SEBENTA EXAME DE ACESSO 2017

EXAME DE ACESSO 2017

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS

SEBENTA

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS

Morada

Av. Luanda Sul, Rua Lateral Via S10

Talatona - Luanda - Angola

Telefone:+244 226 690 417

Email: [email protected]

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INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS - ISPTEC

Título: Exame de Acesso 2016 - Engenharias e Tecnologias

Língua Portuguesa - Autores: Rita Dala, Ana Vasconcelos e João Bento.

Língua Inglesa - Autores: José Augusto, Sansão Norton e Théophile Wadigesil.

Matemática - Autores: Cláudio Bernardo, Francisco Gil, Leopoldina Paz

Colaboradores - Walter Pedro, Luísa Vega, Paulo Kaminda, Joaquim Bumba,

Valdik Fonseca, Paulo Teka, Cláudia Matoso, Valdick Jaime, Manuel Cabenda,

António Delgado, Alexis Carrasco, Cândido João e Odayla Perez.

Física - Autor: Karl Krush.

Química - Autores: Kátia Gabriel, Domingos Santana, Júlio Kuende, Martha

Molina, Magata Nkuba, Mário Rey, Mónica Francisco e Letícia Torres.

Colaborador - Miguel Clemente.

Editores - Kátia Gabriel, Emanuel Tunga e Cláudio Bernardo.

Capas e Separadores - Assessoria de Comunicação e Imagem

PREFÁCIO

Esta sebenta foi elaborada por uma equipa de Professores do Instituto Superior Politécnico de Tecnologias e Ciências (ISPTEC) de diversas áreas de conhecimento, com o propósito de auxiliar os candidatos no estudo dos conteúdos específicos avaliados nos Exames de Acesso, realizados por esta instituição. Os conteúdos aqui descritos são as principais referências para candidatos que pretendem ingressar no ensino superior pois, abarcam os conhecimentos mínimos necessários para frequentar os Cursos de Engenharia desta instituição que é caracterizada pelos processos de ensino e aprendizagem com qualidade e rigor alicerçados na investigação, inovação e extensão universitária.

A sebenta contém conteúdos de quatro (4) disciplinas distribuídos da seguinte forma:

Língua Portuguesa: Tipo de texto; Categorias narrativas; Língua e comunicação; Ortografia;

Lexicologia; Verbos e tipos de conjugação.

Matemática: Conjuntos numéricos; Potenciação e radiciação; Equações algébricas;

Desigualdades algébricas; Exponenciais e logaritmos; Trigonometria; Geometria no plano; Noções básicas de derivadas.

Física: Mecânica; Fundamentos da termodinâmica; Eletricidade.

Química: Teoria atómica; Símbolos e fórmulas químicas; Soluções e unidades de concentração;

Cálculo estequiométrico; Cinética, química e equilíbrio químico; Teorias ácido-base; Trocas de energia em reações químicas; Hidrocarbonetos.

Cada disciplina referida aborda, de forma resumida, os conteúdos programáticos do Ensino Médio de Angola, na área de Ciências Exatas.

Para consolidar esses conteúdos, são apresentados exercícios resolvidos que permitem a orientação e suporte dos candidatos na resolução de outros exercícios propostos.

Nesta perspectiva, o ISPTEC lança esta sebenta como material com valor acrescentado para suportar os estudos realizados pelos candidatos na compreensão dos temas abordados no percurso do ensino médio.

CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.1 Principais Conjuntos Numéricos

Os conjuntos denotam-se por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C,… e os seus elementos por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ….Para indicar que a é um elemento do conjunto A, escrevemos: a A e se a não é um elemento do conjunto A, escrevemos: a A. Para descrever qualquer conjunto utilizamos dois recursos: 1º) Descrição pela citação dos elementos do conjunto, Exemplo: M =  a, b, c, d e 2º) Descrição pela propriedade que caracteriza os seus elementos,

Exemplo: M: é o conjunto das quatro primeiras letras do alfabeto.

Os principais conjuntos numéricos são: ; ; Q e R. As relações entre conjuntos são mais evidentes quando se mostram com Diagramas de Venn.

Exemplo:

 é o conjunto dos números naturais e representa-se por: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}  é o conjunto dos números inteiros e representa-se por: = {0,  1,  2,  3, 4, …}  Q é o conjunto dos números racionais e representa-se por:

Q =  tal que os seus elementos podem representar-se como uma fração decimal que possui finitos algarismos após a vírgula (Exemplo: ou como uma fração decimal de infinitos algarismos de dízima periódica, isto é, após a vírgula repete-se sempre algum dos algarismos (Exemplo: ).

