A teorema de Hex

(1)

Ciên ias

Teorema do Hex

Helena Carriço

Relatóriode Estágiopara obtenção do Grau de Mestre em

Ensino de Matemáti a no 3.

◦

Ci lo do Ensino Bási o e no

Se undário

(2.

◦

i lo de estudos)

Orientadores:

Prof. Doutor Fernando ManuelTavares Pereira

Prof. Doutor Pedro Ferrão Patrí io

(2)

(3)

Aolongodeste último ano,foram váriasaspessoasquemeapoiaramdire taeindire tamente,e

todosmere emomeure onhe imentoegratidão.

Aos meus orientadores, Professor Doutor Fernando Manuel Tavares Pereira e Professor Doutor

PedroFerrãoPatrí io,pela dedi ação,empenhoedisponibilidade omquemea ompanharamao

longodestetrabalho.

Não possodeixar de agrade erde modo muito espe ial aos meus pais, irmã, unhado e amigos,

pela ompreensão, apoio in ondi ional, in entivo e motivação impres indíveis sem os quais não

teriasidopossívelarealizaçãodeste trabalho.

(4)

(5)

O Hex é um jogo de tabuleiro para dois jogadores ujo obje tivo onsiste em estabele er uma

sequên iadepeçasunindodoisladosopostosdotabuleiro. Ojogopossuiregrassimples,en errando

ontudoelevadointeresseeriquezamatemáti a. Nestetrabalhoabordamosalgumadestariqueza,

omeçandopor provar que seum tabuleiro de Hex está ompletamente preen hido então existe

um aminho aunir margens opostas (Teorema do Hex). Mostramos ainda que este resultado é

equivalenteaoTeoremadoPontoFixodeBrouwereválidoparaumtabuleirodedimensão

n

. Por último, servimo-nosdos resultadosanterioresnademonstração doTeorema daCurvadeJordan,

bem omonadoTeoremadaPavimentação.

Palavras- have

JogodoHex,TeoremadoHex,TeoremadoPontoFixodeBrouwer,TeoremadaCurvadeJordan,

(6)

(7)

Hexisaboardgame fortwowhere ea h playertriesto establishasequen eof stones onne ting

his opposing sides of the board. Although the rules are simple, the game ontains interesting

properties in mathemati al terms. In this work,weaddresssomeof these propertiesby proving

theHexTheorem, whi h statesthat ifaboardis ompletelylled than thereis apathof stones

with thesame olour betweenopposing sides. We alsoshowthat this result isequivalent to the

BrouwerFixed-Point Theorem and wegeneralise itto the

n

dimensional board ase. Lastly, we usetheseresultsin provingtheJordan CurveTheoremandtheTilingTheorem.

Keywords

Game of Hex, Hex Theorem, Brouwer Fixed-Point Theorem, Jordan Curve Theorem, Tiling

(8)

(9)

Introdução 1

1 O Jogodo Hex 3

1.1 Des rição . . . 3

1.2 OrigemeHistória. . . 4

1.3 OTeoremadoHex . . . 5

1.4 OTabuleirodeJohnNash . . . 8

1.5 AEquivalên iaentreoT.H. eoT.P.F.B. . . 8

2 O Hex de Dimensão

n

15 2.1 OTabuleirodeHex. . . 15

2.2 OTeoremadoHex . . . 16

2.3 Conjunto-

i

ven edor . . . 21

2.4 AproximaçãoaoPontoFixo . . . 23

3 AlgumasContribuiçõesdo Teorema do Hex 29 3.1 OTeoremadaCurvadeJordanviaoTeoremadoHex . . . 29

3.2 OTeoremadoHexFortale ido . . . 33

3.3 OTeoremadaPavimentação . . . 33

A 39 A.1 DeniçõeseResultadosTeóri os sobreGrafos . . . 39

A.2 DeniçõeseResultadosTeóri os sobreFunções . . . 40

(10)

(11)

1.1 TabuleirodeHexde

11 × 11

. . . 3

1.2 TabuleirodeHexpar ialmentepreen hido.. . . 4

1.3 Primeiroproblemapubli ado. . . 5

1.4 Tabuleiro ompletamentepreen hidoegrafo

Γ

. . . 6

1.5 Subgrafo

Γ

′

. . . 7

1.6 Ilustraçãoda onstruçãodeum aminhosegundoaregraestabele ida. . . 7

1.7 Representaçãodaequivalên iaentre ostabuleirosdeHeinedeNash. . . 8

1.8 TabuleirodeNash. . . 8

1.9 Representaçãográ adotabuleirodeNashdetamanho

k = 6

,

H

6

. . . 9

1.10 Tabuleiro de Nash adaptado de tamanho

k = 4

, à esquerda e a imagem dos respe tivosvérti esàdireita. . . 13

1.11 Representaçãodossub onjuntos

P

+

_{, P}

−

_{, B}

+

e

B

−

.. . . 13

2.1 Representaçãodosimplex

σ

0

. . . 17

2.2 Representaçãodosimplex

σ

0

edosseusvizinhos. . . 19

2.3 Tabuleiropreen hidodeformaaleatóriaem

H

3

. Osrestantesvérti esde

H

b

respei-tamaregra

L

b

. . . 22

2.4 Apli açãodoalgoritmo. . . 23

3.1 Representaçãodasimagensdasfunções

h

e

v

. . . 30

3.2 Ilustraçãodasetapas1), 2)e3)dademonstração. . . 32

3.3 Re tângulo omumladointeiro. . . 34

3.4 Re tângulo omosdoisladosde omprimentonãointeiro. . . 34

3.5 Áreadesta adanagura3.4. . . 34

3.6 Áreapretaemex esso. . . 35

(12)

(13)

Otemaprin ipaltratadonestetrabalhoaproxima-sedaMatemáti aDis reta,apesardesefazerem

algumasin ursõesnoutrasáreasdaMatemáti a,emparti ularnaAnáliseInnitésimal. Oassunto

tratadoprende-se omalgumasparti ularidadesdojogodetabuleiro hamadoHexquepermitem

estabele errelações omalgunsresultados lássi osdaMatemáti a.

Este trabalho temessen ialmente um ará terde divulgação ientí a. Com base num onjunto

dereferên iasbibiliográ astentámos riarumdo umentodeleiturafá ilquereduzisseahabitual

densidadedaspubli ações ientí as,enrique endo-o omexemplos,guraseumaabordagemmais

adequadaparaleitoresexterioresà omunidade ientí a.

Qualquerdo ente quele ioneemáreas ientí asmaisabstra tas,sejaaqueníveldeensinofor,

passa pela di uldade da falta de motivação dos alunos. É habitual es utar-se mas para que

éque isto serve?. Este problematorna imperiosoque odo ente esteja munido de uma ultura

geralnaáreadas iên iasqueo apa itearesponderaestetipodesoli itações.Comestetrabalho

pretendemosdarumpequeno ontributonasuperaçãodadi uldadeapresentada. Apesardeneste

do umento não seexibir aresolução dumproblema davida real utilizandoum qualquermodelo

matemáti o,oinsólitodarelaçãoqueseestable eentreumjogodetabuleiroeumresultado lássi o

daMatemáti aésóporsigeradorde uriosidadepropi iandoumambientequetorneoestudoda

Matemáti amaisagradável.

Este do umento es ontra-se organizadoem três apítulos. Oprimeiro, omo títuloO Jogo do

Hex,paraalémdaóbviades riçãodojogoedumbreveresumohistóri o, ontémosdoisresultados

maisimportantes: oTeoremadoHexqueprovaqueojogonãoterminasemqueumdosjogadores

umpra omoobje tivoimpostopelasregraseoteoremaquedemonstraqueesteúltimoresultadoé

equivalenteaoTeoremadoPontoFixodeBrouwer.Nosegundo apítulogeneraliza-seoTeoremado

Hexprovadono apítuloanteriorparaumaqualquerdimensão. Talobrigaaumageneralizaçãona

denição dotabuleirodejogo. Da demonstraçãodoteoremaextrai-seumalgoritmoquepermite

aproximar pontos xos a menos de um erro que depende do tamanho do tabuleiro. No último

apítulo apresentam-se maisalgumas relaçõesentre oHexe diferentes áreasdaMatemáti a que

têm sidoobservadasnas últimas dé adas, nomeadamente omoTeoremada Curvade Jordan e

umoutroteoremamenos onhe idoqueapelidámosdeTeoremadaPavimentação.

