Questões de Exames de Admissão, 1953.

(1)

M A N O E L J A I R O B E Z E R R A

Qiutstóes de Dunnes

d e A d u d s s à o

à s E s c o l a s N o r m a i s

CARMELA DUTRA E INSTITUTO DE EDUCAÇÃO e B o p r i m e i r o a n o d o

COLÉGIO NAVAL, ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES

e

ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO AR

L N A C I O N A L

(2)

(3)

QUESTÕES DE EXAMES

(4)

Exemplar N9

_{^ 9 9 9}

1 9 5 3

Obra executada' ruts oficinas da

S5o Paulo Editora S/A. - Rua Barão de Ladário, 220

Fones: 9-9087 e 9-9932 - SSo Paulo, Brasil

M A N O E L J A I R O B E Z E R R A

Licenciado cm Matem.ilica pela Faculdade Nacional de Filosofia. de Matcm.itica do Colírio Metropolitano. Ex-profcssor do Colófjio Naval. Prof, do Curso de Técnica de Ensino do Exército. Aprovado no concurso para prof,

da Escola de Aeronáutica. Prof, do Colésio Pedro H

Questões de Exames

de Admissão

à s E s c o l a s N o r m a i s

C a r m e l a D u t r a e I n s t i t u t o d e E d u c a ç S o

e ao primeiro ano do

Colégio Naval, Escola Preparatória de Cadetes

o

E s c o l a P r e p a r a t ó r i a d e C a d e t e s d o A r

C O M P A N H I A E D I T O R A N A C I O N A L

(5)

6agíí^

DO MESMO AUTOR

CuTSo de Matemálica, 1." ano colegial.

Curso de Matemálica, 2." ano colegial.

e d t ç õ e s d . \

COMPANHIA EDITORA NACIONAL Rua dos Gusmões, 639 — SÃO PAULO

í n d i c e

I n t r o d u ç ã o

I) Escola Normal Carmela Dutra. .

II) Instituto de Educação III) Colégio Naval

IV) Escola Preparatória de Cadetes..

V) Escola Preparatória de Cadetes

(6)

I N T R O D U Ç Ã O

Este li\To de exercícios contém todas as ques

tões, com suas soluções, dos exames de Admissão aos cursos normais da Escola Carmcla Dutra e Ins tituto de Educação, desde o primeiro exame até

1953, inclusive. Contém, também, tôdas as ques tões, com soluções, dos exames já realizados para o primeiro ano do Colégio Naval (1951/52/53) e

as questões do exame para o primeiro ano da

E. P. C., realizado em 1952, e, para o primeiro

ano da E. P. C. Ar, realizado em 1951,

E nosso objetivo ajudar as alunas e alunos que se destinam a essas escolas, dando-lbes, não

só oportunidade de resolver, ou, em último caso,

aprender a resolução de um grande número de

questões do programa, como, também, a possibi

lidade de ambientá-los com essas provas, e de ca

pacitá-los a avaliar a dificuldade dessas questões em seu conjunto.

Acreditamos, outrossim, que, com o nosso tra

balho, estejamos prestando uma colaboração va

liosa aos professôres dos Cursos de Preparação

para essas escolas, aos mestres que preparam, par

ticularmente, candidatos a êsses estabelecimentos de ensino, e mesmo aos professôres do Curso Gi-nasial, que terão, neste livro, uma ótima fonte de consulta para exercícios.

(7)

I) ESCOLA NORMAL CARMELA DUTRA

P r o v a d e I M a t e m á t i c a

(Examo de AdmiPFão à primeira sírio do Curso Normal, realizado em 2/12/19-iG).

P R I M E I R A É P O C A

1 ® Questão : Calcular a área de um trapézio isósceles do

qual uma das bases é 6 e um dos lados não paralelos

é w .

Sabe-se que m contém tantas unidades quantos são os números de 4 algarismos divisíveis por todos os números de

1 algarismo.

b é dado pela condição de que as equações

X - - 1 0 : r + 6 = 0

7/- - 11?/ + 26 = O tenham uma raiz comum.

O perímetro do trapézio é igual ao número de lados de

um polígono convexo que tem 170 diagonais distintas.

A á r e a é d a d a e m m - .

2.» Questão : Determinar K no sistema K x - 2 ) / = + 2

3.r + (5 - 70 y = 27C + 2

de modo que :

1.®) as equações sejam incompativeis;

(8)

1 2 _{Manoel Jairo Bezerra}

3. Questão : Defina a divisão de um segmento cm média

® razão; deduza a fórmula do segmento áureo

e justifique a construção.

R E S O L U Ç Ã O f') 1) Cálculo dô th:

09 núracros^deí^SESsmo^íí^^^H^ ^ aiRarismos divisívcia por todos

o zero, que não números de l aleariamo c» i primeiro o m.m.c. dos

possuam 4 algarismos. ' ' múltiplos dôase m.m.c. que (1 2, 3. 4. 5, 6. 7, 8. 9) = 2 520.

eus múltiplos do 4 algarismos sao 2 520, 5 040 o 7 5C0

7 n ^ o

2) Cálculo de b:

Seja o uma raiz comum hs duas cuações, então

0> - lOo + 6 =- O

a' - 11o + 26 = O •' • f o ■" 10o + 6 = o

Q r v I ® + l i o - 2 6 = O

Somando vem - ^ 106 + , = o M - 9, . p .• 6 = 9

) Cálculo do perímetro do trapézio (2p) •

2 p = n " ( ^ - 3 ) 2 - 1'0 -n»-371=340

LiJíUTãüÕ

n U i =

«=■20 portanto, 2p = 20.

4) Cálculo da área do trapézio :

2 0 ^ 3 + 37 2 «1 = -17 (estranha) w 6 + 6' X h Se 6 = 9 _{6' = 20 - 9 - 6 = õ} S 9 + 5 X h Mas h = Tr9~r~4 ^

• ■ ® " 7 ^ ou 5 - 7 X 2,23

15,61in® Fig. 1 í T *

Questões de Exames de Admissão 1 3 2.*) 1) As eqtiações sejam incompalivcis.

A condição para que o sistema seja incompatível é:

k — 2 / í + 2 a : ■ ■■ s I 3 5 k - k ' = - G i t » - 5 f c - 6 = O 5 ~ k 2 f c + 2 2k"- + 2A- ?í 3fc + 6 2k^ — k — Q 9^ O temos R e s o l v e n d o f c ' = 6 k " = - 1 / f c ' = 2 E se s e a n u l a p a ra /c=2 o u A:= 2 Então 2/c^-fc-GpíQ para k9^2 e k^~ — 2

Portanto: fe = 6eA;=-l são os valores que tornam as equações i o c o m p a t í v c i s . 2) O sistema c indeterminado. 7 c + 2

A condição é -^ = -—%- =

O 5 - 5/c - G = o 2 f c + 2 e 2 A : - - k que nos dá 6 = 0 A : = 6 e Â : = - l / c = 2 e

Não existem, pois, valores que tornem o sistema indeterminado.

3.") Diz-se que um ponto M divide um segmento .-IjS em "média e ex

trema razão", quando sua distância a uma das extremidades A do segmento ó média proporcioual entre sua distância ao outro ex tremo e o segmento AB.

O maior dos dois segmentos determinados pelo ponto M, diz-se "segmento áureo".

Assim, na figura abaixo o ponto Aí dividirá o segmento .4fi em médi.a c e.xtrcma razão, se

A B

M Ã

M A

W b A M

A B

e o maior segmento MA é o segmento áureo.

Dedução da fórmula do segmento áureo. — Seja um segmento

= l e seja x o segmento áureo. Tem-se pela definição:

J _ z

z l - X

(9)

1 4 _{Manoel Jairo Bezerra} - l ± l

2

• . ™ ± + 4 1 '

2 ^ e o valor positive de a: eerA:

3: = -^(v"5-I) ^0,018Í

segmento ÃB 11 deteím^namo^^" eegmci^ áureo. — Seja um

proporcional entré / e ^ ° segmento MA = s que seja média

Tracemos por B o segmento

~2 perpendicular a AB '.

°_iUP0?te7el^VurfaJrprr ^ ^ tracemos

A D A C

1

Empregando Fig. 2

4-"", teremos: "' ®o°io a diferença ^

_{crença entro os 2 últimos}

X c

Questões dc Exames de Admissão 1 5

Mas, AC - AM e como AM é média proporcional entre o segmento

% ^ r . r t » c v » - » ♦ « í / l y * . t » » ^ - l — P ? - ? ^ * 1 ^ •

• - U f l O g U i e n i O

/l/í_^0 sc-gmcnto MB, outâo, por definição, AM = x ó o segmento áureo

d o A B e t o m o s : ,

i — X X

X l

Nota : Neste primeiro concurso, todos foram reprovados nesta prova de

M a t e m á t i c a .

SEGUNDA ÉPOCA

(Realizada em 15/3/1947).

Resolva, no papel almaço, as questões propostas, indi

cando todos os cálculos necessários à sua resolução. Utilize

para rascunho uma folha de papel anexa. As questões resol

vidas apenas no papel de rascunho não serão consideradas.

1 . '

2 }

Prova sorteada n.° 3

Questão; I) Calcular

а) O número de divisores de 240;

б) A raiz quadrada inteira de 4 31S,52;

c) O número de algarismos necessários para escrever

todos os números inteiros desde 1 até 136 (inclu

sive).

II) Calcular o menor número pelo qual se deve

multiplicar o m.m.c. dos números 144, 270 e 320, afim

de que o produto seja o quadrado de um número inteiro.

Questão: Num quadrado, cujo lado mede 6 metros,

inscrcve-se um círculo; nesse círculo inscreve-se um

triíingulo eqüilátero e nesse triângulo inscreve-se um

cjrculo. Pede-se calcular:

1) A diagonal do quadrado;

2) O apótcraa e a área do triângulo eqüilátero ;

3) A área da coroa cii'cular, limitada pelos dois cír

c u l o s .

