Expansão do Universo e geração de massa para as partículas elementares

(1)

DEPARTAMENTO DE F´ISICA BACHARELADO EM F´ISICA

Camila Pereira Ramos

Expans˜

ao do Universo e gera¸

c˜

ao de massa para as

part´ıculas elementares

Natal-RN

10 de Junho

(2)

Expans˜

ao do Universo e gera¸

c˜

ao de massa para as

part´ıculas elementares

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Departamento de F´ısica do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como re-quisito parcial para a obten¸cão do grau de bacharel em F´ısica.

Orientador:

Prof. Dr. Farinaldo da Silva Queiroz

Universidade Federal do Rio Grande do Norte — UFRN Departamento de F´ısica — DF

Natal-RN 10 de Junho

(3)

Ramos, Camila Pereira.

Expansão do Universo e geração de massa para as partículas elementares / Camila Pereira Ramos. - 2019.

37f.: il.

Monografia (Bacharelado em Física) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Departamento de Física. Natal, 2019.

Orientador: Farinaldo da Silva Queiroz.

1. Física - Monografia. 2. Mecanismo de Higgs - Monografia. 3. Modelo padrão - Monografia. 4. Quebra espontânea de simetria - Monografia. 5. Partículas elementares - Monografia. I.

Queiroz, Farinaldo da Silva. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 53

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

(4)

mento de F´ısica do Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:

Prof. Dr. Farinaldo da Silva Queiroz Universidade Federal do Rio Grande do Norte

IIP/DF

Prof. Dr. L´eo Gouvˆea Medeiros

Universidade Federal do Rio Grande do Norte ECT/DF

Dr. Jamerson Gillis Batista Rodrigues Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Departamento de F´ısica

(5)

Agradecimentos

(6)

Resumo

O mecanismo de Higgs é essencial na constru¸cão do Modelo Padrão por explicar a origem das massas das part´ıculas elementares que compõem o modelo. Para que possamos abordá-lo de maneira pedagógica iremos primeiramente fornecer um contexto histórico para a quebra espontânea de simetria dentro de um universo em expansão. Em seguida, demonstraremos uma rela¸cão entre simetria e conserva¸cão de corrente elétrica através do estudo das teorias de gauge abeliana e não-abeliana. Por fim, introduziremos um modelo de quebra espontânea de simetria que guiará até o cenário do Modelo Padrão das intera¸cões eletrofracas, que se baseia na simetria SU (2)L⊗ U (1)Y, gerando massa para

b´osons de gauge e para os f´ermions.

Palavras-chave: Mecanismo de Higgs, Modelo Padr˜ao, Quebra Espontˆanea de Sime-tria, Part´ıculas Elementares.

(7)

Abstract

The Higgs mechanism is essential in the construction of the Standard Model to explain the origin of the elementary particles masses of the model. We will provide a historical context to the spontaneous symmetry breaking in an expanding Universe to approach the Higgs mechanism in a pedagogical way. In sequence, we will show a relation between symmetry and electrical current conservation through the study of the abelian and non-abelian gauge theories. Finally, we will introduce a spontaneous symmetry breaking that will guide to the Standard Model of Electroweak Interactions scenario, which is based on the SU (2)L⊗ U (1)Y symmetry, generating mass to the gauge bosons and the fermions.

Keywords:Higgs Mechanism, Standard Model, Spontaneous Symmetry Breaking, Ele-mentary Particles.

(8)

Lista de Figuras

1.1 Evolu¸cão do Universo contendo radia¸cão e matéria. . . 2 3.1 Esbo¸co do potencial V (φ) = 1₂µ2_(φ∗_{φ) +} 1

4λ(φ

∗_φ)2 _{em fun¸c˜}_{ao de φ} 1 e φ2

(9)

Conte´

udo

Agradecimentos i Resumo ii Abstract iii 1 Introdu¸c˜ao 1 2 Teoria de gauge 4

2.1 Ideia de invariˆancia de gauge . . . 4

2.2 Invariˆancia Global . . . 6

2.3 Invariˆancia Local . . . 7

2.3.1 Grupos n˜ao-Abelianos . . . 9

3 Quebra espontânea de simetria 11 4 Mecanismo de Higgs no Modelo Padrão 16 4.1 QES no Modelo Padrão . . . 17

4.2 Massa para os f´ermions . . . 21

4.3 Termos cin´eticos para os b´osons . . . 24

4.4 O b´oson de Higgs . . . 25

(10)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho iremos estudar como as part´ıculas elementares adquiriram massa, o que se deu por uma transi¸c˜ao de fase em um per´ıodo onde a temperatura do Universo ´e da ordem de kBT ∼ 100 GeV, num tempo de t ∼ 10−10 segundos [5], quando a simetria

eletrofraca foi quebrada. Para tal, precisamos entender como era o Universo naquela ´epoca.

A cosmologia moderna se baseia no preceito de que, em escalas suficientemente gran-des, digamos centenas de Megaparsecs1_{, o Universo se parece o mesmo n˜}_{ao importa onde o}

observador esteja nem para onde ele observa. Este é o princ´ıpio cosmológico, e em outras palavras ele afirma que o Universo é homogêneo e isotrópico.

Outra caracter´ıstica do Universo descrita pela cosmologia é a expansão. Durante a década de 20, Edwin Hubble, ao relacionar a distância entre as galáxias e nosso planeta com a velocidade de recessão destas galáxias, observou um comportamento linear [1], i.e., um objeto se afasta com velocidade proporcional à distância que o separa de nós.

A Lei de Hubble2 nos dá uma boa descri¸cão de como em média as galáxias se com-portam.

Se as galáxias se afastam, podemos assumir que há uma expansão no espa¸co-tempo, au-mentando cada vez mais a distância entre as galáxias. Partindo do princ´ıpio cosmológico, é razoável dizer que essa expansão é universal e a atribu´ımos um fator de escala a(t),

l(t) = a(t)r, (1.1)

a distância fixa r é chamada de coordenada comóvel, e l(t) é o valor f´ısico da distância entre as galáxias. Este valor aumenta com o tempo gra¸cas ao fator de escala a(t).

1_{1M pc ≈ 3, 26 × 10}6 _anos-luz.

2_{A velocidade de recess˜}_{ao se relaciona com a distˆ}_{ancia entre as gal´}_{axias na forma v}_v_{v = H}

0rrr, sendo H0 a constante de Hubble, o sobrescrito 0 nos informa seu valor medido atualmente

(11)

Observamos que as galáxias se afastam uma das outras conforme o tempo passa, então se voltarmos no tempo, elas estarão mais próximas umas das outras. Portanto, em um tempo distante o suficiente no passado, tudo aquilo que compõe o Universo encontrava-se unido, e este momento inicial é conhecido como Big Bang.

As equa¸cões de Friedmann [2], nos explicam como o Universo evolui: H2 ≡ ˙a a 2 = 8πG 3 ρ − κc2 a2 , (1.2) ¨ a a = − 4πG 3 ρ +3p c2 (1.3) κ é a curvatura espacial3, ρ é a densidade, que depende do que o Universo é composto e p é a pressão. A partir destas equa¸cões podemos obter a equa¸cão do fluido [2] e com isto basta a equa¸cão de estado para determinar como o fator de escala evolui com o tempo. Durante este trabalho, teremos em conta um Universo dominado por:

• Mat´eria

Nesta classe se encaixa qualquer material que exerce press˜ao nula e portanto n˜ao-relativ´ıstica. ´

E uma boa aproxima¸cão para descrever átomos quando o Universo esfriou. • Radia¸cão

Entendemos por radia¸c˜ao as part´ıculas relativ´ıstica, que por sua alta velocidade exerce press˜ao no Universo.

