria de aquisição (em outas palavras, limitação quanto a iluminação sísmica) o resultado passar a ser um ponto distorcido, que por sua vez é o PSF.

2.1.2 Passos para cálculo do Point Spread Function

1. Assume-se uma perturbação de 10% do valor da velocidade de onda-P no ponto onde se quer estudar a iluminação;

2. Calcula-se o dado d1 com o modelo perturbado;

(27)

4. Subtraí-se o dado d2 do d1 para obter o dado d3 do ponto espalhador definido do

item 1;

5. Calcula-se a migração usando o modelo de velocidades original (sem perturbação) usando-se d3 como dado observado, obtendo-se assim a imagem do ponto espalhado,

que é a PSF.

2.1.3 Exemplos numéricos de Point Spread Function

Aqui vamos apresentar uns exemplos numéricos de PSF no modelo Buja2019 (REGO et al., 2019)(Figura 6). O modelo original apresenta 751 pontos na direção horizontal e 251 pontos na direção vertical e 8 metros de distância entre os pontos para ambas as direções. Porém, com o objetivo de amenizar tempo de processamento e reduzir a quantidade de memória utilizada, sintetizamos o número de pontos para 376 e 126, nas direções horizontal e vertical respectivamente. Em todos os exemplos mostrados abaixo, foram posicionados receptores na primeira linha da matriz que descreve o campo de onda. Logo foram 376 geofones espaçados de 18 metros.

Seguindo o algoritmo listado anteriormente, calculamos primeiro o campo no modelo original, na localização das fontes ao longo do tempo, (confira Figura 7 (A)). Em seguida, calculamos o campo com uma perturbação representado na Figura 7(B). Fazendo a diferença de Figura 7 (A) com Figura 7 (B), temos a Figura 7 (C), que é o campo espalhado por um ponto qualquer selecionado e o campo espalhado passa a ser o "dado observado"para migração RTM.

Figura 6 – Modelo de velocidades Buja2019. A alta velocidade no centro do modelo representa um domo salino.

NaFigura 8temos exemplos de PSF calculadas, com 20 fontes espaçadas de 288 m com a primeira fonte em x = 8 m. Os pontos selecionados para adicionar perturbações são: x = 738 m e z = 1098 (Figura 8 (A)); x = 918 m e z = 3618 m (Figura 8 (D)); x = 3798 m e z = 1098 (Figura 8 (F)). Para o caso ideal nós teríamos o resultado do PSF

(28)

Figura 7 – Sismograma A representa o campo adquirido sem perturbação no modelo, já o B representa o campo com perturbação e C a diferença entre eles.

como uma função δ de Dirac, ou seja a correlação dos campo propagado e retropropagado estaria concentrada em um único ponto, porém como mencionado antes, devido a limitação do método temos uma região espalhada como resultado, e isso nos mostra o quão bem um ponto foi imageado. Analisando o PSF da Figura 8 (B), temos uma boa iluminação, pois apresenta um espalhamento pequeno, já paraFigura 8 (D) temos uma iluminação mediana com um espalhamento mediano. Por fim o PSF da Figura 8 (F), temos uma iluminação de baixa qualidade apresentando grande espalhamento, já esperado por se tratar de uma região abaixo do domo salino.

2.1.4 Construção de mapas de iluminação a partir de Point Spread Function

Os exemplos anteriores ilustrados na Figura 8 analisam pontos de perturbação isolados. Agora vamos utilizar a mesma metodologia para criar um malha de iluminação que nos mostrará onde a maior correlação do campo propagado e retropropagado está, indicando assim onde há maior resolução. Os spikes criados para perturbação foram espaçados de 90 m, no sentido vertical e horizontal, e estão representados na Figura 10.

