Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental
Bacharelado em Física
Alex Clésio Nunes Martins
Uma Abordagem sobre Caos e Sistemas
Não-lineares para Graduação
Natal-RN Junho de 2016
Alex Clésio Nunes Martins
Uma Abordagem Sobre Caos e Sistemas Não-lineares para
Graduação
Monogra a de Graduação apresentada ao Departamento de Física Teórica e Expe-rimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten-ção do grau de bacharel em Física.
Orientador: Prof. Dr. Francisco Alexandre da Costa
NatalRN Junho de 2016
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Martins, Alex Clésio Nunes.
Uma abordagem sobre caos e sistemas não-lineares para graduação / Alex Clésio Nunes Martins. - Natal, 2016.
47 f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Francisco Alexandre da Costa.
Monografia (Graduação) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental.
1. Dinâmica – Monografia. 2. Ponto fixo – Monografia. 3. Bifurcação – Monografia. 4. Diagrama de órbitas – Monografia. I. Costa, Francisco Alexandre da. II. Título.
Monogra a de Graduação sob o título Uma Abordagem sobre Caos e Sistemas Não-lineares para Graduação apresentada por Alex Clésio Nunes Martins e aceita pelo Departamento de Física Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universi-dade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especi cada:
Dr. Francisco Alexandre da Costa
Orientador
DFTE UFRN
Dr. Luciano Rodrigues da Silva
DFTE UFRN
Dr. Ananias Monteiro Mariz
DFTE UFRN
Aos meus pais, João e Raimunda, à minha irmã Aline e companheira Michelle Goertzen.
Agradecimentos
Aos meus pais, João Maria e Raimunda, os quais sempre me incentivaram a buscar o conhecimento, não desistir dos meus sonhos e são meu exemplo de vida e me cativam pelo companheirismo diário que eles têm.
À minha irmã Aline, a qual é mais do que uma irmã.
À minha companheira Michelle, pelas ótimas conversas, simplicidade, companheirismo e amor que tem demonstrado. À sua curiosidade pelas Ciências Naturais e Sociais, a qual me faz amá-la ainda mais.
Ao professor Francisco Alexandre, pela orientação e todo empenho demonstrado durante disciplinas cursadas, diálogos sobre Física Teórica e sua fé em meu trabalho.
Ao Professor André Bessa, por toda a amizade demonstrada desde o meu primeiro ano nesta Universidade. Seus ensinamentos e conselhos foram sempre muito bem-vindos. Aos professores Leonardo Mafra, Felipe Bohn, Marcela C. Silvestre e Deusdedit Medeiros, pelos ensinamentos no meu primeiro ciclo da Graduação na Escola de Ciências e Tecnolo-gia, o que me levou a continuar estudando Matemática e Física, mantendo vivos os meus objetivos pessoais.
Aos professores Raimundo Silva, Artur Carriço, João Medeiros, Ananias Monteiro e Car-los Chesman, por todas as disciplinas ministradas, as quais sempre tentei aproveitar o máximo que pude.
Aos meus amigos Giorgio André, Gabriel Fernandes, Letícia Goes, Kandice Barros e Ka-renina Paiva, pela amizade e companheirismo de sempre.
À minha amiga Lívia Teixeira, por sua motivação cientí ca, determinação pessoal para o desenvolvimento da ciência com uso bené co pera a sociedade e suas perguntas instigantes a respeito de Física e Biologia.
Aos meus amigos Gustavo Miasato, Bernardo Odlavson, Guilherme Monteiro e Welling-ton Júnior por serem bons amigos durante a graduação.
Ao meu amigo Francisco Valdécio, por ter se mostrado uma grande pessoa com vários conselhos pertinentes para o meu sucesso e sempre se mostrar alegre mesmo quando mo-mentos difíceis em sua vida pareceriam impossíveis de serem superados. Tenho ele como um exemplo na minha vida.
Ao meu amigo Carlos Iglesias, por toda sua amizade desde que cheguei ao curso de Física e seu exemplo de grande superação diante de sua trajetória. Também, por sempre lembrar quão linda a Física é e a necessidade da pesquisa cientí ca.
À todos os outros amigos que estiveram perto de mim durante esta Graduação.
Ao CNPq e programa Ciências Sem Fronteiras, que me trouxeram uma experiência única no meu intercâmbio no Canadá.
Nothing in life is to be feared, it is only to be understood. Now is the time to understand more, so that we may fear less.
Uma Abordagem sobre Caos e Sistemas Não-lineares
para Graduação
Autor: Alex Clésio Nunes Martins Orientador(a): Dr Francisco Alexandre da Costa
Resumo
Caos em sistemas determinísticos não-lineares tem se tornado um tópico muito divulgado e estudado nas últimas décadas. Desde a sua descoberta em 1963, feita pelo cientista Edward Lorenz, a teoria do caos vem sendo aplicada e tem se mostrado bastante importante na análise de fenômenos naturais. Assim, resultando em aprimoramentos de teorias nas áreas da metereologia, biologia, bolsa de valores, física, entre outras. Este trabalho é uma abordagem sobre caos em sistemas dinâmicos determinísticos que busca trazer, para alunos de gradação, fundamentos sobre a teoria do caos e como caos é atingido a partir de uma dinâmica ordenada. Toda a análise do caos é feita para um sistema de crescimento de uma espécie, conhecido como mapa logístico, passando pelo método do ponto xo, bifurcações e diagramas de órbitas, fractais, grá cos de Poincaré e expoente de Lyapunov.
An Approach About Chaos and Nonlinear Systems for
Undergraduation
Author: Alex Clésio Nunes Martins Advisor: Francisco Alexandre da Costa
Abstract
Chaos in deterministic nonlinear systems has become a well studied and spread topic in the last decades. Since its discovery in 1963, by the scientist Edward Lorenz, the theory of chaos has been applied and it has shown very important in natural phenomena analysis. Thus, enhancing theories such as metereology, biology, stock market, physics, etc. This work is an approach about chaos in deterministic dynamical systems that tries to bring, for undergraduate students, the fundamentals about the theory of chaos and how chaos is attained from an orderly dynamic. The analysis of chaos is done for a system that descri-bes the growth of a determined specie, passing through xed point method, bifurcation and orbit diagrams, fractals, Poincaré plots and Lyapunov exponents.