Se os elementos não podem representar-se como uma fração finita, pois possui infinitos algarismo após a vírgula, mas não se repete nenhum, então eles não são

elementos do conjunto Q e chamam-se simplesmente números irracionais (Exemplo:

....

0,70710678

2

1 

) cujo conjunto se denota por: I.

 R é o conjunto dos números reais que inclui os números racionais e os números irracionais. Os subconjuntos dos números reais representam-se com intervalos.

1.2 Intervalos de Números Reais

Tabela 8 - Representação de intervalos de números reais

Nota: o primeiro dos casos chama-se intervalo fechado, onde os extremos a e b estão incluídos; o

segundo chama-se intervalo aberto onde não estão incluídos os extremos e os dois restantes são semiabertos (ou também semifechados).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Usando a notação de conjunto, escreva os seguintes intervalos:

a) ]−3, 6[ b) ]



, 6] c) [ 2 , 3] d) [−1, 0[ e) ]−∞, 0[

Solução: É importante observar se os extremos do intervalo estão incluídos. Neste caso usam-se

convenientemente os sinais  ou . Assim escrevemos:

Intervalos Representação na recta real Condição Conjunto



a

,

b



Fechado a b a ≤ x ≤ b {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}



a

,

b



Aberto a b a < x < b {x ∈ ℝ : a < x < b}



a, b



Semiaberto à esquerda a b a < x ≤ b {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}



a

,

b



Semiaberto à direita a b a ≤ x < b {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}

a) ]−3, 6[ =



x



R

:



3



x



6



d) [−1, 0[ =



xR:1  x 0



b) ]



, 6] =



x



R

:





x



6



e) ]−∞, 0[ =



xR:x 0



c) [ 2 , 3] =



x



R

:

2



x



3



2. Se A = {x ∈ ℝ : 2 < x < 5} e B = {x ∈ ℝ : 3 ≤ x < 8}, determine: a)A ∩ B b) B – A c) A – B

Solução: em cada item é conveniente representar sobre a mesma recta numérica os intervalos A

e B, para determinar com precisão os elementos comuns e também observar se os extremos do intervalo estão incluídos na união ou na intersecção. Nestes casos usam-se convenientemente os sinais  ou . Assim escrevemos:

a)A ∩ B = { x ∈ ℝ : 3 ≤ x < 5} b) B – A = { x ∈ ℝ : 5 < x < 8 } c) A – B = { x ∈ ℝ : 2 < x < 3 } 3. Represente graficamente os resultados de cada expressão abaixo:

a)]



, 6] ∪ [−1, 1[ b) [ 2 , 3] ∩ [ 2 1 _{, 3]} EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Quais das alternativas abaixo são falsas? a) {Ø} é um conjunto unitário

b) { } é um conjunto vazio

c) Se A = {1, 2, 3}, então {3} ∈ A

d) M = {x : x = 2n, onde n ∈ ℕ} é o conjunto dos números naturais ímpares

2 1

2 3 3 -1 1



6

e) Ø ⊂ [ 2 1 _, 2 1 _{] f) Ø ⊂ [} 2 1 ,-2 1 _{] ∪ { }} g) B ∩ A ⊂ (A ∪ B) h) Q ⊂ (R − )

2. Escreva cada proposição abaixo usando o sinal de desigualdade. a) a é um número positivo

b) b é um número negativo c) a é maior que b

3. Represente graficamente os seguintes intervalos:

a) [−10, 11] b) −∞ < x <−1 c) ]−3, 0] d) √3 ≤ x ≤ √5 e) ]0, +∞ [ f) ]5, 7] ∩ [6, 9] g) ]−∞, 7] ∩ [8, 10]

4. Sejam M = {x ∈ ℝ: 2 ≤ x <10}, N = {x ∈ ℝ: 3 < x < 8} e P = {x ∈ ℝ: 2 ≤ x ≤ 9}. Determine o conjunto P − (M − N).

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. São falsos os itens:

c) Pois o elemento 3  A, mas o conjunto {3}  A. d) Pois M é o conjunto dos naturais pares.

e) Pois o intervalo [

2 1 _,

2

1 _{] não é um conjunto de conjuntos, então não inclui o conjunto vazio}

e tampouco é um conjunto que não tem elementos, logo não é igual ao Ø.

h) Pois  Q e se do conjunto dos reais se elimina , está-se a eliminar uma parte de Q e então Q não pode estar incluído no conjunto (R − ).

