a) Estude a monotonia da função f e determine, caso existam, os extremos locais de f.

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

Mestrado Integrado em Engenharia Aeron´autica Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Frequˆencia de C´alculo I – 2a Frequˆencia Ano Lectivo 2014/2015

18 de Dezembro de 2014 Dura¸c˜ao: 2 horas

1) Seja f a fun¸c˜ao definida por

f (x) = x4ln2x.

a) Estude a monotonia da fun¸c˜ao f e determine, caso existam, os extremos locais de f . b) Estude as concavidades de f e determine, caso existam, os pontos de inflex˜ao de f . 2) Utilize a f´ormula de MacLaurin de grau 2 da fun¸c˜ao

f (x) = ln(1 + x) para provar que

19 200 + 1 3 · 113 < ln 11 10 < 19 200 + 1 3 · 103.

3) A p´agina de um livro deve ter 300 cm2 _{de ´area, 2 cm de margem nos lados e em baixo e 1 cm de}

margem em cima. Determine as dimens˜oes da p´agina que maximizam a ´area de impress˜ao. 4) Calcule: a) Z s arcsen3x 1 − x2 + 1 (1 + x2_{) arctg x}dx; b) Z π/4 0 x cos2_xdx; c) Z 1

x −√xdx. (Sugest˜ao: Fa¸ca a substitui¸c˜ao t = √

x.) 5) Calcule a ´area da regi˜ao plana limitada pelas par´abolas de equa¸c˜ao

y = −x2+ 2x + 1 e

y = −2x2+ 3x + 3. 6) Calcule o comprimento da curva dada pelo gr´afico da fun¸c˜ao

f : [0, 1] → R definida por

f (x) = ex/2+ 1 ex/2.

1) Seja f a fun¸c˜ao definida por

f (x) = x4ln2x.

a) Estude a monotonia da fun¸c˜ao f e determine, caso existam, os extremos locais de f . b) Estude as concavidades de f e determine, caso existam, os pontos de inflex˜ao de f .

1a) O dom´ınio de f ´e o conjunto

Df = {x ∈ R: x > 0}

= ]0, +∞[. A primeira derivada de f ´e dada por

f′ (x) = x4ln2x
′ = x4
′ ln2x + x4 ln2x
′ = 4x3ln2x + x4 _{· 2 (ln x)}′ ln x = 4x3ln2x + 2x4 1 x ln x = 4x3ln2x + 2x3ln x = 2x3ln x (2 ln x + 1) , o que implica f′ (x) = 0 ⇔ 2x3ln x (2 ln x + 1) = 0 ∧ x ∈ Df ⇔ 2x3 = 0 ∨ ln x = 0 ∨ 2 ln x + 1 = 0
∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = e−_1/2 ∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ x = 1 ∨ x = e−_1/2 . Fazendo um quadro de sinais temos

x 0 e−_1/2 1 2x3 _{+ + + + +} ln x _{− − −} 0 + 2 ln x + 1 ₋ 0 + + + f′ (x) + 0 ₋ 0 + f (x) _ր M _ց m _ր

e, portanto, a fun¸c˜ao f ´e crescente em 0, e−1/2

 e em ]1, +∞[, ´e decrescente em e−1/2_{, 1, tem}

um m´aximo local no ponto x = e−_1/2

1b) Calculando a segunda derivada de f tem-se f′′ (x) = 4x3ln2x + 2x3ln x
′ = 4x3ln2x
′ + 2x3ln x
′ = 4x3
′ ln2x + 4x3 ln2x
′ + 2x3
′ ln x + 2x3(ln x)′ = 12x2ln2x + 4x3 _{· 2 (ln x)}′ ln x + 6x2ln x + 2x3 1 x = 12x2ln2x + 8x3 1 x ln x + 6x 2_{ln x + 2x}2 = 12x2ln2x + 8x2ln x + 6x2ln x + 2x2 = 12x2ln2x + 14x2ln x + 2x2 = 2x2 6 ln2x + 7 ln x + 1
e, portanto, f′′ (x) = 0 ⇔ 2x2 6 ln2x + 7 ln x + 1
_{= 0 ∧ x ∈ D}f ⇔ 2x2 = 0 ∨ 6 ln2x + 7 ln x + 1 = 0
∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ x = 0 ∨ 6 ln2x + 7 ln x + 1 = 0
∧ x ∈ ]0, +∞[ ⇔ 6 ln2x + 7 ln x + 1 = 0 ∧ x ∈ ]0, +∞[. Ora, 6 ln2_{x + 7 ln x + 1 = 0 ⇔ ln x =} −7 ± √ 72_{− 4 · 6 · 1} 2 · 6 ⇔ ln x = −7 ± √ 49 − 24 12 ⇔ ln x = −7 ± √ 25 12 ⇔ ln x = −7 ± 5 12 ⇔ ln x = −1 ∨ ln x = −1₆ ⇔ x = e−₁ ∨ x = e−_1/6 e, por conseguinte, f′′ (x) = 0 ⇔ x = e−₁ ∨ x = e−_1/6 . Assim, fazendo um quadro de sinais tem-se