(10)

1 6 _{Manoel Jairo Bezerra} 3.' Questão :

1) Compor a equação do 2.® grau cujas raízes são

= 1 +

z " = X - V 3

2 ~ - 2

) Calcular m de modo que as raízes da equação

sejam: ^(.r + i) . ^+ 3)

а) reais e iguais.;

б) simétricas.

Nota : Valores atribuídos às questões :

Primeira questão : 30 pontos.

Segunda questão : 40 pontos.

Terceira questão ; 30 pontos.

1-) 1) Calcular: "^SOLUÇÃO

") Decompondo 240 cm fatóres temos:

O núm == 2' X 3 X 5

primos aumentados de umrmddlde expoentes dos fatôrea

6 )

A r -

+

=

_ i n t e i r a d e 4 3 1 R w A I ^ g o : é a r a i z d e s u a p a r t e i n t e i r a , n T í — . 1 2 5 X 5 c) De _{1 a} " R e s p o s t a : 6 5

10 a 99 aão 99 númerr l = 9 algarismos

P>e 100 a 136 são 37 nr,m algarismos = 180 algarismos

eros de 3 algarismos = 111 algarisi^

Total; 300 algarismo^

Questões de Exames de Admissão 1 7

2) Calculemos o m.m.c. (144,270,320): Fatorando cada um dôsses números, temos

144 = 2* X 3=; 270 = 2 X 3' X 5 e 320 = 2" X 5

l o g o : m . m . c . = 2 « X 3 ' X 5

Afim de que seja quadrado, os expoentes dos seus fatOres devem ser pares. O menor número pelo qual se deve multiplicar o m.m.c. será

3 X 5 = 1 5

2 . " ) A i ? = = 6 w

1) Cálculo da diagonal do quadrado;

ti = iV"2=GV2"=CX 1,414 = 8.4S4

Resposta: 8,484m

Fig. 3

2) Cálculo do apótema e da área do triângulo oqttilátero:

R _ p V 3 " 3 R ^ v y O j = r ií = a< I 4 5 , = G m 3 n i a , = 3 m 2 = l,5jn e Si ~ „ 27 X 1,732 3X(3m)«V3" 27 V3 n v m ' = l l , 7 0 » i '

(11)

I S _{Manoel Jairo Bezerra}

3) Cálculo da área da coroa circular:

Sm - xCfíí-r') = Tt[(2r)3-rí 1 = TCXSr» = 3xr» = 3X3,UX(1.5)'=

"« 21,1850 Resposta: 21,1 8õ0m*

3 »

x ' . x '

E a equação pedida será:

■ 4 4

i" 2i + i = o ou 4a;' - + 1 = O

2) Preparando a equação, tomos;

'''"^^^ + 3-m + 2„,-.a;. + (3-„.)a: + 3-2m = 0 O

") Para que as rataes sejam reais e iguais 4 necesstóo que:

A = O ou 6> - ãns = o

Temos; O - m)'- 4(3 - 2«) = Q

Reso, /"3"' + '"'-12 + 8a.-0 ou m'+ 2m - 3 = O

Resolvendo, temos: m' = - 3 ç m" => l

R e s p o s t a : T O « » - 3 o u m = ' l

qSdrSiVo ^ necessário que a equaçao

quadrático e o têrmo independent rf ®ejam reais (o têrmo

I s t o é : - e q u a ç ã o t e n h a m s i n a i s c o n t r á r i o s ) .

' ® - W = o .•. m _ 3

E fácil de ver qug

tôrmo Imear e que os doía ^ equação (i) não possui apenas o

N o t a • N e s t a ' ' ' ' ' ' ' ' c o n t r á r i o s .

após todos os exames,

ÍJÍÍ'™ Pc>8 a primeira ttnf« 1 ^«^es 30 alunos

consti-mela Dutra. do Curso Normal da Escola

C-or-Questões de Exames de Admissão 1 9

P r o v a d e M a t e m á t i c a

(Exame de admissão ao Curso Normal, reali

zado em 1948). 1.» 2.» 3 . » 4 . " 5.» 6 . " 7 . " 8 . ' ' 9.» P R I M E I R A É P O C A

Questão : Resolver ~ 4- ^ —

6 4 3

Questão : A soma de dois números é 100 e o produto,

1 875. Determinar éstes números.

Questão : Qual é o número, cujos ~ mais os mais

5 7

54 é igual ao próprio número, mais 72?

Q u e s t ã o ; E f e t u a r ^ + V

^ ~ y ' { x - y Y Questão : Efetuar 1 _ 1 1

a3 X 6-^ X c-2 X 6 s X a-^ X 6-2 X x c

Questão : Desenvolver

Questão : Fatorar aò - ac +

Questão : Sendo N um número que admite 96 divisores,

determinar x sabendo-se que 77 = 2^ X 3^ X 5®. '

Questão : Dadas as raízes da equação do 2.® grau,

2 ± VT

(12)

10.' Questão : Resolver o sistema 3a: —^ > 20 —

2 {2x 3) > 5.T

-11." Questão : Extrair a raiz quadrada de 12 a menos de

12.' Questão : Faturar (6 - c)^ - (p,

1 3 . ' Q u e s t ã o : R e s o l v e r ^ = 3

X -2 x~ 1 (x - 2) (a; - 1)

14. Questão . C^cular a taxa a que deve ser colocada o

capital de CrS 80,00, para que no fim de 11 anos pro

duza CrS 22,00 de juros.

15.' Questão ; Racionalizar o denominador da fração:

2

VT + VT

16.' Questão ; Simplificar + 5a: -f 7?/ -j- xy

17.' Questão : Fatorar 12a%^ ~ + ISOa^òO - Oa^b».

18.» Questão; Determinar a média proporcional de ^ e

Questão . Reduzir ao mesmo índice os radicais »

-fãh e

f 3 números é 324 e o m.d.c.

meros. Determinar o m.m.c. dêsses

nu-Q^estao. Qual ^ Q polígono, cujo número de lados é

a do número de diagonais?

22.' Questão : Num oí i

um hexágono ^ inscritos um quadrado e

4m. Calcular o n^' diagonal do quadrado mede

_{® perímetro do hexágono regular.}

23.' Questão : Os raios de dois círculos concêntricos medem õm e 2m, respectivamente. Calcular a área da coroa

c i r c u l a r .

24.' Questão : Um triângulo é eqüivalcnte a ura retangulo, cujas dimensões medem 6m e 8m, respectivamente. A base do triângulo é igual á diagonal do retangulo.

Calcular a altura do triângulo.-^

25.° Questão : A altura de uma pirâmide é igual a 8m, a base é um retangulo de 128m de perímetro, sendo uma das dimensões do retangulo o triplo da outra. Cal cular o volume dessa pirâmide.

Nota : 4 (quatro) pontos para cada questão; mínimo para passar — 50

p o n t o s .

R E S O L U Ç Ã O

1.") Da 2.» equação y = 2r.

SubstiUiindo na 1.' equação teremos:

2a; + Gr = 8 .". I = 1 ■ g + " 4 = " 3 e y = 2 a ; = 2 Resposta: x = 1 e y = 2 2.») 5 = 100 e P = 1 875. C a d o i s n ú m e r o s s e r ã o a s r a í z e s d a e q u a ç ã o j a;a - 5x + P = O ou ~ lOOx + 1 875 = 0 T e m o s :

^ ^ 100 + V10 000 - 7 500 ^ 100 ± 50 „ 75 3 „ 2Ó

2 2

Resposta: Os números são 75 e 25

3.") Seja X o número. E n t ã o :

2£ + ?2 + 54 = x-I-72

5 7 14.T -h 15x + 1 890 = 351-1-2 520 - Ci = 630 X - - 1 0 5 R e s p o s t a : O n ú m e r o é - 1 0 5

4.«) X (x-y)^ ^

_- _y _{x p y} x' - y'

(13)

2 2 Manoel Jairo Bezerra Questões de Exames de Admissão 2 3 5.') 6 - ) 7 - ) 8.-) 9.') S

■|--5-7 -4_J._2 _2-~

_{X b} ₅ _{X c} _T 3 4 3 2_ a 8 6 T <

(a<6* + c^iy = a"6'* + 3a"6'W + Sa^òW* + cMi»

06 - ac + 6* - 6c = a(6 - c) + 6(6 - c) = (6 - c) (a

(x + l) (2 + 1) (3 + 1) =96 1 + 1 = 96^-12 =.8 i = 8-l=.7 2+ VT . 2- VT 4 i c a 5 5 1 1 b) 5 2 + V T X 2 ~ V 2 £ 2 5

o a equaçfio aerá: i»- -ij + ^ „ q

5 2 5 10») 36x- 3 > 240 - 8® 16® - 24 > 20® - 3 I 44® > 243 - 4 ® > 2 1 ou 25®' - 20® + 2 « O ®>H13 4 4 ® < -2 1 e o sistema é irapopsível. ■nõ8

Acha-se a raiz inteira ma « ♦

_{08 e tem-ae para resultado}

I A ]2«) 13.«) 1 0 *3 ou 3-i.₃ 14.-)

Batisfeita para oa vaiorea'^dn't ^~ ~ 1) I a equaçSo sd <

ores de ® diferentes de 2 aiiulem o m.m.c., isto é, oa

v e m :

cujas raízea são: , a' - 4® + 3 == O

Como o valor de x ns

dos denominadores r ^ equaç.ão dada, pois anula

= - „ 100 X 22 K será então : ® = 3.

c t

a taxa é pow de 2,5»/<'.

2 ( V T - V T ) 1 5 . ' ) ^ - V . V7 + V0 (V7 + V5)(V7- >T) 2(VT- VT) = 2 _ _ - vy - V 5 16») 17») 18») 19») 20») 21») 35 + 5® + 7?/ + xy 5(7 + ®) + y (7+®) (7+®) (5+y) _ 5 + 7 J 5 + y 5 + y

12n"6» - 6a»6' + 180a«6« - 9a"69 «= 3o^6«(45' - 2a6 + GOa' - 3a'6*).,

4

x l -2 5 4 9 " 3 0 3 6 1 2 2 5 6 _ 3 5 3 0 3 ' >

Tem-se: VT^, V a^9 6" o VU"

Sabemos que o produto de dois números é igual ao produto do

m.m.c. dôsses números pelo m.d.c.