2. a ; b a b 3. Apresentam-se os três primeiros: 4. M – N =  3, 8   8, 10 [ Logo P − (M − N) = ] 3 , 8 [ 3 0

c )

b)

11

a)

CAPÍTULO 2 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

2.1 Potenciação

A potência é o produto de n factores iguais a a, ou seja:    

fatores n a a a a an  . . . ... . _{, n ∈ N.}    expoente. o é n base; a é a onde : Exemplos: a)

3

3



3



3



3



27

b)

 



2

2



  



2



2



4

c) 16 9 4 3 4 3 4 3 2 _{  }       2.2 Propriedades da Potenciação

A) Multiplicação de Potências da Mesma Base

Procedimento: conserva-se a base e somam-se os expoentes.

am _{. a}n _{= a}m + n Exemplos:

a)

2

x



2

2



2

x2 b)

a

4



a

7



a

47



a

11

c)

(

0

,

9

)

8



(

0

,

9

)

2



(

0

,

9

)

5



(

0

,

9

)

825



(

0

,

9

)

15 d)

2

4



2

8



2

48



2

12

B) Divisão de Potências da Mesma Base

Procedimento: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.



a 0



 mn;  n m a a a ou n m n m

a

a

a





Exemplos: a) 6 3 3 3 6

2

2

2

2

_



_

_{b) x} x 



4 4

3

3

3

_c) 45 1 5 4   _  a a a a _d) x x

a

a

a

4 4

_

C) Potência de Uma Potência

Procedimento: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

n m n m

a

a

)

.

(



Exemplos: a) 2 3 2.3 6

3

3

)

3

(





b)

 

4

3 2



4

32



4

6 c)

 

x x x

b

b

b

4



4



4 d)

3

7x



 

3

7 x D)Potências de Um Produto

Procedimento: Eleva-se cada factor a esse expoente.

n m n m

a

a

)

.

(



Exemplos: a)

 

2 2 2

a

x

a

x







b)

 

3 3 3 3

64

4

4

x





x



x

c)

 

 

4 42 4 2 2 4 2 1 4 4 4 4 81 3 3 3 3 3 x x x   x  x  x          d)

x



y



x

12



y

12



 

x



y

12



x



y

e) 2 2 2 2

20

4

.

5

)

4

.

5

(





E) Potências de Um Quociente

Procedimento: Eleva-se o dividendo e o divisor a esse expoente.

0

n

com

0

b

com

,



















n n n

b

a

b

a

e  (b0)       ; n n n b a b a Exemplos: a) 9 4 3 2 3 2 2 2 2         _b) 25 1 5 1 5 1 2 2 2         c) 3 2 3 2 3 2 3 2 12 2 1 2 1          d) 81 16 9 4 9 4 2 2 2        

F) Potência decimal ou potência de base 10

Uma potência decimal é um múltiplo da potência de base 10, apresentando algumas vantagens:

a) Evita trabalhar-se com números muito extensos.

b) Estes números extensos podem ser substituídos por expressões com o mesmo significado

e valor.

Exemplos:

a)

10

3



10



10



10



1000

b)

10

5



10



10



10



10



10



100000

Conversão de 10 ou múltiplo de 10 numa potência decimal

Para realizar esta conversão, basta contar o número de zeros à direita do algarismo 1 (que representará o expoente da potência).

Tabela 9 - Potência de base 10

Números Potência Resolve-se

10

1

10

10

100

2

10

10 

10

1000

3

10

10



10



10

10000

4

10

10



10



10



10

100000

5

10

10



10



10



10



10

1000000

6

10

10



10



10



10



10



10

… … …

Múltiplos de potência de base 10

Tabela 10 - Múltiplos de potência de base 10

Número Produto Potência

30

_{3 }

₁₀

1

10

3

300

_{3 }

₁₀₀

2

10

3

7 000

_{7 }

₁₀₀₀

3

10

7 

2 000 000

_{2 }

₁₀₀₀

₀₀₀

6

10

2 

9 000 000 000

_{9 }

₁₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

9

10

9 

11 000 000 000 000

_{11 }

₁₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

12

10

11

25 000 000 000 000 000

_{25 }

₁₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

15

10

25

194 000 000 000 000 000 000

_{194 }

₁₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

18

10

194 

214 000 000 000 000 000 000 000

_{214 }

₁₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

₀₀₀

21

10

214

G) Casos particulares i) Base negativa:

A potência é Positiva se o expoente for par e é Negativa se o expoente for ímpar.

Exemplos:

a)

_{     }

24  2 2 2(2)16 b)

 

33 

   

3 3 327

ii) Base positiva e expoente negativo: é igual ao inverso dessa potência com expoente

positivo.

