Nesta seção iremos definir o que é um espaço vetorial, relação de equivalência, classe de equivalência , conjunto quociente, norma e espaço normado, pois esses conceitos serão necessários para o nosso estudo adiante.
Definição 1.77. (Operação Binária) Sejam A, B e C conjuntos não vazios. Uma operação binária deA ˆ B em C é uma função
f :A ˆ B Ñ C
pa, bq ÞÑ fpa, bq “ a f b.
Definição 1.78. (Operação interna) Seja V ‰ ∅. Uma operação interna em V é uma função
˚ :V ˆ V Ñ V
pa, bq ÞÑ ˚pa, bq “ a ˚ b.
Exemplo 1.79. A soma e o produto usual dos números reais são operações internas em R. —
Definição 1.80. (Espaço Vetorial) Seja V um conjunto qualquer diferente do vazio onde esteja bem definida uma operação interna ‘ : V ˆ V Ñ V chamada de soma, e a operação binária f : K ˆ V Ñ V , chamada de produto. Dizemos que pV, ‘, f, Kq, onde K “ R ou K “ C, é um espaço vetorial sobre o corpo K se satisfaz as seguintes propriedades:
1. pu ‘ vq ‘ w “ u ‘ pv ‘ wq para cada u, v e w em V ; 2. Existe0V P V , tal que, para cada v P V , v ‘ 0V “ 0V ‘ v;
3. Para cadav P V , existe v1
P V tal que v ‘ v1 “ 0V;
4. Para cadav, u P V , u ‘ v “ v ‘ u;
5. Para cadaa, b P R e cada v P V , a f pb f vq “ pa ¨ bq f v; 6. 1 f v “ v, @v P V ;
7. Para cadaa P R e cada u, v P V , a f pu ‘ vq “ a f u ‘ a f v; 8. Para cadaa, b P R e cada v P V , pa ` bq f v “ a f v ‘ b f v.
Observação 1.81. Ao invés de chamarmos a quadra pV, ‘, f, Kq de espaço vetorial, diremos apenas que V é um espaço vetorial quando não houver confusão.
Observação 1.82. O elemento v1 do item 2. é chamada de oposto aditivo de v e é denotado
como ´v. Por questões de notação escreveremos w´v para referir a w‘p´vq. Esse elemento oposto é sempre único, não iremos provar pois não é tão complicado e a demonstração é semelhante ao item 1. da proposição 1.85 .
—
Exemplo 1.83. Os conjunto numéricos R, C são espaços vetoriais sobre R. —
Exemplo 1.84. O conjunto das funções f : A Ñ R onde A Ă R, é um espaço vetorial sobre R com as operações pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq e pa ¨ f qpxq “ a ¨ f pxq.
—
Proposição 1.85. Seja V um espaço vetorial, então as seguinte propriedades são válidas: 1. O elemento0V do item 2. da definição de espaço vetorial é único;
2. Sev P V , então 0 f v “ 0V;
3. Sea P K, então a f 0V “ 0V;
4. Sev P V , então p´1q f v “ ´v;
5. Sea P K e v P V , então a f p´vq “ ´pa f vq. Prova.
1. Suponhamos que exista 01
V P V que satisfaz a condição 2. da definição 1.80, assim
temos
01
V “ 0V ‘ 01V “ 0V;
2. Pelos itens 3. e 8. da definição de espaço vetorial e pela observação 1.82 temos, 0 f v “ p0 ` 0q f v “ 0 f v ‘ 0 f v.
Como pelo item 1. o elemento neutro é único, temos que 0 f v “ 0V e seguem o
resultado;
3. Note que dado v P V temos pelo item 7. que
a f v ‘ a f 0V “ a f pv ‘ 0Vq “ a f v,
4. Pela observação 1.82 e pelos itens 6. e 8. de espaço vetorial temos,
p´1q f v ‘ v “ p´1q f v ‘ 1 f v “ p´1 ` 1q f v “ 0 f v “ 0V;
5. Pelo item 7. e pela observação 1.82 temos,
a f p´vq ‘ a f v “ a f p´v ‘ vq “ a f 0V “ 0V.
