Capítulo 1
Carga Elétrica e Campo Elétrico
A interação eletromagnética entre partículas carregadas eletricamente é uma das intera-ções fundamentais da natureza. Nesse capítulo iremos estudar algumas propriedades básicas da força eletromagnética, discutiremos a Lei de Coulomb, o conceito de campo elétrico, e finalizaremos com o estudo do movimento de partículas carregadas num campo elétrico uniforme.
1.1 Propriedades da Carga Elétrica
Quando atritamos uma caneta contra o nosso cabelo num dia seco, vemos que a caneta passa a atrair pequenos pedaços de papel sobre a mesa. O mesmo ocorre quando certos materiais são atritados entre si, como um bastão de vidro contra um pano de seda ou plástico contra pele.
Isto se deve ao fato de que toda a matéria que conhecemos é formada por átomos, que são formados por um núcleo, onde ficam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera, onde os elétrons permanecem, em órbita. Os prótons e nêutrons têm massa praticamente igual, mas os elétrons têm massa cerca de 2 mil vezes menor.
Se pudéssemos separar os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, veríamos que os prótons seriam atraídos pelos elétrons enquanto os nêutrons não seriam afetados. Esta propriedade de cada uma das partículas é chamada carga elétrica. Os prótons são partículas com carga positiva, os elétrons tem carga negativa e os nêutrons tem carga neutra.
A unidade de medida adotada internacionalmente para a medida de cargas elétricas é o coulomb (C).
Um próton e um elétron têm valores absolutos de carga iguais embora tenham sinais opostos. O valor da carga de um próton ou um elétron é chamado carga elétrica elementar e simbolizado por e, sendo a menor unidade de carga elétrica conhecida na natureza, com valor igual a
e = 1.602 19⇥ 10 19 C (1.1)
Portanto, 1 C de carga é aproximadamente a carga de 6.24 ⇥ 1018 elétrons ou prótons.
Esse número é bem pequeno se comparado com número de elétrons livres em 1 cm3 de cobre,
que tem da ordem de 1023.
1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão
Dizemos que um corpo está eletrizado negativamente quando tem maior número de elé-trons do que de prótons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja negativa; E que um corpo está eletrizado positivamente quando tem maior número de prótons do que de elétrons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja positiva. Por isso, um corpo é chamado eletricamente neutro se ele tiver número igual de prótons e de elétrons, fazendo com que a carga elétrica sobre o corpo seja nula. A carga de um corpo eletrizado deve então ser um múltiplo da carga elementar, de tal forma que Q = ±N.e, sendo N um número inteiro qualquer.
O processo de retirar ou acrescentar elétrons a um corpo neutro para que este passe a estar carregado eletricamente denomina-se eletrização. Alguns dos processos de eletrização mais comuns são:
1.2.1 Eletrização por Atrito
Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta do século VI a.C. pelo matemático grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito entre certos materiais era capaz de atrair pequenos pedaços de palha e penas.
Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo possível comprovar que dois corpos neutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um deles fica eletrizado negativamente (ganha elétrons) e outro positivamente (perde elétrons). Quando há eletriza-ção por atrito, os dois corpos ficam com cargas de módulo igual, porém com sinais opostos. Por exemplo, ao se atritar uma barra de vidro num pano de lã, elétrons passam do vidro para a lã. Em consequência, a barra de vidro adquire carga elétrica positiva (perde elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons). Se, em vez da barra de vidro, atritarmos com a lã uma barra de resina, haverá a transferência de elétrons da lã para
1.2. CORPOS ELETRIZADOS E PROCESSOS DE ELETRIZACÃO 3
a resina. Então, a barra de resina adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica positiva (perde elétrons).
1.2.2 Eletrização por Contato
Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizado, são postos em contato, a carga elétrica tende a se estabilizar, sendo redistribuída entre os dois, fazendo com que ambos tenham a carga com mesmo sinal.
1.2.3 Eletrização por Indução
Este processo de eletrização é totalmente baseado no princípio da atração e repulsão, já que a eletrização ocorre apenas com a aproximação de um corpo eletrizado (indutor) a um corpo neutro (induzido).
O processo é dividido em três etapas:
1. Primeiramente um bastão eletrizado é aproximado de um condutor inicialmente neu-tro, pelo princípio de atração e repulsão, os elétrons livres do induzido são atraí-dos/repelidos dependendo do sinal da carga do indutor.