x 0 e−₁ e−_1/6 2x2 + + + + + 6 ln2x + 7 ln x + 1 + 0 ₋ 0 + f′′ (x) + 0 ₋ 0 + f (x) _∪ P.I. _∩ P.I. _∪

o que permite concluir que f tem a concavidade voltada para cima em0, e−₁

 e em e−_1/6

, +∞, tem a concavidade voltada para baixo eme−₁

, e−_1/6

 e tem pontos de inflex˜ao nos pontos x = e−₁

e x = e−_1/6

2) Utilize a f´ormula de MacLaurin de grau 2 da fun¸c˜ao

f (x) = ln(1 + x)

para provar que

19 200 + 1 3 · 113 < ln 11 10 < 19 200 + 1 3 · 103.

2) Tendo em conta que f ´e indefinidamente diferenci´_{avel (em ] − 1, +∞[), a f´ormula de MacLaurin de} grau 2 garante-nos que

f (x) = f (0) + f′ (0)x +f ′′ (0) 2! x 2₊f ′′′ (c) 3! x 3

para algum c entre 0 e x. Como f′ (x) = (1 + x) ′ 1 + x = 1 1 + x f′′ (x) = 1 ′ (1 + x) − 1(1 + x)′ (1 + x)2 = − 1 (1 + x)2 f′′′ (x) = −1 ′ (1 + x) − 1(1 + x)2′ (1 + x)4 = 2(1 + x) (1 + x)4 = 2 (1 + x)3, tem-se f (0) = ln 1 = 0, f′ (0) = 1 e f′′ (0) = −1, o que implica ln(1 + x) = f (0) + f′ (0) x + f ′′ (0) 2! x 2₊f ′′′ (c) 3! x 3 = x − x 2 2 + 2 6(1 + c)3x 3 = x − x 2 2 + 1 3(1 + c)3x 3

para algum c estritamente entre 0 e x. Assim, fazendo x = 1/10, resulta ln11 10 = ln  1 + 1 10  = 1 10 − (1/10)2 2 + 1 3(1 + c)3  1 10 3 = 1 10 − 1 200 + 1 3(1 + c)3₁₀3 = 19 200 + 1 3(1 + c)3₁₀3

para algum c estritamente entre 0 e 1 10. Ora, 0 < c < 1 10 ⇔ 1 < 1 + c < 11 10 ⇔ 1 < (1 + c)3< 11 3 103 ⇔ 10 3 113 < 1 (1 + c)3 < 1 ⇔ 1 3 · 113 < 1 3(1 + c)3₁₀3 < 1 3 · 103,

o que permite concluir que 19 200 + 1 3 · 113 < ln 11 10 < 19 200 + 1 3 · 103.

3) A p´agina de um livro deve ter 300 cm2 de ´area, 2 cm de margem nos lados e em baixo e 1 cm de

margem em cima. Determine as dimens˜oes da p´agina que maximizam a ´area de impress˜ao.

3) Sejam h a altura da p´agina e ℓ a largura da p´agina. Ent˜ao hℓ = 300, ou seja,

h = 300 ℓ .

Tendo em conta as margens pretendidas, a ´area de impress˜ao ´a dada por A = (h − 3)(ℓ − 4)

= hℓ − 4h − 3ℓ + 12 = 310 − 4h − 3ℓ + 12 = 312 − 4300_ℓ − 3ℓ = 312 −1200_ℓ − 3ℓ e, portanto, a ´area de impress˜ao ´e dada pela fun¸c˜ao

A : ]0, +∞[→ R definida por A(ℓ) = 312 − 1200_ℓ − 3ℓ. Assim, A′ (ℓ) = 1200 ℓ2 − 3, o que implica A′ (ℓ) = 0 ⇔ 1200_ℓ2 − 3 = 0 ⇔ 1200 ℓ2 = 3 ⇔ ℓ2= 400 ⇔ ℓ = 20 ∨ ✘✘ ✘✘✘ ❳ ❳ ❳ ❳❳ ℓ = −20. Fazendo um quadro de sinais temos

ℓ 0 20

A′

+ 0 ₋

A _ր M _ց

o que mostra que A tem um m´aximo quando

ℓ = 20 cm e, consequentemente,

h = 300

4) Calcule: a) Z s arcsen3_x 1 − x2 + 1 (1 + x2_{) arctg x}dx; b) Z π/4 0 x cos2_xdx; c) Z ₁

x −√xdx. (Sugest˜ao: Fa¸ca a substitui¸c˜ao t = √_x.)