Definição 1.86. Seja W um subconjunto diferente do vazio de um espaço vetorial V . W é denominado subespaço vetorial deV se W também é um espaço vetorial.
Observação 1.87. Na definição acima consideramos o mesmo corpo do espaço vetorial V e também as mesmas operações de soma e produto de V . Como W também é um espaço vetorial, então também deve satisfazer as 8 propriedades da Definição 1.80. Veremos a seguir uma condição suficiente para que um subconjunto de um espaço vetorial seja um subespaço vetorial.
—
Exemplo 1.88. R é um subespaço vetorial de C. —
Proposição 1.89. Para que o subconjunto W ‰ ∅ de um espaço vetorial V seja um sub- espaço vetorial, é suficiente mostrar queW é fechado para soma e produto por escalar, ou seja, quando dadosv, w P W quaisquer e a P R tenhamos
v ‘ w P W e a f v P W. Prova.
Suponhamos que sempre temos v ‘ w P W e a f v P W para quaisquer v, w P W e a P R. Assim,
1. Segue que dados u, v, w P W , temos que u, v, w P V e assim pu ‘ vq ‘ w “ u ‘ pv ‘ wq;
2. Tomemos 0 P R e w P W , assim 0W “ 0 f w “ 0V pela proposição 1.85, pois se
w P W , então w P V , onde
v ‘ 0W “ v ‘ 0V “ v;
3. Dado w P W , tomemos ´1 P R, logo pela proposição 1.85 p´1q f w “ ´w P W , onde concluímos que
Os demais itens são claramente satisfeitos, pois dado qualquer w pertencente a W , temos que w P V , pois W Ă V e assim como V é espaço vetorial segue os itens. Portanto W é um subespaço vetorial de V como queríamos.
Exemplo 1.90. O conjunto das funções contínuas é um subespaço vetorial do conjunto das funções, pois a soma de duas funções contínuas ainda é uma função contínua assim como o produto de um escalar por uma função contínua.
—
Definição 1.91. Seja E um espaço vetorial. Se F e G são subespaços de E, podemos definir a soma deF com G por
F ` G “ tf ‘ g; f P F e g P Gu.
Ainda podemos definir a interseção deF por G como sendo o conjunto F X G “ tu P E; u P F e u P Gu.
Observação 1.92. Claramente na definição acima podemos notar que F X G ainda é um subconjunto de E, e F ` G consiste de somas de elementos de E, que por sua vez é fechado com relação a soma, ou seja, F ` G Ă E.
—
Proposição 1.93. Os subconjuntos F ` G e F X G do espaço vetorial E vistos na definição 1.91 são subespaços vetoriais.
Prova.
Como na observação 1.92 vimos que F ` G Ă E e F X G Ă E, basta verificarmos que ambos os conjuntos são fechados para soma e para o produto por escalar pela proposição 1.89.
1. Dados x, y P F ` G e α P R, existem f1, f2 P F , g1, g2 P G tais que x “ f1 ‘ g1 e
y “ f2‘ g2.
(a) Assim temos que
x ‘ y “ pf1‘ g1q ‘ pf2‘ g2q “ f1‘ pg1‘ pf2‘ g2qq “ f1‘ ppg1‘ f2q ‘ g2q “ f1‘ ppf2‘ g1q ‘ g2q “ f1‘ pf1‘ pg1‘ g2qq “ pf1‘ f2q ‘ pg1‘ g2q
pelo fato de f1, f2, g1, g2 P E e valer a associatividade e a comutatividade da
soma. Daí como F e G são subespaços de E, segue que f1‘f2 P F e g1‘g2 P G.
(b) Pela distributividade em E temos
α f x “ α f pf1‘ g1q “ α f f1‘ α f g1.
Como α f f1 P F e α f G1 P G por F e G serem subespaços vetoriais de E,
segue que α f x P F ` G.
2. Dados f, g P F X G e α P R, temos que f, g P F e f, g P G, donde f ‘ g P F e f ‘ g P G, ou seja, f ‘ g P F X G. Do mesmo modo segue que α f f P F e α f f P G, e assim α f f P F X G.
