Localização de robôs utilizando inteligência de enxame

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LOCALIZA ¸C ÃO DE ROB ÔS UTILIZANDO INTELIGÊNCIA DE ENXAME

Alan Oliveira de S´a∗_{, Nadia Nedjah}†_{, Luiza de Macedo Mourelle}‡_{, Leandro dos Santos}

Coelho§

∗_{Centro de Eletrˆ}_{onica, Comunica¸c˜}_{oes e Tecnologia da Informa¸c˜}_ao

Centro de Instru¸c˜ao Almirante Wandenkolk, Marinha do Brasil

†_{Departamento de Engenharia Eletrˆ}_{onica e Telecomunica¸c˜}_oes

‡_{Departamento de Engenharia de Sistemas e Computa¸c˜}_ao

Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro

§_{Programa de P´}_{os-Gradua¸c˜}_{ao em Engenharia de Produ¸c˜}_{ao e Sistemas (PPGEPS), Pontif´ıcia}

Universidade Cat´olica do Paran´a

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica (PPGEE), Universidade Federal do Paraná

Emails: alan.oliveira.sa@gmail.com, nadia@eng.uerj.br, ldmm@eng.uerj.br, leandro.coelho@pucpr.br

Abstract— The localization problem arises from the need of the agents of a Wireless Sensor Network (WSN) in general, and of a swarm of robots in particular, to determine its position without the use of external references, such as the Global Positioning System (GPS). In this problem, the localization is computed based on distance measurements to anchor nodes, which have known positions. In the search for efficient and accurate algorithms to discover the location, some bio-inspired algorithms have been explored, such as Genetic Algorithm (GA) and Particle Swarm Optimization Algorithm (PSO). Accordingly, in order to obtain more accurate solutions to the localization problem, this paper presents and compares the results obtained with the PSO, with the Backtracking Search Optimization Algorithm (BSA) and with a new algorithm that combines characteristics of both, entitled Backtracking Cognitive Particle Swarm Optimization Algorithm (BC-PSO). The results show that the BSA is more robust with regard to changes in the nodes’ distribution, the PSO demands less processing time and the BC-PSO, under specific conditions, is the most accurate.

Keywords— Particle Swarm Optimization (PSO), Backtracking Search Optimization Algorithm (BSA), swarm intelligence, swarm robotics, Wireless Sensor Network (WSN), localization.

Resumo— O problema de localiza¸cão surge da necessidade dos agentes de uma rede de sensores sem fio em geral, e de um enxame de robôs em particular, de determinar as suas posi¸cões sem o uso de referências externas, tal como o Sistema de Posicionamento Global ou GPS (Global Positioning System). Neste problema, a localiza¸cão é realizada baseando-se em medidas de distância para nós de referência, os quais têm suas posi¸cões conhecidas. Na busca por algoritmos eficientes e precisos para descobrir a localiza¸cão, alguns algoritmos bio-inspirados vêm sendo explorados, tais como o Algoritmo Genético ou GA (Genetic Algorithm) e o algoritmo de Otimiza¸cão por Enxame de Part´ıculas ou PSO (Particle Swarm Optimization). Nesse sentido, visando solu¸cões mais precisas para o problema de localiza¸cão, este artigo apresenta e compara os resultados alcan¸cados com o PSO, com o Algoritmo de Busca por Retrocesso ou BSA (Backtracking Search Optimization Algorithm) e com um novo algoritmo que combina caracter´ısticas de ambos, denominado algoritmo de Otimiza¸cão por Enxame de Part´ıculas com Retroa¸cão Cognitiva ou BC-PSO (Backtracking Cognitive Particle Swarm Optimization). Os resultados mostram que o BSA é mais robusto no que diz respeito às varia¸cões na distribui¸cão dos nós, o PSO demanda menos tempo de processamento e o BC-PSO, em condi¸cões espec´ıficas, é o mais preciso.

Palavras-chave— Otimiza¸cão por Enxame de Part´ıculas, Algoritmo de Busca por Retrocesso, inteligência de enxame, robótica de enxame, Rede de Sensores sem fio, localiza¸cão.

