L´
ogica para Ciˆ
encia da Computa¸c˜
ao I
L´
ogica Matem´
atica
Texto 9
Argumentos, Corre¸
c˜
ao e Validade
Sum´
ario
1 Raz˜oes e opini˜oes 2
2 Argumentos 3 2.1 Observa¸c˜oes . . . 4 2.2 Exerc´ıcio resolvido . . . 5 3 Argumentos corretos 6 3.1 Observa¸c˜oes . . . 10 3.2 Exerc´ıcio resolvido . . . 10 4 Argumentos v´alidos 11 4.1 Observa¸c˜oes . . . 15 4.2 Exerc´ıcio resolvido . . . 16 5 Uso de argumentos corretos e de argumentos v´alidos 18
Continuamos com a aplica¸c˜ao de simboliza¸c˜ao e tabelas na resolu¸c˜ao de proble-mas l´ogicos associados `a pr´atica matem´atica. Para isto, precisamos especificar al-guns conceitos relativos `a an´alise l´ogica do racioc´ınio empregado em Matem´atica.
Neste texto, abordamos os conceitos de argumento, argumento correto, argu-mento v´alido e argumento inv´alido. Depois de estud´a-lo, vamos ser capazes de:
– entender intuitivamente o que ´e um argumento; – diferenciar argumentos de senten¸cas;
– entender intuitivamente o que ´e um argumento correto; – entender intuitivamente o que ´e um argumento v´alido.
1
Raz˜
oes e opini˜
oes
A maior parte das nossas atividades e decis˜oes envolvem opini˜oes as quais con-sideramos corretas.
Exemplo 1 Alguns professores dizem que aprender L´ogica ´e uma das condi¸c˜oes necess´arias para uma boa forma¸c˜ao do estudante de Matem´atica; j´a outros dizem que para ser um bom matem´atico n˜ao ´e necess´ario aprender L´ogica.
De uma maneira geral, opini˜oes est˜ao sujeitas `a cr´ıtica racional, isto ´e, opini˜oes podem ser examinadas `a luz das raz˜oes que as justificam.
Exemplo 2 (a) Questionados sobre o porque de sustentarem esta opini˜ao, os par-tid´arios da l´ogica, usualmente, respondem o seguinte:
A principal atividade executada pelos matem´aticos ´e a prova de teoremas. A L´ogica estuda os m´etodos utilizados na prova de teoremas. Compreender bem os m´etodos que utilizamos quando executamos nossas tarefas profis-sionais ´e dever de todo bom profissional.
(b) J´a os que n˜ao consideram a L´ogica necess´aria, dizem o seguinte:
A L´ogica estuda os m´etodos utilizados pelos matem´aticos. Para ser um bom profissional, n˜ao ´e necess´ario que saibamos como os m´etodos que utilizamos funcionam. Mas, sim, que saibamos utiliz´a-los bem.
Quando justificamos uma opini˜ao, pode acontecer que as raz˜oes sejam bem uti-lizadas ou n˜ao. Isto ´e, algumas raz˜oes de fato justificam uma opini˜ao e outras n˜ao.
Muitas vezes, as raz˜oes e as opini˜oes s˜ao expressas por enunciados. De posse destes enunciados, temos o argumento que ´e produzido na tentativa de mostrar que as raz˜oes justificam as opini˜oes. Um dos principais objetivos da L´ogica ´
e estudar as rela¸c˜oes entre os enunciados que comp˜oem o argumento, para avaliar de maneira sistem´atica se uma opini˜ao est´a bem justificativa ou n˜ao.
Exemplo 3 No Exemplo 2(a), temos um argumento que pode ser assim especifi-cado:
A principal atividade executada pelo matem´atico ´e a prova de teoremas. A L´ogica estuda os m´etodos utilizados na prova de teoremas.
Compreender bem os m´etodos que utilizamos quando executamos nossas tarefas profissionais ´e dever de todo bom profissional.
No Exemplo 2(b), temos um outro argumento que tenta justificar a nega¸c˜ao do enunciado que o argumento do Exemplo 2(a) tenta justificar:
A L´ogica estuda os m´etodos utilizados pelos matem´aticos.
Para ser um bom profissional n˜ao ´e necess´ario que saibamos como os m´etodos que utilizamos funcionam.
Para ser um bom profissional ´e suficiente que saibamos utilizar bem os m´etodos, quando executamos nossa atividade.
Assim, nem todo matem´atico deve aprender L´ogica.
2
Argumentos
Num sentido amplo, a L´ogica pode ser vista como o estudo das rela¸c˜oes entre opini˜oes e raz˜oes. Assim, um dos pontos centrais da L´ogica ´e o estudo de enunciados e argumentos. Enunciados foram abordados nos textos anteriores. Vamos, agora, abordar o conceito de argumento.
Um argumento ´e uma sequˆencia finita de enunciados, em que um ´e considerado como conclus˜ao e os demais s˜ao considerados como premissas. As premissas do argumento s˜ao consideradas como justificativas para a sua conclus˜ao.
Exemplo 4 S˜ao exemplos de argumentos: (a) S´ocrates ´e homem.