 

n _n

a

a





1

Exemplos: a) 3 3 3

1

1

_

















a

a

a

b) 4 9 2 3 3 2 1 3 2 2 2 2                       c)

 

16 1 4 1 4 2 2 _          _d) 8 27 2 3 3 2 1 3 2 3 2 3                           iii) Expoente fraccionário:

n m

a

a

n m



,

a



0

Exemplos: a)

_x



2

_x

1



_x

12 _b) 7₃ 3 7 x x  c)

_a

52



_a

5 d) 2512 _ 25 _ 5 e) _x83  3 _x8 f)

 

9 91 3 2 1  

iv) Potência de expoente 1: é igual à base.

Qualquer número natural é uma potência de expoente 1 (um)

Exemplo: a)

(

10

)

1



10

b)

(

10

)

1



10

c) 5 1 5 1 1 _       d)

7

1



7

d)

(

0

,

8

)

1



0

,

8

f)

10 

 

10

1 g) 1

2

1

2

1















h)



3



 



3

1

v) Potência de base 1 é igual a 1. Exemplos:

a)

1

5



1

b)

1

3



1

c)

1

2

1

1

vi) Potência de base 0 (zero) é igual a 0. a)

0

5



0

b)

0

3



0

c)

0

2

0

1



d)

0

10



0

_e)

₀

225



₀

vii) Potência de expoente 0 (zero): qualquer potência de expoente zero em qualquer base é

igual a 1 (um).

)

0

(

,

1

0





a

a

Exemplos: a)

12

0



1

b)

(



3

)

0



1

c)

1

2

1

0

_













_d)

₂

0



₁

_e)

₂₂₅

0



₁

f)

3

2



5

0



9



1



10

g)

(

100

)

0



1

0



1



1



2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule: a) 2002

1

b)

2

4 c)

(

2

)

4 d) 4 ) 3 2 ( 

2. Escreva numa só potência:

a) 5 2 7

3

.

3

.

3

b) 3 7 6 4

3

.

3

2

.

2

_c) 4 7 3 5 10 . 10 10 . 10 . 10   d)



 



2 3 4

5



3. Calcule cada uma das potências.

a)

 

3 2

2x

b) 3 3

3

2













x

c)

 

 

₅ 3/5 2 6 3 2 8 d)

 

3 3 2 9

2

.

2

2



















4. Assinale se as alíneas são verdadeiras ou falsas. Corrija as falsas. a)

₇

3



₄

3



₂₈

3 _b) 2 2 2

5

2

)

5

2

(







c)

(

9

4

)

6



3

48 d)

(

0

,

25

)

2



16

5. Escreva na forma decimal. a) 6

10

b)

10

8 c)

10

6 d)

10

2 6. Escreva na forma de potência de base 2.

a)





0

,

5



3 b) 2

25

,

0



c)



2



3

25

,

0





d) 2 3

25

,

0

:

16

 

7. Simplifique dando a resposta na forma de potência de base 3.

9 . ] ) 3 , 0 .[( ) 729 .( ] ) 1 , 0 [( ) 3 .( ) 243 .( ) 27 ( 6 2 4 3 2 3 2 4 2 6 3     

8. Calcular o valor das expressões:

a) 1 3 2 2

10

.

10

10

.

)

3

7

(

  



b)

36

,

0

.

054

,

0

.

3

,

2

23

.

036

,

0

.

4

,

5

_c) 2 2 7

1024

2

.

8

.

4

_d) 5 2 4 3 9

2

.

2

.

2

2

.

2

.

2

9. Se 6

3



x

e

y



9

3, então pode-se afirmar que:

a) x é o dobro de y b) x – y = 1 c) x = y d) y é o triplo de x 10. Se x = 4, indique o valor de

 

2 3 5 1 2 2

x

:

x

.

x

x

  



















11. Simplifique a expressão

 

2

1

5

1

3

3

2

3

5

2 0 2 2























 2.3 Radiciação

A raiz enésima de um número a é indicado por:



a

0

e

b

0,

n

2





b



b



a







Z

e

n



a

n n

:

temos

a

Em

n

_,







radicando.

o

-a

índice;

o

-n

Exemplos: a)

4

2

2

4

2





pois

b) 5

32



2

pois

2

5



32

2.4 Número Irracional

É um número real que não pode ser escrito sob a forma p/q, com p e q números inteiros.

Exemplos: 4 3 ₁₅ 5, , 2

2.5 Conversão de Um Radical em Potência de Expoente Fraccionário

Um radical pode ser representado na forma de potência com expoente fraccionário:

a

n

m n

_a

m

_

_,

0

a 

.