1 Introdu¸c˜ao

Diversas das poss´ıveis aplica¸cões de um enxame de robôs demandam que cada indiv´ıduo seja capaz de descobrir sua posi¸cão, seja ela absoluta, em fun¸cão de um sistema de referência universal, ou relativa, em rela¸cão a outros indiv´ıduos, com base em um sistema de coordenadas local. Da mesma forma, as redes de sensores sem fio, cujas perspectivas de aplica¸cão são amplas e têm atra´ıdo grande aten¸cão da indústria, na maioria dos casos possuem pouca utilidade quando não é poss´ıvel dispor da posi¸cão de seus sensores (Sun, 2011).

Em ambos os casos, o tamanho reduzido, a limitada fonte de energia e o baixo custo s˜ao

ca-racter´ısticas comuns aos dispositivos, sejam eles robˆos ou sensores. A solu¸c˜ao mais evidente, que consiste em equipar cada elemento com um Sis-tema de Posicionamento Global ou GPS(Global Positioning System), torna-se muitas vezes invi´ a-vel.

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rece-bido, no tempo de propaga¸cão de um sinal, e/ou na compara¸cão do tempo de propaga¸cão de dois sinais com velocidades de propaga¸cão diferentes (Ekberg, 2009) (Mao et al., 2007) (Lymberopoulos et al., 2006).

Uma vez que as técnicas de medi¸cão apresen-tadas dependem da propaga¸cão de sinais, há de se considerar uma distância limite para tais medi-¸cões. Nos casos mais simples, onde todos os nós de referência estão dentro da distância limite de me-di¸cão, as medidas são diretas e feitas em um único salto. Entretanto, nos casos em que um ou mais nós de referência estão fora da distância limite, as medidas são obtidas indiretamente em múltiplos saltos, por meio de algoritmos como Sum-distou DV-hop(Langendoen, 2005). Dependendo da to-pologia da rede, ou enxame, os casos de um e de múltiplos saltos podem coexistir.

Em (Langendoen, 2005), os autores propõem três fases para a abordagem do problema com múltiplos saltos:

1. Estimar as distâncias de cada nó para os nós de referência.

2. Calcular a posi¸cão de cada nó a partir das distâncias medidas na fase 1.

3. Refinar a posi¸cão de cada nó a partir das informa¸cões de posi¸cão e distância dos nós vizinhos.

A otimiza¸cão por técnicas bio-inspiradas vem sendo aplicada ao problema de localiza¸cão, tanto nos casos de um único salto, quanto nos casos de múltiplos saltos (Sun, 2011) (Ekberg, 2009). Este trabalho visa comparar o desempenho e a preci-são do algoritmo de otimiza¸cão por enxame de part´ıculas ou PSO (Particle Swarm Optimization) (Engelbrecht, 2005), do algoritmo de busca por re-trocesso ou BSA (Backtracking Search Optimiza-tion Algorithm) (Civicioglu, 2013a) e de um novo algoritmo que combina caracter´ısticas de ambos, denominado algoritmo de otimiza¸cão por enxame de part´ıculas com retroa¸cão cognitiva ou BC-PSO (Backtracking Cognitive Particle Swarm Optimi-zation), na solu¸cão de problemas de localiza¸cão. Nos três casos, as distâncias medidas são de um ´

unico salto.

Para tal, o presente artigo é organizado da seguinte forma: Primeiramente, na Se¸cão 2, são apresentados alguns trabalhos relacionados. Pos-teriormente, na Se¸cão 3, é especificado o problema de localiza¸cão. Nas Se¸cões 4 e 5, são brevemente descritos os passos do PSO e BSA, respectiva-mente. Na Se¸cão 6, é proposto o algoritmo BC-PSO, que combina as caracter´ısticas do PSO com o BSA, visando obter maior precisão na solu¸cão do problema de localiza¸cão. Em seguida, na Se¸cão 7, são reportados os resultados obtidos. Finalmente,

na Se¸cão 8, são apresentadas as conclusões, jun-tamente com algumas possibilidades de trabalhos futuros.

