Curso Moderno de Matemática Para o Ensino de 1º grau - Guia do Professor, 7ª série, 3ª edição, 7 º v., 1977

G R U E M A

(Grupo de Ensino de Matemâtiea Atualizada)

A N N A A V E R B U C H F R A N C A C O H E N G O T T L I E B L U C I L I A B E C H A R A S A N C H E Z M A N H Ù C I A P E R E L B E R G L I B E R M A N ( l i c e n c i a c J a s e m M a t e m â t i e a ) Supervisâo de L . H . J A C Y M O N T E I R O (da Universidade de Sao Paulo)

C U R S O M O D E R N O D E

M A T E M Â T I C A

para o ensino de primeiro grau

v T f t i T n r r r T T M M M i

— y

O B J E T Ï V O S Ï N S T R U C I O N A B S

Rclaçôcs

1. Conslriiir a relaçào inversa de uma relaçào conliecida.

2. Efetuar. quando possivel. a relaçao composta de duas relaçôes dadas.

3. Reconhecer a nào comutatividade da composiçao de relaçôes.

4. Reconhecer que a composta de duas funçôes é uma funçào. e que a composta de duas

bijeçôes é uma bijeçao.

ObservaçÔes de ordem didàtica

O prtifessor dcve lembrar que o livro se destina à 1.^ série do Curso Fundamental, razao

por que apresentamos o assunto do capitulo de maneira mais inluitiva do que formai.

Grupos

1. Fomializar as propriedades de umaoperaçào num conjuntojâ estudadas nas S.^e 6.® séries.

2. Reconhecer quando um conjunto. munido de uma operaçâo. é um grupo. seja o

con-junto finito ou infinito.

ObservaçÔes de ordem didàtica

No capitulo em questào foi apresentado o grupo das permutaçôes de très elementos. Nào sendo. porém. de nosso interesse que o aluno memorize nomenclatura., nào introdu-zimos a palavra "permutaçâo". limitando-nos a considerâ-la uma bijeçào.

A formalizaçào do conceito de grupo foi introduzida na 7." série do Curso Fundamental

para facilitar a prâtica da resoluçào de equaçôes. Esta prâtica constitui-se numa das

ferra-mentas essenciais para a aplicaçâo da Matemâtica a qualquer profissào.

Implicaçâo e equivalcncia — Axiomas e Teorcmas

1. Identificar uma implicaçâo quando a premissa é verdadeira. 2. Reconhecer a equivalência como uma dupla implicaçâo. 3. Compreender o que sâo Axiomas de uma Teoria. 4. Identificar a hipôtese e a tesc de um Teorema.

5. Entender o que é a demonstraçâo de um Teorema.

Observaçôes de ordem didàtica

Nâo introduzimos as tabelas de valores lôgicos por nâo considerâ-las acessîveis aos

alunos desta faixa etâria.

Usamos o método heuristico (processo da redescoberta) nas demonstraçôes simples

para evitar que estas sejam impostas aos alunos ou apresentadas para mcmorizaçào.

Paralelismo e direçâo

1. Reconhecer que a relaçào de paralelismo é uma relaçào de equivalcncia.

2. Escolher um sentido para uma reta. obtendo a noçâo de "precede" e '•seguc"

3. Identificar segmentes eqiiipolentes.

4. Construit o ponto médio de um segmente.

5. Traçar projeçôes, paralelas a uma direçào dada, de pontos e de scgmciuu:>. para dividir

um segmento em partes eqiiipolentes. 6. Graduar uma rata.

Observaçôes de ordem didatica

C à l c u l o l i t e r a l

1. Descobrir regras prâticas para efetuar produtos notâveis.

2. Reconhecer os produtos notâveis para efetuar a fatoraçào.

3. Aplicar a fatoraçào à simplificaçào. multiplicaçào e divisào de fraçôes literais.

Observaçôes de ordem didàtica

O capitule considerado nada mais é do que a aplicaçào de propriedades operacionais

j;i conhccidas. Desde a S."" série os alunos se habituaram a efetuar operaçôes corn expressôes

nierais simples. Na 7.^ série eles jâ sào capazes de manipular expressôes um pouco mais

complexas.

Funçâo polinomial

1. Reconhecer uma funçào polinomial.

2. Representar graficamente. no piano cartesiano. funçôes lineares e funçôes afins.

3. Resolver graficamente sistemas de duas equaçôes do I.'^ grau com duas variâveis.

4. Resolver aigebricamentc sistemas de duas equaçôes do l.° grau com duas variâveis.

O professor deverâ deter-se na divisào de um segmento em partes cquipolentes. por

ser este conceito fundamental na inlroduçào do conceito de nûmero real, bem como de

grande aplicaçào na vida prâtica.

Numéros reais

1. Comparar racionais sob a forma decimal.

2. Identificar décimais ilimitados periôdicos e nâo periôdicos.

3. Representar os nùmeros reais sobre a reta. graduando-a.

4. Identificar a abscissa de um ponto sobre a reta graduada.

5. Construir um ponto cuja abscissa seja a soma das abscissas de dois pontos dados.

6. Identificar o grupo aditivo dos numéros reais.

7. Determinar a medida de um segmento e a distância de dois pontos

8. Reconhecer a existência do nûmero real que seja produto de dois reais

9. Identificar o grupo multiplicative dos reaj^ diferentes de zero

10. Reconnecer potências de reais como produtos de fatores iguais

11. Aphcar as propriedades dos grupos para a introduçào da subtraçào c da divisào às

n u m é r o s r e a i s . '

Observaçôes de ordem didàtica

Preferimos nâo intrcduzir na 7." série do Curso Fondamental ^ • .-otAria

a a^çào e da multiplicaçào em U (câlculo com radicais), deixando-a \

O estudo dos numéros reais esta ligado estreitamente à reta num ^

a representaçao grâfica de funçôes polinomiais, bem como de soIucôpq '

,.-1-çoes e duas incognitas. Procuramos evitar uma confusào muitas v ^

um conjunto denso e um conjunto continué. O fato de o conjuntn çonstatada e

nao autoriza o aluno a considerâ-lo como uma representaçao de '"scionais ser c'

q u e c o n s t i t u e m u m c o n j u n t o c o n t i n u o . p o n t o s d a *

A introduçào do conjunto U nos permiliu. ainda, estudar ^

evitando assim repetiçôes enfadonhas. ^u.culo literal nos rea' •

Obsenaçôes de ordem didàtica

O professor notarâ que neste capitulo nào abordamos as operaçôes com poiinômios.

pois elas nào passam de casos particulares de operaçôes com expressôes literais. jâ estudadas.

O aluno deverâ reconhecer que todo polinômio é uma expressào literal, mas nem toda

expres-sào literal é um polinômio.

Procuramos dar maior ênfase à funçào polinomial do que ao polinômio em si. pois

observamos que as funçôes .se constituem num dos tôplcos da Matematica que mais iarga

aplicaçào têm em outras areas.

C i r c u n f e r ê n c i a

1. Reconhecer a posiçào relativa de duas circunferências.

2. Reconhecer a posiçào relativa de uma reta e de uma circunferência.

3. Construir circunferências tangentes ou secantes.

4. Relacionar a medida dos raios. a posiçào dos centros e a posiçào relativa de duas cir

c u n f e r ê n c i a s .

S i m e t r i a

1. Reconhecer e construir pontos simétricos em relaçào a uma reta.

2. Determinar o eixo de simetria de um segmento.

3. Determinar o simélrico de uma figura plana cm relaçào a um eixo.

4. Determinar o eixo de simetria de figuras planas.

5. Identificar os invariantes de uma simetria.

6. Reconhecer e construir a mediatriz como eixo de simetria de um segmento e a bissetrlz

como eixo de simetria de um ângulo.

7. Identificar e aplicar as propriedades da mediatriz e da bissetriz. 8. Reconhecer c construir as medianas de um triangulo.

9. Construir perpcndiculares a uma reta. utilizando simetria.

O S

Congruência

H?ncias para identificar congruèncias.

1. Estabelecer de polif

2. Reconhecer e aplic congruência . J^s. as relaçôes entre element

3. Reconhecer e aplicar .^ngruência de tn ^

4. Provar. utilizando „ forniados por paralelas com transversaîs.

de triânguios e ^giaçôes entre os angulos ^^^ tnanguio.

5. Conhecer e aplicar as niedidas dos a g

6. Conhecer e apiicar a

Observaçae. de orde. didâtica

O estudo da simetria apresePtado u,.a Hgura

n] formativo: desenvolver

, ' H p t r a n s f o r m a ç o e s g e o n i e l n c a s , f a z e n d o .

plana no espaço, geometria atraves de ransn

b) informativo: estuda utilizada em algebra. ^

assin,. a integraçào com a facilita o estudo de congruenca.

O estudo da simetna alem de ennq^^ observaçôes do espaço e at.vidades

cou-O

e s t u d o

d a

s i m e t r i a

c v e

^

cretas como: - «nplhos em ângulo ou paralelo. observar coino as

ima-a) Com um espelho ou com figuras se renetem.

gens das letras do alfabeto ou oe espelho sem o espelho e em seguida

co-b) Tentar desenhar ^ j^senho esta correto.

l o c a r 0 e s p e l h o p a r a v e r i i i c d i e x e m p l e , o u e m d e s e n h o s . c a r

-c) Descobrir simetria nos o j

tazes. etc.