2. O próximo passo é ligar o induzido à Terra por um fio condutor, ainda na presença do indutor.
3. Desliga-se o induzido da Terra, fazendo com que sua carga seja de sinal oposto àquela do indutor.
Por fim, retira-se o indutor das proximidades do induzido que fica eletrizado com sinal oposto à carga do indutor, e com a carga distribuída por todo o corpo.
Terra
1.3 Lei de Coulomb
A partir de alguns experimentos, Coulomb pode generalizar as seguintes propriedades da força elétrica entre duas cargas puntiformes em repouso. A força elétrica
• é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre as cargas e dirigida ao longo da linha que liga uma a outra.
• é proporcional ao produto das cargas das duas partículas;
• é atrativa se as cargas são de sinais opostos e repulsiva se as cargas tem o mesmo sinal. A lei expressa na forma vetorial para a força elétrica exercida por uma carga q1 numa
outra carga q2, dita ~F2(1), é
~
F2(1) = k
q1q2
r2 r =ˆ F~1(2) (1.2)
onde k é a constante chamada constante de Coulomb e ˆr é o vetor unitário dirigido da carga q1 para a carga q2, conforme figura.
– + r F1(2) F2(1) q1 q2 F1(2) F2(1) q1 q2 rˆ + +
A constante de Coulomb é também escrita como k = 1/4⇡✏0, e seu valor no SI é
k = 8.987 5⇥ 109 N.m2/C2 ⇡ 9.0 ⇥ 109 N.m2/C2 (1.3)
Como a força elétrica obedece à Terceira Lei de Newton, a força elétrica exercida pela carga q2 em q1 é igual em intensidade a força exercida por q1 em q2, na mesma direção mas
em sentido oposto, de modo que ~F1(2)= F~2(1)
Quando mais que duas cargas estão presentes, a força entre qualquer par delas é dada pela Lei de Coulomb. Portanto, a resultante das forças sobre qualquer uma delas é igual a
1.3. LEI DE COULOMB 5 soma vetorial das forças exercidas pelas outras cargas.
~ Fi = X i6=j ~ Fi(j) = X i6=j kqiqj r2 j ˆ rj (1.4)
Exemplo 1.1. Átomo de Hidrogênio
Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de massa me = 9.11⇥ 10 31 kg,
e um próton, de massa mp = 1.67⇥ 10 27 kg, separados por uma distância de
aproxima-damente d = 5.3 ⇥ 10 11 m.
A intensidade da força elétrica é dada pela Lei de Coulomb Fe= k e2 d2 = (9.0⇥ 10 9)(1.60⇥ 10 19)2 (5.3⇥ 10 11)2 = 8.2⇥ 10 8 N
Já a intensidade da força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton Fg = G memp d2 = (6.67⇥ 10 11)(9.11⇥ 10 31)(1.67⇥ 10 27) (5.3⇥ 10 11)2 = 3.6⇥ 10 47 N
A razão Fe/Fg ⇡ 2 ⇥ 1039. Então, a força gravitacional entre essas partículas
subatô-micas é desprezível se comparada com a força elétrica. Exemplo 1.2. Força Resultante
Consideremos três cargas q, q ep2qdispostas nos vértices de um triângulo retângulo, como mostra a figura.
F3(1) q q -q a a y x – + + F3(2) 2 a 2
A força ~F3(1) exercida pela carga
p 2q sobre a carga q é ~ F3(1)= k p 2q2 (p2a)2rˆ1,
onde ˆr1 é o vetor posição relativa que sai da
carga p2q e aponta na direção de q, sendo escrito facilmente como ˆr1 = cos 45ox +ˆ
sen 45oy, de modo queˆ
~ F3(1)= 1 2k q2 a2(ˆx + ˆy),
A força ~F3(2) exercida pela carga q sobre a carga q é
~
F3(2)= k
q2
a2rˆ2,
onde ˆr2 é o vetor posição relativa que sai da carga q e aponta na direção de q, sendo
escrito na forma ˆr2 = ˆx, de modo que
~
F3(2) = k
q2
a2xˆ
A força resultante ~F3 sobre a carga q é então calculada como a soma das forças ~F3(1)
e ~F3(2) sendo ~ F3 = ~F3(1)+ ~F3(2)= 1 2k q2 a2( ˆx + ˆy)
1.4 Campo Elétrico
O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday no contexto de forças elétri-cas. Nesse contexto, um campo elétrico existe na região do espaço ao redor de um objeto carregado, a carga fonte. Quando outro objeto carregado, a carga teste, entra nesse campo elétrico, uma força elétrica age sobre ele.
