pg. 02 pg. 04 pg. 06 pg. 08 pg. 10 Pesca em área de proteção ambiental no rio Jutaí : uso raciional dos recursos ajuda a preservar espécies

Para alguns, é a sort

e que faz a bola parar ; para a ciência, trat a-se de um event o de

probabilidades Pesca em área de proteção ambiental no rio Jutaí : uso

raciional dos recursos ajuda a preservar espécies

•• Matemática – Probabilidade

pg. 02

•• Matemática – Geometria de posição

pg. 04

•• Física – Eletrostática

pg. 06

•• Física – Campo eletrostático ou campo elétrico

pg. 08

•• Português – Concordância Nominal II

pg. 10

Probabilidade

A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo das probabilidades. A teoria das probabilidades permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

Experimento aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra qu e representa o espaço amostral é S.

Aplicação

Lançando uma moeda e um dado, simultanea- mente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:

S={K₁, K₂, K₃, K₄, K₅, K₆, R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆}

a)Escreva, explicitamente, os seguintes eventos:

A={caras e m número par aparece}, B={um número primo

aparecem}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.

b)Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) somente B ocorre.

c)Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos?

Re solução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:

A={K₂, K₄, K₆};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos:

B={K₂,K₃,K₅,R₂,R₃,R₅}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar:

C={R₁,R₃,R₅}.

2. (a) A ou B = AUB = {K₂,K₄,K₆,K₃,K₅,R₂,R₃,R₅} (b) B e C = B ∩C = {R₃,R₅}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B ∩Ac ∩Cc = {K₃,K₅,R₂}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩C = ∅∅

Conceito de probabilidade

Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

n.° de casos favoráveis P(A) = ––––––––––––––––––––––

n.° de casos possíveis

Aplicação

No lançamento de um dado, um número pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igual- mente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%.

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Propriedades Importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A’) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0(probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário que já exista alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral modifica-se e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional:

p(A/B) = p(A∩B)/p(B) ou p(A∩B) = p(A/B).p(B), em que p(A/B) a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.

Aplicação

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes

Dizemos que E₁e E₂e ...E_n-1, E_nsão eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(E₁e E₂e E₃e ...e E_n^-1e E_n) = P(E₁).P(E₂).p(E₃)...P(E_n)

Aplicação

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a

probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

Além de consolidar sua presença nos municípios com a implantação de novos núcleos e aumentar a oferta de vagas para o interior via vestibular, a Universidade do Estado do Amazonas avança também na pós-graduação.

A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior do Ministério da Educação (Capes) aprovou a realização de mais um curso de Doutorado para a UEA: o de Engenharia Elétrica, com ênfase em Computação. O curso, no formato Dinter - Doutorado Interinstitucional, em parceria com a Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), tem início previsto para o segundo semestre deste ano.

A UEA já oferece outros dois cursos de Doutorado: em Doenças Tropicais e Infec- ciosas – o primeiro na área de Medicina do Amazonas – e o Doutorado em Clima e Ambiente, com início no primeiro semestre deste ano em associação com o Instituto Nacional de Pesquisas da Amazônia (Inpa) e integrante do Programa de Pós-Graduação em Clima e Ambiente, inédito no Brasil. Para oferecer cursos fora de sede, a UEA estabe- lece parcerias com instituições consolidadas.

Com menos de seis anos de criação, a instituição já criou 52 cursos em nível de Pós-Graduação: além do doutorado em Doenças Tropicais e Infecciosas e o Doutorado em Clima e Ambiente, já foram oferecidos sete mestrados e 44 especializa- ções. Ainda este ano a Pró-Reitoria de Pós- Graduação da UEA está aguardando a aprovação final da Capes para outros nove doutorados e dez mestrados interinstitu- cionais, resultado do trabalho em conjunto com as Unidades Acadêmicas e com o Centro de Estudos do Trópico Úmido da UEA.

Entre os mestrados oferecidos estão o de Doenças Tropicais e Infecciosas; Direito Ambiental; Biotecnologia e Recursos Naturais da Amazônia; Ensino de Ciências;

Administração Pública (UEA/FGV); Enge- nharia Eletétrica/Comunicação (UEA/UFPA) e Engenharia Elétrica/Automação (UEA/

UFCG).

A turma especial do Doutorado em Engenharia Elétrica terá 15 vagas. Desse total, dez serão destinados à formação de quadros da própria UEA e as outras cinco vagas, para servidores da Prefeitura Municipal de Manaus. O objetivo é qualificar, em médio prazo, mão-de-obra para atuar no Pólo Industrial de Manaus, pois a partir da qualificação dos professores da

Universidade já será possível o oferecimento de novos cursos de mestrados nesta área do conhecimento.

Capes aprova mais um curso de

doutorado para a UEA

Matemática

Professor CLÍCIO

P(E₁ou E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁e E₂) De fato, se existirem elementos comuns a E₁e E₂, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E₁) e P(E₂). Para que sejam consi- derados uma vez só, subtraímos P(E₁e E₂).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E₁ou E₂ou E₃ou ... ou E_n) = P(E₁) + P(E₂) + ... + P(E_n)

Aplicações

01.Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

Resolução:

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:

P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 02.Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas.

Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos A e B são mutua- mente exclusivos.

02. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.

Solução:

Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enun- ciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.

A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.

Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.

Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%. 03. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C.

Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.

Solução:

Sejam p(A), p(B) e p(C) as probabilidades individuais de A, B, C vencerem. Pelos dados do enunciado, temos:

p(A) = p(B) = 2.p(C).

Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.

Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.

Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade

de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo).

Assim, substituindo, vem:

k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.

Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.

A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja, 2/5 + 1/5 = 3/5.

04. Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.

Solução:

Pelo enunciado, podemos escrever:

p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).