SUGESTOES de questôes para provas

(por capitules)

Relaçôes 1) Dados: A — {a. b. c. d] B = {5. 6. 7. 8} R = {fa. 5). (6.6). (6.7)} a) Complete:

R-' = {(5, a), (6, b), (7, b))

R = [{5,5}, (6,6), (7 7}}

R-' R = {{a,aJ, (b,b)}

b) Trace no diagrama:

em verde as setas que representam R

*-em azul as setas que representam R"' ^

em marrom as setas que representam R°R

R

F ) em laranja as setas que representam R '

c) Assinale corn V ou F: Ro R~' = R"' o R 2) Dados:

C = {Belém. Teresina. Manaus. Goiânia}

R ~ {Amazonas. Para. Goiâs. Sergipe}

«1 Représente os elementos de C e de £ pelas suas primeiras letras (em minùsculo)

^ ^ \à. t, m, g]

^ (s, A g, s}

b) Représenté no diagrama os elementos de C e de E.

c) Trace em verde. no diagrama. as setas que

representam a relaçào 5 de C em E.

defi-n i d a p o r :

".Y é a capital de y"

d) Trace em laranja. no diagrama. as setas

que representam .S"'.

e) Quai a sentença que define S"'? y tem por capital x

f) Complete: 5 = {(b, p), (m, a), (g, g)]

S~^^{(p,b), (a, m), (g. g)]

5 = {{p, p), (a, a), (g. g)]

5~' = {(b, b), (m, m), (g. g)]

g) Assinale coin V ou F: S S"' = ^> ' ^ (F)

3) Sejam os conjuntos A = {\\. 14. 17. 20. 21} B {15. 18. 21. 24. 25} C = {5. 6. 7. 8} e as relaçôes: M de /I em B definida por: .Y 1-^ .Y + 4 R d e B c m C d e fi n i d a p o r : .Y A - ^ y

rt) Représente no diagrama os elementos de

A. B c C:

b) Trace em azul. no diagrama. as setas que representam M o R.

c) Trace em marrom, no diagrama. as setas que

representam R o M.

d) M é uma funçào? sim £') R é uma funçâo? nâo

f) R M é uma funçâo? nào

4) Dados os conjuntos A = (6. 15. 21. 0} B = {2. 5. 7. 0} C - [4. 10. 14. 0} e as relaçôes: T de A em B definida por:

"a é o triplo de y"

D de B em C definida por:

"A tem por dobro r"

ri) Complete: T = {(6,2), (15,5), (21. 7), (0,0)]

D = {(2,4). (5. 10), (7 14), (0, 0)}

T D = 0

b) Rep^eseme „o diagrama os eiemen.os de

'

■

( rra« em verde as se.as que represen.an,

o'r. '"""J" represe.ua,n

T é uma bijeçào? sim

/) 0 é uiua bijeçào? sim

d) 0 T é uma bijeçào? sim

51 Dado 0 conju.ito

= !(0- I--I. 2.-2. 3.-3 4

""«

■

dere as relaçôes sobre ^

« definida por x 2x

definida por x .v + 3

Ïesentam «™''" ™ -^e.as que

" FT=-:::;r

fi/Vv-". 02 ,,,

^ ( F )

y-i --2

_ji-tirupos

" ^yaoconjunUM = (n A

-de A? A

de I'. J

' ' ™ S^dPo? Sim

^^Woconjuntu^^

Sim neutro em ^'ddlado

" " "

■■

» . s ™ . , " » '

*

A

■

A

A

■

A

A

A

A

■

■

■

A

A

A

A

■

A

(L A) P

' ' grupo.

de o? de „7 de /') ' de I') de av nào nào hé 0

'^^0 hé

nào hé ^^0 hé a A b 0 n t a b b b b b b b 0 b 0 n t a n b n t b n t i b i b i b 1 t b > t n b t n a b a t i n 0

3) Seja o conjunto T = {.xeZ|.x é mûltiplo de 3}

( I + ) é g r u p o ? s i m

Implicaçâo. equivalcnclu. axiomas e teorenias

1) Considéré 0 conjunto A = \2. 4. 5. 7} c as senlenças p:y < 4 e q; r < 8.

u) Substitua nas sentenças abertas a letra y pelos elementos de A. e escreva V ou F ao

lado das sentenças obtidas:

y e A s e n i c n ç a p V o u F s c n t e n ç a q 2 2 < 4 V 2 < 8 V 4 4 < 4 F 4 < 8 V 5 5 < 4 F 5 < 8 V 7 7 < 4 F . 7 < 8 V

h) Em quais dos casos acima poderiamos escrever:

P = > p a r a v = 2

V = 4 V = 5 r = 7

2) Assinale corn \' ou F (Universo Z): a) -x < 7 => .V < 8 ( 1/ ) -X < 7 => A- < 2 ( F ) A- < 8 => A- < - 1 {F ) . X < - I = > . X < 0 ( ) /)) A- + 4 = 3 ^ A- = - 1 {V ) 3a- < 15 ^ A- < 5 { 1/ )

a ' = 2 = ^ = 1 ( V )

A- f- H = 3 => A- := 7 ( F )

4 = 0 .V = 0 ( 1/ )

4 c) -x + 1 > 3 o A- > 2 ( 1/ ) 1 - .X > 3 A- > 2 ( F ) 1 - A- > 3 A- < 2 ( F ) 1 _ A- > 3 <=> .X < - 2 {V )

3) Resolva em Q as equaçôes por meio de sentenças équivalentes c dê o eoniumo-serdade.

2 . Y + I 3 . V - 4 ■3 " " 2

'

■

T

,, .Y 2.Y + 1

My- —= 4

l / = 8 X >

c) 2(.y- I)-3(.y + 4) <15 V= {xeQ\x > -29}

- f " -

'

4 ) C o m p l e t e o q u a d r o .

e j

Te o r e m a 1 Hipôti'sc 1 T r s c I I

A

U

U

'

x - y

y c x ^ ^ a e multiplo de 3] . ' 1 1 1 e m u l t i p l o d e 1 5 (f e multiplo de 5J a é multiplo de 3 a é mûitipio de 5 a é m û l t i p l o d e 1 5

j Antonio é pai de Joàol Antonio é avô

Joào é pai de Alberto] de Alberto

Antonio é pai de J o à o J o à o é p a i d e A l b e r t o A n t o n i o é a v ô d e A l b e r t o

Hoje vou à praia porque quando hâ sol vou à praia e hoje hà sol.

1 Q u a n d o h à s o l v o u à p r a i a e h o i e h à s o l H o j e v o u à p r a i a Paralelismo e direçao

1) Com o auxilio de régua e esquadro trace:

fl) segmentes verdes equipolentes a AB com

origens em C. E. H.G.

b) segmentes amareios equipolentes a AB com

exlremidades em C, E. H.G.

2) Dcsenhe uma reta re OS pontes Cde.de

modo que vl precede B" e B segue C"

c

B

3) «) Em cada quadro trace, quando possivel. os paraielogramos que se oblêm ligando res-peclivamenlc as origens e as exlremidades dos pares de scgmcntos oricntados. b) Assinalc os parc» que permitcm construir

paralclogramo: A B e C D { X ) N R e P Q { X ) V X e y z ( ) EE Q GH { ) R S e T U { ) / . / e L A / ( ) M -B V Y

-4. Determine as projeçôes de AB e CD

paraleia-mente a s sobre r.

5 Projeté ortogonalmente sobre .s c quadrilâtero

A B C D .

A

> B

6. a) Marque sobre/très segmentes consécutives

eqùipolentes a LH.

b) Divida LS em très segmentes eqùipolentes.

3) Trabalhando em Q. de o conjunto-verdade das equaçôes: a) X- = 729

h) 9.\-^ = 144

V -.= {+ 27, -27} V ^ { + 4, -4]

4) Trabalhando em U. dè o conjunio-verdade das equaçôes; c;) .Y^ = 6.76

h ) = 0 . 8 1

K = { + 2,6;-2,6] V = [+0,9;-0,9 )

5) Assinale cm azui. nas retas graduadas ao lado. os conjuntos indicados:

a) A = {.V G N I - 5 < -v < 7}

9 1 2 3 4 5 6 7

h) B ■■= {.YGZ1-5 < -Y < 7]

c) C [.YGRi-5 < .Y < 7}

- 5 " 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7

ados os pontes A. B. C. D. E de uma mesma reta. tais que:

a{A)=-3: a{B) = 1.5; aiC) = 3: a{D)= 2.1- «/£»

c o m p l e t e : "

) a{E)^a{A) = = + 2

l'iAE) ~ 2

f) "it/tC) Q

'"'"(ÔCl = o,9

" com > ^

3 . 4 7 5 9 < o u =

2 . 3 6 ^ 3 . 4 7 6 1

0 . 3 4 ° 2 . 3 6 0 0

0.213 ^ 0-33473

3 2 1 ^ 0 . 2 1 4_{^ 3.210} com V ™ p

;e2

^'ûmeros rcais

( £ ,

I') 2. c

w 2 G ( c \

0-^-^.s2

yeQ ( 1/ )

^ c P , ^ ,

2 e [R (1/

«

■

44.,.eR ^

4

3 efR (1/

6) Aplicando as propriedades da adiçào em R. simplifique as expressôes:

n) {^2 + ys") + (-^2) = ys

h) 2^2-\/2 + (-2y3) = -ayi

7) Complete, a Hm de tornar verdadeiras as sentenças:

a) ys + 3 + (- sjs) = 3

h) J2-3+ (-J2 + 3) =0

c) 2j'2 + (- 3y3) + 3J3 = 2J2

8) Calcule em R o conjunto-verdade das equaçôes:

a ) 3 + . Y = y 3 V = { y / 3 - 3 }

b ) 0 . 3 1 - K l - - 0 . 0 2 4 V = [ - 0 , 3 3 4 ]

9) a) Dada a reta graduada .s e sens pontes .4, B. C e D. projete-os paralclamente a 00

s o b r e a r e t a / .