Sendo assim, o campo elétrico produzido pela carga fonte é definido como a força elétrica por unidade de carga situado num dado ponto do espaço
~ E = F~e
q2
= kq1
r2rˆ (1.5)
O vetor ~Etem no SI unidade de N/C. A direção de ~E, como mostra a figura, é a direção da força que uma carga teste positiva sentiria quando colocada nesse campo. Dizemos que um campo elétrico existe num ponto se uma carga teste nesse ponto experimenta uma força elétrica, dada por
~ Fe = q ~E (1.6) E q r P rˆ + – E q rˆ r P
1.4. CAMPO ELÉTRICO 7 obtido, através do princípio da superposição, como a soma vetorial dos campos elétricos devido, individualmente, a cada carga do conjunto no mesmo ponto P .
~ E =X i ~ Ei = X i kqi r2 i ˆ ri (1.7)
Exemplo 1.3. Campo Elétrico de um Dipolo
Um dipolo elétrico é definido como uma carga positiva q e uma negativa q separadas por uma distância 2a. Vamos obter o campo elétrico ~E devido ao dipolo num ponto P situado a uma distância y do centro do dipolo.
P E y E1 E2 y r a q a – q – x +
No ponto P , os campos ~E1 e ~E2 devido às
duas cargas são iguais em intensidades, pois o ponto P é equidistante das cargas, sendo assim
E1 = E2 = k
q (y2+ a2).
As componentes y de ~E1 e ~E2 se cancelam,
e as componentes x são ambas positivas e de mesma intensidade, de modo que
E = 2E1cos ✓ = 2k
q (y2+ a2)
a (y2+ a2)1/2
Portanto, ~E é um vetor paralelo ao eixo x escrito na forma
~
E = k 2qa
(y2+ a2)3/2xˆ
No limite em que o ponto P está muito distante do dipolo, dito y a, podemos desprezar a2 comparado com y2 no denominador e escrever
~
E⇡ k2qa y3 xˆ
Obs: Em alguns livros é comum aparecer o vetor momento de dipolo elétrico definido como ~d = 2qaˆx, que é um vetor de intensidade igual a carga positiva q vezes a distância entre as cargas 2a e aponta na direção da carga negativa para a positiva, de modo que
~
E ⇡ kd~ y3
Então, muito distante do dipolo elétrico, o campo elétrico varia com ⇠ 1/r3 que cai
mais rapidamente que o campo de uma carga que varia com ⇠ 1/r2. Isso se deve ao
fato que os campos das cargas positiva e negativa vão se anulando ao longo da distância, diminuindo a intensidade do campo elétrico total.
Exercício 1.1. Mostre que para um ponto P0 situado ao longo do eixo x, porém muito
distante do dipolo (de tal forma que x a) tem-se ~
E⇡ k d~ x3
1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Todo corpo é composto de cargas elétricas (vindas da natureza atómica da matéria), cujas distâncias relativas são muito curtas se comparadas com os tamanhos típicos dos objetos.
Sendo assim, para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de cargas, usa-remos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribuição de cargas em pequenos elementos de carga, cada um de carga infinitesimal dq (infinitesimal, porém maior que a carga elementar). Depois, usamos o campo elétrico devido a uma carga puntiforme para calcular o campo elétrico devido a esse elemento dq no ponto P . E por último, somamos as contribuições de todos elementos de cargas e obtemos o campo elétrico total no ponto P devido à distribuição de cargas (de acordo com o princípio de superposição dos campos).
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq é
d ~E = kdq r2rˆ
onde r é a distância do elemento de carga até o ponto P e ˆr o vetor unitário que sai da carga e aponta na direção de P .
O campo elétrico total em P devido a todos os elementos na distribuição de carga é ~ E = Z V d ~E = Z V kdq r2rˆ (1.8)
1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 9 e a integral aparece porque o corpo é modelado como uma distribuição contínua de carga.