Seja p(2) = k. Poderemos escrever:

p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.

Então, substituindo, vem:

k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.

Assim, temos:

p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.

O evento “sair número primo” corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo,

p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

05. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50.

Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.

Solução:

Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto 15 números primos.

Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades.

Portanto a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

06. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?

Solução:

Existem C_10,2possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C_3,2possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:

P = C_3,2/ C_10,2= (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15.

Comentários sobre o cálculo de C_n,p. Como já sabemos da Análise combinatória, Esta é a forma tradicional de se calcular C_n,p. Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: C_n,p possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator.

Exemplos:

C_10,4= (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.

C_8,3= (8.7.6)/(3.2.1) = 56.

C_16,3= (16.15.14)/(3.2.1) = 560.

C_12,4= (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.

C_10,5= (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.

01.(Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas escolhidas ao acaso são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale:

a) 1/6 b) 2/9

c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81 02.(Fatec) Considere todos os números

de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade dele ser um número ímpar é:

a) 1 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/4 e) 1/5

03.(FEI) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A

probabilidade de ambas serem da mesma cor é:

a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/4

04.(Fei) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam “sim” a ambas; 300 responderam “sim” à primeira; 250 responderam “sim” à segunda e 200 responderam “não” a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido

“não” à primeira pergunta?

a) 1/7 b) 1/2 c) 3/8 d) 11/21 e) 4/25

05.(Fuvest) Escolhem-se ao acaso três vértices distintos de um cubo. A probabilidade de que estes vértices pertençam a uma mesma face é:

a) 3/14 b) 2/7 c) 5/14 d) 3/7 e) 13/18

06.(Fuvest–GV) No jogo da sena seis números distintos são sorteados dentre os números 1, 2,..., 50. A probabilidade de que, numa extração, os seis números sorteados sejam ímpares vale aproximadamente:

a) 50% b) 1% c) 25% d) 10% e) 5%

07.(Mackenzie) Num grupo de 12 profes- sores, somente 5 são de matemática.

Escolhidos ao acaso 3 professores do grupo, a probabilidade de no máximo um deles ser de matemática é:

a) 3/11. b) 5/11. c) 7/11.

d) 8/11. e) 9/11.

08.(Puccamp) O número de fichas de certa urna é igual ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR.

Se em cada ficha escrevermos apenas um dos anagramas, a probabilidade de sortearmos uma ficha dessa urna e no anagrama marcado as vogais estarem juntas é

a) 1/5040 b) 1/1260 c) 1/60 d) 1/30 e) 1/15

Desafio

Matemático

Geometria de posição

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.

Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.

Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Conceitos primitivos

São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

a) pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto.

•A

b)retas: letras minúsculas do nosso alfabeto.

c) planos: letras minúsculas do alfabeto grego.

Observação:Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

P

∈

Q

∈

Axiomas ou postulados (P) são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas P1.A reta é infinita, ou seja, contém infinitos

pontos.

P2.Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

Observe que os eixos se encontram no centro da roda gigante, dando a idéia de feixe de retas.

P3.Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P4.Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

Observe que as faixas de uma rodovia dão a idéia de uma reta

Plano

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

a)Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).

b)Um ponto e uma reta que não contém o ponto.

c)Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto.

d)Duas retas paralelas que não se sobrepõem;

e)Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe.

f)Duas retas concorrentes.

g)Dois segmentos de reta concorrentes.

Planos e retas

Um planoé um subconjunto do espaço R³de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R³ podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes: duas retas são

concorrentes se elas têm um ponto em comum.

As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: duas retas são ditas reversas quando uma não há interseção entre elas: não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa

Reta paralela a um plano:Uma reta r é paralela a um plano no espaço R³se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Desafio Matemático

01.(ITA) – Consideremos um plano ae uma reta rque encontra esse plano num ponto P, e que não é

perpendicular a a. Assinale qual das afirmações é a verdadeira.

a) Existem infinitas retas de a perpendiculares a r pelo ponto P.

b) Existe uma e somente uma reta de a perpendicular a r por P .

c) Não existe reta de a, perpendicular a r, por P .

d) Existem duas retas de a perpendiculares a r passando por P .

e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira .

02.(EESCUSP) – O lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que unem pontos de duas retas reversas é:

a) uma elipse;

b) uma hipérbole;

c) uma esfera;

d) uma reta;

e) um plano.

03.(EEUM)– Se a e b são dois planos perpendiculares, r a sua interseção e s uma reta paralela a a, então:

a) a reta s é paralela ao plano b;

b) a reta s é perpendicular ao plano b;

c) a reta s é paralela à reta r;

d) a reta s intercepta o plano b;

e) nada se pode concluir.

04.(EESCUSP)– Uma só das seguintes afirmações é exata. Qual?

a) Um plano paralelo a uma reta de um outro plano é paralelo a este;

b) Um plano perpendicular a uma reta de um plano é perpendicular a este plano;

c) Um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano;

d) Dois planos paralelos à mesma reta são paralelos;

e) Um plano paralelo à três retas de um mesmo plano é paralelo a este plano.

05.(UFBA) Sendo αe βdois planos e r₁e r₂duas retas, tais que α// β, r₁⊥ αe r₂// β, então r₁e r₂podem ser:

a) Paralelas a α^. b) Perpendiculares a β^. c) Coincidentes.

d) Oblíquas.

e) Ortogonais.

06.(UF–PE) Assinale a alternativa correta, considerando r, s e t como sendo retas no espaço .

a) Se r e s são ambas perpendiculares a t, então r e s são paralelas.

b) Se r é perpendicular a s e s é perpendi- cular a t, então r é perpendicular a t.

c) Se r é perpendicular a s e s é perpendi- cular a t, então r e t são paralelas.

d) Se r é perpendicular a s e βé um plano que contém s, então r é perpendicular a β e) Se r e t são perpendiculares a s no

mesmo ponto, então existe um plano que contém r e t e é perpendicular a s.