Radiação

Matéria

log(tempo) log(densidade)

Figura 1.1: Evolu¸cão do Universo contendo radia¸cão e matéria.

Considerando o o per´ıodo no qual o Universo possui mais radia¸cão que matéria4, esta por sua vez obedece ao espectro de um corpo negro, podemos então relacionar a densidade com a temperatura

ρrc2 = σT4 (1.4)

3_{Se κ = 0, temos um Universo plano; caso κ < 0, ele ´}_{e hiperb´}_{olico e se κ > 0, o Universo ´}_{e esf´}_erico. 4_{Consideramos aqui uma situa¸}_c˜_{ao onde h´}_{a uma mistura entre as duas densidades (de radia¸}_c˜_{ao e de} mat´eria), assim como em [2].

(12)

sendo σ a constante de Stefan-Boltzmann. Neste cenário a temperatura do Universo será inversamente proporcional ao fator de escala, o que entra de acordo com a teoria do Big Bang quente. O fator de escala é a taxa de expansão do Universo, assim, se o fator de escala é muito pequeno, ou seja, o per´ıodo inicial do Universo, este terá uma temperatura muito grande. Isto tudo caso o Universo esteja num per´ıodo no qual a quantidade de radia¸cão é maior. Uma análise mais a fundo destas equa¸cões nos mostra que de fato o Universo era dominado por radia¸cão inicialmente [2], como mostra o esquema na Figura 1.1.

Iniciaremos o corpo deste trabalho com o estudo das teorias de gauge abeliana e n˜ ao-abeliana, que não gera massa para as part´ıculas, mas nos levam à conserva¸cão de corrente elétrica e também às intera¸cões entre part´ıculas.

Em seguida, usaremos a simetria abeliana U(1) para introduzir a quebra espontˆanea de simetria, o mecanismo que gera massa para b´osons de gauge.

Finalizaremos ent˜ao com a quebra da simetria SU (2)L⊗ U (1)Y, ou o mecanismo de

Higgs, mostrando como as part´ıculas elementares adquirem massa, concluindo assim o objetivo deste trabalho.

(13)

Cap´ıtulo 2

Teoria de gauge

Iniciaremos o corpo deste trabalho com um estudo acerca da teoria de gauge1_{. Uma}

in-trodu¸cão ao assunto será realizada inicialmente, mostrando a utiliza¸cão desta ferramenta no eletromagnetismo, onde a invariância de gauge nos auxilia no cálculo de campos ele-tromagnéticos.

A grande importância deste tópico se mantém em apresentar quais são as consequências ao impor invariância da densidade de lagrangiana sob as transforma¸cões global e local. Transforma¸cões globais e locais, quando ditas invariantes, levam à conserva¸cão de carga e, adicionalmente, a invariância por transforma¸cões locais gera as intera¸cões entre as part´ıculas elementares [3].

Concluiremos o cap´ıtulo expressando que, embora fundamental, a invariância de gauge não é suficiente para gerar part´ıculas massivas.

2.1 Ideia de invariˆ

ancia de gauge

Uma mudan¸ca na configura¸cão é então imposta e verificamos a forma com a qual a teoria é afetada. Quando um sistema admite várias configura¸cões que resultam em mesmos resultados observáveis, temos uma invariância de gauge. Isto demonstra a incapacidade de descrever o sistema de maneira única. Um exemplo famoso é encontrado durante o estudo do Eletromagnetismo. A teoria de gauge é usada na Eletrodinâmica Clássica com o objetivo de tornar o cálculo dos campos elétrico e magnético mais simples. Para não fugir muito do escopo do trabalho, iremos apenas revisar ligeiramente o uso da invariância de gauge. Consideremos as equa¸cões de Maxwell:

(14)

∇ · E = ρ 0 (2.1) ∇ · B = 0 (2.2) ∇ × E = −∂B ∂t (2.3) ∇ × B = µ0J + µ00 ∂E ∂t (2.4)

O divergente do campo magnético é nulo, assim, podemos escrever o campo em termos de um potencial vetor, de forma que a equa¸cão (2.2) se mantenha inalterada:

B = ∇ × A, (2.5)

pois ∇ · (∇ × A) = 0. Inserindo na Lei de Faraday (eq. (2.3)), encontramos: ∇ × E +∂A ∂t = 0. (2.6)

A express˜ao entre parˆentesis, por sua vez, pode ser escrita como o gradiente de um escalar:

E + ∂A

∂t = −∇V. (2.7)

Substituindo este resultado na Lei de Gauss (eq. (2.1))2_,

∇2_{V +} ∂

∂t(∇ · A) = − ρ 0

. (2.8)

Inserindo agora as equa¸c˜oes (2.5) e (2.7) em (2.4): ∇ × (∇ × A) = J − ∇ ∂V ∂t − ∂ 2_A ∂t2 (2.9) com a identidade ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2_A, obtemos ∇2_{A −} ∂ 2_A ∂t2 − ∇ ∇ · A +∂V ∂t = −J. (2.10)

Porém, a maneira na qual introduzimos os potenciais vetor e escalar não os define de forma única, já que podemos redefini-los e manter os campos elétrico e magnético idênticos3_{. Para este exemplo, escolheremos o gauge de Lorenz:}

∇ · A = −∂V ∂t .

2_{A partir daqui, usaremos unidades naturais: µ}

0= 0= 1.

(15)

Podemos verificar as consequˆencias desta escolha, ∇2_{V −} ∂2V

∂t2 = −ρ, (2.11)

∇2_{A −} ∂2A

∂t2 = −J. (2.12)

com o gauge de Lorenz, V e A satisfazem a equa¸cão inomogênea da onda, com o termo fonte à direita de cada equa¸cão.

Na nota¸c˜ao covariante, Aµ = (V ; A) e Jµ = (ρ; J), portanto:

Aµ = Jµ (2.13)

onde ´e o operador d’Alambertiano, ≡ (∂2/∂t2) − ∇2. ´

E importante também mencionar que a conserva¸cão da corrente elétrica ainda se mantém, uma vez que [3]:

∂µJµ = 0. (2.14)

2.2 Invariˆ

ancia Global

A partir deste ponto, o formalismo lagrangiano será adotado para dar in´ıcio à análise das intera¸cões entre part´ıculas. Utilizaremos este formalismo por ser invariante de Lorentz, por ser apropriado para uma discussão acerca de leis de conserva¸cão e também porque, através do princ´ıpio variacional, temos acesso às equa¸cões de movimento.

Come¸camos construindo a densidade de lagrangiana, L (φ(x), ∂µφ(x)), um funcional

de φ(x) e de ∂µφ(x) = ∂φ(x)/∂xµ [3].

A a¸cão do sistema é então definida por: S ≡ Z t2 t1 dt Z d3xL (φ(x), ∂µφ(x)) (2.15)

Em compara¸cão ao caso da mecânica clássica, a integral espacial da densidade de lagrangiana toma o papel da lagrangiana:

L ≡ Z

d3xL (φ(x), ∂µφ(x)) (2.16)

portanto, a partir daqui, denominaremos a densidade de lagrangiana apenas como lagran-giana. A a¸cão deve ser estacionária, ou seja, δS = 0 e considerando que as varia¸cões dos campos em t1 e t2 se anulem, somos levados às equa¸cões de Euler-Lagrange:

∂L ∂φ = ∂µ

∂L ∂(∂µφ)

(16)

que nos levam `as equa¸c˜oes de movimento.

