UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Um estudo sobre os espaços L
p
por
Anderson Felipe de Souza Barbosa
Caicó - RN Dezembro/2019
Um estudo sobre os espaços L
p
por
Anderson Felipe de Souza Barbosa
sob orientação do
Prof. Dr. Désio Ramirez da Rocha Silva
Trabalho apresentado ao Corpo Docente do Curso de Li-cenciatura em Matemática - UFRN/CERES, como requisito parcial para obtenção do título de Licenciando em Matemá-tica.
Caicó - RN Dezembro/2019
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ensino Superior do Seridó Curso de Licenciatura em Matemática
Aprovada em:
Prof. Me. Luis Gonzaga Vieira Filho
Prof. Dr. Dayene Halley Gomes Bezerra
Prof. Dr. Désio Ramirez da Rocha Silva Orientador
Trabalho de coclusão de curso - TCC para a obtenção do título de Licenciado em Matemática.
Caicó - RN Dezembro/2019
Abstract
This work aims to study the spaces of Lebesgue integrable functions, verifying their charac-teristics and properties. One of the most important results of this work is the Riesz-Fischer Theorem which shows us that the p function space integrable to Lebesgue is a Banach space. For the construction of these spaces was made the study of the Lebesgue integral, which is nothing more than a generalization of the Riemann integral. A study on set algebra was made and thus defined what are algebras and sigma -algebras, and also verified which is the largest sigma -algebra of subsets of real that meets the conditions of a measure. This work will also present the main results regarding the study of measurement and integration as its main characteristics. Some results regarding the construction of measures such as a classic problem of measurement theory, exterior measures, measurable sets and measurable functions were addressed. Important convergence theorems are also presented, such as the Monotonous Convergence Theorem, Fatou’s Lemma, the Lebesgue Dominated Convergence Theorem, and the Limited Convergence Theorem.
Resumo
Este trabalho tem como objetivo estudar os espaços das funções integráveis a Lebesgue, verificando suas características e propriedades. Um dos resultados mais importantes desse trabalho é o Teorema de Riesz-Fischer que nos mostra que o espaço da funções p integráveis a Lebesgue é um espaço de Banach. Para a construção desses espaços foi feito o estudo so-bre a integral de Lebesgue, que nada mais é que uma generalização da integral de Riemann. Foi feito um estudo sobre álgebra de conjuntos e assim definido o que são as álgebras e σ-álgebras, e também verificado qual a maior σ-álgebra de subconjuntos dos reais que satisfaz as condições de uma medida. Será feita também neste trabalho a apresentação dos principais resultados em relação ao estudo da medida e integração tais como suas principais caracterís-ticas. Foram abordados alguns resultados referentes a construção de medidas tal como um problema clássico da teoria da medida, medidas exteriores, conjuntos mensuráveis e funções mensuráveis. Também apresenta-se os importantes teoremas de convergência como o Teo-rema da Convergência Monótona, o Lema de Fatou, o TeoTeo-rema da Convergência Dominada de Lebesgue e o Teorema da Convergência Limitada.
Palavras-chave: σ-álgebra, medida, espaço de funções, funções mensuráveis, espaço de Banach.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus, por me proporcionar essa grande oportunidade em minha vida.
À toda minha família que me incentivaram a estudar e seguir na carreira da educação, me apoiando em todo momento.
À Banca pela disponibilidade de avaliarem o meus trabalho e colaborar com a minha formação.
Aos diretores e professores das escolas do município de Caicó assim como da escola onde iniciei e terminei o ensino médio, por ceder espaço para a observação e a regência de aulas.
Aos alunos das escolas por onde passei pela atenção e colaboração para a minha for-mação.
Aos meus amigos que estiveram comigo me apoiando e ajudando sempre que necessi-tei durante toda graduação.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Desio Ramirez da Rocha Silva, pela paciência, dedicação no seu trabalho, disponibilidade em ajudar e pela grande carga de conhecimento que me passou.
Ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ensino Superior do Seridó do Campus de Caicó, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, e às pessoas com quem convivi nesse espaço ao longo desses anos.
Agradeço também a CAPES por todos esses quatro anos ter me auxiliado com os auxílios e com as bolsas do PIBID e da monitoria.
Agradeço ainda a todos que de uma forma ou de outra acabaram contribuindo para minha formação profissional e como ser humano.
“A persistência é o caminho do êxito.”
Dedicatória
Sumário
Notações 1 Introdução 3 1 Resultados Preliminares 5 1.1 Conjuntos . . . 5 1.2 Funções . . . 10 1.3 Conjuntos Enumeráveis . . . 131.4 Números Reais Estendidos . . . 17
1.5 Álgebra de Conjuntos . . . 18
1.6 Álgebra Linear . . . 23
1.7 Relação de Equivalência . . . 39
2 Teoria da medida 41 2.1 Um Problema Clássico da Medida . . . 42
2.2 Medida . . . 45 2.3 Medidas Exteriores . . . 45 2.4 Conjuntos Mensuráveis . . . 49 2.5 Funções Mensuráveis . . . 53 3 Integração 59 3.1 Integral de Riemann . . . 59 3.2 Integral de Lebesgue . . . 61 4 Os Espaços Lp 75 4.1 Reflexividade, Separabilidade e Dual de Lp . . . 85
Notações
• PpXq conjunto das partes de X;
• A X B interseção entre os conjuntos A e B; • A Y B união entre os conjuntos A e B; • AAcomplementar do conjunto A;
• A ´ B diferença entre o conjunto A com o conjunto B; • f pAq imagem do conjunto A pela função f ;
• Impf q imagem da função f ; • R conjunto dos números reais;
• R conjunto dos números reais estendidos; • µ função medida;
• Q conjunto dos números racionais;
• Axtranslação do conjunto A pelo número x;
• µpAq medida do conjunto A;
• µ˚pAq medida exterior do conjunto A;
• lpIq comprimento do intervalo I;
• tAnunPNcoleção enumerável de conjuntos;
• tfnunPNsequência de funções mensuráveis;
• h¨, ¨i função produto interno; • } ¨ } função norma;
• pE, } ¨ }q espaço normado;
• E1dual do espaço vetorial E;
• pX, Bq espaço mensurável; • pX, B, µq espaço de medida;
• XAfunção característica do conjunto A;
• tϕnunPNsequência de funções simples;
• LpAq conjunto das funções mensuráveis a Lebesgue em A; • Lp
pAq espaço das funções p integráveis a Lebesgue;
Introdução
A teoria da integração teve suas raízes no "método de exaustão", inventado por Eudo-xos e posteriormente desenvolvido por Arquimedes para calcular áreas e volumes de figuras geométricas.
Nos Séculos XVII e XVIII, os trabalhos de Newton e Leibniz permitiram que este método se transformasse em uma ferramenta sistemática para calcular áreas, volumes e re-solver problemas elementares de mecânica. Com o desenvolvimento da teoria do integral, a aplicação em geometria e à mecânica perdeu sua importância, dando lugar a questões mais analíticas para as quais a chamada "Teoria Clássica" não era suficiente.
Nos dias atuais matemáticos estão interessados no estudo da Teoria da Integração apli-cada em convergência de séries, equações diferenciais ou probabilidade. Para tal estudo, a Teoria Clássica da Integral, que culminou com a Integral de Riemann, foi substituída pelos trabalhos pioneiros de Henri Lebesgue, publicados no início do século XX. A razão desta mudança é simples: Os teoremas de convergência da Teoria da Integral de Lebesgue são mais gerais, mais completos e mais elegantes que os da Teoria da Integral de Riemann.
Neste trabalho fazemos todo estudo preliminar necessário para podermos chegar a de-finir a integral de Lebesgue. O nosso intuito é a verificação das propriedades e características dos espaços das funções p integráveis a Lebesgue. Um dos resultados mais importantes desse trabalho é o T eorema de Riesz ´ F ischer, que nos mostra que o espaço LppAq é um espaço normado completo.
Sendo assim, este trabalho visa apresentar os principais resultados no que se refere ao estudo dos espaços das funções integráveis a Lebesgue. Como principais fundamentações teóricas foram utilizados os seguintes textos [2], [3], [4], [9], [14], [19].
Este trabalho está constituído das seguintes partes:
No primeiro capítulo, intitulado "Resultados Preliminares", são abordados fundamen-tos básicos sobre conjunfundamen-tos, funções, números reais estendidos, álgebras de conjunfundamen-tos,
álge-bra linear e relações de equivalência. Para tal foram usados [1], [5], [8], [11], [12] e [18] como referências.
No segundo capítulo, intitulado "Teoria da medida", serão abordado um problema clás-sico da medida, onde mostramos que uma medida não pode ser definida tendo como domí-nio o conjunto das partes dos números reais e que satisfaça quatro propriedades naturais que esperamos que uma medida tenha. Abordaremos também a definição de medida, os princi-pais resultados sobre medidas exteriores e conjuntos mensuráveis. Além disso, a definição e alguns resultados sobre funções mensuráveis. Foram usados [4], [9], [13] e [19] como referências.
No terceiro capítulo, intitulado "Integração", será apresentado a construção das inte-grais de Riemann e Lebesgue, tais como os teoremas de convergência. Foram usados [4], [12], [13] e [19] como referências.
No quarto e último capítulo "Os Espaços Lp", definimos e verificamos algumas
pro-priedades dos espaços Lp. Como principais referências foram usados [2], [3], [4], [6], [7], [9], [10], [13], [14], [15], [16] e [17].