Lista de guras
1 Mapa logístico com a = 2.5. . . p. 18 2 f (x) e y = x. Os pontos de intersecção são os pontos xos. . . p. 20 3 visualização do método do ponto xo. . . p. 21 4 a = 0.75 e x0 = 0.95 . . . p. 22 5 a = 0.9 e x0 = 0.95. . . p. 22 6 a = 1.2 e x0 = 0.8. . . p. 23 7 a = 1 e x0 = 0.8. . . p. 23 8 f e f2 para a = 2.5. . . p. 25 9 f e f2 para a = 3. . . p. 25 10 f e f2 para a = 3.1. . . . p. 26 11 f e f2 para a = 3.4. . . . p. 27
12 Encurvamento de uma viga por uma massa m. . . p. 32 13 Diagrama de Órbitas para o Mapa Logístico . . . p. 33 14 Diagrama de Órbitas próximo à a = 3. . . p. 34 15 Mapa Logístico para a = 4.0. . . p. 35 16 Trajetórias do mapa de Lorenz para σ = 10, b = 8
3 e r = 28. . . p. 37
17 Atrator de Hénon. . . p. 39 18 Diagrama de órbitas para o mapa logístico. . . p. 40 19 Diagrama de órbitas ampliado. . . p. 40 20 Diagrama de órbitas ampliado em torno de a = 3.85. . . p. 41 21 Grá co de Poincaré. . . p. 42 22 Grá co de Poincaré no regime caótico. . . p. 42
23 Separação entre uma iteração e a próxima. . . p. 43 24 Logaritmo da separação entre duas trajetórias no mapa de Lorenz. . . . p. 44 25 Expoente de Lyapunov em função do parâmetro a no mapa logístico. . p. 46
Sumário
1 Introdução p. 14
2 Método do Ponto Fixo p. 16
3 Bifurcações e Diagramas de Órbitas p. 31
4 Caos p. 36
4.1 Caos no Mapa de Hénon . . . p. 38 4.2 Caos no Mapa Logístico . . . p. 39 4.3 Grá cos de Poincaré . . . p. 41 4.4 Expoentes de Lyapunov . . . p. 43
5 Considerações nais p. 47
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1 Introdução
Caos em sistemas determinísticos não-lineares tem se tornado um tópico muito divul-gado e estudado nas últimas décadas. Primeiro, porque a palavra determinismo remete-se a uma ideia de previsão em sistemas dinâmicos, como mostra a Mecânica Newtoniana. No entanto, para alguns sistemas não-lineares, o determinismo Newtoniano pode dar resul-tados que não condizem com resulresul-tados experimentais. Para esses sistemas, a imprevisão causada não vem da falta de determinismo, mas porque a complexidade da dinâmica requer uma precisão que é impossível de calcular. Isto pode ser visto em sistemas onde condições iniciais muito parecidas geram comportamentos muito diferentes (GERSHEN-SON, 2003).
Sistemas caóticos são um simples subconjunto da dinâmica não-linear. Eles podem conter algumas partes interagentes e seguir simples regras (leis da dinâmica), mas to-dos esses sistemas tem uma sensível dependência em suas condições iniciais. Apesar de sua simpli cidade determinística, esses sistemas podem produzir, para longos períodos de tempo, um comportamento imprevisível, e até mesmo divergente. Edward Lorenz descre-veu caos como sendo o presente determina o futuro, mas um presente aproximado não determina um futuro aproximado (BOEING, 2015). Edward Lorenz foi um meteorologista
do MIT que descobriu a sensível dependência nas condições iniciais do sistema de pre-visão do tempo. Os resultados de suas simulações foram publicados no artigo (LORENZ,
1963) e resultaram na famosa pergunta Será que o bater de asas de uma borboleta no Brasil causaria um tornado no Texas?. Essa pergunta nada mais é do que o famoso efeito borboleta.
Apesar da grande descoberta de Lorenz, levou-se mais de uma década para que sua pesquisa fosse amplamente disseminada em outras áreas do conhecimento cientí co como: biologia, geologia, nanças, entre outras áreas. Felizmente, a Física está repleta de vá-rios problemas excitantes que possuem, intrinsicamente, caráter não-linear, caótico e que podem ser melhores explicados a partir de simulações computacionais. São exemplos: o
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pêndulo simples, laser e mapa logístico para a análise de crescimento de uma espécie, entre outros.
Este trabalho é uma abordagem sobre caos em sistemas dinâmicos determinísticos que busca trazer, para alunos de gradação, fundamentos sobre a teoria do caos e como atingimos o caos a partir de uma dinâmica ordenada. O sistema Físico escolhido foi o mapa logístico para o crescimento de uma espécie. Esse é um sistema de simples formu-lação matemática, que dependendo da taxa de crescimento da espécie pode levar ao caos. O capítulo 2 apresenta o método do ponto xo que é uma ferramenta importante para encontrar os chamados pontos xos de um sistema dinâmico. Enquanto que, o capítulo 3 traz as bifurcações e diagramas de órbitas que serão amplamente utilizados no capítulo 4. Finalmente, o capítulo 4 trará o estudo do caos determinístico e os principais mecanismos que caracterizam o caos determinístico e o diferencia de aleatoriedade.
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2 Método do Ponto Fixo
Este capítulo será destinado ao estudo de uma classe de sistemas dinâmicos que são discretos no tempo. Sistemas deste tipo são conhecidos como equações de diferenças, re-lações de recorrência, mapas iterativos, ou simplesmente mapas. Mapas surgem como uma ferramenta para analisar equações diferenciais, por exemplo, o mapa de Lorenz que será mencionado no capítulo 4, ou modelos de fenômenos naturais como eletrônica digital, bolsa de valores e no estudo de certas populações de animais onde gerações sucessivas não coincidem (STROGATZ, 1994). A análise matemática de um sistema escolhido se dará a
partir do método do ponto xo, isso porque o comportamento da dinâmica do sistema, geralmente, tende para um ponto especí co ou se afasta desse ponto após sucessivas itera-ções. Estes são os chamados pontos xos de um sistema dinâmico. O fato de termos uma dinâmica dependente de um parâmetro variável, pode levar a resultados muito importantes como a criação e destruição de pontos xos e um caminho para o caos determinístico. Um modelo muito estudado em caos e sistemas não-lineares é o modelo de crescimento de uma espécie. Suponhamos que queremos saber o comportamento de crescimento ou di-minuição de uma população em relação à população atual à medida que o tempo passa. Denotando por xn a n−ésima geração, podemos nos perguntar: o que acontecerá com a
população de determinada espécie à medida que o tempo passa? Ela irá aumentar, dimi-nuir ou permanecer a mesma?
Uma simples modelagem matemática para esse sistema dinâmico é desenvolvida em (DEVANEY, 1992). Primeiramente, vamos assumir que a geração sucessiva é diretamente
proporcional à geração atual. Matematicamente
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onde a é um parâmetro do sistema que representa a taxa de crescimento ou fertilidade da espécie. Assim, dada a população inicial x0, podemos determinar as gerações futuras
x1 = ax0 x2 = ax1 = a2x0 x3 = ax2 = a3x0 . . . xn = anx0
É fácil notar que devido à este comportamento teremos
xn = anx0
Também nota-se que as gerações sucessivas dependem do valor do parâmetro a. Se o parâmetro a é positivo, a população cresce e tende para o in nito à medida que n cresce. Por outro lado, se o parâmetro a é negativo, a população tende à extinção. Finalmente, se a = 1, a população não varia à medida que o tempo passa. Esta é uma simples abordagem do modelo de crescimento de uma espécie. Na vida real, a população de uma espécie não tende para o in nito.