Podemos ent˜ao partir da lagrangiana de um campo escalar complexo livre4_:

L = (∂µφ)∗(∂µφ) − m2φ∗φ, m2 > 0. (2.18)

e aplicando as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange,

( + m2)φ = 0 _{( + m}2)φ∗ = 0, (2.19) sendo = ∂µ∂µ o operador d’Alambertiano.

As equa¸cões acima são identificadas como as equa¸cões de Klein-Gordon para os campos φ e φ∗, que descrevem uma part´ıcula livre de massa m e spin 0.

Vamos verificar se a seguinte transforma¸cão global, isto é, um gauge, mantém a la-grangiana invariante:

φ(x) → eiqαφ(x) φ∗(x) → e−iqαφ∗(x) (2.20) note que qα ´e uma fase que n˜ao depende de x, logo estamos mudando campo φ(x) pela mesma quantidade em todos os pontos do espa¸co.

Para ser invariante, a lagrangiana deve satisfazer δL = 0, portanto: δL = ∂L ∂φδφ + ∂L ∂(∂µφ) δ(∂µφ) + ∂L ∂φ∗δφ ∗ + ∂L ∂(∂µφ∗) δ(∂µφ∗) = 0 (2.21) = iq(δα)∂µ ∂L ∂(∂µφ) φ + ∂L ∂(∂µφ∗) φ∗ = 0 (2.22)

o termo entre colchetes pode ser visto como a corrente conservada de Noether5_:

jµ = iq(φ∗∂µφ − φ∂µφ∗) (2.23) que satisfaz

∂µjµ= 0.

Conservando a corrente de Noether.

2.3 Invariˆ

ancia Local

Agora suponha que temos uma mudan¸ca no campo φ, por´em desta vez o termo de fase α varia com a coordenada x,

φ → eiqα(x)φ φ∗ → e−iqα(x)φ∗ (2.24)

4_{Consideramos aqui a m´}_{etrica g}µν _{= diag(1, −1, −1, −1).}

5_{Uma discuss˜}_{ao sobre o Teorema de Noether e a corrente de Noether pode ser encontrada em [4], e} um c´alculo expl´ıcito da eq. (2.21) ´e feito em [3].

(17)

esta é chamada de tranforma¸cão de gauge local. Percebemos que a derivada do campo não é mais alterada por uma simples fase, portanto não sendo invariante:

∂µφ → eiqα[∂µ+ iq(∂µα)φ]. (2.25)

Contudo podemos recuperar a invariˆancia local ao substituir o gradiente ∂µ por uma

derivada covariante, Dµ

Dµ ≡ ∂µ+ iqAµ, (2.26)

enquanto que o potencial Aµ se transforma em

Aµ→ Aµ− ∂µα. (2.27)

A partir deste ponto, a constante q recebe um significado: ela ´e conhecida como constante de acoplamento, e nos informa o qu˜ao forte o campo Aµ interage com o escalar

φ.

A derivada covariante, ao impor o gauge, torna-se

Dµ→ eiqαDµ (2.28)

A lagrangiana portanto é invariante sobre transforma¸cões locais, um procedimento análogo ao da se¸cão anterior pode ser realizado com o fim de verificar a conserva¸cão de carga.

Outra caracter´ıstica notável da invariância de gauge local é o surgimento da intera¸cão entre o vetor Aµ e o campo φ.

Usando a lagrangiana da equa¸c˜ao de Dirac6_{, conseguimos a forma com a qual A} µ

interage com a mat´eria. A lagrangiana de uma part´ıcula livre em termos do spinor ψ Llivre = ¯ψ(iγµ∂µ− m)ψ (2.29)

´e invariante quando realizamos os procedimentos:

ψ → eiqαψ ψ → e¯ −iqαψ¯ ∂µ→Dµ Aµ→ Aµ−

1 q∂µα lembrando que ¯ψ = ψ†γ0_{. Trocando todas estas express˜}_oes

L = ¯ψ(iγµDµ− m)ψ (2.30)

= ¯ψ(iγµ∂µ− m)ψ − q ¯ψγµAµψ (2.31)

L = Llivre− JµAµ (2.32)

6_{A lagrangiana de Dirac leva `}_{a equa¸}_c˜_{ao de Dirac, que descreve f´}_{ermions livres, e s˜}_{ao os f´}_{ermions que} comp˜oem a mat´eria.

(18)

onde a corrente conservada ´e Jµ _{= −e ¯}_ψγµ_{ψ (q = −e). Adicionando o termo cin´}_{etico do}

potencial vetor, completamos a lagrangiana da eletrodinˆamica quˆantica (EDQ):

LEDQ=Llivre− JµAµ− 1₄FµνFµν (2.33)

sabendo que Fµν _{= ∂}µ_Aν _{− ∂}ν_Aµ _tamb´_{em ´}_{e invariante. Usando as equa¸c˜}_{oes de}

Euler-Lagrange, a corrrente de Noether ´e identificada por:

∂µFµν = −Jν (2.34)

que é a forma covariante das equa¸cões de Maxwell. O eletromagnetismo pode ser então alcan¸cado ao impor uma simetria local de gauge U (1).

Indo ainda mais adiante, um termo de massa para o f´oton, digamos Lmassaγ = 1₂m2γAµAµ

não seria invariante, levando à conclusão de que na descri¸cão lagrangiana da EDQ, o fóton é uma part´ıcula sem massa. Não obstante, uma lagrangiana não invariante faria com que a carga elétrica não fosse conservada.

2.3.1 Grupos n˜

ao-Abelianos

Entendendo o estudo acerca de teoria de gauge, iremos nesta se¸cão abordar grupos mais complexos do que o U (1), tomaremos o grupo de simetria especial unitário SU (2). O cálculo é, em essência, o mesmo. A diferen¸ca se dará por obstáculos algébricos, devido ao fato de o grupo em questão ser não-Abeliano, i.e, os seus geradores não comutam entre si, implicando em auto-intera¸cões dos bósons de gauge. Apenas os passos adicionais serão encontrados nesta se¸cão, pois serão retomados ao longo do Cap´ıtulo 4.

No caso do grupo de simetria SU (2), seus geradores, T = {T1, T2, T3} s˜ao escritos em

termos das matrizes de Pauli, T = σ/2. E suas rela¸cões de comuta¸cão são [Ti, Tj] = iijkTk

Tais propriedades nos obrigam a adicionar termos ao tensor de for¸ca do campo (o an´alogo de Fµν _{para esta simetria) se desejamos manter a lagrangiana invariante.}

Uma transforma¸c˜ao infinitesimal de SU (2)

ψ → ψ0 = (III + igααα · T)ψ ψ → ¯¯ ψ0 = ¯ψ(III − igααα · T) (2.35) onde ααα ´e agora um vetor que depende das coordenadas espaciais e temporal. Tal trans-forma¸c˜ao faz com que o termo de massa da part´ıcula na lagrangiana de Dirac permane¸ca

(19)

invariante. O gradiente, como vimos anteriormente, deve ser promovido `a derivada cova-riante, que se transforma como:

D0_µ

= ∂µ+ igWWW0µ· TTT (2.36) Verificando a invariˆancia do termo D0µ_ψ0_,

D0_µ

ψ0 = (∂µ+ igWWW0µ· TTT )(III + igααα · T)ψ (2.37) a lagrangiana ´e invariante se

D0_µ

ψ0 = (III + igααα · T)Dµψ (2.38) (∂µ+ igWWW0µ· TTT )(III + igαα · T)ψ = (III + igαα αα · T)(∂µ+ igWWWµ· TTT )ψ

ig(∂µααα) · TTT + igWWW0µ· TTT − g2(WWW0µ· TTT )(ααα · TTT ) = igWWWµ· TTT − g2(ααα · TTT )(WWW0µ· TTT ) (2.39) caso o campo WWWµ se transforme como na EDQ,

Wkµ→ Wk0µ= Wkµ− ∂µαk

não obtemos uma expressão invariante, já que (ααα·TTT )(WWW ·TTT ) 6= (WWW ·TTT )(ααα·TTT ). Adicionando um fator de dependência entre os bósons de gauge às suas transforma¸cões,

Wkµ→ Wk0µ _{= W}kµ_{− ∂}µ_αk_{− ig}ijk_αi_Wjµ

ou na forma vetorial:

WWWµ → WWW0µ = WWWµ− ∂µ_α_α_{α − igα}_α_{α × W}_W_Wµ _(2.40)

somos capazes de recuperar a invariância sobre transforma¸cões infinitesimais, outro passo importante é definir um tensor para os bósons de SU (2) que também seja invariante.