Capítulo 1
Resultados Preliminares
Neste capitulo iremos definir e estudar alguns conceitos da análise e da álgebra, com o intuito de compreender melhor o comportamento dos espaços das funções integráveis. Já é de se esperar que o leitor tenha conhecimento sobre os conceitos que aqui serão apresentados. Entretanto, para facilitar a leitura do texto, inserimos uma breve revisão dos tópicos aqui utilizados. Um dos resultados mais importantes desse capítulo é o de como estabelecer uma norma para o espaço dos operadores lineares contínuos entre espaços normados.
1.1
Conjuntos
Introduziremos nesta seção a linguagem de conjuntos finitos e infinitos, que serão uti-lizadas sistematicamente nos capítulos seguintes. Toda Matemática é, hoje em dia, apresen-tada nessa linguagem, assim é de se esperar que o leitor já tenha certa familiaridade com o assunto.
Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados de seus elementos. A relação básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos
x P A.
Se, porém, x não é um dos elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos
x R A.
Um conjunto A fica definido quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A.
Exemplo 1.1. Seja A o conjunto dos triângulos retângulos. O conjunto A está bem definido, isto é, um objeto x pertence a A quando é um tiângulo e, além disso, um dos seus ângulos é reto. Se x não for um triângulo, ou se x for um triângulo que não possui ângulo reto, então x não pertence a A.
— Usa-se a notação
X “ ta, b, c, ...u
para representar o conjunto X cujos elementos são os objetos a, b, c, etc. Assim por exem-plo, t1, 2u é o conjunto cujos elementos são os números 1 e 2. Dado o objeto a, pode-se considerar o conjunto cujos único elemento é a. Esse conjunto é representado por tau.
A maioria dos conjuntos encontrados em Matemática não são definidos especificando os seus elementos um a um. O método mais frequente de definir um conjunto é através de uma propriedade comum e exclusiva dos seus elementos. Mais precisamente, parte-se de uma propriedade P . Ela define um conjunto X, assim se um objeto x goza da propriedade P , então x P X, e se x não goza de P então x R X. Escreve-se
X “ tx; x goza da propriedade Pu.
Lê-se: "X é o conjunto dos elementos x tais que x goza da propriedade P ".
Muitas vezes a propriedade P se refere a elementos de um conjunto fundamental E. Neste caso, escreve-se
X “ tx P E; x goza da propriedade P u.
Por exemplo, seja N o conjunto dos números naturais e consideremos a seguinte pro-priedade, que se refere a um elemento genérico x P N:
”x é maior do 5”.
A propriedade P , de um número natural ser maior do que 5, define o conjunto X “ t6, 7, 8, 9, ...u, ou seja,
X “ tx P N; x ą 5u.
Lê-se: X é o conjunto dos x pertencentes a N tais que x é maior do que 5.
As vezes, ocorre que nenhum elemento de E goza da propriedade P . Neste caso, o conjunto tx P E; x goza de P u não possui elemento algum. Isto é o que se chama um conjunto vazio. Para representá-lo, usaremos o símbolo ∅.
Portanto, o conjunto vazio ∅ é definido assim:
∅ “ tx P U ; x R U u, para qualquer conjunto U . Por exemplo, temos tx P N; 1 ă x ă 2u “ ∅. E também, tx; x ‰ xu “ ∅.
Definição 1.2. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento deA é também de B. Para indicar esse fato, usa-se a notação
A Ă B.
Observação 1.3. Quando A Ă B, diz-se também que A é parte de B, que A está incluindo em B, ou contido em B. A relação A Ă B chama-se relação de inclusão.
—
Observação 1.4. O conjunto dos números naturais N possui uma peculiaridade, que é de que qualquer subconjunto seu possui um elemento mínimo, ou seja, se B Ă N então existe b P B tal que b ď x para qualquer x em B. Não iremos provar esse fato, mas se demonstra utilizando o princípio da indução.
—
Exemplo 1.5. Os conjuntos numéricos N, Z e Q, cumprem as relações de inclusão N Ă Z e Z Ă Q. Abreviadamente, escrevemos N Ă Z Ă Q.
—
Exemplo 1.6. Sejam X o conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retângulos. Todo quadrado é um retângulo, logo X Ă Y .
—
Observação 1.7. Quando se escreve X Ă Y não está excluída a possibilidade de ocorrer X “ Y . No caso em que X Ă Y e X ‰ Y , diz-se que X é uma parte própria ou um subconjunto próprio de Y .
—
Para mostrar que um conjunto X não é subconjunto de um conjunto Y , é suficiente exibir um elemento de X que não pertence a Y . Assim, por exemplo, não se tem Z Ă N, pois ´1 é um elemento de Z que não pertence a N.
Segue-se daí que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto X. Com efeito, se não fosse ∅ Ă X, existiria algum x P ∅ tal que x R X. Como não existe x P ∅, somos obrigados a admitir que ∅ Ă X para qualquer conjunto X. Afirmar que x P X equivale a afirmar txu Ă X.
Observação 1.8. Escrever A “ B significa que A e B são o mesmo conjunto, ou seja, que A e B possuem os mesmo elementos. Sempre que for necessário provar uma igualdade entre os conjuntos A e B, devemos mostrar primeiro que A Ă B e, depois, que B Ă A.
—
Definição 1.9. Seja X um conjunto. O conjunto das partes de X é o conjunto (família) PpXq “ tA; A Ă Xu,
ou seja, a coleção de todos os subconjuntos deX.
Observação 1.10. Note que se X ‰ ∅ então PpXq ‰ ∅, pois temos que X P PpXq para qualquer conjunto X.
—
Exemplo 1.11. Se X “ ∅, então temos que o conjunto das partes de X será dado por PpXq “ t∅u.
—
Definição 1.12. Seja X um conjunto, considere A, B P PpXq. Então definimos a interseção, união e complementar, respectivamente por
1. A X B “ tx P X; x P A e x P Bu; 2. A Y B “ tx P X; x P A ou x P Bu; 3. AA “ X ´ A “ tx P X; x R Au.
Proposição 1.13. Dados A, B P PpXq, então A X B “ B se, e somente se,B Ă A.
Prova.
Provaremos inicialmente que A X B “ B ñ B Ă A.
Veja que por definição A X B Ă A. Como por hipótese acontece A X B “ B, temos então que B Ă A.
Reciprocamente, provaremos que A X B “ B. Note que por definição A X B Ă B.
Além disso, como B Ă A, temos também por definição que B Ă B X A.
Definição 1.14. Seja X um conjunto, considere a família pAαqαPL Ă P pXq para algum
conjunto de índicesL. Definimos č αPL Aα “ tx P X; x P Aα , @α P Lu e ď αPL
Aα “ tx P X; x P Aαpara algumα P Lu.
Observação 1.15. O conjunto L utilizado na definição acima representa um conjunto de índices qualquer.
—
Observação 1.16. Como visto na última definição, concluímos queŞαPLAα,
Ť
αPLAα P
PpXq. —
Proposição 1.17. (Lei de Morgan) Nas condições da Definição 1.14 sempre são válidas as seguintes igualdades: 1. X ´Ť αPLAα “ Ş αPLX ´ Aα; 2. X ´ŞαPLAα “ Ť αPLX ´ Aα Prova.
1. Iremos mostrar inicialmente que X ´ŤαPLAα Ă
Ş
αPLX ´ Aα. Dado x P X ´
Ť
αPLAα, então x P X e x R Aα para todo α P L por definição, ou seja, x P X ´ Aα
para todo α P L, consequentemente x PŞαPLX ´ Aαcomo na definição, e daí temos
o que queríamos.
Vamos mostrar agora queŞαPLX ´ Aα Ă X ´
Ť
αPLAα. Dado x P
Ş
αPLX ´ Aα,
então x P X ´ Aαpara todo α em L, desse modo temos que x R Aαpara todo α P L e
disso obtemos que x RŤαPLAα. Portanto x P X ´
Ť
αPLAα, e segue o resultado pela
observação 1.8. 2. Mostraremos que X ´ŞαPLAα Ă Ť αPLX ´ Aα. Dado x P X ´ Ş αPLAα, então x P X e x R Ş
αPLAα por definição, assim x R Aα para pelo menos uma α em L.
Logo x P X ´ Aαpara pelo menos um α, e consequentemente x P
Ť
αPLX ´ Aα.
Reciprocamente, dado x PŤαPLX ´ Aα, temos que x P X e x R Aα para pelo menos
um α P L, daí x R ŞαPLAα, e portanto x P X ´ Ş αPLAαcomo queríamos e X ´č αPL Aα “ ď αPL X ´ Aα.
Observação 1.18. Os itens 1. e 2. vistos na proposição anterior podem ser reescritos res-pectivamente da seguinte forma:
1. pŤ αPLAαq A “ŞαPLAA α; 2. pŞ αPLAαq A “ŤαPLAA α. —
Definição 1.19. (Produto Cartesiano) Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A porB é o conjunto
A ˆ B “ tpa, bq : a P A, b P Bu. Exemplo 1.20. Caso A “ ∅ ou B “ ∅, temos que A ˆ B “ ∅.
—
Observação 1.21. Dados pa, bq, pc, dq P A ˆ B, então pa, bq “ pc, dq se, e somente se, a “ c e b “ d.
—
1.2
Funções
Definição 1.22. (Função) Dados dois conjuntos A e B não vazios, chamamos de função de A em B uma regra f que associa cada elemento de A a um único elemento de B e escrevemos
f : A Ñ B.
Quando um elementox de A está associado com um elemento y de B pela função f , escre-vemos quef pxq “ y.
Observação 1.23. Os conjuntos A e B da definição acima são chamados respectivamente de domínio e contra-domínio da função f .
—
Observação 1.24. Dada uma função f : A Ñ B e um subconjunto A1 Ă A, chamamos de
restrição de f ao conjunto A1 a função f : A1 Ñ B dada por f pxq “ y para todo x P A1.