Em busca de contornar o problema desta modelagem, adicionaremos a possibilidade de uma saturação populacional. Isso signi ca que a população tem limitadas fontes de co-mida, o que limita o crescimento da espécie e leva à morte da espécie por falta de alimento. Este é o chamado modelo logístico de crescimento populacional, ou simplismente mapa logístico que é matematicamente escrito como
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O parâmetro a continua sendo um indicador da fertilidade ou taxa de crescimento da população, com limitadas fontes de comida. Através deste mapa, vemos que para uma população saturada (xn = 1), a geração sucessiva se torna xn+1 = 0. Para entender o
cres-cimento ou diminuição da população atráves deste modelo, precisamos iteragir a função logística
f (x) = ax(1 − x)
Esta é uma função do segundo grau na variável x. Então, vemos que para atingir caos não precisamos de funções com complicadas formas, mas deveremos saber como o caos se desenvolve a partir de um comportamento ordenado. Utilizando o software MATLAB versão R2015b-Student use, podemos ver que f(x) é uma parábola como mostra a gura 1.
Figura 1: Mapa logístico com a = 2.5.
Fonte: Elaborada pelo autor
Podemos notar que este grá co possui dois pontos de intersecção com o eixo x. Estes pontos são chamados de zeros ou raizes da função f(x). Para a no intervalo [0, 4] e x em [0, 1], obtemos a função parabólica f(x) no intervalo [0, 1].
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xn+1 = f (xn) (2.3)
De nimos uma iteração funcional, ou regra de composição ◦ como sendo
f2 ≡ f ◦ f (2.4)
Tal que
f2(x) ≡ f (x) ◦ f (x) (2.5) A n-ésima iteração de f é então
fn= f ◦f ...◦f (2.6)
Onde f é composta n vezes. É fácil mostrar a seguinte regra
fm◦fn= fn◦fm = fm+n (2.7)
Esta abordagem traz uma discretização do sistema dinâmico, e n pode ser considerado como um determinado tempo t = n. Através do estudo da dinâmica, podemos acompanhar as órbitas do sistema dinâmico ao longo do tempo. Ou seja
x0 → x1 → x2... → xn
Agora, vamos introduzir o método do ponto xo. Este método consiste em encontrar os pontos xos de uma dada função ou mapa a partir de um valor x0 que nada mais é do
que um chute inicial. Consideremos o mapa unidimensional da equação 2.3 xn+1 = f (xn)
diz-se que x∗ é um ponto xo de 2.3 se
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Para estudar a estabilidade de x∗ deve-se veri car o que ocorre com as sucessivas
iterações a partir de um ponto xn próximo de x∗ (PRADO; FIEDLER-FERRARA, 1995).
Existem pontos xos que atraem ou repelem a evolução do sistema. Esses comportamentos serão estudados neste capítulo e terão uma formulação matemática. Dado um chute inicial x0 igual a um ponto xo, o sistema permanecerá naquele ponto. No entanto, assim
que modi camos in nitesimalmente o valor do chute inicial, a solução se afastará de um ponto xo ou será atraída para ele.
Figura 2: f(x) e y = x. Os pontos de intersecção são os pontos xos.
Fonte: Elaborada pelo autor
A gura 2 mostra as funções f(x) e y = x no mesmo grá co. Como podemos ver na gura acima, a reta intersecta a parábola duas vezes, então, existem dois pontos xos.
Uma forma de identi car os pontos xos é utilizando o seguinte método: para um chute inicial x0 encontramos o novo valor x1 = f (x0). Tendo x1, iteramos f(x)
nova-mente para encontrar x2, e assim por diante. Matematicamente, temos
x1 = f (x0)
x2 = f (x1)
x3 = f (x2)
. .
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. xn+1 = f (xn)
Onde xn é a n-ésima iteração de x0. O conjunto de todas as iterações de uma função
é chamado de mapa desta função. Assim, se obtivermos o conjunto de iterações da função logística, teremos o mapa logístico. Se o chute inicial for bom o bastante, o método con-vergirá. Isso signi ca que a cada iteração estamos mais próximo da solução desejada (ou seja, o ponto xo). Podemos escolher uma condição de parada do método, por exemplo, podemos usar um número pré-de nido de iterações ou um erro relativo. Isso fará com que o programa escrito em alguma linguagem de computador tenha sua execução parada. Em contraste, quando vemos que a cada iteração o valor da variável x está se distanciando de x∗, dizemos que o método está divergindo.
Uma outra forma fácil de visualizar o que está sendo feito é desenhando gra ca-mente as funções y = x e f(x). Em seguida, conectando os pontos [(x0, x0), (x0, x1)],
[(x1, x1), (x1, x2)], ..., [(xn, xn), (xn, xn+1)], como podemos visualizar na gura 3.
Figura 3: visualização do método do ponto xo.
Fonte: Elaborada pelo autor
De acordo com esta gura, com a = 2.5, vemos que a medida que iteramos a função a partir do chute inicial x0 = 0.09, o método converge para x = 0.6. Então, o ponto xo,
nesse caso, é x∗
= 0.6. Um fato interessante, a respeito desse ponto, é que se modi carmos o chute inicial x0 = 0.09 dentro do intervalo (0, 1), as órbitas continuarão tendendo à
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x∗ = 0.6. Agora, modi caremos o valor de a e veri caremos a mudança que acontece na forma da função e em seus pontos xos. Já sabemos que para valores de a no intervalo [0, 4] e xn no intervalo [0, 1], teremos um mapeamento dentro do próprio intervalo [0, 1].
É fácil ver que para a = 0, f(x) = 0, independente do chute inicial x0.
Figura 4: a = 0.75 e x0 = 0.95
Fonte: Elaborada pelo autor
A gura acima foi obtida com um chute de x0 = 0.95e tem como ponto xo x∗ = 0.
Portanto, com a = 0.75, as órbitas tendem para x∗ = 0. Esse é o chamado ponto xo
trivial. Agora, usemos a = 0.9 e o mesmo chute e veremos que o comportamento da dinâmica é bastante similar ao caso anterior.
Figura 5: a = 0.9 e x0 = 0.95.
Fonte: Elaborada pelo autor
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apenas um ponto xo e independentemente do chute inicial o sistema termina no mesmo ponto xo x∗ = 0 quando 0 < a < 1. Vamos estudar o mapa logístico para valores de a
maiores do que 1. Agora, com a = 1.2 e x0 = 0.8, obtemos x∗ = 0.1667. Podemos notar
que o comportamento do sistema mudou, e essa mudança está relacionada com o valor de a. Isso porque, ao fazer a > 1, obtemos um novo ponto xo que é diferente do ponto xo trivial. Gra camente, temos
Figura 6: a = 1.2 e x0 = 0.8.