Observação 1.94. Por questão de simplificação da notação, escrevemos apenas 0 para re- presentar o elemento neutro da soma 0V do espaço vetorial real V .
—
Definição 1.95. (Produto Interno) Seja V um espaço vetorial sobre R. Para todos os vetores u, v, w P V e a P R, uma operação binária
h¨, ¨i : V ˆ V Ñ R
é chamada de produto interno se satisfaz as seguintes propriedades: 1. hv, vi ě 0 e hv, vi “ 0 se, e somente se v “ 0;
2. hu, vi “ hv, ui
3. hu ‘ v, wi “ hu, wi ` hv, wi; 4. ha f u, vi “ a ¨ hu, vi.
Observação 1.96. A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências: hu, v ‘ wi “ hu, vi ` hu, wi e hu, a f vi “ a ¨ hu, vi, para quaisquer u, v, w P V e a P R.
—
Exemplo 1.97. O produto escalar sobre o espaço vetorial R3 dado por hpx1, x2, x3q, py1, y2, y3qi “ x1¨ y1` x2¨ y2` x3¨ yy
é um produto interno. —
Definição 1.98. (Norma) Seja V um espaço vetorial real, então a função } ¨ } : V Ñ R é chamada de norma se satisfaz as seguintes condições:
2. }u} “ 0 se, e somente se u “ 0; 3. }a f u} “ |a| ¨ }u}, @a P R e @u P V ; 4. }u ‘ v} ď }u} ` }v}, @u, v P V.
Proposição 1.99. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sendo h¨, ¨i : V ˆV Ñ R um produto interno, definimos
}v} “ahv, vi. Desse modo é valida a desigualdade
| hv, wi | ď }v} ¨ }w}, @v, w P V. Prova.
Para v “ 0, temos pela Proposição 1.85 que h0, wi “ h0 f w, wi
“ 0 ¨ hw, wi “ 0,
e pela propriedade 1. de produto interno h0, 0i “ 0, ou seja, }0} “ 0. Logo 0 “ | h0, wi | ď }0} ¨ }w} “ 0.
Seja agora v ‰ 0. Tomando α “ hv,wi}v}2 , observe que u “ w ´ α f v é perpendicular a
v, isto é hu, vi “ hw ´ α f v, vi “ hw, vi ´ α ¨ hv, vi “ hw, vi ´ hv, wi }v}2 ¨ hv, vi “ hw, vi ´ hv, wi “ 0.
Calculando o produto interno de w “ u ‘ α f v por si mesmo, obtemos então }w}2 “ hw, wi “ hu ‘ α f v, u ‘ α f vi
“ hu ‘ α f v, ui ` hu ‘ α f v, α f vi
“ hu, ui ` α ¨ hv, ui ` α ¨ hu, vi ` α ¨ α ¨ hv, vi “ }u}2` 2α hv, ui ` α2¨ }v}2
“ }u}2` 2α ¨ 0 ` α2¨ }v} “ }u}2 ` α2 ¨ }v}2, donde α2 ¨ }v}2 ď }w}2. Ora, α2 ¨ }v}2 “ hv,wi
2
}v}2 . Logo hv, wi 2
ď }v}2 ¨ }w}2, o que nos fornece a desigualdade buscada.
Proposição 1.100. Seja V um espaço vetorial. Se h¨, ¨i : V ˆ V Ñ R é um produto interno, então }v} “ahv, vi define uma norma em V .
Prova.
1. Como hv, vi ě 0 para todo v P V , segue que }v} “ahv, vi ě 0, @v P V .
2. Temos que }v} “ahv, vi “ 0 se, e somente se, hv, vi “ 0. Logo como h¨, ¨i é um P.I (produto interno), segue que
hv, vi “ 0 ðñ v “ 0.
3. Calculemos }α f v} usando a propriedade 4. da definição de produto interno, assim }α f v} “ahα f v, α f vi
“aα ¨ hv, α f vi “aα ¨ α ¨ hv, vi
“aα2¨ hv, vi “ |α| ¨ahv, wi “ |α| ¨ }v}.