Todos os homens s˜ao mortais. Logo, S´ocrates ´e mortal. (b) S´ocrates ´e mortal.
Todos os homens s˜ao mortais. Da´ı, S´ocrates ´e homem. (c) Vov´o se chama Ana.
Vovˆo se chama L´ucio.
Consequentemente, eu me chamo Ana Lucia. (d) H´a exatamente 136 caixas de laranja no dep´osito.
Cada caixa cont´em pelo menos 140 laranjas. Nenhuma caixa cont´em mais do que 166 laranjas. Deste modo, no dep´osito est˜ao pelo menos 6 caixas contendo o mesmo n´umero de laranjas.
(e) Nunca se provou que existe uma quantidade finita de
pares de n´umeros da forma p, p + 2, onde p e p + 2 s˜ao primos. Assim, existe uma quantidade infinita de tais pares.
2.1
Observa¸
c˜
oes
Observa¸c˜ao 1 Um argumento ´e uma sequˆencia de enunciados, mas nem toda sequˆencia de enunciados ´e um argumento.
De fato, de acordo com a defini¸c˜ao, para ser um argumento, uma sequˆencia de enunciados deve:
1. ser finita;
2. ter ao menos dois enunciados;
3. ter exatamente um dos enunciados destacado como conclus˜ao. Por exemplo, a sequˆencia
Professores que fazem pesquisa gostam de ensinar. Renata ´e uma professora que gosta de ensinar. Existem professores que n˜ao fazem pesquisa.
n˜ao ´e um argumento. Observe que n˜ao est´a indicado na sequˆencia qual dos enuncia-dos ´e a conclus˜ao.
A sequˆencia (com um ´unico elemento)
Se a fun¸c˜ao seno ´e deriv´avel e se toda fun¸c˜ao deriv´avel ´
e cont´ınua, ent˜ao a fun¸c˜ao seno ´e cont´ınua.
tamb´em n˜ao ´e um argumento. Observe que, apesar das aparˆencias, temos apenas um ´unico enunciado (na verdade, uma implica¸c˜ao) e n˜ao um argumento com pre-missas e conclus˜ao. Uma rela¸c˜ao importante entre argumentos e implica¸c˜oes ser´a discutida mais adiante.
Por fim, a sequˆencia
1 ´e um n´umero natural e ´e positivo. 2 ´e um n´umero natural e ´e positivo. 3 ´e um n´umero natural e ´e positivo. 4 ´e um n´umero natural e ´e positivo. . . .
Logo, todo n´umero natural ´e positivo.
n˜ao ´e um argumento. Embora ela possua premissas e conclus˜ao destacadas, ela n˜ao ´
e finita, como as reticˆencias indicam.
Observa¸c˜ao 2 Para destacar a conclus˜ao de um argumento, usualmente, utilizamos uma frase conclusiva.
Por exemplo, nos argumentos do Exemplo 4, os enunciados que sucedem frases conclusivas como
logo , da´ı , consequentemente , deste modo , assim s˜ao as conclus˜oes. Os demais s˜ao premissas.
Observa¸c˜ao 3 Nem sempre a conclus˜ao ocorre no final do argumento e, nem sem-pre, ela ocorre em conjunto com um frase conclusiva.
Por exemplo, a sequˆencia
Todos os professores que fazem pesquisa gostam de ensinar. Renata ´e uma professora que n˜ao gosta de ensinar.
Renata n˜ao faz pesquisa.
n˜ao cont´em uma indica¸c˜ao expl´ıcita de qual dos enunciados ´e a conclus˜ao. Por´em, podemos considerar que ela ´e um argumento, pois uma leitura cuidadosa mostra que o ´ultimo enunciado ´e a conclus˜ao e os dois primeiros s˜ao as premissas.
A sequˆencia
A Terra ´e redonda.
Sabemos disso porque durante um eclipse lunar a Terra projeta uma sombra na Lua.
E a sombra ´e redonda.
tamb´em ´e um exemplo perfeitamente leg´ıtimo de argumento. Neste caso, a conclus˜ao ocorre no in´ıcio do argumento. Ela est´a especificada pela ocorrˆencia da frase
sabemos disso porque
que a separa das outras informa¸c˜oes que devem ser consideradas como premissas. Uma maneira mais adequada de escrever este argumento seria:
Durante um eclipse lunar, a Terra projeta uma sombra na Lua. A sombra ´e redonda.
Logo, a Terra ´e redonda.
2.2
Exerc´ıcio resolvido
Exerc´ıcio 1 Determine quais das sequˆencias de express˜oes abaixo s˜ao argumentos. Em caso afirmativo, reescreva o argumento de maneira mais adequada, colocando a conclus˜ao no final, ap´os uma frase conclusiva.
(i) Se S´ocrates ´e homem e todos os homens s˜ao mortais, ent˜ao S´ocrates ´e mortal.
(ii) Jo˜ao ´e um intelectual.
Concluo isso, pois Jo˜ao ´e formado em Filosofia.
Al´em disso, Jo˜ao tem um doutorado em Ciˆencia Pol´ıtica. (iii) Eu me chamo Luciana.
Ganhei esse nome pois Vov´o se chama L´ucio. E Vovˆo se chama Ana.