—
Exemplo 1.25. Dados dois conjuntos não vazios A e B, sempre existe pelo menos uma função de A em B, pois basta tomarmos apenas um único elemento b P B e associar todo elemento de A a b. Essa função é chamada de função constante.
—
Definição 1.26. Dada uma função f : A Ñ B, chamamos de imagem de f o seguinte subconjunto deB
Impf q “ tf pxq; x P Au.
Observação 1.27. Em algumas ocasiões podemos usar a notação f pAq para se referir a imagem da função f : A Ñ B.
—
Definição 1.28. (Função Sobrejetiva) Uma função f : A Ñ B chama-se sobrejetiva quando, para todoy P B existe pelo menos um x P A tal que f pxq “ y.
Observação 1.29. Afirmar que uma função é sobrejetiva equivale a dizer que B Ă Impf q, ou seja, que B “ Impf q.
—
Exemplo 1.30. Dada uma função f : A Ñ B, podemos sempre definir uma função sobre-jetiva g : A Ñ Impf q onde a regra (ou lei de informação) de g é a mesma que da função f .
—
Definição 1.31. (Função Injetiva) Uma função f : A Ñ B chama-se injetiva quando, dadosx, y quaisquer em A, f pxq “ f pyq implica em x “ y. Em outras palavras: quando x ‰ y, em A, implica f pxq ‰ f pyq, em B.
O exemplo mais simples de uma função injetiva é a inclusão i : A Ñ B, definida quando A é um subconjunto de B, pela regra ipxq “ x, para todo x P A.
Definição 1.32. (Função Bijetiva) Uma função f : A Ñ B é chamada de função bijetiva ou simplesmente por bijeção, quando for injetiva e sobrejetiva simultaneamente.
Uma das bijeções mais simples é a função identidade idA : A Ñ A, definida por
idApxq “ x, para todo x P A.
Definição 1.33. Sejam f : A Ñ B e g : C Ñ D funções quaisquer. Se o domínio de g contiver a imagem def pImpf q Ă Cq, então definimos a composta g ˝ f : A Ñ D por
pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq, @x P A.
Proposição 1.34. Dadas f : A Ñ B e g : B Ñ C funções injetivas, então a função compostag ˝ f : A Ñ C ainda é uma função injetiva.
Prova.
Sabemos que a função composta está bem definida por f e g serem bem definidas, ou seja, para x P A existe único y em C tal que gpf pxqq “ y.
Tomemos agora x, y P A tais que
(1.1) pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq “ gpf pyqq “ pg ˝ f qpyq,
queremos mostrar que x “ y. Veja que pela injetividade de g, de (1.1) temos que f pxq “ f pyq, que por sua vez pela injetividade de f obtemos x “ y e temos o que desejávamos. Proposição 1.35. Dadas f : A Ñ B e g : B Ñ C funções sobrejetivas, então a função compostag ˝ f : A Ñ C ainda é uma função sobrejetiva.
Prova.
Dado y P D, pela sobrejetividade de g encontramos x1 P C tal que gpx1q “ y. Por
outro lado, para esse x1 encontrado conseguimos x P A pela sobrejetividade de f tal que
f pxq “ x1. Portanto para y P D, encontramos x P A onde
pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq “ gpx1q “ y, e assim concluímos que g ˝ f é sobrejetiva.
Corolário 1.36. Dadas f : A Ñ B e g : B Ñ C funções bijetivas, então a função composta g ˝ f : A Ñ C ainda é uma função bijetiva.
Prova.
Como temos que f e g são injetivas e sobrejetivas pela definição de função bijetiva, pela Proposição 1.34 garantimos a injetividade de g ˝ f , e pela Proposição 1.35 temos que g ˝ f é também sobrejetiva. Portanto g ˝ f é bijetiva e segue o resultado.
Proposição 1.37. Seja f : A Ñ B uma função bijetiva. A função f´1 : B Ñ A dada por
f´1
pyq “ x, onde y “ f pxq é bem definida e é também bijetiva. Prova.
Dado y P B, como f é sobrejetiva temos que existe x P A tal que f pxq “ y, e ainda temos que esse x é único, pois caso contrário teríamos x ‰ x1 com f pxq “ f px1q,
contrariando o fato de f ser injetiva. Logo f´1 está bem definida.
Tomando x P A, por f ser uma função temos que existe y P B tal que f pxq “ y, ou seja, conseguimos um elemento y em B onde f´1pyq “ x, o que nos mostra a sobrejetividade
de f´1.
Sejam agora y, y1 P B tais que f´1pyq “ f´1py1q, queremos mostrar que y “ y1. Pela
sobrejetividade de f conseguimos encontrar x, x1 P A tais que f pxq “ y e f px1q “ y1. Daí
temos que x “ f´1pyq “ f´1py1q “ x1, logo pelo fato de f ser uma função bem definida
temos que f pxq “ f px1q, ou seja, y “ y1. Portanto isso nos mostra a injetividade de f´1, e
Observação 1.38. A função f´1 definida na proposição acima é chamada de função inversa
de f . Pode-se notar sem muita dificuldade que f pf´1pxqq “ x para todo x P A e que
f´1pf pyqq “ y para todo y em B.
—
Depois de termos definido o que é um conjunto, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva, estamos em condições de definirmos conjuntos finitos e infinitos, o que será utilizado com frequência no nosso estudo adiante.
1.3
Conjuntos Enumeráveis
Definição 1.39. (Conjunto Finito) Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou então quando existemn P N e uma bijeção f : In Ñ X, onde In “ tp P N; p ď nu.
Como na definição acima, podemos escrever os elementos de X como sendo x1 “
f p1q, x2 “ f p2q,..., xn “ f pnq, daí temos que X “ tx1, x2, ..., xnu. A bijeção f
chama-se uma contagem dos elementos de X e o número n chama-chama-se o número de elementos, ou número cardinal do conjunto X.
Lema 1.40. Se existe uma bijeção f : X Ñ Y então, dados a P X e b P Y , existe também uma bijeçãog : X Ñ Y tal que gpaq “ b.
Prova.
Seja b1 “ f paq. Como f é sobrejetiva, existe a1 P X tal que f pa1q “ b. Definimos
g : X Ñ Y pondo gpaq “ b, gpa1q “ b1 e gpxq “ f pxq se x P X não é igual a a nem a a1,
assim g é uma bijeção satisfazendo o que queríamos.
Teorema 1.41. Se A é um subconjunto próprio de In, não pode existir uma bijeçãof : A Ñ
In.
Demonstração.
Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 P N, o menor número
natural para o qual existem um subconjunto próprio A Ă In0 e uma bijeção f : A Ñ In0. Se
n0 P A então, pelo Lema anterior, existe uma bijeção g : A Ñ In0 com gpn0q “ n0. Neste
caso, a restrição de g a A ´ tn0u é uma bijeção do subconjunto próprio A ´ tn0u sobre In0´1,
o que contraria a minimalidade de n0. Se, ao contrário, tivermos n0 R A então tomamos
a P A com f paq “ n0 e a restrição de f ao subconjunto próprio A ´ tau Ă In0´1 será uma
bijeção sobre In0´1, o que novamente contraria a minimalidade de n0.
˝ Corolário 1.42. Se f : Im Ñ X e g : In Ñ X são bijeções então m “ n.
Prova.
Como efeito, se fosse m ă n então Im seria um subconjunto próprio de In, o que
violaria o Teorema 1.41, pois g´1˝ f : I
m Ñ Iné uma bijeção pela Proposição 1.37 e pelo
Corolário 1.36. Analogamente se mostra que não é possível n ă m. Logo m “ n.
Corolário 1.43. Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f : X Ñ X é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva.
Prova.
Com efeito, existe uma bijeção ϕ : In Ñ X. A aplicação f : X Ñ X é injetiva ou
sobrejetiva se, e somente se, ϕ´1˝f ˝ϕ : I
nÑ Ino é. Logo podemos considerar f : In Ñ In.
Se f for injetiva então pondo A “ f pInq, teremos uma bijeção f´1 : A Ñ In. Pelo Teorema
1.41, A “ Ine f é sobrejetiva. Reciprocamente, se f for sobrejetiva, formemos um conjunto
A Ă In escolhendo, para cada y P In, um único elemento x P In tal que f pxq “ y. Então a
restrição f : A Ñ In é uma bijeção. Pelo Teorema 1.41, temos A “ In. Isto significa que,
para cada y P In, é único o x tal que f pxq “ y, ou seja, f é injetiva.
Corolário 1.44. Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e uma sua parte própria.
Prova.
Com efeito, sejam X finito e Y Ă X uma parte própria. Existem n P N e uma bijeção ϕ : In Ñ X. Então o conjunto A “ ϕ´1pY q é uma parte própria de In. Chamemos de
ϕA : A Ñ Y a bijeção obtida por restrição de ϕ a A. Se existe uma bijeção f : Y Ñ X, a
composta g “ ϕ´1 ˝ f ˝ ϕ
A : A Ñ In seria também uma bijeção, contrariando o Teorema
1.41.
Teorema 1.45. Todo subconjunto de um conjunto finito é finito. Demonstração.
Provaremos inicialmente o seguinte caso particular: se X é finito e a P X então X´tau é finito. Com efeito, existe uma bijeção f : InÑ X a qual, pelo Lema 1.40, podemos supor
que cumpre f pnq “ a. Se n “ 1, X ´ tau “ ∅ é finito. O caso geral se prova por indução no número de n de elementos de X. Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos com n ou menos elementos, sejam X um conjunto com n ` 1 elementos e Y um subconjunto de X. Se Y “ X, nada há o que provar. Caso contrário, existe a P X com a R Y . Então, na realidade, Y Ă X ´ tau. Como X ´ tau tem n elementos, segue que Y é finito.