Fonte: Elaborada pelo autor
A mudança do sistema acontece quando a reta y = x toca a parábola em um outro ponto além da origem. O valor do parâmetro a para que essa mudança aconteça é a = 1.
Figura 7: a = 1 e x0 = 0.8.
Fonte: Elaborada pelo autor
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é obtido no limite n → ∞. Ou seja, para um grande número de iterações. No entanto, se analisarmos a função f, vemos que mesmo para valores de a > 1, o sistema permanecerá em x∗ = 0 se o chute inicial for x
0 = 0. Agora, qualquer chute inicial x0 6= 0, mesmo
muito próximo do ponto xo trivial x∗ = 0, leva a pontos afastados da origem. Nesse caso,
o sistema teve seu comportamento modi cado em relação ao ponto xo trivial. Portanto, as órbitas do sistema f = f(x), para a > 1, serão atraídas para o ponto de intersecção da parábola com a reta.
O ponto xo está mudando à medida que variamos o valor de a. Existe uma forma de analisar o comportamento do ponto xo em função de a. Sabemos que a função f é dada por
f (x) = ax(1 − x) (2.9)
Então, o ponto xo satisfaz a equação
x∗ = ax∗(1 − x∗) (2.10) Portanto, os pontos xos são as raizes da equação 2.10
x∗ = 0, x∗ = 1 − 1
a (2.11)
Fazendo a análise desses dois pontos, vemos que a primeira raiz tende para x∗ = 0
quando a ≤ 1, e se distancia quando a > 1, como foi visto nas guras acima. Enquanto a segunda raiz está fora do intervalo [0, 1] para a < 1. Se a = 1, ambas raizes são iguais. Agora, se aumentamos a, notaremos que as órbitas do sistema convergirão para (1 − 1
a),
que é um ponto atrator. Um ponto atrator é atribuído para pontos xos que puxam as órbitas para si. Esse mesmo ponto converge mais devagar quando nos aproximamos de a = 3, e a convergência só é obtida quando n → ∞. Esse valor do parâmetro faz com que o ponto xo se comporte como no caso a = 1. Para valores de a > 3, o sistema apresenta outro tipo de comportamento que será discutido mais adiante neste capítulo. Vamos tentar reproduzir o que foi dito anteriormente nas três guras seguintes.
A gura 8 descreve as funções f e f2 para um valor de a = 2.5. Vemos que as duas
funções só tocam a reta em um único ponto além do ponto xo trivial. Isso por que as órbitas estão sendo atraídas para o ponto xo (1 − 1
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Figura 8: f e f2 para a = 2.5.
Fonte: Elaborada pelo autor
Aumentando o valor de a = 2.5 para a = 3, as órbitas tendem assintoticamente para o atrator, e convergirá no limite em que n → ∞. A mudança do sistema já pode ser observada na gura 9.
Figura 9: f e f2 para a = 3.
Fonte: Elaborada pelo autor
Aumentando a apenas um pouco acima do valor a = 3, podemos ver a partir da gura 11, que o ponto atrator teve seu comportamento modi cado, pois o sistema está tendo suas órbitas alternadas entre dois valores. Agora temos um ciclo atrator de período 2. Um ciclo atrator de período m signi ca que após determinado tempo t, as órbitas do
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mapa se alternarão entre m valores. Por exemplo, se tivermos um ciclo de período 2, te-remos duas órbitas que se repetirão após um certo número de iterações. Se o sistema está em ciclo período 4, quatro órbitas se repetirão, e assim por diante para maiores ciclos. A gura 11, com a = 3.4, mostra claramente que temos 2 pontos que formam um ciclo 2 para a função f. Isso signi ca que a medida que iteramos o mapa logístico, as órbitas desse mapa se alternarão entre x∗
1 e x∗2, onde x∗1 e x∗2 são os valores do ciclo 2.
Se iterarmos f2, como mostra a gura 10, com a = 3.1, veremos que o ciclo atrator
de período 2 terá os pontos x∗ 1 e x
∗
2 iguais a dois dos pontos xos de f2. Utilizamos aqui a
mesma ideia que usamos para encontrar os pontos xos gra camente para a função f. O antigo ponto xo (1 −1
a)da função f também é um ponto xo para f
2, mas ele não atrai
as órbitas como x∗
1 e x
∗
2. Esse ponto empurra as órbitas em direção aos pontos xos x ∗ 1
e x∗
2 de f2.
Figura 10: f e f2 para a = 3.1.
Fonte: Elaborada pelo autor
Como exemplo, vamos usar o método do ponto xo para checar o comportamento do sistema. Uma vez que sabemos que a posição do ponto xo é dada pela equação
x∗ = 1 − 1
a (2.12)
e utilizando a = 3.4, deveríamos encontrar um ponto xo da função f no ponto x∗ =
alter-27
nam entre dois valores, x∗ = 0.4520 e x∗ = 0.8422, como é mostrado na gura 11.
Figura 11: f e f2 para a = 3.4.
Fonte: Elaborada pelo autor
Esses são os novos pontos xos para f2, como mencionado anteriormente. Além disso,
esses dois valores fazem parte do ciclo 2 da função f. Um outro fato interessante é que após encontrados os pontos xos, encontramos que
x∗1 = f (x∗2) (2.13)
x∗2 = f (x∗1) (2.14) Podemos encontrar matematicamente os pontos xos de f2 usando o mesmo método
que utilizamos para encontrar os pontos xos de f. Os pontos xos de f2 serão
encontra-dos a partir da seguinte equação
x∗ = f2(x∗) (2.15)
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f2(x∗) = a(ax∗(1 − x∗))(1 − ax∗(1 − x∗)) (2.16) Essa é uma equação do quarto grau em x e, portanto, possui 4 raizes ou ponto xos. Ora, já havíamos deduzido gra camente que o sistema possuía 4 pontos xos. Pode-se observar que dois deles são os mesmos que tínhamos para f(x), e os outros dois são novos pontos xos.
Os fenômenos que aconteceram para a = 1 e a = 3, são chamados de duplicação de período, e irão acontecer novamente para alguns outros valores de a, devemos destinar esforço à uma formalização de como obtermos estas transições de períodos 2, 4, 8, ..., 2n, isso por que acima de a = 3 existem mais ciclos de períodos maiores. Primeiramente,
devemos formalizar matematicamente o comportamento do sistema quando variamos a e assim geramos pontos que atraem ou repelem órbitas. Esses são chamados de pontos xos estáveis e instáveis. Dessa forma, se x∗ é um ponto xo de f, esse ponto também será um
ponto xo de fn (HU, 1982). Agora, faça
xn= x∗+ n (2.17)
xn+1 = x∗+ n+1 (2.18)
onde n e n+1 são erros.