Matemática

Professor CLÍCIO

Reta perpendicular a um plano:uma reta é perpendicular a um plano no espaço R³, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é

perpendicular à reta.

Posições entre planos

1. Planos concorrentes no espaço R³são planos cuja interseção é uma reta.

2. Planos paralelos no espaço R³são planos que não têm interseção.

3.Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

4. Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

Poliedros

São sólidos do espaço de 3 dimensões cuja fronteira é a reunião de partes de planos.

Relação de Euler

Em qualquer poliedro convexo, é válida a relação:

V – A + F = 2

V = n.° de vértices;

A = n.° de arestas;

F = n.° de faces.

Soma dos ângulos das faces: S S = (V – 2). 360

Poliedros de Platão

De um poliedro de Platão, exige-se que:

a) Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;

b) Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Quantos são os poliedros de Platão?

Só existem cinco tipos de poliedros de Platão, regulares ou não, que são:

1. Tetraedro

4. Hexaedro

2. Octaedro

5. Dodecaedro

3. Icosaedro

Observação– Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem com hexágonos, nem com polígonos que tenham mais do que seis lados.

Resumo:

Aplicações

01.O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices.

Determine o número de faces do poliedro.

Solução:

Sabemos que sendo dado um poliedro de V vértices, F faces e A arestas, vale a célebre relação de Euler:

V + F = A + 2

É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica:

F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11. Portanto o poliedro possui 11 faces.

02.Um poliedro convexo possui 10 faces, sendo algumas quadrangulares e outras triangulares.

Ache o número de faces de cada tipo, sabendo que a soma dos ângulos das suas faces é 2520°.

Solução:

Sendo x faces quadrangulares e y faces triangulares, teremos:

x + y = 10

Sabemos que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo é dada por:

S = (V – 2) . 360°, onde V é o número de vértices. Logo,

2520° = (V – 2) .360° ⇒V – 2 = 7 ⇒V = 9 Sabemos também pelo Teorema de Euler, que:

V + F = A + 2

onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces.

Teremos então:

9 + 10 = A + 2, então A = 17

Outra relação conhecida para os poliedros é: n . F= 2 . A, onde n é o número de arestas em cada face.

No presente caso, n . F = 4x + 3y já que são 4 faces quadrangulares e 3 faces triangulares.

Logo, 4x + 3y = 2 . A = 2.17 = 34

Já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180° e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360°. Logo, como são x quadriláteros e y triângulos, vem:

x . 360 + y . 180 = 2520 Simplificando, vem:

Resolvendo o sistema acima, vem:

y = 14 – 2x

4 x + 3 (14 – 2x) = 34 4x + 42 – 6x= 34 –2x= –8

Daí tiramos x = 4 e, portanto y = 6.

São então 4 faces quadrangulares e 6 faces triangulares.

Desafio Matemático

01. (UFPA) Assinalar a única proposição errada entre as seguintes:

a) duas retas do espaço, paralelas a uma terceira, são paralelas entre si;

b) um plano perpendicular a dois planos incidentes é perpendicular à reta interseção deles;

c) uma reta ortogonal a duas retas de um plano é ortogonal ao plano;

d) um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a este plano;

e) dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos.

02. (UEA) Se um ponto é eqüidistante de três outros, então:

a) os quatro são coplanares;

b) estão sobre uma circunferência;

c) estão sobre uma esfera;

d) são vértices de um tetraedro;

e) nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira.

03. (IME) A única proposição certa é:

a) Se três retas tem um ponto comum, elas são coplanares.

b) Dois planos perpendiculares a um terceiro plano, são paralelos entre si.

c) Se dois planos são paralelos a uma mesma reta, então são paralelos entre si.

d) Um plano perpendicular a um de dois planos que se interceptam, deve inter- ceptar o outro.

e) A interseção de dois planos perpendicu- lares a um terceiro plano é uma reta perpendicular a este ou o conjunto vazio.

04. (FGV) Duas retas no espaço, perpendi- culares a uma terceira:

a) são paralelas;

b) são perpendiculares;

c) podem ser perpendiculares;

d) são coplanares;

e) são reversas.

05. (U.MACK) Considere as afirmações:

I. Se uma reta é paralela a dois planos, então estes planos são paralelos.

II. se dois planos são paralelos, toda reta de um é paralela a uma reta do outro.

III. Se duas retas são reversas, então existe uma única perpendicular comum a elas.

Então:

a) Todas são verdadeiras.

b) Somente a II é verdadeira.

c) Somente a III é verdadeira.

d) Somente a I é verdadeira e) Somente II e III são verdadeiras.

06. (U.MACK) Um poliedro convexo tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:

a) 75 b) 53 c) 31 d) 45 e) 25

Eletrostática

Nesta aula, discutiremos os efeitos produzidos por cargas elétricas em repouso, em determinado referencial.

Carga Elétrica

No estudo da Dinâmica, vimos que a propriedade física denominada massa faz que dois corpos troquem forças de campo gravitacional e que tais forças são sempre de atração.

Na Eletrostática, apresentaremos um outro tipo de força de interação entre os corpos, derivada de uma propriedade física denominada carga elétrica. É a força de campo eletrostático ou, simplesmente, força de campo elétrico. Essa força pode ser de atração ou de repulsão, o que implica a existência de duas espécies de cargas elétricas: uma positiva outra negativa. Ambas são manifestações contrárias da mesma propriedade física.

Unidade de carga elétrica

No SI, a unidade de medida da carga elétrica é o coulomb, cujo símbolo é C.

