Raízes de funções de um complexo em uma variedade

Texto

(1)SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: 24.07.2002 Assinatura: / - n ç ,. /O. r. :. **. 'su ' ^ s. Raízes de funções de um Complexo em uma Variedade7. Claudemir Aniz. Orientador: Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves. Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP. c o m o parte dos requisitos para obtenção do titulo de Doutor em Ciências - Matemática.. USP - São Carlos Julho de 2002. ' O autor recebeu apoio financeiro da FAPESP.

(2) A Comissão Julgadora:. Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves. ^Z-A-lC jtji. ^. c. ^. ^. Profa. Dra. Lucília Dariiiz Borsari. Prof. Dr. Carlos Biasi. Prof. Dr. Alcibíades Rigas. Prof. Dr. Pedro Luiz Queiroz Pergher. ÔM(7\Òi\. (\C\frrf\. cy. ^^f.

(3) Agradecimentos. Ao meu orientador Daciberg Lima Gonçalves, por ter me apoiado de forma integral no desenvolvimento deste trabalho.. Aos professores e amigos, Oziride Manzoli Neto e Lucília Daruiz Borsari, que foram meus orientadores de mestrado.. Não poderia deixar de agradecer ao meus colegas, que passarei a descrever não em ordem de importância, mas em ordem alfabética: Anderson Manzoli, Daniel Vendrúscolo. Daniel Viais, José Carlos de Souza, Liane Bordignon, Raul Ferraz e Vera Carbone. Amigos que contribuíram para minha formação pessoal.. A FAPESP, pelo auxílio financeiro.. i.

(4) Resumo 0 objetivo deste trabalho é progredir na teoria de raízes para aplicações / : K —> M entre complexos K e variedades fechadas M. ambas de mesma dimensão r > 3. Duas direções são abordadas. Na primeira, o conceito de classes mínimas é definido, e buscamos condições sobre os espaços K e M para que exista uma aplicação na classe de homotopia de / , onde todas as classes são mínimas. Na segunda, supondo que Hr(K;. Z ) = 0, gostaríamos de saber se é possível existir / : K —> M tal que. MR[f, a] ^ 0, onde a 6 M é um ponto arbitrário.. í.

(5) Abstract The goal of this work is to progress in the roots theory to maps f : K. M. between complexes K and closed manifolds M, both with the same dimension r > 3. Two directions are treated. In the first direction, the concept of minimal classes is defined, and we seek conditions under the spaces K and M so that there exists a map in the homotopy class of / , where ali the classes are minimals. In the second direction, we are supposing that Hr(K] Z ) = 0, we will like to know if it is possible to exist / : K. M such that MR[f, a] ^ 0, where a G M is an arbitrary. point.. ii.

(6) Sumário. Resumo. n. Abstract. Introdução. 1. 3. Pré-requisitos /. 3. 1.1. Álgebra. 1.2. Cohomologia com Coeficientes Locais. 1.3. Obstrução para Deformação. 12 23. 2. 3. . . . .. Teoria de Raízes. 27. 2.1. Teoria de Nielsen. 27. 2.2. Classes Mínimas. 30. Existência de Raízes. 41. 3.1. Complexos com Cohomologia Top Ze:. 41. 3.2. Variedades com 7Ti Abeliano. 48. . . . . m.

(7) iv. SUMARIO 3.3. Quatérnios Generalizados. Referências Bibliogáficas. 62. 73.

(8) Introdução Dada uma aplicação / : K —>• M entre espaços topológicos, e a € M um ponto arbitrário, define-se MR[f,a]. = m i n { ^ ( g ~ 1 ( a ] )|g € [ / ] } , onde [ ] significa classe de. homotopia. A teoria de raízes tem por objeti ro o cálculo deste número. A teoria de Nielsen nos fornece um número, chamado número de Nielsen e denotado por N(f, a) que é um limitante inferior para Mi?[ , a] (ver [TK], capítulo 5), e quando K e M são variedades trianguláveis de dimen são > 3, tem-se N(f, a) = MR[f,. a]. (ver [BR3], proposição 4). Neste trabalho o contexto será K um CVF-complexo e M uma variedade fechada, ambas de mesma c imensão r > 3. 0 capítulo 1, contém as ferramentas necessá ias para o entendimento dos próximos capítulos.. A seção 1.1 fala de resultados sc bre a solvabilidade de sistemas de. equações lineares Ax = A;, sobre um anel comutativo i?, para o assunto que iremos abordar, R será o anel de grupo. Z[G], onde G = 7ri(M). Na seção 1.2. definimos Cohomologia com Coeficientes Locais, e damos um exemplo onde K é um CW-complexo de dimensão 3, com Hc {K\ Z ) = 0, porém a cohomologia com coeficientes locais H3(K; G) não é nula. Na seção 1.3 a classe de obstrução w n ( / ) € Hn(K;. / * I I n ( M , M—a)) para deformar / em M — a é definida, e seu anula-. mento é condição necessária e suficiente para q íe existe g £ [/] com g(K). C M — a.. No capítulo 2, trabalharemos na seguinte questão. Denote por T(f, a) o conjunto de todas as classes de Nielsen para raízçs, e por. o conjunto de todas as.

(9) Introdução. 2. homotopias { / t } começando em / : K —> M. Para cada F 6 T ( / , a) defina fi{F) = m i n { / t } e í / { # ( F 1 ) | F, e. r(/„a). e F ^ F J .. Queremos saber quais propriedades devem ter os espaços K e M para que exista { / « } £ 37) onde / i : K —> M tem todas suas classes mínimas, isto é; se Fj G T(/i, a) é tal que F - f / ^ F j , então F\ tem /^(F) pontos. Na seção 2.1, expõe-se a teoria necessária para a definição do novo conceito, e a seção 2.2 contém os resultados obtidos, sendo os teoremas 2.13 e 2.15, os principais. No capítulo 3, vamos abordar a seguinte questão. Seja K um CW-complexo de dimensão 3, com m células de dimensão 3 e n células de dimensão 2 (m < n). Se H3(K-Z). = 0 é possível existir f : K. M tal que MR[f, a] ^ 0? Na seção 3.1. damos exemplos de complexos com i7 3 (A';Z) = 0, e alguns resultados que dizem quando não é possível construir tais complexos. Na seção 3.2 o problema é resolvida para uma grande classe de variedades com tt\ abeliano, os principais resultados são os teoremas 3.15, 3.16, 3.17, 3.20, 3.23, 3.25. Na seção 3.3, trabalhamos na variedade MQS obtida de S3 pela ação do grupo dos quatérnios, observo que este caso difere dos anteriores, pois 7Ti(Mq8) não é comutativo, mesmo assim obtemos: Se H3(K; Z ) = 0, então MR[F, a] = 0 para toda aplicação / : K —> MQ& (teorema 3.32). Muito do material desenvolvido aqui se generaliza de maneira óbvia para alguns complexos de dimensão r > 3. Por razões de claridade e o fato que novas idéias não são introduzidas no caso r > 3, nos fixamos com r = 3. Adotaremos a filosofia de enunciar e demonstrar em detalhes todos os resultados novos que foram obtidos. Alguns resultados que não aparecem na literatura de forma explícita ou conveniente para que possamos usar, também serão enunciados e demonstrados..

(10) Capítulo 1 Pré-requisitos 1.1. Álgebra. Seja R anel comutativo com unidade, e M, <n{R) o conjunto das matrizes sobre R. Para A = [a;j] G MnXn(R),. defina de • • MnXn(R). mxn. R por. det(A) = J^sgn(cr)a 1 ( 7 ( i ; 0-2(7(2) • • • 0.n<T(„) <7 onde a percorre todas as permutações de { 1 , 2 . . . , n}. 0 símbolo sgn(cr) é + se cr for par, e - se a for ímpar. A aplicação det é :hamado determinante. Valem as propriedades: 1. det(A 4 ) = det(A) 2. Se B é uma matriz obtida de A pela mult iplicação de todos os elementos em uma dada linha (coluna) por um elemen ;o fixado A £ R, então det(jB) = A det (A). 3. Se B é obtido de A por adicionar um m últiplo de uma linha (coluna) de A.

(11) 4. Pré-requisitos para outra linha (coluna) de A,,então det(A) = det (B). 4. Se A é uma matriz cuja z-linha (coluna) é a soma da i-linha (coluna) de uma matriz Be a i-linha (coluna) de uma matriz C e, mais, B e C diferem de A somente pela i-linha (coluna), então det(A) = det (B) + det(C). 5. Se A é obtido de B por uma permutação de duas linhas (colunas), então det(A) = - det (B). 6. Para A, B e MnXn{R),. det(AB) = det(A) det(B).. 7. Seja <f>: R-+ R um homomorfismo de anéis comutativos. Se A = [a,j] é uma matriz n x n sobre R, tem-se det(^>(A)) = ^>(det(A)), onde 4>{A) = \4>{aij)]. Observação 1.1. Pela propriedade 7, duas matrizes A,B. G Mnxn(Z). tal que. a,ij = bij mod 2, tem determinantes com mesma paridade. Basta tomar <f): Z —> Z 2 sendo a projeção. 0 conjunto MmXm(R). com soma e produto usual de matrizes, torna-se um anel. com unidade, não comutativo. Podemos olhar uma k x k matriz A = [Aij} sobre MnXn(R). como uma matriz bloco, isto é; uma matriz que tem sido particionada. em k2 submatrizes sobre R, cada uma de tamanho n x n. 0 próximo resultado é demonstrado em [KSW]. Teorema 1.2. Se os blocos Ajj são comutativos dois a dois, então det A = det[y~^ sgn(cr)i4i<r(i)i42<r(2) • • • Ak<x(k)]-.