Substituindo 2.17 em 2.18 e fazendo uma aproximação linear, obteremos
xn+1 = f (x∗+ n) ≈ (x∗) + f0(x∗)n= x∗+ f0(x∗)n (2.19)
Portanto,
n+1
n
= f0(x∗) (2.20)
Este resultado diz que para |f0(x∗)| > 1teremos |
n+1| > |n|, |n+1|aumenta cada vez
mais à medida que n aumenta. Já se |f0(x∗)| < 1teremos |
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vez mais à medida que n aumenta. Portanto, um ponto xo será estável se |f0(x∗)| < 1.
Assim, olhemos para a função f e sua derivada f0, onde a derivada de f é dada por
f0(x) = a(1 − 2x) (2.21) Os pontos xos são x∗ = 0 e x∗ = 1 − 1
a. Para a < 1 só temos o ponto x
∗ = 0 como
ponto xo, a derivada de f neste ponto é
f0(0) = a (2.22)
Portanto, |f0(x∗)| < 1, e o comportamento das órbitas tende para x∗ = 0 para valores
de x0 entre (0, 1), como foi visto nas guras 4 e 5, com a = 0.2 e a = 0.75, respectivamente.
Para 1 < a < 3, temos dois pontos xos para o mapa logístico. No entanto, é fácil notar que usando o ponto xo x∗ = 0, obtemos f0(0) = a > 1. Agora, aplicando x∗ = 1 −1 a
na derivada de f, vemos que
f0(1 −1
a) = 2 − a (2.23)
De modo que |f0(x∗)| < 1, para aqueles valores de a mencionados acima. Podemos
veri car que a solução diverge de x∗ = 0 e converge para x∗ = 1 − 1
a nas guras 2, 6 e 8,
as quais possuem 1 < a < 3.
Até agora só analisamos a estabilidade de pontos xos quando |f0(x∗)| < 1 ou
|f0(x∗)| > 1. Mas o que acontece quando |f0(x∗)| = 1 para algum parâmetro a ? Em
(FEIGENBAUM, 1983), o autor mostra que à medida que variamos o parâmetro e nos
aproximamos de a = 3, f entra em um ciclo de período 2 e dois novos pontos xos são criados em f2. Os pontos xos que são comuns à f e f2 são instáveis, enquanto que os
dois novos pontos xos de f2 são estáveis. Podemos veri car o que foi dito a partir das
30
ponto. Mas à medida que aumentamos o parâmetro para a = 3, o valor de mínimo de f2
passa a diminuir e uma mudança começa a acontecer, como é mostrado na gura 9. Já na gura 10, com a = 3.1, vemos que a reta toca f2 em quatro pontos, dois pontos xos de
f e outros dois novos pontos xos de f2.
Portanto, podemos a rmar que um novo ciclo é criado quando |f0(x∗)| = 1. A mesma
ideia de estabilidade de pontos xos, apresentada para f, pode ser aplicada para os pon-tos xos de f2, f4,..., fn, onde encontramos os pontos xos da n−ésima função iterada
e checamos a estabilidade daqueles pontos. Uma outra forma de analisar um sistema di-nâmico é através de bifurcações e diagramas de órbitas. Esse tipo de diagrama será apresentado no próximo capítulo.
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3 Bifurcações e Diagramas de
Órbitas
A análise do mapa logístico no capítulo anterior se deu a partir do método do ponto xo. Neste capítulo é apresentado as chamadas bifurcações. Para um sistema unidimen-sional podemos notar certa trivialidade, pois a função logística apenas depende de uma variável. No entanto, também temos uma dependência no parâmetro a o qual pode le-var a uma mudança no comportamento do sistema, como já foi visto. Então, a estrutura qualitativa da dinâmica pode mudar a medida que variamos a. Em particular, pontos xos podem ser criados ou destruídos, ou ter sua estabilidade mudada. Essas mudanças qualitativas na dinâmica são chamadas de bifurcações, e os valores do parâmetro os quais as bifurcações ocorrem são chamados pontos de bifurcação (STROGATZ, 1994).
As bifurcações são importantes cienti camente porque elas representam modelos com transições e instabilidades quando algum parâmetro de transição é variado. Isso nos per-mite estudar os liper-mites da teoria e as consequências da extrapolação. Por exemplo, consi-dere o desvio de uma viga ao equilibrarmos uma caixa de massa m sobre um dos extremos da viga. Se a massa for muito leve, ela será facilmente equilibrada pela viga e continuará estável na posição vertical. No entanto, se a massa m for maior do que a capacidade que pode ser suportada pela viga, a posição vertical se tornará instável, e a viga pode se en-curvar. Este exemplo é mostrado na gura 12.
Aqui, a massa m é considerada um parâmetro de controle, e o encurvamento da viga da posição vertical (equilíbrio) é considerada como uma variável dinâmica x.
Existem várias formas de bifurcações como: sela-nó, transcrítica e forquilha. O pri-meiro tipo de bifucação é um mecanismo básico no qual pontos xos são criados e des-truídos. Na medida que o parâmetro é variado, os dois pontos xos se movem na mesma
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Figura 12: Encurvamento de uma viga por uma massa m.
Fonte: Retirada de (STROGATZ, 1994, p. 44).
direção e em sentidos diferentes, colidem, e se aniquilam mutuamente. O segundo tipo é encontrado em sistemas que possuem um ponto xo para todos os valores do parâmetro e nunca pode ser destruído. Por exemplo, na função logística e em outros modelos simples de crescimento de uma única espécie, existe um ponto xo para o ponto inicial onde a população começa do zero, independente da taxa de crescimento. No entanto, o ponto xo pode mudar sua estabilidade a medida que variamos o parâmetro a. A bifurcação transcrítica é o mecanismo padrão para mudança de estabilidade (STROGATZ, 1994).
Finalmente, a bifurcação forquilha é comum em problemas físicos com simetria. Por exemplo, problemas que possuem simetria espacial entre a direita e a esquerda. Nestes tipos de simetria, pontos xos tendem a aparecer e desaparecer em pares simétricos. No exemplo da viga representado pela gura 12, a viga é estável para pequenos valores de massa m. Dessa forma, existe um ponto xo estável na posição de encurvamento zero. Mas se a massa m excede o limite que a viga suporta, a viga pode então se encurvar em relação à posição vertical. Agora, a posição vertical não é mais estável, e dois pontos- xos simétricos foram criados. Na perspectiva da gura 12, a viga poderia se encurvar tanto para a esquerda quanto para a direita.