De fato, podemos associar sempre a uma distribuição de cargas o conceito de densidade de carga.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de um volume tem-se dq = ⇢dV , onde ⇢ é a densidade volumétrica de cargas.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma área tem-se dq = dA, onde é a densidade superficial de cargas.
• No caso de uma carga distribuída ao longo de uma linha tem-se dq = dl, onde é a densidade linear de cargas.
Exemplo 1.4. Fio Carregado Uniformemente
Vamos estudar o caso de um fio de comprimento L e carga Q distribuída uniformemente ao longo dele, como mostra a figura.
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq do fio é, por definição, dado por
d ~E = kdq r2r,ˆ
onde ~r é o vetor posição relativa que sai do elemento de carga e aponta na direção de P dado por
~
r = xˆx + aˆy,
onde seu módulo e o correspondente vetor unitário são
r =px2+ a2 e ˆr = ~r
r =
( xˆx + aˆy) (x2+ a2)1/2.
Além disso, o elemento de carga dq pode ser escrito em termos do elemento de linha do fio dl = dx, nesse sistema de coordenadas. Com isso temos
dq = dx = Q
Ldx (1.9)
O campo elétrico total produzido pelo fio no ponto P é então calculado como uma integral do campo produzido por cada elemento de carga que compõe o fio, indo de
x = L/2 até x = L/2, e assim tem-se ~ E(P ) = Z fiod ~E = Z L/2 L/2 k dx (x2+ a2)3/2( xˆx + aˆy).
e calculando-se as integrais (Exercício 1.2), tem-se ~
E(P ) = kQ
a (L2/4 + a2)1/2y.ˆ
Exercício 1.2. Mostre que as integrais necessárias resultam em Z L/2 L/2 xdx (x2+ a2)3/2 = 0, Z L/2 L/2 dx (x2+ a2)3/2 = L [(L/2)2+ a2]1/2.
Exercício 1.3. Mostre que no caso em que o fio é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante do fio tem-se
lim
a L
~
E(P ) = kQ a2 yˆ
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Essa contribuição é muito relevante para corpos que possuem carga total Q 6= 0, ou seja corpos carregados, e é conhecida como contribuição de monopólo elétrico. Se a carga total do corpo for nula, a próxima contribuição deveria ser a de um dipólo elétrico. Exercício 1.4. Mostre que no caso em que o fio é muito grande, ou o ponto P está muito próximo do fio tem-se
lim
L a
~
E(P ) = 2k a yˆ que cai lentamente com a distância a do ponto P .
Exemplo 1.5. Aro Carregado Uniformemente
Consideremos um aro de raio R carregado uniformemente com uma carga positiva Q. Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma distância a do centro do aro e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.
1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 11 + + + + + + + + + + + + + + + + P dE x dE dE⇥ a r dq R
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq do aro é dado por
d ~E = kdq r2r,ˆ
onde ~r é o vetor posição relativa que sai de um elemento de carga e aponta na direção de P.
Esse campo tem uma componente dEx =
dE cos ✓ ao longo do eixo x e uma compo-nente dE? perpendicular ao eixo x.
Sabemos que o campo resultante no ponto P deve estar ao longo do eixo x pois a componente perpendicular de todos os elementos de carga somados se anula. Isto é, a componente perpendicular do campo criado por qualquer elemento de carga é cancelada pela componente perpendicular criada por um elemento de carga no lado oposto do anel (diga-se diametralmente oposto).