(iv) Nunca se obteve uma prova concreta de que h´a vida extraterrena. Logo, n˜ao ´e poss´ıvel haver vida em outros planetas.
(v) 2 ´e primo e 3 ´e um primo maior do que 2. 3 ´e primo e 5 ´e um primo maior do que 3. 5 ´e primo e 7 ´e um primo maior do que 5. 7 ´e primo e 11 ´e um primo maior do que 7. . . .
Deste modo, podemos concluir que para todo primo existe um primo maior.
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con-ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 1: (i) N˜ao ´e argumento. Apesar das aparˆencias, ele ´
e uma lista com um ´unico enunciado. O enunciado ´e uma implica¸c˜ao cujo ante-cedente ´e uma conjun¸c˜ao. Assim, ele pode ser visto como uma implica¸c˜ao associ-ada ao argumento:
S´ocrates ´e homem.
Todos os homens s˜ao mortais. Logo, S´ocrates ´e mortal.
Em resumo, temos que certos enunciados podem ser associados a argumentos, mas eles, por si s´o, n˜ao s˜ao argu-mentos. (ii) ´E argumento. Premissas: Jo˜ao ´e formado em filosofia, Jo˜ao tem um doutorado em Ciˆencia Pol´ıtica; conclus˜ao: Jo˜ao ´e um intelectual. Pode ser reescrito como:
Jo˜ao ´e formado em filosofia.
Jo˜ao tem um doutorado em Ciˆencia Pol´ıtica. Logo, Jo˜ao ´e um intelectual.
(iii) ´E argumento. Premissas: vov´o se chama L´ucio, vovˆo se chama Ana; conclus˜ao: eu me chamo Luciana. As premissas deste argumento n˜ao parecem estar de acordo com as normas usuais da L´ıngua Portuguesa. Pode ser reescrito como:
Vov´o se chama L´ucio. Vovˆo se chama Ana.
Assim, eu me chamo Luciana. (iv) ´
E argumento. Premissa: nunca se obteve uma prova concreta de que h´a vida extra-terrena; conclus˜ao n˜ao ´e poss´ıvel haver vida em outros planetas. Pode ser reescrito como: Nunca se obteve uma prova concreta de que h´a vida extraterrena.
Consequentemente, n˜ao ´e poss´ıvel haver vida em outros planetas. (v) N˜ao ´e um argumento. ´E uma sequˆencia infinita de enunciados.
3
Argumentos corretos
Em geral, utilizamos um argumento quando queremos comprovar (demonstrar, estabelecer, justificar, garantir, provar) a verdade de um determinado enunciado. Assim, nos apoiamos sobre determinadas bases (as premissas), de modo que o que queremos provar (a conclus˜ao) tenha a sua verdade assentada sobre a verdade das premissas. Desta maneira:
do ponto de vista do senso comum, o padr˜ao usual de argumento leg´ıtimo ´
e aquele que possui premissas verdadeiras e estas garantem uma conclus˜ao verdadeira.
Exemplo 5 Do ponto de vista do senso comum, o argumento: Paulo Coelho ´e escritor.
Todos escritores s˜ao alfabetizados. Logo, Paulo Coelho ´e alfabetizado. ´
e um argumento leg´ıtimo. Por outro lado:
do ponto de vista do senso comum, o padr˜ao usual de argumento ileg´ıtimo ´
e aquele que ou possui todas as premissas verdadeiras, mas elas n˜ao garantem a conclus˜ao, ou possui ao menos uma premissa falsa.
Exemplo 6 Do ponto de vista do senso comum, os argumentos: Garrincha era jogador de futebol.
Alguns jogadores de futebol ficaram ricos. Logo, Garrincha ficou rico.
e
Garrincha ´e escritor.
Todos os escritores s˜ao alfabetizados. Logo, Garrincha ´e alfabetizado. n˜ao s˜ao argumentos leg´ıtimos.
A no¸c˜ao de argumento leg´ıtimo do ponto de vista do senso comum d´a origem em L´ogica ao que chamamos de argumento correto:
Um argumento ´e correto se:
1. todas as suas premissas s˜ao verdadeiras (no contexto em que ele ´e pro-ferido),
e
2. as premissas garantem a conclus˜ao. Caso contr´ario, ´e incorreto.
Exemplo 7 (a) Examinando o argumento do Exemplo 5, conclu´ımos que ele ´e correto. De fato, no contexto usual em que ele ´e proferido, as premissas
Paulo Coelho ´e escritor e
todos escritores s˜ao alfabetizados s˜ao ambas V .
Al´em disso, se (estamos em um contexto no qual) admitimos que Paulo Coelho ´
e escritor e que todos os escritores s˜ao alfabetizados, temos que concluir que Paulo Coelho ´e alfabetizado.
(b) Um outro exemplo de argumento correto ´e o seguinte: Todos os gatos s˜ao felinos. Nenhum felino pode voar. Logo, nenhum gato pode voar.
De fato, examinando este argumento, no contexto usual em que ele ´e proferido, conclu´ımos que, as premissas
todos os gatos s˜ao felinos e
nenhum felino pode voar. s˜ao ambas V .