2 Trabalhos Relacionados

A importância da informa¸cão de localiza¸cão dos elementos de uma rede de sensores, ou enxame de robôs, e as limita¸cões de hardwaree energia, t´ıpi-cas destes dispositivos, têm motivado a busca por algoritmos de localiza¸cão cada vez mais eficientes e precisos.

Em (Sun, 2011), os autores reportam o uso de algoritmos genéticos para a solu¸cão do problema de localiza¸cão em uma rede de sensores, sem obs-táculos e sem ru´ıdo.

Uma outra abordagem ao problema de loca-liza¸cão é relatada em (Huanxiang et al., 2010), onde os autores propõem o uso de nós de refe-rência móveis e um algoritmo baseado em algo-ritmos genéticos para estabelecer a localiza¸cão de nós desconhecidos estáticos. Este método, entre-tanto, pode apresentar desvantagens em redes com grande área de cobertura, devido ao elevado gasto de energia na movimenta¸cão dos nós de referência. Em (Ekberg, 2009), o autor apresenta o al-goritmo de localiza¸cão por inteligência de enxame ou SIL (Swarm-Intelligent Localization), baseado no PSO, para a solu¸cão do problema de localiza-¸cão em uma rede de sensores estáticos, de duas ou três dimensões, com medidas de distância para os nós de referência feitas em múltiplos saltos. Em (Ekberg, 2011), é demonstrada a capacidade do SIL em resolver o problema de localiza¸cão em re-des de sensores móveis.

Nesse contexto, este trabalho visa contribuir com a busca por algoritmos mais eficientes e mais precisos para o problema de localiza¸cão, por meio da avalia¸cão e da compara¸cão do desempenho do PSO, BSA e de um algoritmo proposto, que com-bina as caracter´ısticas de ambos.

3 Especifica¸cão do Problema A formula¸cão dada ao problema de localiza¸cão pode ser aplicada a problemas com duas ou três dimensões. Sendo assim, para simplificar a an´ a-lise, adotou-se caso de duas dimensões. Como pre-missa, o problema é considerado como sendo de um único salto, ou seja, todos os nós desconheci-dos são capazes de medir a distância para os nós de referência, de forma direta. Neste cenário não foram considerados erros nas medidas de distˆ an-cia.

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r, respectivamente, exié a posi¸cão estimada para o nó desconhecidoi.

g(xi, dr, pr) = (dr− ||pr−xi||)

2

(1) Dessa forma, a fun¸cão de aptidão para a po-si¸cão de um nó desconhecido é obtida pela soma do quadrado dos erros de distância para cada nó de referência, conforme apresentado em (2), onde Ré o número de nós de referência.

f(xi, dr, pr) = R X

r=1

g(xi, dr, pr) (2)

Sendo assim, para encontrar a posi¸cão de um nó é preciso minimizar a fun¸cão definida em (2). Neste cenário, onde não há erros de medida de distância, o valor m´ınimo def(xi,dr,pr) é 0.

4 Otimiza¸cão por Enxame de Part´ıculas O PSO tem origem na simula¸cão de modelos soci-ais simplificados, como, por exemplo, a movimen-ta¸cão de cardumes de peixes ou bandos de aves (Kennedy, 1995) (Shi, 1998), sendo o termo part´ı-cula utilizado para generalizar o indiv´ıduo. Nesta analogia, uma part´ıcula representa uma poss´ıvel solu¸cão para um problema. O enxame, por sua vez, representa um conjunto de poss´ıveis solu¸cões. A cada ciclo iterativo a posi¸cão de cada part´ıcula é atualizada conforme (3), ondexievi são a posi¸cão e a velocidade da part´ıculai, respectivamente.

xi(t+ 1) =xi(t) +vi(t+ 1) (3)

Após atualizar a posi¸cão das part´ıculas, é feita a avalia¸cão das suas aptidões.