Vamos continuar trabalhando com o mapa logístico, mas agora traremos uma repre-sentação de diagramas de órbitas. Para o mapa logístico que trabalhamos no capítulo anterior, tínhamos uma função f = f(x) que estava limitada entre [0, 1], com os valores da variável x no mesmo intervalo. O tipo de bifurcação encontrada para o mapa logístico é a bifurcação transcrítica. Como discutido acima, essa bifurcação se dá através da mudança de estabilidade do ponto xo encontrado na origem do sistema. Diagramas de órbitas são ferramentas práticas para observar o que acontece em uma dinâmica. Basicamente, vamos
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mostrar gra camente o valor do parâmetro onde a dinâmica tem se concentrado depois de algumas iterações iniciais, o que representa um ponto atrator, ciclo ou atrator estranho (GERSHENSON, 2003).
Apresentamos um pseudo-código para um simples programa de computador para ge-rar diagramas de órbitas. Primeiramente, escolha um valor de a. Gerando uma órbita que começa de um chute inicial aleatório x0, itere por 300 ciclos ou mais, para permitir que
o sistema se estabilize para o seu eventual comportamento. Uma vez que o período tran-siente do sistema decaiu, gere gra camente os pontos x301, ..., x600 para aquele a. Assim,
repete-se o mesmo procedimento para um valor adjacente de a. Seguindo esta ideia, a gura 13 é gerada no MATLAB versão R2015b-Student use:
Figura 13: Diagrama de Órbitas para o Mapa Logístico
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos ver claramente todos os resultados observados anteriormente, e um pouco mais. Para 0 < a < 1, x∗ = 0 é um ponto atrator estável. Quando a = 1, um ponto de
bifurcação é atingido. Para valores de a no intervalo (1, 3), o ponto atrator será dado por 1 −1a, como foi mostrado pelo método do ponto xo. Durante a apresentação do método ponto xo, foi mostrado que para alguns valores maiores que a = 3 o sistema entrava em um ciclo de período 2, e que continuando com a variação o sistema duplica seu período para 4, 8, 16, 32, 64, .... Isso acontece porque a = 3 é um outro ponto de bifurcação. Vamos checar esta gura mais de perto, próximo de a = 3.
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Figura 14: Diagrama de Órbitas próximo à a = 3.
Fonte: Elaborada pelo autor.
bifurcação se torna mais próxima da anterior. Vamos de nir a1, a2, ..., an, como sendo os
valores do parâmetro para os quais bifurcações ocorrem. Por exemplo, o primeiro ponto de bifurcação foi em a1 = 1, o segundo em a2 = 3 e o terceiro em torno de 3.45. Vamos
analisar o diagrama de órbitas para valores de 3.4≤a≤4. Para a = 3.4, o atrator é de período 2, como indicado pelos dois ramos representados na gura 14. A medida que a aumenta, os dois ramos se dividem simultaneamente, resultando em um ciclo de período 4. Esta divisão é uma bifurcação que representa a duplicação do período. A medida que a aumenta mais, mais divisões acontecem duplicando o período para 8, 16, 32... . De acordo com (STROGATZ, 1994) este processo se mantém até que a = a∞≈ 3.57, e o mapa começa
a apresentar comportamento caótico e o atrator muda de um conjunto nito de pontos para um in nito conjunto de pontos. A gura 15 mostra que as órbitas do sistema não tendem para um único ponto xo, mas cam oscilando e tendem a ocupar todo o intervalo [0, 1] como também mostra a gura 14.
Para a > a∞, o diagrama de órbitas da gura 14 revela uma mistura inesperada de
ordem e caos, com janelas periódicas intercaladas entre núvens caóticas de pontos. A janela começa próximo de a≤3.83 que contém um ciclo estável de período 3 (STROGATZ,
1994). Estas janelas periódicas duplicam seus períodos para 6, 12, 24, ... e chegando, as-sim, a uma região caótica novamente. Esse é um resultado surpreendente, mas ainda melhor, podemos dizer que existem mais outras janelas de períodos diferentes, emergindo de pontos de acumulação. Na verdade, pode ser provado que neste diagrama de bifurcação existem órbitas de período n para todos os naturais n (GERSHENSON, 2003).
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Figura 15: Mapa Logístico para a = 4.0.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para um estudo mais aprofundado sobre os tópicos discutidos neste capítulo, sugere-se as seguintes referências: (STROGATZ, 1994) e (PRADO; FIEDLER-FERRARA, 1995).
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4 Caos
Apesar de um dado sistema ser determinístico e por causa dele ser não-linear, podemos ter soluções que divergem entre si para diferentes condições iniciais. Essas divergências po-dem não ser aparentes para pequenos intervalos de tempo, mas para pequenas diferenças em condições iniciais e um longo período de tempo, notamos a diferença de comporta-mento das soluções.
Caos em sistemas determinísticos não-lineares foi observado, primeiramente, pelo ci-entista meteorológico Edward Norton Lorenz e divulgado em (LORENZ, 1963). Ele
traba-lhava em modelos para a previsão do tempo e com programas que eram baseados em 12 variáveis, que representavam, por exemplo: pressão, temperatura, velocidade do vento e etc. Essas variáveis podem ser representadas em grá cos em função da variável temporal. Lorenz notou que arredondando uma condição inicial de seu sistema de 0.506127 para 0.506, acarretaria em uma mudança no comportamento de sua solução para um período de dois meses de simulação computacional (DIZIKES, 2011). Este resultado inesperado
levou Lorenz a ter uma ideia a respeito de como a natureza evolui no tempo: pequenas mudanças podem ter grandes consequências à longo prazo. Essa conclusão é hoje conhe-cida como o efeito borboleta, pois o próprio Lorenz propôs a seguinte questão: Será que o bater de asas de uma borboleta no Brasil causaria um tornado no Texas?
As equações diferenciais que Lorenz utilizou para representar o seu sistema foram:
˙x = σ(y − x) ˙
y = rx − y − xz ˙z = xy − bz
(4.1) Aqui, σ, r, b > 0 são parâmetros. Em (STROGATZ, 1994), o autor dedica um capítulo
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inteiro a respeito das equações de Lorenz. Inclusive, ele traz a imagem a seguir que é bastante característica do efeito borboleta. É aparente que as trajetórias deste sistema se cruzem. Mas isso é apenas uma projeção de uma trajetória tridimensional em um plano bidimensional. Em três dimensões não acontecem intersecções em uma trajetória anterior (STROGATZ, 1994).
Figura 16: Trajetórias do mapa de Lorenz para σ = 10, b = 8
3 e r = 28.
Fonte: Retirada de (STROGATZ, 1994, p. 319).
Uma outra forma de referir-se ao efeito borboleta é dizer que o sistema tem uma sensível dependência nas suas condições iniciais. Estes são sistemas que levam ao caos de-terminístico e uma conclusão importante é que prever o futuro pode ser quase impossível para longos períodos de tempo. Infelizmente, o trabalho de Lorenz levou mais de uma década para ser bem divulgado em meios cientí cos que não tratavam de meteorologia. No entanto, durante as décadas de 1970 e 1980, sua descoberta foi reconhecida como o princípio da teoria do caos e ajudou no desenvolvimento de áreas como meteorologia, geologia e biologia.