Esta trabalho termina om um apêndi e onde de idimos juntar algumas denições lássi as da

(14)

(15)

O Jogo do Hex

OjogodoHexéumjogoderegrasmuitosimplesmasdegrandeinteressequerdopontodevista

dojogopropriamenteditoquerdopontodevistamatemáti o. Aolongodeste apítulovamosfazer

umabrevedes rição dojogo, dasuaorigemehistóriaevamos enun iaredemonstrar oTeorema

do Hex. A on luir o apítulo provaremos que o Teorema do Hex e o Teorema do Ponto Fixo

deBrouwersãoequivalentes. Ambasasdemonstraçõesforamelaboradas ombase numartigode

David Gale[1℄,de1979.

1.1 Des rição

OjogodoHexéumjogodetabuleiro paradoisjogadores,umdosquaisutilizapeçasbran as 1

e

ooutropeçaspretas. Otabuleiro tem aformadelosangoeétipi amente ompostopor

11 × 11

hexágonos, onformerepresentadonagura1.1.

Figura1.1:TabuleirodeHexde

11 × 11

.

Alternadamente, os jogadores olo am uma peça da sua or num hexágono vazio. O segundo

jogador,nasuaprimeirajogadapodeaproveitarajogadaefe tuadapeloseuadversário,impondo

a tro a de ores. Esta é a hamada regra do equilíbrio que foi riada para anular a vantagem

de se jogar em primeiro lugar. O obje tivo do jogador das peças bran as (pretas) onsiste em

1

(16)

suasmargensopostas. Talsequên iaserádesignadade aminhoou onjuntoven edor.

Se observarmos a gura1.2 podemos veri ar que ainda nenhum jogador ganhoue que é avez

dojogadordaspeçasbran as. Note-sequeojogadordaspeçaspretas onsegueobterumavitória

aomdetrêsjogadas,desdequejoguenoshexágonosassinalados omX. Observe-seaindaque

umatentativadedefesadojogadordaspeçasbran asnãoimpedeavitóriadoadversário.

Figura1.2:TabuleirodeHexpar ialmentepreen hido.

Umaquestãoquesurgehabitualmentenestetipodejogosprende-se omaexistên iadeuma

estra-tégiaquegarantaavitóriadeumdosjogadoreseseoprimeiroajogarpoderá tirarpartidodessa

estratégia. Asuaexistên iaprende-se omofa todeojogosernito,deinformação ompleta,não

dependerdoa asoenun aterminarempatado, omosemostrarámaisàfrente. Suponhamosque

osegundojogadorpossuiaestratégiaven edora,entãooprimeirojogador olo aaprimeirapeça

de formaaleatóriaeapartirdaíen ara-se omo sendoosegundojogador,roubandoaestratégia

ven edoraaoseuadversário. Destemodo,oprimeirojogadorteráavitóriagarantida,istopartindo

dopressupostoqueexisteumaestratégiaven edoraparaosegundojogador. Ouseja,partiu-seda

hipótese queo segundojogadorpossui aestratégiaven edorae on luiu-seque quem ganha é o

primeiro. Logo,pode on luir-sequeévantajososeroprimeiroajogar. Esteargumento,usadopor

JohnNash, ou onhe ido omoargumentodoroubodaestratégia. Comesteargumentoapenas

se provaque oprimeiro jogadorganha, mas não sesabe omo, ou seja, prova-se queexiste uma

estratégiaven edoraparaoprimeirojogadormasnãose onhe eessaestratégia. Atéaomomento

jáse onhe eaestratégiaven edoraparatabuleirosaté

7 × 7

.

1.2 Origem e História

Ojogo doHexfoi inventadoem1942 pelo engenheiroepoetadinamarquêsPietHein. PietHein

hamou o jogo de Polygon e apresentou-o ao públi o pela primeira vez a 26 de Dezembro de

1942, através de um artigo publi ado no jornal Politiken. Nessa primeira publi ação o jogo foi

apresentadodaseguinteforma:

Gostaria de aprender a jogar Polygon? Piet Hein inventou um jogo que pode ser

prati ado omigualprazer tanto poreruditosjogadoresde Xadrez omo porpessoas

(17)

Nagura1.3podeobservar-seoproblemapropostono primeiroartigosobre oHex. Oobje tivo

onsisteem olo aruma peçabran a notabuleirodemodoaqueojogadordaspeçaspretasnão

tenhahipótesededefesa.

Alguns anos maistarde, em 1948, ojogofoi redes oberto porJohn Nashenquanto estudante da

UniversidadedePrin eton.NestaversãootabuleiroéanálogoaotabuleirodeXadrez, olo ando-se

aspeçasnasinterse çõesdaslinhas. FoiDavidGale, olegadeNash,queseaper ebeuda

equiva-lên iaentreosdoistabuleiros(odeHeineodeNash), omosemostraránase ção1.4.

O jogo foi baptizado de Hex aquando da sua omer ializaçãopela ParkerBrothers, em 1952, e

adquiriu uma maior proje çãodevido à publi ação de um artigode Martin Gardner na revista

S ienti Ameri an.

As ara terísti asdoHexdesde edosus itaramointeressedeváriosmatemáti os,tendo-se

reve-ladobastanteúteisnaabordagemdediversosproblemas, omoveremosaolongodestetrabalho.

1.3 O Teorema do Hex

Durante uma partidade Hex, seum jogador ompletar um aminhoentre os seus lados na sua

vez de jogar, então esse jogadoréde laradoven edor eojogo termina. Este momento podeser

atingidosemqueotabuleiroestejatodopreen hido. No asodojogodoGalootabuleiropodeser

totalmentepreen hidosemquenenhumjogador ompleteumalinha,sendode laradoumempate.

Umaquestãopertinenteésaberseomesmopodeo orrer omoHex: aúltima asaépreen hida

enenhumjogadoratingiuoobje tivo. Prova-sequetalnun ao orre! Este fa toéintuitivamente

fá il de provar, para issobasta onsiderarmos umtabuleiro ompletamente preen hido de peças

bran as epretas easso iaras bran asà águade um rioeaspretas àterra dasmargens do rio.

Então, apenas duassituaçõespodem a onte er, ouaágua orre, ouhá umdique aunir asduas

margensdorio,impedindoqueaágua orra. Naprimeirasituação éojogadordaspeçasbran as

queganhaenasegundaganhaojogadordaspeçaspretas. Note-sequenesteexemploumahipótese

ex luiaoutra,oqueémaisfortedoqueoTeoremadoHex:

Teorema 1.3.1 Se umtabuleiro deHex está ompletamentepreen hido ompeçaspretasepeças

bran as, então existe pelo menos um aminho queune ladosopostos.

(18)

hexágonoondeseen ontre olo adaumapeçapretaouumadasmargens

P

ou

P

′

(vergura1.4).

Afa e-

B

édenida deformaanáloga,relativamente apeçasemargensbran as.

P

′

_B

B

′

u

′

v

′

Figura1.4:Tabuleiro ompletamentepreen hidoegrafo

Γ

.

Asso iemos ao tabuleiro de Hex umgrafo em que ada vérti eé o ponto de interse ção de dois

ou três antos dos hexágonos. As arestas desse grafo orrespondem aoslados internos omuns

adoishexágonosouàfusãodedoislados exterioresdomesmohexágono. Paraalémdosvérti es

asso iadosaoshexágonosdosquatro antosdotabuleiro,vamosaindaasso iarmaisumvérti ea

adaumdos antoslivres. Cadaumdestesvérti es,paraalémdeseradja enteadoisvérti esdo

mesmohexágono,étambémadja enteaumnovovérti erepresentadonagura1.4por

u

,

u

′

,

v

e

v

′

. Asarestas orrespondentes umpremafunçãodeseparaçãodasquatro margensdotabuleiro.