Al´em disso, se (estamos em um contexto no qual) admitimos que todos os gatos s˜ao felinos e nenhum felino pode voar, temos que concluir que nenhum gato pode voar.
Decorre da defini¸c˜ao que:
Um argumento ´e incorreto se
1. ao menos uma de suas premissas ´e falsa (no contexto em que ele ´e pro-ferido)
ou
2. as premissas n˜ao garantem a conclus˜ao. Esta ´e, simplesmente, a nega¸c˜ao de ser correto.
Exemplo 8 Examinando os argumentos do Exemplo 6, conclu´ımos que eles s˜ao incorretos.
De fato, embora no contexto usual em que o primeiro argumento ´e proferido ambas as suas premissas sejam V , como todos sabem, elas n˜ao garantem a conclus˜ao. J´a no caso do segundo argumento, no contexto usual em que ele ´e proferido, como todos sabem, a premissa:
Garrincha ´e escritor ´
e F .
Agora que temos um entendimento das no¸c˜oes de argumento correto e argumento incorreto, dado um argumento qualquer, podemos nos perguntar em qual das duas categorias ele se classifica.
Exemplo 9 (a) Consideremos o argumento: Todos os pinguins s˜ao aves. Todas as aves podem voar.
Logo, todos os pinguins podem voar. Este argumento ´e correto ou n˜ao?
Examinando o argumento, no contexto usual em que ele ´e proferido, vemos que a premissa:
todas as aves podem voar ´
e F . De fato, avestruzes, por exemplo — assim como os pr´oprios pinguins — s˜ao aves mas n˜ao podem voar.
Como o argumento possui uma premissa F , conclu´ımos imediatamente que ele ´e incorreto.
(b) Consideremos, agora, o argumento:
Existem seres vivos em outros planetas. Todos os seres vivos s˜ao formados por c´elulas. Logo, todos os seres vivos em outros planetas s˜ao formados por c´elulas.
Este argumento ´e correto ou n˜ao?
Se tentamos examinar o argumento nos mesmos moldes do que foi feito acima, invariavelmente, chegaremos a um impasse: a premissa
existem seres vivos em outros planetas ´
e V ou F ?
O melhor que temos a dizer sobre esta quest˜ao ´e que, at´e o momento em que este texto foi escrito, n˜ao havia uma resposta definitiva para ela. De modo que n˜ao havia uma maneira imediata de classificar este argumento como correto ou incorreto.
3.1
Observa¸
c˜
oes
Observa¸c˜ao 4 A nossa investiga¸c˜ao sobre a corre¸c˜ao de argumentos nos leva `as seguintes conclus˜oes:
– Se sabemos que uma das premissas de um argumento ´e F , no contexto usual em que ele ´e proferido, podemos classific´a-lo imediatamente como incorreto. – A classifica¸c˜ao de argumentos como incorretos, apenas pela detec¸c˜ao de
pre-missas falsas, nem sempre pode ser feita de maneira imediata, pois h´a enunci-ados que s˜ao muito dif´ıceis de classificar como V ou F , em um dado contexto. Observa¸c˜ao 5 (Apenas para mostrar que esta discuss˜ao n˜ao ´e fora de prop´osito.) Em Matem´atica, o uso de argumentos que possuem premissas que ainda n˜ao foram classificadas como verdadeiras ou falsas ´e muito comum.
Um exemplo contemporˆaneo importante desta situa¸c˜ao envolve o famoso enun-ciado
P = NP que, em linhas gerais, afirma o seguinte:
Se um problema matem´atico tem solu¸c˜oes propostas que podem ser verifi-cadas como corretas em uma quantidade relativamente pequena de tempo, ent˜ao suas solu¸c˜oes corretas tamb´em podem ser encontradas em uma quan-tidade relativamente pequena de tempo.
Embora v´arias demontra¸c˜oes (provas de que ele ´e V ) e v´arias refuta¸c˜oes (provas de que ele ´e F ) deste enunciado j´a tenham sido anunciadas, todas continham erros. Deste modo, ele ainda est´a em aberto (n˜ao sabemos ainda se ele ´e V ou F ).
Mas, enquanto P = NP n˜ao ´e demonstrado nem refutado de maneira definitiva, muitos matem´aticos justificam outros enunciados assumindo que ele ´e falso, ou seja que a sua nega¸c˜ao ´e verdadeira, pois esta ´e a hip´otese mais prov´avel. Assim, ´e comum encontrarmos textos matem´aticos contendo frases do tipo
Assumindo que P 6= NP, n´os provamos que . . .
3.2
Exerc´ıcio resolvido
Exerc´ıcio 2 Determine se os argumentos abaixo s˜ao corretos ou incorretos. Neste exerc´ıcio, vamos tentar reconhecer a corre¸c˜ao e a incorre¸c˜ao intuitivamente.
(i) 2 ´e par e 3 ´e ´ımpar. Assim, 2 ´e par. (ii) 3 ´e par e 2 ´e ´ımpar.
Consequentemente, 2 ´e ´ımpar.
(iii) Todo n´umero natural n˜ao nulo ´e positivo. 1 ´e um n´umero natural.
1 ´e n˜ao nulo. Da´ı, 1 ´e positivo.