˝ Corolário 1.46. Dada f : X Ñ Y , se Y é finito e f é injetiva então X é finito. Caso X seja finito ef é sobrejetiva então Y é finito.
Prova.
De fato, se f é injetiva então ela é uma bijeção de X sobre um subconjunto f pXq do conjunto finito Y . Por outro lado, se f é sobrejetiva e X é finito então, para cada y P Y podemos escolher um x “ gpyq P X tal que f pxq “ y. Isto define uma aplicação g : Y Ñ X tal que f pgpyqq “ y para todo y P Y . Segue-se que g é injetiva logo, pelo que acabamos de provar, Y é finito.
Definição 1.47. Um subconjunto X Ă N diz-se limitado quando existe p P N tal que x ď p para todox P X.
Corolário 1.48. Um subconjunto X Ă N é finito se, e somente se, é limitado. Prova.
Com efeito, se X “ tx1, ..., xnu Ă N é finito, pondo p “ x1 ` ... ` xn vemos que
x P X ñ x ď p logo X é limitado. Reciprocamente, se X Ă N é limitado então X Ă Ip
para algum p P N, segue do Teorema 1.41 que X é finito.
Definição 1.49. (Conjunto Infinito) Diz-se que um conjunto é infinito quando não é finito. Assim, X é infinito quando não é vazio nem existe, seja qual for n P N, uma bijeção f : In Ñ X.
Exemplo 1.50. O conjunto dos números naturais é infinito, em virtude do Corolário anterior. Pelo mesmo motivo, se k P N então o conjunto k ¨ N dos múltiplos de k é infinito.
—
Teorema 1.51. Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva f : N Ñ X. Demonstração.
Para cada subconjunto não vazio A Ă X, escolhemos um elemento xA P A. Em
seguida, definimos f : N Ñ X indutivamente. Pomos f p1q “ xX e, supondo já definidos
f p1q, ..., f pnq, escrevemos An “ X ´ tf p1q, ..., f pnqu. Como X é infinito, Annão é vazio.
Definimos então f pn ` 1q “ xAn. Isto completa a definição de f . Para provar que f é
injetiva, sejam m, n P N, digamos com m ă n. Então f pmq P tf p1q, ..., f pn ´ 1qu enquanto f pnq P X ´ tf p1q, ..., f pn ´ 1qu. Logo f pmq ‰ f pnq.
˝ Definição 1.52. (Conjunto Enumerável) Um conjunto X é chamado de enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeçãof : N Ñ X.
A bijeção f da definição acima é denominada de enumeração dos elementos de X. Escrevendo f p1q “ x1, f p2q “ x2, ..., f pnq “ xn, ... tem-se então X “ tx1, x2, ..., xn, ...u.
Teorema 1.53. Todo subconjunto X Ă N é enumerável. Demonstração.
Se X é finito, nada há o que se provar. Caso contrário, enumeramos os elementos de X pondo x1 como sendo o menor elemento de X, e supondo definidos x1 ă x2 ă ... ă
xn, escrevemos An “ X ´ tx1, x2, ..., xnu. Observando que An ‰ ∅, pois X é infinito,
definimos xn`1como o menor elemento de An. Então X “ tx1, x2, ..., xn, ...u. Com efeito,
se existisse algum elemento x P X diferente de todos os xn, teríamos x P An para todo
n P N, logo x seria um número natural maior que todos os elementos do conjunto infinito tx1, x2, ..., xn, ...u, contrariando o Corolário 1.48.
˝ Corolário 1.54. Seja f : X Ñ Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Prova.
Basta considerarmos o caso em que existe uma bijeção ϕ : Y Ñ N. Então ϕ ˝ f : X Ñ N é uma bijeção de X sobre um subconjunto de N, o qual é enumerável, pelo Teorema 1.53. No caso particular de X Ă Y , tomamos f : X Ñ Y igual a aplicação de inclusão. Corolário 1.55. Seja f : X Ñ Y sobrejetiva. Se X é enumerável então Y também é.
Prova.
Para cada y P Y podemos escolher um x “ gpyq P X tal que f pxq “ y. Isto define uma aplicação g : Y Ñ X tal que f pgpyqq “ y para todo y P Y . Segue daí que g é injetiva. Pelo Corolário 1.54, Y é enumerável.
Corolário 1.56. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis ainda é um conjunto enumerável.
Prova.
Se X e Y são enumeráveis então existem sobrejeções f : N Ñ X e g : N Ñ Y , logo ϕ : N ˆ N Ñ X ˆ Y , dada por ϕpm, nq “ pf pmq, gpnqq é sobrejetiva. Portanto, basta provar que N ˆ N é enumerável. Para isto, consideremos a aplicação φ : N ˆ N Ñ N, dada por φpm, nq “ 2m¨ 3n. Pela unicidade da decomposição de um número em fatores primos (ver [18]), φ é injetiva. Segue daí que N ˆ N é enumerável.
Corolário 1.57. A reunião enumerável de uma família enumerável de conjuntos enumerá-veis é enumerável.
Prova.
Dados X1, X2, ..., Xn, ... enumeráveis, existem sobrejeções f1 : N Ñ X1, f2 : N Ñ
X2, ..., fn : N Ñ Xn, ... . Tomando X “
Ť8
n“1Xn “
Ť
f : N ˆ N Ñ X pondo f pm, nq “ fnpmq. O caso de uma reunião finita X “ X1Y ... Y Xn
reduz-se ao anterior porque então X “ X1Y ... Y XnY XnY ... .
O Teorema 1.51 significa que o enumerável é o ”menor” dos infinitos. Com efeito, ele pode ser reformulado assim:
Todo conjunto infinito contem um subconjunto infinito enumeravel .
Exemplo 1.58. O conjunto Z “ t..., ´2, ´1, 0, 1, 2, ...u dos números inteiros é enumerável. Uma bijeção f : N Ñ Z pode ser definida pondo f pnq “ pn´1q2 para n ímpar e f pnq “ ´n 2
para n par. —
Exemplo 1.59. O conjunto Q “ tmn; n, m P Z, n ‰ 0u dos números racionais é enumerável.
Com efeito, escrevendo Z˚
“ Z´t0u, podemos definir uma função sobrejetiva f : ZˆZ˚ Ñ Q pondo f pm, nq “ mn.
—
Exemplo 1.60. (Um conjunto não-enumerável) Seja S o conjunto de todas as sequências infinitas, como s “ p0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, ...q, formado com os símbolos 0 e 1. Noutras pala-vras, S é o conjunto de todas as funções s : N Ñ t0, 1u. Para cada n P N, o valor spnq igual a 0 ou 1, é o n-ésimo termo da sequência s. Afirmamos que nenhum subconjunto enu-merável X “ ts1, s2, ..., sn, ...u Ă S é igual a S. Com efeito, dados X, indiquemos como
sendo snmo n-ésimo termos da sequência sm P X. Formamos uma nova sequência s˚ P S
tomando o n-ésimo termo de s˚ igual a 0 se for s
nm “ 1, ou igual a 1 se for snm “ 0. A
sequência s˚ não pertence ao conjunto X porque seu n-ésimo termo é diferente do n-ésimo
termo de snpara todo n P N. (Este raciocínio, devido G. Cantor, é conhecido como "método
da diagonal".) —
1.4
Números Reais Estendidos
Ao se trabalhar o conceito de medida, quando possível, associaremos conjuntos a nú-meros reais não negativos. Porém, alguns conjuntos ficam associados a valores infinitos e tal particularidade nos faz tratar esses infinitos como instrumentos para que possamos operá-los com soma e produto. Denotaremos por R o corpo ordenado dos números reais.
Definição 1.61. (Reta estendida) O conjunto R “ R Y t´8, 8u, obtido ao adicionar a reta real os elementos ´8 e 8, será chamado de reta estendida.
Observação 1.62. O conjunto R nos fornece algumas operações importantes de soma e produto. Tais operações se comportam de maneira diferente, ao qual introduziremos a seguir.
—
Definição 1.63. A soma em R é definida da seguinte maneira, 1. Sex, y P R, então x ` y é igual a soma em R;
2. x ` p`8q “ p`8q ` x “ `8, com x P R e x ‰ ´8;
3. x ` p´8q “ p´8q ` x “ ´8, com x P R e x ‰ `8.
A soma entre ´8 e `8 são consideradas indefinidas. Definiremos a diferença x ´ y de dois números reais estendidos pela pela expressão x ´ y “ x ` p´yq. Nos casos em que x “ y “ `8 ou x “ y “ ´8 a diferença entre x e y não está definida.
Observação 1.64. O produto não nulo também está bem definido, isto é, 1. x ¨ p`8q “ p`8q ¨ x “ `8, se x ą 0;
2. x ¨ p´8q “ p´8q ¨ x “ ´8, se x ą 0; 3. x ¨ p`8q “ p`8q ¨ x “ ´8, se x ă 0; 4. x ¨ p´8q “ p´8q ¨ x “ `8, se x ă 0.
—
Observação 1.65. Também podemos definir 1. 0 ¨ p`8q “ p`8q ¨ 0 “ 0;
2. 0 ¨ p´8q “ p´8q ¨ 0 “ 0. —
1.5
Álgebra de Conjuntos
Nesta seção abordaremos conceitos sobre álgebra e σ-álgebra (sigma álgebra), que serão usados no nosso estudo posteriormente para encontrar o maior subconjunto das partes dos números reais em que possamos "medir" e que satisfaçam determinadas propriedades. A álgebra se trata de uma coleção formada por conjuntos que é fechada para uniões finitas, já a σ-álgebra terá as mesmas propriedades que a álgebra com o requisito de ser fechado para uniões enumeráveis e não necessariamente finitas. Vejamos então alguma definições e propriedades referentes a álgebra e σ-álgebra.