O tensor Fµν _{pode ser escrito em termos da derivada covariante, onde}

Fµν = 1 iq[D

µ_,_Dν_]

ent˜ao para o grupo de simetria SU (2), podemos obter um tensor equivalente, WWWµν_:

W

WWµν = ∂µWWWν − ∂ν_W_W_Wµ_{− gW}_W_Wµ_{× W}_W_Wν _(2.41)

Reunindo todas as manipula¸c˜oes adicionais, podemos construir a lagrangiana de Yang-Mills:

LY M = ¯ψ(iγµDµ− m)ψ − ₄1WWWµν · WWWµν (2.42)

Todos estes passos são realizados de maneira mais detalhada na referência [13]. Novamente, um termo de massa para WWWµ quebraria a invariância, e sabendo que existem bósons de gauge na natureza que são massivos (mW ≈ 80 GeV e mZ ≈ 90

GeV), a teoria de gauge não é suficiente para tentar explicar aquilo que observamos. Este papel passa então para a quebra espontânea de simetria, na qual iremos nos dedicar nos próximos cap´ıtulos. Os grupos de simetria aqui utilizados servirão para a constru¸cão do Modelo Padrão, justificando sua sele¸cão.

(20)

Cap´ıtulo 3

Quebra espontˆ

anea de simetria

Conclu´ımos no cap´ıtulo anterior que, embora capaz de gerar as intera¸cões entre os bóson de gauge e a matéria, a invariância por transforma¸cões locais não é suficiente para explicar o porquê dessas part´ıculas serem massivas. Devemos então buscar outras ferramentas que corroborem com a existência de bósons de gauge massivos.

Como mostraremos posteriormente no Cap´ıtulo 4, nem mesmo o termo de massa dos férmions da lagrangiana de Dirac é invariante por transforma¸cões de gauge locais no Modelo Padrão.

A quebra espontânea de simetria (QES) é um mecanismo de gera¸cão de massa para esses bósons. Este conceito é um dos mais importantes na teoria quântica de campos. Diferentemente de uma quebra expl´ıcita de simetria, na QES a lagrangiana é invariante, mas estado vácuo1 não é.

A principal diferen¸ca entre uma quebra expl´ıcita de simetria e uma QES é que no primeiro caso há uma quebra de simetria quando a lagrangiana contém termos invariantes sob a simetria requerida. Em nosso caso, uma lagrangiana invariante por simetria global leva a importantes consequências f´ısicas (e.g. no eletromagnetismo, a invariância por transforma¸cão global resulta em conserva¸cão de carga). Também necessitamos que a mesma seja invariante por transforma¸cões locais, resultando assim em intera¸cões do campo com o bóson de gauge.

Um contexto familiar da QES são os materiais ferromagnéticos [6]. Um ferromagneto pode ser modelado como uma grade de spins. Estes spins podem se orientar em qualquer dire¸cão no espa¸co, então a magnetiza¸cão do material2, se relacionará com a dire¸cão na qual os spins apontam. Em temperaturas suficientemente altas, todas as dire¸cões espaciais são equiprováveis para cada spin, resultando em magnetiza¸cão total igual a zero e portanto numa simetria global. Ao resfriar o material abaixo de uma temperatura cr´ıtica, Tc, a

1_{O estado de v´}_{acuo ´}_{e o estado de menor energia} 2_M´_{edia espacial do momento magn´}_etico.

(21)

magnetiza¸cão se torna não-nula assim que os spins come¸cam a se alinhar em apenas uma dire¸cão, podendo ser esta qualquer dire¸cão espacial. Dizemos então que o sistema passa por uma transi¸cão de fase, e após o novo alinhamento, a simetria SU (2) é espontaneamente quebrada3. Um ponto-chave é que o sistema é invariante, e tem sua simetria quebrada após a transi¸cão de fase.

Prosseguiremos de maneira semelhante ao buscar um mecanismo que explique a massa de b´osons de gauge. Utilizando uma lagrangiana de um campo escalar e invariante por transforma¸c˜ao local U (1)4_{, analisaremos o comportamento do campo em torno estado}

de vácuo. Perceberemos que em um caso a simetria é quebrada de maneira espontânea, deixando massivos o campo escalar e o bóson de gauge interagente.

Come¸camos com L = −1 4FµνF µν ₊1 2(Dµφ) ∗ (Dµφ) − µ₂2φ∗φ − λ₄(φ∗φ)2, (3.1) o primeiro termo é denominado cinético, e os dois seguintes compõem o potencial (L = T − V ). A lagrangiana descreve o campo complexo:

φ(x) = φ1(x) + iφ2(x), (3.2)

com φ1 e φ2 reais. µ2 e λ s˜ao independentes da coordenada.

Devemos restringir λ a ser positivo para manter o potencial com um limite inferior: sem este limite, o potencial não possui um ponto de equil´ıbrio estável, então não temos um vácuo. Entretanto, podemos analisar o sinal de µ2 tanto como sendo positivo ou negativo.

No cen´ario de µ2 _{> 0, o potencial possui um ´}_{unico m´ınimo, sendo ele φ}

0 = 0. A lagrangiana L = −1 4|Fµν| 2₊1 2|Dµφ| 2₋ µ2 2 |φ| 2₋ λ 4|φ| 4 _(3.3)

descreve dois campos reais, φ1 e φ2 com massas m1 = m2 = µ. O outro termo que

multiplica λ envolve autointera¸cões, isto é, intera¸cões do campo consigo mesmo, resultado de termos que envolvem φ4

1, φ42 e φ21φ22. Esta ´e a maneira mais simples de fazer os campos

interagirem e o modelo ´e conhecido por teoria φ4_{. O termo qu´}_{artico infelizmente n˜}_{ao pode}

ser tratado analiticamente, e portanto uma an´alise pode ser feita somente com teoria de perturba¸c˜ao.

Com µ2 < 0, este termo n˜ao pode ser o de massa, j´a que isto implicaria em uma

3_{Por exemplo, ao rotacionarmos o sistema em 180}o_{obtemos uma magnetiza¸}_c˜_{ao total com sinal oposto} (M → −M ) [7].

(22)

V (φ)

φ1

φ2

(a) Para µ2 > 0, existe um v´acuo ´unico e bem definido em φ = 0, mantendo a sime-tria U (1) da lagrangiana.

V (φ)

φ1

φ2

(b) Para µ2 < 0, o vácuo é degenerado. Qualquer escolha do vácuo irá quebrar a si-metria U (1) da lagrangiana.