Na década 1980, vários cientistas já haviam notado que o trabalho de Lorenz levou à uma nova perspectiva para o conhecimento clássico da natureza. As leis da Mecânica desenvolvidas por Sir Isaac Newton e publicadas em 1687 sugerem que sistemas mecânicos são previsíveis. Ou seja, a incerteza ou o imprevisível não pode ser considerado dentro da Mecânica Newtoniana. Todos os eventos são determinados pelas condições iniciais. Mas, em seu trabalho, Lorenz utilizou seu sistema simpli cado com três equações
determinís-38
ticas (mostradas acima) para demonstrar que pequenas mudanças na precisão de suas simulações importavam, tanto que a imprecisão intrínseca na medição humana poderia se tornar um grande acréscimo em previsões do tempo (DIZIKES, 2011). Se pararmos para
pensar a respeito deste novo conceito, podemos ver o quão chocante ele foi para a comu-nidade cientí ca da época. O determinismo era sinônimo de previsão matemática para sistemas de condições iniciais, ou seja, dada as equações de movimento de uma partícula de massa m e condições iniciais podemos dizer onde uma partícula estará depois de um tempo t. Agora, vemos que equações determinísticas não-lineares podem trazer previsões para pequenos períodos de tempo, mas não podemos garantir o mesmo para longos pe-ríodos de tempo. E isso é o que é chamado de caos determinístico.
4.1 Caos no Mapa de Hénon
O mapa de Hénon é um dos mais simples mapas bidimensionais que exibem compor-tamento caótico. Este mapa é uma abordagem reduzida do estudo da dinâmica do sistema de Lorenz (WEN, 2014). O mapa de Hénon é dado pelas seguintes equações:
xn+1 = 1 − ax2n+ byn
yn+1= xn
(4.2) Podemos encontrar os pontos xos deste sistema ao tomarmos
(xn+1, yn+1) = (xn, yn) = (x0, x0)
e substituir em 4.2. Portanto,
x0 =
−(1 − b) ±p(1 − b)2 + 4a
2a (4.3)
O mapa de Hénon possui um atrator estranho para (a, b) = (1.4, 0.3) e é representado na gura 17. Um estudo do mapa de Hénon é feito em (WEN, 2014) com uma interpretação
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Figura 17: Atrator de Hénon.
Fonte: Retirada de (WEN, 2014, p. 2).
4.2 Caos no Mapa Logístico
Se faz necessária uma de nição de caos, apesar que não há uma de nição universal para este fenômeno. De acordo com (STROGATZ, 1994), caos é um comportamento
ape-riódico a longo prazo em sistemas determinísticos que exibem sensível dependência em condições iniciais. Primeiramente, comportamento aperiódico a longo prazo signi ca que existem trajetórias que não se estabilizam para pontos xos, órbitas periódicas, ou órbitas quasiperiódicas para longos períodos de tempo. Segundo, determinístico signi ca que o sistema não tem aleatoriedade. O comportamento irregular vem da não-linearidade do sistema. Finalmente, sensível dependência em condições iniciais signi ca que se modi -carmos as condições iniciais in nitesimalmente, o resultado será totalmente diferente ao resultado anterior para um longo período de tempo.
Analisando o diagrama de órbitas apresentado pela gura 18, notamos que acima de uma taxa de crescimento a = 3.6 bifurcações acontecem mais rapidamente à medida que variamos a. Essas bifurcações acontecem até que o sistema seja capaz de, eventualmente, assumir qualquer órbita no intervalo [0, 1]. Isso é conhecido como o caminho de dupli-cagem de período para o caos. À medida que variamos a, as órbitas do mapa logístico variam entre 2, 4, 8, 16, ..., 2n valores. Quando chegamos à a = 3.9, o sistema tem tantas
bifurcações que até parece que as órbitas oscilam aleatoriamente entre todos os valores da população. Apesar de parecer uma oscilação aleatória, ela não é. Este sistema segue simples regras determinísticas que parecem ser aleatórias, mas não são. Este é o caos determinístico e aperiódico (BOEING, 2015).
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Figura 18: Diagrama de órbitas para o mapa logístico.
Fonte: Elaborada pelo autor. Vamos ampliar esta imagem e veri cá-la entre 3.7 e 3.9.
Figura 19: Diagrama de órbitas ampliado.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos observar na gura 19, com a em torno de 3.83, que o sistema está em uma dinâmica caótica, e então entra em um regime ordenado, oscilando apenas entre três ór-bitas. Mas rapidamente, bifurca mais uma vez, e entra no regime caótico para valores do parâmetro acima de 3.86. Nessa mesma gura, pode-se notar que as bifurcações em torno de a = 3.85 apresentam a mesma estrutura da gura 18, ou mesmo da gura 14. Ampliando essa gura em torno da bifurcação central, obtemos a gura 20. Vemos que essa gura tem a mesma estrutura que foi produzida no diagrama de órbitas da gura 14. Se continuarmos ampliando esse diagrama de órbitas, poderemos observar a mesma
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estrutura a cada vez que o diagrama for ampliado.
Figura 20: Diagrama de órbitas ampliado em torno de a = 3.85.
Fonte: Elaborada pelo autor.
No capítulo 3, foi mencionado que a região onde o regime caótico se inicia é aquela que o sistema cobre todo o intervalo [0, 1]. Também foi dito que sistemas caóticos possuem um atrator estranho. O sistema passa a oscilar em torno desse atrator estranho e nunca se repete, ou seja, órbitas não se cruzam no regime caótico ou tem um comportamento estacionário. Essa estrutura é caracterizada como um fractal (BOEING, 2015). Fractais são auto-similares, o que signi ca que eles possuem a mesma estrutura em todas as esca-las. À medida que ampliamos uma estrutura fractal, encontraremos cópias da estrutura original. Podemos observar, na gura 20, as mesmas formas de bifurcações, o caos, e ciclos que vimos no primeiro diagrama de órbitas que possui todo o intervalo para parâmetro a.
4.3 Grá cos de Poincaré
No m do século XIX, grandes progressos foram feitos na dinâmica gravitacional a partir de trabalhos do matemático Henri Poincaré. Sir Isaac Newton resolveu o problema de dois corpos, no entanto os questionamentos de Poincaré acerca da estabilidade de cor-pos celestes levou a análise do problema de três corcor-pos de uma visão quantitativa para uma visão qualitativa. Sua abordagem geométrica foi tão poderosa que atualmente pode-mos aplicar a teoria de sistemas dinâmicos em áreas do conhecimento cientí co totalmente diferentes da mecânica gravitacional (PINTO, 2007). Então, uma outra forma de visualisar
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o caos determinístico é através de um grá co de Poincaré, que possui os valores xn+1
no eixo y e xnno eixo x. Para o mapa logístico, com a = 2.5 e a = 3.55, temos os seguintes
grá cos de Poincaré. Na gura 21, o grá co de Poincaré do lado esquerdo mostra que para a = 2.5, temos apenas um ponto xo atrator em x∗ = 0.6. Enquanto que o grá co da direita mostra que para a = 3.55, temos o sistema orbitando em torno de oito pontos xos atratores, este é um ciclo de período 8. Na gura 22, com valores maiores de a, pode-se observar o caminho para o caos e a forma geométrica que os grá cos de Poincaré possuem. Isto é, as órbitas não se cruzam à medida que o tempo passa.