Repare-sequeosquatrohexágonosdos antossão osúni oshexágonos dasmargensdotabuleiro

quepermitemaambososjogadores ompletarum aminhoqueligueassuasmargensopostas,pois

sãoosúni osqueperten emaumamargempretaeaoutrabran a. Designemosograforesultante

por

Γ

,enote-sequetodososvérti esdografotêmgraumenorouiguala3.

Comoobje tivodeen ontrarum onjuntoven edornumtabuleiroqueseen ontre ompletamente

preen hido segue-seo seguinte algoritmo: omeçandonumdos vérti es

u

,

u

′

,

v

ou

v

′

onstrói-se

um aminho no grafo

Γ

respeitando a regra de ontinuar sempre ao longo de uma aresta que separa umafa e-

P

deuma fa e-

B

. Repare-seque asarestasin identes a

u

,

u

′

,

v

ou

v

′

têmessa

propriedade,umavezquequalquerumadelasseparaumamargempretadeumamargembran a.

Observe-seque,seguindoestaregra,aopartirdeumdosvérti esdegrau1nun ao orreumatro a

de oresentreoladoesquerdoedireitodenenhumaaresta.

Éimportantesalientarqueo aminhoqueseobtémapli andoaregradenidaéúni o,poisquando

se per orre uma aresta

e

e hega-se aum vérti e

w

, duas das três fa es in identes ao vérti e

w

sãoaquelas emque

e

éaaresta omum,portanto, uma éuma fa e-

P

eaoutraéuma fa e-

B

. A ter eira fa e in idente aovérti e

w

podeseruma fa e-

P

ou umafa e-

B

,mas, em qualquer aso, háexa tamenteuma aresta

e

′

quesatisfazaregradenida, omomostraagura1.6.

Como o númerode vérti es dografo énito, então a onstrução do aminhotermina desdeque

nãohajarepetiçãodevérti es,oqueseráprovadomaisàfrente. Note-sequesóépossívelterminar

num dosvérti es

u

,

u

′

,

v

ou

v

′

(ex luindo aqueleem que seini iou o aminho)poisestessão os

úni osdegrau1. Se,porexemplo,ini iarmosum aminhonovérti e

u

ovérti eterminalnãopode ser

u

′

(19)

P

′

_B

B

′

u

′

v

′

Figura1.5:Subgrafo

Γ

′

.

e

′

w

Figura1.6:Ilustraçãoda onstruçãodeum aminhosegundoaregraestabele ida.

Assim,seovérti eterminalfor

v

′

(

v

),entãoojogadorquejoga omaspeçaspretas(bran as)tem um onjunto ven edor,porque existemsemprefa es-

P

(fa es-

B

) ontíguas ao aminhoentre

u

e

v

′

(

u

e

v

)queligam

P

a

P

′

(

B

a

B

′

).

No asoparti ulardagura1.5, omeçandoo aminhonovérti e

u

eseguindoaregraanteriormente denida on luímosqueovérti eterminaléovérti e

v

. Comoovérti e

v

éin idente àmargem

B

′

então on lui-sequeéojogadorquejoga omaspeçasbran asquetemo onjuntoven edor.

Para on luir ademonstração faltagarantirque no aminho onstruído não o orrerepetição de

vérti es. Paratal,seja

Γ

′

osubgrafode

Γ

que resultada supressãodasarestas quenão separam umafa e-

P

deumafa e-

B

. Repare-sequeosvérti esde

Γ

′

têmgrau0, asoastrêsfa esin identes

aovérti etenhamtodasamesma or,ougrau2, asoumadastrêsfa esin identesaovérti etenha

ordiferente,ex eptoosvérti es

u

,

u

′

,

v

e

v

′

quetêmgrau1.

NaFigura1.5asarestasdesta adasanegritorepresentamosubgrafo

Γ

′

orrespondenteaotabuleiro

ompletamente preen hido da gura 1.4. O subgrafo

Γ

′

é onstituído por 6 i los, 31 vérti es

isoladose2 aminhos: umde

u

para

v

eoutrode

u

′

para

v

′

.

Assim,pelo lemaA.1.1,

Γ

′

é omposto porvérti esisolados, i los e aminhos. Dadoqueem

Γ

′

existemapenas quatro vérti esde grau 1,

u

,

u

′

,

v

e

v

′

,então existem apenas dois aminhos que

unemparesdessesvérti es. O aminhoqueseini ianumdessesvérti esequeé onstruídosegundo

aregrades ritaanteriormenteéumdesses aminhos,logonun ao orrerepetiçãodevérti es, omo

queríamosprovar.

(20)

JohnNash,em1948,redes obriuojogodoHex,tal omojáfoireferidonase ção1.2. Nestase ção

vamos mostrarqueotabuleirodeNasheotabuleirodeHeinsãoequivalentes.

Paramostraraequivalên iaentreosdoistabuleiros omeçamospor onsiderarotabuleirodeHein

emar amosumpontono entrode adahexágono,de seguidaunimospormeiodeumsegmento

dere tatodosospontosqueperten emahexágonosadja entes, onformesemostranagura1.7.

Figura1.7:Representaçãodaequivalên iaentreostabuleirosdeHeinedeNash.

Endireitando(rodandoparaadireita)oesquema onstruídosobreotabuleirodeHein, obtemoso

tabuleirodagura1.8.

Figura1.8: TabuleirodeNash.

NotabuleirodeNashosjogadores olo amaspeçasnosvérti eseoobje tivo,tal omonotabuleiro

deHein, é onstruirum aminhoqueligueosladosopostos. Nestetabuleiroduas asas(vérti es)

são onsideradasadja entesseestiveremunidasporumaarestanahorizontal,verti aloudiagonal

omin linaçãopositiva. Não onsideramosasdiagonais omin linaçãonegativaporqueestasnão

ligamdoishexágonosadja entesnotabuleirodeHein. OtabuleirodeNashtambémpodeservisto

omo oproduto artesiano degrafos. Repare-se quese onsiderarmososvérti es easarestasdo

ontornodolado

W

omosendoografo

G

1

eosvérti eseasarestasdo ontornodolado

S

omo sendoografo

G

2

,então

G

1 × G

2

reunido omtodaaarestaqueuneovérti e

(i, j)

omovérti e

(i + 1, j + 1)

om

i, j = 0, . . . , k − 2

,entãoobtemosumgrafo orrespondenteaotabuleirodeNash.

1.5 A Equivalên ia entre o Teorema do Hex e o Teorema do

Ponto Fixo de Brouwer

Para a demonstração da equivalên ia entre o Teorema do Hex e o Teorema do Ponto Fixo de

Brouwerusaremoso tabuleirode Nash eanorma

|x| = max{|x

1 |, |x

2 |}

, para

x = (x

1 , x

2 ) ∈ R

2

(21)

Denição 1.5.1 Para

x 6= y ∈ R

2

,

x ≤ y

se

x

i

≤ y

i

para

i = 1, 2

. Ospontos

x

e

y

são hamados de omparáveisse

x ≤ y

ou

y ≤ x

.

Denição 1.5.2 Otabuleiro(bidimensional)deNashdetamanho

k

,

H

k

,éumgrafo ujosvérti es sãotodos ospontos

z ∈ Z

2

taisque

(0, 0) ≤ z ≤ (k − 1, k − 1)

. Doisvérti es

z

e

z

′

sãoadja entes,

ouseja,existe umaarestaauni-losem

H

k

se







|z − z

′

_{| = 1,}

z

e

z

′

são omparáveis

.

Identiquemosasarestasdo ontornodeumtabuleiro

H

k

omospontos ardeais

N, S, E

e

W

,ou seja:

N = {z ∈ H

k

|z

2 = k − 1}

S = {z ∈ H

k

|z

2 = 0}

E = {z ∈ H

k

|z

1 = k − 1}

W = {z ∈ H

k

|z

1 = 0}

.

Nagura1.9podemosobservarotabuleirodeNashdetamanho

k = 6

,

H

6

.

(5,0) (5,5) (0,5) (0,0) S N W E

x

z1

z2

z3

Figura1.9:Representaçãográ adotabuleirodeNashdetamanho

k = 6

,

H

6

.

