Definição 1.127. (Relação de Equivalência) Dizemos que ∼ é uma relação de equivalência emV ‰ ∅ se satisfaz:
2. Dadosu, v P V , se u ∼ v então v ∼ u;
3. Dadosu, v, w P V , se u ∼ v e v ∼ w, então u ∼ w.
Exemplo 1.128. A igualdade "=" é uma relação de equivalência em qualquer conjunto não vazio A Ă R.
—
Definição 1.129. (Classe de Equivalência) Sejam V ‰ ∅ e ∼ uma relação de equivalência emV .
Dadou P V , o conjunto
rus “ tx P V ; x ∼ uu
é denominado classe de equivalência, cujo representante éu P V .
Observação 1.130. Note que sempre temos rus ‰ ∅, pois pelo menos u P rus. —
Proposição 1.131. Seja V não vazio e ∼ uma relação de equivalência em V , então dados u, v P V sempre temos:
1. rus “ rvs se, e somente se, u ∼ v; 2. Se rus ‰ rvs então rus X rvs “ ∅;
3. V “Ť
uPVrus.
Prova.
1. ñq Como pela observação 1.130 temos que u P rus, segue que u P rvs, onde pela definição 1.129 concluímos que u ∼ v.
ðq Tomemos x P rus, disso temos que x ∼ u, e como ja temos u ∼ v, pelo item 3. da definição de relação de equivalência concluímos que x ∼ v, ou seja, x P rvs. Portanto rus Ă rvs.
Reciprocamente, como ∼ é uma relação de equivalência, temos que v ∼ u pelo item 2. da definição 1.127. Desse modo chegamos em rvs Ă rus e portanto rus “ rvs; 2. Suponhamos que vale rus ‰ rvs, mas que rus X rvs ‰ ∅. Assim como rus X rvs ‰ ∅,
existe x P rus X rvs onde x ∼ u e x ∼ v, logo pelo item 2. da definição de relação de equivalência obtemos u ∼ x, e pelo item 3. chegamos em u ∼ v, o que é uma contradição, pois pelo item anterior teríamos rus “ rvs. Portanto rus X rvs “ ∅;
3. A inclusão ŤuPVrus Ă V é trivial, pois para todo u P V temos que rus Ă V por definição.
Tomemos agora x P V , daí temos que x P rxs Ă ŤuPVrus e assim V Ă ŤuPVrus de onde segue o resultado.
Observação 1.132. A proposição anterior nos mostra que uma classe de equivalência inde- pende do representante tomado em V .
—
Definição 1.133. (Conjunto Quociente) Seja V ‰ ∅ munido da relação de equivalência ∼. O conjunto
V { ∼“ trus; u P V u, é denominado conjunto quociente.
Observação 1.134. A Proposição 1.131 garante que V { ∼ é uma partição de V , ou seja, V { ∼ é um subconjunto do conjunto das partes de V que satisfaz as propriedade 2. e 3. de 1.131.
Capítulo 2
Teoria da medida
A noção matemática de medida pretende representar conceitos como comprimento, área, volume, massa, carga elétrica, etc., do mundo físico. Os objetos a serem medidos são representados por conjuntos e uma medida é uma função aditiva de conjuntos, ou seja, o valor que atribui à união de dois conjuntos disjuntos é a soma dos valores que atribui a cada um dos conjuntos.
Exemplos concretos de medidas e de métodos para calcular a medida de conjuntos específicos são tão antigos quanto a história registrada. A teoria foi introduzida pela primeira vez pelos gregos antigos como parte do desenvolvimento de um sistema numérico. Uma teoria mais sistemática apareceu na forma de integração no cálculo de Newton e Leibniz, na segunda metade do século XVII. Nesta teoria o gráfico de uma função f é usado para descrever a fronteira de um conjunto cuja medida é a integral de f . O teorema fundamental do cálculo estabeleceu a conexão entre a integral e a derivada, ou seja, da área com a taxa de variação, e forneceu uma nova e poderosa ferramenta para a computação e o estudo das propriedades de medidas.