0 /' ^ S

g V ^ X \

O M

b] Complete o quadro de acordo

_{com 0 item a} C a l c u l o l i t e r a l X 4.V 0 0 I 4 _ 2 - 8 0.5 2 4 1 6 3 3 3 4 - 3

a]^V P'"ypriedade distributiva e complete:

'

■

>V2-l)=,y2-a

Sincomum

termes qpm^iiu evidencia. usando a propriedade distributiva. Reduza os

b) 2.V-4V + 8, ' sj2 {2^3-4} = J2

-r- + ±! S.Y 3 3 - - -

_{3 ~ 3 < ' ^ ^ 2 5 ) =}

-d) x-^ 4- -1-_{2 4} 2 4 V 2 x 3 3

A,.:

'21 '''

■

"''^"'andoeniR.resoiv

3.V $ 7 " as inequaçôese représente OS conjuntos-soiuçào nas relas reals. V = {xe 3 J

3.V- 1 > 4^^

d ) . V - 2

3 ~ ~ X ~ ^ 5

I I I I I I I

V = {xek |x ^

1 — t — I — »■ 0 Z H 1 — 1 1 -I I I I I I I I H — I — I — I ▶ H — I h - 1 0

V = {xeU\x > 7}

■+ - H — I I I I I — I — I — I — I I M I 0 > V = {XG R IX < - 7} 1 — ^ 1 2 I I I I I I I 1 — H H » — t 1 — — I h - 1 0

1) Complete os quadros (.y ^ 0)

« ) h) C d l c u l o s _Propriedadcs

..,5.1 =

.Y f 7 \ = x . ~ 1 5 =

V ^

1 . 1 5 1 5 c o m u t a t i v a e a s s o c i a t i v a e i e m e n l o i n v e r s e c i e m e n i o n e u t r e C d l c u l o s _{Pi'opricdadi'S} I — ■ a . X ■— X = — • . Y . a ■■=

\ - v J

= ] . a — ~ a c o m u t a t i v a e a s s o c i a t i v a e i e m e n t o i n v e r s o e l e m e n t o n e u t r o

2) Coloque o fator comum em evidência:

a) 5x + l5x-20x^xC5+75--20J=0.x = 0 f) 30xv + ISOx^60xyz := 30x (y + 6x + 2yz) 9 5 ^

_ 4^ 3 y

f V 3 y ^ - 2 ^ - / - 7 / . - . 2 2 x 7 r 5 z 7 3^ + 3 + 3 3 7.Y .Y 3.Y 1 5" + Î 5 + 2 0 ~ 5 7 x + 5 4 /

i/) 15o"b.\' + labx^ = abx (15a + 2x)

4 M ^ 8" 3 12

£_ /7 ^ ^ /? + — /7:= (^7 + — + —)

g V / ' i 6 V / + 2 4 ^ 5 1 ^ ' 2 5 /

I)

a^bc + 4 1- 4 4~

e) 3ab f 4rt-bc + 5ax = a (3b+4abc+5x) j) xy + x^.r + .v=

■

xy (1 + x + y)

2 3

3) Efctuc:

a) {X + 3)^ = x^ + 6x +9

h) (.Y -.r)^ = x^ - 2xy + y^

c) (x + .r)(-v-.r) = -y^

(I) (X + 3yf = + 6xy + 9y^

c) (4.V + 2v)^ = 16x^ + 75xk + 4y^ 0 (.V + 3){.v-3) - x'-5 j) {x + 2){x-2) =x^-4 /) m)

xy _1_\ / .v r

T T x^K' / ^ -,1) {X + l)(.v + 2)= + 3X + 2

f) (4.yv-7.v)^ — 16x^y^ ~56x^y + 49x^ o) (x + 1)(.y-2) = x^ — x — 2

g) (3.V + 2)^ = 9x^ + 72x + 4 p) (x + 4) (.y + 7) = x^ + 7 7x + 25

/j) (3.v-5v)^ = 9x^ - 30xy + 25y^ ^yM-v-3) (.y - 1) = x^-4x + 5

1) Fatore as expressôes:

") fl" + 6« + 9 = fa + 3)2

b) '^•^

■

'~9y' = (2x + 3y)(2x~3y)

c) ;?r-I4m + 49 = (m~7)2

L . 3 ^

Aplicaçôes dos produtos notâvcis - Faforaçâo

f ) 4 r / 2y \ V X ~3 u + ■J 2K + , 3 \

f )

+

b ' )

SI) A- + 36-I2X= C;,_g.,2

') + 7« + 12 = l'a + ^

/,3_7A + 12

■■

= (b-4)(b-3)

,, ^.2 + V- 12= (x + 4)(x-3)

,„),-r i2=r>'-Wy-5;

,„2 + 8m + \b(rr, ^

4y-, „ 3 - 8 m +

, „,2 + lOm f If' = I'm + S/irm + p;

„,2-IOm + If' = (m-8)(m~2)

„,3 + 6m \b -=(m + 8)(m~2)

(m- 16)(m + 1)

"" -'«+l2=ra + 4;r. + 3; ; ,„2. ,5m-l6=r'"-7W.

-) Ponha antes em evidênci-i r. f-,.

■

i

") 36 + 24a + 4a2 2° e dcpols fatorc. ,s<; pos.sivcl.

fcl l5„A-3a'i:'^':^^^ l2y -V--^2(x^4)(x-4)

_{3a (5b~i + 2a) ... .»2„4 _ ,,,4,,2^2^- /„ _ ^}

m V - m - ' / r m 1 2 I I

0 ^ +

'/?' fn-mjfn + njj

^ ^ .L(m-n)(m + n)

to , 2,,^ ^ (, +

ar-3' Fatore a., maximo e redua, o- ^

M '« + 5)2 = /"K;^ + Vr™™ •'^«flelhanles. quandc posslvcl:

^ ~(yyS)li(,^ i^^(,^5)I-4(2X + 6)

' ("1 + 4)2 ^ ^ - fa -f'')ra2 + y)(a* + b'*)

' + 4 x ) ' f ( m + 4 ) - { m - 4 ) J = 1 6 m

4) Simplifiqu;, quando n • '^4- 4x)l [(3-4x) + (3 + 4x)J = - 24x

"ao sejam nulnc P^^'^l. as frar/s

"as quais admitimos que os dcnoniinadores

3

a

n ?

Eretue OS calcuin

■

"ào nulos: ^ '"^'cadi

a)

d)

5.Y 5r _0(x-y) _x-y

' ' " S x '

5.V-■

V- + :v-2() _

_{(jc-'i-Sjfx-a) _ x-4}

+ 9.Y h 20 ~ fx^'SJfx + 4J X + 4

"ào nulos:

2 a " 56 - 5g

A) ifL. '2a 2

H)?= ^

'•) i-2i. A^ + 4

^ + 2 7^=A2 + ^

+ 4 3.rrî5-7

e n t r e a s ^

^®es cujos dcnoininadores sào. por hipotesc.

6 a 1 e) 4 u - 4 a + 7 24rt a' - 1 f. \Sa 20fl- 9b I 3 b ' 3 % ^ ~ 4 a a ' - b ' a ' - 2 a b + b ' 14 £/) h) 2a + 2h x' - X 6a - 6b 5x' - 5x - 3 1 2x' + 6x " 2.Y + 6 5x Funçâo polinomial em

1) Considéré o sisiema de eixos coordenados ao

lado c OS conjuntos A = {-\. 0. 1. 2) e B = {0. 1. 2. 3. 4}.

a) Représente em verde os pontos que re-preseniam a relaçâo de A em B:

R =(0.0). (0.4).(2.1). (I. 3). (-1.4))

h) Représenté em azul os ponto': que

represen-lam a relaçào de A em B:

$ = {(0.2).(1.3).(2.4).(-1.0)}

c) R é uma funçâo? nào

d) S é uma funçâo? sim

3) Dada a funçâo monomial em R: f(x) =-4.y'^ a) Qua! o coeficiente do monômio que define /?

- 4 b) Qual 0 grau de /? 3.° c) Calcule: /(G) = 0 / ( I ) = - 4 / ( - I ) = + 4

/|-yl =

7 /(3) = - 108

( ] _ \ ' 4

/ 2) Sejam os conjuntos A = {0. I, - L'2. -2. 3. -3} e B = {0. 1, - 1. 2. -2).