(12) 1.1. 5. Álgebra. Para A = [a,j] uma n x n matriz sobre /?, Al3 denota a matriz (n — 1) x (n — 1) obtida de A por deletar a i-linha e a j-coluna.. Coloque. = ( —1)' +J det(yl t:7 ),. B = [6jj], e adj(A) = BK A matriz adj(A) é chamada adjunta de A. Valem as propriedades: 1. i4(adj(.i4)) = (adj(i4))A = det(A)I ( / é a matriz identidade) 2. Em particular, se A é inversível, então det(^4) é uma unidade e = (det(A»" 1 adj(>l) 3. Expansão de Laplace para linhas ^ ( - 1 ) k + j a i k d e t ( ^ ) = 5{j det(/l) k onde 5{j é o delta de Kronecker (existe uma expansão análoga para colunas). Seja A = [ciij] uma m x n matriz sobre R com m < n, x = [x i , . . . , xnY e k = [k\,..., km]1. Vamos considerar o problema de achar solução sobre R do sistema de equações lineares: Ax - k A seguir veremos alguns resultados sobre a solvabilidade de Ax = k. Lema 1.3. Se Ã é uma submatriz m x m qualquer de A, isto é; A e obtida de A deletando-se n — m colunas, então o sistema Ax = det(Ã)fc tem solução. D e m o n s t r a ç ã o : Este resultado é obtido aplicando-se a propriedade 1 da matriz adjunta. Seja Oiji A =. '" ". 0.]Jm.

(13) 6. Pré-requisitos. onde {j!<•••<. jm} é um subconjunto arbitrário de { 1 , . . . , n}. Tem-se h det(A). h = ^(adj(A)). kr.. kn. para obter uma solução de Ax = det(i4)fc basta colocar Xj = 0, para j € { 1 , . . . , n} — {ji < • • • < jm}-. I. Quando A é matriz quadrada de tamanho n, usando também a proriedade 1 da matriz adjunta mostra-se: «li. ••• 0,1,i-i ki. ai,i+i. an i. ®n,t —1 kn. (l n ,i+l. -a ir. det(y4)a;t- = det ' ' " 0,r. para 1 < i < n. Em particular, se det A é uma unidade, então o sistema Ax — k tem solução, e é única. A técnica acima é chamada Regra de Cramer. Seja Ft(A) o ideal de R gerado por todos os determinantes das submatrizes (subdeterminantes) de tamanho t x t da matriz A. Definição 1.4. O McCoy rank de A é o maior inteiro t tal que Annih/{(i;it(i4)) = 0, onde Annihjt(fi(A)) = { r € R\rFt(A) = 0}. A matriz aumentada [A, k] é a matriz obtida de A ao adicionar a coluna kSeja F^ o ideal gerado pelos determinantes das submatrizes de tamanho m x m de [A, k] que não são submatrizes de A. O teorema a seguir é demonstrado em ([MB], teorema 1.27). Teorema 1.5. Seja A uma matriz m x n com m < n e McCoy rank m. Se para algum ideal Q e um não divisor de zero a tem-se QFm(A) então Ax = k tem solução em R.. D (a) D QF*m,.

(14) 1.1. 7. Álgebra. O conteúdo a seguir, incluindo a proposição 1.6 pode ser achado em ([AM], capítulo 3). Um s u b c o n j u n t o f e c h a d o multiplicativamente de R é um subconjunto S de R tal que 1 6 S e S é fechado sob multiplicação.. 0 conjunto. S = R — p onde p é um ideal primo, é multiplicativo. Defina a relação = sobre R x S como segue: (a, s) = (b,t). (at — bs)u = 0 para algum u 6 S.. Esta relação é de equivalência, a / s denotará as classes de equivalência (a, 5), e S~lR denota o conjunto de todas as classes de equivalência. Colocaremos uma estrutura de anel sobre S"-1 R por definir: (1a/s) + {b/t) = (at + bs)/st, e (a/s){b/t) = ah/st.. Este anel chama-se Anel de Frações de R com respeito a S. Quando S = R — p o anel S~1 R é denotado por Rv. P r o p o s i ç ã o 1.6. Seja g : R —> B um homomorfismo de anéis com g{ 1) = 1, ^(5) uma unidade em B para todo s £ S, e p : R —^ S_1 R dado por p(x) — x/l. existe um único homomorfismo de anéis h :. R. B tal que g = h o p.. D e m o n s t r a ç ã o : Defina / i ( r / j ) = g(r)g(s)~*. Para qualquer ideal primo p C R,. Então. a matriz Ap € Mnxn(Rp). I é dada por. Ap — [ajj/1] e kp — [ki/l,.. . , km/1]4. 0 teorema abaixo é demonstrado em ([HG], proposição 1). T e o r e m a 1.7. São equivalentes: 1. 0 sistema Ax = k tem solução sobre R. 2. Para todo ideal maximal m em R, o sistema Amx = km tem solução em R.m..

(15) 8. Pré-requisitos Em outras palavras o teorema acima diz que, o sistema Ax = k tem solução se,. e somente se, para todo ideal maximal m de R pode-se encontrar r € R com r £ m tal que o sistema Ax = kr tenha solução. 0 próximo teorema é demonstrado em ([CW], teorema 2). Teorema 1.8. 0 sistema Ax=k tem solução em R para todo k € R se, e somente se, Fm(A) = R. Seja G um grupo e H C G um subgrupo, o símbolo \G : H] será usado para denotar o índice de H em G. 0 próximo resultado é demonstrado em ([BR2] capítulo 3, proposição 15). Teorema 1.9. Seja r] : © " ^ Z —> (B^Z. um homomorfismo de grwpos abelianos e ©^.jZ. livres. Considere a matriz de rj nas bases canónicas de «11. """. «ln. A = am 1. Se n < m, ou todo determinante di,.. ., dr das submatrizes m x m de A é zero, então [(B^Z : Im(?;)] é infinito. Caso contrário, tem-se. }Z. : Im(?;)] = d, onde. d = mdc(cí 1 ,..., dr). Definição 1.10. Diremos que os números inteiros di,.... ,dr são primos entre si,. quando d = mdc(cí 1 ,..., dr) for 1. O anel que definiremos a seguir é de importância fundamental neste trabalho. Definição 1.11. O anel de grupo de um grupo G sobre R é o anel denotado por R[G] cujos elementos são todas as somas formais \ = Y,\(g)g,. A(g)eR,.

(16) 1.1. 9. Álgebra. tal que, o suporte de supp(A) = {.g : A(i) ± 0}, e finito, e sua estrutura é definido pelas regra. operacionais:. ^2 g çaK9)9 = Y t g a a M a + 'LgeaMg. se, e. somente se, A(^r) = fi(g) para todo g £ G;. = EseGÍMsO +. Kg))g,. 2-. Y,g&GK9)g. 3-. ^ E p e o ^ t ó ^ E a e o M t ó ) = E f l g G l {g)g,. onde. A(z)rty). Hg) = E W M ^ s D = £ heG xy=g Esquecendo as componentes nulas da soma formal A, podemos escrever A = EÍLi 0 elemento l . e o é a identidade de /2[Cr] e será denotado por 1.. A aplicação. e : R[G] —Y R dada por. g£G. gec. é um homomorfismo de anéis chamado de aplicação aumento de R[G\. Seu núcleo Ar{G). é o ideal aumento de R[G\. O anel F{G\ é comutativo se o grupo G for.. Note que, todo homomorfismo de grupos £ : G —V H, se estende a um homomorfismo de anéis. : R[G\ —y R[H] pondo. j=i Se £ for isomorfismo, então. t=i. AifCftO-. também é.. A seguir apresentaremos algumas propriedades de Z[G] para alguns grupos G que aparecerão no capítulo 3. Seja R[xi,...,. x p ] o anel de polinómios em p-variáveis. Para cada p-upla a =. ( a j , . . . , ap) 6 W a aplicação va : fí[xi,..., x p ] ->• R dado por va(q) = q(ai,...,. ap). é um homomorfismo de anéis, e Ker (ua) o ideal gerado por X{ — ai para i = 1 , . . . , p..

(17) 10. Pré-requisitos Se G = © f = 1 Z , então Z[@f = 1 Z] = Z[xi,...,. xP, X j . . . , xp x] é o anel dos po-. linómios de Laurent em p-variáveis. Note que Z[xi>...lxplx71l...,a:j1]. = S~1Z[x1,...,. xp\,. onde S = {a;}1 ... x'pp; ij inteiros não negativos}. 0 homomorfismo va : Z[xu. ...,xp]->Z. tem a propriedade que i>a(s) = 1 ou -1, para todo s £ S, quando a,- = 1 ou -1 para i = 1,... ,p. Pela proposição 1.6, va se estende a um homomorfismo de anéis ê-.S"1. Z[xh...,xp]. Observe que quando a,- = 1, e é exatamente o homomorfismo aumento. 0 ideal A z ( @ f = 1 Z ) é gerado por X{ — 1 para i = 1,... ,p. ! a G Az(©^ = 1 Z), então o produto /3 =. xPa,. De fato, seja. onde ij são inteiros posi-. tivos suficientemente grandes pertence a Z [ x i , . . . , xP], e e(/3) = 0, daí existem • • • i % £ ^ [ x i , . . . , xP] tal que. ' ,. P = qi(xi - 1) + •• • + qP{xp - 1).. | Agora a = x p 1 L_. Xplp/3. Analogamente o núcleo do homomorfismo ê : Z[x,x_1]. Z. dado por. (. —1. se j é ímpar. 1. se j é par. é o ideal gerado pelo elemento x + 1. Lema 1.12. Seja A uma matriz m x n sobre Z[©£_jZ] ; onde todos os subdeterminantes de ordem m x m da matriz e(A) = [e(atJ)] são primos entre si.. Então,. o sistema Ax = k tem solução sobre Z[@f = 1 Z] se, e somente se, os sistemas Ax = k(xi — 1) tem solução em Z[©f = 1 Z] para i = 1 , . . . ,p..