Então, o m.m.c. dos números será:

324 -7- 3 - 108 D o u 6 a » D . n (n - 3) O C o m o v e m : 6 n D n (71 - 3) n' - 15n = O 22.») 23.») 24.») Eesolvendo, vem: n = O ou n «= 15.

Mas, n = O não satisfaz, logo: n = 15, o polígono 6 o penta-decágono.

O perímetro do hexâgono é 6Í| = 6/2.

A diagonal do quadrado é d = 2/E=»4m 72=»2OTe2p«6i2"12m. 5 ir (fíJ - r') -= -x (25 - 4) -= 21t

ou S = 21 X 3,14 5 «= 65,94m'. Area do retângulo ■» 6m X Sm == 48ra'.

Logo, a área do triângulo 6 também 48m'.

A base do triânculo que é a diagonal de um retângulo é

6 = d = V 36 + 64 = 10.

Se a base é lOm, a altura será:

h = 2 8 9 6 m «

25.») Q volume da pirâmide é: V

l O m

B X H

(14)

- íj;

íX-L ' f

■:■ í/i^.

| -''Í

i 4 i - r .

Calculemos sua base: o perímetro da mesma é 128m, logo

6 + A = 6 4 e 6 = 3 f t ^

/. 4A = G4 e A =» 16 .*. 6 = 48, B = 6A = 48 X 16 = 768

Se B = 768m« e H = Sm V 708m= X Sm _

Nota : Não houve segunda época.

3

Prova de Matemática

PRIMEIRA ÉPOCA

!•" Qtjestão : Resolver o sistema 2 Í2 x + y = 6 VY

d o l a d o d e r a i o 5 m , d a r o v a l o r

3 a QeESTÀo • regular convexo nele inscrito.

10,5m sem^thL°tP triângulo de perímetro

^ 3dm,Tocm e n 7""^ de lados iguais

Questão- a respectivamente?

base maioi?29^^^^^ trapézio isósceles cuja

^ão paralelo-? bSp°^' altura é 8cm e cujos lados

zes 3 - ^^o 2.® grau que tem para

raí-v

_{erA. Valor de cada questão: 20 pontos.}

^ ^ e 3 + V T ?

■ equaçao por - V 2 vem •

il+j/Ty a

= 7

Questões cie Exames cie Admissão 2 5

Substituindo valor na 1." equação temos: 14 VT+ 7/ = G VY 7/ = -8 \'~2

Rmposfa.- r = 7 e «/ = - 8 V"^

2.") Sabemos í|uc 11 f.írmula quo dá o lado L do polígono de 2n lado? 6:

^ ~ V 2/?- - ft V 4/?^ - l- laflo do hexágono = l = R = õm

L = V '2Jt^ - R V 'Ufi - R2 = V 2/e'^ - R2 \'3" = y!R-{2- \'T) =

ou aproximadamoüte; L = 0,518 XR = 2,590 = ^2 - V 3

S.") Lados do triângulo (ronhecÍdo.s): Resposta: L = 2.50

3dm; õOcm = 5dm e 0,7m = 7dm

Perímetro do triângulo de lados desconhecidos a, 6 e c:

2p = 10,5ni = lOÔdm

mpZioLit os lados homólogos são

105

1 5

(Os perímetros estão entre si como suas linhas homólogas).

a = 3 X 7 = 21 6 ' 5 X 7 = 35 c = 7 X 7 = 49

Ryosía,: 21dm. 35dm c 49dm.

_{4-'^) h = 8cm B = 23cm l = b S = ?}

( B + b ) h P) Fig. 4 5 = 2

Cálculo de 6 (na figura):

''='=="'+""-^'+(4^y=c4+(^)'

b 2 = 0 4 + ^ l i i ± Í L ± i ; ^ /

4

463 = 250 + 484 - 44b + 6' /. 36® + 446 - 740 = O

6 ^ li± V 1936H-8SR0 _ -44 + 104

- 7 4 6 ₆

bí ~ 10 Como a base não pode ser negativa

t e m - s e : 6 = 1 0

(15)

2 6

i

Manoel Jairo Bezerra

Resposta: 128cm'

Então: 5-ÍHl^^j2g

fi«) Sx-g- V2+3+ VT==6

^^ = (3- V2)(3+ =,9-2 = 7

A equação será: - 6j + 7 = q.

nota'lOa aprovadas nesta prova e 4 delas obtiveram a

SEGUNDA ÉPOCA

guiar. Achar a área do' dLdgonT'"

Questão ; Nnm +r:ã« i ,

vãmente, determinados qp ®

respecti-terna do ângulo maior ^ bissetriz

in-a êsse ângulo. siminin-a sôbre o lin-ado oposto

3-' Questão; Determinar m n«

^ na equação: , " 7 n y - { - 3 s = Q

Q u i L i n i r ' °

«usolver o sistema

Efetuar

3 " + f Sy + 1

4 y < 2

-Cada ,uest5o temo ,

_{° de 20 pootoa.}

R E S O L U Ç Ã O

1.') Temos : Oa = ^ ^ = VT .■. R Vs^ = 2 VT

A

E o raio do círculo circunscrito ao hexágono e ao decgáono será: R = 2.

A área do decágono é: S = pa (I) Cálculo do lado do derágono -(ho)

bo é o segmento áureo do raio R, ou: V T - 1

I r X R

aproximadamente: í,o = 0,6I8E = l,236cm. Cálculo do apótema do decágono:

a t o V 4 E ' -a ; o 2 V 3,617 970 V4E'-(0.618)'XE' EV4-0,618' 2 2 l,902cm ou (aio =» 0,95E « 1,90) Substituindo bo e aio era (I), vem:

S - 5bo X ato = 6,18 X 1,902 Ou, aproximadamente, S = ll,7 420cm'.

Fig. 5

^ ^ " Sem a = 7cm e c = liem.

ângulo maior determina evidentemente dois

bmentos sobre o maior lado.

cio teorema da bissetriz interna temos:

m

(16)

2 8

r

, * ■ w

I

] #

! U

Manoel Jairo Bezerra

e como nt 4- )i = n nníío

proporções, escrever®"^P''®SanfIo uma propriedade das

Doode; 2 L - " 5 ~ 7 n 1 2 w - e n = 7 x 11 1 2 • f 9 oUi aproximadamente,

3-*) Podemos escrever ° " = G,42cm.

Vt — 3^1 l/l + VJ = m a t - . f ' i / a = 3

Substituindo o valor rfo „

Vi na segunda equação, vem;

? / . J - 9 . . ^

Vi + 3^1 5= m

V i = m 3 ? / i

Substituindo ésses valores na

^ 3.» equaçao, temos:

_{X—. = 3 .}3 m q „ , 2 ^ 1 6 Sm- ~ 4a

4 " ) E l i m i n a n d o o . " ^ = ± 4

"•■'ST."-"-*--

2=y + 9<45í, + is

% < « - 23, + 5

Donde Temos: - 20?/ < Q < 4 5 _{o u} y > ~ y < 20// > - 6 41J/ < 45

j4lj

3 1 0 ü 4 1

relação:^ ®°^UCõe3 do sistema são m v I

_{valores de y que satisfazem a}

- ~ L ^ . 4 5

n '"^uçõcs entre parênteses, temos:

X ^ 3 _ ^ - , + 3 V 2 + 2

■ * \ á - l 2 X

NOM.,, . ^ r7r~7 = 2f4^flr-l),2

'

V 3 - 4 - - 7 ^

®rain aprovadas 14 alunas.

Questões cie Exames de Admissão 2 9

P J U M E I R A É P O C A

P QüestÍvo : Achar ??i de modo que as raízes da equação

x~ — 4.^' "l" (õ?/í — 1) = O

sejam reais e desiguais.

Questão : Um trapézio está inscrito em um semi-círculo

ce diâmetro 12m. A projeção de um dos lados não

paraiclo.s do trapézio sobre o diâmetro é igual a 3m.

Aciiar a área do trapézio.

3- Questão ; Resolver o sistema

2 a ; - = O a X _V = 1 l o H- 1 a — 1 ^ Qüe

teiros ai ^ quadrados de dois números

in-outrn TV, •' 1 vêzes um deles é igual ao dobro do

5 a ri duas unidades. Achar os números.

• Questao • A oi

circnn«^,.u ^ perímetro de um triângulo eqüilátero

hexáironn ? ^ _ círculo, sabendo-se que a área do

24.-/T ^^S^dar, inscrito no mesmo círculo, é igual a

metros quadrados.

1 , .