Definição 1.66. (Álgebra) Dado um conjunto X, diz-se que um subconjunto A de PpXq “ tY ; Y Ă Xu é uma álgebra se
1. ∅, X P A;
2. A Y B P A, para todo A, B P A; 3. AA
P A, para todo A P A.
Exemplo 1.67. Seja o conjunto X = t1, 2, 3u, então a coleção A = t∅, t1u, t2, 3u, t1, 2, 3uu é uma álgebra, pois
1. ∅, X P A
2. X Y ∅ “ X, X Y t1u “ X, X Y t1, 2u “ X, t1u Y t2, 3u “ t1, 2, 3u, pertencem a A. 3. XA
“ ∅, ∅A “ X, t1uA “ t2, 3u, t2, 3uA “ t1u, pertencem a A. —
A seguir veremos a definição de σ-álgebra, que faz com que tenhamos uma maior informação sobre esse conjunto além de nos permitir uma variedade maior de propriedades que vão ser de suma importância na teoria da medida.
Definição 1.68. (σ-álgebra) Dado uma álgebra A Ă PpXq, diz-se que A é uma σ-álgebra se, para qualquer sucessão pAnqnPN Ă A, tem-se
ď
nPN
An P A.
UsaremosB constantemente para representar as σ-álgebras.
Exemplo 1.69. Se X é um conjunto qualquer, então t∅, Xu e PpXq são σ-álgebras. A primeira é denominada como a menor álgebra por está contido em qualquer outra σ-álgebra deX e a segunda é denominada como maior σ-álgebra por conter qualquer outra σ-álgebra de X.
Exemplo 1.70. O conjunto
A “ tA Ă N; A é finito ou AA
é finitou é um exemplo de uma álgebra que não é umaσ-álgebra.
Observe que, 1. NA
“ ∅ é finito, ou seja, ∅, N P A;
2. SejaA P A, então A é finito ou AAé finito, logoAA
P A; 3. SejamA, B P A, então temos que verificar os seguintes casos:
1ocaso: SeA e B são finitos, então A Y B é finito, ou seja,A Y B P A;
2o caso: Se um dos dois é finito e outro não, digamos A e BA finitos, então
pAAX BAq “ pA Y BqAé finito, logoA Y B P A;
3o caso: SeAA e BA são finitos, então pAA X BAq “ pA Y BqA é finito, de onde
Portanto,A é uma álgebra.
PorémA não é uma σ-álgebra, pois o conjunto Y “ tn P N; n é paru pode ser escrito como uma união de conjuntos disjuntos, isto é,
Y “ď
iPN
Ai
ondeAi “ t2iu. Logo cada Ai Ă A, porém X “
Ť
iPNAi eXA não são finitos.
Proposição 1.71. A interseção de uma família de σ-álgebras é uma σ-álgebra. Prova.
Dado um conjunto X, considere tBiuiPIuma família de σ-álgebra de X. Mostraremos
queŞ
iPIBi é uma σ-álgebra. Tendo em conta que cada elemento Bi pertencente a família é
uma σ-álgebra de X, então segue que ∅, X P Bipara cada i P I. Daí temos que
∅, X P č
iPI
Bi.
Agora considere B PŞiPiBi, isto é, B P Bipara cada i P I. Como cada Bié uma σ-álgebra,
segue que BA P B i, @i P I, ou seja BA P č iPI Bi.
Dada uma sucessão tBn P
Ş
iPIBi; n P Nu. Verifica-se que Bn P Bi, para todo n P N, i P I.
Como cada Bi é uma σ-álgebra, isso implica em
ď
nPN
BnP Bi
para todo i P I, ou seja
ď nPN BnP č iPI Bi.
Propriedade 1.72. σ-álgebras também são fechadas sob interseções enumeráveis. Prova.
De fato, dado uma sucessão pBnqnPN onde cada Bn P B, por B ser uma σ-álgebra,
segue que BA
n P B para todo n natural, consequentemente verifica-se que
ď
iPN
BA i P B.
Como pela Lei de Morgan vale ˜ č iPN Bi ¸A “ ď iPN BA i.
Disso, por ˜ ď iPN BA i ¸A P B temos, č iPN Bi P B.
Definição 1.73. Seja A uma álgebra. Uma função φ : A Ñ R não constante diz-se aditiva se dadosA, B P A com A X B “ ∅ então
φpA Y Bq “ φpAq ` φpBq.
Propriedade 1.74. Sejam uma álgebra A e uma função aditiva φ : A Ñ R. Se A, B, A1, A2, ..., An P
A, então as seguintes propriedades são válidas: 1. φp∅q “ 0;
2. SeB Ă A, então φpA ´ Bq “ φpAq ´ φpBq, onde φpAq ă 8; 3. SeB Ă A e φpXq ě 0 para todo X P A, então φpBq ď φpAq; 4. φpA1Y A2q “ φpA1q ` φpA2q ´ φpA1X A2q, se φpA1X A2q ă 8;
5. φpŤni“1Aiq “ φpA1q ` ... ` φpAnq, se AiX Aj “ ∅ para i ‰ j.
Prova.
1. Como ∅ X ∅ “ ∅, pela definição dada temos,
φp∅ Y ∅q “ φp∅q “ φp∅q ` φp∅q, ou seja
φp∅q “ φp∅q ´ φp∅q “ 0;
2. Basta observar que A “ pA ´ Bq Y B e pA ´ Bq X B “ ∅, logo
φpAq “ φpA ´ Bq ` φpBq ñ φpAq ´ φpBq “ φpA ´ Bq. 3. Por φpA ´ Bq ser não negativo, do item 2. concluímos que
φpAq ě φpBq;
4. Note que A1Y A2 “ A1Y rA2´ pA1X A2qs com A1X rA2´ pA1X A2qs “ ∅, além
disso ainda é válido pA1X A2q Ă A2. Com isso estamos nas condições da definição
acima e do item 2., daí temos
φpA1Y A2q “ φpA1Y rA2´ pA1X A2qsq
“ φpA1q ` φpA2´ pA1 X A2qq
5. Resultado imediato da definição de função aditiva por aplicar a propriedade n vezes. Definição 1.75. Seja A uma álgebra. Uma função φ : A Ñ R aditiva é denominada σ-aditiva se, paraA1, A2, ... P A, com
Ť`8
i“1Ai P A e AiX Aj “ ∅, onde i ‰ j, tem-se
φ ˜ `8 ď i“1 Ai ¸ “ `8 ÿ i“1 φpAiq.
Teorema 1.76. Seja A uma álgebra e φ : A Ñ R uma função σ-aditiva. Se A1 Ă A2 Ă
... Ă An Ă ..., com An P A para todo n natural e A “
Ť`8
i“1Ai P A, então
lim
iÑ`8φpAiq “ φpAq.
Demonstração.
Definamos B1 “ A1e Bi “ Ai´ Ai´1@i “ 2, 3, ....
Note que Bi P A, pois
Bi “ Ai´ Ai´1“ AiX AAi´1.
Como Ai, Ai´1 P A, segue que
AiX AAi´1P A.
Além disso, Bi X Bj “ ∅ se i ‰ j, pois tomando sem perda de generalidade i ă j, temos
que
pAi´ Ai´1q Ă Aj´1,
o que implica em
BiX Bj “ rpAi´ Ai´1q X pAj ´ Aj´1qs Ă rAj´1X pAj ´ Aj´1qs “ ∅.
Ainda vale a igualdade Ai “ B1Y B2Y ... Y Bi, pois para i “ 1 segue pela definição de B1,
e supondo válido para n ´ 1, temos
An“ An´1Y pAn´ An´1q “ pB1Y B2Y ... Y Bn´1q Y Bn “ B1 Y B2Y ... Y Bn´1Y Bn. Daí φpAiq “ i ÿ k“1 φpBkq.
Como φ é σ-aditiva e A “Ť`8i“1Bi, obtemos
lim iÑ`8φpAiq “ `8 ÿ i“1 φpBiq “ φ ˜ `8 ď i“1 Bi ¸ “ φpAq, e segue o resultado. ˝
1.6
Álgebra Linear
Nesta seção iremos definir o que é um espaço vetorial, relação de equivalência, classe de equivalência , conjunto quociente, norma e espaço normado, pois esses conceitos serão necessários para o nosso estudo adiante.
Definição 1.77. (Operação Binária) Sejam A, B e C conjuntos não vazios. Uma operação binária deA ˆ B em C é uma função
f :A ˆ B Ñ C
pa, bq ÞÑ fpa, bq “ a f b.
Definição 1.78. (Operação interna) Seja V ‰ ∅. Uma operação interna em V é uma função
˚ :V ˆ V Ñ V
pa, bq ÞÑ ˚pa, bq “ a ˚ b.
Exemplo 1.79. A soma e o produto usual dos números reais são operações internas em R. —
Definição 1.80. (Espaço Vetorial) Seja V um conjunto qualquer diferente do vazio onde esteja bem definida uma operação interna ‘ : V ˆ V Ñ V chamada de soma, e a operação binária f : K ˆ V Ñ V , chamada de produto. Dizemos que pV, ‘, f, Kq, onde K “ R ou K “ C, é um espaço vetorial sobre o corpo K se satisfaz as seguintes propriedades:
1. pu ‘ vq ‘ w “ u ‘ pv ‘ wq para cada u, v e w em V ; 2. Existe0V P V , tal que, para cada v P V , v ‘ 0V “ 0V ‘ v;
3. Para cadav P V , existe v1
P V tal que v ‘ v1 “ 0V;
4. Para cadav, u P V , u ‘ v “ v ‘ u;
5. Para cadaa, b P R e cada v P V , a f pb f vq “ pa ¨ bq f v; 6. 1 f v “ v, @v P V ;
7. Para cadaa P R e cada u, v P V , a f pu ‘ vq “ a f u ‘ a f v; 8. Para cadaa, b P R e cada v P V , pa ` bq f v “ a f v ‘ b f v.