Exemplos: a)

2

2

2

1



b)

5

5

3

1 3



c)

5

5

3

2 3 2



2.6 Conversão de Um Radical em Potência de Expoente Fraccionário em Radical

Uma potência de expoente fraccionário pode ser transformada num radical

n n m

a



a

m ,

a 

0

Exemplos: a) 3 ) 2 3 (

10

1

10





b) 3 3 2 2

5

5 

c) 3 2 ) 3 2 (

5

1

5





2.7 Propriedades dos Radicais

a) Produto de radicais com o mesmo índice

Procedimento: Conserva-se o índice e multiplicam-se os radicandos, simplificando sempre que

for possível o resultado obtido.

Exemplos:

Efectue as multiplicações seguintes:

a)

   

2 7 3 5 



23



75 6 35 b)

     

₃3 ₂ ₅3 ₆ ₈3 ₄ 



₃₅₈



3 ₂₆₄ ₁₂₀3 ₄₈₂₄₀3 ₆ c)



3 2



 

3 3 3 3 36 36 2 18x  x  x x d) 6 6 3 6 2 6 2 6 3 3 1 2 1 3 _{2 3 2 3 2 3 2 108} 3        e)



3 22

 

 23



3( 2)2 9 22 266(92) 267 2 b) Divisão de radicais com o mesmo índice:

Procedimento: Devemos conservar o índice e dividir os radicandos, simplificando sempre que for

possível o resultado obtido.

Exemplos:

Efectue as divisões abaixo:

a) 3 3 ₃ 3 ₂ 10 20 10 20   b) _{4 2} 7 28 7 28    c) _{6 5} 3 15 5 30 3 5 15 30    d) 2 3 12 3 12   e) ₅ 2 50 2 50   c) Potência de radical

Procedimento: Para elevar um radical a uma potência, conservamos o índice do radical e

Exemplos: Calcule as potências: a)

 

2

(

2

)

2

2

2

2 2 2 1 2







b)

 

₃ 3 4 3 3 3 4 2 3 2 2 3 2 2 3

3

3

3

.

3

3

)

3

(

)

3

(

)

3

(

9













c)

 

4

5

3



4

3

5

3



64

5

3



64

5

2

.

5



64

.

5

5



320

5

d)







2



2





2



)

3

(

3

7

2

)

7

(

3

7

7



2

7

.

3



3



10



2

21



2

(

5



21

)

d) Radical de radical

Procedimento: Devemos multiplicar os índices desses radicais e conservar o radicando,

simplificando o radical obtido, sempre que possível (considerando o radicando um número real positivo e os índices números naturais não-nulos).

mn n . m

1

.

a

a

a

m n

_

_

,

a 

0

Exemplos:

Reduza a um único radical:

a) 2 2 4

81

81

1

81



x





b) 3

7



3x2

1



7



6

7

c) 6 6 1 12 2 12 2 2 3 2 2 3 2

5

5

5

5

5

1

1

5



x x













d) 4

₂

3

₅



4x2x3

₁



₂

3



₅



24

₄₀

2.8 Redução dos Radicais

Para reduzir os radicais ao máximo possível, devemos decompor primeiro os radicandos.

Exemplos: a)

144



2

4



3

2



2

2



3



12

b) 3



243

3

243



3

3

5



3

3

2



3

3



3



3

9

c)

8



18



2

2



3

2





2

2.9 Racionalização

Procedimentos: Recorrer às propriedades de radiciação. 1. Temos no denominador apenas raiz quadrada:

 

3 3 4 3 3 4 3 3 3 4 3 4 2    

2. Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: a)

3

2

x

Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2

x

, pois 1 + 2 =3.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3 2 3 3 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3

2

2

2

2

2

_



_



_











 b) 5 2

1

x

Temos que multiplicar numerador e denominador por 5

_x

3 _{, pois 2 + 3 = 5.}

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

5 3 5 5 5 3 5 2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 5 2

1

_

_

_









3. Temos no denominador soma ou subtração de radicais:













_{   }







 

 

2



3 7 4 3 7 2 3 7 3 7 2 3 7 3 7 2 3 7 3 7 3 7 2 3 7 2 2 2                  

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fraccionária: a)

100

1

_b)

81

,

0

c)

2

,

25

d)

9

4

2. Calcule a raiz indicada:

a) 9

a

3 b) 3

₄₈

_c) 7

t

d) 4

t

12

3. Escreva na forma de potência com expoente fraccionário:

a) 7 b)4

2

3 c)5

3

2 d) 6

a

5

4. Escreva na forma de radical:

a) 2 1

8

 b) 7 5

a

c)

 

4 1 3

b

a

d)

 

5 1 2 

n

m

5. Calcule as seguintes raízes:

a) 3

₁₂₅

_b) 5

243

c) 3



125

d) 5

1

6. Factorize e escreva na forma de potência com expoente fraccionário:

a) 3

₃₂

_b) 8

₅₁₂

_c) 8

625

d) 4

₂₇

7. Simplifique os radicais:

a)5

a

10

x

b)

a

4

b

2

c

c)

₂₅

a

4

x

3

₄₃₂

8. Determine as somas algébricas:

a) 3 3 3

2

4

5

2

2

2

3

7

_

_

b)

5

3

2



8

3

3



2



4

3

2



8

3

3

9. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: a)4

₉₆



4

₄₈₆



₂

4

₆



₉

4

₂₄₃

_b) 3 3 3 125 24 10 729 375 81 64 81 4   10. Simplifique a expressão

_











_





4 2 4 6 3 10 5 10

2

1

y

a

a

y

y

a

.