(18) 1.1. 11. Álgebra. D e m o n s t r a ç ã o : Seja {d\,. .., dr} o conjunto de todos os subdeterminantes de ordem m x m de A, por hipótese, e(c?i), . . . ,e(dr). são primos entre si, daí existem. inteiros p1:. . . ,pr tal que o elemento p\d\ -f ' ' • + prdr de Z[©? = 1 Z] tem aumento 1; logo, existem ç j , . . . , qp € Z[©? = 1 Z] com Pidi H. h prdr = qx(xi — 1) H. Mas isto significa que o conjunto {d\,...,. h qv(xp - 1) + 1.. dr, x\ — 1 , . . . , xp — 1} não esta contido em. nenhum ideal maximal m. Como os sistemas Ax — kdi tem solução em Z[©? = 1 Z] para i = 1 , . . . , r, se os sistemas Ax = /c(x, — 1) tiver solução para i = 1 , . . .. o. sistema Ax = k tem solução, pelo teorema 1.7.. I. Se G = Z p [p > 2) o grupo cíclico, então Z[Z P ] = Z[x]/(x p — 1). Neste caso também Az[Z p ] é gerado por x — 1. Note que a projeção P\ : Z[x] —> Z[Z P ], tem a propriedade que eo P1 = v\. Se a Ç. Z[Z p ] é tal que e(a) = 0, então a = Pi(õ') com ui(ã) = 0, ou seja, ã = q(x — 1) para qEZ[x]. Segue que a = P\(ã) = P\(q)(x — 1). Quando G = Z 2 x Z , o anel Z[Z 2 x Z] é o quociente 5 _ 1 Z [ x , y)/{x2 onde S = {y]\j inteiros não negativos}. e : S~1Z[x,y]. —> Z , extensão de. ê(xV ) 2. 1),. Quando a = ( — 1,1) o homomorfismo. é dado por —1. se. é ímpar. 1. se ii é par. -. como antes o núcleo de e é gerado por x + 1 et/ - 1. Seja Pi.S a projeção.. Z[x,y]^. { x 2. _. { ). O homomorfismo ê : Z[Z 2 x Z] —>• Z dado por ê(ã) = ê ( a ) onde. ã — Píioi), esta bem definido, dado que ê(x2 — 1) = 0, e seu núcleo é gerado x + 1, y-i. Seja G um grupo finito de ordem n, não necessariamente comutativo. O elemento g =. + g-2 + • • • + gn (soma de todos os elementos de G) tem a seguin-.

(19) 12. Pré-requisitos. te propriedade, qualquer que seja a £ Z[G] tem-se ag = e{oi)g.. Denote por. %[G]/(g) a projeção.. P : Z[G). L e m a 1.13. Seja A uma matriz sobre Z[G] de tamanho m x n com m < n, e suponha que o conjunto dos determinantes {e((íx),. .. , e(rfr)}. das submatrizes. m x m de e(A) = [£(a;j)] tenha algum elemento não nulo. Se o sistema Ax = k tem solução sobre h[G\l{g), onde Ã = [P(a,j)]> ek=. [P(ki),...,. P(km)Y,. então. Ax = dk tem solução sobre h[G], para d = mdc{e((íi),... ,e((í r )}. D e m o n s t r a ç ã o : Dizer que Ãx = k tem solução sobre 7j[G)/(g) significa que existe um vetor s = [sj,. .... de entradas inteiras tal que o sistema Ax =. k + gs tem solução y\ em Z[(?]. 0 sistema e{A)x. — se(di) tem solução x± sobre. Z para i = 1 , . . . , r. Sejam ç i , . . ., qr inteiros tais que qie(di) + • • • + qre(dr) = d, então j/2 = çiî + ••• + qrxr é solução de e(A)x. = ds, e pela propriedade do. elemento g descrita acima, y2g é solução sobre Z[(?] do sistema Ax = dsg. Segue que A(dy\ — y2g) = dAy\ — Ay2g = dk + dsg — dsg = dk.. 1.2. Cohomologia com Coeficientes Locais. A referência básica para esta seção é [WG]. Sendo B um espaço topológico e denotando-se por I I i ( 5 ) a categoria cujos objetos são os pontos de B e cujos morfismos £. —> ò2| são dados por elementos dos conjuntos 7Tj(B]b 2 ,bi) de. classes de homotopia de caminhos em B de b2 para 6X. Definição 1.14. Um sistema de coeficientes locais em B é um funtor G de I I i ( 5 ) para a categoria A de grupos abelianos. Tal funtor atribui para cada b €E B, um grupo abeliano G(ò) e para cada classe de homotopia £ £ ir1 (5;6 1 ,6 2 ), um homomorfismo G(£) : G(ò2) —> G ^ ) satisfazendo:. I.

(20) 1.2. 13. Cohomologia com Coeficientes Locâis. 1. se £ € 7T](B; b) = tti(B] b, b) ê a identidade, então G(0 : G(b). G (b). é a identidade; 2. se £ Ç ^ ( S ; 61,63) e rj <E 7Ti(5; 62, 6 3 ),. e n;ao. - G ( 0 ° Gfo) G(63). G(6,).. Segue daí que:. 3. se £ Ç 7Ti(5;. 6 2 )j então G t r 1 ) = c ( e ) - 1 : <(;(6i). G(62),. assim G(£) é. um isomorfismo. Exemplo 1.15. Se G é grupo abeliano, G dqtermina um sistema de coeficientes locais constante G da seguinte forma: 1. G(6) = G 2. G(£) = aplicação identidade Exemplo 1.16. Se B C A, para n > 3 os grupois de homotopia relativo nn(A, B,b) com a operação (descrita em [SN], pág. 83) G(£ = t( : nn(A, B, b2) -»• 7rn(A, B, 6 j ) , onde £ Ç 7Ti(B,bi,b 2 ), forma um sistema de co ificientes locais IIn(v4, B) em B. Se G e H são sistemas de coeficientes locaiis em B, um homomorfismo de sistema de coeficientes locais $ : G —>• Hé uma transformação natural de funtores, ou seja, para cada b G B associa-se uni homomorfismo $(6) : G(b) -»• H(6) que torna o diagrama.

(21) 14. Pré-requisitos. g^-^ÍLG^). H(M-T777rH(60 H(0. comutativo para qualquer £ € ni{B;. b2).. Dizemos que $ é um isomorfismo de sistema de coeficientes locais se, e somente se, cada $(ò) for um isomorfismo. Definição 1.17. Um sistema de coeficientes locais é ditò simples, se for isomorfo ao sistema local constante. Um grupo multiplicativo H é dito agir como um grupo de operadores sobre um grupo abeliano aditivo G ( ou, simplesmente H age sobre G), se, para todo h € H e todo g £ G, um elemento hg £ G é definido de tal maneira que: h{g\+g2) = hgi~\-hg2, h2{h\g) — (h2hi)g, e 1 g — g. Neste caso, o grupo Gtorna-se um Z[J/]-módulo à esquerda ao definirmos p. para g € G e. v. £ Z[H],. Observamos que se G é sistema de coeficientes locais em B e 6o € B, então 7Ti(B,b0) age como um grupo de operadores sobre G(60). Além disso se 7Ti(B,b0) age sobre um grupo Gq e se B é conexo por caminhos, então existe um sistema de coeficientes locais G em B, único a menos de isomorfismo tal que G(òo) = Go, e G induz a mesma ação sobre G(60). Os lemas abaixo, demonstrados em ([WG], pág 263), deixam mais claras as afirmações. Lema 1.18. Seja B conexo por caminhos, G e G' sistemas de coeficientes locais em B, e <f>: G(òo) —> G'(6o) um isomorfismo satisfazendo <f>o G(£) = G'(£) o (j> para £ € TT\(B,bo). Então existe um único isomorfismo $ : G —> G' tal que $(&o) = 4>-.

(22) 1.2. Cohomologia. 15. com Coeficientes Locâis. Lema 1.19. Seja B conexo por caminhos, e 70 um grupo no qual 7Ti(jB,6o) age. Então existe um sistema de coeficientes locaú G em B tal que G(ò0) = Gq e que induz a dada ação de 7Ti(5,6o) sobre G(bo). Portanto quando estamos lidando com espaços conexos por caminhos, um sistema de coeficientes locais, é simplesmente urr homomorfismo de grupos fi : 7Ti(5,Ò0). Au (C(òo)),. onde Aut(C(ò 0 )) é o grupo dos automorfismoí de G(bo), com a operação de composição. Alguns sistemas de coeficientes locais surge :n de forma natural. Por exemplo, a bijeção. : iri(B,b0). —> TTi(B,b0), dado por1(0)(ac) — 0a, para 0, a 6. (B, b0),. estende-se a um isomorfismo de grupos abeliar.os l[m(B,b0)].. íí(0)z:Z[7r1(B,6o)]-)'. 0 homomorfismo í) : tx\(B,b0) —> Aut(Z[7Ti(B, ò 0 )]) dada por fi(0) — tt(0)z é um sistema de coeficientes locais. Raciocínio análc go pode ser feito se f}(0):. 7r. 1. (B,bo)^f. 1. (B,bo). for Í2(0)(a) = 0a0~ 1 . Sejam A e B são,espaços topológicos e / : A. B é uma aplicação. Dado um. sistema de coeficientes locais G em B, podem os definir o sistema de coeficientes locais f*G induzido por / em A da seguinte fc rma: A cada ponto a £ A atribui-se o grupo /*G(a) = G ( / ( a ) ) , e a cada elemento d £ G 7Ti(A, Oi, a 2 ), o homomorfismo /*G(0 = G(/o£). A seguir definiremos de forma resumida o cc nceito de CW-complexo, de suas propriedades que serão usadas constan temente neste trabalho.. e algumas.

(23) 16. Pré-requisitos. Definição 1.20. Um CW-complexo K é um espaço com uma decomposição celular, cujo esqueletos são indutivamente construídos como segue:. 1. K° é um espaço discreto, cada ponto sendo uma 0-célula. 2. Kn é obtido colando-se a Kn_1. uma família disjunta D" de n-discos fechados. via funções continuas <£>• , : dD± —»• K n ~ x , isto é; tome a soma topológica I<n~l + J2 A ". e. passe para o espaço quociente Kn~l U^,,. J2. identificações x ~. dado pelas. x 6 d D™. A aplicação quociente p : K»~l. E. D*. projeta cada int(Z?") homeomorficamente para uma n-célula e?, e (pi é chamada aplicação de colagem para e". 3. K = ( J ~ 0 K n é atribuído a topologia fraca com respeito a ê" = p(D"),. isto. é; um subconjunto de K é fechado se, e somente se, sua interseção com cada ê" é fechado.. Quando K tem um número finito de células, dizemos que K é finito e sua dimensão é a dimensão da maior célula. Definição 1.21. Uma aplicação Xe" '• Dn. K e característica para uma n-. célula e n de K se Xen aplica o interior de Dn homeomorficamente. sobre en e. Xen\dDn é uma aplicação de colagem. Um espaço de recobrimento de um CW-complexo um CW-complexo. K pode ser decomposto como. K tal que a aplicação projeção p : K. ê 6 K homeomorficamente para uma célula e £ K.. K manda cada célula. Uma aplicação de colagem. para ê n é obtida por levantamentos das aplicações de colagem e n para K n ~ l = p - l ( K n ~ l ) .. : dDn —> Kn~l de.

