Problema de Roteamento de Veículos – Vehicle Routing Problem (VRP)

Problemas

● Problema do Caixeiro Viajante – Travel

Salesman Problem (TSP)

● Problema de Roteamento de Veículos – Vehicle

TSP

● Dado um conjunto V de n cidades, e uma

cidade origem o _{entre elas, encontrar a melhor} rota possível para cobrir todas as cidades e

retornar à origem

● As cidades só podem ser visitadas uma única

TSP

● Função objetivo

● Restrições de equilíbrio

● Restrições de Eliminação de sub-rota

TSP

● Função objetivo (minimiza distâncias)

● Restrições de equilíbrio (impede que cidades sejam

visitas mais de uma vez ou nenhuma vez)

● Restrições de Eliminação de rota (impedem

sub-rotas desconexas da origem)

TSP: sub-rotas

TSP: rota

TSP: sub-rota

TSP

● Seja x

ij uma variável que indica que j foi

visitada após i na rota

● c

ij o custo de ir de i para j

TSP

min

∑

i∈V j∈

∑

c_ij x_ij

s. a.

∑

j∈V

x_ij=1, ∀ i∈V , j≠i ,

S⊂V ,2≤|_S|≤_n−2,

∑

i∈S

∑

x_ij≤|S|−1,_i≠ _{j ,}

x_ij∈{0,1},∀ i , j ∈V , i≠ j .

∑

i∈V

x_ij=1,∀ j∈V , j≠i ,

(1)

(2)

(3)

(4)

TSP

● 1 – Função objetivo

● 2 e 3 - Restrições de grau

● 4 – Restrições de Eliminação de sub-rota

Verificação

● Suponha o exemplo abaixo

1

2

4 5

Verificação

● Enumere todos os possíveis subconjuntos de

V, começando com os de tamanho 2.

1

2

4 5

Verificação

● Enumere todos os possíveis subconjuntos de

V, começando com os de tamanho 2.

1

2

4 5

3 origem

Verificação

● Verifica-se se as restrições (4) estão válidas

para estes subconjuntos.

1

2

4 5

3 origem

Verificação

● Verifica-se se as restrições (4) estão válidas

para estes subconjuntos.

1

2

4 5

3 origem

{{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}}

|S|=2,

∑

i∈S

∑

Verificação

● Note que quando S={4,5}, a desigualdade não

é válida

1

2

4 5

3 origem

{{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}}

|S|=2,

∑

i∈S

∑

Verificação

● Note que quando S={4,5}, a desigualdade não

é válida

1

2

4 5

3 origem

{{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}}

|S|=2,

Verificação

● O mesmo pode ser mostrado para

subconjuntos de tamanho 3

● Ao fazer a análise para todos os possíveis

tamanhos de subconjuntos de 2 (tamanho

TSP

● Formulação anterior é baseada na enumeração

de subconjuntos de V, o que gera na casa de restrições

● Isto torna a resolução da formulação inviável

mesmo para valores pequenos de n

TSP

● Uma outra formulação utiliza variáveis extra ● Seja u

i a posição da localidade i na rota. Assim

TSP

min

∑

i∈V j∈

∑

c_ij x_ij

s. a.

∑

j∈V

x_ij=1, ∀ i∈V , j≠i ,

1≤u_i≤n−1, ∀ i∈V −{o}

u_i−u _j+(n−1) x_ij≤n−2,∀ i , j∈V −{o}i≠ j ,

x_ij∈{0,1},∀ i , j ∈V , i≠ j .

∑

i∈V

x_ij=1,∀ j∈V , j≠i ,

(1)

(2)

(3)

(6)

Prova de funcionalidade

● Suponha uma sub-rota r=(e

1, e2, e3, …, ek, e1)

com k menor que n, e_i é o i-ésimo elemento da sub-rota

● Qualquer rota fechada de tamanho com k

cidades possui exatamente k arcos

● Como se trata de uma sub-rota a origem não

Prova de funcionalidade

● A enumeração dos arcos desta sub-rota de

acordo com as restrições (6) fica:

u_e

1−ue2+(n−1)≤n−2

u_e

2−ue3+(n−1)≤n−2

...

u_e

Prova de funcionalidade

● A enumeração dos arcos desta sub-rota de

acordo com as restrições (6) fica:

● Como são k arcos, então tem-se k inequações u_e

1−ue2+(n−1)≤n−2

u_e

2−ue3+(n−1)≤n−2

...

u_e

Prova de funcionalidade

● Ao somar as inequações anteriores tem-se

● Que é uma inconsistência, logo uma sub-rota

com tamanho k, menor que n não pode existir

TSP

● Formulação anterior utiliza restrições e

variáveis

● Para n=10, o consumo de memória para

armazenar a primeira formulação já é mais que o dobro necessário para a segunda

VRP

● Problema de grande interesse prático

● Dado um conjunto V de n cidades

geograficamente dispersas, encontrar o melhor conjunto de rotas para atender todos os

clientes

VRP

● Seja F o conjunto de veículos

● Seja q a capacidade dos veículos e b

i a

demanda da cidade i

● X

ijk uma variável que assume 1 se o veículo k

VRP

min

∑

i∈V

∑

∑

c_ij x_ijk

s. a.