Observação 1.81. Ao invés de chamarmos a quadra pV, ‘, f, Kq de espaço vetorial, diremos apenas que V é um espaço vetorial quando não houver confusão.
Observação 1.82. O elemento v1 do item 2. é chamada de oposto aditivo de v e é denotado
como ´v. Por questões de notação escreveremos w´v para referir a w‘p´vq. Esse elemento oposto é sempre único, não iremos provar pois não é tão complicado e a demonstração é semelhante ao item 1. da proposição 1.85 .
—
Exemplo 1.83. Os conjunto numéricos R, C são espaços vetoriais sobre R. —
Exemplo 1.84. O conjunto das funções f : A Ñ R onde A Ă R, é um espaço vetorial sobre R com as operações pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq e pa ¨ f qpxq “ a ¨ f pxq.
—
Proposição 1.85. Seja V um espaço vetorial, então as seguinte propriedades são válidas: 1. O elemento0V do item 2. da definição de espaço vetorial é único;
2. Sev P V , então 0 f v “ 0V;
3. Sea P K, então a f 0V “ 0V;
4. Sev P V , então p´1q f v “ ´v;
5. Sea P K e v P V , então a f p´vq “ ´pa f vq. Prova.
1. Suponhamos que exista 01
V P V que satisfaz a condição 2. da definição 1.80, assim
temos
01
V “ 0V ‘ 01V “ 0V;
2. Pelos itens 3. e 8. da definição de espaço vetorial e pela observação 1.82 temos, 0 f v “ p0 ` 0q f v “ 0 f v ‘ 0 f v.
Como pelo item 1. o elemento neutro é único, temos que 0 f v “ 0V e seguem o
resultado;
3. Note que dado v P V temos pelo item 7. que
a f v ‘ a f 0V “ a f pv ‘ 0Vq “ a f v,
4. Pela observação 1.82 e pelos itens 6. e 8. de espaço vetorial temos,
p´1q f v ‘ v “ p´1q f v ‘ 1 f v “ p´1 ` 1q f v “ 0 f v “ 0V;
5. Pelo item 7. e pela observação 1.82 temos,
a f p´vq ‘ a f v “ a f p´v ‘ vq “ a f 0V “ 0V.
Definição 1.86. Seja W um subconjunto diferente do vazio de um espaço vetorial V . W é denominado subespaço vetorial deV se W também é um espaço vetorial.
Observação 1.87. Na definição acima consideramos o mesmo corpo do espaço vetorial V e também as mesmas operações de soma e produto de V . Como W também é um espaço vetorial, então também deve satisfazer as 8 propriedades da Definição 1.80. Veremos a seguir uma condição suficiente para que um subconjunto de um espaço vetorial seja um subespaço vetorial.
—
Exemplo 1.88. R é um subespaço vetorial de C. —
Proposição 1.89. Para que o subconjunto W ‰ ∅ de um espaço vetorial V seja um sub-espaço vetorial, é suficiente mostrar queW é fechado para soma e produto por escalar, ou seja, quando dadosv, w P W quaisquer e a P R tenhamos
v ‘ w P W e a f v P W. Prova.
Suponhamos que sempre temos v ‘ w P W e a f v P W para quaisquer v, w P W e a P R. Assim,
1. Segue que dados u, v, w P W , temos que u, v, w P V e assim pu ‘ vq ‘ w “ u ‘ pv ‘ wq;
2. Tomemos 0 P R e w P W , assim 0W “ 0 f w “ 0V pela proposição 1.85, pois se
w P W , então w P V , onde
v ‘ 0W “ v ‘ 0V “ v;
3. Dado w P W , tomemos ´1 P R, logo pela proposição 1.85 p´1q f w “ ´w P W , onde concluímos que
Os demais itens são claramente satisfeitos, pois dado qualquer w pertencente a W , temos que w P V , pois W Ă V e assim como V é espaço vetorial segue os itens. Portanto W é um subespaço vetorial de V como queríamos.
Exemplo 1.90. O conjunto das funções contínuas é um subespaço vetorial do conjunto das funções, pois a soma de duas funções contínuas ainda é uma função contínua assim como o produto de um escalar por uma função contínua.
—
Definição 1.91. Seja E um espaço vetorial. Se F e G são subespaços de E, podemos definir a soma deF com G por
F ` G “ tf ‘ g; f P F e g P Gu.
Ainda podemos definir a interseção deF por G como sendo o conjunto F X G “ tu P E; u P F e u P Gu.
Observação 1.92. Claramente na definição acima podemos notar que F X G ainda é um subconjunto de E, e F ` G consiste de somas de elementos de E, que por sua vez é fechado com relação a soma, ou seja, F ` G Ă E.
—
Proposição 1.93. Os subconjuntos F ` G e F X G do espaço vetorial E vistos na definição 1.91 são subespaços vetoriais.
Prova.
Como na observação 1.92 vimos que F ` G Ă E e F X G Ă E, basta verificarmos que ambos os conjuntos são fechados para soma e para o produto por escalar pela proposição 1.89.
1. Dados x, y P F ` G e α P R, existem f1, f2 P F , g1, g2 P G tais que x “ f1 ‘ g1 e
y “ f2‘ g2.
(a) Assim temos que
x ‘ y “ pf1‘ g1q ‘ pf2‘ g2q “ f1‘ pg1‘ pf2‘ g2qq “ f1‘ ppg1‘ f2q ‘ g2q “ f1‘ ppf2‘ g1q ‘ g2q “ f1‘ pf1‘ pg1‘ g2qq “ pf1‘ f2q ‘ pg1‘ g2q
pelo fato de f1, f2, g1, g2 P E e valer a associatividade e a comutatividade da
soma. Daí como F e G são subespaços de E, segue que f1‘f2 P F e g1‘g2 P G.
(b) Pela distributividade em E temos
α f x “ α f pf1‘ g1q “ α f f1‘ α f g1.
Como α f f1 P F e α f G1 P G por F e G serem subespaços vetoriais de E,
segue que α f x P F ` G.
2. Dados f, g P F X G e α P R, temos que f, g P F e f, g P G, donde f ‘ g P F e f ‘ g P G, ou seja, f ‘ g P F X G. Do mesmo modo segue que α f f P F e α f f P G, e assim α f f P F X G.
Observação 1.94. Por questão de simplificação da notação, escrevemos apenas 0 para re-presentar o elemento neutro da soma 0V do espaço vetorial real V .
—
Definição 1.95. (Produto Interno) Seja V um espaço vetorial sobre R. Para todos os vetores u, v, w P V e a P R, uma operação binária
h¨, ¨i : V ˆ V Ñ R
é chamada de produto interno se satisfaz as seguintes propriedades: 1. hv, vi ě 0 e hv, vi “ 0 se, e somente se v “ 0;
2. hu, vi “ hv, ui
3. hu ‘ v, wi “ hu, wi ` hv, wi; 4. ha f u, vi “ a ¨ hu, vi.
Observação 1.96. A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências: hu, v ‘ wi “ hu, vi ` hu, wi e hu, a f vi “ a ¨ hu, vi, para quaisquer u, v, w P V e a P R.
—
Exemplo 1.97. O produto escalar sobre o espaço vetorial R3 dado por hpx1, x2, x3q, py1, y2, y3qi “ x1¨ y1` x2¨ y2` x3¨ yy
é um produto interno. —
Definição 1.98. (Norma) Seja V um espaço vetorial real, então a função } ¨ } : V Ñ R é chamada de norma se satisfaz as seguintes condições:
2. }u} “ 0 se, e somente se u “ 0; 3. }a f u} “ |a| ¨ }u}, @a P R e @u P V ; 4. }u ‘ v} ď }u} ` }v}, @u, v P V.
Proposição 1.99. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sendo h¨, ¨i : V ˆV Ñ R um produto interno, definimos
}v} “ahv, vi. Desse modo é valida a desigualdade
| hv, wi | ď }v} ¨ }w}, @v, w P V. Prova.
Para v “ 0, temos pela Proposição 1.85 que h0, wi “ h0 f w, wi
“ 0 ¨ hw, wi “ 0,
e pela propriedade 1. de produto interno h0, 0i “ 0, ou seja, }0} “ 0. Logo 0 “ | h0, wi | ď }0} ¨ }w} “ 0.
Seja agora v ‰ 0. Tomando α “ hv,wi}v}2 , observe que u “ w ´ α f v é perpendicular a
v, isto é hu, vi “ hw ´ α f v, vi “ hw, vi ´ α ¨ hv, vi “ hw, vi ´ hv, wi }v}2 ¨ hv, vi “ hw, vi ´ hv, wi “ 0.
Calculando o produto interno de w “ u ‘ α f v por si mesmo, obtemos então }w}2 “ hw, wi “ hu ‘ α f v, u ‘ α f vi
“ hu ‘ α f v, ui ` hu ‘ α f v, α f vi
“ hu, ui ` α ¨ hv, ui ` α ¨ hu, vi ` α ¨ α ¨ hv, vi “ }u}2` 2α hv, ui ` α2¨ }v}2
“ }u}2` 2α ¨ 0 ` α2¨ }v} “ }u}2 ` α2 ¨ }v}2, donde α2 ¨ }v}2 ď }w}2. Ora, α2 ¨ }v}2 “ hv,wi
2
}v}2 . Logo hv, wi 2
ď }v}2 ¨ }w}2, o que nos fornece a desigualdade buscada.