(24) 1.2. Cohomologia. com Coeficientes. O complexo de cadeias C(K). 17. Locâis. = (Cn(I\), dn) tem grupos Cn(K). = Hn(I\n,. Kn~l). (n > 0, e quando K tem dimensão finita r, Cn = 0 para todo n > r) e operadores bordo n > 0: Hn+1(Kn+\Kn). Hn(I<\Kn-1). As aplicações características Xe" : ( Z ) n , 5 n - 1 ) —> (Á' n , Á ' " - 1 ) para as n-células e" de A* determinam uma decomposição do n-ésimo grupo Cn(I\) como uma soma direta externa: © X e " , : ®e»Hn{Dn,Sn-1). Hn(Kn,. K71'1). Isto dá ao grupo abeliano livre Cn(I\) uma base { , Y e n , ( l ) } ( l € Z = Hn(Dn,. Sn~l). é o gerador) em correspondência bijetiva com o conjunto { e n } das n-células de I\ . Cada gerador Xe n »(l) é usualmente abreviado pela símbolo en da correspondente n-célula. Em termos destes geradores, o operador bordo dn+\ : Cn+$I\~) —Cn(K). (n >. 0) é dado como uma combinação linear dn+1(en+1). =. J2[en+\en]en, e". onde o coeficiente inteiro [e n + 1 , en] é chamado n ú m e r o de i n c i d ê n c i a da (n + 1)célula e n + 1 sobre a n-célula en. O número de incidência [e n + 1 , e n ] é c/,°(Xe'i+1 |5' n )»(l), onde 1 € Hn(Sn) Hn(Sn). é o gerador, e ^"llif. Hn(I\n). Hn(Kn/(Kn. - e")) =. Hn(Sn). Os grupos de homologia do complexo de cadeias C{I$ são isomorfos aos grupos de homologia H t (I\). Vamos agora definir o conceito de cohomologia com coeficientes locais. Considere K um CW-complexo conexo e semilocalmente simplesmente conexo, logo A tem revestimento universal p : A* —>• K. Seja C(I\) o complexo de cadeias.

(25) 18. Pré-re q uisit os. (Cn(K),dn). do recobrimento universal K. 0 grupo II = 7r1(Á', k0) age à esquerda. de Cn(K) = Hn(Kn, Kn~l) da seguinte forma. A cada elemento 6 £ II, associamos um homeomorfismo hg : K —>• K tal que p o hg = p, estes homeomorfismos são aplicações celulares, e portanto induzem isomorfismos (h e )* : Cn{K) —>• Cn(K). ação de 6 em x £ Cn(K) é Ox = (hg)*(x). Isto dá ao grupo Cn(K) uma estrutura de Z[n]-móduloà esquerda, tornando C(K) um complexo de cadeias de Z[II]-módulos à esquerda. As n-células ê" de K que estão sobre uma n-célula e" em K são permutados pelo grupo II de transformações de recobrimento. Portanto selecionando n-células ê" em K, uma sobre cada n-célula e" de K, produz uma Z[II]-base { ê " } para. Cn{K). como um Z[II]-módulo livre. Se G é um sistema de coeficientes locais sobre K , o grupo II age sobre G(A;o), e consequentemente este também é um Z[II]-módulo à esquerda. Seja Hom I1 (C n (Ã'); G(Jfeo)) o grupo de todos Z[II]-homomorfismos. Escreva Sn : Hom n (C„_i (K)] G{k0)) -)• Hom n (C n (Ã0; G{k0)) para o homomorfismo definido por 5n{a) = a o dn. Assim temos um complexo de cocadeias { H o m n ( C n ( / í ) ; G(A;o)),í n } e, Hn(K-,. =. Imí n. é o grupo de cohomologia de K com coeficientes locais G. Observação 1.22. Quando K for finito de dimensão r, tem-se Cn(K). = 0 para. n > r, então Imí r Qualquer homomorfismo de sistemas de coeficientes locais $ : G —^ H induz um homomorfismo. : Hn(K]G). —>• Hn(K; H), pois o homomorfismo. : Hom n (C n (Ã-); G(k0)) -)• Hom n (C n (/?);. A.

(26) 1.2. Cohomologia. de cocadeias. Se $ for isomorfismo, ° <f> é uma aplicação. dado por $#(</>) = então. 19. com Coeficientes Locâis. também é.. Agora vamos explorar com um pouco mais de detalhes o caso onde G(fc0) = Z . Para obter a cohomologia com coeficientes usuais Hn(K\ Z ) basta considerar a ação trivial de II em Z , isto é; 91 — 1 para 9 G II. Definição 1.23. 0 símbolo Z representará qí.alquer sistema de coeficientes locais Q : II —> Aut(Z) sobre K com fl sobrejetor. Suponha que K é um CW-complexo finii (o de dimensão r > 1, que tem, n células de dimensão r — 1, m células de dimer:são r, com, rn < n. Lema 1.24. Hr(K]h). é finito de cardinalidade e ímpar se, e somente se, Hr{K\ Z). é finito de cardinalidade ímpar. Demonstração: 0 operador bordo dr : h .{Kr,Kr~1). , Kr~2) é. dado pela matriz ãn. ... ãnl. .... 3lr. A=. onde as colunas de A são definidas por dr{%). para i = 1 , . . . , m .. =. +. I 7. 7)— 1. Seja <f) G Hom n (C r _i(.fi); Z ) dado por <f>(êrj. j = l , . . . , n , o homomorfismo 8r(4>) G Hom1 (Cr(K);Z). = kj para. tem a propriedade que. í r (^)(êj) = <f> o ã r (êf) = ^(fliiCÍ-1 + • • • + ~a êrnãil<f>fâ-1) + ---+àni<f>(2rtr1) = l )ni= ãuki + • • • + ã n ik n . Note que cada ã^j G Z[II] , logo é da forma Ylk=i n k a k, daí a aÇão. (ELi nk<*k)l. = ê{ãij) = YjI=i Wfc(afcl),c nde (orfc 1) é 1 ou -1, ou seja; e(õn). . •. e(5lm). ... e(ã„i). h. <t> °dr{ê\). kn. 4>°àr[?m\.

(27) 20. Pré-requisitos. Isto significa que o diagrama. Hom n (0" = 1 Z[II]; Z). -. H o m ^ e ^ Z p I ] ; Z). jz. ^ ©j^z. é comutativo. Portanto Hr{I<-. Z) =. e r = l Z. Im{i(Ay)'. Pelo teorema 1.9, a cardinalidade de Hr(K\ Z) é o mdc{e(eíi),..., e(d r )}, .onde e(di) são os subdeterminantes de e{Ay.. Se este número é ímpar, significa que. pelo menos um de seus subdeterminantes é ímpar.. Como e(ã tJ ) = ê(ã,j) mod. 2, e(Ay também terá um subdeterminante de ordem m x m ímpar. Aplicando novamente o teorema 1.9, Hr(K]Z). terá cardinalidade finita e ímpar. O mesmo. raciocínio, mostra que se H3(K; Z) tem cardinalidade ímpar, então H3(K; Z ) terá cardinalidade ímpar.. I. A seguir veremos um exemplo de um 3-complexo, onde temos H3(K) Z) = 0, porém H3(K] G) ^ 0. Considere o 2-complexo K2 = S1 V S2, isto é; o bouquet do circulo com a esfera. Seu recobrimento universal K 2 , é a reta, onde em cada ponto de coordenada inteira cola-se uma esfera (veja figura 1.1). Como ^(K2) t?2(K2, xq) — Z[í,í-1], /. =. = 7T2(/í2) = H2(K2),. tem-se. logo toda aplicação / : (S 2 ,s 0 ) —>• (S 1 V S2, x0) é da forma. Seja K o complexo obtido de K2 colando-se uma 3-célula via a. aplicação 2t — 1. O operador bordo (*) o —)• H3(K3, I<2) S. H2{k2,. k1). é dado por d3(y) = (21 — 1 )y, e da demonstração do lema anterior, H3(K; Z ) = 0..

(28) 1.2. Cohomologia. 21. com Coeficientes Locâis. Figura 1.1:. Geometricamente 2t — 1 aplica a tampa suserior do cilindro sobre a esfera por uma aplicação de grau —1, a lateral do cilindro é aplicado sobre o circulo uma vez, e a tampa inferior é levado na esfera por uma .plicação de grau 2 (ver figura 1.2).. -1 2t-1. Figura 1.2:. Considere o sistema de coeficientes locais fi : 7ri(Ã') = Z. hui(Z[t,t-1]). sobre.

(29) 22. Pré-requisitos. K, dada por. t'=l. Proposição 1.25. H3(K]Q.). í'=l. é isomorfo ao subgrupo de. gerado pelas frações. cujos denominadores são potências de 2. Demonstração: Dualizando a sequência (*), obtemos: Hom n (Z[í, f" 1 ]; Z[í, í" 1 ]). Hom n (Z[í, í" 1 ];Z[i, í" 1 ]). h. z [í.r1]. 0. •z [í.r1]. onde Sz(y) = (21 — 1 )y para todo y £ Z[í, í - 1 ] . Segue que Z [í.í" 1 ] (2t — 1) O quociente Z[í, í _ 1 ] / ( 2 í — 1) é o subgrupo de Q gerado pelas frações cujos denominadores são potências de 2. Considere o homomorfismo de anéis <f> : dado por tn —>. —> Q. Sua imagem é o subgrupo de Q gerado pelas frações cujos. denominadores são potências de 2. Seu núcleo contém o ideal gerado por 2t — 1. De fato, (2t — 1) é o núcleo de <f>. Seja a = Xw=o. um. elemento de Z[t] e suponha. que 4>{oí) = 0, isto significa que , «1 . «2 ~2~ 22". a*. n =. ou. 2*tt„ + 2 * " ^ ! + 2 fc ~ 2 « 2 + • • • + 2a*.! + ^ fc. 2. _ 0,. mas isto significa que a^ é par. Façamos a prova por indução sobre o grau de a. Para k = 1, temos a = aro + íM, e <f>(a) = 0 se 2a0 + ai = 0, daí a = (2t — 1)(—ar0). Suponhamos que para a de grau k — 1 com <f>(a) = 0, tenhamos a 6 (2t — 1), e.