O mapa de iluminação foi calculado da mesma maneira que as PSF da Figura 8, com 20 fontes espaçadas de 288 m estando a primeira fonte em x = 8 m. Cada PSF foi calculado isoladamente a fim de evitar crosstalk e foi feito o somatório de todas as

(29)

Figura 8 – Ilustração das PSFs. Os pares de figuras representam o ponto perturbado e a PSF do ponto respectivamente

Figura 9 – Fluxograma para obtenção do mapa de iluminação com base nas PSFs

PSFs calculadas. A Figura 9 ilustra o fluxograma a ser seguido para obter um mapa de iluminação. Com o objetivo de melhor visualizar os resultados, foi feita uma normalização, uma vez que as correlações na parte superior do modelo são demasiadamente maiores que as da parte inferior. A Figura 11é o resultado obtido. Para melhor visualização foi aplicada uma pequena suavização. Os valores menores indicam regiões com menor iluminação e valores maiores indicam regiões com maior iluminação.

Analisando aFigura 11, temos duas regiões com baixa de iluminação, são essas: o domo salino, no centro do modelo, e lateralmente em profundidade. Para o domo salino, isso

(30)

Figura 10 – Matriz que representa os pontos que foram perturbados para obtenção do mapa de iluminação.

Figura 11 – Mapa de iluminação extraído das Point Spread Function

se deve ao grande contraste de impedância acústica entre o domo salino e as rochas circundantes. Que por sua vez é um isolante quanto transmissão de energia. Já para nas laterais, isso se deve a geometria de aquisição que não favorece essas regiões do modelo.

2.2 Iluminação quanto as fontes

Outra alternativa para cálculo de iluminação seria quanto a energia da fonte. Este método estima em quais regiões propagou a energia gerada pela fonte sem levar em consideração se essa energia volta ou não para os receptores. Ou seja, para um dado campo a iluminação da fonte é dada pelo somatório do quadrado das amplitudes em cada ponto do campo ao longo do tempo. Podemos então escrever a iluminação como:

Is= X ns X t u(x, t)2 (2.7)

(31)

2.2.1 Exemplo numérico

Para o exemplo numérico, utilizaremos as mesmas configurações de aquisição e o mesmo modelo utilizado na iluminação feita com PSF. O resultado para essa tipo de iluminação está ilustrado na Figura 12. Apesar de ser um tipo simples de iluminação, correlacionado com a iluminação PSF, pode-se estimar regiões do modelo de velocidade em que a nergia foi transmitida, porém não retornou para os receptores.

(32)

21

3 Cálculo de incertezas associadas ao modelo

de velocidade obtido

Introduziremos agora a aplicação da estatística bayesiana no FWI, proposta por

Tarantola(1987). O teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento, baseado em um conhecimento a priori relacionado ao evento. A solução da inversão usando o teorema de Bayes é tratada como função de densidade de probabilidade (probability density function - PDF) e é escrito matematicamente como ρ(m|d), e se lê distribuição de probabilidade condicional do modelo m, dados os sismogramas d. O teorema pode ser expresso da seguinte forma:

ρ(m|d) ∝ ρ(m)ρ(d|m) (3.1)

onde ρ(m) é a distribuição de probabilidade a priori, a qual possibilita a inclusão de conhecimento a prior acerca da subsuperfície através de incertezas iniciais, e ρ(d|m) é a função de probabilidade que quantifica o quão bem os dados se encaixam com o modelo

m. Ou seja, o teorema de Bayes diz que a probabilidade do modelo dado o sismograma

pode ser reescrita como o produto da probabilidade do modelo com a probabilidade do sismograma dado o modelo. Para essa metodologia assumi-se que a informação a priori e a função de probabilidade são descritas por distribuições gaussianas, então podemos reescrever as duas parcelas do lado direito da Equação 3.1 da seguinte maneira:

ρ(m) ∝ exp −1 2(m − m0) T_Γ−1 prior(m − m0) (3.2) ρ(d|m) ∝ exp −1 2(d − F(m)) T_Γ−1 d (d − F(m)) (3.3)

onde Γprior é a matriz de variância a priori (Equação 3.4) com relação ao modelo de velocidades e tem dimensão M × M , onde M é o numero de pontos que descrevem o modelo de velocidades. Os termos m0 e m correspondem ao modelo inicial de velocidades

e ao modelo obtido após a iteração, respectivamente, e ambos dispostos como um vetor linha de comprimento M . Γ−1_prior =          1 σ2 m1 0 · · · 0 0 1 σ2 m2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1 σ2 mM          (3.4)