4. Façamos o cálculo de }u ‘ v}2, desse modo temos
}u ‘ v}2 “ hu ‘ v, u ‘ vi
“ hu ‘ v, ui ` hu ‘ v, vi
“ hu, ui ` hv, ui ` hu, vi ` hv, vi “ }u}2` 2 ¨ hv, ui ` }v}2.
Logo pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que
}u}2` 2 ¨ hv, ui ` }v}2 ď }u}2` 2 ¨ }v} ¨ }u} ` }v}2 “ p}u} ` }v}q2,
onde concluímos que }u ‘ v}2 ď p}u} ` }v}q2, ou seja, }u ‘ v} ď }u} ` }v} como queríamos. Observação 1.101. Como a seguir vamos estar estudando as propriedade de uma transfor- mação linear e estaremos trabalhando com dois espaços vetoriais, usaremos a notação para soma de dois vetores como o ” ` ” dos números reais assim como para o produto por escalar estaremos usando ” ¨ ”. Estamos convencionando isso para todos os espaços vetoriais que serão apresentados a seguir por questão de simplificação da notação. Logo cabe ao leitor identificar quais operações estão sendo usadas e de qual espaço.
—
Definição 1.102. (Espaço Normado) Chama-se de espaço normado um par pV, } ¨ }q, onde V é um espaço vetorial e } ¨ } é uma norma definida em V .
Observação 1.103. Quando não houver dúvidas sobre qual norma estamos tomando no es- paço vetorial V , chamaremos apenas V de espaço normado.
—
Definição 1.104. (Sequência Convergente) Diz-se que uma sequência punqnPN em um es-
paço normado converge para um elemento u no espaço, se para todo ą 0 for possível encontrarn0 P N tal que, para todo n ą n0 tenhamos
}u ´ un} ă .
Seunconverge parau, escrevemos u “ lim unouun Ñ u.
Proposição 1.105. Uma sequência não pode convergir para dois limites diferentes. Prova.
Seja punqnPN uma sequência num espaço normado E, e seja v, w P E tais que v “
lim un e w “ lim un. Pela definição de limite dado arbitrariamente ą 0, conseguimos
n0, n1 P N tal que
}v ´ un} ă , @n ą n0 e }w ´ un} ă , @n ą n1.
Tomemos agora m “ maxtn0, n1u. Usando a desigualdade triangular e as propriedades de
espaço vetorial, chegamos em
}v ´ w} “ }v ´ un` un´ w} ď }v ´ un} ` }w ´ un} ă 2, @n ą m,
de onde segue que
0 ď }v ´ w} ă 2, @ ą 0. Consequentemente }v ´ w} “ 0, e portanto v “ w.
Definição 1.106. (Conjunto Fechado) Dizemos que um subconjunto F Ď E é fechado, se ele contêm todos os pontos deE que são limites de sequências em F , e denotamos o conjunto de todos esses pontos porF chamado o fecho de F . Claramente sempre temos que acontece F Ă F , pois todo ponto de F é limite da sequência onde todos os termos são iguais ao próprio ponto.
Exemplo 1.107. O fecho de qualquer intervalo pa, bq com a ă b é igual a ra, bs, ou seja, pa, bq “ ra, bs.
—
Definição 1.108. (Subconjunto Denso) Dizemos que um subconjunto F do espaço normado E é denso quando seu fecho é igual a E, ou seja
F “ E.
Exemplo 1.109. O conjunto dos números racionais assim como o conjunto dos números irracionais são densos em R.
—
Definição 1.110. (Sequência de Cauchy) Dizemos que uma sequência punqnPN em um es-
paço normado é uma sequência de Cauchy, se para cada ą 0, existe N ą 0 tal que para todon ą N e todo m ą N tenhamos
}un´ um} ă .
Definição 1.111. (Espaço de Banach) Um espaço normado é chamado completo se toda sequência de Cauchy converge no espaço, ou seja, se para cada sequência de Cauchy punqnPN no espaço existir um elementou também no espaço, tal que un Ñ u. Um espaço
normado completo é denominado espaço de Banach.
Exemplo 1.112. O conjunto dos números reais é um espaço de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.