(30) 1.3. Obstrução. para. 23. Deformação. mostremos que esta propriedade também vale quando a tem grau k. Seja a de grau Ar, e 4>{at) — 0, então q^ é par, daí existe q, r £ Z[í] tal que a — q(2t — 1) + r com r = 0 ou grau de r menor ou igual a k — 1. Mas 0(r) = <j>(a — q(2t — 1)) = 0, por hipótese de indução r £ (2í - 1), logo a £ (2t — 1). Seja 0 £. um elemento. arbitrário tal que 4>{($) = 0. Multiplicando j3 por tn para algum n suficientemente grande, tnfi tem a forma a para algum k. Como <t>(tn(3) — 0, pelo resultado acima, tn/3 = q{2t - 1) para algum q £ Z[í], daí 0 = t~nq{2t - 1).. I. Observação 1.26. Com o mesmo K2 = 5 1 V S2 acima, se substituirmos a aplicação de colagem 21 — 1 por 212 — 1, teremos da mesma forma H3(f\ ; Z ) = 0. Se considerarmos o sistema Z dado pela ação ti = —1, onde t £ tti(K). = Z é o gera-. dor, pela demonstração do lema 1.24, tem-se / / 3 ( A ' ; Z ) = 0. Ainda assim teremos H 3 ( K ; t t ) yé 0.. 1.3. Obstrução para Deformação. A referência desta seção é [WG], e também as Notas de aula do Professor Robin Brooks. Nesta seção vamos supor:. 1. / : A' — Y é uma aplicação, e B C V um subespaço. 2. I\ é um CW-complexo conexo finito. 3. Y é conexo por caminhos, localmente conexo por caminhos, e semilocalmente simplesmente conexo.. Abordaremos o problema de deformar / por uma homotopia { f t } para uma nova aplicação / ] : K. Y tal que F\(K) C B.. Os conjuntos de homotopia relativo. 7tP(Y, B.b), onde b £ Z?, fazem um papel crucial em nossa investigação.. Quando.

(31) 24. Pré-re q uisit os. p > 1 eles são grupos. Para p = 0 ou 1 eles são somente conjuntos. Porém a afirmação irp(Y, B,b) = 0 tem significado para todo p > 0: 1. Dizer que 7r1(Vr, B, b) = 0 significa que o homomorfismo de grupos fundamentais iri(B,b) —y iri(Y,b) induzido pela inclusão é sobrejetor. 2. Dizer que 7To(Y, B,b) = 0 significa que a aplicação entre componentes conexas por caminhos ir0(B,b) —>• ir0(Y,b) induzido pela inclusão é sobrejetor. L e m a 1.27. Suponha que n > 0 e que para todo p < n e todo b 6 B temse TTp(Y,B,b) = 0. Então existe uma homotopia {ft}. começando em f tal que. h{Kn)cB. De agora em diante assumiremos que dimensão de |/v é > 3,| B é conexo por caminhos, e iri(Y,B,b). = ^ ( Y , B,b) = 0 para todo b 6 B.. Nestas condições. 7Ti(B, b) ~ 7n(y, b) para todo b 6 B, e podemos deformar / para uma aplicação / j tal que f^K2). C B.. Sejam p: K—tKeq:Y—>Y. os respectivos recobrimentos universais de K e. Y. Usando as hipóteses acima, B = q~1(B) é conexo por caminhos e simplesmente conexo, portanto é um recobrimento universal de B. Logo o grupo 7rn(Y, B, b) não depende da escolha de b e escreveremos irn(Y, B) para %n(Y, 5,6). A composta / o p tem levantamento / através de q. Suponha que para algum n > 2 tenhamos tido sucesso para deformar / de tal forma que f(Kn~l) temos o diagrama comutativo abaixo.. (kn,Kn~l). (Kn,I<n->). (Y,B). C 5 , daí.

(32) 1.3. Obstrução para. Como Hp(Kn,. Kn~l). Deformação. 25. = 0 para p < n, e K. morfismo de Hurewicz p : irn(Kn, Kn~l). 1. é simplesmente conexo, o homo-. —t Hn(.Kn, Kn~x) é isomorfismo. Podemos. definir a composição c"(/). ~ (Ãn) ° P~X '• Hn{Kn, Kn~l) —nn(kn,. Kn~l). —y irn(Y, B). Considere o seguinte sistema de coeficientes locais Í2 : 7Ti(y, í/o). Aut(7Tn(Vr, B)). sobre Y. A cada a £ 7Ti(K, í/o) associa-se um lomeomorfismo ha \ Y —¥ Y tal que q o ha = q, daí este homeomorfismo induz um isomorfismo (ha)Vn:nn(Y,ê)-+ ponha íí(a) = (ha)Vn.. *n(Y,B)>. Denotaremos este sistem a de coeficientes locais por Hn(Y, B).. Logo f*Hn(Y, B) é um sistema coeficientes loc;ais sobre K. A cocadeia cn(f). £ H o m n ( C n ( Ã ' ) , / * n „ ( r , B)) é chamada a n-ésima cocadeia. obstrução para deformar / em Teorema 1.28. São equivalentes: 1. existe uma homotopia { f t } tal que fo = f,MKn)cB,eft\K. n-1. _. m. n-1. para todo t £ I. 2. cn(f). = 0.. A cocadeia obstrução cn(f). é um cociclo, € portanto representa uma classe de. cohomologia de Hn(K\ f*Un(Y, B)), chamada classe de obstrução para deformar / em B, que será denotada por w"(/). Lema 1.29. Suponha que {/<} e uma homotop ia de f para outra aplicação f\, com ft(Kn~2). C 5 para todo t £ / , e amòos / ( / T - 1 ) C Be. h(I<n~l). C B.. Então. c n ( / ) e c n ( / i ) são cohomólogos, isto é; existe c 6 HomII(C,B_1(Ã');/*nn(y,5)) tal que.

(33) 26. Pré-requisitos. Snd=cn{f1)-cn(f) Observação 1.30. Se ^(Y^B). — 0 para todo p < n e n > 2. Então quaisquer. duas aplicações homotópicas / ' e f" com f'(Kn~l) homotópicas por uma homotopia { / { } tal que ft(Kn~2). C Be. f"(Kn~l). C B, são. C B.. L e m a 1.31. Seja / ( A ' " " 1 ) C B e a € Hom n (C n (Ã'); /*II n (Y, B)) cohomólogo a cn(f).. Então existe uma homotopia { f t } de f tal que { f t } e constante sobre. / j M c B. ecn(f1). Kn~2,. = a.. T e o r e m a 1.32. Suponha que f(Kn~l) homotopia { f t } de f tal que fi(Kn). C B e que u " ( / ) = 0. Então existe uma. C B. De fato, a homotopia pode ser escolhida. de tal forma que esta seja constante sobre. Kn~2..

(34) Capítulo 2 Teoria de Raízes Este capítulo será dedicado ao estudo da seguinte questão. Para uma aplicação / : K —> M, definiremos o conceito de classes mínimas, e buscaremos propriedades sobre os espaços K e M para que exista uma aplicação na classe de homotopia de / que tem todas as classes mínimas. Na seção 2.1, vamos expor a teoria necessária para a definição do novo conceito. A seção 2.2, contém os resultados obtidos. As referências básicas para este capítulo são [BR1],[BG], e [TK].. 2.1. Teoria de Nielsen. Seja / : K —> M uma aplicação entre espaços topológicos conexos por caminhos, e a E M um ponto arbitrário. Uma raiz da equação / ( x ) = a é um ponto x0 Ç I\ tal que f(x0). — a. Duas raízes x0 e xx são /-equivalentes quando existe um. caminho a : [0,1] —> I\ de x0 para x\ tal que / o a ~ a rel{0,1}. Esta relação é de equivalência, e separa o conjunto das raízes em subconjuntos disjuntos, chamados classes de Nielsen para raízes, o conjunto de todas as classes de Nielsen será denotado por T(f, a). O próximo resultado é demonstrado em ([TK], teorema 3.4)..

(35) 28. Teoria de Raízes. L e m a 2.1. Se K é compacto, localmente conexo por caminhos, e M é espaço Hausdorff semilocalmente simplesmente conexo, então T(f, a) é finito.. Seja { / { } uma homotopia começando em / : K —> M. Então uma raiz x 0 de f(x). = a ê { / ^ - r e l a c i o n a d a com a raiz x\ de fi(x) = a, denotada por ®o{/t}®ij. se existe um caminho a em K de x 0 para x\ com ftoa(t). ~ a rel{0,1}. 0 próximo. resultado é demonstrado em ([TK], teorema 4.2). T e o r e m a 2.2. Suponha que é dado uma homotopia { f t } : / = f0 a fi : K —>• M, raízes x,- de fi(x) = a, i = 0,1, e x 0 { / í } x í . Sejam as classes em T(fi,a). contendo. Xi denotadas por F{. Então 1. x'0 £ Fo se, e somente se,. x'0{ft}x. 2. x\ G F\ se, e somente se,. xo{ft}x[.. Em outras palavras, a relação x0{ft}xi sob {ft},. que é denotada por. induz uma correspondência de Fo para F\. F0{ft}Fi.. Definição 2.3. Se uma classe de Nielsen para raízes F G T(f,a). corresponde a. uma classe de raiz G T(f\,a) para toda homotopia {/{} começando em f , então F é chamada essencial. O número de classes essenciais é chamado n ú m e r o de Nielsen para raízes e será denotado por. N(f,a).. O próximo resultado pode ser encontrado em ([TK], teorema 4.4). L e m a 2.4. O número de Nielsen é um invariante homotópico, isto é; se f e g são homotópicas, então N(f,a) Note que N{f,a). =. N(g,a).. < MR[f,a],. [ ] significa classe de homotopia.. sendo MR[f,a]. = mm^g'1. (a))\g G [ / ] } . Aqui.