(33)

Capítulo 3. Cálculo de incertezas associadas ao modelo de velocidade obtido 22

O termo Γd é a matriz de variância a priori (Equação 3.5) com relação ao dado observado (sismogramas) e tem dimensão N ×N , onde N é o número de amostras temporais vezes o número de receptores, e para cada sismograma tem-se uma matriz de variância Γd. O termo d é o dado observado e F(m) é o dado calculado, e ambos dispostos como um vetor linha de comprimento N .

Γ−1_d =           1 σ2 d1 0 · · · 0 0 _σ12 d2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1 σ2 dN           (3.5)

O termo F(m₀) é o operador sobre m, que no nosso caso corresponde ao operador

de propagação da equação de onda com densidade constante. Substituindo a Equação 3.2

e Equação 3.3na Equação 3.1 e fazendo as manipulações matemáticas devidas, temos que a função objetivo passa a ser a Equação 3.6 (TARANTOLA, 2005).

Φ = exp 1 2(d − F(m)) T Γ−1_d (d − F(m)) +1 2(m − m0) T Γ−1_prior(m − m0) (3.6)

A Equação 3.6permanece como uma distribuição de probabilidade gaussiana para as informações, contudo, devido a operador da equação da onda não ser linear, a função de probabilidade posterior não é gaussiana. Podemos então linearizar o operador de equação da onda em torno do modelo posterior máximo, para se obter uma função de probabilidade gaussiana (GOUVEIA; SCALES,1998;BUI-THANH et al.,2013). Então assim a função de probabilidade posterior pode ser escrita como uma distribuição gaussiana (Equação 3.7).

ρ(m|d) = exp −1 2(m − m0) T Γ−1_post(m − m0) (3.7)

NaEquação 3.7 o termo Γ−1_post é conhecido como covariância posterior, e é a variável que buscamos calcular. E uma vez que temos a inversão usando o estatística bayesiana, podemos calcula-la usando a seguinte equação:

Γpost= (H + Γ−1prior)

−1

= Γ1/2_prior(Γ1/2_priorHΓ1/2_prior+ I)−1Γ1/2_prior (3.8) onde H é a matriz hessiana da função objetivo (Equação 3.6), porém como dito no capitulo 1, não é viável o cálculo da hessiana, uma vez que o problema em vista apresenta inúmeras variáveis e demanda de um custo computacional gigantesco.

(34)

3.1 Decomposição em valores singulares (singular value

decompo-sition - SVD)

Uma vez que o cálculo da hessiana é custoso, se faz necessário buscar estrategias que contornem o problema. Aqui, utilizaremos a estratégia utilizada por Zhu et al.(2016). Supondo que já obtemos um modelo invertido utilizando estatística bayesiana e queremos encontrar as incertezas através daEquação 3.8, para isso devemos fazer uma aproximação do termo Γ1/2_priorHΓ1/2_prior, denominado Hessiana a priori pré-condicionada (prior-preconditioned Hessian). Então como podemos fazer a aproximação pré-condicionada sem calcular a matriz hessiana diretamente? Aqui entra o papel das PSFs, elas podem ser interpretadas como o cálculo da diagonal principal da hessiana por diferenças finitas. Ou seja, de fato, não a calcularemos, iremos somente usar informações de alguns pontos da diagonal principal obtidos com as PSFs. E a partir dela usaremos as quantidades mais significativas usando (singular value decomposition - SVD) da Hessiana pré-condicionada.