—
Exemplo 1.113. (Um espaço normado que não é Banach) Seja c00o espaço das sequências
quase nulas. Ou seja, uma sequência pertence a c00 se possui apenas zeros a partir de um
certo índice. Mostraremos que c00 não é um espaço de Banach com a norma do supremo
}pxnq ´ pynq} “ supnPN|xn´ yn|. Para Tanto, devemos exibir uma sequência de Cauchy em
c00que não converge.
Considere a sequência (de sequências quase nulas) pxnqnPNdefinida por
xn“ p1,
1 2, ...,
1
n, 0, 0, ...q, @n P N.
Note que pxnqnPN é de Cauchy, pois dado ą 0, existe n0 P N com n0 ą 1. Assim, se
n ą m ą n0, }xn´ xm} “ }p0, 0, ..., 1 m ` 1, 1 m ` 2, ..., 1 n, 0, 0, ...q} “ 1 m ` 1 ă 1 n0 ă .
Porém pxnqnPNnão converge em c00. De fato, suponha por absurdo que x “ pxp1q, xp2q, ...q P
c00 seja o limite de pxnqnPN. Então existe um k P N tal que xpiq “ 0, se i ě k. Assim, se
n ą k, }pxnq ´ x} “ sup nPN |xn´ xpnq| ě 1 k, contradizendo o fato de pxnqnPNconvergir para x.
—
Definição 1.114. (Espaço de Hilbert) Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial com pro- duto interno que também é um espaço de Banach com a norma proveniente do produto interno.
Observação 1.115. Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach, mas a reciproca nem sempre é verdadeira.
—
Proposição 1.116. Sejam E um espaço de Banach e F um subespaço vetorial de E. Então F é um espaço de Banach, com a norma induzida de E se, e somente se, F é fechado em E.
Prova.
Suponha F Banach e tome pxnqnPN uma sequência em F tal que xn Ñ x em E. Então
pxnqnPNé de Cauchy em F , e portanto convergente, pois F é completo por hipótese. Existe
então y P F tal que xnÑ y. Da unicidade do limite temos x “ y, provando que F é fechado
em E.
Reciprocamente, suponha F fechado em E e seja pxnqnPN uma sequência de Cauchy
em F . Logo pxnqnPN é de Cauchy em E, e portanto existe x P E tal que xn Ñ x. Como F é
fechado resulta que x P F , o que prova que F é completo.
Definição 1.117. (Operador Linear) Um operador linear do espaço normado E no espaço normadoF , ambos sobre o mesmo corpo R, é uma função T : E Ñ F , que é linear, isto é
1. T px ` yq “ T pxq ` T pyq para quaisquer x, y P E; 2. T paxq “ aT pxq para todo a P R e qualquer x em E.
Definição 1.118. (Função Contínua) Dizemos que uma função T : E Ñ F entre espaços normados é contínua, se para todosx0 P E e ą 0 existe δ ą 0 tal que }T pxq ´ T px0q} ă
sempre quex P E e }x ´ x0} ă δ.
Quando um operador linear T entre espaços normados também é uma função contínua, chamamos T de operador linear contínuo ou apenas de morfismo.
O conjunto de todos os operadores lineares contínuos de E em F será denotado por LpE, F q. É claro que LpE, F q é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de funções. Quando F é o corpo dos escalares R, escrevemos E1
no lugar de LpE, Rq, chama- mos esse espaço de dual topologico de E, ou simplesmente dual de E, e dizemos que seus elementos são funcionais lineares continuos.
Seguindo a linha de que os morfismos entre espaços normados são os operadores linea- res contínuos, dizemos que dois espaços normados E e F são topologicamente isomorf os, ou simplesmente isomorf os, se existir um operador linear contínuo bijetor T : E Ñ F cujo operador inverso T´1 : F Ñ E (que é sempre linear) é também contínuo. Tal operador T é
chamado de isomorf ismo topologico, ou simplesmente isomorf ismo.