1 ´e um n´umero natural. Logo, 1 ´e positivo.
(v) Alguns alunos do BSI j´a estudaram L´ogica antes de ingressar na UFF.
J´ulia ´e aluna do BSI.
Logo, J´ulia estudou L´ogica antes de ingressar na UFF.
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con-ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 2: (i) Correto. A premissa ´e verdadeira. E a premissa garantem a conclus˜ao. (ii) Incorreto. A premissa ´e falsa. (iii) Correto. As premissas s˜ao verdadeiras. E as premissas garantem a conclus˜ao. (iv) Incorreto. A primeira premissa ´e falsa, pois 0 n˜ao ´e positivo. (v) Incorreto. Este ´e um caso em que ´e dif´ıcil decidir se a segunda premissa ´e V ou F . Por outro lado, as premissas n˜ao garantem a conclus˜ao. De fato, mesmo que as premissas sejam V , n˜ao est´a garantido que todos os alunos do BSI j´a estudaram L´ogica antes de ingressar na UFF. Podem haver excess˜oes. E J´ulia pode ser exatamente uma destas excess˜oes.
4
Argumentos v´
alidos
Verificar a veracidade das premissas de um argumento para classific´a-lo com correto ou incorreto ´e apenas uma parte do trabalho de classifica¸c˜ao. A outra parte ´
e verificar se as premissas, realmente, garantem a conclus˜ao.
Exemplo 10 (a) Examinando o argumento do Exemplo 4(a), ou seja: S´ocrates ´e homem.
Todos os homens s˜ao mortais. Logo, S´ocrates ´e mortal.
conclu´ımos que suas premissas garantem a sua conclus˜ao.
De fato, em qualquer contexto, se admitimos que S´ocrates ´e homem e que todo homem ´e mortal, n˜ao h´a outra possibilidade, temos que concluir que S´ocrates ´e mor-tal. Assim, as premissas garantem a conclus˜ao.
(b) Agora, examinando o argumento do Exemplo 4(b), ou seja: S´ocrates ´e mortal.
Todos os homens s˜ao mortais. Da´ı, S´ocrates ´e homem.
conclu´ımos, talvez com um pouco de surpresa, que suas premissas n˜ao garantem a sua conclus˜ao.
De fato, se examinamos este argumento no contexto usual em que ele ´e proferido, ou seja, se referindo ao fil´osofo S´ocrates (470 ou 469 a.C.—399 a.C.), ele parece perfeitamente leg´ıtimo, pois tanto suas premissas quanto a sua conclus˜ao s˜ao V . Mas, por outro lado, nada impede que a pessoa que est´a proferindo o argumento esteja em um outro contexto e, ao inv´es de estar falando do fil´osofo S´ocrates, esteja, por exemplo, falando de um cachorro chamado S´ocrates. Neste contexto (talvez um pouco inesperado, mas poss´ıvel), teremos que as premissas do argumento s˜ao V , mas sua conclus˜ao ´e F . Assim, as premissas n˜ao garantem a conclus˜ao.
(c) Observe que uma situa¸c˜ao an´aloga `a do Exemplo 10(b) acontece no caso do argumento:
Algumas pessoas s˜ao bonitas. Algumas pessoas s˜ao ricas.
Logo, algumas pessoas s˜ao bonitas e ricas.
De fato, n˜ao ´e dif´ıcil imaginarmos um contexto no qual tanto as suas premissas quanto a sua conclus˜ao sejam V : a festa de casamento de um astro do futebol com uma modelo, por exemplo. Mas, por outro lado, nada impede que a pessoa que est´a proferindo o argumento esteja em um outro contexto, onde a totalidade das pessoas presentes esteja dividida em duas classes, a das pessoas bonitas e a das pessoas ricas, que n˜ao tˆem nenhum elemento em comum. Neste contexto (talvez um pouco raro, mas poss´ıvel), teremos que as premissas do argumento s˜ao V , mas sua conclus˜ao ´e F . Assim, as premissas n˜ao garantem a conclus˜ao.
(d) Observe, talvez tamb´em com um pouco de surpresa, que uma situa¸c˜ao an´aloga a do Exemplo 10(a) acontece no caso do argumento:
Paulo Coelho ´e mulher. Todas as mulheres s˜ao louras. Logo, Paulo Coelho ´e loura.
Na verdade, apenas com um exame r´apido, conclu´ımos que este argumento n˜ao ´
e correto (no contexto usual em que ele ´e proferido). De fato, a primeira premissa ´
e F e isto basta para classificarmos o argumento como incorreto.
Mais ainda, na verdade, este argumento n˜ao parece ser digno de uma an´alise l´ogica mais profunda, pois tanto suas premissas quanto a sua conclus˜ao s˜ao F , e isto parece tornar o argumento completamente disparatado e desprovido de interesse.
Mas, vamos esquecer o contexto usual em que o argumento ´e proferido, e fazer um pequeno exerc´ıcio:
Se estamos em um contexto no qual admitimos que todas as mulheres s˜ao louras (o que ´e F no contexto usual) e admitimos que Paulo Coelho ´e mulher (o que tamb´em ´e F no contexto usual), o que somos for¸cados a concluir sobre a veracidade da conclus˜ao Paulo Coelho ´e loura?