A decomposição SVD consiste em, dada uma matriz qualquer A de tamanho M ×M (no caso, M na ordem de 106 _{ou maior) é possível fazer uma aproximação dessa matriz}

com rank-k, onde k << M , reescrevendo a matriz A como:

AM ×M ≈ UM ×kλk×kUk×MT (3.9) onde U e λ são os autovetores e autovalores associados à matriz A. Aplicando em nosso caso: Γ1/2_priorHΓ1/2_prior M ×M ≈ (Vr)M ×k(Λr)k×k V_rT k×M (3.10)

onde Vr são os autovetores associados a matriz, e Λr são os autovalores dispostos na diagonal principal. Uma vez que temos a aproximação da Hessiana precondicionada com as PSFs, podemos calcular a covariância posterior usando a seguinte equação:

Γ1/2_post = Γ1/2_prior(VrPrVrT + I) (3.11) onde: Pr =         1 √ λ1+1−1 0 · · · 0 0 √ 1 λ2+1−1 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · _√ 1 λk+1−1         (3.12)

e λi são os autovalores dispostos do maior para o menor na diagonal principal. Uma vez que temos a matriz da hessiana obtida com as PSFs, aplicamos o single pass randomized

(35)

SVD para fazer a aproximação (HALKO; MARTINSSON; TROPP, 2011). Contudo se faz necessário fazer um corte dos autovalores em torno de 0.1, conservando assim as informações importantes da hessiana pre condicionada.

3.1.1 Estimando produto hessiana gradiente com PSFs

Estimar a influência da hessiana no gradiente é um importante passo do processo, uma vez que ela vai reduzir o número de vetores aleatórios na decomposição SVD. Aqui utilizamos uma aproximação por diferenças finitas (ZHU; BOZDAĞ; TROMP,2015). Uma vez que é possível calcular o gradiente da função objetivo com baixo custo computacional, podemos estimar um ponto do produto hessiana gradiente como:

Hx ≈ g(m+x)-g(m) (3.13) onde, x é uma perturbação em um ponto do modelo de velocidades . O g(m + x) e g(m) são, respectivamente, o gradiente calculado via operador adjunto com uma perturbação no ponto x e sem perturbação.

x =    αm(x) ponto selecionado 0 demais pontos (3.14)

Uma vez que nosso objetivo é estimar o produto hessiana gradiente de uma maneira rápida, ao invés de calcular um ponto de cada vez, aplicamos todas as pertubações simultaneamente, fazendo assim, com que o custo do produto hessiana gradiente seja do cálculo de um gradiente via campo adjunto.

3.1.2 Algoritmo de cálculo do produto hessiana-gradiente

1. Adicionamos a perturbação de 10% no modelo de velocidades, nos pontos que desejamos estimar o produto hessiana gradiente.

2. Calculamos o gradiente com as perturbações g(m+x),(seguir algoritmo do capitulo 01)

3. Calculamos o gradiente nos modelo sem perturbação g(m).

4. Faz-se a diferença entre os dois gradiente g(m+x)−g(m).

5. Realocar os valores encontrados em uma matriz de tamanho M × 1, dispondo os valores em uma coluna.

(36)

Apesar de termos a informações com mais precisão somente em alguns pontos da diagonal principal da matriz, isso já é o suficiente para diminuir o número de colunas da matriz de números aleatórios da decomposição SVD.

3.1.3 Algoritmo do single pass SVD

Visto que temos a estimativa do produto hessiana-gradiente, podemos seguir para a decomposição SVD. Seguindo os seguintes passos:

• Criamos uma matriz X de números aleatórios com distribuição Gaussiana e média zero com tamanho M × r, onde r tem o mesmo rank da matriz H

• Calculamos o produto HX para obter Y (Y = HX). • Aplicamos a decomposição QR na matriz Y (Y = QR).

• Resolvemos o problema linear para Obter B (QTY = B(QTX)).

• Aplicamos a decomposição SVD sobre B (B = UλUT_). • Calculamos os auto vetores V (V=QU).

• Então , H ≈ VλVT.