O vetor de velocidadevi de cada part´ıcula é calculado pela soma de três componentes: uma componente de inércia do movimento, uma com-ponente cognitiva, baseada na melhor solu¸cão ob-tida pela part´ıcula, e uma componente social, ba-seada na melhor solu¸cão global encontrada pelo enxame. O cálculo de vi é feito conforme (4), ondewé uma constante que representa a inércia da part´ıcula,ϕ1eϕ1são constantes que atribuem

pesos às componentes social e cognitiva, respecti-vamente,r1er2são números aleatórios entre [0,1],

mi é a melhor posi¸cão da part´ıculaiemgé a me-lhor posi¸cão do enxame. É estabelecido ainda um limite de velocidade para cada dimensão j, dado por (5), ondemaxj eminj são os limites máximo e m´ınimo do espa¸co de busca na dimensão j, e δ∈[0,1].

vi(t+ 1) =wvi(t) +ϕ1r1(t)(mi−xi(t))

+ϕ2r2(t)(mg−xi(t))

(4)

0≤vij ≤δ(maxj−minj) (5)

A estrutura geral do PSO ´e definida pelo Al-goritmo 1.

Algoritmo 1: Algoritmo PSO in´ıcio

Inicia o enxame comx ev aleat´orias; Avalia o enxame;

Armazenami emg; repita

Atualiza velocidades, conforme (4) e (5);

Atualiza posi¸c˜oes, conforme (3); Avalia o enxame;

Atualizami emg, caso melhores posi¸c˜oes tenham sido

encontradas;

at´eCondi¸c˜ao de parada; retornamg;

fim

5 Algoritmo de Busca por Retrocesso O BSA é um novo algoritmo evolucionário (Civicioglu, 2013a), que utiliza informa¸cões obti-das por gera¸cões passaobti-das para buscar solu¸cões de melhor aptidão. A filosofia bio-inspirada do BSA é análoga a um grupo social de seres vivos que, em intervalos aleatórios, retornam às zonas de ca¸ca que foram previamente consideradas boas para a busca de alimentos. A estrutura geral do BSA é apresentada no Algoritmo 2.

Algoritmo 2: BSA in´ıcio

Inicializa¸c˜ao; repita

Sele¸c˜ao-I;

Gera nova popula¸c˜ao Muta¸c˜ao;

Cruzamento; fim

Sele¸c˜ao-II;

at´eCondi¸c˜ao de parada; fim

Na etapa de inicializa¸c˜ao, o algoritmo gera e avalia a popula¸c˜ao inicialP0e inicia uma

popula-¸cão históricaPhist. A popula¸cão histórica consti-tui a memória do BSA.

Durante a Sele¸cão-I, o algoritmo determina aleatoriamente, utilizando uma distribui¸cão uni-forme, se a popula¸cão atual Pserá gravada como popula¸cão históricaPhist e então embaralha indi-v´ıduos dePhist.

O operador de muta¸cão criaPmod (versão ini-cial da nova popula¸cãoPnova), de acordo com (6). Dessa forma, Pmod é o resultado do movimento dos indiv´ıduos dePnas dire¸cões estabelecidas por (Phist−P). Srepresenta a amplitude do desloca-mento, que, neste algoritmo, é dada por (7).

(4)

S=k·Γ (7) O valor de k é ajustado empiricamente via uma série de simula¸cões, já Γ∼N(0,1), onde N é a distribui¸cão normal padrão. Para criar a ver-são final dePnova, o operador de cruzamento com-bina aleatoriamente, utilizando uma distribui¸cão uniforme, elementos dePmod com elementos deP. Na etapa Sele¸cão-II, o algoritmo seleciona os elementos dePnova (indiv´ıduos obtidos após mu-ta¸cão e cruzamento) que tenham a aptidão melhor do que os deP(indiv´ıduos antes da muta¸cão e do cruzamento) e os substitui emP. Dessa forma,P só incluirá novos indiv´ıduos que tenham evolu´ıdo. Após atendida a condi¸cão de parada, o algoritmo retorna a melhor solu¸cão encontrada.