Em outras palavras, se esquecemos o contexto no qual o argumento ´e proferido e passamos para um contexto qualquer no qual as premissas s˜ao simultaneamente V , o que somos for¸cados a concluir sobre a veracidade da conclus˜ao? Obviamente, sob estas condi¸c˜oes, temos que concluir que Paulo Coelho ´e loura (o que tamb´em ´e F no contexto usual).
Assim, as premissas garantem a conclus˜ao.
Sugerimos que vocˆe estude o Exemplo 10 v´arias vezes, pois as ideias ali expostas s˜ao muito sutis e n˜ao s˜ao f´aceis de assimilar em uma ´unica leitura.
Em decorrˆencia do que foi dito, temos a seguinte defini¸c˜ao, que tenta capturar a no¸c˜ao de argumento cujas premissas garantem a conclus˜ao, independentemente do contexto em que elas s˜ao proferidas:
(1) Um argumento ´e v´alido se em qualquer contexto em que suas premissas s˜ao simultaneamente verdadeiras, a sua conclus˜ao tamb´em ´e verdadeira. (2) Um argumento ´e inv´alido se n˜ao ´e v´alido, isto ´e, se existe ao menos um contexto no qual as suas premissas s˜ao simultaneamente verdadeiras e a sua conclus˜ao ´e falsa.
Esta ´e, simplesmente, a nega¸c˜ao de ser v´alido.
Observe que a defini¸c˜ao de validade ´e, simplesmente, uma especifica¸c˜ao do se-gundo item da no¸c˜ao de corre¸c˜ao.
Exemplo 11 Voltando aos argumentos da Se¸c˜ao 3, temos a classifica¸c˜ao a seguir: (a) J´a vimos no Exemplo 7 que o argumento:
Paulo Coelho ´e escritor.
Todos escritores s˜ao alfabetizados. Logo, Paulo Coelho ´e alfabetizado.
do Exemplo 5 ´e correto. Logo, ele satisfaz o segundo item da no¸c˜ao de corre¸c˜ao e, portanto, ´e v´alido.
(b) J´a mencionamos no Exemplo 8 que o argumento Garrincha era jogador de futebol.
Alguns jogadores de futebol ficaram ricos. Logo, Garrincha ficou rico.
n˜ao ´e v´alido:
Isto pode ser visto mais claramente se examinamos o argumento `a luz da defini¸c˜ao de (in)validade. L´a est´a dito que um argumento ´e inv´alido se existe ao menos um contexto no qual as premissas s˜ao simultaneamente verdadeiras e a conclus˜ao ´e falsa. Ora, como todos sabem, j´a no contexto usual em que ele ´e proferido, as premissas deste argumento s˜ao V e a sua conclus˜ao ´e F . Esta situa¸c˜ao confirma que o argumento ´e inv´alido.
(c) Analogamente ao que acontece com os argumentos dos Exemplos 5, 10(a) e 10(d), o argumento:
Garrincha ´e escritor.
Todos os escritores s˜ao alfabetizados. Logo, Garrincha ´e alfabetizado. do Exemplo 6, ´e v´alido.
(d) J´a vimos no Exemplo 7(b) que o argumento: Todos os gatos s˜ao felinos. Nenhum felino pode voar. Logo, nenhum gato pode voar. ´
e correto. Logo, ele satisfaz o segundo item da no¸c˜ao de corre¸c˜ao e, portanto, ´e v´alido.
(e) J´a vimos que o argumento
Todos os pinguins s˜ao aves. Todas as aves podem voar.
Logo, todos os pinguins podem voar.
do Exemplo 9(a) n˜ao ´e correto. Mas um racioc´ınio an´alogo ao dos Exemplos 5, 10(a) e 10(d) mostra que, apesar disso, ele ´e v´alido.
(f) Ao examinar o argumento
Existem seres vivos em outros planetas. Todos os seres vivos s˜ao formados por c´elulas. Logo, todos os seres vivos em outros planetas s˜ao formados por c´elulas.
do Exemplo 9(b), n˜ao conseguimos decidir se ele ´e correto ou n˜ao. Vamos, agora examinar este argumento sob a luz da defini¸c˜ao de validade.
Para isto, devemos esquecer o contexto usual no qual o argumento ´e proferido e imaginar que estamos em um outro contexto no qual assumimos que ambas as premissas s˜ao V . Ora,
Se estamos em um contexto no qual admitimos que existem seres vivos em outros planetas (o que n˜ao sabemos se ´e V ou F no contexto usual) e admitimos que todos os seres vivos s˜ao formados por c´elulas (o que ´e V no contexto usual), o que somos for¸cados a concluir sobre a veracidade do enunciado todos os seres vivos em outros planetas s˜ao formados por c´elulas?
Em outras palavras, se esquecemos o contexto no qual o argumento ´e proferido e passamos para um contexto qualquer no qual as premissas s˜ao simultaneamente V , o que somos for¸cados a concluir sobre a veracidade da conclus˜ao? Obviamente, sob estas condi¸c˜oes, temos que concluir que todos os seres vivos em outros planetas s˜ao formados por c´elulas (o que tamb´em n˜ao sabemos se ´e V ou F no contexto usual).