Carga elétrica elementar

Experiências revelaram que a carga elétrica apresenta-se na natureza com valores múltiplos inteiros de uma carga denominada carga elétrica elementar, simbolizada por e, cujo valor é: e = 1,6 . 10^–19C

Toda partícula dotada de carga elétrica é um portador de carga elétrica. É o caso do elétron (carga negativa) e do próton (carga positiva).

Por convenção:

q_elétron= – e = –1,6 . 10^–19C q_próton= + e = +1,6 . 10^–19C

O nêutron é uma partícula não-dotada de carga elétrica, ou seja:

q_nêutron= 0

Além do próton e do elétron, existem partículas elementares dotadas de carga elétrica, como o pósitron e o píon, por exemplo, que têm carga +e.

Qualquer átomo é um corpo eletricamente neutro. Perdendo ou ganhando elétrons, ele se torna um corpo eletrizado denominado íon (positivo ou negativo).

Carga elétrica de um corpo eletrizado e quantização da carga elétrica

Quando a soma das cargas elétrica de todos os portadores de carga existentes num corpo é igual a zero, dizemos que ele está eletricamente neutro. Eletrizar esse corpo significa tornar essa soma diferente de zero.

Quando eletrizamos um corpo, alteramos a sua quantidade de elétrons, mas não a de prótons (os núcleos atômicos, onde estão os prótons, só podem ser alterados em situações especiais, como, por exemplo, ao serem bombardeados por partículas dotadas de altas energias em aceleradores de partículas).

Para eletrizar um corpo negativamente devem- se fornecer elétrons a ele; nesse caso, ele ficará com excesso de elétrons. Para eletrizá-lo positivamente, devem-se retirar elétrons dele, o que o deixará com elétrons em falta. Esse déficit de elétrons equivale a um excesso de prótons.

Em qualquer caso, a carga elétrica Qadquirida pelo corpo é sempre um múltiplo inteiro da carga elementar e:

Q = n . e (n = 1, 2, 3, ...)

Pelo fato de Qser um múltiplo inteiro de e, dizemos que a carga elétrica é quantizada.

Aplicação

Um átomo tem o número de prótons igual ao número de elétrons. Um íon de alumínio Al³⁺é um átomo de alumínio que perdeu três elétrons. Qual é a carga elétrica Qdesse íon? (e=1,6.10^-19C) Solução:

Se o átomo perdeu 3 elétrons, ficou eletrizado

positivamente, com carga equivalente a um excesso de 3 prótons (n = 3):

Q = n . e = +3 . 1,6 . 10^-19 Q = 4,8 . 10^-19C

Atração e Repulsão

Verifica-se experimentalmente que:

– Corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal se repelem.

– Corpos eletrizados com cargas de sinais opostos se atraem.

Condutores e Isolantes

Condutor elétrico é um corpo que possui grande quantidade de portadores de carga elétrica facilmente movimentáveis, como:

– elétrons livres (nos metais e na grafite);

– íons positivos e negativos (nas soluções eletrolíticas);

íons e elétrons livres (nos gases ionizados).

Isolante elétrico é um corpo que, ao contrário do condutor, não possui quantidade significativa de portadores de carga elétrica facilmente movimentáveis (vidro, plásticos, mica, porcelana, seda, etc.).

Condutores eletrizados em equilíbrio eletrostático

Quando se eletriza um condutor, os portadores móveis de carga se distribuem através dele, buscando a situação mais estável possível, que, uma vez atingida, interrompe o fluxo de portadores de uma região para outra. Dizemos então que o condutor atingiu o equilíbrio eletrostático.

Sistema eletricamente isolado

É um conjunto de corpos que podem trocar cargas entre si, mas não com outros corpos externos ao sistema.

Princípio da Conservação da Cargas Elétricas Num sistema físico eletricamente isolado, a soma algébrica das cargas elétricas de todos os corpos é sempre constante.

Processos de Eletrização

1. Eletrização por atrito de materiais diferentes Os corpos atritados eletrizam-se com cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos. Isso ocorre porque um corpo captura elétrons do outro. A seda, por exemplo, tem maior afinidade por elétrons que o vidro. Assim, quando se atrita um tecido de seda num bastão de vidro, ambos inicialmente neutros, a seda fica negativa e o vidro positivo.

2. Eletrização por contato de condutores Se Aestiver eletrizado positivamente, uma certa quantidade de elétrons livres de Bpassará para A, diminuindo o excesso de carga positiva de A e eletrizando Bpositivamente.

Se A estiver eletrizado negativamente, uma certa quantidade de elétrons livres de A passará para B. com isso, A ficará menos negativo e B será eletrizado negativamente.

De acordo com o Princípio da Conservação da Carga Elétrica, as cargas finais (Q’_Ae Q’_B) e iniciais (Q_Ae Q_B) dos condutores são tais que:

Q’_A+ Q’_B= Q_A+ Q_B= Q_A

No caso de condutores geometricamente idênticos, temos, por simetria:

Q’_A= Q’_B→Q’_A= Q’_B= Q_A/2

3. Eletrização por indução Consideremos um bastão eletrizado positivamente, que cria, nos pontos A e B, potenciais diferentes: em A maior do que em B.

Se um objeto metálico neutro e isolado ocupar a

Física

Professor CARLOS Jennings

01. (UFRJ) Três pequenas esferas metálicas idênticas, A, B e C, estão suspensas, por fios isolantes, a três suportes. Para testar se elas estão carregadas, realizam-se três experimentos durante os quais se verifica com elas interagem eletricamente, duas a duas:

Experimento 1: As esferas A e C, ao serem aproximadas, atraem-se eletricamente, como ilustra a figura 1:

Experimento 2: As esferas B e C, ao serem aproximadas, também se atraem eletricamente, como ilustra a figura 2:

Experimento 3: As esferas A e B, ao serem aproximadas, também se atraem eletricamente, como ilustra a figura 3:

Formulam-se três hipóteses:

I. As três esferas estão carregadas.

II. Apenas duas esferas estão carregadas com cargas de mesmo sinal.

III Apenas duas esferas estão carregadas, mas com cargas de sinais contrários.