No século XIX, motivado em grande parte pelo trabalho de Fourier sobre a teoria do calor que exigia a integração de expressões mais complicadas do que as até então conside- radas, foi levado a cabo um programa para reexaminar as noções de função, continuidade, integral e derivadas. Tal tarefa foi empreendida por alguns dos principais matemáticos da época. Isso levou a uma definição geral de integral por Riemann no meio do século, mas também gerou a percepção de que o teorema fundamental do cálculo, bem como outros te- oremas extensivamente usados no intercâmbio da ordem de integração com as operações limite não eram válidos, sem inúmeras hipóteses. Esse estudo levou também ao interesse por conjuntos muito mais complicados do que os que já haviam sido considerados, conjun- tos estes que não eram descritos por condições geométricas ou físicas intuitivas, mas sim indiretamente por expressões analíticas. Por exemplo, o conjunto de todos os pontos em que alguma função dada é descontínua nesses pontos.
Como resultado, da generalidade das funções e conjuntos que agora precisavam ser incluídos, a teoria da medida ou a integração já não tinham a simplicidade e facilidade de
aplicação que prevalecia na definição mais elementar do passado. O trabalho nesta área, na segunda metade do século, estava preocupado principalmente com a busca de uma noção mais adequada de medida e integral, que renderia teoremas mais simples e mais poderosos.
Foi apenas nos últimos anos do século XIX que Emile Borel, finalmente, introduziu uma noção de medida na reta real, o que levaria a uma das teorias mais belas e mais ampla- mente utilizada na matemática. O desenvolvimento desta teoria, principalmente por Henri Lebesgue nos estágios iniciais, e suas aplicações subsequentes para quase todos os ramos de análise e às principais áreas da física constituem uma das partes mais importantes da história da matemática no século XX.
2.1
Um Problema Clássico da Medida
Vamos inicialmente examinar uma problema clássico na teoria da medida, que consiste em construir uma medida definida em subconjuntos da reta que tenha valores positivos. Tal medida tem como objetivo expressar um valor que pode ser associado ao comprimento de um conjunto, e para isso é importante que se tenha algumas propriedades comuns para funções que medem comprimento.
Definição 2.1. O comprimento lpIq de um intervalo da reta real é definido, usualmente como o módulo da diferença entre os extremos do intervalo.
Exemplo 2.2. O comprimento dos intervalos I1 “ pa, bq, I2 “ pa, bs, I3 “ ra, bq e I4 “ ra, bs
é dado por lpIiq “ b ´ a, i “ 1, 2, 3, 4.
—
Observação 2.3. Os intervalos que tem como extremos números reais são chamados de intervalos finitos, já os intervalos que se estendem indefinidamente em pelo menos uma direção são chamados de interválos infinitos.
—
Observação 2.4. O comprimento é uma função bem definida dos intervalos da reta nos números reais, ou seja, para cada intervalo, existe e é único o número real associado.
—
Pretendemos estender a noção de comprimento para conjuntos mais complicados do que o conjunto dos intervalos. Por exemplo, definindo o comprimento de um conjunto aberto como a soma do comprimento de todos os intervalos que constituem esse conjunto, assim como o comprimento de um conjunto fechado. Gostaríamos de definir uma função µ para a maior coleção possível de subconjuntos dos números, que associe cada subconjunto a um número real estendido não negativo, onde µpAq é a medida do conjunto A. Idealmente, espera-se que tal função tenha as seguinte propriedades:
P1. µpAq esteja definida para todo A P PpRq; P2. Para todo intervalo I, temos que µpIq “ lpIq;
P3. Se pAiqiě1é uma família enumerável de conjuntos disjuntos, isto é,
AiX Aj “ ∅
com i ‰ j, então a medida de A “ Ťiě1Ai tem que ser igual a soma das medidas de
cada Ai, ou seja
µpAq “ÿ
iě1
µpAiq.
Quando pAiqiě1satisfaz as condições acima, por questão de notação denotaremos
ď iě1 Ai “ ÿ iě1 Ai.
Daí teremos que
µ ˜ ÿ iě1 Ai ¸ “ ÿ iě1 µpAiq.
O que é uma propriedade bastante natural que esperamos de uma medida;
P4. Dado um conjunto A e x P R, define-se como translação do conjunto A pelo número x o conjunto Ax “ ta ` x; a P Au. É natural esperar que ambos os conjuntos tenham
a mesma medida, isto é
µpAxq “ µpAq.