_{•1 Para quq nq}

K E

S O L U Ç Ã O

2CS sejam reais e desiguais devc-sc ter:

P A = ò ' - 4 c i c > O ■ • ^ a t a o : i p , a / e

4(5m-l)>o ou 16 - 20?»+4 > O

(17)

A i

'.líl

SO _{Manoel Jairo Bezerra}

do problema pode merecer reparos,

ter soIuçâo^Sdemnd^l'^' o problema só poderá

o diâmetro do semi-círculo trapézio coincidindo com

Se AM « 3nj ^ _{2R = I2m, MD = 9?n}

que determina ^Se^o^díâraatro*\StaS°™^ BCEmentos

B M *

_{XMO ... = 3;n X 9;a = 27m'}

e A w 3 "^fsm

^preg^o o teorema de Pitágoras:

9 + 27 = 36 " AM' + h'

A B '

^ 5 = 0

Fig. e

- CZ) = 6^ P'^do inscrito em um cfrnulo é isósceles,

gulw'é do níií.^ menor BC tambím 6 igun'

_{dos lados do scmUiexágono}

re-^ scrd. portanto,

S = - ±JC ^ ^ Igm+Gm ,

""'.«p™xi™adan,0„t„. , ^ X3V3m = 27V3m

o va,„,3e .na V Uü 1.» equação ; 2ax — V aa n . _

Substituindo na 2- " ^

z ^ e q u a ç a o : - — _ _ 2 a x ® + 1 "—^ ■ 1 ._{® ^ 2 a ' x - 2 a x ™ a ' - 1} I

Questões de Exames de Admissão S I

Multiplicando ambos os membros por -1 e reduzindo: 2a'x + az + ® " 1 - a' 1 - a ' X = 2 a - 2 a * ® ^ ~ 2a» + a + 1 2z + 2 2 a » + a + 1

*•*) Sejam z e j/ oi dois números. Temos: X' + y' = 41 3í/ =- 2z + 2 Tirando o valor de y na 2.* equaçfio: y

S u b s t i t u i n d o n a 1 . * e q u a ç ã o : —

+ líl+l^í = 41

Kliminando o denominador, transpondo e reduzindo, vem:

13z= + 8z - 365 = O

, , - 8 ± V 6 4 + 1 8 9 8 0 - 8 ± 1 3 8

I t e s o l v e n d o : x g g

1 3 0 , 1 4 6 , , X - f \ z i = — = 5 c = s a t i s f a z )

Como os números sâo inteiros, temos:

. 2 X 5 + 2 .

z = 5 e f/ = 2 = 4

Resposta: Os números são 5 e 4 5.") 2p = 3L, = 3721 VT.

Sendo Lt o lado do triângulo eqüilátero e ÍZi o raio do círculo circunscrito a Êsse triângulo.

«Si =5 pa " Sfl X R Va 372» Vã"

Sendo p c a, o semi-perímetro e o apótema do hexSgopo e R o raio do círculo circunscrito a êsse hexágono e inscrito no triangu o

eqüilátero.

^ - 24 Vs"

2 C o m o

(18)

32 _{Manoel Jairo Bezerra}

vem: VT - 48 V3 fí'= 16 e 72 = 4

porta"'to''o''°3eS apLma°''™'° "" '"^"6"'°

Então; 72 = aj = ~ • El= 4 c 72, 2 • * 2

E o perímetro pedido é: 2p = 3x8X V3"

j, . ^ ou aproximadamente 41.57m.

49?MnStZs!^q!ie"^nzemm'^o^^^^^ segunda época em 1950. Das

d p C n o t a m í n i m a , 5 0 ) . A n p r o v a

-obtiveram esta nota)' Duas alunas apenas

Prova de Matemática

(Realizada em 8/1/1951).

primeira época

Questão : Efetuar

+ , ^ + 4?y + 3

erminar fc para qug ag raízes da equação

- i a m r e a i s e — =

J ^ reais e iguais.

0 QüestàoI Efet

_{u a r}

íi): (I

- 3

(®)' ^ iij

Questões de Exames de Admissão S 3

< O 5.® Questão : Resolver o sistema

^ > 1

y - b

3 , y - 4 7 y - 6

2 4

6-'' Questão ; Racionalizar o denominador de

1 2

_

VT + VT + Võ" ~

7.® Questão ; Qual o valor do ângulo A, assinalado na fi

gura abaixo, sabendo-se que o ângulo central B = 56®

e C = 18®.

Questão : Na figura adiante PT = 9cm é tangente ao

cír-culo de centro 0. e PA = 3cm. Calcular o raio do

circulo. (Fig. 8)

QUESTÃO : Demonstrar que o segmento determinado

pe-pontos de contato da tangente comum a dois cír

culos tangentes exteriormente é a média geométrica

os diâmetros dêsses círculos.

(19)

3 4 _{Manoel Jarro Bezerra}

Questões de Exames de AdjnissÕo 3 5

Fig. 8

triângulo Siceles de 6cm de d"*° -t""

1 1 » n T T T ^ o ™ - . V j l G m d e p e r í m e t r o .

r i s m o s ° e d e d o i s a l g a

-em outra ord-em, é poi algarismos, mas

número das dezenas do primdm"i°^' ®^'="do-se que o

-rivo ao dúbro do uú^ol: Serd^^f^smo

t:::: formam eom um

diagonal igual f

losango. calcular o perímetro e a área do

Observação : As oito •

«tiaas valor

dificultou muito a prova.

í ' ) Te m o s : -ir+~3 "i* I v

" e s o l u ç ã o

tií + iXs-i)

»+ 3+rTi=,^=i(?L+i) „

1 ^ + 3 V - 1

_tv'+5iir+ij

f + 3 2.«) Podemos escrever:

4a» - 12a6 + 96» - 25 = (2a - 36)» - 25 =- (2a - 36 + 5) (2a - 36 - 5) 3.") Devemos ter A = O, ou:

(2A; - 1)» - 4Â: (A; - 3) =0 4/c» - 4/b + 1 - 4fc» + 12/c - O o u : 4 . » ) D e s e n v o l v e n d o t e m o s : ^ X 1 8 / c - - 1 e Â : - — 8

(})- (i)- AÊ

1 1 X — 1 2 5 8 X 1 2 5 1 2 5 2 5

(ià)- "

5.*) Resolvendo as inequaçõos: (y - 1

^5

, y - 1 > 0 > o o u Í I / - 5 > 0

\ y > - 2

- 5 Up - 8 - 7y + 6 < O E n t ã o t e m o s : p > 5 p > - 2 o u p > 5

6.') ' Multiplicando ambos os têrmos da fração por V 3" + VT- ^^5 temos :

12 ( VT + ^ - VsT 12 (VT + - VT)

3 + 2 V 6 + 2 - 5 " 2 ^ l ~ ü

Multiplicando agora ambos os têrmos pela Ve" vem: 12 (VTs f VT2 -1 2 ou simplificando : 3 + 2 V3" -7.*) O ângulo inscrito À » e MP = B « 5G' 2 NP - AÍP - MN - 56» - MN /

(20)

3 6

Manoel Jairo Bezerra

_{Questões de Exames de Admissão} 3 7

M a s , M U_{2 ® 18° il/.v = 308}

Entao:ÍVF = 56»-36°=.20° o i =

2 1 0 °

A

8.') Prolonguemos W até o

Como a tangente é média ^ circunfcrôncia.

e sua parte externa, ternos^ cional entre a aecante inteira

X ím

81 = {3 + 2fí) X 3 ou 9 + Gi? = 81

Gfí == 72 e i2 = 12

clrculoa dc raios E e

g e n t e t r a ç a n d o a t a n -_{I» demonstremos que} = 272 X 2r = 4i2r

Para isso tracemos OM

per-' í E m p r e g a n d o

UTrlT ""r no triiln-

_{retângulo OMQ, temos:}

o«" = rr'. =

õõ'.-J7õn-= (fi + r)i - (TB - r)"

• • = 4 7 B r c . q . d . e A C = B C = l 2 ( = . i 0 c n i e Z = 5 o m 5 5 ^

0° _ , =-2-3cm

g g , C B D , ® 16 •

Caloulomo, „ ^ '' '^^ = 4c„

Como /(Gí 4 ^^^"Irado. t e m o s q u e q » a

e'^Gpg^^orema linear de Thales

E n t ã o : ^ ^ ® ® d i e ] h a n t e a .

8 - 4 Fig. o C B - n 4 - 0 4c = 24 - 60 ou 10o = 24 e a = 2,4cm A área do quadrado será portanto:

S — a- = 5,76cm*

Fig. 10

11.") Sejam: x — algarismos das dezenas

y — algarismos das unidades

P o d e m o s e s c r e v e r :

lOx + y - (lOy + x) = 36 ou 9x - Qy = 36 x = 2 t / + 1 X ~ 2 y = 1

Dividindo a primeira equação por - 9 e somando temos: y = 3

Sub.Btituindo em x = 2p + 1 obtemoa x <= 7.

Os números pedidos serão 73 e 37.

12.») Sejam m c n os ângulos formados, pela diagonal maior e pela menor

respectivamento. Temos: jn. + n "■ 00° _ r n 1 -e — = — o u n = 2 m 7 t 2 t m + 2ni = 90° .*. m — 30° e n = 60°

Seja BD a diagonal maior igual a 20fn, logo a semi-diagonal maior 130 = lOai. No triângulo retdngulo AOS, AO é o cateto oposto ao ângulo de 30°, logo será igual a metade da hipotenusa AB, lado l do losango.

(21)

T

Empregando o teorema de Pitágoraa vem:

' " "4~ =■ P + 400 ou 3ÍÍ - 400

e l - = . 2 0 V y V T - y Portanto, = « =

e

5 - 5 L 2 L í ?

Mafl, i5 - 20m e rf =. i ^

20 X E2_íl

• ' • S - — _ _ _ 3 2 0 0 V y 2 = — 3 —

Nota ■ = 'S =. 115,40^,

29 foram aprovadas. A ío^ m^or fof

SEGUNDA ÉPOCA

(Realizada em 19/2/1951).

2'e" = " ""^«rico de

^■multa„eamen\e!%Tdts?guawtd°es?'

'^ + 3<âH:3

₂

T- 5 < 1 ^

pneçfães cfe Exames de Admissão 3 9 3.* Questão : Resolver a equação

j 2|^_ 3_j „

4." Questão : Qual o valor de a que torna impossível a

equação : ^2y - = 2a + 2ay

5." Questão: Efetuar e simplificar(VVHÕ^) X V250-6^

6.® Questão : Racionalizar o denominador da fração:

3 8 3 V"3 - 2 VT

7.* Questão : Qual a equação do 2.® grau que tem para

1 1

r a í z e s

V T ~ 1 V T + 1

8.® Questão : Escrever todos os fatôres do binômio: 256y8 - 3»

2/s

9.® Que.stão : Completar a igualdade ^ = -gp

10.® Questão : Num triângulo retângulo isósceles, calcular o

ângulo que forma as bissetrizes internas de dois ângu los desiguais.

11.® Questão : Na figura abaixo, calcular o ângulo Aí saben do-se que o ângulo A é igual a 20® e o ângulo E é igual

a 70®.