Paraanossa demonstraçãovamos onsiderarqueojogadorquetenta ligaroslados

E

e

W

(

N

e

S

)dotabuleirojoga ompeçasbran as(pretas),ouseja,estejogadortenta onstruirum aminho queligue

E

e

W

(

N

e

S

). Designemospor

B

(

P

)osubgrafoinduzidopelosvérti eso upadospor peçasbran as(pretas).

Deseguida,rees revemosoTeoremadoHexevamosprovarqueesteéequivalenteaoTeoremado

PontoFixodeBrouwer.

Teorema 1.5.1 (TeoremadoHex): Considere-se

H

k

totalmentepreen hido eossubgrafos

B

e

P

. Entãoexiste um aminho em

B

queliga

E

a

W

ouexisteum aminhoem

P

queliga

N

a

S

.

(22)

Teorema 1.5.2 (Teorema do PontoFixo de Brouwer): Seja

f : I

2 _{→ I}

2

uma função ontínua.

Entãoexiste

x ∈ I

2

talque

f (x) = x

.

Podemosagoraenun iaroresultadoprin ipaldeste apítulo.

Teorema 1.5.3 OTeoremado Hexéequivalente aoTeoremado PontoFixode Brouwer.

Demonstração: Come emospor mostrar que o Teorema do Hex impli a o Teorema do Ponto

Fixo deBrouwer.

Seja

f : I

2 _{→ I}

2

uma função ontínua. Pelo lemaA.2.1, bastamostrarque para qualquer

ǫ > 0

existe

x ∈ I

2

talque

|f (x) − x| < ǫ

. Comotodaafunção ontínuanum ompa toéuniformemente ontínua, então dado

ǫ > 0

, existe

δ > 0

tal que se

x, x

′

_{∈ I}

2

satisfazem

|x − x

′

_{| < δ}

então

|f (x) − f (x

′

_{)| < ǫ}

. Seja

0 < δ

1 < min{δ, ǫ}

.

Considere-seotabuleirodeNashadaptadoqueresultadadivisãode adaumdosladosde

I

2

em

k

partesiguais, om

1 k

< δ

1

. Desta forma,obtemos umtabuleirode tamanho

k + 1

omvérti es nos pontos

i

k

,

j

k

, om

i, j = 0, . . . , k

. Vamos denir sub onjuntos destes vérti es

P

+

,

P

−

,

B

+

e

B

−

daseguinteforma:

P

+

_{= {z|f}

1 (z) − z

1 ≥ ǫ}

P

−

_{= {z|z}

₁

_{− f}

₁

_{(z) ≥ ǫ}}

B

+

_{= {z|f}

2 (z) − z

2 ≥ ǫ}

B

−

_{= {z|z}

₂

_{− f}

₂

_{(z) ≥ ǫ}}

,

onde

f

i

denotaa

i

-ésima oordenadade

f

, om

i = 1, 2

. Intuitivamente,umvérti e

z

perten ea

P

+

_{, P}

−

_{, B}

+

ou

B

−

onforme

z

émovidopor

f

pelomenos

ǫ

unidadesparaadireita,esquerda,para imaouparabaixo,respe tivamente(verexemplo1.5.1). A primeira impli ação do teorema ará demonstrada se onseguirmos mostrar que os quatro

sub onjuntosnão obremtodososvérti esdotabuleiro,ouseja,existealgumvérti equenãoestá

em

P

+

_{∪ P}

−

_{∪ B}

+

_{∪ B}

−

. Talimpli aqueexisteum

z ∈ H

k

talque

|f (z) − z| < ǫ

eprovamosassim queafunção

f

temumpontoxo.

Daqui em diante, onforme o ontexto, entendemos também um onjunto de vérti es omo um

subgrafoporsigerado.

Os onjuntos

P

+

e

P

−

(

B

+

e

B

−

)sãodisjuntos e

P

+

_{∪ P}

−

(

B

+

_{∪ B}

−

)énão onexo. Supondoque

P

+

_{∪ P}

−

é onexo,entãoexistem

z ∈ P

+

e

z

′

_{∈ P}

−

adja entes. Como

z ∈ P

+

,

f

1 (z) − z

1 ≥ ǫ

(1.1) e, omo

z

′

_{∈ P}

−

,

z

′

1 − f

1 (z

′

) ≥ ǫ.

(1.2) Adi ionando1.1e1.2obtemos

f

1 (z) − f

1 (z

′

) + z

1 ′

− z

1 ≥ 2ǫ.

(1.3) Mas

(23)

z

′

1 − z

1 ≤

1 k

⇒ z

1 ′

− z

1 < δ

(porque

1 k

< δ

1 < δ

). Mas omo

δ < ǫ

então

z

1 ′

− z

1 < ǫ.

(1.4)

Assim,multipli ando1.4por

(−1)

obtemos

z

1 − z

1 ′

> −ǫ.

(1.5)

Somando1.3 e1.5obtemos

f

1 (z) − f

1 (z

′

) > ǫ.

Maspelanormaqueestamosautilizarpodemoses rever

|f (z) − f (z

′

| > ǫ,

o que ontradiz a denição de ontinuidade uniforme. Logo

z

e

z

′

não são adja entes. Assim,

podemos on luirque

P

+

_{∪ P}

−

nãoé onexo. Demodoanálogo,podemos on luirque

B

+

_{∪ B}

−

nãoé onexo.

Sejam

P = P

+

_{∪ P}

−

e

S

umsubgrafo onexo omvérti esem

P

. A onexidadede

S

impli aque

S ⊂ P

+

ou

S ⊂ P

−

. Além disso,pela forma omo afunção

f

estádenida, tem-se quenenhum pontode

E

podesermovidopor

f

paraadireita,assim omonenhumpontode

W

podesermovido por

f

paraaesquerda,então, on lui-se que

P

+

_{∩ E = ∅}

eque

P

−

_{∩ W = ∅}

. Portanto,

S

nãose interse ta om

E

nem om

W

,ouseja,

P

não ontémum onjunto onexoqueligue

E

e

W

. Atravésde umra io ínioanálogo,pode-se on luir que

B = B

+

_{∪ B}

−

não ontém um onjunto

onexoqueligue

N

e

S

. Então,peloTeoremadoHex,podemos on luirqueos onjuntos

P

e

B

não obremtodososvérti esdotabuleirodeNashadaptado,logo

∃z /

∈ P ∪ B

,oqueimpli aque

|f (z) − z| < ǫ

, ompletandoassimaprimeirapartedademonstração.

Parademonstrarasegundaimpli ação,ouseja,queoTeoremadoPontoFixodeBrouwerimpli a

oTeoremadoHexvamos usarofa todequalquerponto

x ∈ [0, k − 1]

2

poderserexpresso omo

uma ombinaçãolinear onvexaúni adeum onjuntodenomáximotrêsvérti esadja entesdois

adois. Esses vérti essão os dostriângulos de menor dimensão da gura1.9. Para ada ponto

x = (x

1 , x

2 ) ∈ [0, k − 1]

2

es olhe-seo onjunto de vérti esmutuamente adja entes do invólu ro onvexoaque

x

perten e. Nagura1.9 oponto

x ∈ [3, 4]

2

estáno invólu ro onvexode

z

1 , z

2

e

z

3

,logoexistem

λ

i

∈ R

, om

P

3 i=1

λ

i

= 1

e

λ

i

≥ 0

,

i = 1, 2, 3

taisque

x = λ

1 z

1 + λ

2 z

2 + λ

3 z

3

. Vamospre isar aindadeusarofa tode quequalquerfunção

f

de

H

k

em

R

2

podeserestendida

auma função ontínua

f

b

, linearportroços, denida em

[0, k − 1]

2

da seguinte forma: para

x =

λ

1 z

1 + λ

2 z

2 + λ

3 z

3

,

f (x) = λ

b

1 f (z

1 _{) + λ}

2 f (z

2 ) + λ

3 f (z

3 )

.