Lembrando que devemos manter autovalores maiores que 0, 1 aproximadamente. Dessa forma a matriz de números aleatórios deve iniciar com um valor de r pequeno caso não se encontre o menor valor de autovalor próximo de 0, 1, aumenta-se o valor de r até que essa condição seja satisfeita. Quando estipulamos um valor em torno de 0, 1 estamos querendo manter somente as informações mais relevantes da matriz decomposta, ou seja, quanto mais valores aleatórios multiplicamos obtém-se uma matriz mais completa, contudo temos um custo computacional maior. Deve-se então buscar valor intermediário que favoreça ambas as partes.

3.1.4 Exemplo numérico

Para ilustrarmos a metodologia de (ZHU et al., 2016) aplicada ao FWI, utilizamos uma parte do modelo Marmousi (Figura 13) (BROUGOIS et al., 1990). Essa parte do modelo apresenta 201 e 101 pontos no sentido horizontal e vertical, respectivamente. Para este método foram utilizadas somente seis fontes espaçadas de 487.5 m e com a primeira fonte em 25m. Os receptores estão distribuídos em toda primeira linha que descreve o modelo de velocidades. A covariância inicial foi calculada sinteticamente utilizando o modelo real e uma função exponencial crescente conforme a profundidade aumenta. Seguidamente de uma severa suavização.

(37)

Os resultados das iterações do método de otimização são mostrados naFigura 14. Como mencionado anteriormente, é necessário definir incertezas iniciais relativas aos parâmetros (velocidades de onda-P) (Figura 15 (A)).A partir das incertezas iniciais é possível fazer o cálculo das incertezas posterior (Figura 15 (B)). O Gráfico 16 mostra o decaimento dos autovalores associados à decomposição SVD. Neste caso foram utilizados 3000 números aleatórios.

A Figura 17 está mostrando a estimativa da diagonal da matriz hessiana obtida a partir das PSFs. Neste caso foram causadas 91 perturbações simultâneas separadas de 62.5 m, tanto na vertical como na horizontal.

(38)

Figura 14 – Modelo invertido. A Figura 14 (A) mostra mo modelo inicial utilizado na inversão. AsFigura 14 (B) e (C) são iterações intermediárias, o modelo final obtido está na Figura 14 (D)

(39)

Figura 15 – Mapa de incertezas. A Figura 15 (A) está mostrando as variância inicias associadas ao modelo e AFigura 15(B) esta mostrando as incertezas associadas após a inversão.

(40)

Figura 16 – Gráfico de decaimento dos auto valores associados à decomposição SVD.

(41)

Parte II

(42)

31

4 Resultados e discussões

Com as metodologias mostradas nos capítulos anteriores, faremos com elas um estudo comparativo. Usando o modelo Buja2019 (REGO et al., 2019), aplicaremos o FWI em diferentes modelos iniciais a fim de obter diferentes resultado de inversão, e aplicaremos os métodos de estimar iluminação e mapa de incertezas, nos modelos obtidos a partir do FWI. Posteriormente comparou-se as iluminações e os mapas de incertezas com os resíduos e a correlação do modelo de velocidades real e invertido. Ou seja, não se trata mais de um problema exclusivamente inverso, uma vez que usaremos o modelo de velocidade real e, na prática, não se tem como fazer isso. Faremos essa análise a fim de identificar o nível de correlação, caso exista, entre iluminação, incertezas e uma boa inversão.

4.1 Testes numéricos no modelo Buja2019

Para essa análise usaremos 3 inversões diferentes. Todas as inversões foram compu-tadas da mesma maneira com a mesma geometria de aquisição diferindo somente o modelo inicial da inversão. A ideia central é suavizar o modelo inicial cada vez mais e investigar o que acontece para modelos mais afastados do verdadeiro. E uma vez que a qualidade do resultado depende diretamente do modelo inicial espera-se resultados com qualidade inferior para os modelos mais suavizados. Ou seja, o objetivo principal desse procedimento é obter resultados de qualidade variada, a fim de se analisar em quais situações essa correlação pode ser encontrada. Portanto, tem-se três inversões,uma com modelo pouco suavizado, outro com suavização intermediária, e um último com uma suavização mais forte. Foram utilizadas 20 fontes espaçadas de 288 m estando a primeira fonte em x = 8m, com 376 geofones. A fonte utilizada foi uma Ricker de 8Hz. Os códigos utilizados foram desenvolvidos pelo próprio autor com exceção do método otimização (LBFGS-B) (BYRD et al., 1995). O código foi desenvolvido, em parte, na linguagem de programação Júlia, já o método de otimização (LBFGS-B) já desenvolvido em fortran e está disponível em

<https://github.com/yuhonglin/Lbfgsb.jl/blob/master/src/Lbfgsb.jl>.