∑

j∈V k

∑

x_ijk=1,∀ i∈V −{o},

∑

i∈V k

∑

x_ijk=1,∀ _j∈_V −{_o }_,

(7) (8) (9) (10) (11)

∑

i∈V

x_ijk−

∑

i∈V

x _jik=0, ∀ j∈V ,∀ k∈F ,

∑

i∈V

∑

VRP

∑

j∈V−{o}

x_ojk≤1, ∀ k∈F ,

u_i∈ℝ+ ,∀ i∈V −{o},

(12) (13) (14) (15) (16)

∑

i∈V −{o}

x_iok≤1,∀ k ∈F ,

u_i−u _j+nx_ijk≤n−1,∀ k ∈F ,∀ i , j∈V −{o}, i≠ j ,

VRP

● Função objetivo (7) minimiza as distâncias

percorridas

● Restrições (8) e (9) asseguram que cada cidade

seja visitada apenas uma vez

● Restrições (10) garantem que o mesmo veículo

que chega a uma cidade será o que deixará esta cidade

VRP

● Restrições (12) e (13) garantem que cada

veículo sairá e chegara no máximo uma vez da origem

● Restrições (14) tratam das sub-rota

● Restrições (15) e (16) cuidam da integralidade

Variações do VRP: Frota

Heterogênea

● Veículos possuem capacidades diferentes ● Restrições (11) devem ser substituídas por

(17), onde é a capacidade do veículo k

∑

i∈V

∑

b_i x_ijk≤q_k ,∀ k ∈F (17)

Variações do VRP: Custo fixo para

uso do veículo

● Cada veículo possuí um custo que deve ser pago

quando o veículo é utilizado, independente do tamanho da rota

● Substituir (7) por (18), onde d

k representa o custo

de uso do veículo k

● Variável y

k assume 1 se o veículo k está sendo

usado

● As restrições (19) e (20) também devem ser

Variações do VRP: Custo fixo para

uso do veículo

(18) min

∑

i∈V

∑

∑

c_ij x_ijk+

∑

k∈F

d _k y_k

(19) x_ijk≤ y_k , ∀i , j∈V ,∀ k ∈F

Variações do VRP: Múltiplos

Depósitos

● Existe mais de uma origem

● Veículos ainda devem terminar a rota nos

mesmos depósitos que começaram

Variações do VRP: Múltiplos

Depósitos

● Restrições (12) e (13) devem ser modificadas

para (21) e (22)

∑

i∈W j∈

∑

x_ijk≤1,∀ k ∈F

∑

j∈W i∈

∑

x_ijk≤1,∀ k ∈F

(21)

Variações do VRP: Múltiplos

Depósitos

● Restrições (8), (9), (14) e (15) precisam ser

adaptadas à nova condição

(23)

(24)

∑

j∈V k

∑

x_ijk=1,∀ i∈V −W

∑

i∈V k

∑

x_ijk=1,∀ j∈V −W

u_i−u _j+nx_ijk≤n−1,∀ _k ∈_{F ,}∀ _{i , j}∈_V −_{W , i}≠ _{j ,} (25)

(26)

Variações do VRP: Janela de tempo

● Clientes possuem janelas de tempo em que

podem ser atendidos

● Tempo de viagem tv

ij entre 2 vértices também

deve ser computado

● Variável t

i é o tempo em que o cliente i é atendido

● s

i e fi são os limites de tempo inferior e superior,

respectivamente, do cliente i

VRPVariações do VRP: Janela de

tempo

min

∑

i∈V

∑

∑

c_ij x_ijk

s. a.

∑

j∈V k

∑

x_ijk=1,∀ i∈V −{o},

∑

i∈V k

∑

x_ijk=1,∀ _j∈_V −{_o }_,

(24) (25) (26) (27) (28)

∑

i∈V

x_ijk−

∑

i∈V

x _jik=0, ∀ j∈V ,∀ k∈F ,

∑

i∈V

∑

Variações do VRP: Janela de tempo

∑

j∈V−{o}

x_ojk≤1, ∀ k∈F , (29)

(30)

(31)

(32)

(33)

∑

i∈V −{o}

x_iok≤1,∀ k ∈F ,

u_i−u _j+nx_ijk≤n−1,∀ k ∈F ,∀ i , j∈V −{o}, i≠ j ,

t _j≥t_i+tv_ij−(1−_xijk) _{M ,}∀ _{i , j}∈_{V ,} ∀ _k ∈_{F ,}

Variações do VRP: Janela de tempo

s_i≤t_i≤ f _i ,∀ i∈V −{o },

u_i∈ℝ+ ,∀ i∈V −{o},

(34)

(35)

(36)

Variações do VRP: Janela de tempo

● Restrições (34) garantem que todo cliente será

atendido dentro de sua janela de tempo

● Restrições (32) e (33) são sempre satisfeitas

quando x_ijk = 0 → t_j <= M e t_j >= -M

● Restrições (32) e (33) são efetivas quando

VRP: Outras Variações

● Entrega Dividida – Clientes podem ter sua

demanda atendida parcialmente por um

veículo. A demanda total de cada cliente deve ser atendida

● Coleta e entrega simultânea – Clientes tem

dois tipos de demanda, uma para entrega e