11. Racionalize as expressões: a) 3

₂

2

3

5

2

_



b)

3

1

1

3

1

3

1

3











RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE RADICIAÇÃO

1. a)

10

1

b)

10

9

c)

10

15

d)

4

1



2. a) 3

_a

_b)

₂

3

₆

_c)

_t

3

_t

_d)

_t

3. a) 2 1

7

_b) 4 3

2

c) 5 2

3

_d) 6 5

a

4. a)

8

1

b) 7

a

5 c) 4

a

3

.b

d) 5 2

.

1

n

m

5. a)

5

b)

3

c)



5

d)



1

6. a) 3 5

2

b) 7 3

2

c) 7 4

3

_d) 4 3

3

7. a)

a

25

x

b)

a

2

b

c

c)

5

a

2

x

d)

6

2

2

8. a) 3

₂

12

11



b) 3

2



2

9. a)

3

4

6



27

3

3

b)

44

3

3

10. 10.

a

y

2



11. a)

5



3



3

4

b)

4

CAPÍTULO 3 – POLINÓMIOS 3.1 Definição

 

1 ₀

,

1 2 2 1 1

x

...

a

x

a

x

a

a

x

a

x

P



_n n



_n n









_{onde (n ∈ℕ0).} 3.2 Monómio

Um monómio é uma expressão constituída por um número, por uma variável ou por um produto de números de expoentes naturais.

3.3 Grau de Polinómio Dado o polinómio

 

...

0

,

1 1 2 2 1 1

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

P

n n n n















 não identicamente nulo, com

0



n

a

, o grau do polinómio é dado pela mais alta potência da variável do polinómio P(x).

Tabela 11 - Grau de polinómios

Exemplos Procedimentos Grau do polinómio

 

x 4x33x5

P Expoente do maior termo 3

15

2

7

3 2









x

y

xy

P

Soma dos expoentes do termo de maior grau

5

 

x



5

P

Número 0

Observação:

Um Polinômio é nulo, (P(x) = 0) quando todos os coeficientes são iguais a Zero.

Exemplos:

a) P(x) =

0

x

4



0

x

3



0

x

2



0

x



0

= 0

b) Se P(x)(a7)x34(2b)x26(c2)x4d é identicamente nulo, concluímos que:



















































0

d

0

4

2

0

)

2

(

6

2

0

)

2

(

4

7

0

7

d

c

c

b

b

a

a

a) Em relação a uma das variáveis, o grau do polinómio é dado pelo maior expoente dessa variável. Exemplos: a)

P

(

x

)



5

x

3



3

x

2



4

x



5



gr

(

P

(

x

))



3



Polinómio do 3º grau b) 3

5yx

P 





3

)

gr( P

grau do polinómio P(x) em relação a x





1

)

gr( P

grau do polinómio P(x) em relação a y

c)

P



2

xy

2



4

x

2

y





2

)

gr( P

grau do polinómio P(x) em relação a x





2

)

gr( P

grau do polinómio P(x) em relação a y

3.4 Valor Numérico

Quando é atribuído um número à variável

x

, ou seja

x





(





ℝ), e calculamos

 

...

0

,

1 1 2 2 1 1

a

a

a

a

a

P

n n n n













 











dizemos que P

 



_{é o valor numérico do polinómio} para

x





.

Exemplos:

Determinar o valor numérico do polinómio

P

 

x



x

3



4

x

2



6

x



4

para:

a)

x



1

b) 2 1   x c)

x



0

d) x  3 Resolução:

a) Substituindo a variável

x

por 1 teremos:

 

1 134

 

12 6

 

1 414641

b) Substituindo a variável x por _       2 1 _teremos:

8

65

4

2

1

6

4

1

4

8

1

4

2

1

6

2

1

4

2

1

2

1

3 2



































































































P

c)

P

 

0



0

3



4

 

0

2



6

 

0



4



0



0



0



4





4

d)

P

 

3



3

3



4

 

3

2



6

 

3



4



27



36



18



4



5

EXERCÍCIOS

1. Determine o valor numérico dos seguintes polinómios: a)

 

2

4

3

x

x

P



para

x





3

c)

P

 

x



2

x

3



2

x



5

para



x

2

b)

P

 

x





7 

x

15

para



x

5

d)

P

 

x



3

x

3



4

x

2para



x

1

2. A partir do polinómio

P

 

x



x

2



2

x



a

, obtenha o valor numérico de a, de modo que

 

3 10

P .