Figura 3.1: Esbo¸co do potencial V (φ) = 1₂µ2(φ∗φ) +1₄λ(φ∗φ)2em fun¸c˜ao de φ1e φ2para dois diferentes valores de µ2_.

quantidade imagin´aria. O potencial possui um m´ınimo degenerado em dV d|φ| φ0 = −µ2|φ|0− λ|φ|30 = 0 (3.4) |φ|0 = ± r −µ2 λ = ±v (3.5)

Lembrando que o m´ınimo local |φ|0 = 0 é um ponto de equil´ıbrio instável, é necessário

escolher um dos dois estados para ser o novo vácuo. As consequências devem ser inde-pendentes da escolha, pelo fato da lagrangiana ser invariante por transforma¸cões globais. Escolhemos então φ = +v e a lagrangiana no estado de menor energia tem sua simetria quebrada de maneira espontânea.

Expandindo φ(x) em torno do m´ınimo para obter as pequenas oscila¸c˜oes em torno do ponto de equil´ıbrio est´avel, podemos escrever φ1(x) = η(x) + v e φ2(x) = ξ(x) a parte

cin´etica da lagrangiana5

LT = −1₄FµνFµν +1₂(∂µη)(∂µη) + 1₂(∂µξ)(∂µξ) + 1₂q2v2AµAµ+ qv(∂µξ)Aµ (3.6)

já não é mais invariante, pois vemos um termo de massa para o bóson Aµ6, portanto a

5_{A derivada covariante} _D

µ ´e definida na eq. (2.26), no cap´ıtulo anterior.

(23)

quebra espontˆanea de simetria ´e vis´ıvel. O termo do potencial, V = 1₂µ2(φ∗φ) + 1₄λ(φ∗φ)2

V = 1₂µ2η2+1₂µ2v2+ µ2vη + _4vµ22[(η + v)

4

+ ξ4 + 2η2ξ2] +4µ_v2ηξ2. (3.7) contém o termo de massa para η, m2_η = −2µ2. Utilizamos no último passo a rela¸cão (3.5).

A lagrangiana total L = Lcin− Vint, (3.8) Lcin = 1₂(∂µη)(∂µη) + 1₂µ2η2 | {z } campo η massivo +1₂(∂µξ)(∂µξ) | {z }

campo ξ sem massa

+1₂q2v2AµAµ− 1₄FµνFµν

| {z }

b´oson massivo

+qv(∂µξ)Aµ

(3.9)

Vint envolve todos os outros termos, aqueles de intera¸c˜oes entre η, ξ, Aµ e autointera¸c˜oes.

´

E poss´ıvel reescrever alguns termos de Lcin como um novo campo de gauge 1 2q 2_v2_A µ+_qv1 ∂µξ Aµ+_qv1 ∂µξ= 1₂(∂µξ)(∂µξ) + 1₂q2v2AµAµ+ qv(∂µξ)Aµ ent˜ao Aµ→ A 0 µ= Aµ+_qv1 ∂µξ . (3.10)

comparando com a eq. (2.27), o b´oson de gauge se transforma como ∂µα → −∂µξ/qv.

Ap´os a QES, expandimos o campo φ em torno do v´acuo escrevendo φ(x) = η(x) + v + iξ(x), que pode ser expresso, para primeira ordem de η e ξ por

φ ≈ eiξv(η + v) (3.11)

e ao aplicar a transforma¸c˜ao de gauge local

φ → φ0 ≈ eiξ_v_{(η + v)e}−iξ v

φ = (η + v). (3.12)

esta escolha de gauge ´e conhecida por gauge unit´ario, pois resulta em um campo comple-tamente real.

Novamente reescrevendo a lagrangiana ainda mais simplificada L = 1 2(∂µη)(∂ µ_{η) +}1 2µ 2_η2₊1 2q 2_v2_A0 µA 0_µ − 1 4FµνF µν_{− V} int. (3.13)

Vamos entender agora os resultados de todo este processo. Antes haviam dois campos sem massa que interagiam com um bóson de gauge também sem massa. No vácuo há uma

(24)

quebra espontânea de simetria que deixa um dos campos massivos e outro sem massa, em adicional o bóson de gauge também de torna massivo, com mAµ = qv. O campo sem

massa, ξ é chamado de bóson de Goldstone e após a transforma¸cão do campo, ele some da lagrangiana, se tornando o novo grau de liberdade de Aµ. Os graus de liberdade são

conservados, uma vez que inicialmente haviam quatro, um para cada campo φ1 e φ2 e

dois para Aµ. Ap´os a QES, o campo η tem um grau de liberdade, e o Goldstone se torna

um grau de liberdade adicional para o bóson de gauge, que ganha massa. Dizemos então que Aµ “comeu”o bóson de Goldstone e ganhou um grau de liberdade extra.

Uma QES de uma simetria global geraria massa para um dos campos escalares e deixaria o outro sem massa. Não apareceria nenhum bóson de gauge massivo pois seria necessária uma simetria local.

Durante este cap´ıtulo fizemos o estudo do Mecanismo de Higgs para uma simetria local U (1) com o objetivo de introduzir o funcionamento desta ferramenta usada posteriormente na gera¸cão de massa, através da quebra espontânea da simetria SU (2)L⊗ U (1)Y, para os

(25)

Cap´ıtulo 4

Mecanismo de Higgs no Modelo

Padr˜

ao

A teoria de gauge é bem sucedida ao explicar a eletrodinâmica, entretanto, ela é insu-ficiente quando utilizada para descrever intera¸cões eletrofracas, uma vez que a invariância de gauge local requer bóson(s) de gauge sem massa, contradizendo experimentos que observam os seguintes valores para as massas dos bósons W± e Z0 _[8]

mW = 80, 39 GeV, e mZ = 91, 18 GeV. (4.1)

Os bósons W± e Z0 são as part´ıculas pertencentes ao Modelo Padrão e observadas na natureza, portanto é necessário que sejamos capazes de explicar sua existência.

Como vimos no cap´ıtulo anterior, é poss´ıvel gerar massa para part´ıculas através da QES. Iremos então repetir aqui o mesmo procedimento, porém desta vez para os grupos SU (2)L⊗ U (1)Y1.

Chamamos este procedimento de mecanismo de Higgs do Modelo Padrão, que é justa-mente a gera¸cão de massa não só dos bósons W±e Z0, mas também dos férmions, através da quebra espontânea de simetria (QES). Após a QES, no entanto, teremos ainda uma simetria U (1) de carga elétrica residual, mantendo a conserva¸cão de carga elétrica.

Inicialmente, a densidade de lagrangiana ´e dividida em quatro partes:

L = Lescalar +Lf ´ermions+LY ukawa+Lgauge. (4.2)

Na primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo, mostraremos como os b´osons interagem com o novo campo escalar, h(x), conhecido como campo de Higgs.

Deixaremos ent˜ao expl´ıcitos os termos de massa para tais part´ıculas, mantendo o f´oton (aqui denotado por Aµ) sem massa.

1_{L significa left, para as part´ıculas de m˜}_{ao esquerda que se transformam nesta simetria. J´}_{a Y ´}_{e usado} para denominar hipercarga fraca.

(26)

Logo depois, utilizaremos um processo an´alogo com o objetivo de gerar massa para os f´ermions (exceto os neutrinos).

Por fim, analisaremos como se transformam os termos cin´eticos dos b´osons de gauge.