Considéré a relaçâo T de k4 em B representada

no sistema de eixos coordenados ao lado.

a) Complete pela enumeraçào de seus

ele-m e n t o s :

T= {(0,0), (1, 1), (2,2)]

b) T é uma funçâo? nào

2 7

4) Seja a funçâo m em R definida por: wi(x) =

a) Quai o grau de m? 7.° b) Complete o quadro: ■ 5 .Y 0 5 - 5 1 0 - 1 0 jn(x) 0 - 3 3 - 6 6 7 5

, no sistema de eixos coordenados abaixo. o giïifico carlcsiaiio do /?/. y \ s s s N • s > X s \ "s. N , s V N ,

5) Dadas as funçôes em R definidas pelas sentenças abaixo:

|(y) = 2.V^ »i(.v) =-.Y^

g{x)^-^ p(.v) = + 5

/ifx) ^

q) 0 quadro ao lado:

Funçào G r o u Coi'Jicicnfc f 2 . ° 2 g 0 - 3 h . 0 4 m 2 . ° - 1 1 P 0 5

b) Escreva sob a forma reduzida a sentença que define: •iv) = fix) + g(.Y) + /i(.v) + /h(.y) + p{x) = + 4x + 2 c) Qual 0 grau do polinômio que define .ç(.y)? 2°

d] Ordene o polinômio que define .s(.y) pelos expoentes decrescentes de .y.

sf.Y) = + 4x + 2 e] Complete o quadro: 6) Dadas as funçôes em U: fix) = 2x^4 gix) = 2.V h(x) = - 4 m(.v) = 4A-^ - 16.\- + 16

a) Quais sào funçôes afins? f(x) e g(x) h) Lenibrando que dizer que h é definida por

/j(A-)= -4

significa dizer que todo x real tern, pela h.

a imagem -4. esbocc ao lado o grafico da

funçào /j(.y) = - 4.

f) Complete o quadro para fix) = 2.V-4:

fi . x )

(I) Esboce abaixo o grafico de fix).

/

g

/

Sistemas de equaçôes

1) Sejam as funçôes / e g em U definidas pelas sentenças abaixo:

/ ( x ) = 2 x - 4 g i x ) = 5 - x a) Complete os quadros: X _/(.Y) 0 - 4 1 - 2 - 2 - 8 X _{g i x )} 0 5 1 4 - 2 7 0 1 - 1 2 - 2 ) - 4 - 2 - 6 0 - a ^f.Y) _ 1 - 7 1 4 - 0 . 5 0 , 2 5

b) Représenté no mesmo sistema de eixos a / (em azul) e a ^ (em verde).

Hx) =^^7

% y

!

\ f s

/

\ i \

/

\ f

/ N

'

\

X

J

s \

f

N

j

N

f

X i

t

/

f

nadas do ponto que pertence a _{/ e a ( 3 , 2 )}

e m em (I definidas pelas sentenças abaixo:

mix) = 5 ~ 2 x

Ï Complete os quadros:

Rep

X m 0 - 7 2 - 4 - 2 - 1 0 X /n(.x) 1 1 - 0 , 5 2 - 2 3

■

"^ente no mesmo sistema de eixos a h (em azul) e a m (em ~verde).

Ouais X _y f x

/

N . / / _X — — X

/

;

i r -X

/

/

/

a s

J 8

""rdenadas do ponto que pertence a /j e a m? (4,-1)

3) a) Resolva os seguintes sistemas em R x R e représente num sistema de eixos

coordena-dos OS graficos das duas funçôes em cada sistema:

S i s t e m a « < "r = 3 x - 5 r = - x + I V = {(3,4)) y

4

/

/ f /

_!

X

/

/ f >

t

f J S i s t e m a b 2 . x - 3 r = 1 -X + r = - 2 V - {(- 1, ~ 1)} S i s t e m a c x - y - - = 2 - x - v = 3 K = 0

z

Z / y \

\

\ X

\

I z \ z \

S

\ 1 9

" T

4 x +

2, = 6 y^[,<eR\y = 3-2x}

h) Assinalc com um X. no quadro. qual o lipo da soluçiio de cada sislema.

Sistema ^)2x + v - ^

S i s t e m a Uma soluçào Nenliwmi soliiçào _{Infniitas solaçocs}

a I X 1 h X 1 1 c X d X e X f X S i s t e m a e -3J = 15 2x + y = 5

\

\

\

\

H

S i s t e m a +

^

C l r

"^nferencia e Sim^tria

I) Desenhe duas circunferências de J... toic

nn»-1 o r r T i

a) as circunferencias sejam tang^ i Cm e ^ ^

internas-b) as circunferências sejam secat^^_^s.

2 ] 2 0

c) as circunferéncias sejam tangentes exteriias.

A c B àe modo que a intersccçào seja 2 pon'^'®

unferén';'^„fdrcl^cunferênciadeccn.r.>B.

circunferéncias

2) n) Trace du^ intenor da c^^^^

_{e tal 1"'}

Dizemos

estas duas

- ns centres e as medidas dos raios dc duas circt"

3, Sabendo que (Acom o simbolo de uma relaçào, a fim dc lorn"

_{rias secantes em i}

dTdebas as sen.enças.

< /"i + ^2 AF2

p p I A S

A B APi \ P i

P^P2 n AB

f

0

4) Desenhe um

triângulo ABC. Trace uma reta t paralela a um de seus lados e o

deVte' trlângulo em relaçâo à reta t. ^

fZem Us sol.çôes.0^^e^nhoapresenl.l^as:

si m

5) Trace uma rela i em relaçào à quai os ponlos R e S sejam simétricos.

. R

6) Sabendo que A/lPfî é isosceles, determine o ponto medio M de BC utilizando apenas

u m c o m p a s s o . A

7) a) Desenhe oARTS simétrico doA/lfîC em relaçâo à reta r.

h) Sabendo que AM = MC e que AT éo simétrico de M. o que você pode conciuir?

M ' e R S R M ' = M ' S

8) Trace os eixos de simetria dus figuras abaixo.

/ \

2 3

9) Dcseiihe uina figura com 3 eixos de

/

\

s i i n c i r i a . 14) Trace uma circunferciicia que passe por A. B. C.

Existem outras

10) Nào coiisiderando as eslrelas e a faixa branca. quantos cixos de simclria tcm a bandetra

brasileira? dois

11) Trace as mediatrizes do àABC.

A

X

-12) Desenhe as mediatrizes e as medianas âoAABC Assinale o centro O da circunfcrência

que passa por A. B t C.

B

13) Desenhe um triângulo /l^Condca mediatriz relativa ao làdo BC coincide com a media"^

o triângulo deve

ser is^ehs,

base BC.

15) a) Desenhe um àngulo e o seu eixo de simetria.

b) Dè oLitri> nome ao cixt> de simetria do àngulo. Bissetriz

16) Desenhe as très bissetrizes de um triângulo obtusàngulo.

B'

Congnjcncia

I) Estabeleça uma correspondência entre os vertices dos poligonos

a c o n g r u e n c i a . A ^ R B S C ^ T D ^ P E Q 2 4

JJ^I>£S£nJ}£ am quadrilàicro PQRS n;i

PQ ^ AB Q R ^ B C

R S ^ C D

S P ^ D A

ÎO congruenie ao quadrilâtero ABCD tal que

Existem outras

r e s p o s t a s .

D P

3) Desenhe urn pentagono PQRST nao congruentc a ABCDE tal que

^ = P

D ^ S

S = Q f B

C ^ R

Existem outras

respostas.

4) Entre os triângulos abaixo, alguns sào congruentes. Indiqiie-os e estabcicça a

corres-pondência que détermina a congruência. completando com o case a que correspondem

I .

( L L L )

II. àADB a ùiADC

2 6 1 1 1 . A X Y M ^ A Z V M ( L A L ) i V . ^ Q R S S ^ S T Q ( L A L ) V . ^ A D B ^ ^ B D C (M, porno medio d e \ Z e d e Y V ) V I . A A B C ^ A B A D ( A L A ) A A M D S A B M C ( A L A ) A A O D s A B O C ( L L L ) H à o u t r a s r e s p o s t a s .

5) Na figura abaixq^B//CD. P_é ponto medio de AD. MN é o segmente que passa per

P e intercepta /IB em M e CD em N.

a) Prove que A/IPB s ADPC.

A A P B ^ A D P C

A ^ D (alternos internos da retas paralelas)

A P ^ D P ( p o n t o m é d i o p o r h i p ô t e s e )

APB s CPD (ângu/os opostos pelo vértice)

h) Demonstre que P é poiiui medio de MN.

MPB ^ NPC (àngu/os opostos pe/o

vértice)

BP ^ CP (tados correspondantes

^ dos àAPB ^ b.DPC)

MBP ^ NCP (ângulos alternos internos

de retas paralelas)

A/W^ ^ /^PC (caso ALA)

MP ^ NP (fados correspondentes em

triànguios congruentes)

6) Em um triàngulo isosceles, uin dos iingulos mede o dol^ 'iicdidas

dos ângulos desie triàngulo?

4 5 ° 3 6 ° 4 5 ' 7 2 ' 9 0 ° 7 2 ° o u

ôsC.ÂGlDK. BHlCK. DenK'"'"''

jue ad ^

7) Dados: DO ^ CH. D ^

^ B^C (ângulos retos por hipotese)

DG ^ ÇH (par hipotese)

D = C (par hipôtese) AAGD ^ ^HC (ALA)

AD s BC (fados correspondantes

à A G D l ^ B H C )

Se Ê ^ C, ED = CD e BDE = ADC, sera que ÀE = BCl sim

Justifique.

E s C _{(por hipôtese)}

E D s C D ( p o r h i p ô t e s e ) ^ ^

m(BdE) = m(BdA) + m(ADE) entào m(AdE) = m(BDE)-m(BDA)

m(ADC) = mJADB) + rr^JBDC) entào m(BDC) = m(ADC) - m(ADfi)

m(ADE) = m(BDC) (diferença de quantfdades iguaîs) ^AED ^ AfîCD (caso ALA)

AE = BC (fados correspondentes em triàngufos congruentes.)

BJ Na figura ahaixo temos:

a) Se AÈè BC. AD ^ BD. DE S OC. demon.stre que Os tsAED e b^BCD sào congruentes pefo

caso LLL (dat^s hipôtese).