3. Determine o grau dos seguintes polinómios:

a)

F

(

a

)



3

ab

3



5

a

2

bc

2



3

a

3

b

d) B(y)10cx2 4y b)

_G

₍

_x

₎



₅

_a

2

_x



₃

_ax

2



₈

_x

4



₃

_ax

3 e) 4 10 ) (  3 dx x L c)

_D

(

_b

)



4

_bx

2



2

_bx



2

_f)

_A

₍

_x

₎



₃₃

_x



₄₁

_x

2

3.5 Operações com Polinómios

Sejam P

 

x eQ

 

x , tais que

 

...

0

,

1 1 2 2 1 1

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

P



_n n



_n n









e

 

x

b

x

b

₁

x

1

...

b

₂

x

2

b

₁

x

1

b

₀

e

Q



_n n



_n n









a,

b



ℝ .

3.5.1 Adição (ou Soma) e Subtração (ou Diferença) de Polinómios

As operações de adição e subtração de polinómios requerem a aplicação de jogos de sinais, redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinómio. Vejamos com exemplos, como são realizadas as operações de adição e subtração.

a) Adição

 

  













0 0



1 1 1 1 1 1 ...   b        b x a b x a a x b a x Q x P n n n n n n Observação: P

_{ }

x Q

_{  }

x  PQ

_{ }

x Exemplo:

Dados os polinómios P

_{ }

x e Q

_{ }

x , calcule P

 

x Q

 

x

 

x 3x 2x 7 Q

 

x x 7x 2x 1.

P  3 2 e 3 4 3. 

Somando-se os coeficientes dos termos do mesmo grau, obtemos:

    

x



Q

x



0



3



x

4





3



7

 

x

3





2



0



x

2





0



2

  

x



7



1



3

x

4



4

x

3



2

x

2



2

x



8

P

b) Subtração

Subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos:

    













0 0



1 1 1 1 1 1





...









b









  

b

x

a

b

x

a

a

x

b

a

x

Q

x

P

n n n n n n Observação:

P

 

x



Q

  

x



P



Q

 

x

Exemplo: Dados os polinómios

P

 

x

e

Q

 

x

, calcule

P

 

x



Q

 

x

 

x



3

x

3



2

x

2



7

e

Q

 

x



3

x

4



7

x

3.



2

x



1

.

P

Subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos:

        

x



Q

x



0



3

x

4



3



7

x

3





2



0

    

x

2



0



2

x



7



1





3

x

4



10

x

3



2

x

2



2

x



6

P

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1. Efectue as seguintes adições de polinómios: a)



2

x

2



9

x



2

 



3

x

2



7

x



1



b)



5 2 5 8

 

 2 2 3 2



x x x x c)



2x3 5x2 4x

 

 2x3 3x2 x



2. fectue as seguintes subtrações de polinómios: a)



6_x2 6_x9

 

 3_x2 8_x2



b)



2 2 3 6

 

 4 2 5 6



a a a a c)



4x3 _6x2 _3x

 

_ 7x3 _6x2 _8x



Resolução: 1.a)



2x29x2

 

 3x27x1



2x29x23x27x15x22x1 1.b)



5x25x8

 

 2x2 3x2



5x2 5x82x2 3x23x28x10 1.c)



_2x3_5x2_4x

 

_{ 2x}3_3x2_x



_2x3_5x2_{4x12x}3_3x2_x4x3_2x2_5x 2.a)



6 2_6 _9

 

_ 3 2_8 _2



_6 2_6 _9_3 2_8 _2_3 2_14 _11 x x x x x x x x x x 2.b)



2a2 3a6

 

 4a2 5a6



2a2 3a64a25a62a2 2a 2.c)



4x3_6x2_3x

 

_ 7x3_6x2_8x



_4x3_6x2_3x_7x3_6x2_8x_3x3_5x EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Efectue as seguintes adições e subtrações:

a)



2 2

 

2 2



2

3

2

5

x



ax



a





x



ax



a

b)



_y

2



₃

_y



₅

 





₃

_y



₇



₅

_y

2



c)



9

x

2



4

x



3

 



3

x

2



10



d)



7

x



4

y



2

 



2

x



2

y



5



e)



x

2



2

xy



y

2

 



y

2



x

2



2

xy



f)



7

ab



4

c



3

a

 



5

c



4

a



10



Resposta: a)

 

2

2x

; b)



 y

4

2



2



; c)



12

x

2

 x

4



13



; d)



5

x

 y

2



3



; e)

 

0

; f)



7

ab



c



7

a



10



3.6 Multiplicação de polinómios

3.6.1 Multiplicação de Polinómios por Um Número Real (ou Escalar)

Na multiplicação de um polinómio por um número real (ou escalar), devemos observar o seguinte procedimento: seguir cuidadosamente a regra dos sinais e a redução dos termos semelhantes.