Estamosagoraem ondiçõesdeini iarademonstraçãodasegundaimpli ação. Vamosfazê-lopor

absurdo,ouseja,vamossuporqueotabuleiro

H

k

está ompletamentepreen hidoequenãoexiste um aminho em

B

que ligue

E

a

W

nem um aminho em

P

que ligue

N

a

S

. Começamos por denirquatrosub onjuntosdaseguinteforma:

Seja

W

c

(

S

b

)o onjuntodetodososvérti esdotabuleiroqueestãoligadosa

W

(

S

)porum aminho em

B

(

P

), ouseja,porum aminhoformadoporvérti eso upadosporpeçasbran as(pretas)e seja

E = B − c

b

W

(

N = P − b

b

S

).

Pelaforma omoosquatrosub onjuntosforamdenidospodemos on luirqueosubgrafo

W ∪ b

c

E

nãoé onexoeomesmoa onte e omosubgrafo

N ∪ b

b

S

.

(24)

Sejam

e

1

e

2

osve toresunitáriosde

R

2

edena-seafunção

f

em

H

k

,doseguintemodo:

f (z) =











z + e

1

se

z ∈ c

W ,

z − e

1

se

z ∈ b

E,

z + e

2

se

z ∈ b

S,

z − e

2

se

z ∈ b

N .

Pelaforma omoafunção

f

estádenidapodemos on luirque,para adaumadasquatro possibi-lidades,

f (z)

estásempreem

H

k

. Porexemplo,usandooprimeiroramode

f

,oponto

z + e

1 _{∈ H}

k

porque aso ontrário

z

perten iaa

E

,signi andoistoaexistên iadeum aminhoem

B

aligar

W

a

E

, ontradizendoa hipóteseini ial. Observe-se também que

E ∩ W = ∅

b

porque, em

B

,

E

b

e

W

c

são omplementares,logo

z − e

1 _{∈ H}

k

. Fazendoumra io ínioanálogopode-se on luirque, paraosoutrosdoisramosdafunção,

f (z)

estásempreem

H

k

.

Seja

f

b

aextensãodafunção

f

atodosospontosde

[0, k − 1]

2

denidaanteriormente.Vamosobter

uma ontradiçãoporque

f

b

é ontínuaeprova-sequenão tempontoxo.

Comoveri ámosanteriormente,

W ∪ b

c

E

e

N ∪ b

b

S

nãosão onexos.Talimpli aque,se onsiderarmos três vérti esdeumtriânguloqualquer(devérti esmutuamenteadja entes)entãonun aa onte e

que aessestrês vérti es sejamapli adostrês ramos diferentes dafunção, poisnão épossívelque

umdessesvérti espertençaa

c

W

eoutroa

E

b

nemqueumpertençaa

S

b

eoutroa

N

b

uma vezque

c

W ∪ b

E

e

N ∪ b

b

S

não são onexos. Portanto, on lui-se queostrês vérti essó podem sermovidos porum dosseguintes pares de ve tores:

e

1

e

2

, ou

e

1

e

−e

2

, ou

−e

1

e

2

ou ainda

−e

1

e

−e

2

.

Comoestesve toresnãotêmozeronoseuinvólu ro onvexo,apli andoolemaA.2.2, on luímos

queafunção

f

b

nãotemumpontoxo,oque ontradiz oTeoremadoPontoFixodeBrouwer. Logo,podemos on luirquenumtabuleiro ompletamentepreen hidoexisteum aminhoem

B

a ligar

W

e

E

ouum aminhoem

P

aligar

N

e

S

.

Deseguidaapresenta-seumexemplodemodoa lari ara onstruçãodos onjuntos

P

+

,

P

−

,

B

+

e

B

−

,bem omoo on eito de ombinaçãolinear onvexautilizados nademonstraçãoanterior.

Exemplo1.5.1 Seja

f : I

2 _{→ I}

2

afunçãodenidapor

f (x

1 , x

2 ) = (1 − x

1 , 1 − x

2 )

. Para

ǫ = 0, 5

es olhendo

δ = 0, 5

veri a-se a denição de ontinuidade uniforme para

f

. Como

1 k

< δ

1 <

min{δ, ǫ}

então devemos es olher

k > 2

. Seja

k = 4

, isto é, vamos onsiderar um tabuleiro de Nash 'adaptado' de tamanho

k = 4

omo ilustradonagura1.10, àesquerda.

Para poder denir os sub onjuntos

P

+

_{, P}

−

_{, B}

+

e

B

−

vamos omeçar por al ular a imagem de

ada umdos vérti esdo tabuleiro,

a

p

através dafunção

f

:

f (a) = f (0, 0) = (1, 1)

f (g) = f (

2

3 ,

1

3 ) = (

1

3 ,

2

3 )

f (l) = f (1,

2

3 ) = (0,

1

3 )

f (b) = f (

1

3 , 0) = (

2

3 , 1)

f (h) = f (1,

1

3 ) = (0,

2

3 )

f (m) = f (0, 1) = (1, 0)

f (c) = f (

2 ₃

, 0) = (

1 ₃

, 1)

f (i) = f (0,

2 ₃

) = (1,

1 ₃

)

f (n) = f (

1 ₃

, 1) = (

2 ₃

, 0)

f (d) = f (1, 0) = (0, 1)

f (j) = f (

1 ₃

,

2 ₃

) = (

2 ₃

,

1 ₃

)

f (o) = f (

2 ₃

, 1) = (

1 ₃

, 0)

f (e) = f (0,

1 ₃

) = (1,

2 ₃

)

f (k) = f (

2 ₃

,

2 ₃

) = (

1 ₃

,

1 ₃

)

f (p) = f (1, 1) = (0, 0)

f (f ) = f (

1 ₃

,

1 ₃

) = (

2 ₃

,

2 ₃

)

(25)

Na gura 1.10 pode-se observar a transformação de ada um dos vérti es por meio da função

f

dada. a b d e f g h i j k l m n o p 0

x

1 x

2

1 1

f (p)

f (o)

f (n)

f (m)

f (l)

f (k)

f (j)

f (i)

f (h)

f (g)

f (f)

f (e)

f (d)

f (c)

f (b)

f (a)

0

x

1 x

2

1 1

Figura1.10: TabuleirodeNashadaptadodetamanho

k = 4

,àesquerdaeaimagemdosrespe tivosvérti esà direita.

Podemos então on luirqueossub onjuntos

P

+

_{, P}

−

_{, B}

+

e

B

−

são:

P

+

=

(0, 0) ;

0,

1

3 ;

0,

2

3 ; (0, 1)

P

−

=

(1, 0) ;

1,

1

3 ;

1,

2

3 ; (1, 1)

B

+

=

(0, 0) ;

1

3 , 0

;

2

3 , 0

; (1, 0)

B

−

=

(0, 1) ;

₁

3 , 1

;

₂

3 , 1

; (1, 1)

Nagura1.11podemos observar arepresentaçãodos sub onjuntos

P

+

,

P

−

,

B

+

e

B

−

.

P

+

P

−

B

+

B

−

0

x

1 x

2

1 1

Figura1.11:Representaçãodossub onjuntos

P

+

_{, P}

−

_{, B}

+

e

B

−

. Sejam

P = P

+

_∪P

−

e

B = B

+

_∪B

−

(26)

onexoseque

P ∪B

não obreo onjuntodetodososvérti esdotabuleiropois

1

3 ,

1

3 ,

2

3 ,

1

3 ,

1

3 ,

2

3

e

2

3 ,

2

3

nãoperten ema

P ∪ B

. Repare-sequeparaestesvérti esveri a-seque

|f (z) − z| < 0, 5

. Vamos ainda exempli ar que um ponto

x ∈ I

2

pode ser es rito omo uma ombinação linear

onvexa úni adeum onjuntodenomáximo trêsvérti es, mutuamenteadja entes. Considerando

o ponto

x =

1

4 ,

1

8

,es olhemos os vérti es

(0, 0) ,

1

3 , 0

e

1

3 ,

1

3

. Então

x

pode ser es rito omo uma ombinaçãolinear onvexaúni adessestrêsvérti esdo seguintemodo:

(27)

O Hex de Dimensão

n

OjogodoHexdedimensão

n

,para

n

jogadores,nãoéatra tivonemserevestedegrandeinteresse quernoqueserefereàteoriadosjogosquerdopontodevistadojogopropriamentedito. Podem-se

en ontrardiversasdi uldades,quevãodesdeadi uldadeda onstruçãodeumtabuleiroemque

sejapráti omúltiplosjogadoresjogarem,atéaofa todenãohaverregras laraseespe í assobre

quemganhaequemperde.