(22)

12« Questão : Resolver a equação : + i = q

São êsses números? ^ ^

*^5 e 9° Quanto^^^ale VsTcm ^ retângulo são 5, 3,

l a d o s i g u a i s ? o s m e i o s d o s

"■ °™; ci)"r SÍÍ,"S " ' ■•» «dllmara

=rsi .f-S'' T""* '•«° 3:

_{com o circulo do centro O. «terseção de PC}

Nota: Valor daa

C a d aquestões:

r e s o l u ç ã o

t - z ; »

-

a

-

í - 2 )

( 1 )

^ 2

4 ^ 7_ 1 2 Eseposta: — u 2.') Eliminando oa denominadores: y - 3 + 1 2 < - l y + 6 . [ - 3 y < - 3

8i/ - 4 - 50 < 1 - Sy " j lly < 55 "

o u 1 < y < 5 V > 1 y < 5 Resposta: 2, 3 e 4

3.®) Eliminando os denominadores, temos:

4 + 2y-5-64-2i/ = 4 + 4i/-ll

Transpondo, vem:

O <» O (identidade)

Resposta: a equação é indeterminada.

4.®) Resolvendo tomos:

aV - 2a.i/ = a' + 2a (a' - 2a) y = a' -f 2a

o u c ( a - 2 ) 1 / = a ( a d - 2 )

A equação serã impossível se o coeficiente de y fôr nulo e o

segundo membro fôr diferente de zero.

Ora, o coeficiente de y se anula para:

a = O o u a = 2

Mas, a = O não satisfaz, porque anuha, também, o segundo m e m b r o ; e n t ã o a ~ 2 . „

Resposta: a ■= 2

— _ 3 3 3

6.®) Temos: ^J 5abf X V (5a6)' = <5ãbx V (õa5)« = 5ab

Resposta: 5a&

®-) Multiplicando ambos oa têrmos pelo conjugado de denominador,

isto é, 3 V 3" + 2 \'T, temos:

^(3 Vir + 2 VT) 38 f3 VT 4- 2 VTÍ ...

2 7 ^ ^ 8

í õ

V i r

+

2 V 2 )

Resposta: 6 4^ + 4

?•) Calculemos a soma e o produto das raízes

a

^ + - J

V3 - 1 V3 + I

VT + 1 + V 3 - 1 ^

3 - 1

(23)

4 2 _{Manoel Jairo Bezerra} _{Quer,tões de Exaynos de Admissão} _{4 3}

A equação pedida será: s» - VT^ i =, q

2

Resposta: 2x* - 2 VT2 + 1-0

8») 256i/»-z»=. (lOy+2«)(16y«-3') = flGí/ + z«) f4í/í + z») (4yi-z') =.

= (16i/< + z*) (4yí + z"-) (2y + z) (2y - z) 9.') Basto detcrmiuarmos o quociente do

2 / » t qua é: 3 ^ ' 3z« ^ 9 2 '

ie^Ua: #1^-251-+.

3 z « 2 » 9 2 »

10.-) 3e o triângulo ASC^(Pig. ,3) é rotângulo o isósoolca, temos:

A =>90' e 5"= 0-45' Se AM é bÍBsetriz, MAD = 45°.

Se BM é bissetriz, MBA •= 22»30'.

E o ângulo pedido M será:

Af - 180» - (45- + 22'30') « 112'30'

Resposta: 112' 30'

° M 6 a

semi-dife-o^seuríâdo

M AB - CD a b + c d 2 A B + C D H C C D F>g. 13

Como A=££ CD-Od^

_{2 . CD - 2A « 400 jiB = UQ- - 4O'}

Então flf ^ 100° - 40' 2 " 3 0 ® 1 0 0 * i Í M p o s í a 3 0 * 1 2 . * ) E l i m i n a n d o o a d o n o m i n a d o r e a ; aby* - (a* + 6') y + ab — O C a l c u l e m o s A :

A = a' + 2a'65 + 6' - 4n-6» - a' - 2a'6' + 6< =» (a« - b-y a ' + 6 ' ± ( o ' - b ' ) V = r r r V i 2 a b a * + b ' + a ' — 2 a ' o 2 a & b y a a' + M - a« + b» 2 a b 2 a b 2 6 ' 6

2"'' " Besposta: ^ o

13.*) Sejam os números x a y, yemos:

x' + y' = 130 ly = 33

Multiplicando a 2.* equação por 2 e somando com a 1.', temos:

t (x + y)- = 196 .*. X + y = - ± 14

Tendo a soma e o produto de x o y, podemos escrever: x' - 14x + 33 = O e x' + 14x + 33 = O

Resolvendo essas equações, temos:

xi = 11 xs = 3 e xi = -ll X3 = -3

« «"t" ®í^55es negativas não satisfazem. E, se x = 11. y - 3

« 5 0 X — y 3 ; í t f u

Resposta: Os números são 3 e 11

t fácil concluir que : ÃD"- 3, ^« 5c « 5 e ÃB - 9.

Calculemos a diagon.il BD. No triângulo DAB temos :

■DB' = BA' + ,451 = 9 + 81 = 90 /. BB = 3 VTÕ

Sc Ta mos pontos médios de BC e de

e a metade do terceiro lado BB. Ijogo: E F D B 3 V 1 0 _{EF => 4,7}

(24)

15») Seja E o ponto de interseção de PC cora o cfrculo.

T e m o s : x T e = ¥ 1

No triângulo COP: PC'= + (2P)i = 5^1

^ = üí Võ"

Então, substituindo em Q

R V5'x^=3í;xfí

P B - - 3 P V T P " ^ 5 " 5

Nota; aprovadas 43 alunw nesta proTA.

0

sreVT

Prova de Matemática

(Concurso de adrnJssSo ao Curso Normal,

rea-üzado em 19/2/1953).

Questão . É dada a expressão

\

4' X X V2"

números inteiro? sob a forma V'o»' a

_{"neiros, positivos e nrim„l ^ ^ sendo men}

2.' Questão ; Pô,.

f i Z i -

°

P ™

-O i I A í m e n o s a s e x t a n o f n m n ú m e r o

Qual é êsse número? mesmo número.

3.* Questão : São dados os polinômios:

^ = 77/2 - IQy J-s = 27/ - 1

c = 7 j ~ 3

dois f^tôre? decompor o resultado obtido em

4.'^ Questão : Resolver a equação

y + 1 , 2 / 4 - 3 T r - T = 4

m _{w + 1}

5. Questão: tóngulo isósceles ABC o ângulo ex

terno^ em (A) é Igual a um quinto d^a soma dos outros

do s ângulos externos (em R e em C). Calcular os ân

gulos internos desse triângulo.

° si^guinte teorema; O ângulo

c?mnro " r? P"' "PPt^de do arco

compreendido entre seus lados.

que a equação y^- (í7i4-3)í/4-i9=:n

uma -I-'- - de modo que

uma cias raízes seja o triplo da outra.

'^4«30'^mede"T57dm^"r^^^ de raio R um arco de

uieae i,57cim. Calcular a área do circulo,

(ic = 3,14)

^rito^e oircuiiscrito a êst" iângulm

^sendo°Í a^roa^lín triângulos semelhantes T e 7",

? ladoVdo t?ân4oT™ú'

do lado l hoTTiíilítffrt i segmento áureo

razão entre S e S' triângulo T. Determinar a

uahzar o denominador da fração resultante.

(25)

46

Manoel Jairo Be:■ e r r a

1.*} Temoa: r e s o l u ç ã o 2 . X 2 V 2 X V 2 i : 2.') _{1 - ^} 6 . ' V 3

'2W2-XW^

V2* 1 2 V 2 1 2 iZesposto: - O

4- =

1--Í.-4-_ ^ 3 se" ■■• ^' = 36-12a:+a:^

-' + 4.-12 = 0

3-') Substituindo os valores de \ fí V 2 ou

V-l6p + i5_,, ' ® ^ ^-■B'-2Cí tomos:

Patorando, temos ■ «> ^ + 12» - 18 = „= _ 4

_{" ^=(!í + 2)(Í,-2)}

«■•) Elimioaado os denominador» r Besposla: (j, + 2) (j, - 2)

• • 2"'!' + ü = 4m. -1 + 3« - 4m= + 4«

p a r a ^ = ( 2 m + i ) ( 2 p i _ i )

°

r r ' r

~ ^ ^

E^endlVrjl'"

_{foi dado quet ° ^®'"'-2s:.}

'«("•-d - 1 ,,„

5"08(1°-B + 18o._(^

Questões de Exames de AMmhsõo 47

Substituindo >1, B e C por seus valores, vem ;

180 - (ISO - 2z) = 180 + 180

3 0 0 - 2 x 2 x Então A = 180 - 60 = 120 3 0 lOx = 360 - 2z .-. . Resposta: 120«, SO e 30*

2) Se A O ura dos ângulos da base.

Fazendo A <= B = x, vem C = 18O - 2x.

Mas, ISO --1=1 (ISO - B + ISO - q.

Substituindo, 180 - . = ^80 -. + 180 -(180 -2.) 5 ■■■ 900 - 5. = ISO - . + 180 - ISO + 2x -6x = -720 X = 120

trif.nl";fn,ll "dfte? íbtS.'

OnsRnvAOÃn- T?^ . . Resposta: Impossível,

qudquer uma da.s .olu^^cs Sn-a'sor'acer° ^

em qualquer livro^ia'^S.-^S'^gina^si^^ encontrada

^') Temos:

í 1/5 = 3?/, \2/i + 2/2 = 7n + 3

bstuumd^ o vate^de na terceira equação;

^---3ra.eaeãopoa;;i™-(:^::l;i;-=^^

„ , - 2 .-. 2/2 = 3 X 2 = 6

.">3ütuindo à«a valores na 2.» equação obtemos:

^'^-doeireuiod. .1;^' •'• ^ » = «

Calculemos R.

^ "'"ula do comprimento de um areo é;

I „ "f^Rn _{. '^RX 270'}

(26)

4 8

Manoel Jaiw Bezerra

Simplificando a fração temos:

1 , 5 7 •

-4 0

Então 5 = 3,14X20»=

9.'} Cálculo do raiò r do círculo inscrito.