4.1 QES no Modelo Padr˜

ao

Como no procedimento do cap´ıtulo anterior, partiremos da lagrangiana: Lescalar = 1₂(∂µφ)†(∂µφ) −µ

2

2 φ †

φ − λ₄(φ†φ)2 (4.3) O campo φ ´e um campo escalar complexo, representado pelo dubleto de SU (2) de quatro campos escalares reais (ou dois campos complexos):

φ = φ + φ0 ! = φ1+ iφ2 φ3+ iφ4 ! (4.4)

O mecanismo de Higgs deve gerar massa para os b´osons das intera¸c˜oes eletrofracas, portanto um dos campos escalares deve ser neutro, φ0, e o outro carregado, de maneira que φ+ _{e seu conjugado, φ}−_{, sejam os graus de liberdade adicionais para W}+ _{e W}−_.

Para tornar a lagrangiana acima invariante sob transforma¸c˜oes locais 2_{, ´}_{e necess´}_ario

promover a derivada a uma derivada covariante, descrita por3_:

∂µ−→Dµ = ∂µ+ ig σa 2 W a µ + ig 0Y 2Bµ, (4.5)

sendo g e g0 as constantes de acoplamento das intera¸cões fraca e eletromagnética, respectivamente. Realizando tal substitui¸cão, tem-se os termos de intera¸cão do campo com os bósons W_µa e Bµsem massa, que por sua vez, se transformam na seguinte maneira:

Wµ−→ W 0 µ= Wµ− 1 g∂µα − ααα × WWWµ (4.6) Bµ −→ B 0 µ= Bµ− ∂χ. (4.7)

Temos ent˜ao uma lagrangiana invariante sob transforma¸c˜oes do grupo SU (2)L×U (1)Y.

Por enquanto, manteremos o foco no potencial V.

Novamente, pelo fato de µ2 não ter restri¸cão quanto seu sinal, chegamos nos em dois cenários:

2_{Como descrito no Cap´ıtulo 2.} 3_{As matrizes} σa

2 = τ

(27)

• Caso µ2 _{> 0}

Nesta situa¸c˜ao, o potencial possui um m´ınimo bem definido em φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 0,

sendo este o ponto de equil´ıbrio.

Nesta situa¸c˜ao a lagrangiana descreve quatro campos escalares reais cada um com massa igual a µ interagindo com os campos vetoriais W_µa e Bµ, que por sua vez possuem

todos massa nula. • Caso µ2 _{< 0}

Aqui os resultados se tornam mais interessantes, j´a que o m´ınimo do potencial, ou o estado de menor energia ir´a ocorrer quando:

∂V ∂|φ| |φ|0 = 0, (4.8) sendo |φ|2 = φ†φ = φ2₁+ φ₂2+ φ2₃ + φ2₄. (4.9) Portanto µ2+ λ|φ|2₀ = 0 (4.10) |φ|2 0 = −µ2 λ = v 2_. _(4.11)

Temos então um m´ınimo do potencial degenerado. Para quebrar a degenerescência, vamos fazer outra escolha que corresponda ao m´ınimo de φ, quebrando espontaneamente a simetria da lagrangiana. Após a QES, restarão três bósons de Goldstone sem massa, que serão os graus de liberdade para os bósons W± e Z0, e também um campo escalar massivo. Ao invés de repetir o procedimento anterior, escolhemos o valor m´ınimo de φ+ como nulo, e φ0 _{= v, tal escolha ´}_{e conhecida como gauge unit´}_{ario. Para obtˆ}_{e-la operamos}

as seguintes mudan¸cas:

|φi|0 = 0, i = 1, 2, 4

|φ3|0 = v

. (4.12)

Temos ent˜ao:

φ0 =

0 v

!

. (4.13)

Expandindo o campo em torno do m´ınimo,

φ = 0

h + v !

, (4.14)

(28)

Reescrevendo o potencial: V = µ₂2|φ|2₊ λ 4|φ| 4 = µ₂2(h2+ v2+ 2vh) + λ₄(h2+ v2+ 2vh)2 = µ₂2(h2+ v2+ 2vh) + λ 4(4v 3_{h + 6v}2_h2 _{+ 4vh}3_{+ h}4_{+ v}4₎ V = −µ2h2+ vλh3+ 1₄λh4+ 1₄µ2v2. (4.15) Utilizamos a rela¸c˜ao (4.11) para alguns termos durante a ´ultima passagem. Substituindo na lagrangiana:

Lescalar = 1₂(Dµφ)†(Dµφ) + µ2h2− vλh3− 1₄λh4−1₄µ2v2 (4.16)

Portanto, antes da quebra espontânea de simetria, o potencial envolvia apenas in-tera¸cões, onde o termo 1₂µ2φ†φ não podia ser interpretado como termo de massa. Agora o potencial exibe campo com massa igual a −√2µ2_{. O passo necess´}_{ario agora ´}_{e explicitar}

no termo cin´etico da lagrangiana: Dµφ = ∂µ+ig₂Wµ3+ ig 0_Y 2Bµ ig 2(W 1 µ− iWµ2) ig 2(W 1 µ + iWµ2) ∂µ+ igτ a 2 W a µ + ig 0_Y 2Bµ ! 0 h + v ! (4.17)

O valor de Y é dado pela defini¸cão do operador carga elétrica Q, Q = I_W(3)+ Y

2 (4.18)

Y = 2(Q − I_W(3)) (4.19)

I_W(3) ´e a terceira componente do isospin fraco, que para φ0 _{equivale a −}1

2. Como o campo

´e neutro, Q = 0 e portanto Y = 1.

Podemos tamb´em realizar a seguinte defini¸c˜ao:

W_µ± = W_µ1∓ iW_µ2 (4.20) Substituindo em 4.12: Dµφ = 1 2 2∂µ+ igWµ3+ ig 0 Bµ igWµ+ igW_µ− 2∂µ+ igWµ3+ ig 0 Bµ ! 0 h + v ! Dµφ = 1 2 igW+ µ(h + v) 2∂µh + i(g 0 Bµ− gWµ3)(h + v) ! (4.21)

(29)

Multiplicando o termo acima pelo seu conjugado e expandindo, temos o termo cin´etico da lagrangiana: 1 2(Dµφ) † (Dµφ) =1 8g 2_W− µW +µ_{(h + v)}2_{+ 4∂} µh∂µh + 2i∂µh(g 0 Bµ− gW3µ_{)(h + v)+} 2i∂µh(gW_µ3− g0Bµ(h + v) − (g 0 Bµ− gW3µ_)(gW3 µ − g 0 Bµ)(h + v)2 1 2(Dµφ) † (Dµφ) =1₂(∂µh)(∂µh) + 1₈g2Wµ−W +µ_{(h + v)}2₊ 1 8(h + v) 2_[g2_W3 µW 3µ_{+ g}02_B µBµ− gg 0 (W_µ3Bµ+ BµW3µ)] (4.22)

Analisando o termo entre colchetes, voltamos `a forma matricial:

g2W_µ3W3µ+ g02BµBµ− gg 0 (W_µ3Bµ+ BµW3µ) = W3 µ Bµ g2 −gg 0 −gg0 g02 ! W3µ Bµ ! = W_µ3 Bµ M W 3µ Bµ ! ,

onde M ´e a matriz de massa. Seus elementos n˜ao diagonais permitem que os acoplamentos de B e W3 _{se misturem, sendo imposs´ıvel identificar a massa para cada b´}_{oson. Os b´}_osons

de gauge f´ısicos ent˜ao ser˜ao aqueles correspondentes a uma base onde a matriz de massa seja diagonal.