Aolongodeste apítulo,nãoérelevantequalaregraquepermitedeterminaroven edor,massim

ofa todequeépossível onstruirpelomenosum aminhoqueligueduasfa esopostas.

AdemonstraçãodequeoTeoremadoHexdedimensão

n

éequivalenteaoTeoremadoPontoFixo deBrouwerpode serobtidaatravésdeuma generalizaçãodademonstraçãoparaadimensãodois

apresentadano apítuloanterior. Àsemelhançado apítuloanterior,ademonstraçãodoTeorema

doHexparaadimensão

n

tambémfoi elaborada ombasenoartigodeDavid Gale[1℄.

Aolongo deste apítulo, apresentar-se-ãoexemplos para o aso

n = 3

om vista auma melhor ompreensãoevisualização.

2.1 O Tabuleiro de Hex

A denição do tabuleiro de Hex de dimensão

n

, apresentada a seguir, é uma generalização da denição1.5.2dotabuleiro (bidimensional)deNash,apresentadano apítulo anterior.

Denição 2.1.1 Otabuleiro de Hexde dimensão

n

etamanho

k

,

H

n

k

, éum grafo ujos vérti es sãotodosospontos

z = (z

1 , . . . , z

n

) ∈ Z

n

taisque

1 ≤ z

i

≤ k, i = 1, . . . , n

. Doisvérti es

z

e

z

′

são adja entes se

|z − z

′

| = 1

e

z

e

z

′

são omparáveis(ou seja,

z

i

≤ z

′

i

,para todo o

i = 1, . . . , n

,ou

z

′

i

≤ z

i

,paratodo o

i = 1, . . . , n

).

Parasimpli aranotação,daquiparaafrentepassaremosadenotar

H

n

k

simplesmentepor

H

. Para ada

i = 1, . . . , n

,asfa es de

H

sãodenidasdoseguintemodo:

H

_i

−

= {z ∈ H|z

i

= 1}

e

H

+

(28)

Consideremos que os

n

jogadores não têm peças oloridas, mas sim peças numeradas e que o jogador-

i

é aquele que joga om apeça

i

, om

i ∈ N = {1, 2, . . . , n}

. Entãopodemos denir a função

L

denidade

H

para

N = {1, 2, . . . , n}

queasso iaa adavérti eonúmerodapeça,rótulo, nele olo ada.

Considerandoqueojogador-

i

, om

i ∈ N = {1, 2, . . . , n}

,ganhouojogoentão

L

−1

_({i})

permite-nos

determinar um aminho em

H

que liga asduas fa es opostasdo jogador-

i

. Tal aminho, daqui paraafrente,serádesignadopor onjunto-

i

ven edor.

2.2 O Teorema do Hex

Antes deenun iaroTeoremadoHexdedimensão

n

vamosapresentaralgumasdeniçõese resul-tadosteóri osne essáriosparaasuademonstração.

Come emospordenirotabuleirodeHexaumentado,

H

b

, omosendoformadoportodososvérti es

z ∈ Z

n

, om

0 ≤ z

i

≤ k + 1

,

i = 1, . . . , n

,edenimosaindaasfa esde

H

b

doseguintemodo:

b

H

i

−

= {z ∈ b

H|z

i

= 0}

e

b

H

i

+

= {z ∈ b

H|z

i

= k + 1}

, om

i = 1, . . . , n

. Seja

e

i

o

i

-ésimove torunitárioem

R

n

eseja

e ∈ R

n

ove tor ujas oordenadassãotodasiguais

a

1

,ouseja,

e = (1, . . . , 1)

.

De seguida apresentamos adenição desimplex, uma dasdeniçõesmais importantespara esta

se ção. Denição 2.2.1 Um simplex de

R

n

(

n

-simplex)éum tuplo

σ = (z

0 _{, . . . , z}

n

₎

de (

n + 1

) vérti es, onde

z

i

_{∈ Z}

n

, om

i = 0, . . . , n

,tal que

z

i+1

_{− z}

i

_{= e}

r

paraalgum

r ∈ N

e

i = 0, . . . , n − 1

e

z

i+1

_{− z}

i

_{6= z}

j+1

_{− z}

j

para

i, j = 0, . . . , n

, om

i 6= j

.

Ditode outraforma,um simplexéumtuplo devérti estaisquepara seobterovérti eseguinte

seadi ionaumve torunitárioaovérti eanteriorenummesmosimplexnun aseadi ionamdois

ve toresunitáriosiguais.

Exemplo2.2.1 Consideremos,para

n = 3

,otuplo

σ

0 = (0, e

1 _{, e}

1 _+e

2 _{, e)}

. Estesvérti esveri am

a denição2.2.1, então

σ

0

éum simplex de

R

3

. Nagura 2.1podemos observar a representação

deste simplex.

Comoveremos,umsimpleximportanteaolongodestase çãoéosimplex

σ

0 = (0, e

1 _{, e}

1 _+e

2 _{, . . . , e)}

.

Como podemos veri ar pela denição 2.1.1, quaisquer dois vérti es de um simplex em

H

b

são adja entes.

Se a um simplex

σ = (z

0 _{, . . . , z}

n

₎

retirarmos um vérti e obtemos um tuplo de

n

vérti es que designaremospor fa eta,denidadaseguinte forma:

Denição 2.2.2 Chamamos fa eta-

i

do simplex

σ

aotuplode

n

vérti es,

τ

i

_{= (z}

0 _{, . . . , z}

i

−1

_{, z}

i+1

_,

. . . , z

n

₎

(29)

x

y

z

b

Figura2.1:Representaçãodosimplex

σ

0

.

Considerando osimplex

σ

0 = (0, e

1 _{, e}

1 _{+ e}

2 _{, . . . , e)}

a fa eta-0 vaiser

τ

0 _{= (e}

1 _{, e}

1 _{+ e}

2 _{, . . . , e)}

, a

fa eta-1 vai ser

τ

1 _{= (0, e}

1 _{+ e}

2 _{, . . . , e)}

eassim su essivamente. Repare-seque

τ

n

_{= (0, e}

1 _{, e}

1 ₊

e

2 _{, . . . , e}

n

₋₁

₎

perten ea

H

b

−

n

.

Paraademonstraçãoquepretendemos onstruirpre isamosaindadenirsimplexesvizinhos.

Denição 2.2.3 O vizinho-

i

de

σ = (z

0 _{, . . . , z}

i

_{, . . . , z}

n

₎

, para

0 < i < n

, é o simplex

eσ

i

ujos

vérti essãoosmesmosde

σ

ex epto

z

i

,queésubstituído por

e

z

i

_{= z}

i

−1

_{− z}

i

_{+ z}

i+1

. Ovérti e

ez

i

é hamado o ompanheirode

z

i

emrelaçãoa

σ

. Repare-sequedefa to

eσ

i

satisfazadenição 2.2.1 omomostramosdeseguida.

Seja

σ = (z

0 _{, . . . , z}

i

−1

_{, z}

i

_{, z}

i+1

_{, . . . , z}

n

₎

,então omo

σ

éumsimplex podemoses reverque

z

i

_{= z}

i

₋₁

_{+ e}

r

(2.1) eque

z

i+1

= z

i

_{+ e}

s

_,

(2.2) om

r 6= s

.

Então,usando2.1 temosque

e

z

i

_{= z}

i

₋₁

_{− z}

i

_{+ z}

i+1

= z

i

−1

_{− z}

i

−1

_{− e}

r

_{+ z}

i+1

= z

i+1

− e

r

(30)

e

z

i

_{= z}

i

₋₁

_{− z}

i

_{+ z}

i+1

= z

i

−1

_{− z}

i

_{+ z}

i

_{+ e}

s

= z

i

−1

_{+ e}

s

_.

