OBJETIVOS
Identificar, classificar, definir e
construir os principais sólidos
geométricos;
Aprimorar a visão espacial,
aplicar cálculos de áreas e
volumes de sólido;
Desenvolver
a
ideia
de
EMENTA
Geometria Espacial de Posição e Métrica – Introdução intuitiva, postulados e teoremas.
Posições relativas: ponto e reta; Ponto e plano. Posições relativas de pontos no espaço.
Posições relativas de duas retas no espaço. Determinação de um plano.
Posições relativas de dois planos e de uma reta e um plano.
Paralelismo e Perpendicularismo no espaço. Projeções ortogonais. Diedros, triedros,
EMENTA
Construções dos sólidos
geométricos.
Princípio de Cavalieri.
Estudo dos sólidos geométricos:
primas, pirâmides e troncos, cilindros e troncos, cones e troncos, esfera.
Confecção sólidos geométricos com
o uso de cartolina, régua e compasso e com práticas no laboratório de
METODOLOGIA
A partir da construção dos
sólidos
geométricos
são
abstraídas as noções de área e
volume
associados
à
representação e planificação das
figuras.
Aulas
expositivas
e
RECURSOS DIDÁTICOS
Régua;
Compasso;
sólidos geométricos (em PVC, acrílico, ou
material reciclado);
Quadro;
Projetor multimídia;
AVALIAÇÃO
Provas (individuais e com consulta)
Confecção de material concreto;
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
DOLCE, Osvaldo. Fundamentos de
Matemática Elementar. vol. 10. SP: Atual, 2005.
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto.
Introdução à Geometria Espacial.
RJ: SBM, 2007.
GARCIA, ANTÔNIO CARLOS DE
ALMEIDA. Matemática sem
BIBLIOGRAFIA
COMPLEMENTAR
MACHADO, Antônio dos Santos.
Matemática: Temas e Metas:
Vol.4. São Paulo: Atual, 2003.
LIMA, E. L. et al. A Matemática no
ensino médio - vol. II. (Coleção Professor de Matemática). RJ: SBM,2002.
LIMA, E.L. Medida e Forma em
POSTULADO DA EXISTÊNCIA
Na reta, bem como fora dela, existem infinitos
pontos.
No plano, bem como fora dele, existem infinitos
POSTULADO DA
DETERMINAÇÃO
Por dois pontos distintos passa uma
POSTULADO DA
DETERMINAÇÃO
Por três pontos não-colineares passa
POSTULADO DA INCLUSÃO
Se uma reta r tem dois pontos
POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS
RETAS
PARALELAS CONCORRENTES
CASOS PARTICULARES
RETAS PERPENDICULARES
DETERMINAÇÃO DE UM
PLANO
Uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta
POSTULADOS SOBRE O
PLANO E O ESPAÇO
O
plano
é
infinito, isto é,
ilimitado.
Por uma reta
POSTULADOS SOBRE O
PLANO E O ESPAÇO
Toda reta pertencente a um
plano divide-o em duas regiões
chamadas
semiplanos.
Qualquer plano divide o espaço
POSTULADO DAS RETAS
PARALELAS
P10) Dados uma reta r e um ponto
POSIÇÕES RELATIVAS DE
RETA E PLANO
POSIÇÕES RELATIVAS DE
RETA E PLANO
Reta concorrente ou incidente ao plano
POSIÇÕES RELATIVAS DE
RETA E PLANO
Exercício 1
Mostre que, três retas,
duas
a
duas
concorrentes,
não
Exercício 2
EXERCÍCIO 3
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a)Duas retas ou são coincidentes ou são distintas. b)Duas retas ou são coplanares ou são reversas. c)Duas retas distintas determinam um plano.
d)Duas retas concorrentes têm um ponto comum. e)Duas retas concorrentes têm um único ponto
comum.
f) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.
g)Duas retas concorrentes são coplanares. h)Duas retas coplanares são concorrentes.
i) Duas retas distintas não paralelas são reversas. j) Duas retas que não têm ponto comum são
paralelas.
k)Duas retas que não têm ponto comum são reversas.
l) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes.
m)Duas retas não coplanares são reversas.
GABARITO:
a) V b) V c) F d) V e) V
f) F g) V h) F i) F j) F
k) F l) V m) V GABARITO:
a) V b) V c) F d) V e) V
f) F g) V h) F i) F j) F
EXERCÍCIO 4
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Uma reta e um plano que têm um ponto em comum são concorrentes.
b) Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum. c) Uma reta e um plano paralelos não têm ponto comum.
d) Um plano e uma reta secantes têm um ponto comum. e) Se uma reta está contida num plano, eles têm um ponto
comum.
f) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano.
g) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa à reta dada.
h) Se uma reta é paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada.
i) Se uma reta e um plano são concorrentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano.
j) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas do plano.
k) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.
l) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser
paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele.
m)Por um ponto fora de um plano passam infinitas retas paralelas ao plano.
n) Por um ponto fora de uma reta passa um único plano paralelo à reta.