. S R 1 2 5 8 2 0 d ? u Rcspoila : 1 256 din* S _{p r} maa, p = 30 -í- 2 = 15 f e s 3 0 1 5 2 m

Se um triângulo re^ i" '^"■'^""scrito.

hipotenusa 6 o diâmetro inscrito em um círculo, euft

tenuaa a = 2fí. ° círculo. Calculemos então a

hipo-P<^emos formar o

sistema-' 6 c

2 3 0 ^ Q Q

a + 6 + c = 30 , a» = 63 ^ g,

2.' equação. j ° ^ ^ ladoa do triângulo)

ôTlV^^QOO-GOa+a»

+ 120 = 900 - 60a + a»

1 0 . « )

_{^ ® segmento áureo de / ♦ r ^ 2m e R =}

S e í ' z ' D s t o m o s :

v ^ í U I ^

Bi Ifíângulog T a T' - ^

Ouadradoa de

iL_ ® '^^08 homólogos. Então:

n ( V R T T T í r : = • L a 2

■r r T f

6,6W» í«

Í1VT^3

ll««íonalbando. tornos:

^ " 2(3+J^

(V5 -1)2 'e_2 V5"

3 + VT ^ das 345 i Resposta: 3 + VT

inscritas, nesta prova.

II) INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

Prova de Matemática

(Concurso de admissão ao curso normal reali

zado em 8-1-1051). '

PRIMEIRA ÉPOCA

Qdestao: Calcule o valor numérico do polinômio

Sa^v> + ia~'b^ ^ õab" para a = -l e 6 = 1

2." Q.BSXÃO: Reduza os termos semelhantes da expreLão

. 3a + 26+[-5a+6-(-2u + 36)]

pSo d^laíôms" bin- ~

Q u e s t ã o

■

n e

u

'

binômios o po"í!nômio f^t^res

5-" Qbbstão : Resolva'

nesoiva a equação

? + 1 x ~ I

2

- ■ I

6 . » q x s v : s , T X " ^ 4

abaixo tenht^SlTçio^ equação

QOBSTÃO ■ P , + 7 = 4x

■ Resolva o sistema

6a: — y s= 4

2a; + 3y = _ 2

(27)

o y

Manoel Jairo Bezerra

8.- Questão ; Racionalise o denominador da fração

3

^ Vs" - 5

9* Questão: As rpfns «

-y e 2 sabendo'q'u'e''

23: + 2/ + 2 ^ 240®.

Çueifõe5 de Exames de Admissão 51

14.«

_{Questão ; Um segmento de reta AB mede 1 260m. De}

A parte para ^ um móvel com a velocidade de 10

metros por minuto. Seis minutos depois parte de B

para A outro móvel cora a velocidade de 6 metros

por minuto. Calcule a distância de B ao ponto de en

contro dos dois móveis.

15.'' Questão : A soma dos ângulos internos de um polígono

convexo é 1 080". Calcule o número de diagonais dêsse

poli gono.

16." Questão : Na figura abaixo tem-se

AB = 18m AC = 27m BC = 15tn

1 4

■" Questão: a área ri

^I'uplo da área de\ut^^ ^"^^^^^ono regular é o quá-

_{do primeiro é 40m ^p^í^Sono regular. O}

peA-Questão: Efefim ' o lado do

segundo-o r p H í i i + ^ j - o p e r a . p n n o . . . . , j . - .

^ — f ^ u i n i i r o é 4 0 m O o í i <

• Questão: Efetúe Calcule o lado do sc

° '<=^ultado na sul lurf indicadas

1 m a i s s i m p l e s

•' Qüestão: Redu,/

X - 1 V32 « 2 V25OO

_(V2)3

^ expressãn ^ •

• '

c r ?

e q u a ç ã o v a l o r e s d p

2 ■ & m para que as raízo^

reais e iguaTa."^ ^ + 9) = o

1 8 .

Fig. 15

Sôbre AB, a partir de A, toma-se AD = Qm

m paralela a BC. Sendo AF a bissetria do ânguloT

calcule cs segmentos DF e FE. «■nguio A,

(28)

5 2 Manoel Jairo Bezerra _{Questões de Exames de Admissão} 5 3

19.' Questão : Num trapézio ísóscgIgs a base maior mede

14ra, a base média lOm e a área SOm^. Calcule o

perí-. metro desse trapézioperí-.

20.' Questão : Deduza a fórmula da área de um hexágono

regular em função do raio do círculo circunscrito.

Nota : Cada uma das 10 primeiros questões : valor 4 pontos. Cndn uma

das lO ultimas qi^stões: valor G pontos. A nota mínima de

apro-vaçao, como na Escola Carmela Dutra, é 50 pontos. E a durac.io

tía prova : 2 horas.

R E S O L U Ç Ã O

1.-) Temoa: 8 X (-1)> (i)' + 4 (-1)- (j)' _ g „ (|y

X1X^ + 4X

_{C-l)X^-5X(-l)Xl = l- l+ 5 = 5}

o . , r p R e s p o s t a : 5

2.) Tomos: 3.+26+[-5«+6+2a-3M = 3a+26-5a+6+2o-36 = O

Resposta: O

' ""■""'o ^ 30 e a difcronça é 7, o

^ -'=^-3Q-fe-10)Cs:+3)

_ „ R e s p K l a : ( i - 1 0 ) ( i + 3 ) 4 . * ) Te m o s : 2 - 6 - 2 n 4 - / , í . _ o i .

_{+ a6 ~ 2 - 6 - a (2 - &) = (2 - í,) (1 _ a)}

5 . ' ) T e m o s : , - 6 ) ( 1 - a )

2 z + 2 - s - f - i e 7

6 . - ) Te m o s - „ ' ' ° B e s p o s l a : i = 4

_{Zmx - 4a: 5= -7} (2m - 4)1 = - 7

"^terminada, é aocossírio que:

. . Z n i 5 » í 4 e m ^ 2

7-') Multiplicando a primeira nn. ^ Resposta: m 9^ 2

_{Pruneira por 3 e somando com a segunda.}

ISx - 3y = 12 — ? í _ + _ 3 y = - 2 1

20a: = 10 ® = "2

Substituindo na segunda:

2x4- + 3y«=-2.\ 3i/ = -3 e y = -l

_^ ₁ Resposta: z = -^ey = -l 8.») Multiplicando ambos os tCrmos pelo conjugado 4V 3 +5, vem;

3 (4 V 3" + 5) 12 Vã" + 12 V"3 4- 15 (4 V 3)' - 5^ 2 3 4 8 - 2 5 Resposta:

9') Temos: x — z (alternos externos)

s + 2/ = 180° (adjacentes suplementares).

Substituindo na igualdade dada, ou seja, em x-\-x-\-y-\-z = 240°

X + 180° + i = 210° I = 30°

3 =s x = 30° e y = 180° -x = 150°

Resposta: x = 30°, y = 150° c z = 30°

10-') Sejam S e S' as áreas dos dois pentágonos. T e m o s : S — 4 5 '

Se o perímetro do primeiro é 40m, seu lado 6 Sm. Como dois polígonos regalares de mesmo número de lados são semelhantes, 6, as áreas de dois polígonos semelhantes estão entre si como o quadrado de suas linhas homólogas.

v e m ; E n t ã o : E n t ã o ; 8 » 4 5 ' 6 4 ^ 6 4 o u z3 ss 6 4 = 1 6 2 = 4

") o m.m.c. = (x,+ 1) (x - 1), então

1 ₁ _{2 x} _{. r - l - x - l - 2 x} 3: + 1 ~ í - 1 " a:3 - 1 ~ (x + 1) (x - 1) - 2 (x + 1) ^ -2 ° (x + 1) (x-1) X - 1 A Resposta: im - 2 i - 2 ' (x + 1) Cl - 1) 2 R e s p o s t a : —

12.°) Temos: V2^ x 2 + 4 V48 ; G - V2'X5^ - =

= 4 V"^ + 4 V8* - V2 X 5® - V2® X 2 =

= 4V^+4X2Vã"-5V2"-2^'^='5VT _

Resposta: 5 V 2

(29)

o

13.") Pura que as raízea aejam reais e iguais, A - 0.

Logo, ("» + 6)* - 4 X 1 (m + 9) « O

m' + 12m + 36 - 4?n - 36 W -f- 8?7I «■ O

em e'rtdS 2.- grau, que resolvemos colocando m

m(m + 8) «O "1 = 0 6 m+8 = 0 Respostam = O e m

. i

^

-14.») 1260 - 3 - 8 E _B

Seja E o ponto de encontro e EB'=^ ®.