Uma função f : E Ñ F não necessariamente linear tal que }f pxq} “ }x} para todo x P E é chamada de isometria. Um operador linear T : E Ñ F que é uma isometria é
chamado de isometria linear . Observe que toda isometria linear é injetora, pois dados T pxq e T pyq na imagem tais que T pxq “ T pyq, temos que
0 “ }T pxq ´ T pyq} “ }T px ´ yq} “ }x ´ y},
ou seja, x “ y, e é também contínua, pois para y qualquer no domínio e dado ą 0, podemos tomar δ “ . Assim, se x pertence ao domínio e }x ´ y} ă δ temos
}f pxq ´ f pyq} “ }f px ´ yq} “ }x ´ y} ă δ “ .
Um isomorfismo que é também uma isometria é chamado de isomorfismo isometrico, e nesse caso dizemos que os espaços são isomorfos isometricamente.
Observação 1.119. Claramente quando estivermos calculando a norma }T pxq} de algum elemento da imagem de um operador linear (ou função) entre espaços normados T : E Ñ F , estaremos utilizando a norma do espaço vetorial F , assim como }x} esta representando a norma do espaço E.
—
Proposição 1.120. Sejam E e F espaços vetoriais normados. Se E é de Banach e T : E Ñ F é uma isometria linear, então T pEq é um espaço de Banach.
Prova.
Para verificar que a imagem de um operador (transformação) linear é um espaço veto- rial, basta mostrarmos que ela é fechada para soma e para o produto por escalar pela propo- sição 1.89.
Dados T pxq, T pyq P T pEq, temos que por E ser um espaço vetorial que x ` y P E, ou seja
T pxq ` T pyq “ T px ` yq P T pEq. E para α P R qualquer dado, temos que α ¨ x P E, donde
α ¨ T pxq “ T pα ¨ xq P T pEq.
Seja agora pT punqqnPN uma sequência de Cauchy em T pEq, assim dado ą 0, existe
N P N tal que para todo n ą N e todo m ą N ocorre }T punq ´ T pumq} ă ,
mas como T é uma isometria, segue que
}un´ um} “ }T punq ´ T pumq},
ou seja, para n, m ą N temos que também acontece }un ´ um} ă , daí concluímos que
Como u P E, então T puq P T pEq, assim dado 1 ą 0 conseguimos N1 P N tal que para
n ą N1
}T punq ´ T puq} “ }un´ u} ă 1.
Portanto concluímos que T punq Ñ T puq e segue o resultado.
Definição 1.121. Uma função f : E Ñ F entre espaços normados é:
1. lipschitziana se existe uma constante L ą 0 tal que }f pxq ´ f pyq} ď L ¨ }x ´ y} para todosx, y P E;
2. uniformemente continua se para todo ą 0 existe δ ą 0 tal que }f pxq ´ f pyq} ă sempre quex, y P E e }x ´ y} ă δ.
Sabe-se que para funções entre espaços normados, as implicações
lipschitziana ñ uniformemente contínua ñ contínua ñ contínua em um ponto
são verdadeiras e que, em geral, todas as implicações inversas são falsas. O próximo resul- tado, mostra que todos esses conceitos são equivalentes quando f for um operador linear. Teorema 1.122. Sejam E e F espaços normados sobre R e T : E Ñ F linear. As seguintes condições são equivalentes:
1. T é lipschitziano.
2. T é uniformemente contínuo. 3. T é contínuo.
4. T é contínuo em algum ponto de E. 5. T é contínuo na origem.
6. supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u ă 8.
7. Existe uma constanteC ě 0 tal que }T pxq} ď C}x} para todo x P E. Demonstração.
As implicações 1. ñ 2. ñ 3. ñ 4. são válidas no contexto de espaços normados e não dependem da linearidade de T .
r4. ñ 5.s Suponha T contínuo no ponto x0 P E. Seja ą 0, então existe δ ą 0 tal que
}T pxq ´ T px0q} ă sempre que }x ´ x0} ă δ. Tome x P E tal que }x ´ 0} “ }x} ă δ.
Então }px ` x0q ´ x0} “ }x} ă δ. Portanto
provando que T é contínuo na origem.
r5. ñ 6.s Da continuidade de T na origem existe δ ą 0 tal que }T pxq} ă 1 sempre que }x} ă δ.