Entretanto não é possível definir uma função µ : PpRq Ñ r0, `8s que satisfaça todas essas quatro propriedades simultaneamente, e não se sabe se existe uma função bem definida que satisfaça as três primeiras propriedades.
Nosso objetivo é mostrar que tal função µ não existe. Antes disso, observamos algumas consequências simples das Propriedades P2. e P3. listadas acima.
Lema 2.5. Se uma função µ : PpRq Ñ r0, `8s satisfaz as Propriedades P2. e P3. listadas acima, entãoµ também satisfaz as seguintes propriedades:
1. µp∅q “ 0;
2. SeA Ă B Ă R, então µpAq ě µpBq. Prova.
1. Basta tomar ∅ “ pa, aq com a P R, assim
2. Basta observar que B “ A Y pB X AAq, e assim pela propriedade P3. chegamos em
µpBq “ µpA Y pB X AA
qq “ µpAq ` µpB X AAq. Como µpB X AA
q ě 0, temos que µpBq ě µpAq e segue o resultado.
Proposição 2.6. Não existe uma função µ : PpRq Ñ r0, `8s satisfazendo as propriedades P1., P2., P3. e P4. acima.
Prova.
Considere a relação binária ∼ definida no intervalo [0,1] dada por x ∼ y ô x ´ y P Q,
para todos x, y P r0, 1s. É fácil verificar que ∼ é uma relação de equivalência em [0,1], pois dados x, y, z P r0, 1s, temos que
1. x ´ x “ 0 P Q, ou seja, x ∼ x;
2. Se x ∼ y, então x ´ y P Q. Mas como ´1 ¨ px ´ yq ainda continua sendo um número racional, temos que y ´ x P Q e assim y ∼ x;
3. Se x ∼ y e y ∼ z, então x ´ y P Q e y ´ z P Q. Somando os dois números racionais px ´ yq e py ´ zq, obtemos
px ´ yq ` py ´ zq “ x ´ y ` y ´ z “ x ´ z P Q, ou seja x ∼ z.
Seja A Ă r0, 1s um conjunto escolha, isto é, A possui exatamente um elemento de cada classe de equivalência de ∼. Temos então que x ´ y R Q para todos x, y P A com x ‰ y. Em particular os conjuntos pA`qqqPQsão dois a dois disjuntos, pois dado r P pA`q1qXpA`q2q,
então
r “ a1` q1 “ a2` q2
com a1, a2 P A, assim
a1´ a2 “ q2´ q1 P Q
o que implica em a1 “ a2, pois a1 e a2 pertencem a mesma classe de equivalência, conse-
quentemente q1 “ q2. Note também que dado x P r0, 1s, existe y P A tal que x ´ y P Q,
na verdade, temos que x ´ y P Q X r´1, 1s, já que x, y P r0, 1s. Daí resulta que existe q P Q X r´1, 1s tal que
x “ y ` q P pA ` qq, ou seja, r0, 1s ĂřqPQXr´1,1spA ` qq pela arbitrariedade de x.
Dado agora x P řqPQXr´1,1spA ` qq, temos que existem ax P A e qx P Q X r´1, 1s tais
que x “ ax` qx. Como 0 ď ax ď 1 e ´1 ď qx ď 1, segue que 0 ` p´1q ď ax` qx ď 1 ` 1,
ou seja, ´1 ď x ď 2. Portanto x P r´1, 2s, e como x foi tomado arbitrário, temos que ř
qPQXr´1,1spA ` qq Ă r´1, 2s. Segue então que
r0, 1s Ă ÿ
qPQXr´1,1s
pA ` qq Ă r´1, 2s.
Como Q X r´1, 1s é enumerável, as propriedades P3., P4. e do Lema 2.5 implicam em
µpr0, 1sq ď ÿ
qPQXr´1,1s
µpA ` qq “ ÿ
qPQXr´1,1s
µpAq ď µpr´1, 2sq.
Agora se µpAq “ 0 concluímos que µpr0, 1sq “ 0, contradizendo a propriedade P2., e se µpAq ą 0 chegamos que µpr´1, 2sq “ `8, também contradizendo a propriedade P2. .