Assim, as premissas garantem a conclus˜ao e o argumento, embora n˜ao seja cor-reto, ´e v´alido.
4.1
Observa¸
c˜
oes
Observa¸c˜ao 6 De acordo com a defini¸c˜ao de validade, a determina¸c˜ao da validade ou invalidade de um argumento poderia se fundamentar nos seguintes prin´ıpios:
– Se n˜ao somos capazes de exibir um contexto no qual as premissas do argu-mento s˜ao verdadeiras e a conclus˜ao ´e falsa, podemos concluir que o argumento ´e v´alido.
– Se somos capazes de exibir um contexto no qual as premissas do argumento s˜ao verdadeiras e a conclus˜ao ´e falsa, podemos concluir que o argumento ´e inv´alido.
Mas, observe que embora a defini¸c˜ao possibilite que classifiquemos um argumento como v´alido ou inv´alido, de acordo com os princ´ıpios acima, ela n˜ao fornece um m´etodo para provar ou refutar a validade. De fato, segundo o primeiro princ´ıpio, sabemos que um argumento ´e v´alido quando n˜ao somos capazes de exibir certos contextos. Por outro lado, o segundo princ´ıpio nos diz que um argumento ´e inv´alido quando somos capazes de exibir um certo contexto. Mas, em ambos os casos, n˜ao explicamos formalmente o que ´e um contexto e nem como podemos exibir um con-texto.
Na verdade, podemos dizer que uma das principais tarefas da L´ogica ´e, exa-tamente, esclarecer de maneira geral o significado das no¸c˜oes extremamente sutis envolvidas na determina¸c˜ao da validade de argumentos.
Observa¸c˜ao 7 Como vimos acima, existem exemplos de argumentos v´alidos que possuem:
1. premissas e conclus˜ao todas V (cf. Exemplo 11(a));
2. uma ou mais premissas F e conclus˜ao V (cf. Exemplo 11(c)); 3. premissas e conclus˜ao todas F (cf. Exemplo 11(d)).
Tamb´em vimos que, para justificar que um argumento ´e v´alido devemos esque-cer o seu contexto usual e passar para um contexto qualquer onde as suas premissas s˜ao simultaneamente V .
Por estas raz˜oes, ´e usual dizermos, em L´ogica, que a validade de um argu-mento n˜ao depende nem da veracidade das suas premissas e conclus˜ao, nem do seu conte´udo.
Por exemplo, o argumento
Todos os peixes s˜ao b´ıpedes. Rintintim ´e um peixe.
Logo, Rintintin ´e b´ıpede. ´
e v´alido.
De fato, se supomos que todos os peixes s˜ao b´ıpedes (o que ´e falso) e que Rin-tintim ´e um peixe (o que tamb´em ´e falso, pois Rintintim ´e um cachorro), somos obrigados a concluir que Rintintim ´e b´ıpede (o que, novamente, ´e falso).
De maneira an´aloga, o argumento
Todos os filot´ımicos s˜ao procrastinadores. Napole˜ao ´e filot´ımico.
Logo, Napole˜ao ´e procrastinador.
tamb´em ´e v´alido e podemos decidir isto por um racioc´ınio an´alogo ao usado acima, sem nem sequer saber o que ‘filot´ımico’ e ‘procrastinador’ significam e nem de que Napole˜ao estamos falando.
Observa¸c˜ao 8 Como vimos acima, n˜ao existem exemplos de argumentos v´alidos com premissas simultaneamente V e conclus˜ao F . Na verdade, neste caso podemos concluir imediatamente que o argumento ´e inv´alido, pois o pr´oprio contexto no qual o argumento ´e proferido ´e um contexto que atende `as exigˆencias da defini¸c˜ao de invalidade.
Por exemplo, o argumento
Todos seres humanos expressam sentimentos. Rintintin expressa sentimentos.
Logo, Rintintin ´e um ser humano. ´
e, obviamente, inv´alido.
4.2
Exerc´ıcio resolvido
Exerc´ıcio 3 Determine se os argumentos abaixo s˜ao v´alidos ou inv´alidos. Neste exerc´ıcio, vamos tentar reconhecer a validade e a invalidade intuitivamente. T´ecnicas formais espec´ıficas para este fim ser˜ao apresentadas mais adiante.
Se Djalma estuda Matem´atica, ent˜ao Djalma gosta de Matem´atica. Logo, Djalma gosta de Matem´atica.
(ii) O Islamismo ´e baseado na f´e. O Cristianismo ´e baseado na f´e.
Assim, o Islamismo e o Cristianismo s˜ao a mesma religi˜ao. (iii) Se h´a carros, ent˜ao h´a polui¸c˜ao.
H´a polui¸c˜ao.
Consequentemente, h´a carros.
(iv) Se eu ganhar sozinho na loteria, ent˜ao eu sou um milion´ario. Eu n˜ao sou um milon´ario.
Deste modo, eu n˜ao ganhei sozinho na loteria.
(v) Todos os que brigam com suas sogras aborrecem seus cˆonjuges. Estes aqui n˜ao brigam com suas sogras.