Analisando o resultados dos três

experimentos, indique a hipótese correta.

02. (Unesp) Considere uma ampla região do espaço onde exista um campo elétrico uniforme e constante. Em quaisquer pontos desse espaço, como os pontos I e II, o valor desse campo é

→E(Figura 1). Em seguida uma pequena esfera de material isolante e sem carga é introduzida nessa região, ficando o ponto II no centro da esfera e o ponto I à sua esquerda. O campo elétrico induzirá cargas na superfície da esfera (Figura 2).

a) O que ocorrerá com a intensidade do campo elétrico nos pontos I e II?

b) Justifique sua resposta.

03. (Cesgranrio) Uma pequena esfera de isopor, aluminizada, suspensa por um fio de nylon, é atraída por um pente plástico negativamente carregado.

Pode-se afirmar que a carga elétrica da esfera é:

a) apenas negativa;

b) apenas nula;

c) apenas positiva;

d) negativa, ou então nula;

e) positiva, ou então nula.

Desafio

Físico

região entre A e B, elétrons livres do metal passarão a se deslocar para a esquerda.

À medida que se acumulam elétrons na extremidade esquerda do condutor, o potencial elétrico em A vai diminuindo. Ao mesmo tempo vai-se acumulando carga positiva na

extremidade direita do condutor e, assim, o potencial em B vai aumentando. Quando os potenciais em A e B se igualam, o condutor atinge o equilíbrio eletrostático.

Se, em seguida, qualquer ponto do condutor for ligado à Terra (potencial nulo), elétrons livres marcharão da Terra até ele, porque cargas negativas buscam potenciais mais altos. Essa marcha de elétrons cessará quando o potencial do condutor reduzir-se a zero, igualando-se ao da Terra.

Desse modo, o condutor que estava neutro, eletriza-se negativamente graças à indução eletrostática do bastão. Mantida a ligação à Terra, se o bastão for afastado do condutor, este voltará à neutralidade elétrica. Porém, se a ligação a Terra for cortada antes de se afastar o bastão, o condutor permanecerá eletrizado negativamente.

Se o bastão estivesse eletrizado negativamente, o condutor, antes de ser ligado à Terra, estaria num potencial negativo, menor, portanto, que o da Terra. Se qualquer ponto do condutor fosse ligado à Terra, elétrons dele marchariam para a Terra e ele ficaria eletrizado positivamente por indução.

LEI DE COULOMB

Consideremos duas partículas em repouso, eletrizadas com cargas Qe qe separadas por uma distância d.

Essas partículas interagem com forças eletrostáticas (ou elétricas) que formam um par ação-reação. Sendo Kuma constante de proporcionalidade que depende do meio em que as partículas estão imersas, a Lei de Coulomb é expressa por:

K.|Q|.|q|

F_e= ––––––––––

d²

No vácuo, a constante eletrostática do meio vale:

K₀= 9,0 . 10⁹N.m²/C².

Aplicações

1.Em cada vértice de um triângulo eqüilátero foi fixada uma partícula eletrizada com a carga positiva q. Sendo K a constante eletrostática do meio, determine a intensidade R da força eletrostática resultante em cada partícula.

Solução:

2.Duas bolinhas, A e B, eletrizadas com cargas positivas Q e 4Q, respectivamente, estão fixas dentro de uma canaleta isolante e lisa, e separa- das uma da outra por uma distância l = 120cm, como mostra a figura:

Uma terceira bolinha C, eletrizada com carga q, encontra-se em equilíbrio dentro da canaleta, a uma distância x da bolinha A. Calcule a distância x.

Solução:

a) Como a bolinha C está em equilíbrio, a resultante entre F_ACe F_BCé nula:

Então:

120 – x

––––––– = 2 x ⇒x = 40cm ou 120 – x

––––––– = –2 x ⇒x = –120cm

Exercícios

01.(FEI) Qual das afirmativas está correta?

a) Somente corpos carregados positivamente atraem corpos neutros.

b) Somente corpos carregados

negativamente atraem corpos neutros.

c) Um corpo carregado pode atrair ou repelir um corpo neutro.

d) Se um corpo A eletrizado positivamente atrai um outro corpo B, podemos afirmar que B está carregado negativamente.

e) Um corpo neutro pode ser atraído por um corpo eletrizado.

02.(Fuvest 90) Uma esfera condutora A, de peso P, eletrizada positivamente, é presa por um fio isolante que passa por uma roldana. A esfera A se aproxima, com velocidade constante, de uma esfera B, idêntica à anterior, mas neutra e isolada. A esfera A toca em B e, em seguida, é puxada para cima, com velocidade também constante. Quando A passa pelo ponto M a atração no fio é T1 na descida e T2 na subida. Podemos afirmar que:

a) T₁< T₂< P b) T₁< P < T₂ c) T₂< T₁< P d) T₂< P < T₁ e) P < T₁< T₂

01. (Unicamp) Cada uma das figuras a seguir representa duas bolas metálicas de massas iguais, em repouso, suspen- sas por fios isolantes. As bolas podem estar carregadas eletricamente. O sinal da carga está indicado em cada uma delas. A ausência de sinal indica que a bola está descarregada. O ângulo do fio com a vertical depende do peso da bola e da força elétrica devido à bola vizinha. Indique em cada caso se a figura está certa ou errada.