O tempo gaato para percorrer ÃÊ á - ~ ^

1 0

O tempo gasto para percorrer BE é —

Como o tempo gasto nor >( i e • .

por B, podemos escrever: nunutos mais do que o gaato 1 260 - ® + 6 1 0 o

3 780 - 3x = Sz + 180 /. 8z

3 6 0 0 450 3 600 n • > 8 g

15.") A soma dos ângulos internos é: Resposta: 450íft

■ 1 0 A - 2 ) = 1 O S O "

.- ISOn-360 =.1080 180n=i440

° «le diagonais será;

D ^ , 8 X 5 p a r a l e l o a B C * ^ A n n ' l i n e a r d e T h a l e s , ( 7 A r m . B C A n . ~ ' I S 2 7 1 8 _ , 6 Resposta: 20 A A ' ^ A B C ' ^ A D B _{" AE}A C EntSo o u . A B - Ü „ A E

Questões de Exames de Admissão 55

d . b S ê t r i f b t e r u a ! " ' ' " ' P = ' °

D E F E _ F ^ ^ D F + F E . 5 i

C ! ) l i _ L n " ~ r r - = » ~ A D A E ü ü + 9 l ü

Então; Df = o x| = 2 c PE = ^ x~ ^3

ò

^^■^Posía: DF = 2m e FE =. 3rrj

d ^ r S è l ™

^ - E ^ o n t o

é igu"ráo°;™°dStoToT -gmenr/rottr,':-''!^ '■=

^(22-1) = 0X12 .•. 22í-'x. = 72

2:= - 22I + 72 = O

«osolvendo. temos: z, = ir «

Um-gmento d ISm o outro d 4m,; vice-vor,.v

Resposta: ISni c 4ni

18--) Sondo ií o raio do ofreulo, temoe •

A base mfidia

Idj. ^ 10 V 3 X V 3"

2

2 - ^1±±

d. portanto: '

' = 20 ~ 14 ^ g

o - « 1 5 10 Resposta: 15m ^»C- 16

(30)

5 6 Manoel Jairo Bezerra

A área do trapézio é:

S = X f t l O A = 3 0 f t - 3

ÂB = CB = l EB = = 11:1® = 4

2 2 ^

Do triângulo CEB, temos:

i* = A» + = 9 + 16 = 25 í = 5 O perímetro pedido será:

2p =. B + 6 + 2i = 14 + 6 + 10 = 30

20.») A área de um polígono regular qualquer é; Resposta. 30;

S = pa (semi-perímetro vèzca o apótcma)

Mas, p = 3íe = e a = — (fí = raio do círculo)

Então: Ss = 3fí X ^ = 372» VT

2 2

Nesta prova foram aprovadas apenas 6 alunas e a maior nota

SEGUNDA ÉPOCA (Realizado em 19/2/1951).

l.* Questão ; Sendo P = - 3<,2 + 5^,^ _

Q = - 9a2 - a6 + 66^

fí = 6a2 + Saí, - 862

c a l c u l e + +

l-° grau a^cxpressTo^f

- '/ + 2yi ~ z2

3.» Questão : Simplifique a expressão :

- 3a + 2

4.»

5 . "

Questão : Resolva a equação :

6 x - a h ~ a x 2 a x - 6

6 4

Questão : Calcule os números Inteiros que satisfaçam,

simultânearacute, as desigualdades:

2 x - > 6

3 x 4 - 7 _{- 1 > 2 x}

7.'^

Questão : Resolva o sistema /4.x — 3// = — 1

r4.i

\8:

S>x - Qy = - 5

Questão : Resolva a equação

X24-1

4 ^ ^ G

Questão : Simplifique a expressão :

3a ^l~ã~ 8 H- — V 64a®

9 . » 10.» 12.« 13.a . 2 4- VT

Questão : Racionalize o denominador da fração ,

2 - V T

Questão : Componha a equação do 2.® grau cujas raízes

S ã o •

a;' = 1 4- V 2 e x ' = 1 - VY

Questão : Calcule m e p para a equação

3x2 _ (2m - 3) = O

f^or uma, e sòmente uma, raiz diferente de zero.

vers^w" retas paralelas cortadas por uma trans-

_{'Oi'mam dois ângulos colaterais internos que}

po-tm ser representados por 3x - 50° e 2x 4- 10°.

Cal-^ uie o menor desses ângulos.

conv^" ' ângulos internos de um pentágono

_{^vexo medem respectivamente 108°, 100° 20' e 91° 40/}

(31)

5 8 Manoel Jairo Bezerra

Calcule o maior dos outros dois sabendo que êle tem

20® mais que o outro.

14.' Questão ; Um segmento AB está dividido por um ponto

M em 2 segmentos de 12m e 24m. Prolonga-se êsse

segmento até o ponto N, conjugado liarmônico de M. Calcule NA.

15.® QrasTÃo : Os 2 catetos de um triângulo retângulo medem

18m e 24m. Calcule o maior dos segmentos determi

nados sôbre a hipotenusa pela bissetriz do ângulo reto.

16.' Questão ; Os arcos compreendidos entre 2 secantes a

uma circunferência de círculo de raio R, são

represen-tados em graua, pelos números ^ e Calcule o

â n g u l o d e s s a s s e c a n t e s . 2 3

triilngulo

eqüi-lonTrt r„ ° perímetro do

decá-gono regular inscrito nesse círculo.

18.- • Cdcule a área do círculo no qual está inscrito

um quadrado de área igual a õOm^.

^ rSpe^tiv^PTlf^^^Q trapézio isósceles medem,

Srdo f ' ^5°"' " ^ 6m. Calcule a

longamentos dosUdrfã:

' Ctalo'''Probn'''®"'" estó inscrito

lados AB CD a pp ^^am-se^, nos dois sentidos, os

^ e P Demon^tr ' se vgQ cortar nos pontos M,

Not.. De 1 1 i7T ° ^ eqüilátero.

De 11 a 20 ■■ fia zu - 6 pontos cada.

!•') Temos: _{I I E S O L U Ç X O}

" +"''' + 6tó-Uf = 18„>+aI,

Resposta: 18a' + ofr

2.") Temos : x* - y* + 2yz - 2* = z» - (yi - 2yz -f- x') » ~ x ' - i y - z ) ^ ~ { x + y ~ s ) ( x - y + s )

Resposta: (x + y •- z) (x — y -j- x) 3.") Fatorando cada têrrao das frações, temos :

3 (a 4- 1)

(« + 1) (g-D 3(x-|-j/)

X

Cx + y) (x-y) (a- 1) (a~2) (x - y) (a - 2)

4.') Eliminando os denominadores : pos^a. ax - 2x - a 'y 2y

2bx - 2a - 36 + 3ax = 8ax - 46

26x - 5ax = 2a - 6 (26 - 5o) x = 2a - 6

5 . ' ) Te m o s : 2 a — 6 I • . X — r : R e s p o s t a : X = 2 6 - õ o 8x - X + 3 > 24 ou \ 7x > 21 26 — 5a

J 7x > 21

} - x > 3 i + 7 - 2 > 4 x I - X > - B X > 3

f a \ 7 i T i - ® < 5 - - 3 < x < 5 P e s p o s í a : 4

_{lulUpUcando a primeira por - 3 e somando com a segunda temos :}

- 12x + 9y = 3 8 x - 9 y g - 5 . 1 - 4 x _{- 2} _{^ - - 2}

••8X2 9y - - 5 ou - 9y , _ 9 . ^ ^

7-') Eliminando os denominadores:

3-'-9-30>12-2x.-2 Sx-= 55 z. x'= u

Ecsposía; x = -^ e j, = i

®') Temos:

3o V7_8 V a ' . e X = ± VTT

Resposta: x. = VTT e x^ = - VTT

. 3a W-8a

l l í a 11 a V T

Resposta-. Ua W

(32)

6 0 _{Manoel Jairo Bezerra} 9") Multiplicando ambos os f/^rmAo t

-denominador. 2+ VF, temos: ° conjugado do

jjLiJ ^ (2+ VF)» _4 + 4 vr+3

- 2^(V3)> 4-3 ■ ="7 + 4 Vs

Resposta: 7 + 4 VF

10.') Calculemos a soma e o produto das raízes:

5 = 1 + VF+ 1 - VF= 2

P = (1 + V2) (1 - V2-) = 1 - 2 = - 1

A equação pedida ecrá «* - 5® + p _ q

j j . R e s p o s t a : - 2 x - 1 = O

dwri'teS^'sLente uma raiz diferente de zero,

apenos o târmo independente Então, não deve possuir

..2m-3=.0 e -9p?í0

• ^ 2 " " 2 ®

Resposta: m ^ ^ e p ?í O

« 6 2 '

12.') Como 03 flnguloa colaterais ínfemA»

-3x - 50 + 2a: + 10 = igo suplementares, temos:

5x = 220 X = 44

^-^O=,32-50 = B2e2z + 10 = 83 + tO = 08

"•■)Aeomad„3^^„3Íotern„edopent.,„„e,.

S'=180.(5-2)» 540.

luguloa dadoe

é-^°®°+«)0-20' + o1.4O' = 3O0.

^ e p 08 dois outro, âugulo3, temos:

a + = 540» - 300o = 240»

« í' = x-20o x + X-20. 240 • o

■ • 2a: - 260» e s =. iSQo i2€«pos/a; ISO"

. - , U j

Questões de Exames de Admissão 61

14.*) Se M e iV r5o conjugados harmônicos, di\'idcm pois o segmento

AB harmonicamente. Então,

J l / A

I

[

i V ¥ i V A M M B _B 1 2 2 4 2 4 a : = 1 2 x + 4 3 2 1 2 x = 4 3 2 x = 3 6 Resposta: NA = 36m

15.) Pelo teorema de Pitágoras, a hipotcnusa será:

a= = 18^ + 24= = 324 + 576 = 900 a = SOm

Sejam men os segmentos determinados sobre a hipotenusa,

I bissetnz do ãnculo reto.^ « j » a ü g m e m pela bissetnz do ângulo reto.

T e m o s : / ^ ,

3 0

1 8 2 4 1 8 + 2 1 4 2

7n = 18 X — =

7

^ o„ = 24x| = f

alculando com aproximação 0,1 vom;

"1 = 12,9 e n = 17,1 O â n g u l o f l A « c E c s p o s t a : 1 7 , I m o arco -2 corresponde a 90o e o de

E n t ã o :

, , ^ 9 0 o

-

a

00«. 15® E u Então:

' ° ^ 2p o seu perfmolro. 15°

-T(i'5-l)gO,CISK (iü 6 o ruio do círculo

= f í V T - i - o c i r c u u s c n t o ) . V 4 • ' a J T * ^ { l i V 2 ) 2 = 0 7 ? 2 -«' = 25

~ 257: , 25 X 3,U = 78,50

.Resposío: 78,50m»

• ■ I

(33)

6 2 Manoel Jairo Bezerra 19 •) B - AB « 20771; 6 = DC =» 8771 A - FG = 677»

Seja S a área do triângulo DEC. (Fig. 17)

c D C X E F

S e E F = x

n i . f t t e o r e m a l i n e a r d o T h a l e s , t e m o s que 03 tiungulos ABE e DCE bílo aomelhantes.