6 Algoritmo de Otimiza¸cão por Enxame de Part´ıculas com Retroa¸cão Cognitiva O algoritmo BC-PSO, que combina caracter´ısti-cas do PSO com o BSA, é proposto com base na estrutura geral do PSO, porém, com modifica¸cões no que tange ao cálculo da velocidade das part´ıcu-las. Neste algoritmo, a componente cognitiva de (4) foi modificada, inspirada no BSA, passando a ser computada não em fun¸cão da melhor posi¸cão da part´ıcula e sim em fun¸cão de uma posi¸cão da mesma selecionada aleatoriamente no passado. A componente social foi mantida de forma idêntica àquela usada no PSO. Já a componente de inér-cia foi mantida apenas para os ciclos iniinér-ciais do algoritmo, a fim de prover uma melhor explora¸cão do espa¸co de busca, sendo anulada quando o coe-ficiente de varia¸cão da popula¸cão atinge um valor ajustado empiricamente, com o objetivo de melho-rar a busca local no final do processo de otimiza-¸cão. Estas modifica¸cões resultam em (8), ondecv é o coeficiente de varia¸cão da popula¸cão,xh é uma posi¸cão histórica da part´ıcula, escolhida aleatori-amente utilizando uma distribui¸cão uniforme, eλ é uma constante que representa o valor do coefi-ciente de varia¸cão a partir do qual a componente de inércia é anulada. Foi mantido um limite de velocidade, conforme definido em (5).

vi(t+1) = 

      

      

wvi(t) Se (cv< λ);

+ϕ1r1(t)(xh−xi(t))

ϕ1r1(t)(xh−xi(t)) Se (cv≥λ).

(8) O coeficiente de varia¸cão da popula¸cão cv é cálculado conforme (9), onde σ eµ são o desvio padrão e a média da popula¸cão, respectivamente.

cv =

σ

µ (9)

Cabe ressaltar que para formar a componente cognitiva, não é armazenado o histórico completo das posi¸cões já visitadas pelas part´ıculas. A cada itera¸cão, o algoritmo determina aleatoriamente, utilizando uma distribui¸cão uniforme, se a posi-¸cão atual das part´ıculas será gravada na memória para compor a componente cognitiva. Uma vez determinada a grava¸cão, tais posi¸cões sobrescre-vem as posi¸cões gravadas anteriormente na me-mória. Dessa forma, a retroa¸cão cognitiva não aumenta os requisitos computacionais, em termos de memória, quando comparado ao PSO.

No que tange ao cálculo da componente de inércia, o modelo utilizado é inspirado nos concei-tos apresentados em (Shi, 1998), no qual é esta-belecido que altos valores de coeficiente de inércia tendem a facilitar a busca global, enquanto baixos valores de coeficiente de inércia tendem a facilitar a busca local.

A estrutura do BC-PSO é definida pelo Algo-ritmo 3, ondexhist é a popula¸cão histórica seleci-onada aleatoriamente.

Algoritmo 3: Algoritmo BC-PSO in´ıcio

Iniciaxhist aleatoriamente; Inicia o enxame comx ev aleat´orias; Avalia o enxame;

Armazenamg; repita

Atualiza velocidades, conforme (8) e (5);

Atualiza posi¸c˜oes, conforme (3); Avalia o enxame;

Atualizamg, caso uma melhor posi¸cão tenha sido encontrada; Sejaxhist =x, aleatoriamente; atéCondi¸cão de parada;

retornamg; fim

7 Resultados Obtidos

As simula¸c˜oes foram feitas numa ´area de 100 ×

(5)

precisa-mente reproduzidos para ser submetidos aos três algoritmos, tornando justa a compara¸cão de de-sempenho. Em todas as simula¸cões realizadas fo-ram empregadas popula¸cões de 100 indiv´ıduos.

Para efeito de compara¸cão entre os três al-goritmos, foi calculada, a cada gera¸cão, a média do erro de posicionamento (MEP) de todos os nós desconhecidos, para todos os cenários gera-dos, conforme descrito em (10), ondegrepresenta o número da gera¸cão,c o número do cenário, io identificador do nó desconhecido, D é o número total de nós desconhecidos, xreal é a posi¸cão real do nó excalc é a posi¸cão calculada pelo algoritmo de otimiza¸cão.