Conse-q u e n t e m e n t e f s

i>) Se AE ^ BC. AD = BD. É = C. demonstre que BDE ^

Os i^ED s abCD pefo caso LAL (dados

û'a h.pôtese). ConseqUentemente

Coma ^

= m(ADE) + m(ADB)

o i ( B f ) F \ ~ ( ^ u g u f o s c o r r e s p o n d e n t e s e r h ' ' ' ^ e s )

_{) - rn(ADC) (soma de parcefas iguais)}

2 8

G R U E M A

(Grupo de Ensino de Matemâtica Atualizada)

A N N A A V E R B U C H

FRANCA COHEN GOTTLIEB LUCILIA BECHARA SANCHEZ MANHÙCIA PERELBERG LIBERMAN

(licenciadas em Matemâtica} Supervisâo de

L . H . J A C Y M O N T E I R O (da Universidade de Sâo Paulo)

C U B S O M O D E R N O D E

M A T E M Â T I C A

para o ensino de primeiro grau

Da mesma coleçâo:

Curso moderno de Matemàtica

pora a escola elementar

Vol. 1 — i,a série

Vol. 2 — 2.3 série

Vol. 3 — 3.3 série

Vol. 4 — 4.3 série

Vol. 5 — 5.3 série

Vol. 6 — 6.3 série

Vol. 7 — 7.3 série

Vol. 8 — 8.3 série

Copa e ilusiraçfu's de

M. Teresa Ayoub Jorge

e

Regina B. Tracanella

3- Ediçâo

Ruadofr"''^ EDITORA NACIONAL

0 1 2 1 , ^ ' . 6 3 9

— SAO PAULO, SP

R e l a ç ô e s -Composiçâo de Relaçôes G r u p o s Implicaçâo e Equivalência A x i o m a s e Te o r e m a s Paralelismo e Direçâo

Comparaçâo de Racionais sob a Forma

N u m é r o s R e a i s G r u p o ( R , + ) G r u p o ( R * , x ) C â l c u l o L i t e r a l P r o d u t o s N o t â v e i s F a t o r a ç â o Funçâo Polinomial em R Sistemas de Equaçôes C i r c u n f e r ê n c i a S i m e t r i a Congruência Congruência de poh'gonos Congruência de triângulos ' 1977

RELACÔES

é

RELAÇÀO INVERSA

Grupo I - Exercfcios Preliminares 1) Considéré os conjuntos

A - {escola, livro, caderno, papel)

B = (papéis, livros, lapis, cadernos)

No diagrama, trace em vermelho as

fléchas que representam a relaçâo P dQ A

em B definida por:

"a cada palavra associo seu plural"

b) No diagrama, trace em preto as fléchas que representam a relaçâo de 5 em ^ definida por: "a cada palavra associo seu singular"

e indicada por P~^ c) Complete: I p = P " = 2) Considéré o conjunto D = (2, 3. 4, 5} a) No diagrama, trace em azul as fléchas que representam a relaçâo S sobre D

d e fi n i d a p o r :

"x é mùltiplo do y"

b) No diagrama, trace em laranja as fléchas

que representam a relaçâo 5"^ sobre D

definida por: " x é d i v i s o r d e { ( l i v r o , l i v r o s ) . j

(f44Û

€

-r70 , j ]

{(cadernos,

C^'%rzcd , ] J

1

c) Complete pela enumeraçâo:

s~^ =

Você observou que;

No exercicio I, para cada flécha vermelha de P existe uma prêta de P~^ em

sentido inverso. No exercicio 2, para cada flécha azui de. S existe uma flécha

Jaranja de S'^ em sentido inverso.

D E U M M O D O G E R A L

Seja uma relaçâo R representada por fléchas. A relaçâo que se obtém invertendo o sentido das fléchas

é a inversa da relaçâo R.

A n o t e :

Indicamos a relaçâo inversa da relaçâo R por R'\

Grupo II - Exercicios de Aplicaçâo 1) Seja P um conjunto de pessoas e R a relaçâo sobre P definida por: "x é pai de

Complete:

A é d e f i n i d a p o r :

2) Quai é a inversa da relaçâo definida por:

"x é 0 quintuple de fi

X e f J / J h n r > ^ j

Quai é a inversa da relaçâo definida por:

"xé 0 cubo de f1 .a' a.

diagrama, représente por fléchas

vermeihas a relaçâo M sobre A

definida por:

" x < > ' ' '

b) No mesmo diagrama, représente por

fléchas verdes a relaçâo A/'^ sobre A.

c) Quai a sentença que define M~^1

5) Coloque V ou f:

a) Se {a. è) G R entâo {b, o) G

b) Se {a, û) G R entâo {a, o) G R"^

6) Complete:

û; Se 5 C /l X R entâo S~^ C

b)SQ PC A xA entâo R"' C

u ( l / ) ( r )

COMPOSIÇÀO DE RELAÇÔES

Grupo III - Exercicios Prellminares

1) Sejam os conjuntos de pessoas:

A = \a, b, c, d\

B = {e,f, g. h]

C = {/, j. k, m\

e as relaçôes:

IdeAemB definida por:

"x é irmâo de y" R de R em C definida por:

"x é pai de .v"

de acordo com o diagrama ao lado.

a) Trace em preto, no diagrama, as fléchas

que representam a relaçâo T de -4 em C:

T= \(a,J). (d, k), (c, 0]

- é L j c ^ 1

> j

k m

\ J \ J \ J

2) Sejam os conjuntos:

^ = {x e fy * I X < 5)

5 = {xe fy I iK-ï < 15)

(7 = {x 6 fy I ;c é par e 20 < a: < 30}

e as relaçôes: Tût A QmB definida per; Z X Z) de 5 em C definida per: x*-^ 2 X a) Complete; r -D =

b) Trace, no diagrama, as fléchas que representam T q D.

c) Trace, no diagrama, as fléchas

que representam a relaçâo S ûg A em C

definida por:

6 X

Vocé observou que:

D E U M M O D O G E R A L

Dados OS conjuntos A, B e C e as relaçôes /? de /4 em B e 5 de B em C, construimos uma relaçâo T associando um elemento a 6e A com um elemento c de C quando existe b, tal que {a, b) €. R e (b, c) E S.

A relaçâo T é denominada relaçâo composta ée S e R e indicamos:

T = S o R

Atençâo:

-,

c/J.ij] . CJ3,£&].r/Y, XEYY-SJÛ

1) Os conjuntos A, B e C nâo sâo necessariamente diferentes nem disjuntos. 2) Na anotaçâo T ~ S ° R, aplica-se em primeiro lugar a relaçâo

da direita e depois a da esquerda.

Grupo IV - Exerci'cios de Aplicaçâo

1) Considéré os conjuntos dos diagramas a), b) e c) e as relaçôes neles representadas. Trace as fléchas que representam as relaçôes compostas.

No exercicio 1,/é imagem de a pela I j é imagem de / pela P

logo, y é imagem de a pela T

0 mesmo se observa de d para A: e de c para /.

No exercicio 2, 12 é imagem de 4 pela T

24 é imagem de 12 pela/)

logo, 24 é imagem de 4 pela S

O mesmo se observa de 5 para 30.

A n o t e :

Dizemos que:

No exercicio 1, Té a.relaçâo composta de P com / e escrevemos:

T = P o l

No exercicio 2, 5 é a relaçâo composta de D corn Te

escrevemos-S = D o f

«1#

2) Dados: A = {1, 2, 3}

g = {a, b, c. d]

C = {x. y, z]

M= {(L a), (2, b), (2, c)A3

N = \ia. x)Ab. y)Ad.

Ofh, Trace em vermelho, no diagrama, as flech^

cinerepresentamWoM

^ Tra« em verde,^nc nech^s

„ £ £ z c : S > c ^ „ C . e t < J - v a < s ^ - ^ c x J

■

^ £

€

c  a ^

W c l M ^ ) T r a c e e m v e r m e l h o , n o s d i a g r a m a s i 1 ^ = {û,

^ = {10, 20, 30, 40}

/? = {(û, 10), (^ 20), 30)}

a) Complete:

cc^ dos quadros I e II, as fléchas que

represenlam a relaçâo M,

b) T race em verde, nos diagramas dos

quadros I e II, as fléchas que represenlam a relaçâo N.

c) Trace no quadro I, em aziil, as fléchas

que represenlam N o M. (preste alençâo: uma flécha vermelha seguida de uma verde)

d) Trace no quadro II, em laranja, as fléchas que represenlam M ° N. (preste alençâo: uma flécha vérdê seguida

- de uma vermelha) e) Complete: N o M = M o N =

i C o , û j ,

J

I Co. e) , C y. ,c y, '^J, Cxj, ^rj

b) Trace no diagrama,

em vermelho, as fléchas que represenUm_^

e, em ve-rde7as que represenlam R .

c) Complete:

D E U M M O D O G E R A L

Dadas duas relaçôes Rt S sobre um mesmo conjunto A, quase sempre

No quadro ao lado

. abreviaçôes dos nomes,

você encontra as ^ conjunto:

yr= [j, p\, P'2-'

a) No diagrania^"^® a'îei'aça-o

as fléchas que i dTfinida por.

"x é pa'

b) No diagrama,^rem«;"f;,'s?b?e f

Complete pela enumeraçâoj

d) P° definida por:

6) Você lembra

nue uma relaçâo de ^ em ^

é uma/«nfûo quando.

cada elememo de A tem uma

e uma sô imagem em B pela B.