Logo, A R O E D C E F o u 2 0 a : + 6 8 X '■ 20^ = 81 + 48 12i = 48 e a: = 4 S = L o g o , c t _ 8 X 4 = 1 6 Resposta: 167?i*

suplementoa 'doa^ân^nlna^f^ T ~ MFA = 60° por serern

_{S 8 do hexácono retnilnr r«nía mndlda 6} T _ 180° (6-2)

I —ê—^ = 1200

Qiiesiõcs de Exames de Admissão

_{6 3}

Fig- 18

í^fnsulos AMP, pp:, ,

- i » A .

Portant ^ = P = 60°

ao tiÍMlVí"'^VSulo . ' '^"SLiIos sao

tum-P r

_{de Matemática}

QOESTÃO ; O ,

-2°+3°, '-ff;'," 3o. ,a

(34)

6 4 Manoel Jairo Bezerra 2.» 3.» 4 . ^ 5 / 6.'' 7 -8 » 9." 1 0 . " 11.^ 1 2 . " 3 = a b b

Questão : Calcule o valor da expressão

Aa^ — [S — (Ba — C)] B sendo yl = a + 1

B = 1 — a —

C = a ~ l

Questão ; Reduza à expressão mais simples :

/ a \

g'-l ■ \a + 1 " V

Questão : Resolva a inequação 2 - ^

3

Questão ; Resolva o sistema ^

\ x~ y =

resuíradn"T° ^ "^^iTP de modo

que o resultado só apresente radical do 2.0 grau.

a expressão V .c^ + x^y xi/

-o que na-o fiquem fat-ores quadrad-os s-ob radical.

Questão: Escreva a eauacíTn rir. o o

são dois números reais S 2. grau cujas raízes

_{inveisos um do outro e de soma}

i g u a l a - . 2

Questão; Dê a maior raiz da equação — = 3

^umaX Ste V equação

d o b r o d a o u t r a . \ P ~ r ^ ) a : + 8 = O s e j a o

"^ZTnguI^^rttonoré^ral^ãT™ T ^

_{t e r n o s ? ^ d o s â n g u l o s e x}

-r

í - r

tangentes ao círculo, traçadas porTÍ°C°™

Questões de Exames de Admissão

6 5

13.

Questão : Qual ó o imlígoiio cm (jue o número de dia

gonais e o triplo do múncro de lado.s?

^ sccantes a um círculo formam um

ân-s o m .

c o m p r e e n d i d o s

d ã o

p o r

^ ' '^^Iculc o número de graus do arco menor.

gSo m liipoteiui.sa de um triângulo

retân-'XoTeSlL ^ altura relativa

eeuma tammnt^ FA^^no'^'-círculo,

traçam-D^ento externo fU J" 4 ® secante. O

seg-^ seg-^A Calculo "seg-^cde -klm e o interno é igual

1-7. Qu .. '"^'culc o comprimento de PA.

1 0 8 V T t r i â n g u l o s e q ü i l á t e r o s s ã o

drados. Qu^j I quadrados o 3 V 3 decímetros

qua-gulos? ^ razao entre as alturas dos dois

triâu-Questão : o

_{o lado AB tFmVnn'^' triângulo .4BC, mede 45°:}

TÍF" ^ tom'::, 12m. Sôbre 4B. a

19" n *^alcule a área rJn i tiaça-sc DE paralela

Q u e s t ã o - t t t r a p ó z i o D A C E .

iguais está inscrito num círculo cuia

2 0 . o C a l c u l e r l r e a d o

■ '^^estão:

Exnr-^«'apót^ma T triângulo eqüilátero '

^ questões tf-m !

_{tCm valor 5 pontos.}

t-") ^

laoci,

+ 6--2U, '''^^OLUçXo

_{+ 3-10 = _i8}

2..) ente: 4aí ^ [ B 7 — (2\ (-18) 4a2 _

'^ + ^ = -l<í=+B„_c

(35)

6 6 Manoel Jairo Bezerra ■ Substituindo A, B e C por seus valores;

(a+1) a»+(l - a - aí) fl - (d - 1) = a'+o=+a - - «i - a+1 =

° (1 ~ tt) . o - a® - a ~ a ~ 3 . * ) Te m o s : (a +1) (a - 1) ' a + 1 — a a + 1 ■ a + 1 a + 1 1 a + 1 ^ - aí ~ 4«) Eliminando o denominador 6 - X + 18 < 33: - 4a: < - 24 ^ • * . 4 3 : > 2 4 e i > 6

o.») Kesolvendo por adição:

ax + 6y = oò bx ~ hy

ax + bx = ab + b* . , ,

a; = j, • • (a + 6) X = & (a + 6)

Substituindo o valor de x na 2.» equação vem*

S o l u ç ã o :

=

0

5 f = O

6.') V32 <7 « = 2 = 2 VT"

7.«) Fatorando o radicando temos:

- "V(x+y)í(a:-y) ==

8>) A soma S das raízes é •

-2

Se uma raiz é inverso dn nnf»» >

umdade. Pois, se J ° Produto P dessas raízes

" 1 7 ' 1

A equação pedida será da forma:

é a

í'-Srr + P = o ou a:'++

2xí + 5x + 2 = O o u a i n d a : 9.") Resolvendo; 8a: + 24 5x = 3x2 + Q3. • o,j ,

-ou -' + ^-8 = 0 cuias raízes São: x.í ^x^^

A maior raiz é, portanto: 2. ^ e xj = 2.

Çue^ões de Exames de Admissão

6 7

1 0 . ® ) T e m o s : x ® = 2 x i xi +X3 = p + 2

X1X2 = 8

Substituindo Xa na 2." equação:

x i + 2 x i = p + 2 x i = p + 2 , . 2p + 4—, logo X* = —3—

levando êsses valores na 3.® equação:

p + 2^2p+4 g. 2p'- + 8p + 8 ^ g_■■ ₉ 2p + Bp + 8 = 72 pí + 4p - 32 = O r e s o l v e n d o , v e m : p = - 8 e p = 4

Portanto, o menor valor de p será: -8. 11-') Temos: Si = So ou 180®(71-2) = 360®

180®n - 360® = 360® n = 4 e o polígono pedido é um quadrilálero.

12.«) O ângulo P pedido é um ângulo circunscrito e tem por medida:

P = B A C - B C

= . . . ' ^ = 8 0 °

(36)

logo; BAC = 360° - 80® = 280® p = ^0° - 80° _= 1 0 0 ®

13.*) Seja n o n.» de lados do polígono, temos:

n (n - 3)

2 - 3n n'-^3n^ Gn /. n'~ Qn = Q

cujaa raízea eão:n = Oens=g

E o polígono pedido será o cicágon,, („ = g).

14.')" Temoa: P = ^ _

Calculemos CD = 2 5 °

AB + C? =

152-50® Fig. 20

Somando, membr^a membro, obtemos:

245 = 202. 4S=l0to

E o arco pedido CB será 152.-101. .,51.

15.«) Temos: c = 5m e A = 3m e sabemos que:

= o u

bc ~ ah = a» - 25

56 = 3a

Questões cie Exames de Admissão

R e s o l v e n d o o s i s t e m a v e m : 6 = 3 a

9 a »

2 5 = a » - 2 5 9 a » = 2 5 a » - 6 2 5 o u 1 6 a » = 6 2 5 a » = 6 2 5

1 6

a = -^ = 6,25

A hipotenusa será, pois: 6,25m.

A 16.®) PB = 4dm BC = PA (Fig. 22) Sabemos que: PA ' = P C X P B o u PÃ^ = (^-\-PB)PP PA» = (PÃ^4)X4 x2 = 4x + 16 a:» - 4x ~ 16 = O 4 ± 4 Võ" 4 ± V l 6 + 6 4 ® 2 6 9 = 2 ± 2 VT

Logo o segmento PA será: 2+2 Vy dm ou aproximadamente

6,46ÍZPI.

17.») Como sabemos que polígo nos regulares de mesmo nú mero de lados são semelhan tes e que as áreas de dois polígonos semelhantes estão entre ei como os quadrados de suas linhas homólogas.

T e m o s :

108 Vã" _ ^ . EL=3G

3 Vs" ^ A» A»

(37)

■. . ^|J .jLl. J-iuUB

V

' - ^ v V

18.") A área do trapézio 8erá: S =

M a a A C - { - D E r t X A AC = 12?» A B = 6 m AD = 2m B i ) = 4 m

Como paralelo a AC, temoa : AXBC-AflBB.

^

A B

D E 1 2 - B - D 5 B 4 • ' * 19, Fig. 23

S u b s t i t u i n d o ê a s p B v o U , . » ' ' e f t = V 2 .

_{««sea valorea na expreaaão da área temoa:}

Ç, 12 + 8

=-2-X ^2 = 10 Ar27»»

ou, aproximadamente: 14,14?»^

Normal do^Instituto"X°Ii:Saçã?''M^fadmissão ao

nas mões que deixamos de comentar

derado errado pSL^Sncí aue ° foi

conai-siderava o losango como um quadradoflução que con

de ângulos iguais"). 4uuuraao ( o quadrado é um losango

Dentro dêsae ponto de vista a solução seria:

^

=

2 B

^

2 ^ ,

M a s

^

e a área pedida será: S = 2m'.

20.») Sabemos que a área de um polígono regular é: 5 = pa . c r 3 Í „ 3 f í V T .. o í = — .0 ou 53 = 2 • ® ( 1 ) Mas, C j R R = 2 a Substituindo em (1) vem: S . = . a = 3 a = V 3

Nota : Nesta prova, em mais de 900 candidatas, foram aprovadas menos

de 100 e a maior nota foi 95.

1.® Questão ; A raiz cúbica de certo número N é 4,41; a raiz quadrada desse mesmo número é 9,23.

Calcule, aproximadamente, com uma só operação, a ViV

O justifique a marcha adotada na resolução do problema.

2.^ Questão : Pôr em equação e resolver o seguinte pr^

blema: Qual é o número que é igual ao valor absoluto

de seu dôbro diminuído de 15?

3.® Questão : São dados os polinômios A = + ^

B = h x ^ - 5

C = p x 3