02. (Unirio) Três esferas metálicas iguais estão carregadas eletricamente e localizadas no vácuo. Inicialmente, as esferas A e B possuem, cada uma delas, carga +Q, enquanto a esfera C tem carga –Q. Considerando as situações ilustradas, determine:

a) a carga final da esfera C, admitindo que as três esferas são colocadas simultaneamente em contato e a seguir afastadas;

b) o módulo da força elétrica entre as esferas A e C, sabendo que primeiramente essas duas esferas são encostadas, como mostra a figura I, e, em seguida, elas são afastadas por uma distância D, conforme a figura II.

03. (Cesgranrio) Na figura a seguir, um bastão carregado positivamente é aproximado de uma pequena esfera metálica (M) que pende na extremi- dade de um fio de seda. Observa-se que a esfera se afasta do bastão.

Nesta situação, pode-se afirmar que a esfera possui uma carga elétrica total:

a) negativa. b) positiva. c) nula.

d) positiva ou nula. e) negativa ou nula.

Desafio

Físico

Campo eletrostático ou campo elétrico

Vetor Campo Elétrico

Em Dinâmica, vimos que um corpo, por ter massa, cria no espaço uma região de influências denominada campo gravitacional, que lhe permite trocar forças de campo gravitacional com outras massas.

Considere, agora, um corpo em repouso, eletrizado com carga Q. Por ter carga elétrica, esse corpo também cria no espaço uma região de influências, denominada campo eletrostático ou campo elétrico, que lhe possibilita trocar forças com outras cargas.

Esse campo será representado, em cada ponto do espaço, pelo vetor campo elétrico ^→E . No SI, o vetor ^→E, num ponto qualquer, informa a direção, o sentido e a intensidade, em newtons, da força elétrica atuante numa carga de +1C, hipoteticamente colocada nesse ponto, sendo o N/C a sua unidade. Conseqüentemente, o vetor

→E criado por uma carga Q positiva tem sentido

“saindo” dela, e o vetor ^→E criado por uma carga Q negativa tem sentido “chegando” a ela.

Se uma carga qfor colocada num ponto qualquer do campo criado por Q, ela ficará submetida a uma força eletrostática dada por:

→F_e= q . ^→E

Se q > 0 →^→F_etem a mesma direção e o mesmo sentido de ^→E.

Se q < 0 →^→F_etem a mesma direção, mas sentido oposto ao de ^→E.

Campo elétrico criado por vários corpos eletrizados

Considere vários corpos eletrizados com cargas Q₁, Q₂, Q₃, ... , Q_ncriando, num ponto P, os vetores E₁, E₂, E₃, ..., Em, respectivamente. O vetor campo elétrico total no ponto P (^→E_p) é dado pela adição vetorial:

→E_p= ^→E₁+ E^→₂+ ^→E₃+ ... + ^→E_n

Aplicação

Uma partícula de massa me carga qé abandonada numa região, submetendo-se exclusivamente a dois campos: o gravitacional e o elétrico. Sendo g = 10N/kg e E = 10000N/C, determine o módulo da aceleração da partícula, nos seguintes casos:

Solução:

Em todos os casos, atua na partícula um peso de intensidade P dado por:

P = m.g = 2 . 10^-3. 10 = 2 . 10^-2N a) Como q > 0, atua na partícula uma força

elétrica no mesmo sentido do campo elétrico:

→F_e= |q|.^→E = 2.10^–7.10000 = 2.10^–3N Como R = m . a, temos:

P – Fe = m . a

2 . 10 –2 – 2 .10-3 = 2 . 10-3 . a a = 9m/s2

b) Como q > 0, ^→F_etem o sentido de ^→E:

→F_e= |q|.^→E = 2.10^–6.10000 = 2.10^–2N

Como P = 2 . 10^-2N, a força resultante é nula e a partícula fica em equilíbrio:

a = 0

c) Como q < 0, ^→F_etem sentido oposto ao de ^→E :

→F_e= |q|.^→E = 2.10^–6.10000 = 2.10^–2N Novamente, a partícula fica em equilíbrio:

a = 0

Campo elétrico criado por uma partícula eletrizada

A figura mostra o vetor ^→E criado por uma partícula eletrizada com carga Q, num ponto P situado a uma distância dda partícula.

Em relação à carga de prova qcolocada em P, a intensidade de ^→E vale:

F_e= |q|.E K.|Q|.|q|

––––––––– = |q|.E d²

K.|Q|

E = ––––––

d²

Linhas de força de um campo elétrico Em cada ponto de uma linha de força, o vetor campo elétrico tem direção tangente à linha e o sentido dela.

A intensidade de ^→E é tanto maior quanto mais concentradas estão as linhas de força. A partir da figura acima, temos: E_A> E_B.

1. Campo de uma carga puntiforme 01.(Desafio) Duas bolinhas metálicas

idênticas estão no vácuo, suspensas por fios isolantes de seda, em equilíbrio, como mostra a figura. Cada bolinha está eletrizada com carga Q = 24 . 10^-8C. Sendo l = 20cm o

comprimento de cada fio, e de 37° o ângulo formado por eles com a vertical, calcule o peso de cada bolinha.

Dados: K=9,0.10⁹(Sl); sen37°=0,60;

cos37°=0,80.

02.Duas cargas, q1= 6 .10^-6C e q2=4.10^-

6C, estão separadas por uma distância de 1m, no vácuo. Sendo a constante eletrostática do vácuo igual a 9 .10⁹N.

m² /C², podemos afirmar que o módulo da força de repulsão entre essas cargas, em N, é de, aproximadamente:

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6

03.Qual é o sentido e a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P devido à partícula eletrizada com carga Q nos seguintes casos? (K = 9 . 10⁹N.m²/C²)

04.(Cesgranrio) Três cargas de mesmo módulo são depositadas em três vértices diferentes de um quadrado. A figura indica essa situação.