Figura 21: Grá co de Poincaré.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 22: Grá co de Poincaré no regime caótico.
Fonte: Elaborada pelo autor.
En-43
quanto que o grá co da direita representa vários paramêtros no intervalo [3.6, 4]. Esse intervalo representa o regime caótico: o intervalo de valores do paramêtro que o mapa logístico se comporta caoticamente. Cada curva é formada a partir de um valor do pa-ramêtro. As parabólas nunca se sobrepõem, devido as suas geometrias fractais e a sua natureza determinística do mapa logística (BOEING, 2015). Os atratores estranhos são
determinados a partir dessas formas, pois o sistema, de alguma forma, está contido nestas parábolas. Mas as órbitas nunca tendem para um único ponto xo, ou até mesmo uma oscilação estacionária como foi o caso dos grá cos de Poincaré da gura 22. Elas apenas passam a ocupar diferentes valores no intervalo [0, 1], sem nunca repetir valores dentro desse intervalo.
4.4 Expoentes de Lyapunov
Já sabemos que sistemas caóticos possuem sensível dependência nas suas condições iniciais. Isso signi ca que duas trajetórias do mapa de Lorenz que começam muito próxi-mas uma da outra (ou seja, condições iniciais muito próxipróxi-mas) vão se afastar rapidamente, e se encontrarão em diferentes posições no futuro (STROGATZ, 1994). Agora, suponha que
o sistema decai no seu estado transiente, então a trajetória está no atrator. Suponha x(t) é um ponto no atrator no tempo t, e considere um ponto próximo x(t) + δ(t), onde δ é uma pequena separação do valor inicial δ0.
Figura 23: Separação entre uma iteração e a próxima.
Fonte: Retirada de (STROGATZ, 1994, p. 321). Em estudos numéricos do atrator de Lorenz, encontra-se
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onde λ é o expoente de Lyapunov. Desde que as trajetórias vizinhas se separem ex-ponencialmente. Equivalentemente, podemos desenhar gra camente ln||δ(t)|| contra t, encontrando
Figura 24: Logaritmo da separação entre duas trajetórias no mapa de Lorenz.
Fonte: Retirada de (STROGATZ, 1994, p. 321).
O valor de λ é a inclinação da reta da gura acima. No entanto, se faz necessária uma abordagem mais simples para o cálculo de λ. Considere δncomo sendo a separação depois
de n iterações. Se |δn| ≈ |δ0| exp(nλ), então λ é um expoente de Lyapunov. Um expoente
de Lyapunov positivo é uma característica do caos. Tomando o logaritmo na equação 4.4 e notando que δn= fn(x0+ δ0) − fn(x0), podemos obter
λ ≈ 1 n ln | δn δ0 | (4.5) o que leva à λ ≈ 1 nln| fn(x 0+ δ0) − fn(x0) δ0 | (4.6) portanto, λ ≈ 1 nln|(f n)0 (x0)| (4.7)
45 cadeia: (fn)0(x0) = n−1 Y i=0 f0(xi) (4.8) Desde que λ ≈ 1 nln| n−1 Y i=0 f0(xi)| = 1 n n−1 X i=0 ln|(fn)0(xi)| (4.9)
Se a última equação possui um limite nito quando n → ∞, temos de nido o expoente de Lyapunov com órbita inicialmente no ponto x0:
λ = lim n→∞{ 1 n n−1 X i=0 ln|(fn)0(xi)|} (4.10)
O expoente de Lyapunov depende da órbita inicial x0. Para pontos xos estáveis e
ciclos, λ é negativo, enquanto que atratores caóticos possuem λ positivo.
A gura a seguir é uma representação do expoente de Lyapunov em função do parâ-metro a no mapa logístico.
Portanto, neste capítulo foi introduzido a ideia de caos determinístico, apresentando rapidamente o mapa de Lorenz e o efeito borboleta. A partir de caos no mapa logístico, foi apresentada a ideia de fractais, grá co de Poincaré e expoente de Lyapunov. Fractais, grá cos de Poincaré e expoentes de Lyapunov são formas de caracterizar o caos deter-minístico e diferenciá-lo de aleatoriedade em sistemas dinâmicos não-lineares. Fractais possuem auto similaridade, ou seja, à medida que ampliamos a imagem em uma região caótica, o sistema apresenta o mesmo comportamento. No caso de grá cos de Poincaré, a dinâmica ca restrita a uma forma geométrica (uma parábola no caso do mapa logís-tico). Enquanto que para valores nitos e positivos do expoentes de Lyapunov, estamos na dinâmica caótica.
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Figura 25: Expoente de Lyapunov em função do parâmetro a no mapa logístico.
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5 Considerações nais
Neste trabalho foram desenvolvidas ideias básicas a respeito do caos determinístico, passando por seu contexto histórico e a sua formulação matemática necessária para o seu estudo como: o método do ponto xo, bifurcações e diagramas de órbitas, fractais, grá- cos de Poincaré e expoentes de Liapunov. Dessa forma, uma simples abordagem sobre caos determinístico para alunos de graduação foi apresentada a partir do mapa logístico. Acredita-se que o estudo de caos em cursos de graduação se é necessário, devido a sua sim-plicidade e abrangente aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento cientí co como: biologia, geologia, nanças, física, entre outras.
Espera-se que possamos continuar trabalhando na divulgação de caos, mas agora, escrevendo um texto para alunos do Ensino Médio, uma vez que o ferramental necessário não é tão avançado como para outros tópicos do conhecimento cientí co. Novos conceitos como programação de computadores podem ser apresentados para alunos do Ensino Médio de modo a despertar curiosidade a respeito da programação, dinâmica caótica e produção de excitantes imagens fractais.
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Referências
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PRADO, C. P. C. do; FIEDLER-FERRARA, N. CAOS UMA INTRODUÇÃO. 1. ed. [S.l.]: EDGARD BLÜCHER, 1995.
STROGATZ, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 1. ed. [S.l.]: Addison-Wesley, 1994.
WEN, H. A review of the Hénon map and its physical interpretations. 2014. Disponível em: <http://chaosbook.org/projects/Wen14.pdf>. Acesso em: 01 abr. 2016.