Por fim, na base diagonal temos:

Aµ Zµ 0 0 0 g2+ g02 ! Aµ Zµ ! (4.23) onde Aµ = g0W_µ3+ gBµ p g2_{+ g}0₂ (4.24) Zµ = gW_µ3− g0Bµ p g2_{+ g}0₂ (4.25)

s˜ao os elementos correspondentes aos autovetores de M. Voltando `a lagrangiana: Lescalar =1₂(∂µh)(∂µh) + v2λh2+ 1₈v2g2Wµ−W +µ₊1 8v 2_(g2_{+ g}02_)Z µZµ+ 1 4vg 2 W_µ−W+µh + 1₄v(g2+ g02)ZµZµh +1₈(g2+ g 0₂ )ZµZµh2+ 1₈g2Wµ−W +µ h2− vλh3−1 4λh 4₊1 4λv 4_, _(4.26)

onde o primeiro termo é o termo cinético do campo de Higgs, que é massivo, dado pelo segundo termo. O terceiro e quarto dizem a respeito das massas dos bósons W e Z. Os

(30)

termos seguintes referem-se às intera¸cões entre h e os bósons. Podemos explicitar as suas massas, que tem as seguintes formas:

mh = √ 2λv, mW = 1₂gv, mZ = 1₂v p g2_{+ g}0₂ e mA= 0. (4.27) ´

E poss´ıvel notar também que as intera¸cões dos bósons com o Higgs tem como constante de acoplamento termos proporcionais às suas massas. Portanto, o fóton não interage com h, já que não possui massa.

Através do mecanismo de Higgs, o Modelo Padrão estabelece uma rela¸cão entre as massas dos bósons W± e Z0_{, basta escrevermos g e g’ como}

g0

g = tanθW (4.28)

onde θW recebe o nome de ˆangulo de Weinberg. Substituindo nas rela¸c˜oes para as massas,

mW = mZcosθW (4.29)

Podemos tamb´em aproveitar a defini¸c˜ao para reescrever Aµ e Zµ:

Aµ= sinθWWµ3+ cosθWBµ (4.30) Zµ= cosθWWµ3− sinθWBµ, (4.31) e partir da eq. (4.28), cosθW = g p g2_{+ g}0₂ (4.32) sinθW = g0 p g2_{+ g}0₂ (4.33)

4.2 Massa para os f´

ermions

O mecanismo também pode ser usado para gerar massa dos férmions, fazemos isto pois um termo de massa na lagrangiana de Dirac é da forma:

−m ¯ψψ, (4.34)

onde ¯ψ = ψ†γ0.

A expressão cinética dos férmions, que é invariante, é escrita na forma:

(31)

Decompondo os espinores ¯ψ e ψ a partir dos operadores de proje¸c˜ao quiral, PL e PR

definidos por:

PL ≡ 1₂(I − γ5) ⇒ PLψ = ψL

PR≡ 1₂(I + γ5) ⇒ PRψ = ψR,

(4.36)

sendo γ5 _{um operador hermitiano definido em termos das matrizes de Dirac na forma}

γ5 _{≡ iγ}0_γ1_γ2_γ3_.

Como PL+ PR = I, aplicamos a rela¸c˜ao nas equa¸c˜oes (4.36):

ψ = (PL+ PR)ψ = ψL+ ψR. (4.37)

Utilizando as propriedades γ5† _{= γ}5 _{e γ}0_γ5 _{= −γ}5_γ0_{, ganhamos uma rela¸c˜}_{ao para os}

operadores PR,L e antif´ermions, ¯ψ:

¯

ψL = ¯ψPR ψ¯R= ¯ψPL (4.38)

Voltando ao termo de massa:

−m ¯ψψ = − m( ¯ψL+ ¯ψR)(ψL+ ψR)

= − m( ¯ψPRPLψ + ¯ψPLPLψ + ¯ψPRPRψ + ¯ψPLPRψ)

= − m( ¯ψPRPRψ + ¯ψPLPLψ)

−m ¯ψψ = − m( ¯ψLψR+ ¯ψRψL), (4.39)

onde usamos que PRPL= PLPR= 0.

A equa¸cão (4.39) não é invariante uma vez que os férmions de mão direita se transfor-mam como singletos de SU (2)L× U (1)Y, e os férmions de mão esquerda são representados

por dubletos na mesma simetria4_.

Dito isso, a lagrangiana para os f´ermions deve conter um outro termo que seja invari-ante. Notamos que uma transforma¸c˜ao de gauge de SU (2) local agindo sobre o campo φ (antes da QES) tem efeito:

φ → (I + igα · Tα · Tα · T )φ (4.40) Já no antiférmion de mão esquerda:

¯

ψL→ ¯ψL(I − igα · Tα · Tα · T )), (4.41)

onde TTT = 1 2σσσ.

A expressão ¯ψLφ é invariante por transforma¸cões de SU (2)L. Para incluir os férmions

de m˜ao direita e adquirir invariˆancia sob U (1)Y, notamos que a soma

−_√gi

2( ¯ψLφψR+ ¯ψRφ †

ψL) (4.42)

4_{No caso, as transforma¸}_c˜_{oes s˜}_ao _ψ

R→ eig

0

χ(x)_ψ

(32)

´

E invariante. A fim de simplificar, denotaremos os espinores ψL e ψR por

Li = νe e ! L , νµ µ ! L , ντ τ ! L (4.43) Ri = eR, µR, τR (4.44) e para os quarks: QiL = u d ! L , c s ! L , t b ! L (4.45) QiR= uR, cR, tR, QjR = dR, sR, bR (4.46)

com o ´ındice i indicando cada fam´ılia.

Portanto, a expressão que gera massa para os léptons é:

Lm = −√gi₂( ¯LiφRi+ ¯Riφ†Li) (4.47)

gi ´e conhecida como constante de acoplamento de Yukawa, um valor diferente para

cada part´ıcula fermiônica. Após a quebra espontânea de simetria, o campo φ é

φ = 0

h + v !

(4.48)

Ent˜ao o termo de massa para a fam´ılia do el´etron, por exemplo, toma a forma Lme = − ge " ¯ νe e¯ L 0 h + v ! eR+ ¯eR 0 h + v ν_e e ! L # (4.49) = −_√ge 2(h + v)(¯eLeR+ ¯eReL) Lme = −√1₂(gev¯ee + geeeh)¯ (4.50)

o procedimento é análogo para quase todas os outros férmions. É importante perceber que o gauge unitário deixa os neutrinos sem massa, bem como todos os quarks superiores. Contudo, há evidências de que os quarks up, charm e top são massivos. Para contornar o problema, adicionaremos ainda outro termo, introduzindo o que é chamado de campo conjugado: φc = −iσ2φ∗ = h + v 0 ! (4.51) Então para os quarks superiores a lagrangiana se torna:

(33)

e para os inferiores: Lm↓= gj √ 2( ¯QiLφQjR+ ¯QjRφ † QiL), (4.53) com gi = gu, gc, gt, e tamb´em gj = gd, gs, gb.

Como exemplo, utilizaremos a primeira fam´ılia de quarks, novamente ap´os a QES: Lmu= −√1₂(guu¯uh + guvu¯u) (4.54)

e

Lmd = −√1₂(gdd ¯dh + gdvd ¯d) (4.55)

Todo esse processo dá luz à intera¸cão entre os férmions e o campo h e também aos termos de suas respectivas massas, partindo de uma lagrangiana invariante pela simetria do Modelo Padrão.

A massa de cada part´ıcula tem a seguinte express˜ao: mi,j =

gi,jv

√

2 , (4.56)

com mi = mu, mc, mt, me, mµ, mτ e mj = md, ms, mb.