O vetor campo elétrico resultante no ponto M, que é vértice livre do quadrado, é corretamente representado pela opção:

Física

Professor CARLOS Jennings

Desafio

Físico

2. Campo de duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinais opostos

3. Campo de duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinais iguais

Importante:

As linhas de força “saem” de um corpo eletrizado positivamente, e “chegam” a um corpo eletrizado negativamente.

Linhas de força não se cruzam (se o cruzamento ocorresse, teríamos nesse ponto duas orientações distintas para o vetor ^→E, o que é absurdo).

4. Campo eletrostático uniforme O vetor ^→E tem mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido em todos os pontos.

Assim, suas linhas de força são representadas por segmentos de reta paralelos entre si, igualmente espaçados e igualmente orientados.

Este é o tipo de campo existente entre duas placas planas e paralelas, uniformemente eletrizadas com cargas de sinais contrários, desde que não tomemos pontos próximos de suas extremidades.

Aplicação

Em cada situação esquematizada a seguir, temos partículas eletrizadas com carga de módulo Q, e cada uma delas cria no ponto P um campo de intensidade N/C. Em cada caso, trace o vetor campo elétrico resultante no ponto P e determine a sua intensidade.

Solução:

a)

E²_p= E²+ E²= 2E²

b)

EP = 10N/C

POTENCIAL ELETROSTÁTICO OU POTENCIAL ELÉTRICO

É a capacidade que um corpo eletrizado tem de realizar trabalho, ou seja, de atrair ou repelir outras cargas elétricas. Para obter o potencial elétrico de um ponto, coloca-se nele uma carga de prova qe mede-se a energia potencial adquirida por ela. Essa energia potencial é proporcional ao valor de q. Portanto, o quociente entre a energia potencial e a carga é constante. Esse quociente chama-se potencial elétrico do ponto:

E_p V = ––––

q

V é o potencial elétrico, E_pa energia potencial e q a carga. A unidade no S.I. é J/C = V (volt).

Então, quando se fala que o potencial elétrico de um ponto L é V_L= 10V, entende-se que esse ponto consegue dotar de 10J de energia cada unidade de carga de 1C. Se a carga elétrica for 3C, por exemplo, ela será dotada de uma energia de 30J, obedecendo à proporção.

Para calcular o potencial elétrico devido a uma carga puntiforme usa-se a fórmula:

V = ––––K.Q d

No S.I., d em metros , K é a constante dielétrica do meio, e Q a carga geradora.

Como o potencial é uma quantidade linear, o potencial gerado por várias cargas é a soma algébrica (usa-se o sinal) dos potenciais gerados por cada uma delas como se estivessem sozinhas:

K.Q₁ K.Q₂ K.Q₃ K.Q₄ V_L= ––––– + ––––– + ––––– + –––––d₁ d2 d3 d₄ O potencial elétrico tem o sinal da carga que o gerou:

Q > 0 →V > 0 Q < 0 →V < 0

Aplicação

A figura representa duas partículas eletrizadas com cargas Q₁= 6µC e Q₂= 2µC e um ponto P distante d₁= 6m e d₂= 3m das cargas Q₁e Q₂, respectivamente (K = 9 . 10⁹N.m²/C²).

a) Determine o potencial elétrico no ponto P.

b) Calcule a energia potencial elétrica adquirida por uma carga de prova q = 2µC, colocada em P.

c) Repita o item anterior considerando q = –2µC.

Solução:

a) Potencial criado pela carga Q1:

K.Q₁ 9.10⁹. 6.10^–6

V₁= ––––– = –––––––––––– ⇒V₁= 9.10³V d₁ 6

Potencial criado pela carga Q₂: K.Q₂ 9.10⁹. 6.10^–6

V₂= ––––– = –––––––––––– ⇒V₂= 6.10³V d₂ 3

Potencial total em P:

V = V₁+ V₂= 9.10³+ 6.10³⇒V= 1,5.10⁴V b) E_pe= q.V = 2.10^–6.1,5.10⁴⇒E_pe= +3.10^–2J c) E_pe= q.V = (2.10^–6).1,5.10⁴⇒E_pe= –3.10^–2J

01. (UFMS) Na figura, o campo elétrico é uniforme e tem módulo igual a 20N/C:

Se d = 4,25m, determine a diferença de potencial, em volts, entre as superfícies equipotenciais assinaladas.

02. Uma partícula carregada, tendo massa m e carga q > 0, penetra numa região entre duas placas metálicas paralelas com uma velocidade vo, cuja direção é perpendicular às placas.

Os potenciais das placas de esquerda e da direita, separadas pela distância d, são, respectivamente, V > 0 e 0 volt.

Quando a partícula atravessa a região entre as placas sob a ação exclusiva da força elétrica, sua energia cinética sofre uma variação de:

a) –––– mv1 ²_o 2 b) +q ––––V

d c) – q ––––V

d d) +qV e) – qV

03. (Unifor-CE) Entre duas placas paralelas horizontais e uniformemente eletrizadas com cargas de sinais opostos, existe um campo elétrico uniforme de intensidade E = 5,0 . 10⁴N/C . Uma partícula de massa m=2,0 . 10^–3kg e carga q = 2,0 . 10^–7C é abandonada em um ponto desse campo.

Sendo a aceleração da gravidade no local igual a g =10 m/s², a acaleração que a aprtícula adquire, em m/s², vale:

a) 2,5 b) 5,0 c) 7,5 d) 10 e) 15

Desafio

Físico

Concordância Nominal II

1. ADJETIVO E SUBSTANTIVO INDICANDO CORES

a)Cor expressa por adjetivo– Quando a cor é expressa por um adjetivo(verde, amarelo, azul, vermelho, branco, claro, escuro, etc.), tem-se a concordância nor- mal.