M EPg= P10

c=1

PD

i=1||xreal(c, i)−xcalc(c, i)||

10D

(10) As simula¸cões com o PSO, BSA e BC-PSO fo-ram conduzidas em implementa¸cões feitas no MA-TLAB, sendo, no caso do BSA, utilizada a imple-menta¸cão dispon´ıvel em (Civicioglu, 2013b).

Os parâmetros dos três algoritmos foram ajus-tados empiricamente por meio de uma série de simula¸cões. Com o BSA, o melhor resultado foi obtido comk= 1. Para o PSO e para o BC-PSO, o melhor resultado foi obtido com os parâmetros apresentados na Tabela 1.

Tabela 1: Parˆameros do PSO e BC-PSO Parˆametro PSO BC-PSO

λ – 0,31

w 0,7298 0,7298

ϕ1 2,05 1,05

ϕ2 2,05 2,05

δ 0,01 0,01

Os resultados da MEP por gera¸cão, obtidos com os três algoritmos, são apresentados nas Fi-guras 1, 2 e 3. Observando as FiFi-guras 1 e 2, pode-se constatar que, para 3 e 4 nós de referência, o BSA apresenta a menorMEP. Na Figura 1, para 3 nós de referência, verifica-se que ao final de 100 gera¸cões o BSA apresenta umaMEPda ordem de 10−3

enquanto que os outros algoritmos apresen-tam umaMEPda ordem de 1. Na Figura 2, para 4 n´os de referˆencia, o BSA apresenta umaMEPda ordem de 10−4

enquanto que os outros algoritmos apresentam umaMEPda ordem de 10−2

. Entretanto, comparando as Figuras 2 e 3, pode-se constatar uma melhora significativa no desempenho dos algoritmos PSO e BC-PSO, quando são adotados 5 nós de referência. Neste caso o algoritmo BC-PSO apresentou uma MEP da ordem de 10−6

, superando aMEPdos demais algoritmos em duas ordens de grandeza. Cabe ainda ressaltar que, com o algoritmo BC-PSO, para 5 nós de referência, 34,06% dos nós desconhe-cidos alcan¸caram o resultado ótimo (i.e. erro=0) ao final de 100 gera¸cões. Com o BSA e PSO, ne-nhum dos nós desconhecidos alcan¸cou o resultado

´otimo em 100 gera¸c˜oes.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10−3

10−2

10−1 100 101

Gerações

Média do Erro de Posicionamento (MEP) (log)

BSA PSO BC−PSO

Figura 1: Curvas de MEP×gera¸cão, com 3 nós de referência

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10−4

10−3 10−2 10−1 100 101

Gerações

BSA PSO BC−PSO

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10−6

10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101

Gerações

BSA PSO BC−PSO

(6)

referência são colineares, a fun¸cão de aptidão é si-métrica em rela¸cão a reta formada por estes nós e consequentemente o problema admite matemati-camente duas solu¸cões, sendo apenas uma válida (Langendoen, 2005). Nos casos onde os nós de referência não são colineares, mas se aproximam desta condi¸cão, a fun¸cão de aptidão se aproxima de tal simetria apresentando dois m´ınimos (um lo-cal e um global) com valores de aptidão próximos. Nestas condi¸cões, os algoritmos PSO e BC-PSO convergem, em alguns casos, para o m´ınimo lo-cal que não corresponde à posi¸cão real (m´ınimo global). O BSA, por sua vez, não encontra difi-culdades para convergir para o m´ınimo global, em condi¸cões idênticas. As Figuras 4, 5 e 6 exempli-ficam a diferen¸ca de resposta dos três algoritmos para nós de referência quase colineares. Nestas fi-guras, 3 nós de referência estão posicionados pr´ o-ximos à reta destacada. Nos mapas gerados para os algoritmos PSO e BC-PSO (Figuras 4 e 5, res-pectivamente), foram demarcadas regiões onde há grande incidência de nós cujas posi¸cões calcula-das estão incorretamente do lado oposto da reta. A Figura 6 mostra a solu¸cão correta obtida pelo BSA para o mesmo problema.