4.2 Resultados para as inversões

A seguir mostraremos os resultados. Para as inversões para ajudar na identificação de cada inversão decidiu-se nomear de BUJA I (pouca suavização), BUJA II(suavização intermediaria) e BUJA III (maior suavização), e são respectivamente, ilustradas na Fi-gura 18, Figura 22 e Figura 24. Cada caso apresenta resultados para as metodologias apresentadas nos capítulos 1, 2 e 3. Ainda para os casos BUJA I, BUJA II e BUJA III,

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Capítulo 4. Resultados e discussões 32

foram analisados os resultados obtidos de forma vetorial. Essa analise tinha o objetivo de identificar algum padrão/relação da iluminação com o resultado da inversão. Para isso, as matrizes foram rearranjadas como vetores, posteriormente foram dispostas como gráficos. Esses gráficos estão dispostos na Figura 20, Figura 23 e Figura 25.

Para o caso BUJA I, temos o modelo inicial apresentado naFigura 18 (A), se trata de um modelo pouco suavizado, consequentemente apresenta uma boa inversão exibida na

Figura 18 (B). Na Figura 18(C) eFigura 18 (D) são, respectivamente, o resíduo obtido da diferença entre o modelo invertido e o modelo real, e a correlação entre o modelo invertido e o modelo real. Já a Figura 18 (E) é referente ao mapa de iluminação da fonte, e a

Figura 18 (F) é referente ao mapa de iluminação das PSFs, ambos os mapas de iluminação foram obtidos utilizando o modelo de velocidades resultantes da inversão do caso BUJA I. Por fim tem-se o modelo de incertezas inicial apresentado na Figura 18 (G) e o modelo de incertezas final, indicado na Figura 18 (H). Os gráficos apresentados na Figura 20, são referentes, também, ao caso BUJA I. Onde os gráficos (A), (C) e (E) da Figura 20, busca correlações com a iluminação PSF. Já os gráficos (B), (D) e (F) da Figura 19 buscam correlação com a iluminação fonte.

Para o caso BUJA II, temos o modelo inicial apresentado na Figura 22 (A), se trata de um modelo com mais suavizado que o utilizado no caso BUJA I, contudo, ainda assim, apresenta uma boa inversão que esta exibida na Figura 22 (B). NaFigura 22 (C) e

Figura 22 (D) são, respectivamente, o resíduo obtido da diferença entre o modelo invertido e o modelo real, e a correlação entre o modelo invertido e o modelo real. Já a Figura 22

(E) é referente ao mapa de iluminação da fonte e a Figura 22 (F) é referente ao mapa de iluminação das PSFs. Ambos os mapas de iluminação foram obtidos utilizando o modelo de velocidades resultante da inversão do caso BUJA II. Por fim tem-se o modelo de incertezas inicial apresentado na Figura 22(G) e o modelo de incertezas final, indicado na Figura 22

(H). Os gráficos apresentados na Figura 23, são referentes, também, ao caso BUJA II. Onde os gráficos (A), (C) e (E) da Figura 23, busca correlações com a iluminação PSF. Já os gráficos (B), (D) e (F) da Figura 23 buscam correlação com a iluminação fonte.