Se }x} ď 1, então }δ2 ¨ x} ă δ. Daí, segue que δ 2 ¨ }T pxq} “ } δ 2¨ T pxq} “ }T p δ 2¨ xq} ă 1 ñ }T pxq} ă 2 δ, @x P E com }x} ď 1. Logo, supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u ď 2δ ă 8. r6. ñ 7.s Para x P E, x ‰ 0, temos }T pxq} }x} “ › › › › T ˆ 1 }x}¨ x ˙› › ›
› ď supt}T pyq}; }y} ď 1u,
e portanto }T pxq} ď psupt}T pyq}; }y} ď 1uq ¨ }x} para todo x ‰ 0. Para x “ 0 temos que }T pxq} “ }T p0q} “ 0 ď 0 “ }0} “ psupt}T pyq}; }y} ď 1uq ¨ }x}.
Logo segue o resultado para C ě supt}T pyq}; }y} ď 1u ě 0. r7. ñ 1.s Dados x1, x2 P E,
}T px1q ´ T px2q} “ }T px1´ x2q} ď C}x1´ x2},
e portanto T é lipschitziano com constante C.
˝ Corolário 1.123. Seja T : E Ñ F um operador linear bijetor entre espaços normados. EntãoT é um isomorfismo se, e somente, se existem constantes C1, C2 ą 0 tais que C1}x} ď
}T pxq} ď C2}x} para todo x P E.
Prova.
Suponha inicialmente que T é um isomorfismo, então pela condição 7. do teorema anterior garantimosC2 ą 0 tal que }T pxq} ď C2}x} para todo x P E.
De maneira análoga, comoT´1 também é contínuo, podemos encontrar C
1 ą 0 tal
que }T´1pyq} ď 1
C1}y} para todo y P F . Como para cada y P F podemos encontrar único
x P E tal que T pxq “ y, pela hipótese de T ser bijetor, temos que }T´1pyq} ď 1
C1
}y}, @y P F ñ }x} ď 1
C1
}T pxq}, @x P E.
Assim pela continuidade deT temos }T pxq} ď C2}x}, e pela continuidade de T´1 obtemos
}x} ď C1
1}T pxq}, ou seja,
Considere agora a desigualdadeC1}x} ď }T pxq} ď C2}x}, @x P E. A desigualdade
}T pxq} ď C2}x}, @x P E nos garante a continuidade de T pelo teorema anterior. Podemos
sempre encontrar únicoy P F tal que T´1pyq “ x para cada x P E, daí pela desigualdade
C1}x} ď }T pxq}, @x P E e pela hipótese de T ser sobrejetor, temos que C1}T´1pyq} ď }y}
para todoy P F , ou seja, }T´1pyq} ď 1
C1}y}, @y P F . Logo, novamente pelo Teorema 1.122
temos queT´1 é contínuo e o resultado segue.
Observação 1.124. Da condição 6. do Teorema 1.122 segue que os operadores lineares con- tínuos são exatamente aqueles que transformam conjuntos limitados no domínio em conjun- tos limitados no contradomínio. Por isso os operadores lineares contínuos são muitas vezes chamados de operadores lineares limitados. Apesar de ser uma terminologia amplamente difundida, não a adotaremos por ser inconsistente com a noção de função limitada. Uma função é limitada se sua imagem é limitada; aqui um operador é limitado se transforma con- juntos limitados em conjuntos limitados. Para evitar ambiguidade seguiremos com o termo operador linear contínuo e com a noção de função limitada como aquela que tem imagem limitada.
—
Por outro lado, a mesma condição 6. nos ensina como definir uma norma no espaço LpE, F q dos operadores lineares contínuos de E em F :
Proposição 1.125. Sejam E e F espaços normados. 1. A expressão
}T } “ supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u define uma norma no espaçoLpE, F q.
2. }T pxq} ď }T } ¨ }x} para todos T P LpE, F q e x P E. 3. SeF for Banach, então LpE, F q também é Banach.
Prova.