Dados:

A = |4, 2, 6|

B = 11, 2, 3)

C = |5, 4, 3, 2, 1, 6)

No diagrama, trace as fléchas que

fftpresentam as relaçôes:

(em vermelho) A/ de ^4 em B,

definida por 2 (em azul) NûqB em C, ...definida por x»-^x+ 3 (em verde) N ° M dt A em C b) Assinale V ou F: M é uma funçâo Né uma funçâo No M é uma funçâo N o m e D . J o â o V I D. Pedro 1 D . M i g u e l D . M a r i a H D . P e d r o I I 0 . I s a b e l S i ' m b o l o j P t m « n u P 2 i

é v ' c : : : - ' ^ P 2

y-# m2

P o P = {

JkL

1) Considéré as relaçôes representadas

através das fléchas.

a) Constnia, por meio de fléchas coloridas, as relaçôes compostas.

b) A relaçâo/de ^ em 5 é funçâo?

A relaçâo ^ de 5 em C é funçâo?

A composta g o/é funçâo?

c) A relaçâo h ôq D em E é funçâo? A relaçâo / de £" em F é funçâo?

A composta io hé funçâo? yàjroo.

d) A relaçâo j <\e G em H é funçâo?

A relaçâo kûe H em I é funçâo?

A composta ko j i funçâo? .

e) Tente construit uma composta de duas

funçôes que nâo seja funçâo.

D E U M M O D O G E R A L

A composta de duas funçôes é uma funçâo.

8) Você lembra que uma funçâo/de A emB é uma bijeçâo quando: cada elemento de B é imagem de um e um sô elemento de A pela f. D a d o s : A = {1, 3, 5} 5 = (7, 11, 9} C = { 9 , 5 , 7 ) Représente no diagrama,

por meio de fléchas de cores diferentes, as funçôes: R de /4 em B d e fi n i d a p o r + 6 " B • « -- - - # 7 — > • - _{• 9} -5 ^ 7 ^ 9

5 de 5 em C

definida por ~ T

a) Assinale com V ou ¥:

R é uma bijeçào

S é uma bijeçâo

y Représente em

5 0 i? é uma bijeçâo?

( V) ( y) . - h' o o O

tnifl fls compostas por fléchas

a) Construa as coloridas.

92(ZÛ

h) A funçâo m de A em 5 a bijeçao? ^

Afunçâo/ide^emCébijeçào? Ua^

A composta nomé bijeçâo?

c) A funçâo p de O em £ é bijeçâo?

A funçâo ^ de £" em f é bijeçâo?

A composta qopé bijeçâo? yÂùtJD—

d) Veja se consegue construir

uma composta de duas bijeçôes

que nâo seja bijeçâo.

G R U P O S

Grupo I - Exerci'cio Preliminar

Considéré o conjunto

^ = (e, a, b, c}

ûj Complete; e * b = e * a z = e ♦ c = e * c =

e) Sabendo que ♦ é associativa, complete:

J) Complete:

J Z .

b) A operaçâo ♦ tem o elemento neutro?

c) Qua!?

d) Observando a Tabua você sabe responder

se * é comulativa? e e a a b b b * e -a * e = c * e -=■- 0 . {b * a) * c a * (a * c) e * (b * c) = J ? = e * e = e . e n t â o a * a ' = f . _{e n t â o} b * b = | 0 _{e n t â o} c * c = fi . e n t â o b *(û ♦ c) = —^ (a » fl) it. c- —C_ ( c ♦ b) ♦ c = — c . A . D E U M M O D O G E R A L

A composta de duas bijeçôes é uma bijeçâo.

Você observou que:

A operaçâo ♦ defmida em A é: comutativa e associativa.

Ela tem elemento neutro e todo elemento tem simétrico.

1 0

D E U M M O D O G E R A L

Dado um conjunto X e uma operaçâo * em X, dizemos que

(X, *) é um grupo.

Se ♦ é associativa e » tem elemento neutre,

todo elemento de X tem simétrico.

Se, ainda, * é comutativa, dizemos que:

(X, *) é um grupo comutativa.

Observe a tâbua e responda:

a ^ A o p e r a ç â o ® t e m e l e m e n t o n e u t r e ? b) Quai? 0 _g r u e m a g g g g g g g r _g r u e m a u g u m _g u m e g e g e _g e m _g m u _g m u a _g a m e u r

Grupo II - Exercicîos de Aplicaçào

1) Seja 0 conjunto

G = {g, r, u, e, m, a}

e a operaçâo associativa deflnida pela Tabua.

a) Complete:

a ® m = a ^ e = m ^ a = e ® a =

b) Observe a Tâbua e responda:

A operaçâo S tem elemento neutro?

Em relaçâo a ® quai o simétrico de g?

d e r ? d e u ? d e e ? d e m ? d e a ?

® l|g

r u e m a g r u e m a _g r ! u e m a _g r u e m a _g r u e m a g r u e m a _g r u e m a _g r u e m { a

c) (G, é um grupo? . jôj/m.

c) Em relaçâo a 0, quai o simétrico de r?

d e a ?

de g?

de M?

/ t

3) Lembre as propriedades dos conjuntos numéricos que voce conhece

e responda: û'Arj, +) é grupo? b) (fy, x) é grupo? c) (2 , +) é grupo? (2 , x) é grupo? e) (o, +) é grupo? X) (O, x) é grupo? g) (O *, x) é grupo? 4) ûj Na figura ao lado,

complete com os numéros naturais, seguindo as setas;

( 9 ^

ll-O./? Jj.rry-?

d) (G, 0) é um grupo? 7^i<P

" h . U X - 7 > 7 2) No mesmo conjunto G, considéra a operaçâo associativa 0,

- hd cetas mas vocé pode

■

.^^To^^uemfcontinuaomesmo.

imagmar que o esq partiçao

/Î = lA, B, C]

Complete com A,Bo\xC

300

e-J^—^—-9 6 16 6_J 18 26

1500

e-B-3845.e-^—

4003 e-^2—

c; Complete;

Cada elemento de A dividido por 3 deixa res

Cada elemento de B dividido por 3 deixa re

Cada elemento de C dividido por 3 deixa reste

d) Seja a operaçâo ® em

definMidaseguintemane.ra.

para calcular, por f emplo, ^ ^

^ n s i d e r e u r n e l e m e n t o 2 2 )

eum elemento de 5 (por exemplo

2^1-Efetue 15 + 22 = 37

Verifique que 37 E B;

entâoA ®B = B

Deste modo, complete a tabua.

e) A operaçâo ® é associativa.

Responda: ® é comutativa?

Te m e l e m e n t o n e u t r o ?

Todo elemento de F tem simétrico em relaçâo a ®? f fi _{A B} c A A B c B _d c ( R C c R _B .yB/t'r J) {P. ®) é um grupo? /O O 'rr2l/y7/"<:?

5) Considéré 3 cubes coloridos

numa caixa, esquematizados como na figura ao lado.

Damos nomes aos cubes.

Modifiquemos agora a posiçâo dos cubos na caixa, movendo-os.

Façames passar e cube h para o lugar do

cube p, 0 cubo c para o lugar do cubo b, e 0 cubo p para o lugar do cubo c.

Este movimento se indica:

o u { b c p \

_{\ p b c )}

Chamemos esta modificaçâo de mi.

No conjunto C = {b, c, pj, mi é

a bijeçâo representada pelo diagrama acima. ^

a) Complete: '"i = ^

b) Observe os diagramas abaixo e complete:

W 2 m a r r i A m s

V

_b

O

_c

a

m 2 m a m 4 m s m o ^ ^ P \ ^ ^ P \

- ( b c p \

- / b c p \ b c p \

-6) Considéré

...reoconjunto^gf

Se vocé a compos'^»"

a a m^ vo •''jfi'o'rSultado

Vejamos quai (,ijeçôes:

dessa w'nP°f foi de b para e.

''^"'"'eseScolega, pela r" i'

foi dee para

A-Entâo, de é foi-se para b.

a) Complete:

Pela m 4, e passa para

e, pela mu Entâo, Pela /W4, e, pela wu passa para ./P c passou para /p

p passa para —^

^ p a s s a p a r a ^

Entâo, p passou para

c) Complete a tâbua da operaçâo o em B. (Observe que na coluna à esquerda esta a bijeçâo que é aplicada em 2.° lugar.)

d) Observe a tâbua que você completou

e responda:

o é comutativa em El

A operaçâo © tem elemento neutro?

Quai? o _{m 0 m i m 2 m a m 4 m s} m o Wf, w , '^5 m i m s m 2 m a i m 4 e r r \ i f '^2-m s O M . 5 _{r »} ' ^ 6 _ { b c p \ _ ^

m - i ° m A V- ^ / 2 . _ Ê L / '

b) Efetue: m2 ° mo

Complete: b passa para

Î 6 passa para , e ; entâo, b passoU c . p a r a c p a s s a p a r a , e p a s s a p a r a — p a r a —

p passa para —^

passa para à ; entâo, p passou

para -—à-j.

e) Complete: pela o, o si'métrico de wo é

de mi é de m2 é de ma é de m4 é de ms é ; entâo, c passou

79 Você sabe que a operaçâo o em 5 é

associativa. Entâo responda:

(B, o) é um grupo? (B, o) é um grupo comutativo? m 2 o m o = = /■» r 7 ■a - — û O l 4 -m c < / 0 1 7

||\/|pUCAÇÂO

E EQUIVALÊNCIA

/) Se o conjunto considerado fosse Rj , você conseguiria encontrar numéros naturais

q u e s u b s t i t u i d o s e m p Q q t o r n a s s e m

p verdadeira e q falsa?

e as sentenças abertas.

q:x< 6

.) Substitua nas sentenças abertas

a letra x peins elementos de

Von F no lado das sentenças obtidas.

e escreva V ou r

Você observou que:

x S A Sentença p 1

Fnii f '

Sentença q J 1 1 < 4 V J 1 < 6

" j

3

\ / .

b C ù

\ J ,

5 S i F . â ' ^ ^ 1 / . 7_/ F 7 ^

F

.