(36) 2.1. Teoria de. 29. Nielsen. Quando / : K —> M é uma aplicação entre espaços conexos, localmente conexos por caminhos, e semilocalmente simplesmente conexo e a £ M é fechado, temos uma interpretação usando espaços de recobrimento de /-equivalência e {/<}relação. A aplicação / induz um homomorfismo. : 7Ti(Á') —>• tt\{M) de grupos funda-. mentais. Como a imagem de / # é um subgrupo de 7Ti(A/), existe um recobrimento p+ : M+ para f+. M tal que p J t t i ( M + ) =. fî{I<). Podemos levantar / através de p+. fazendo o diagrama comutar.. Os lemas a seguir são demonstrados em ([BR1], lema 1 e lema 2). L e m a 2.5. Suponha {ft}. uma homotopia começando em f , e { f f } seu levan-. tamento através de p+ começando em f+. {ft}-relacionada. com uma raiz x\ de fi{x). L e m a 2.6. Duas raízes Xo e xx de f(x). Então uma raiz x0 de f(x) — a se, e somente se, f+(xo). =. = a é f^(xi).. = a são f -equivalentes se, e somente se,. /+(a;o) = / + ( x 1 ) . Em outras palavras, os lemas acima dizem que para cada a,- 6 ( p + ) - 1 ( a ) o conjunto ( / + ) - 1 ( a a ) se for não vazio é uma classe de raiz, e a classe ( / + ) _ 1 ( a , ) é essencial se, e somente se, ( / j + ) - 1 ( a j ) é não-vazio para toda aplicação ff. : K —>• M+. homotópica a / + . 0 próximo teorema foi demonstrado em ([BR1], teorema 1). T e o r e m a 2.7. Suponha f : K. M é uma aplicação entre espaços. conexos,. localmente conexos por caminhos e semilocalmente simplesmente conexos. Suponha.

(37) 30. Teoria de Raízes. a £ M é fechado e para algum inteiro n > 2, irm(M,M. — a) = O para todo. O < m < n. Se K é um complexo simplicial finito, então existe uma aplicação f. : K. M homotópica a f tal que f'(x). = a tendo exatamente N(f, a) classes. de raízes.. Podemos perguntar quais condições são necessárias sobre K e M para que as classes de raízes sejam reduzidas a conjuntos unitários variando / por homotopias. Em ([BR3], proposição 4) é demonstrado que se K e M são variedades trianguláveis de mesma dimensão n > 3, existe / ' homotópica a / com f'(xo) = a tendo" exatamente N(f, a) raízes. Porém em [BR1] um exemplo mostra que a hipótese de K ser variedade não é supérflua. Motivados por estes resultados, pomos a seguinte questão: Seja de todas as homotopias { f t } começando em / : K. o conjunto. M. Para cada F € T ( / , a). defina fi(F) = m i n { / t } € 5 / { # ( F 1 ) | F, € T(fua). e. F{ft}Fi}.. Se F for inessencial, então n{F) — 0. Quais propriedades devem ter os espaços I\ e M para que exista { f t } G. onde f\ : K —>• M tem todas suas classes mínimas,. isto é; fi tem apenas classes essenciais, e se Fi 6 T ( / ] , a ) é tal que F{ft}F\,. então. F\ tem n{F) pontos.. 2.2. Classes Mínimas. O contexto em que vamos trabalhar é K um CW-complexo finito de dimensão n > 3 e M variedade conexa, fechada de mesma dimensão de K. Daqui em diante, a menos que se especifique, estas serão as hipóteses que estaremos admitindo. Seja p : M —> M o recobrimento universal de M.. Sabemos que p induz um.

(38) 2.2. Classes. 31. Mínimas. isomorfismo (p,)-1 para todo n > 2.. : 7rn{M,M-a,y). -» irn(M,M. Agora como M e M — p. J (a). —p. (a),y). são simplesmente conexos o. homomorfismo de Hurewicz : 7rn(M, M - p~1(a), y) -> k(M,. M -. p~l(a)). é isomorfismo. As inclusões. • (M, M — p. 1 (a)). —>• ( M , Aí — ã;), onde õ, £ p. 1. (a) induz um. isomorfismo. i, =. ia,*: Hn(M,M. £. -p-\a))^. Hn(M,M-ãi). ã,£p~'(a). ã,ep_I(a). E por excisão temos o isomorfismo (Exc)- 1 :. E. ^. Hn(M,M-ãi)-+. ãiep~ (a). ã,£p. 1. #n(VS, V< - ã,-) = Z[tt] _1. (a). onde 7T = tti(M) e V; são vizinhanças euclidianas de ã,- sobre uma vizinhança V de a. Seja 7i € H n (Vi, Vi — õ,-) um gerador. Dado a 6 7rn(M, Aí — a,y), tem-se ((Exc)-1 o ! , o / ) o (p.)_1)(a) =. + «27í2 +. H ^7,-.. O elemento 7^7,- é representado pela classe de homologia de uma aplicação g, :. ^ (V^Vi -. (crn é um n-simplexo) tal que : Hn(a\a"). ^ Hn(Vi,Vi - ãi). tem grau nt e (<7i) _l (ã,) é o baricentro de crn.. ~a{).

(39) 32. Teoria de. Raízes. Definição 2.8. Seja f : X —>• Y uma aplicação entre espaços topológicos, e A C X um subespaço. Uma homotopia ht : A —>• Y é chamada homotopia parcial de f se h0 — f\A. Um subespaço A de um espaço X tem a propriedade da extensão de homotopia absoluta ( A H E P ) em X se, para todo espaço Y e toda homotopia parcial ht : A —>• Y de uma aplicação arbitrária f : X —Y gt : X. tem uma. extensão. tal que g0 — f .. L e m a 2.9. Seja h : (an,àn,xa). —> (M,M. — a,y). uma aplicação.. Se [h] tem p. parcelas,isto é; [/&] = nij^ + n 2 7; 2 + • • • + rcP7, então h ~ gre\àn com g : (an, ãn, x0) -+(M,M-. a, y). tendo exatamente p raízes. Demonstração: Seja <7,- , j = 1, ...,p os representantes de. como descrito. acima. Como Vi fl (p~1(a) — ã t ) = 0 temos a inclusão / ^ ( K - ^ - ã O c ^ M - j r V ) ) , daí a aplicação /,• o (Exc)-1 o. representa a classe de homologia que pelo isomorfismo. é levado em rij7,--. Sejam C{j caminhos em M — |i _1 (a), com c^.(0) = y. e c,--(l) = (íy o §i )(x„)] Cíj induz um isomorfismo Tc,. : 7rn(Af, M - p~\a), (I{j o g{j){xa)) e ra}. ([Uj. 0. t t n ( M , M - p~l(a),. y),. gij]) é representado por uma aplicação. tal que «^(õ^.) é apenas um ponto, e como aplicação de {(Tn,àn). (M,M-p_1(o)). sua classe de homologia é homóloga a classe de homologia de. o g { .. Daí. ( ( E x c ) - 1 o j , o />)([&,] + • • • + [<Ãp]) = MiTíi + • • • + riP7ip..

(40) 2.2. Classes. 33. Mínimas. Defina g = gix H. 1- gip, logo pog. =. g~h com g tendo apenas p raízes. Como. crn tem AHEP em <rn podemos supor que a ho motopia é relativa a <rn. Corolário 2.10. Seja f : K —>- M uma apliccção, e F € T(f,a).. I. 0 número p,(F). é finito. Demonstração: Como no nosso contexto M é variedade de dimensão n > 3, temos 7rp(M, M — a) = 0 para todo 0 < p < . Pelo lema 1.27 / é homotópica a uma aplicação f sem raízes sobre o n - 1 esque leto. Seja en uma n-célula arbitrária de K, e Xe" :. {K, Kn~l). existe uma homotopia hf' :. sua apli plicí ç;ão característica. Pelo lema acima. {crn,àn,x(T). (M ;, M - a, y) tal que hf. = / i o x e »,. /i®n \àn — f i o Xen e hf 1 tem apenas um núme: o finito de raízes. Logo existe uma homotopia {ht} bem definida sobre K por. ht(x) =. h ° Xe". 3 x € inten 3 x € /ST"-1.. Como K tem um número finito de células, h i tem apenas um número finito de raízes. Lema 2.11. Sejam F\, Fi classes essenciais de f , então p.{F\) = /^(i^). Demonstração: Sejam / + e p+ as aplicaç 5es obtidas antes do lema 2.5, F\ = ( / + ) - 1 ( a 1 ) e F2 = (f+)-1(a2),. sendo au a2 € (P + )~ 1 ( a )• Como M+ é variedade,. existe um homeomorfismo h : M+ —)• M+ corrh(ai) = a2 e h ~ id : M+ -)• M+. Logo hof+ ~ / + e (hof)~\a2) Analogamente tem-se. = ( / + ) " 1 ( a 1 ) , nas isto significa que p.(F2) <. fi(Fi).. < fJ.(F2).. 0 lema acima mostra que no caso do con ;radomínio ser variedade, todas as classes são essenciais ou todas são inessenciai s. Mais ainda, temos um número bem definido ficFiif) associado a / , isto é; p,ck (/) = p,{F) para alguma classe de.

(41) 34. Teoria de Raízes. raiz F de / . Portanto nosso problema é mostrar que MR[f, a] = N(f, a)./JcR.(f)Quando Hcr{}). = 0, ou seja, todas as classes são inessenciais, temos N(f,a). e o teorema 2.7, nos diz que MR[f,a] que N(f,a). = 0.. > 0, neste caso teremos que N(f,a). = 0. De agora em diante vamos supor é igual ao número de classes de. Reidemeister, isto é; será o índice [ ^ ( M ) : f # ( n i ( K ) ) ] - O próximo resultado é demonstrado em ([BR1], lema 5). L e m a 2.12. Seja q : M+ —> M+ o recobrimento universal de M+ e D = ( p + ) - 1 ( a ) . Então as inclusões iy. ( M + , M+ - q-\D)). c ( M + , M+ - q-^y)),. induzem um isomorfismo de 7r n (M + , M + — q~1(D)). y € D,. sobre a soma direta. -q-^y)), yÇ.D. enquanto para 0 < m < n tem-se y' eM+-. irm(M+,. M+ — D,y'). = 0 para qualquer. D.. T e o r e m a 2.13. Se existe f. homotópica. a f. tal que uma de suas classes de. raízes F' tem fJ,cfí.{f) pontos e estes pontos estão no interior de n-células, então MR[f,a] =. N(f,a).ixcn(f).. D e m o n s t r a ç ã o : Como 7Tj(M, M — a) = 0 para j < n podemos supor que / não tem raízes sobre o n — 1 esqueleto de K.. Seja D — {ai}...,. a,N(},a)\-. Para. cada ai o sistema de coeficientes locais sobre K para deformar / + em M+ — ai é ( / + ) * n n ( M + , M + — ai), que será denotado por r a í , da mesma forma o sistema ( / + ) * I I n ( M + , M+ - D) sobre K, para deformar f+ em M+ - D será denotado por Tb- Para cada a,- 6 D, as inclusões ia, : (M+,M+-q-\D)). C {M+,M+. -q-\ai)).

(42) 2.2. Classes. 35. Mínimas. induzem homomorfismos de coeficientes locais kai : To —> T a i . Do lema 2.1'2, a soma direta E. r. -. é um isomorfismo de coeficientes locais. Consequentemente, ( J ] ( * . , ) # ) : Homn(C„(Ã'); Z [ ^ ( M ) ] ) \a,eD /. Homn(Cn(Ã');Z[7r1(M+)]) -> £ a,eD. é um isomorfismo, onde cada (ka> )# é o homomorfismo induzido pelo homomorfismo de coeficientes kat. Considere:. 1. C j ( / + ) a cocadeia para deformar f+ 2. cD(f+). em M+ -. ai. em M+ - D. a cocadeia para deformar f+. 3. c ( / + ) = c , ( / + ) + • • • + Civ(/, a )(/ + ) Como (ka, ) # ( c d ( / + ) ) = c , ( / + ) para cada a i G D, tem-se. ( £ ( f c a , ) # ) M /. +. ) J. 1 = c(/+).. a,ÇD. Da demonstração do lema 2.11, para cadci i = 1 , . . . , N(f, a), existe ff motópica a f+. tal que ( f f ). 1(o!). = F'.. Pelo lema 1.29 as cocadeias Ci(ff). c , ( / + ) são cohomólogas. Logo c = Ci(ff). + • •' + c ^(/,a)(/^(/ > a )). c ( / + ) . Daí existe C£> cohomológa a cp(f+). con1. é. e. cohomológa a = c- Pelo lema. 1.31, existe / : A' —> M+ homotópica a / + corri J\Kn~2 = / + , J(Kn~1) e cD(f). ho-. C. M+-D. = cD.. Agora se e" contém p pontos de F' em seu interior, c ! ( / 1 + ) ( e n ) tem p parcelas em ? r n ( M + , M + — a,-) = Z[tti(M+)]. restrita a e n tem p.N(f,a). Mais isto significa que g — p+ o f quando. parcelas em NN(M, M -a). = Z[tti(M)]. Pelo lema 2.9,. podemos estender g relativo ao bordo de en, tendo exatamente p.N(f,a). raízes..

(43) 36. Teoria de Raízes. Repetindo este processo em todo simplexo que contenha pontos de F', obteremos uma aplicação g homotópica a / tendo exatamente N(f, a).^cR{f). raízes.. I. Até o final deste capítulo K será um complexo simplicial e M uma variedade triangulável. Em [BG], define-se o número NO(f,a-,K). 1. Uma cocadeia cn £ B.omu(Cn(K);. da seguinte forma:. Z|Vr]) é e l e m e n t a r se Cn é diferente de zero. somente em um n-simplexo, chamado seu suporte, e tem valor em apenas um somando Z de Z[7T](M) = 7r] indexado por a £ ir. Podemos então associar a cada cocadeia elementar um par ( A n , a), onde A n é seu suporte e et o índice do somando Z de Z[rr] onde a cocadeia assume seu valor. 2. Duas cocadeias elementar são disjuntas se os pares ( A n , o ; ) , ( A ' n , o ; ' ) não são iguais. 3. Dado um cociclo arbitrário Cn £ Hom n (C n (A'); Z[7r]), definimos um inteiro l(cn) como segue: (a) 0 cociclo c n pode ser unicamente escrito como uma soma de cociclos elementares disjuntos, isto é; Cn = cvî + c„,2 + • • • + cn>r, onde cada cnjté elementar. (b) Uma soma parcial Cn+. ••• + c ^. da decomposição de Cn é dita ser. combinável se a interseção dos suportes de todas somandos elementares é não vazia e eles tem valores no mesmo somando Z de (c) Defina l(cn) sendo o número mínimo de somandos parciais combináveis entre todas as decomposições de c n . 4. 0 número NO(f,. a; K) é definido como o mínimo dos números l(cn), onde c„. percorre o conjunto de todos os cociclos representantes da obstrução w n ( / ) £ Hn(I<; Fd) para deformar / em M — a..

(44) 2.2. Classes. 37. Mínimas. Lema 2.14. NO(f, a; K ) = Y , U 0{f. , a,-; K).. i-1. Demonstração: Seja cln um n-cociclo que representa a obstrução para deformar f+. em M + — ct- de modo que l(c\) — NC( / + , a,-; K ) . Pelo isomorfismo X>a<)#. :Hom n (C n (/?);Z[7r]). VHomn(Cn(Ã');Z[7r1(M+)]), eD. a cocadeia Cn satisfazendo. i=1 é um cociclo que representa a obstrução para deformar / em M — a. Tem-se K*») = « O + " * " + Vamos mostrar que l(cn) = NO(f,a\ K). S íponha que exista cn € Homn(Cn(Ãr|); Z[7r]) cohomóloga a Cn com /(c„) < l(cn). Podemo 3 decompor c„ como uma soma de cociclos ci + • • • + <£""> tal que ao decomp ormos cada c*n como uma soma de cociclos elementares, seus valores sobre os n simplexos estarão em somandos Z cujos índices estão na mesma classe de Reiden eister, logo l(c^). Agora. ( K M c n ) € Hom n (C n (Ãl);Z[7r 1 (M + )]) é cohomóloga a cln, daí l{c\) > /(cjj..

(45) 38. Teoria de Raízes Seja K um n-complexo homogéneo com a propriedade que todo (n — l)-simplexo. seja face de pelo menos dois n-simplexos. Para cada n-simplexo A n seja C ( A n ) o menor subcomplexo que contém todos n-simplexos A'™ que podem ser ligado a A n por uma sequência de n-simplexos começando em A " e terminando em A ' " tal que a interseção de dois consecutivos é um (n — l)-simplexo que face apenas estes dois n-simplexos. Isto define uma cobertura de K por subcomplexos {Á'i,-- -. ,Kr}.. Para A um subconjunto de { 1 , . . . , r } , defina Ka = fljeA T e o r e m a 2.15. Suponha que quando de {1,.... ^ 0 ; onde A é um subconjunto qualquer. ,r}, todas as suas componentes conexas tem dimensão diferente de zero.. Então MR[f,a]. =. N(f,a).fiCR(f).. Demonstração: Em ([BG], teorema 4.1), é demonstrado que sob estas.hipóteses, dada qualquer aplicação g : K —> M tem-se MR[g,a] = NO(g,a~, K).. Pelo lema. 2.14, tem-se MR[f,a}. = NO(f,a]K)=. NU,<>•) NO(f+,ai]K) t—í. =. N{f,a).ncR(f). I. Corolário 2.16. Se K = Mi U M2 é a união de duas variedades sem bordo de dimensão > 3 ; e K0 = MX fl M2 tem a propriedade quê MI — Kq são conexos por caminhos e todas as componentes de Kq tem dimensão diferente de zero, então MR[f, a] =. N(fta).fjioR(f).. Demonstração:. Uma cobertura de K é obtido da seguinte forma: K\ =. M\ — Ko, K2 = M2 — K0, e Ki para i = 3 , . . . , r são as componentes conexas de dimensão n de Ko- A condição que quando. ^ 0, onde A é um subconjunto. de {1, • • • , r } , todas suas componentes conexas tem dimensão diferente de zero, é satisfeita, logo o resultado acima podem ser aplicados.. I.

(46) 2.2. Classes. 39. Mínimas. O exemplo abaixo mostra que a hipótese c e. ter todas as componentes co-. nexas de dimensão diferente de zero, é de func amental importância. Exemplo 2.17. Seja K = (J?=1 Si, onde cada Si é S3 vista como o bordo de A 4 , Si = d < a0, ai, a2, a3, a4 >,. S2 := d < b0,bi,. >. S3 = d < co, ci,c2, c3, C4 >,. S4 =| d < do, di,d2, d3, d4 >. e são coladas da seguinte forma:. 1. Si n S2. a0 — b0,. 2. £2 H 5"3. b0 = co, bi = ci, 63 = c2. 3. £"3054. co = d0, c2 — di, c 3 = d2. Note que Ht=i. =. a°. = 61, a2 = ò2. ( v e r figura 2.1). a2 =. b2. C3=d c 2 = b 3 =d 1. Figura 2.1: Seja / : K —f P 3 uma aplicação com a propriedade que suas restrições f\Si = /,• levanta-se para homeomorfismos /t- : 5",- —> 5 3 (ver diagrama abaixo)..

(47) 40. Teoria de Raízes. S3. Sendo a = /(ao), tem-se p - 1 ( a ) = {ã, —õ}. Como toda aplicação homotópica a / é sobrejetora, implica que N(f,a). = 2. Agora Jff1(ã), = a0 para i = 1 , . . . ,4, ou. seja, / - 1 (ã) = a0. Isto significa que fJ,cfí.(f) = 1 e N(f,a).fxCR(f). = 2. Como /. tem sempre duas raízes restrita a cada esfera, MR[f, a\ > 3. Observo que no caso de dimensão 2, mesmo que K seja uma variedade, não teremos MR[f, a] = N(f,a).fj,CR{f) constrói-se uma aplicação / : porém N{f,a).pCR{f). = 3.. para toda aplicação / : K —>• M. Em [LX], —> T do bitoro no toro, tendo- MR[f, a\ = 4,.

(48) Capítulo 3 Existência de Raízes Neste capítulo vamos abordar a seguinte questão. Seja K um CW-complexo de dimensão 3, com m células de dimensão 3 e n células de dimensão 2 (m < n), M variedade conexa fechada de mesma dimensão que A', e a £ M um ponto arbitrário. Se H3(K; Z ) = 0 é possível existir f : I\. M tal que MR[f,a]. ^ 0? Na seção. 3.1, damos exemplos de complexos com / / 3 ( A ' ; Z ) = 0, e alguns resultados que dizem quando não é possível construir tais complexos. Na seção 3.2, o problema é resolvida para uma grande classe de variedades com 7Ti abeliano, e na seção 3.3, resolvemos o problema para a variedade MQS obtida de S3 pela ação do grupo dos quatérnios.. 3.1. Complexos com Cohomologia Top Zero. Suponha que A' tenha m células de dimensão r, e n-células de dimensão r — 1. Relembremos como se calcula Hr(I\] Z). Seja p : A' —> K o recobrimento universal de A'. Considere a sequência Hr(Kr,. A' r _ 1 ). // r |_i(A' r _ l , A' r ~ 2 ),. 41.

(49) 42. Existência de Raízes. onde dr(ê;) = ãuê[. 1. + • • • + ã ni e£. 1. para i = 1 , . . . , m . Sejc. «n. dlr. O-nl. Ct-R.. então ©£iZ Im^)'). H r (I<; Z ) =. Pelo lema 1.9, se n > m, este quociente será infinito, então a primeira condição que temos que impor é m < n. Neste caso, Hr{K\ Z ) = 0 se, e somente se, ,os subdeterminantes de ordem m x m da matriz £(^4)' são primos entre si. Definição 3.1. Quando m — n, diremos que K & quadrado. Lema 3.2. Se um complexo Kr~l. tiver, i/ r _i(A' r _ 1 ) = 0 ou 7rr_i(A'r~1) = 0, então. não épossível construir um complexo K = Kr, a partir de Kr~l com Hr(K] Z ) = 0. Demonstração: O revestimento universal p : JK —> K ê uma aplicação celular, logo induz o homomorfismo p. : Hr(Kr, Kr-1). =. x Z[n]. Hr(Kr, / T - 1 ) =. ,Z,. que é o aumento em cada parcela do somando. O diagrama comutativo Hr{Kr, Kr~l) —. Hr-i(Kr~1,. p». A—1) —. i/r-i(A—S í f - 2 ). diz que, se dr(e£) = (ai,-,..., a n t ), então para j = 1, • • • ,n,ei de funções ip : S"""1. = (õi,-,..., ã n i ), sendo e(ãji) = am-. — 1 , . . . , m. Um complexo Kr é obtido de Kr~1 pela colagem Kn~l, e se Hr-1(Kr~1). em homologia </p» : Hr-i(Sr~1) função de. I<r~2) p». = 0 ou 7Tr_1(A'r-1) = 0, a induzida. i / r _ i ( A ' r _ 1 ) é zero. Como dr é definido em. teremos dr = 0. Daí a matriz £(^4)' será nula.. B.

(50) 3.1. Complexos. 43. com Cohomologia Top [Zero. Em particular KR~Í não pode ser uma va: iedade fechada não orientável. No caso r = 3, a única superfície fechada que poc e ser K2 é S2, sendo neste caso K3 simplesmente conexo. Corolário 3.3. O único 2-complexo K2 tendo uma célula em cada dimensão 0,1,2, que é possível construir um 3-complexo com h {K\ Z ) = 0 é S1 V S2. Demonstração: 0 1-esqueleto de K 2 é o círculo S1, logo K2 é obtido de 5"1 pela colagem de uma 2-célula por uma aplicaçiú,o (p : S1 —y S1 de grau n. Se n = 0, K2 = S1 V S 2 . Vamos calcular H2(I<2). 0 —f H2{K2,Kl). A. Hx{K\È°). Aqui d2(p) — n.p e d\ — 0. Como H2(K2). 9 i.. Ho(K°) —f 0. = ker<92, se n ^ 0, tem-se-H 2 (K 2 ) =. 0. Segue do lema anterior que não é possível construir K3 apartir de K2 com H3(K-, Z ) = 0. Vejamos alguns exemplos de 2-complexos, oîde é possível construir 3-complexos com cohomologia 3 igual a zero. Exemplo 3.4. Seja. K2. = SLV\JNI=L S2,. o b o u q |iet de S1 com o bouquet de n-esferas. S2. Seu recobrimento universal K2, Ê a reta, onde em cada ponto de coordenada inteira cola-se V ^ S * . Tem-se tt2(K2) = H2(R 2 ) = ©?= i Z [ í , í - 1 ] , e todo elemento é representado por uma n-upla (pi(í), • • • ,p n . Para obtermos um complexo K (O) a partir de K2 cuja cohomologia H3(K] Z ) = 0 basta colarmos uma quantidade m de 3-células com m < n, tal que d3(ê3). =. + • • • + Pni{t)èl satisfaça a. condição que os subdeterminantes de ordem rr, x m da matriz e(Ay = [e(ptj(í))], são primos entre si. Exemplo 3.5. Considere K2 = T V VLi S2, o bouquet do toro com o bouquet de n-esferas S2. Seu recobrimento universal K é o plano IR2 onde em cada ponto.

(51) 44 (x,y). Existência de Raízes de coordenadas inteiras é colado V£=i S2 (a figura 3.1 representa o reco-. brimento de T V 5'2). Contraindo R 2 a um ponto, tem-se 7t2(A'2) = H2(K2). =. [x,y,x~l ,y~l\. Portanto todo elemento de 7t 2 (K 2 ) é representado por uma n-upla (pi(x,y),.... ,pn(x,y)). de polinómios de Laurent em duas variáveis. Como. acima obter complexos K de K2 com H3(K; Z ) = 0, é colar uma quantidade m de 3-célula com m <n por polinómios, tal que a matriz £(^4)' = \e(pij(x,y))] tenha seus subdeterminantes de ordem m x m primos entre si.. o (Q / \. t1. /". \. //V\. *t 1 1. (1.1). /. ^^. 1/. /. ^^^. »/. (0.0). (-1.-D. Figura 3.1:.

(52) 3.1. Complexos. com Cohomologia. 45. Top [Zero. Observação 3.6. Observo que T pode ser substituído por qualquer superfície orientável compacta S3 de genus g > 1. Para construir um complexo de dimensão r, temos que colar células via aplicações ip : 5' r_1 —> Kr~l. a um complexo de dílmensão r — 1. Mas estas aplicações. representam elementos de 7Tr-\(Kr~l).. Portan ;o é necessário o cálculo deste grupo. de homotopia. No caso em que r = 3, temos u ma ferramenta para calcular ^ ( / f 2 ) para qualquer 2-complexo conexo. Esta técn ica é apresentada com detalhes em ([HMS] capítulo 2). Passaremos agora a descr ;vê-la. Todo CW-complexo conexo de dimensão 1, K 1 , tem o mesmo tipo de homotopia de V"=i 5 1 (bouquet de n-círculos). Seu grupe fundamental é: 71. 5,1)= F(x*> • • •' *») = grupc livre com n-geradores. tfiC V t=i Os 2-complexos K2 são obtidos de K1 colai. ido-se uma quantidade p de células de dimensão 2, por aplicações 5 a —> V"=i S 1 - Mas estas aplicações representam elementos de tt\. Logo todo 2-complexo cone >co pode ser apresentado na forma, K2 — { x j , . . . ,x n |rj,... ,rp}, onde ri são as ap icações de colagem. Tem-se 2. *ÁK2). =. F{x 1,. N(ri,.. • >. xn). • > rp). onde N(ri, • • • ,rp) é o menor subgrupo norma gerado por ri, Denote por : F(x) =. F(xu...,xn). F(xx,..., N(ru...,. xn) rpy. a projeção. Seja K2 o recobrimento universal de K2, o )perador bordo d2 : H2{K2,K1). -)• H (K\K°). •,j r. 'V.

(53) 46. Existência de Raízes. é obtido da seguinte forma: Para cada x,- considere a Derivada de Fox —. : F(x). ZF(x). sendo a única função que satisfaz: dwrw2 ~dx~. dwx dãT. =. dw2 dx~'. Wl. , para. e. *\ x )•. cujo valor em Xj é S-ÍJ (delta de Kronecker). = E II ã í H t=i. Para i. =. !>•••)?•. Aqui || — ||: ZF(x) —y Z"K\ é a extensão natural do homomorfismo quociente acima. Note que 7r 2 (K 2 ) = H2(I<2) = Kerd2. E x e m p l o 3.7. Seja K2 = {x, y\x2, y, xyx~V-1}. { l , x } . 0 homomorfismo d2 : H2{K2, K1) 1+ x. Hi(Kl ,K°) é dado pela matriz: 0. 0. Tem-se que 7r1(A'2) = Z2 =. 0. 1 x- 1. Note que o vetor [0, x — 1, x] pertence ao núcleo de d2 e representa um elemento de 7r 2 (K 2 ). Colando-se uma 3-célula via esta aplicação obteremos um complexo K cuja cohomologia 3 é zero. E x e m p l o 3.8. Seja K2 = {x, y|x3, y2, ( x y ) 2 } (esta é a apresentação do grupo diedral D3 degrau 3). Seu grupo fundamental é o conjunto 7rj(K 2 ) — com a seguinte tabela de multiplicação: *. 1. X. x2. y. xy. x2y. 1'. 1. X. x2. y. xy. x2y. X. X. x2. 1. xy. x2y. y. x2. 1. X. x2y. y. xy. y. x2y. xy. 1. x2. X. xy. xy. y. x2y. X. 1. x2. x2y. x2y. xy. y. x2. X. 1. X2. y. {l,x,x2,y,xy,x2y},.