Logo, podemos on luir que

eσ

i

satisfaz a denição 2.2.1.

eσ

i

satisfaz também apropriedade de

simetria, ou seja,

eσ

i

é o vizinho-

i

de

σ

se e somente se

σ

é o vizinho-

i

de

eσ

i

e que

σ

e

eσ

i

se

interse tamnafa eta-

i

omumaambos,ouseja,

σ ∩

eσ

i

_{= τ}

i

. Denição 2.2.4 Ao tuplo

e

σ

0 _{= (z}

1 _{, . . . , z}

n

_,

e

z

0 ₎

hamamos vizinho-

0

de

σ = (z

0 _{, . . . , z}

n

₎

, onde

ez

0 _{= z}

1 _{− z}

0 _{+ z}

n

, e ao tuplo

eσ

n

_{= (}

e

z

n

_{, z}

0 _{, . . . , z}

n

−1

₎

hamamos vizinho-

n

de

σ

, onde

ez

n

₌

z

n

₋₁

_{− z}

n

_{+ z}

0

. Tambémneste aso,

z

0

e

ez

0

,bem omo

z

n

e

z

e

n

,são hamados ompanheiros.

Note-sequea onstruçãode

σ

e

0

e

eσ

n

onduz-nostambémasimplexeseque,se

eσ

0

éovizinho-

0

de

σ

, então

σ

éovizinho-

n

de

eσ

0

e

σ ∩

eσ

0

éafa eta-0de

σ

eafa eta-

n

de

eσ

0

.

Exemplo2.2.2 Consideremos novamente o simplex

σ

0

para

n = 3

representado na gura 2.1. Apli andoasdeniçõesanteriores, osvizinhos-

i

de

σ

0

, om

i = 0, . . . , 3

são:

eσ

1

0 = ((0, 0, 0); (0, 1, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1))

,

eσ

2

0 = ((0, 0, 0); (1, 0, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1))

,

eσ

0

0 = ((1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1); (2, 1, 1))

e

eσ

3

0 = ((0, 0, −1); (0, 0, 0); (1, 0, 0); (1, 1, 0))

.

Neste aso

eσ

3

0

nãoperten ea

H

b

, omo sepode observarna gura2.2. Prolonguemosafunção

L

a

H

b

denindo-anasfa esde

H

b

doseguintemodo:

b

L(z) =

(

min{i|z ∈ b

H

i

−

}

se

z ∈

S

n

i=1

H

b

i

−

,

min{i|z ∈ b

H

_i

+

}

aso ontrário

.

(2.3)

Afunção

L

b

denidaparaasfa esde

H

b

nãodependedafunção

L

denidaem

H

epode-se on luir que se

z = (z

1 , . . . , z

n

) ∈

S

n

i=1

H

b

i

−

, b

L(z) = i

, sendo

i

o menor índi e das oordenadas nulas. Analogamente,se

z = (z

1 , . . . , z

n

) /

∈

S

n

i=1

H

b

i

−

,então

L(z) = i

b

, onde

i

éomenordos índi es das oordenadasdevaloriguala

(k + 1)

.

Exemplo2.2.3 Consideremosnovamenteosimplex

σ

0

dagura2.1. Osrótulosassinalados om

⋆

na tabela 2.1 dependem da função

L

. Estes rótulos resultam apenas das peças que ao longo do jogo se vão olo ando nestes vérti es. Os restantes valores dos rótulos obtêm-se através do

prolongamentoda função

L

.

Denição 2.2.5 Um simplex

σ

diz-se ompletamente rotulado, se a restrição

L

b

|σ

: σ → N

for sobreje tiva. Dene-se fa eta ompletamente rotulada de formaanáloga.

Osimplex

σ

0

easuafa eta-

n

,

τ

n

_{= (z}

0 _{, . . . , z}

n

−1

₎

,são ompletamenterotuladosumavezque,por

2.3,osvérti esde

τ

n

(31)

x

y

z

b

Figura2.2:Representaçãodosimplex

σ

0

edosseusvizinhos.

Tabela2.1:Vizinhosde

σ

0

,fa etasem omum om

σ

0

erótulosdosrespe tivosvérti es.

Vizinhosde

σ

0

Fa etaem omum om

σ

0

Rótulos

eσ

1

0 = ((0, 0, 0); (0, 1, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1))

Fa eta-1 (1,1,3,1

⋆

)

eσ

2

0 = ((0, 0, 0); (1, 0, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1))

Fa eta-2 (1,2,2,1

⋆

)

eσ

0

0 = ((1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1); (2, 1, 1))

Fa eta-3 (2, 3,1

⋆

,1

⋆

)

Denição 2.2.6 Seja

Γ

ografo ujos vérti es são os simplexes ompletamente rotulados em

H

b

. Doisvérti es

σ

e

σ

e

são adja entes se são vizinhos ese a suafa eta em omum é ompletamente rotulada.

Lema2.2.1 Cada vérti e

σ

de

Γ

temno máximograu2. Demonstração: Seja

σ = (z

0 _{, . . . , z}

n

₎

ompletamenterotulado. Logo,existemexa tamentedois

vérti es

z

i

e

z

j

omomesmorótulo. Entãoqualquerfa etadiferentede

τ

i

e

τ

j

nãoé ompletamente

rotulada. Consequentemente,ograude

σ

énomáximo2.

Lema2.2.2 Osimplex

σ

0

tem exa tamente um vizinho ompletamente rotulado,ou seja,o grau de

σ

0

é1.

Demonstração: Dadoqueovérti e

e

ésempreumdosquetemrótulo repetido, ome emospor veri arse

eσ

n

0

éadja ente a

σ

0

. Como

eσ

n

0 = (−e

n

, 0, . . . , e

1 + . . . + e

n

−1

)

,então

eσ

n

0 ∈ b

/

H

, logo

σ

e

n

0

nãoéadja entea

σ

0

.

Seja

L(e) = i

. Então o outro vérti e de

σ

0

om o mesmo rótulo é

P

i

−1

j=0

e

j

(assumindo que

e

0 _{= (0, . . . , 0)}

(32)

Se

i > 1

,o ompanheirode

P

i

−1

j=0

e

j

é

e

1 _{+ . . . + e}

i

−2

_{+ e}

i

,queperten ea

H

b

. Portanto, neste aso

σ

0

temapenasumvizinho ompletamenterotulado.

Se

i = 1

,entãoooutrovérti e omrótulo

1

éovérti e

0

eovizinho-

0

de

σ

0

é

(e

1 _{, e}

1 _+e

2 _{, . . . , e, e}

1 _+e)

queé ompletamenterotuladoeperten ea

H

b

.

Como pelo lema2.2.1 ada vérti e

σ

de

Γ

temnomáximograu

2

, entãopodemosapli ar olema A.1.1 e,uma vez que pelo lema2.2.2

σ

0

tem grau 1, então podemos on luirque

σ

0

é ovérti e ini ialdeum aminho

P = (σ

0 , σ

1 , . . . , σ

m

)

.

Sãoaindane essáriososdoislemasseguintesparademonstraroresultadoprin ipaldestase ção.

Lema 2.2.3 Sejam

P = (σ

0 , σ

1 , . . . , σ

m

)

um aminho sobre

Γ

e

τ

n

_{= (z}

0 _{, . . . , z}

n

₋₁

₎

afa eta-

n

de

σ

m

. Se

τ

n

é ompletamenterotulada eestá ontidaem

H

b

−

n

,então

τ

n

oin ide omafa eta-

n

de

σ

0

.

Demonstração: Come emospor provar que

z

0 _{= 0}

. Suponhamos que

z

0 _{= (z}

0

1 , . . . , z

n

0 ) > 0

, então

z

0 r

> 0

para algum

r ∈ {1, . . . , n − 1}

. Note-se que se

τ

n

_{∈ b}

_H

−

n

então

z

i

n

= 0

, para

i = 0, . . . , n − 1

. Mas se a oordenada

r

de

z

0

é maior que zero então a oordenada

r

de

z

i

é

maiorquezeroparatodoo

i ∈ {1, . . . , n − 1}

,poispeladenição2.2.1sabemosque

z

i+1

_{= z}

i

_{+ e}

r

,

logo podemos on luir que

τ

n

não tem nenhum vérti e omrótulo

r

edeste modo

τ

n

não seria

ompletamente rotulada. Mas porhipótese

τ

n

é ompletamente rotulada, logo, on luímosque

z

0 _{= 0}

.