GABARITO:
a) F b) V c) V d) V e) V
f) F g) F h) F i) F j) V
k) F l) V m) V n) F GABARITO:
a) F b) V c) V d) V e) V
f) F g) F h) F i) F j) V
EXERCÍCIO 5
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a)Três pontos distintos determinam um plano.
b)Um ponto e uma reta determinam um único plano.
c)Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
d)Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
e)Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
GABARITO:
a) F b) F c) F d) V e) V GABARITO:
EXERCÍCIO 6
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum,
então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.
b) Dois planos distintos que têm uma reta comum são
secantes.
c) Se dois planos têm uma reta comum, são secantes. d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles
são secantes.
e) Dois planos secantes têm interseção vazia.
f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns. g) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm
uma reta comum.
GABARITO:
a) V b) V c) F d) V e) F
f) V g) V GABARITO:
a) V b) V c) F d) V e) F
EXERCÍCIO 6
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum,
então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.
b) Dois planos distintos que têm uma reta comum são
secantes.
c) Se dois planos têm uma reta comum, são secantes. d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles
são secantes.
e) Dois planos secantes têm interseção vazia.
f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns. g) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm
uma reta comum.
GABARITO:
a) V b) V c) F d) V e) F
f) V g) V GABARITO:
a) V b) V c) F d) V e) F
PERPENDICULARISMO ENTRE
RETA E PLANO
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se,α r é perpendicular a todas as retas de α
que passam pelo ponto de
PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO: CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE.
Para que uma reta r seja
perpendicular a um plano , basta ser α
perpendicular a duas retas
TEOREMA DAS TRÊS RETAS
PERPENDICULARES
“A reta r é perpendicular ao plano no ponto α
A. A reta s está contida em e não passa por α A. O ponto B da reta s é tal que AB é perpendicular a s. Então, se P é qualquer ponto de r, PB é perpendicular a s.”
“A reta r é perpendicular ao plano no ponto α
PERPENDICULARISMO ENTRE
PLANOS
Dois planos são perpendiculares se,
PROJEÇÃO ORTOGONAL
DISTÂNCIAS
DISTÂNCIAS
DISTÂNCIAS
DISTÂNCIAS
Exercício 1
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes.
b) Se duas retas formam ângulo reto, então elas são perpendiculares.
c) Se duas retas são perpendiculares, então elas formam ângulo reto.
d) Se duas retas são ortogonais, então elas formam ângulo reto.
e) Duas retas que formam ângulo reto podem ser reversas.
f) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares entre si.
g) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.
Exercício 2
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes.
b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.
c) Uma reta perpendicular a um plano forma um ângulo reto com qualquer reta do plano.
d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela está contida no plano. f) Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
g) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.
i) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano.
j) Duas retas reversas são paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas é perpendicular ao plano.
k) Duas retas não paralelas entre si são paralelas a um plano. Se uma reta forma ângulo reto com as duas, então ela é perpendicular ao plano.
l) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta
perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano. m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Toda
reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele.
Exercício 3
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares. b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é
perpendicular ao outro.
d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano,
perpendicular ao plano dado.
e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre
si.
f) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a
um deles é paralela ao outro ou está contida neste outro.
g) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é
perpendicular ao outro.
h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é
perpendicular ao outro.
i) Uma reta e um plano são paralelos. Se um plano é perpendicular ao
plano dado, então ele é perpendicular à reta.
j) Por uma reta passa um plano perpendicular a um plano dado.
k) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles forma
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se PA é um segmento oblíquo a um plano , com A em , então a distância α α entre P e A é a distância entre P e .α
b) A distância entre um ponto e um plano é a distância entre o ponto e qualquer ponto do plano.
c) A distância entre um ponto e um plano é a reta perpendicular ao plano pelo ponto.
d) A distância de um ponto P a um plano é a distância de P ao ponto P’ de α interseção de com a reta r, perpendicular a por P.α α
e) A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer do plano e a reta.
f) A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer da reta e um ponto qualquer do plano.
g) A distância entre reta e planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano.
h) A distância entre dois planos paralelos distintos é igual à distância entre uma reta de um deles e o outro plano.
i) A distância entre dois planos paralelos distintos é igual à distância entre uma reta de um deles e o outro plano.
j) A distância entre duas retas reversas é a distância entre um ponto qualquer de uma e a outra reta.
k) A distância de duas retas reversas é a reta perpendicular comum a essas retas.