Proposição 1.100. Seja V um espaço vetorial. Se h¨, ¨i : V ˆ V Ñ R é um produto interno, então }v} “ahv, vi define uma norma em V .
Prova.
1. Como hv, vi ě 0 para todo v P V , segue que }v} “ahv, vi ě 0, @v P V .
2. Temos que }v} “ahv, vi “ 0 se, e somente se, hv, vi “ 0. Logo como h¨, ¨i é um P.I (produto interno), segue que
hv, vi “ 0 ðñ v “ 0.
3. Calculemos }α f v} usando a propriedade 4. da definição de produto interno, assim }α f v} “ahα f v, α f vi
“aα ¨ hv, α f vi “aα ¨ α ¨ hv, vi
“aα2¨ hv, vi “ |α| ¨ahv, wi “ |α| ¨ }v}.
4. Façamos o cálculo de }u ‘ v}2, desse modo temos
}u ‘ v}2 “ hu ‘ v, u ‘ vi
“ hu ‘ v, ui ` hu ‘ v, vi
“ hu, ui ` hv, ui ` hu, vi ` hv, vi “ }u}2` 2 ¨ hv, ui ` }v}2.
Logo pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que
}u}2` 2 ¨ hv, ui ` }v}2 ď }u}2` 2 ¨ }v} ¨ }u} ` }v}2 “ p}u} ` }v}q2,
onde concluímos que }u ‘ v}2 ď p}u} ` }v}q2, ou seja, }u ‘ v} ď }u} ` }v} como queríamos. Observação 1.101. Como a seguir vamos estar estudando as propriedade de uma transfor-mação linear e estaremos trabalhando com dois espaços vetoriais, usaremos a notação para soma de dois vetores como o ” ` ” dos números reais assim como para o produto por escalar estaremos usando ” ¨ ”. Estamos convencionando isso para todos os espaços vetoriais que serão apresentados a seguir por questão de simplificação da notação. Logo cabe ao leitor identificar quais operações estão sendo usadas e de qual espaço.
—
Definição 1.102. (Espaço Normado) Chama-se de espaço normado um par pV, } ¨ }q, onde V é um espaço vetorial e } ¨ } é uma norma definida em V .
Observação 1.103. Quando não houver dúvidas sobre qual norma estamos tomando no es-paço vetorial V , chamaremos apenas V de eses-paço normado.
—
Definição 1.104. (Sequência Convergente) Diz-se que uma sequência punqnPN em um
es-paço normado converge para um elemento u no espaço, se para todo ą 0 for possível encontrarn0 P N tal que, para todo n ą n0 tenhamos
}u ´ un} ă .
Seunconverge parau, escrevemos u “ lim unouun Ñ u.
Proposição 1.105. Uma sequência não pode convergir para dois limites diferentes. Prova.
Seja punqnPN uma sequência num espaço normado E, e seja v, w P E tais que v “
lim un e w “ lim un. Pela definição de limite dado arbitrariamente ą 0, conseguimos
n0, n1 P N tal que
}v ´ un} ă , @n ą n0 e }w ´ un} ă , @n ą n1.
Tomemos agora m “ maxtn0, n1u. Usando a desigualdade triangular e as propriedades de
espaço vetorial, chegamos em
}v ´ w} “ }v ´ un` un´ w} ď }v ´ un} ` }w ´ un} ă 2, @n ą m,
de onde segue que
0 ď }v ´ w} ă 2, @ ą 0. Consequentemente }v ´ w} “ 0, e portanto v “ w.
Definição 1.106. (Conjunto Fechado) Dizemos que um subconjunto F Ď E é fechado, se ele contêm todos os pontos deE que são limites de sequências em F , e denotamos o conjunto de todos esses pontos porF chamado o fecho de F . Claramente sempre temos que acontece F Ă F , pois todo ponto de F é limite da sequência onde todos os termos são iguais ao próprio ponto.
Exemplo 1.107. O fecho de qualquer intervalo pa, bq com a ă b é igual a ra, bs, ou seja, pa, bq “ ra, bs.
—
Definição 1.108. (Subconjunto Denso) Dizemos que um subconjunto F do espaço normado E é denso quando seu fecho é igual a E, ou seja
F “ E.
Exemplo 1.109. O conjunto dos números racionais assim como o conjunto dos números irracionais são densos em R.
—
Definição 1.110. (Sequência de Cauchy) Dizemos que uma sequência punqnPN em um
es-paço normado é uma sequência de Cauchy, se para cada ą 0, existe N ą 0 tal que para todon ą N e todo m ą N tenhamos
}un´ um} ă .
Definição 1.111. (Espaço de Banach) Um espaço normado é chamado completo se toda sequência de Cauchy converge no espaço, ou seja, se para cada sequência de Cauchy punqnPN no espaço existir um elementou também no espaço, tal que un Ñ u. Um espaço
normado completo é denominado espaço de Banach.
Exemplo 1.112. O conjunto dos números reais é um espaço de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.
—
Exemplo 1.113. (Um espaço normado que não é Banach) Seja c00o espaço das sequências
quase nulas. Ou seja, uma sequência pertence a c00 se possui apenas zeros a partir de um
certo índice. Mostraremos que c00 não é um espaço de Banach com a norma do supremo
}pxnq ´ pynq} “ supnPN|xn´ yn|. Para Tanto, devemos exibir uma sequência de Cauchy em
c00que não converge.
Considere a sequência (de sequências quase nulas) pxnqnPNdefinida por
xn“ p1,
1 2, ...,
1
n, 0, 0, ...q, @n P N.
Note que pxnqnPN é de Cauchy, pois dado ą 0, existe n0 P N com n0 ą 1. Assim, se
n ą m ą n0, }xn´ xm} “ }p0, 0, ..., 1 m ` 1, 1 m ` 2, ..., 1 n, 0, 0, ...q} “ 1 m ` 1 ă 1 n0 ă .
Porém pxnqnPNnão converge em c00. De fato, suponha por absurdo que x “ pxp1q, xp2q, ...q P
c00 seja o limite de pxnqnPN. Então existe um k P N tal que xpiq “ 0, se i ě k. Assim, se
n ą k, }pxnq ´ x} “ sup nPN |xn´ xpnq| ě 1 k, contradizendo o fato de pxnqnPNconvergir para x.
—
Definição 1.114. (Espaço de Hilbert) Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial com pro-duto interno que também é um espaço de Banach com a norma proveniente do propro-duto interno.
Observação 1.115. Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach, mas a reciproca nem sempre é verdadeira.
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Proposição 1.116. Sejam E um espaço de Banach e F um subespaço vetorial de E. Então F é um espaço de Banach, com a norma induzida de E se, e somente se, F é fechado em E.
Prova.
Suponha F Banach e tome pxnqnPN uma sequência em F tal que xn Ñ x em E. Então
pxnqnPNé de Cauchy em F , e portanto convergente, pois F é completo por hipótese. Existe
então y P F tal que xnÑ y. Da unicidade do limite temos x “ y, provando que F é fechado
em E.
Reciprocamente, suponha F fechado em E e seja pxnqnPN uma sequência de Cauchy
em F . Logo pxnqnPN é de Cauchy em E, e portanto existe x P E tal que xn Ñ x. Como F é
fechado resulta que x P F , o que prova que F é completo.
Definição 1.117. (Operador Linear) Um operador linear do espaço normado E no espaço normadoF , ambos sobre o mesmo corpo R, é uma função T : E Ñ F , que é linear, isto é
1. T px ` yq “ T pxq ` T pyq para quaisquer x, y P E; 2. T paxq “ aT pxq para todo a P R e qualquer x em E.
Definição 1.118. (Função Contínua) Dizemos que uma função T : E Ñ F entre espaços normados é contínua, se para todosx0 P E e ą 0 existe δ ą 0 tal que }T pxq ´ T px0q} ă
sempre quex P E e }x ´ x0} ă δ.
Quando um operador linear T entre espaços normados também é uma função contínua, chamamos T de operador linear contínuo ou apenas de morfismo.
O conjunto de todos os operadores lineares contínuos de E em F será denotado por LpE, F q. É claro que LpE, F q é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de funções. Quando F é o corpo dos escalares R, escrevemos E1
no lugar de LpE, Rq, chama-mos esse espaço de dual topologico de E, ou simplesmente dual de E, e dizechama-mos que seus elementos são funcionais lineares continuos.
Seguindo a linha de que os morfismos entre espaços normados são os operadores linea-res contínuos, dizemos que dois espaços normados E e F são topologicamente isomorf os, ou simplesmente isomorf os, se existir um operador linear contínuo bijetor T : E Ñ F cujo operador inverso T´1 : F Ñ E (que é sempre linear) é também contínuo. Tal operador T é
chamado de isomorf ismo topologico, ou simplesmente isomorf ismo.
Uma função f : E Ñ F não necessariamente linear tal que }f pxq} “ }x} para todo x P E é chamada de isometria. Um operador linear T : E Ñ F que é uma isometria é
chamado de isometria linear . Observe que toda isometria linear é injetora, pois dados T pxq e T pyq na imagem tais que T pxq “ T pyq, temos que
0 “ }T pxq ´ T pyq} “ }T px ´ yq} “ }x ´ y},
ou seja, x “ y, e é também contínua, pois para y qualquer no domínio e dado ą 0, podemos tomar δ “ . Assim, se x pertence ao domínio e }x ´ y} ă δ temos
}f pxq ´ f pyq} “ }f px ´ yq} “ }x ´ y} ă δ “ .