3.6.2 Regra de Sinais da Multiplicação

  













0



1 1 2 2 1 1

x

...

k

a

x

k

a

x

k

a

a

k

x

a

k

x

P

k







_n n





_n n















Observação:k P

 

x 



k P

 

x ,

k_constant

e

Exemplos:

Multiplique os seguintes polinómios pelas constantes correspondentes: a)

P

 

x



3

x

3



2

x

2



7

e

k



-4

Multiplicando-se os coeficientes dos termos do polinómio pela constante

 

-

4

obtemos:

   











;

   











;

   











e

   











     



4





4



3

3



2

2



7





 



4

3

3



 



4

2

2



 



4

7





12

3



8

2



28

x

x

x

x

x

x

x

P

b)

 





5

4



3

3



7



3

e

k



2

.

x

x

x

x

P

Multiplicando-se os coeficientes dos termos do polinómio pela constante

 

2

obtemos:

     

2  2



5 43 37 3





 

25 4 

 

23 3

 

27 

 

2310 4 6 314 6 x x x x x x x x x x P

3.6.3 Multiplicação de Um Monómio por Um Polinómio

Para multiplicarmos um polinómio por um monómio devemos multiplicar cada monómio do polinómio por cada monómio multiplicador, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.

Vejamos o exemplo abaixo:

Multiplicar o polinómio

2

x 

2

y

pelo monómio

7xy

2.

Efectuando as multiplicações, teremos:



2

 

2 2

 

2



3 2 3 2

7

14

7

2

7

2

7

xy



x



y



xy



x



xy



y



x

y



xy

Veja mais exemplos:

a)

2

a





7

b



3

c

 



2

a



7

b

 



2

a



3

c





14

ab



6

ac

b)



4

x



2

y

 





3

x





4

x





3

x





2

y





3

x







12

x

2



6

xy

c)



6

a



5

b





3

c



(

6

a



3

c

)





5

b



3

c





18

ac



15

bc

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Multiplicar o polinómio

7

_ax

2



4

_ax



_a



2

_{pelo monómio}

₃

_a

2

_x

_. efetuando as multiplicações, teremos:



  

       

x

a

6

x

a

3

x

a

12

x

a

21

x

a

3

2

x

a

3

a

x

a

3

ax

4

x

a

3

ax

7

x

a

3

2

a

ax

4

ax

7

2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2































2. Multiplicar o polinómio 2 2 3 3

5

2

3

x

y



xy



x



y

pelo monómio



 xy

1



.

Efectuando as multiplicações, teremos:



 



















2 1 4 2 3 2 1 4 1 2 0 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 3 2 2

5

2

3

5

2

3

5

2

3

5

2

3

xy

y

x

y

x

x

xy

x

y

x

y

x

y

x

xy

y

xy

x

xy

xy

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x























































      

3. Multiplicar o polinómio

x

3



5

x

2



10

x



7

pelo monómio





2x

2



.

Efectuando as multiplicações, teremos:



 

 









 



2 3 4 5 2 2 2 2 2 3 2 2 3

14

20

10

6

2

7

2

10

2

5

2

2

7

10

5

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x











































4. Multiplicar o polinómio 2

 y

2



1

y

pelo monómio 3

5

,

0

y

.

Efectuando as multiplicações, teremos:



 















3 4 5 3 3 2 3 2

5

,

0

5

,

0

5

,

0

1

5

,

0

2

5

,

0

5

,

0

1

2

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y























5. Multiplicar o polinómio

_{x }

3

_3x

2_{pelo monómio}

2

x

. Efectuando as multiplicações, teremos:





 





2

3

2

3

2

2

3

2

3 4 2 3 2 3

_x

x

_x

x

_x

x

x

x

x

_

_

_

_

_

_

_













6. Multiplicar o polinómio _{x x} 2 1 3 2 2  pelo monómio 3 2x_.

Efectuando as multiplicações, teremos:

6

2

9

4

2

1

2

3

2

3

2

2

1

3

2

3

2

3 2 2 2

_x

x

_x

x

_x

x

x

x

x

_

_









































_