Para sumarizar, escrevemos o termo que gera massa para todos os f´ermions como: LY ukawa =Lm+Lm↑+Lm↓ (4.57)

´

E importante notar que, assim como no caso dos bósons, intera¸cões entre os férmions e o Higgs se dá proporcionalmente à massa de cada férmion, fica fácil de visualizar isto pela eq. (4.50), onde a expressão de intera¸cão entre o elétron e o h é descrita pelo termo:

ge¯eeh =

me

v eeh.¯ (4.58)

A diferen¸ca é que para os bósons, o Higgs interage proporcionalmente às suas massas ao quadrado, o que podemos perceber se voltarmos aos termos de intera¸cão na eq. (4.26):

1 4g 2_vW− µW +µ_{h +} 1 4(g 2_{+ g}02_)vZ µZµh = _v1m2WW − µW +µ_{h +}1 vm 2 ZZµZµh. (4.59)

4.3 Termos cin´

eticos para os b´

osons

O último passo agora é adicionar à lagrangiana os termos cinéticos dos bósons W_µ±, Aµ e Zµ. Inicialmente, antes da QES, esses termos são escritos em fun¸cão de Wµa e Bµ:

Lgauge = −1₄Wµνa W

aµν ₋1 4BµνB

(34)

onde Bµν = ∂µBν− ∂νBµ (4.61) e W_µνa = ∂µWνa− ∂νWµa+ g 0 abcWµbW c ν (4.62)

A partir das rela¸c˜oes (4.15), (4.20) e (4.21) reescrevemos Wa µ e Bµ: W_µ1 =1₂(W_µ++ W_µ−) W_µ2 = ₂i(W_µ+− W_µ−) W_µ3 =g 0 Aµ+ gZµ p g02_{+ g}2 Bµ= gAµ− g 0 Zµ p g02_{+ g}2

Substituindo na lagrangiana acima[9]:

Lgauge = −1₄FµνFµν− 1₄ZµνZµν− 1₂fµν† fµν+ ... termos de intera¸c˜ao (4.63)

sendo:

FµνFµν = ∂µAν − ∂νAµ, ZµνZµν = ∂µZν − ∂νZµ (4.64)

fµν = ∂µWν+− ∂νWµ+ (4.65)

4.4 O b´

oson de Higgs

Apesar de alguns valores estabelecidos, o Modelo Padrão não é capaz de atribuir valo-res às massas das part´ıculas apenas com a teoria, necessitando do aux´ılio da fenomenologia para completar suas pe¸cas. O parâmetro solto λ só tem seu valor definido a partir da me-dida da massa do bóson de Higgs, obtida em 2012 pela jun¸cão de dados dos experimentos CMS e ATLAS [10, 11] realizados no LHC. A massa do escalar é

mh ' 125, 7 ± 0, 5 GeV (4.66)

Após a deteçcão dos bósons W±e Z0, o bóson de Higgs havia se tornado uma prioridade em f´ısicas de part´ıculas, e sua identifica¸cão preencheu todo o espectro do Modelo Padrão. A existência do bóson de Higgs não foi sustentada somente pela necessidade de um mecanismo que gerasse massa. De fato, a maior motiva¸cão para detectar o bóson de Higgs foi a viola¸cão de unitariedade. Se temos o processo e+_e− _{→ W}+_W−_{, por exemplo, e}

considerarmos apenas o f´oton e o b´oson Z0_{como mediadores, a se¸c˜}_{ao de choque}5 _ir´_{a crescer}

com a energia, e a probabilidade n˜ao ser´a conservada. Com o Higgs como mediador, a

(35)

se¸cão de choque não aumentará mais com a energia, fazendo com que a teoria se mantenha unitária.

Assim, poder´ıamos ter outros meios de gerar massa para as part´ıculas, contudo o bóson de Higgs é o mediador que restava para não violar a unitariedade da teoria.

Até a Se¸cão 4.1, t´ınhamos 4 parâmetros: as constantes de acoplamento g e g0, e os parâmetros livres λ e µ do potencial de Higgs, relacionando a massa do Higgs com seu valor esperado do vácuo, v, através eq. (4.11).

A constante de acoplamento g ´e obtida ao relacion´a-la com a constante de Fermi, GF,

das intera¸cões fracas. O valor da constante de Fermi é medido experimentalmente em acordo com a teoria efetiva de Fermi, que descreve as intera¸cões fracas no limite de baixas energias. Estabelecemos então

g2 8 = 1 √ 2GFm 2 W (4.67) E ent˜ao obtemos v = 246 GeV. (4.68)

Este ´e o valor esperado do v´acuo para o campo de Higgs.

A partir da´ı, podemos obter o valor de g0 através da massa do bóson Z0, e então temos o valor de λ, que também pode ser obtido experimentalmente com o valor da massa do Higgs.

(36)

Cap´ıtulo 5

Conclus˜

ao

O mecanismo de Higgs mostra-se imprescind´ıvel para a gerar massa às part´ıculas elementares do Modelo Padrão e para manter a unitariedade. Contudo, deixa pontos abertos ao ser incapaz de atribuir valores, o que é feito gra¸cas aos estudos fenomenológicos. Elaborado por Peter Higgs em 1964 [12], o mecanismo que sugeriu a existência de uma part´ıcula descrita por um campo escalar, o bóson de Higgs, de spin 0, passou por uma longa trajetória até ser finalmente detectado pelo LHC, garantindo a Peter Higgs um prêmio Nobel em 2012. O estudo sobre a evolu¸cão do Universo, brevemente realizada na Introdu¸cão deste trabalho, sugere que as part´ıculas tenham adquirido massa quando o Universo estava a temperatura de ∼ 100 GeV, o que ocorreu em torno de ∼ 10−10 segundos.

Apesar de importante, a valida¸cão do Higgs não esclarece tudo, e o Modelo Padrão também deixa questões em aberto, como os neutrinos serem massivos ou a existência de Matéria Escura. É necessário considerar teorias além do Modelo Padrão na tentativa de entender melhor o nosso Universo.

(37)

Bibliografia

[1] Edwin Hubble, Proc.Nat.Acad.Sci. v. 15, p. 168-173, (1929).

[2] A. LIDDLE, Introduction to Modern Cosmology, (John Wiley and Sons, 2003, 2.ed) [3] C. Quigg, Gauge Theories of the Strong, Weak, and Eletromagnetic Interactions,

(Ben-jamin/Cummmings Company, 1983).

[4] Nivaldo A. Lemos, Mecˆanica Anal´ıtica, (Editora Livraria da F´ısica, 2007).

[5] Edward W. Kolb, Michael S. Turner, The early Universe, (Addison-Wesley Publishing Company, 1990)

[6] Matthew D. Schwartz, Quantum field theory and the standard model, (Cambridge University Press, 2014).

[7] Tom Lancaster, Stephen J. Blundell. Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, (Oxford University Press, 2014).

[8] Particle Data Group. (dispon´ıvel em: http://pdg.lbl.gov/2018/tables/rpp2018-sum-gauge-higgs-bosons.pdf, acesso em 17/05/2019)

[9] Mark Srednicki. Quantum Field Theory, (Cambridge University Press, 2007).

[10] The CMS Collaboration, ”Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC”, Phys. Lett. B 716 (2012) 30, arXiv:1207.7235. [11] ATLAS Collaboration, “Combined search for the Standard Model Higgs boson

inppcollisions at√s=7 TeV with the ATLAS detector”, Phys. Rev. D86(2012), ar-Xiv:1207.0319.

[12] Peter W. Higgs, Broken symmetries and the masses of gauge bosons, Phys. Rev. Lett. 13, 508, (1964).

[13] Mark Thomson, Modern Particle Physics, (Cambridge University Press, 2013) [14] B. R. Martin, G. Shaw, Particle Physics, (John Wiley & Sons, 2008)

(38)

[15] Francis Halzen, Alan D. Martin, Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, (John Wiley & Sons, 1984)