4a) Usando o facto de a primitiva de uma soma de fun¸c˜oes ser a soma das primitivas das fun¸c˜oes, temos Z s arcsen3_x 1 − x2 + 1 (1 + x2_{) arctg x}dx = Z s arcsen3_x 1 − x2 dx + Z ₁ (1 + x2_{) arctg x}dx = Z 1 √ 1 − x2 (arcsen x) 3/2 _{dx +}Z 1 1 + x2 arctg x dx = (arcsen x) 5/2 5/2 + ln |arctg x| + c = 2 5(arcsen x) 5/2 + ln |arctg x| + c. 4b) Para calcularmos este integral vamos de usar a f´ormula de integra¸c˜ao por partes

Z b a f′ (x)g(x) dx =hf (x)g(x)ib a− Z b a f (x)g′ (x) dx com f′ (x) = 1 cos2_x e g(x) = x. Assim, Z π/4 0 x cos2_xdx = Z π/4 0 1 cos2_x x dx = h tg x · xiπ/4 0 − Z π/4 0 tg x (x)′ dx = tgπ 4 · π 4 − tg 0 · 0 − Z π/4 0 sen x cos xdx = 1 · π 4 + Z π/4 0 − sen x cos x dx = π 4 + h ln |cos x|iπ/4 0 = π 4 + ln   cos π 4    − ln |cos 0| = π 4 + ln √ 2 2 − ln 1 = π 4 + ln √ 2 2 . 4c) Fazendo a substitui¸c˜ao √ x = t, temos x = t2 e, portanto, dx = t2
′ dt = 2t dt. Assim, Z ₁ x −√xdx = Z ₁ t2_{− t} 2t dt = 2 Z _t t(t − 1)dt = 2 Z ₁ t − 1dt = 2 ln |t − 1| + c = 2 ln  √ x − 1 + c.

5) Calcule a ´area da regi˜ao plana limitada pelas par´abolas de equa¸c˜ao

y = −x2+ 2x + 1

e

y = −2x2+ 3x + 3.

5) Calculemos os pontos de intersec¸c˜ao das duas par´abolas. Para isso temos de resolver o sistema ( y = −x2_{+ 2x + 1} y = −2x2+ 3x + 3 ⇔ ( ———– −x2+ 2x + 1 = −2x2+ 3x + 3 ⇔ ( ———– x2_{− x − 2 = 0} e, por conseguinte, temos de resolver a equa¸c˜ao x2_{− x − 2 = 0:}

x2_{− x − 2 = 0 ⇔ x =} −(−1) ±p(−1) 2_{− 4 · 1 · (−2)} 2 · 1 ⇔ x = 1 ±√1 + 8 2 ⇔ x = 1 ± √ 9 2 ⇔ x = 1 ± 3 2 ⇔ x = −1 ∨ x = 2.

Assim, os pontos de intersec¸c˜ao das duas curvas s˜_{ao (−1, −2) e (2, 1). Representemos} geometrica-mente a regi˜ao plana de que queremos calcular a ´area e calculemos a sua ´area:

x y −1 −2 2 1 y = −x2_{+ 2x + 1} y = −2x2_{+ 3x + 3} A = Z 2 −1 −2x2+ 3x + 3 − (−x2+ 2x + 1) dx = Z 2 −₁ −x2+ x + 2 dx =  −x 3 3 + x2 2 + 2x 2 −₁ = −2 3 3 + 22 2 + 2 · 2 −  −(−1) 3 3 + (−1)2 2 + 2(−1)  = −8₃ + 2 + 4 − 1₃ +1 2 − 2  = −8₃ + 6 −1₃ −1₂+ 2 = −9₃ + 8 −1₂ = −3 + 8 −1₂ = 5 −1₂ = 9 2. Logo a ´area da regi˜ao plana limitada pelas par´abolas de equa¸c˜ao

y = −x2+ 2x + 1 e _{y = −2x}2+ 3x + 3 ´e igual a 9/2.

6) Calcule o comprimento da curva dada pelo gr´afico da fun¸c˜ao

f : [0, 1] → R

definida por

f (x) = ex/2+ 1 ex/2.

6) O comprimento pretendido ´e dado por ℓ = Z 1 0 q 1 + [f′_(x)]2_dx. Atendendo a que f (x) = ex/2+ e−_x/2 , temos f′ (x) = e x/2 2 − e−_x/2 2 , o que implica q 1 + [f′_(x)]2 ₌ v u u t1 + e x/2 2 − e−_x/2 2 !2 = v u u t1 + e x/2 2 !2 − 1₂+ e −x/2 2 !2 = v u u t e x/2 2 !2 +1 2 + e−_x/2 2 !2 = v u u t e x/2 2 + e−_x/2 2 !2 = e x/2 2 + e−_x/2 2 , e, por conseguinte, ℓ = Z 1 0 q 1 + [f′ (x)]2dx = Z 1 0 ex/2 2 + e−_x/2 2 dx =hex/2_{− e}−_x/2i1 0 = e1/2_{− e}−_1/2 −e0/2_{− e}−_0/2 = e1/2_{− e}−_1/2 =√_{e −}√1 e.