Um isomorfismo que é também uma isometria é chamado de isomorfismo isometrico, e nesse caso dizemos que os espaços são isomorfos isometricamente.
Observação 1.119. Claramente quando estivermos calculando a norma }T pxq} de algum elemento da imagem de um operador linear (ou função) entre espaços normados T : E Ñ F , estaremos utilizando a norma do espaço vetorial F , assim como }x} esta representando a norma do espaço E.
—
Proposição 1.120. Sejam E e F espaços vetoriais normados. Se E é de Banach e T : E Ñ F é uma isometria linear, então T pEq é um espaço de Banach.
Prova.
Para verificar que a imagem de um operador (transformação) linear é um espaço veto-rial, basta mostrarmos que ela é fechada para soma e para o produto por escalar pela propo-sição 1.89.
Dados T pxq, T pyq P T pEq, temos que por E ser um espaço vetorial que x ` y P E, ou seja
T pxq ` T pyq “ T px ` yq P T pEq. E para α P R qualquer dado, temos que α ¨ x P E, donde
α ¨ T pxq “ T pα ¨ xq P T pEq.
Seja agora pT punqqnPN uma sequência de Cauchy em T pEq, assim dado ą 0, existe
N P N tal que para todo n ą N e todo m ą N ocorre }T punq ´ T pumq} ă ,
mas como T é uma isometria, segue que
}un´ um} “ }T punq ´ T pumq},
ou seja, para n, m ą N temos que também acontece }un ´ um} ă , daí concluímos que
Como u P E, então T puq P T pEq, assim dado 1 ą 0 conseguimos N1 P N tal que para
n ą N1
}T punq ´ T puq} “ }un´ u} ă 1.
Portanto concluímos que T punq Ñ T puq e segue o resultado.
Definição 1.121. Uma função f : E Ñ F entre espaços normados é:
1. lipschitziana se existe uma constante L ą 0 tal que }f pxq ´ f pyq} ď L ¨ }x ´ y} para todosx, y P E;
2. uniformemente continua se para todo ą 0 existe δ ą 0 tal que }f pxq ´ f pyq} ă sempre quex, y P E e }x ´ y} ă δ.
Sabe-se que para funções entre espaços normados, as implicações
lipschitziana ñ uniformemente contínua ñ contínua ñ contínua em um ponto
são verdadeiras e que, em geral, todas as implicações inversas são falsas. O próximo resul-tado, mostra que todos esses conceitos são equivalentes quando f for um operador linear. Teorema 1.122. Sejam E e F espaços normados sobre R e T : E Ñ F linear. As seguintes condições são equivalentes:
1. T é lipschitziano.
2. T é uniformemente contínuo. 3. T é contínuo.
4. T é contínuo em algum ponto de E. 5. T é contínuo na origem.
6. supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u ă 8.
7. Existe uma constanteC ě 0 tal que }T pxq} ď C}x} para todo x P E. Demonstração.
As implicações 1. ñ 2. ñ 3. ñ 4. são válidas no contexto de espaços normados e não dependem da linearidade de T .
r4. ñ 5.s Suponha T contínuo no ponto x0 P E. Seja ą 0, então existe δ ą 0 tal que
}T pxq ´ T px0q} ă sempre que }x ´ x0} ă δ. Tome x P E tal que }x ´ 0} “ }x} ă δ.
Então }px ` x0q ´ x0} “ }x} ă δ. Portanto
provando que T é contínuo na origem.
r5. ñ 6.s Da continuidade de T na origem existe δ ą 0 tal que }T pxq} ă 1 sempre que }x} ă δ.
Se }x} ď 1, então }δ2 ¨ x} ă δ. Daí, segue que δ 2 ¨ }T pxq} “ } δ 2¨ T pxq} “ }T p δ 2¨ xq} ă 1 ñ }T pxq} ă 2 δ, @x P E com }x} ď 1. Logo, supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u ď 2δ ă 8. r6. ñ 7.s Para x P E, x ‰ 0, temos }T pxq} }x} “ › › › › T ˆ 1 }x}¨ x ˙› › ›
› ď supt}T pyq}; }y} ď 1u,
e portanto }T pxq} ď psupt}T pyq}; }y} ď 1uq ¨ }x} para todo x ‰ 0. Para x “ 0 temos que }T pxq} “ }T p0q} “ 0 ď 0 “ }0} “ psupt}T pyq}; }y} ď 1uq ¨ }x}.
Logo segue o resultado para C ě supt}T pyq}; }y} ď 1u ě 0. r7. ñ 1.s Dados x1, x2 P E,
}T px1q ´ T px2q} “ }T px1´ x2q} ď C}x1´ x2},
e portanto T é lipschitziano com constante C.
˝ Corolário 1.123. Seja T : E Ñ F um operador linear bijetor entre espaços normados. EntãoT é um isomorfismo se, e somente, se existem constantes C1, C2 ą 0 tais que C1}x} ď
}T pxq} ď C2}x} para todo x P E.
Prova.
Suponha inicialmente que T é um isomorfismo, então pela condição 7. do teorema anterior garantimosC2 ą 0 tal que }T pxq} ď C2}x} para todo x P E.
De maneira análoga, comoT´1 também é contínuo, podemos encontrar C
1 ą 0 tal
que }T´1pyq} ď 1
C1}y} para todo y P F . Como para cada y P F podemos encontrar único
x P E tal que T pxq “ y, pela hipótese de T ser bijetor, temos que }T´1pyq} ď 1
C1
}y}, @y P F ñ }x} ď 1
C1
}T pxq}, @x P E.
Assim pela continuidade deT temos }T pxq} ď C2}x}, e pela continuidade de T´1 obtemos
}x} ď C1
1}T pxq}, ou seja,
Considere agora a desigualdadeC1}x} ď }T pxq} ď C2}x}, @x P E. A desigualdade
}T pxq} ď C2}x}, @x P E nos garante a continuidade de T pelo teorema anterior. Podemos
sempre encontrar únicoy P F tal que T´1pyq “ x para cada x P E, daí pela desigualdade
C1}x} ď }T pxq}, @x P E e pela hipótese de T ser sobrejetor, temos que C1}T´1pyq} ď }y}
para todoy P F , ou seja, }T´1pyq} ď 1
C1}y}, @y P F . Logo, novamente pelo Teorema 1.122
temos queT´1 é contínuo e o resultado segue.
Observação 1.124. Da condição 6. do Teorema 1.122 segue que os operadores lineares con-tínuos são exatamente aqueles que transformam conjuntos limitados no domínio em conjun-tos limitados no contradomínio. Por isso os operadores lineares contínuos são muitas vezes chamados de operadores lineares limitados. Apesar de ser uma terminologia amplamente difundida, não a adotaremos por ser inconsistente com a noção de função limitada. Uma função é limitada se sua imagem é limitada; aqui um operador é limitado se transforma con-juntos limitados em concon-juntos limitados. Para evitar ambiguidade seguiremos com o termo operador linear contínuo e com a noção de função limitada como aquela que tem imagem limitada.
—
Por outro lado, a mesma condição 6. nos ensina como definir uma norma no espaço LpE, F q dos operadores lineares contínuos de E em F :
Proposição 1.125. Sejam E e F espaços normados. 1. A expressão
}T } “ supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u define uma norma no espaçoLpE, F q.
2. }T pxq} ď }T } ¨ }x} para todos T P LpE, F q e x P E. 3. SeF for Banach, então LpE, F q também é Banach.
Prova.
1. (a) Temos que sempre acontece
0 ď }T pxq} ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ }T }, @T P LpE, F q, pois qualquer que seja T , temos que T pEq Ă F e F é normado, o que nos mostra que
}T } ě 0. (b) Se tivermos que }T } “ 0, então segue que
0 ď › › › › T ˆ 1 }x}¨ x ˙› › › ›ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u, @x P E,
e usando o fato de T ser linear chegamos em
0 ď }T pxq} ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u¨}x} “ }T }¨}x} “ 0¨}x} “ 0, @x P E, ou seja, T pxq “ 0 para todo x P E, donde T “ 0.
Reciprocamente, se T “ 0, então temos que T pxq “ 0 @x P E. Daí como }0} “ 0 em F , temos
}T } “ supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ supt}0}u “ 0, de onde segue o resultado.
(c) Dado T P LpE, F q e α P R temos que
}αT } “ supt}αT pxq}; x P E e }x} ď 1u “ supt|α| ¨ }T pxq}; x P E e }x} ď 1u. Como |α| ě 0 temos que supt|α|¨}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ |α| supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u, assim obtemos
}αT } “ supt|α|¨}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ |α| supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ |α|¨}T }. (d) Dados T, P P LpE, F q, temos que para todo x P E ocorre o seguinte
}T pxq ` P pxq} ď }T pxq} ` }P pxq},
pelo fato de F ser normado. Desse modo para todo x em E chegamos em }T pxq ` P pxq} ď supt}T pxq} ` }P pxq}; x P E e }x} ď 1u
ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u ` supt}P pxq}; x P E e }x} ď 1u “ }T } ` }P }.
Da última desigualdade concluímos que
}T ` P } “ supt}T pxq ` P pxq}; x P E e }x} ď 1u ď }T } ` }P }. Portanto a expressão em 1. define de fato uma norma em LpE, F q.
2. Temos que para todo x P E com x ‰ 0, o vetor }x}1 ¨ x tem norma igual a 1, e assim vale a desigualdade › › › › T ˆ 1 }x} ¨ x ˙› › › ›ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ }T }.
Usando a nossa hipótese de que T é linear, temos que › › › › T ˆ 1 }x}¨ x ˙› › › › “ 1 }x} ¨ T pxq} “ 1 }x}¨ }T pxq}, @x P E.