Nâo existe, em A. elemento que tome p verdadeira e q falsa. Em Ri você também nâo conseguiu achar elementos nestas condiçôes.

Dizemos que:

Linguagem corrente Linguagem Matemàtica

x< 4 implica x< 6 x < 4 = > x < 6

D E U M M O D O G E R A L

Se p e ^ sâo duas sentenças abertas com a mesma variavel e se a variâvel

pode tomar valores dentro de um conjunto X, dizer que p implica qoup^ q

significa que:

todos os elementos de X que tomam p verdadeira tornam também q verdadeira, isto é, o conjunto-verdade de p esta

contido no conjunto-verdade de q.

Grupo 11 - Exercicios de Aplicaçâo

1) Coloque V ou /^(universo 2 ):

b) Quais os elementos de A que tornam

pQ q verdadeiras?

x = 7 = î ' x + 3 = 1 0 ( \ / )

x<5 => X- 1<4 (y)

x + 2 = 3 = ^ x = 5 ( F ) x < 5 = > x < 1 0 ( v ) x< 10 => x<5 ( /r) x+ 3 = 10 =» x= 7 ( i/)

c) Quai 0 elemento de A que torna p falsa e

q verdadeira?

d) Quai 0 elemento de A que torna

pt q falsas?

e) Hà em A elementos que tornam p verdadeira e q falsa?

/

2) Coloque V ou /"(universo RJ): X é multiplo de 10 => X é multiple de 5 ( )/ ) X é multiplo de 5 x é multiplo de 10 { f) X é multiplo de 5 X é multiplo de 2 ( f ) X é multiplo de 2 => X é multiplo de 5 i f^) X é multiplo de 20 => X é multiple de 5 ( i/ ) X é divisor de 20 x é divisor de 10 ( f ) X é divisor de 10 x é divisor de 20 { \/ ) X é divisor de 20 => x é divisor de 40 ( j/ ) 1 9 18

n o s

^ V ' m o s i s i o S 9 / r )

Ghâ/nâssom a

ofe 'juc. era " • / . ^ fi p h o a ^ s o ' f 3) Sendo a, b, c, d elementos de O, assinale com V ou f: a = b ^ a + c — b - \ - c a < b a c = b ■\ - c a < . b a c < . b e 0 + Z ) = C = ^ < 7 = 6 - C a + b = c=^a = c- b = ~ a d = b e

4) Assinale V ou f (universe 2 ):

X é divisor de 15 X é divisor de 5 X é mùltiplo de 9 = X é mùltiplo de 3 = ▶ X é divisor de 5 X é divisor de 15 =▶ X é mùltiplo de 3 => X é mùltiplo de 9 x = 7 = > x + 3 = 1 0 x + 3 = I 0 = j - x = 7

|-=-4=>x = -12

X X = - 1 2 = » ( l / ) i f ) (F ) (P' ) (■/ ) i ^ ) (F ) ( / ) ( K ) ( f ) ( ^ ) ( / ) ( ^ ) = - 4 ( / )

Voce observou que:

X = 1 = > x + 3 = 1 0 e x + 3 = 1 0 = » x = 7

3 =-4-X = -12

e

x--12=>^ --4

2 1 2 0

6) Assinale com V ou /"(universo O):

/«Tfe *>*90

^ _

Dizemos que:

Linguagem corrente Linguagem Matemàtica

X = 7 é équivalente a x + 3 = 10 X = 7 < = > x - 3 = + 1 0 i = - 4 é équivalente a x = - 12

-j-= - 4<=^x= - 12

^^^2 ^ ^ 7<=^x+ 6 = 14 (V)

_{x+ 6 = I4<^x= 8 (V)}

b)2x+Z = 5x~ l4=>2x- 5x = - 1 - 3 ([/)

2x- 5x = - 1 - 3<=»- 3x = - 4 ( /)

- 3 x = - 4 ( / ) É C ^ r T t o /

M<3S îaity J^'

Vimos /JO S/C?C/fiVt4 S,

<jusndo am r^sedv/'a e o ,

/ri«=-JcfaHfic&v^ e? /IS-,

V so/c/ç;^ o{g e<7cte9sdes

Ô /V>e^</d»çoee /

D E U M M O D O G E R A L

Se a sentença p implica a sentença q Sq p => q G g ^ p

e a sentença ^ implica p, e n t à o

entao p é équivalente a g. _{p < ^ q}

y

5) Assinale com ou f (universo 2):

x = 3 ^ 3 = X x = 3 4 = > - x = - 3 x < 5 < = ^ 5 < x x < 5 < = ^ 5 > x x < 5 ^ - x < - 5 x<5«==>- 5< - X 2 2 ( I / ) ( / ) ( F ) { i ^ ) ( F ) ( / ) 7) Resolva, em O, as equaçôes e

as inequaçôes per meio de sentenças équivalentes:

a;3x+ 1 = 5x+ 2

b)5x+ 10= 5(x+ 2)

3x- 5 _ X- 1 = ] 2 5 c)

d ) 2 x - \ < 5 x + ^

e) 3x + 1 _ 2x+ 5 < 3

4 6

^ 4(x - 2) + 5 > 2(3x - 1)

g; 3x + 4 < 5(x + 1) - 1

X ' ' X - a r O x ' 0 X _{1 - L X}. i l X d X d -X o y = . ^ / l à F = ^ ' 3S 3 _ ) y =

K = f x e

y = ^JZeQlx,'^oj

2 3

2 4

AXIOMAS E TEOREMAS

Grupo III - Exerctcios Preliminares

1) Considéré 4 crianças

Marisa, Gilda, Flavio, Décio

a) Sabemos que

/i) Flavio é irmâo de Décio

/2) Gilda é irmâ de Fia vie

/s) Marisa nâo é irmâ de Gilda

Das 3 informaçôes acima deduza as

9 sentenças possiveis:

/4) Flâvio é irmâo de Gilda (modèle)

/g) Marisa nâo é irmâ de Flâvio (modelo)

/ g )

j .

o ù

n n e Ç o d û g l t m d o X a i t O y j û u u A A

/g) ^ U/QfmCi. oLt.

/ i o ) J l . / i i ) 0 2 a , à J A O y t c c , o ù .

/ , 2 )

T i â û

j £

o ( j

Voce observou que;

As 3 informaçôes h, 12, k sâo suficientes para concluir 14 até /12; portante, descrevem a situaçâo.

Dizemos que:

/1, /2, h sâo axiomas. As nove restantes sâo conseqiiências.

b) Suponha que as informaçôes

tivessem sido;

Você encontra estas sentenças entre

as 9 que escreveu?

Com as informaçôes 71,72,^3 você pode

obter 9 conclusôes. Quais sâo? _{\ c \ Q}

_{Aç V}

_{Ç i C M }}

'iÇuM

U J P n r n c i ^ / V / ' / jr.nAy.-^ - 0 4 4 ^ / ? - . i '■' ' 0 -<:pU _ ■yVa. û : 2 î . a ^ U / > c \ O a - c L e z L - T - n r l - , j8\./a'rrt{X C^Ce

Você observou que:

As informaçôes j\,}% h descrevem a mesma situaçâo.

j^, h. jz sâo axiomas. As nove restantes sâo conseqiiencias.

A n o t e :

Os axiomas de uma teoria nâo sâo invariâveis. Podem ser escolhidos

adequadamente desde que descrevam a mesma situaçâo.

2) Considéré as sentenças:

Décio nâo é irmâo de Marisa.

Gilda é irmâ de Décio.

Flàvio é irmâo de Décio.

a) Corn estas très

você consegue ttar J" . j,

conclusôes do exercicio t.

■> y y j

b) As 3 sentenças sâo axiomas

da situaçâo do exerci'cio 1.

3) Veja agora as sentenç^:

Marisa nâo é irmâ de Décio.

Marisa nâo é irmâ de Flâvio. Gilda é irmâ de Flâvio.

No teorema:

Flâvio é irmâo de Décio

e

Marisa nâo é irmâ de Décio

Marisa nâo é irmâ de Flâvio

1

é a hipotese (afirmaçôes) _{é a tese (conclusâo)}

a) Corn as-très sentenças acima ficou descrita a situaçâo do exercicio 1?

b) As très sentenças dadas sâo axiomas

da situaçâo do exercicio 1? O n a O

"Flâvio é irmâo de Gilda"

Considéré a sentença:

"implica" "Gilda é irmâ de Flâvio"

Em linguagem Matemâtica;

Flâvio é irmâo de Gilda Gilda é irmâ de Flâvio

(afïrmaçâo) (conclusâo da afirmaçâo anterior)

A n o t e :

A sentença formada por afirmaçôes seguidas de uma conclusâo

chama-se teorema.

As afirmaçôes (que sâo ponto de partida) de um teorema chamam-se

hipôteses do teorema.

A conclusâo chama-se lese do teorema.