Como r = (a2+ R2)1/2 e cos ✓ = a/r para qualquer elemento de carga, temos que
dEx = dE cos ✓ = ✓ kdq r2 ◆ a r = k a (a2+ R2)3/2 dq
Todos os elementos do aro fazem a mesma contribuição para o campo elétrico no ponto P porque todos são equidistantes desse ponto. Então, integrando esse resultado obtemos
Ex = Z dEx = Z k a (a2+ R2)3/2 dq = k a (a2+ R2)3/2 Z dq
Sendo Q a carga total do aro, o campo elétrico total produzido por este aro no ponto P é então escrito na forma vetorial como
~
E(P ) = k Qa
(a2+ R2)3/2xˆ
Exercício 1.5. Mostre que se o aro é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante desse aro tem-se
lim
a R
~
E(P ) = kQ a2xˆ
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
dele tem-se lim R a ~ E(P ) = kQa R3xˆ
que passa a ser um campo linear com a distância a do ponto P . Exemplo 1.6. Disco Carregado Uniformemente
Consideremos um disco de raio R carregado uniformemente com uma densidade su-perficial de carga . Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma distância a do centro desse disco e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura. P a r R dq dr
Se considerarmos o disco como um conjunto de aros concêntricos, podemos usar o resul-tado do exemplo anterior (o campo de um aro carregado uniformemente) e somamos as contribuições de todos aros formando o disco. O aro de raio r e espessura dr, conforme a figura, tem área igual a 2⇡r dr. A carga dq desse aro é igual a dq = 2⇡ r dr. Usando o resultado do aro carregado, temos que o campo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq desse aro é dado por
dEx = k
a
(a2+ r2)3/2(2⇡ r dr).
Então, integrando esse resultado sobre os limites r = 0 até r = R, notando que a é constante, obtemos Ex= ka⇡ Z R 0 2r dr (a2+ r2)3/2 = ka⇡ Z R 0 (a2+ r2) 3/2d(r2), de modo que Ex = ka⇡ (a2+ r2) 1/2 1/2 R 0 = 2⇡k ✓ 1 a (a2+ R2)1/2 ◆ .
Sendo assim o campo elétrico total produzido por este disco no ponto P é então escrito na forma vetorial como
~ E(P ) = 2⇡k ✓ 1 a (a2 + R2)1/2 ◆ ˆ x
1.6. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 13 Exercício 1.7. Mostre que se o disco é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante tem-se lim a R ~ E(P ) = kQ a2x,ˆ
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Exercício 1.8. Mostre que se o disco é muito grande, ou o ponto P está muito próximo dele tem-se lim R a ~ E(P ) = 2⇡k ˆx = 2✏0 ˆ x,
que é um campo constante nas proximidades do disco, sendo ✏0 a permissividade elétrica
do vácuo.
Desta forma, um plano infinito tem módulo do campo elétrico igual a E = /2✏0 nas
suas proximidades.
1.6 Linhas de Campo Elétrico
Vamos agora explorar uma maneira de representar o campo elétrico pictoricamente. Uma maneira conveniente de visualizar padrões de campo elétrico é desenhar linhas curvas para-lelas ao vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço.
O vetor campo elétrico ~E é tangente a linha de campo elétrico em cada ponto. A linha tem uma direção, indicada por uma seta, que é a mesma do vetor campo elétrico.
O número de linhas por unidade de área que atravessa uma superfície perpendicular as linhas é proporcional a intensidade do campo elétrico nesse região. Então, as linhas de campo estão mais próximas onde o campo elétrico é forte e mais distantes onde o campo é fraco.
q – q
+ –
As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes:
• As linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. • O número de linhas desenhadas é proporcional a intensidade da carga.
• Duas linhas de campo nunca se cruzam.
Para um dipolo elétrico, as linhas de campo elétrico surgem na carga positiva e evanescem na carga negativa.
+ – + +
1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme
Quando uma carga q e massa m está localizada num campo elétrico ~E, a força elétrica exercida nessa carga é
~
F = q ~E = m~a (1.10)
Se o campo elétrico ~E é uniforme (isso é, constante na intensidade e direção), então a aceleração permanece constante durante todo movimento.
Exemplo 1.7. Elétron num Campo Elétrico Uniforme
Consideremos duas placas metálicas carregadas com cargas opostas e dispostas parale-lamente onde um elétron de carga e é lançado horizontalmente com velocidade ~v0 = v0xˆ
dentro da região de campo elétrico uniforme que se estabelece entre as placas, conforme a figura. ( 0 , 0 ) E – (x,y) – v x y – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + v0xˆ
Sabe-se que o campo elétrico ~E = E ˆy é uniforme, de modo que o movimento do elétron é uniformemente acelerado. Sua aceleração sendo portanto
~a = eE m yˆ
1.7. MOVIMENTO NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 15 e com isso, sua velocidade e sua posição como função do tempo serão
~v = v0xˆ eE mtˆy e ~r = ~r0+ v0tˆx 1 2 eE m t 2yˆ