Do mesmo modo podemos on luir que

z

1 _{= e}

1

, pois se

z

1

fosse um qualquer ve tor unitário

diferente de

e

1

entãonenhum vérti e de

τ

n

teria rótulo

2

. O mesmo argumento podeser usado paramostrarque

z

2 _{− z}

1 _{= e}

2

eassimsu essivamente.

Destemodo aprovadoqueafa eta-

n

de

σ

m

éigualàfa eta-

n

de

σ

0

,ouseja,

τ

n

_{= (0, e}

1 _{, . . . , e}

1 ₊

. . . + e

n

₋₁

₎

.

Lema 2.2.4 Para um qualquer aminho

P = (σ

0 , σ

1 , . . . , σ

m

)

, uma das fa etas ompletamente rotuladas de

σ

m

está ontidaemalguma fa e

H

b

+

i

de

H

b

.

Demonstração: Seja

σ

m

= (z

0 _{, . . . , z}

n

₎

. Para provarmos que uma das fa etas ompletamente

rotuladasde

σ

m

está ontidaem algumafa e

H

b

+

i

de

H

b

, vamosusarofa to de

σ

m

−1

seroúni o vizinho ompletamenterotuladode

σ

m

. Então,paraalgum

i

,existeumvérti e

z

i

ujo ompanheiro

ez

i

não perten e a

H

b

. Esse vérti e só pode ser

z

0

ou

z

n

porque para

0 < i < n

,

e

z

i

veri a

z

i

₋₁

_<

e

z

i

_{< z}

i+1

e omo

z

i

₋₁

e

z

i+1

perten ema

H

b

então

z

e

i

tambémperten ea

H

b

. Suponhamosagoraqueovizinho-

n

de

σ

m

nãoestá ontidoem

H

b

. Logo

z

e

n

_{= z}

0 _{− z}

n

_{+ z}

n

−1

não

perten ea

H

b

. Maisumavezpeladenição2.2.1,

z

n

_{− z}

n

₋₁

_{= e}

r

,então,paraalgum

r ∈ {1, . . . , n}

:

ez

n

_{= z}

0 _{− z}

n

_{+ z}

n

₋₁

= z

0 _{− (z}

n

_{− z}

n

₋₁

₎

= z

0 − e

r

_.

Logo, para que

z

e

n

_{∈ b}

_/

_H

a oordenada

r

de

z

0

éigual a zeroe assim a oordenada

r

de

z

e

n

será

negativa. Mas, mais uma vez pela denição 2.2.1, a oordenada

r

de

z

i

é igual a zero, para

i = 0, . . . , n − 1

,logopodemos on luirqueafa eta-

n

,

τ

n

, de

σ

m

está ontidaem

H

b

−

r

. Mas,por 2.3,

τ

n

sópodeterrótulos

i

para

i ≤ r

, assim,umavez que

τ

n

(33)

que

r = n

eportanto

τ

n

está ontida em

H

b

−

n

. Apli ando o lema2.2.3 podemos on luirque a fa eta-

n

de

σ

m

oin ide omafa eta-

n

de

σ

0

,oqueimpli a que

P

seriaum i lo, ontradizendo ahipótesede

P

serum aminho. Logoovizinho-

n

de

σ

m

está ontidoem

H

b

.

Suponhamosagoraque

σ

m

não temvizinho-0,então

e

z

0 _{= z}

1 _{− z}

0 _{+ z}

n

_{∈ b}

_/

_H

. Mas peladenição

2.2.1sabe-seque

z

1 _{− z}

0 _{= e}

r

paraalgum

r ∈ {1, . . . , n}

,então

ez

0 _{= z}

1 _{− z}

0 _{+ z}

n

= e

r

_{+ z}

n

_.

Logo,para que

z

e

0 _{∈ b}

_/

_H

a oordenada

r

de

z

n

éiguala

k + 1

. Mas, uma vezmais pela denição 2.2.1,a oordenada

r

de

z

i

éiguala

k + 1

paratodoo

i = 1, . . . , n

. Portanto,pode-se on luirque afa eta-

0

de

σ

m

está ontidaem

H

b

+

r

.

Estamosagoraem ondiçõesdeenun iaredemonstraroTeoremadoHex.

Teorema 2.2.1 (Teorema do Hex) Para qualquer função

L

de

H

para

N

existe pelo menos um

i ∈ N

tal que

L

−1

_({i})

ontém um onjunto-

i

ven edor que liga

H

−

i

e

H

+

i

.

Demonstração: Consideremos o aminho

P = (σ

0 , σ

1 , . . . , σ

m

)

. O vérti e

P

i

k=0

e

k

, om

i =

0, . . . , n − 1

, tem rótulo

i + 1

eperten e a

H

b

−

i+1

. Pelo Lema 2.2.4 on luímosque

σ

m

temuma fa eta ompletamente rotulada ontidaem

H

b

+

i

,logo,temumvérti e omrótulo

i

queperten ea

b

H

i

+

,para algum

i = 1, . . . , n

.

Então podemos on luir que existe um aminho que liga duas fa es opostas, ou seja, podemos

on luirqueexisteumven edor. Esseven edor a determinadoatravésdosvérti es ujo rótulo

éigualaoíndi e dafa eatingida pelo aminho

P

. Estesvérti esperten em ao aminhoqueliga fa esopostas

H

b

−

i

e

H

b

+

i

,paraalgum

i = 1, . . . , n

, andoassimprovadooTeoremadoHex.

2.3 Conjunto-

i

ven edor

Partindodademonstração apresentadana se çãoanteriorépossível onstruir um algoritmoque

permiteen ontrarum onjunto-

i

ven edor.

Deseguidaapresenta-seoreferidoalgoritmo,passoporpasso,partindodosimplex

σ

0

. 1. Veri a-seorótulodovérti e

e

.

Seja

L(e) = i + 1

, para algum

i = 0, . . . , n − 1

. Então al ula-seo vizinho-

i

de

σ

0

,

σ

e

i

0

, e designa-seonovosimplexpor

σ

1

.

2. Veri a-seorótulode

z

e

i

.

Nosimplex

σ

1

háexa tamenteumoutrovérti e omomesmorótulode

z

e

i

,poisafa eta-

i

de

σ

0

é ompletamenterotulada. Substitui-se aquelevérti epeloseu ompanheiroedesigna-se onovosimplexpor

σ

2

. Analisandoosdoisvérti esde

σ

2

quetêmomesmorótulo, o pro e-dimentorepete-seaté en ontrarumsimplex quetenhaumafa eta ompletamente rotulada

ontidaem

H

b

+

i

,paraalgum

i = 1, . . . , n

.

O onjunto-

i

ven edor éformado portodos osvérti es om rótulo

i

em adaum dos simplexes, onde

i

orrespondeaoíndi e dafa e atingidanonal doalgoritmo.

(34)

dimensão 3etamanho 3dagura2.3,preen hidode forma aleatóriaeosimplex

σ

0 = (0, e

1 _{, e}

1 ₊

e

2 _{, e}

1 _{+ e}

2 _{+ e}

3 ₎

.

x

y

z

b

L(

) = 1

L(

) = 2

L(

) = 3

Figura2.3:Tabuleiropreen hidodeformaaleatóriaem

H

3

.Osrestantesvérti esde

H

b

respeitamaregra

L

b

.

1 o

Passo: Começamos por veri arorótulo dovérti e

(1, 1, 1)

. Como

L(1, 1, 1) = 1

,então vamos al ular ovizinho-

0

de

σ

0

edesignamos onovo simplexpor

σ

1

.

Portanto,

σ

1 = ((1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1); (2, 1, 1))

. 2

o

Passo: Veri amos o rótulo de

z

e

0

. Como

L(

e

z

0 _{) = 1}

e o outro vérti e de

σ

1

om rótulo

1

é o vérti e

(1, 1, 1)

, então substituímos este vérti e pelo seu ompanheiro, ou seja, al ulamos o vizinho-