Assim, estes aqui n˜ao aborrecem seus cˆonjuges.
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con-ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 3: Neste ponto dos nossos estudos, a validade de argu-mentos ´e uma no¸c˜ao informal com a qual ainda estamos nos familiarizando. Assim, a resolu¸c˜ao deste exerc´ıcio ainda n˜ao ´e baseada em conceitos formais e, por isto, algumas das respostas abaixo podem parecer suspeitas. Mais tarde, vamos desen-volver e aplicar m´etodos formais para verificar e justificar a validade de argumentos. (i) V´alido. Seremos capazes de justificar esta afirma¸c˜ao formalmente ap´os estudar os conte´udos da Parte 2 do texto desta semana. (ii) Inv´alido, pois possui premissas V e conclus˜ao F . (iii) Inv´alido. Observe que, de acordo com o que sabemos sobre carros e polui¸c˜ao, em um contexto usual , este argumento possui tanto as premis-sas quanto a conclus˜ao V . Mas, somos capazes, com um pouco de imagina¸c˜ao, de exibir um contexto no qual as premissas s˜ao V e a conclus˜ao ´e F , por exemplo, o fundo do mar. De fato, no fundo do mar, temos se h´a carros, ent˜ao h´a polui¸c˜ao ´e F → V , ou seja V ; h´a polui¸c˜ao ´e V ; mas h´a carros ´e F . (iv) V´alido. Seremos capazes de justificar esta afirma¸c˜ao ap´os estudar os conte´udos da Parte 2, do texto desta semana. (v) Inv´alido. Com um pouco de imagina¸c˜ao, podemos exibir um contexto onde as premissas s˜ao V e a conclus˜ao ´e F , por exemplo, um contexto no qual as pessoas envolvidas n˜ao brigam com as sogras, mas esquecem os anivers´arios de seus cˆonjuges.
5
Uso de argumentos corretos e de argumentos
v´
alidos
As no¸c˜oes de argumento correto e de argumento v´alido abarcam situa¸c˜oes pr´ ati-cas relevantes onde os argumentos s˜ao usados. Para ver isto mais claramente, deve-mos observar que o uso de argumentos como suporte para a justificativa de enunci-ados pode se dar em, pelo menos, duas circunstˆancias importantes.
A primeira ´e quando as premissas sobre as quais nos baseamos s˜ao, de fato, verdadeiras — e as premissas realmente apoiam a conclus˜ao. Neste caso, podemos concluir que o enunciado que queremos estabelecer ´e verdadeiro.
Neste sentido, usar o argumento ´e o mesmo que estar certo!
Nos apoiamos sobre bases verdadeiras; as premissas realmente apoiam a con-clus˜ao; temos que o enunciado que queremos justificar ´e verdadeiro.
Esta ´e a maneira como usamos os argumentos corretos.
Exemplo 12 Considere um advogado que, ao defender um cliente, usa o argumento: Se a arma n˜ao est´a registrada no nome do meu cliente,
ent˜ao meu cliente n˜ao ´e culpado.
A arma est´a registrada no nome de um certo Sr. Clark. Mas o meu cliente se chama Sr. Clarque.
Logo, meu cliente ´e inocente. ´
E claro que o advogado sabe que todas as premissas s˜ao verdadeiras e, com isso, quer concluir que a conclus˜ao tamb´em ´e.
A segunda ´e quando n˜ao temos certeza de que as premissas sobre as quais nos baseamos s˜ao todas verdadeiras, mas temos raz˜oes para consider´a-las como suportes para a conclus˜ao — e as premissas realmente apoiam a conclus˜ao. Neste caso, nos apoiamos nas premissas de modo a fornecer uma base para a conclus˜ao, tornando a conclus˜ao “t˜ao verdadeira” quanto as premissas.
Neste sentido, usar o argumento n˜ao ´e o mesmo que estar certo! Mas isto n˜ao impossibilita um bom uso do argumento.
Nos apoiamos sobre bases que n˜ao sabemos serem verdadeiras, mas que temos raz˜oes para considerar como suportes para a conclus˜ao; as premissas realmente apoiam a conclus˜ao; temos que o enunciado que queremos estabelecer, mesmo que n˜ao seja verdadeiro, n˜ao ´e “menos verdadeiro” do que as premissas sobre as quais nos baseamos.
Esta ´e a maneira como usamos os argumentos v´alidos.
Exemplo 13 Considere uma pessoa que defende a existˆencia de Deus utilizando o argumento:
Deus ´e um ser perfeito.
Um ser perfeito tem todas as qualidades. A existˆencia ´e uma qualidade.
Logo, Deus existe.
Observe que se admitimos que Deus ´e perfeito, que seres perfeitos tˆem todas as qualidades e que a existˆencia ´e uma qualidade, temos que concluir que Deus existe. Portanto, o emprego deste argumento ´e perfeitamente coerente. Mas, aqui, a pessoa n˜ao est´a provando que Deus existe, ela est´a, no melhor dos casos, mostrando que Sua existˆencia n˜ao ´e “menos verdadeira” que Sua perfei¸c˜ao.
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2014 M´arcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF