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Posição calculada Posição real Nós de referência

Figura 4: Exemplo de erro de simetria com o PSO

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Posição calculada Posição real Nós de referência

Figura 5: Exemplo de erro de simetria com o BC-PSO

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Posição calculada Posição real Nós de referência Figura 6: Exemplo de resposta sem erro de sime-tria, com o BSA

Há uma melhora significativa nos resultados, com os três algoritmos, quando o número de nós de referência aumenta. Cabe ressaltar que a me-dida que o número de nós de referência aumenta, diminui a probabilidade destes nós se alinharem, o que também contribui para a melhora do desem-penho dos algoritmos PSO e BC-PSO.

Observa-se ainda que os algoritmos PSO e BC-PSO demoram mais a convergir para a solu-¸cão do problema quando o nó desconhecido está próximo ao limite do espa¸co de busca. O BSA, por sua vez, converge para a solu¸cão com a mesma ve-locidade, independente da localiza¸cão do nó des-conhecido. O comportamento dos três algoritmos, sob este aspecto, é demonstrado no v´ıdeo disponi-bilizado em (Sá, A. O., 2014).

No que diz respeito ao tempo de processa-mento, o PSO foi o algoritmo que teve o menor tempo médio, aproximadamente 14% menos do que o BC-PSO e 28% menos do que o BSA. O tempo de processamento não sofreu mudan¸cas sig-nificativas com o aumento do número de nós de re-ferência: entre 2,5% e 4,1% de aumento a cada nó de referência adicionado. A Figura 7, apresenta uma compara¸cão entre o tempo de processamento requerido pelos três algoritmos, para 3, 4 e 5 nós de referência. Os tempos de processamento foram normalizados em rela¸cão ao maior tempo de pro-cessamento, que ocorre para o BSA com 5 nós de referência.

3 4 5

0 20 40 60 80 100

Nós de referência

Tempo de Processamento, normalizado (%)

PSO BC−PSO BSA

82,6%

68,3% 93,5%

78,4%

64,4%

71,4% 85,3%

96,0% 100%

(7)

8 Conclus˜oes

Com base nos resultados obtidos, conclui-se que, para o problema de localiza¸cão, o BSA apresenta maior robustez que os demais algoritmos testados no que tange à disposi¸cão dos nós. No que diz respeito à posi¸cão dos nós desconhecidos, a velo-cidade de convergência foi a mesma tanto para os nós da periferia quanto para os nós posicionados em outras regiões do espa¸co de busca. No que diz respeito à posi¸cão relativa dos nós de referência, o BSA manteve a capacidade de convergir para o m´ınimo global, mesmo quando os nós de referên-cia estão quase alinhados. Esta robustez, garantiu ao BSA menores erros que os demais algoritmos para 3 e 4 nós de referência.

O algoritmo que apresentou a menorMEPfoi o BC-PSO, para 5 nós de referência. Neste caso, o mesmo superou aMEPdo BSA em aproximada-mente duas ordens de grandeza, tendo 34,06% dos nós desconhecidos alcan¸cado o resultado ótimo em menos de 100 gera¸cões. Cabe ressaltar que este resultado foi obtido em um tempo de processa-mento 14% menor do que o consumido pelo BSA. Em contrapartida, este algoritmo se mostrou ina-dequado para problemas cujos nós de referência são colineares ou quase colineares.

O PSO foi o algoritmo com menor consumo de tempo de processamento, o que pode ser van-tajoso para problemas em que não existam nós de referência quase colineares.

Para trabalhos futuros, propõe-se a investiga-¸cão do desempenho destes algoritmos em proble-mas com múltiplos saltos e em problemas onde haja ru´ıdo nas medidas de distância.

9 Agradecimentos

Agradecemos à Funda¸cão Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ, http://www.faperj.br), por financiar este estudo.

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