Para o caso BUJA III, temos o modelo inicial apresentado na Figura 24 (A), se trata de um modelo com a maior suavização dentre os três casos. Na Figura 24 (C) e

Figura 24 (D) são, respectivamente, o resíduo obtido da diferença entre o modelo invertido e o modelo real, e a correlação entre o modelo invertido e o modelo real. Já a Figura 22

(E) é referente ao mapa de iluminação da fonte e a Figura 24 (F) é referente ao mapa de iluminação das PSFs, ambos os mapas de iluminação foram obtidos utilizando o modelo de velocidades obtido na inversão do caso BUJA III. Por fim tem-se o modelo de incertezas inicial apresentado na Figura 24(G) e o modelo de incertezas final, indicado naFigura 24

(H). Os gráficos apresentados na Figura 25, são referentes, também, ao caso BUJA II. Onde os gráficos (A), (C) e (E) da Figura 25, busca correlações com a iluminação PSF. Já

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Capítulo 4. Resultados e discussões 33

os gráficos (B), (D) e (F) da Figura 25 buscam correlação com a iluminação fonte.

O caso BUJA I, foi feita com um suavização muito leve da do modelo verdadeiro propositalmente, com o objetivo de se obter um bom modelo de velocidades na inversão, e foi obtido com 163 iterações (Figura 18 (B)). Esse bom resultado, se comprova no modelo do resíduo e exibido na Figura 18(C), as regiões em azul indicam as regiões onde o modelo de velocidades obteve melhor resultados. Analisando esse modelo de resíduos, temos que somente a região abaixo do domo salino apresentou valores elevados. Contudo, já se era esperado, uma vez que, as regiões abaixo do sal, são um grande desafio, quando se trata de imageamento sísmico. Passando agora para o mapa de iluminação da fonte apresentado na Figura 18 (E) e o mapa de iluminação das PSFs exibido Figura 18 (F), a princípio tem-se que entre os dois mapas o que apresenta um resultado mais otimista é o obtido das PSFs, ele mostra uma alta na iluminação em regiões abaixo do domo salino, porém ainda assim nas regiões mais centrais apresenta valores menores de iluminação, indicando uma boa correlação entre a boa iluminação PSF e o resultado da inversão. Analisando o mapa de iluminação quanto a fonte temos um resultado mais pessimista com relação ao mapa de iluminação obtido com as PSFs, porém ele pode indicar as regiões em que houve passagem de energia, mas que não retornou a superfície. Por ultimo tem-se o mapa de incerteza inicial (Figura 18 (G)) e final (Figura 18 (H)), apesar de apresentar resultados coerentes com os mapas de iluminação obtidos para o mesmo caso, o decréscimo de incertezas foi muito baixo, aproximadamente 14.6% de decaimento.

De todos os resultados obtidos para o caso BUJA I, os que se destacam são as iluminação quanto a fonte e as PSFs. Uma vez que a iluminação pode estar diretamente ligada a uma boa inversão, esperamos que para que quanto maior a iluminação em um ponto, melhor será o resultado. Com isso, isso os gráficos da Figura 20 tem o objetivo de encontrar essa relação de dependência mesmo que qualitativamente. Desses gráficos ressaltamos o (A) e (B), nestes podemos ver que apresentam os resultados esperados, onde os valores de alta iluminação apresentam menor resíduo e consequentemente valores de iluminação menor apresentam maiores resíduos. Contudo, podemos dividir esses gráficos em 3 regiões que não condizem com o resultado esperado. Para isso tem-se o Gráfico apresentado na Figura 21, onde se tem 3 regiões divididas por cores: vermelho, azul e amarelo. O região em vermelho pode estar relacionado as suavizações que ocorrem devido ao método numérico utilizado na inversão (diferenças finitas). Uma vez que nosso modelo de velocidades apresenta saltos abruptos de velocidade, e que pode ser visto no perfil apresentado em gráfico na Figura 19. Neste mesmo gráfico tem-se o perfil de velocidades obtido na inversão, as duas setas vermelhas mostram a suavização que ocorre no perfil invertido. Essas suavizações na inversão podem explicar a região em vermelho. A região em amarelo pode estar associado ao embasamento do modelo, uma vez que os valores de iluminação são muito baixos, no entanto como a suavização não modifica esse embasamento abruptamente temos bons resultados, porém não associados a eficiência do método e sim