1. (a) Temos que sempre acontece
0 ď }T pxq} ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ }T }, @T P LpE, F q, pois qualquer que seja T , temos que T pEq Ă F e F é normado, o que nos mostra que
}T } ě 0. (b) Se tivermos que }T } “ 0, então segue que
0 ď › › › › T ˆ 1 }x}¨ x ˙› › › ›ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u, @x P E,
e usando o fato de T ser linear chegamos em
0 ď }T pxq} ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u¨}x} “ }T }¨}x} “ 0¨}x} “ 0, @x P E, ou seja, T pxq “ 0 para todo x P E, donde T “ 0.
Reciprocamente, se T “ 0, então temos que T pxq “ 0 @x P E. Daí como }0} “ 0 em F , temos
}T } “ supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ supt}0}u “ 0, de onde segue o resultado.
(c) Dado T P LpE, F q e α P R temos que
}αT } “ supt}αT pxq}; x P E e }x} ď 1u “ supt|α| ¨ }T pxq}; x P E e }x} ď 1u. Como |α| ě 0 temos que supt|α|¨}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ |α| supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u, assim obtemos
}αT } “ supt|α|¨}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ |α| supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ |α|¨}T }. (d) Dados T, P P LpE, F q, temos que para todo x P E ocorre o seguinte
}T pxq ` P pxq} ď }T pxq} ` }P pxq},
pelo fato de F ser normado. Desse modo para todo x em E chegamos em }T pxq ` P pxq} ď supt}T pxq} ` }P pxq}; x P E e }x} ď 1u
ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u ` supt}P pxq}; x P E e }x} ď 1u “ }T } ` }P }.
Da última desigualdade concluímos que
}T ` P } “ supt}T pxq ` P pxq}; x P E e }x} ď 1u ď }T } ` }P }. Portanto a expressão em 1. define de fato uma norma em LpE, F q.
2. Temos que para todo x P E com x ‰ 0, o vetor }x}1 ¨ x tem norma igual a 1, e assim vale a desigualdade › › › › T ˆ 1 }x} ¨ x ˙› › › ›ď supt}T pxq}; x P E e }x} ď 1u “ }T }.
Usando a nossa hipótese de que T é linear, temos que › › › › T ˆ 1 }x}¨ x ˙› › › › “ 1 }x} ¨ T pxq} “ 1 }x}¨ }T pxq}, @x P E.
Logo da primeira desigualdade verificada, obtemos 1 }x} ¨ }T pxq} “ › › › › T ˆ 1 }x} ¨ x ˙› › › ›ď }T },
ou seja, }T pxq} ď }T } ¨ }x}, e temos o que queríamos com x ‰ 0. Agora se x “ 0, temos a igualdade 0 “ }T pxq} “ }T } ¨ 0 “ }T } ¨ }x}, e daí a desigualdade é valida para qualquer x em E.
3. Seja pTnqnPN uma sequência de Cauchy em LpE, F q. Dado ą 0 existe n0 P N tal
que }Tn´ Tm} ď sempre n, m ě n0. Logo
(1.2) }Tnpxq ´ Tmpxq} “ }pTn´ Tmqpxq} ď }Tn´ Tm} ¨ }x} ď }x}
para todos x P E e n, m ě n0. Segue que para cada x P E, a sequência pTnpxqqnPN é
de Cauchy em F , logo convergente pois F é Banach. Podemos então definir T : E Ñ F, T pxq “ lim
nÑ`8Tnpxq.
A linearidade de T segue das propriedades aritméticas dos limites e da linearidade de cada Tn. Fazendo m Ñ 8 em (1.2) obtemos
(1.3) }pTn´ T qpxq} “ }Tnpxq ´ T pxq} ď }x}
para todos x P E e n ě n0. Em particular,
}pTn0 ´ T qpxq} “ }Tn0pxq ´ T pxq} ď }x}
para todo x P E, o que nos garante que pT ´ Tn0q P LpE, F q. Portanto T “ pT ´
Tn0q ` Tn0 P LpE, F q. De (1.3) segue também que }Tn´ T } ď para todo n ě n0, e
assim resulta que TnÑ T em LpE, F q.
Corolário 1.126. O dual E1de qualquer espaço normadoE é um espaço de Banach.
Prova.
De fato, como R é Banach, segue pelo teorema anterior que E1
“ LpE, Rq também é um espaço de Banach.