Voce observou que:

N o t e o r e m a :

Flâvio é irmâo de Gilda G i l d a é i r m â d e F l â v i o

é a hipotese _{é a tese}

Grupo IV - Exercictos de Aplicaçào

1) Complete o quadro: T e o r e m a _{H i p o t e s e T e s e} X C r = i ' X U Y = Y X c X u Y - y X C Y = ^ x n Y = X X C L y X n y - X XC Y => n(X) < n(Y) _{X c y} n M n C / ) a + b = c a ~ c — b CL -h i) c C, P i 1 1 a • b = c a ~ c b d ' 6 - C C l = C ^ A û é par => a 'é mùltiplo de 2 C l j o a / e . Q. J 971 a é mùltiplo de 2 \ a é mùltiplo a é m ù l t i p l o d e 5 ] d e ô O y A

( P i , X M s

CL jê. oruXi^u

-poÂc &ic ^

As lojas fecham 1 Em 15 de

no-aos feriados ^ vembro as lo

is de novembre é | jas estâo

fecha-f e r i a d o d a s C L L M c X a n

tâ di ntaidmàec ^

/ y c o U % û ' l/My7é7fZ£> ePuS j&ZÀA T o d o p e i x e v i v e \ .

naâgua U J^'n^a vive na

Tainha é um peixe )

7'ciXy>Xc -À'

pjJyOCÂ

X.C* ÙCUUL

r v i C L .

2 7 2 6

2) Considéré o teorema: Se fl e è sâo riaturais l'mpares,

entâo fl + é é um natural par.

a) Quai a hipôtese do teorema? ^ ^ e7naÀM

€

aM

b ) Q u a i a t e s e d o t e o r e m a ? O . ,

c) Vamos usar um raciocinio para,

da hipôtese, chegar à tese.

Complete o quadro:

Afîrmaçôes Justificativas

j

û = 2m + 1 _{p o r h i p ô t e s e ^}

b = 2 p + l _{p o r h i p ô t e s e ^}

0 + 6 = 2 / ^ + 1 + 0 _{aplicaçâo do principio aditivo j}

a + 6 = 2 m + l + 2 p + l _{substituiçâo de 6 por seu valor j} o + 6 = 2 m + 2 p + l + 1

a + 6 = 2 m + 2 p + 2 e f e t u a m o s a s o m a ^ .

0 + 6 = 2 ( m + P + 1 ) n t i c r / u k > c e - c u y i d \ c d o / Vqpci, rrru^ J //iU4 i»

/w + p + 1 6 fy

_{-C <:Py'a4A^izdc> /V j}

m + p + 1 = c _{n o v a d e n o m i n a ç â o ^}

2c é par _{definiçâo de numéro par}

0 + 6 = 2c t e s e

A n o t e :

o raciocinio que nos permite chegar da hipôtese à tese de um teorema

PARALELISMO E DIRECÀO

Grupo I - Exercfcîos Preliminares

L e m b r e q u e :

A relaçâo de paralelismo é uma relaçâo de equivalência e, portante, détermina

classes de equivalência no conjunto de retas de um piano. Cada classe de equivalência détermina uma direçâo, que é,

por definiçâo, a direçâo das retas que pertencem à classe.

A n o t e :

Todas as retas paralelas têm a mesma direçâo.

1) a) Com 0 uso de régua e esquadro^

construa paralelas à reta XÉ,

passando por R, S, T.

b) Quantas paralelas a passando por Ry você pode traçar?

j À H n ^

E por S?

J A r y y i a .

2) a) Assinale um ponte qualquer do piano

e trace uma paralela a r, passando por ele.

b) Por um ponto qualquer do piano você

pode traçar uma paralela .a r?

E mais de uma?

Anote 0 Postulado de Euclides:

Grupo II - Exerclcios de Aplicaçâo 1) Na figura ao lado:

r / / s

s , P ^ r a) Trace por P uma paralela m à reta r. b) m é paralela a s?

2) Na figura ao lado:

t / / s

t. Qe s flj Trace por Q uma reta q nâo paralela a t. b) q é paralela a s.?

m dû

3) a) Trace très retas, si, 52, S3, paralelas a r, e por f de r uma reta qualquer t diferente de r. b) t encontra si, S2, 53.^

c) Complete:

"Por um ponto fora de uma reta podemos traçar uma e somente uma

paralela à reta dada".

AfirmaçÔes Justificativas

S i / / r. S 2 / / ^ , S 3 / / ^ por construçâo P f f S i , P ^ A x , P ^ A 3 por construçâo por P sô existe uma reta

paralela a si, S2, S3

pn<îtiiladn dp. GoocÊicUA

r é a reta por P, paralela

a si, -4fc » por construçâo

t # r

t H S u t H pnçtnladn dp

3 0

Você provou o teorema;

Se /■// 5 e / intercepta r, entâo / intercepta s.

3) Desenhe, em cada caso,

varies quadrilâieros tais que:

Grupo III - Exercicios Preliminares

1) Desenhe quadrilàteros:

a) que tenham como vértices os pontes

A Q B Q A B c o m o l a d o .

b) que tenham como vértices os pontes

^ e 5 e em que AB nâo seja lado.

cl Quantos quadrilatères você pode traçar

cm cada caso?

(b) ^tyy^CL

• J

a très ^ pontos nâo alinhados,

^façar que quadrilàteros você pode

^ ^ nam estes pontos como vértices?

_

3 2 h) Trace-os.

a) R Q S sejam seus vértices^

KB seja um de seus lados

e seus lados opostos sejam paralelos.

b) R Q S sejam seus vértices,

KS nâo seja um de seus lados

e seus lados opostos sejam paralelos.

4) Desenhe quadrilàteros que tenham como vértices A, B e C e ée lados opostos paralelos.

Quantos quadrilàteros você pode traçar?

A n o t e :

Dizemos que quatro pontos nâo alinhados A, B, C, D determinam um paralelogramo quando os pares de lados opostos sâo respectivamente paralelos.

A B H C D e A C I / B D

Grupo IV ~ Exercicios de Aplicaçâo G r u p o V - E x e r c f c i o P r e l i m i n a r

1) Desenhe rH s, all b tais Que:

r n a = s n a = r n b = sn b = p T Q u

p. T, Q, U sao vértices de um paralelogramo?

2) a) Desenhe 2 retas men tais que

m n « = 0 e t r a c e :

MR C me NSC n tais que

MR seja congruente a NS.

É possivel ligar estes pontes de modo a

formar um paralelogramo?

/ y r j O .

b) Trace-0.

Dados OS pontes alinhados A, B, C, D, E, F,

da reta r:

N - ' r

5

a) trace fléchas vermelhas do primeiro

para o segundo elemento dos pares

ordenados-(A, B). (C, D). (C, F), (B, F)

b) trace fléchas âzûis do primeiro

para o segundo elemento

dos pares ordenados:

(B, A). (D, C), (F. C), (F. B)

3) Na figura ao lado desenhe

paralelogramos em que A seja um dos vértices,

e um dos lados seja paralelo a r.

Você observou que:

Todas as fléchas vermelhas têm o mesmo sentido e todas as fléchas azuis tern o

mesmo sentido, porém as fléchas vermelhas e azuis têm

s e n t i d o s c o n t r a r i o s .

4) Na figura ao lado, desenhe paralelogramos em que A eB sejam

dois de seus vértices,

e os seus lados sejam paralelos a r e 5,

Quantos paralelogramos você pode traçar nestas condiçôes?

D E U M M O D O G E R A L

Dados dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos ordenâ-los de duas

maneiras: (A,B) ou (B,A).

A cada uma destas ordens chamamos de sentido da reta. A um dos sentidos

damos o nome de sentido positivo e ao outro sentido negativo.

5) No quadro ao lado, sâo dados pares de segmentos. Desenhe, quando possivel,

paralelogramos que tenham estes segmentos por lados.

N o m e i e - o s :

û. ^ ç t"

■■■

3 4

A n o t e :

Se orientamos a reta AB no sentido de A para B, dizemos que: " / l p r e c e d e b " o u " 5 s e g u e A ' ^ — o — < >

e r e p r é s e n t â m e s : a E A B

A n o t e ;

No quadro 1:

as retas ae b tern a mesma

direçâo e o mesmo sentido. No quadro 2:

as retas as b têm a mesma

direçâo e sentidos opostos.

Nos quadros 3, 4, 5 c 6: as retas/eg nao têm a nesma direçâo e por isso nâo

•odemos comparar os sentidos.

A n o t e :

Qualquer que seja o ponto A, dizemos que "/i precede A" ou ^^A segue A^\

D E U M M O D O G E R A L

Dadas duas retas orientadas, so podemos comparar os seus sentidos se elas tiverem a mesma direçâo.

2) Complete:

Numa reta orientada,

se "A precede B''e "B precede C",

e n t à o :

se "R segue 5" e "S segue T\

e n t â o : se "M precede P". entâo: " A " R ' T . r T M '

Grupo VI - Exercfclos de Apllcaçào

3) A relaçâo "precede" (ou "segue")

é reflexiva? é simétrica? é anti-simétrica?

é transitiva? ydJ'nry}

36

««M reta. esta orientada no sentido

'ndicado pela flécha.

Complete com "precede" «

_{picceae ou "segue"}

acordo corn a figura.'

A D

numa reta r os pontos A, B, C

nodo que "A precede 5" e "B segue C"

Quais as possiveis posiçôes de C

i s p o s i ç o e s d e c - a

em relaçâo a Al 6 p_

C

/ ?