Exemplos:

1. Tinha uma coleção de belas gravatas azuis.

2. Sempre adorei as flores brancas.

3. As roupas vermelhascaem-lhe bem.

b)Cor expressa por substantivo– Quando a cor é expressa por um substantivo(aba- cate,anil, canário, cinza, gelo, laranja, limão, musgo, neve, ocre, ouro, pastel, rosa, rubi, sangue, violeta, etc.), o substantivo usado para exprimir cor fica invariável, (masculino singular) quer em palavra simples, quer em composta.

Observação– Se o substantivo virar adje- tivo (cinza = cinzento; rosa = róseo; la- ranja = alaranjado; carne =encarnado), a concordância passa a ser normal.

Veja construçoes certase erradas:

1. Tinha uma coleção de gravatas cinzas.

(errado)

2. Tinha uma coleção de gravatas cinza.

(certo)

3. Tinha uma coleção de gravatas cinzen- tas. (certo)

4. Em noites de boêmia, só usava cami- sas rosas. (errado)

5. Em noites de boêmia, só usava cami- sas rosa. (certo)

6. Em noites de boêmia, só usava cami- sas róseas. (certo)

7. Compramos três blusas abóboras.

(errado)

8. Compramos três blusas abóbora.

(certo)

9. Compramos três blusas vinho. (certo) 2. ADJETIVOS COMPOSTOS

a)Cor + substantivo = Composto invariá- vel. Veja uma lista:

amarelo-ouro branco-gelo amarelo-canário branco-neve amarelo-ocre vermelho-rubi verde-cana verde-água verde-oliva vermelho-sangue verde-musgo verde-musgo verde-abacate azul-turquesa b)Adjetivo + adjetivo = Só a segunda pa-

lavra pode variar. A primeira tem de ficar no masculino singular. Incluem-se aqui os adjetivos pátrios. Quando estão justa- postos, o primeiro fica na sua forma eru- dita e reduzida.

Veja uma lista de adjetivos pátrios redu- zidos:

Portugal luso-brasileiro

Japão nipo-brasileiro

China sino-brasileiro

Alemanha teuto-brasileiro

França franco-brasileiro

Itália ítalo-brasileiro Península Ibérica ibero-americano

África afro-brasileiro

Espanha hispano-americano

Índia indo-europeu

Itália ítalo-brasileiro c) Compostos especiais – Os adjetivos com-

postos seguintes são invariáveis:

Azul-marinho, azul-celeste, cor-de-rosa, furta-cor.

Veja construçoes certase erradas:

1. Na reunião, debateram-se pesquisas paraguaias-brasileiras. (errado) 2. Na reunião, debateram-se pesquisas

paraguaio-brasileiras. (certo) 3. As relações lusas-brasileirasficaram

estremecidas após a Indepedência.

(errado)

4. As relações luso-brasileirasficaram estremecidas após a Indepedência.

(certo)

5. Questionamos aqui os conteúdos lin- güísticos-sociológicos. (errado) 6. Questionamos aqui os conteúdos lin-

güístico-sociológicos. (certo) 7. Firmaram vários acordos nipo-brasi-

leirosde proteção ambiental. (certo) 8. As blusas cores-de-rosasão meio fe-

mininas. (errado) 3. TAL QUAL

a)Tal– É pronome; significa semelhante, análogo, este, aquele. Deve sempre con- cordar com o substantivo a que se refere.

Plural: tais.

b) Tal qual– A expressão tal qual, quando estabelece comparação entre dois seres, tem dupla concordância: o vocábulo tal concorda com o substantivo anterior, e qualconcorda com o substantivo poste- rior.

b)Tal e qual– Quando o sentido é de “exata- mente o mesmo”, pode-se usar, indiferen- temente, “tal qual” ou “tal e qual”.

Veja construçoes certase erradas:

1. O filho era tal qualo pai. (certo) 2. O filho era tal quaisos pais. (certo) 3. Os filhos eram tais quaisos pais.

(certo)

4. Os filhos eram tal qualos pais.

(errado)

5. Na família, predominava o lema: talpai, taisfilhos. (certo)

4. POSSÍVEL

a)O mais, o menos...– Possívelfica inva- riávelquando faz parte de expressão su- perlativa com a partícula o: o mais, o me- nos,o maior, o menor, o melhor, o pior.

b)Quanto possível– A expressão quanto possívelé invariável.

Veja construçoes certase erradas:

1. Gosto de roupas asmais exóticas pos- síveis. (certo)

2. Gosto de roupas omais exóticas pos- sível. (certo)

3. Traga cervejas tão geladas quanto pos- síveis. (errado)

4. Traga cervejas tão geladas quanto possível. (certo)

5. As informações obtidas sobre a moça são as melhores possível. (errado)

Português

Professor João BATISTA Gomes

ADJETIVOS ADVERBIALIZADOS Adjetivos adverbializados– São adjetivos usa- dos no lugar de advérbios. Nesse caso, não po- dem variar. Na análise sintática, exercem a fun- ção de adjuntos adverbiais.

Advérbio em “-mente”– Geralmente, equivalem a um advérbio em “-mente”.

Veja a relação dos principais adjetivosque se transformam em advérbios(derivação imprópria).

Alto Ninguém pode dormir porque eles riem altoa noite inteira.

Áspero Quando interrogados, responderam áspero.

Baixo No hospital, a ordem é para que to- dos falem baixo.

Barato Em Manaus, carros importados cus- tavambarato.

Bonito Todos gostaram da apresentação;

vocês fizeram bonito.

Caro Estão vendendo caroestes lotes.

Certo Vocês decidiram certo; estão de pa- rabéns.

Claro Para mim, não há dúvidas. Vocês deixaram tudo muito claro.

Confuso Eles redigem tudo muito confuso.

DemasiadoElas comem demasiado.

Diferente Todos aqui são esquisitos, fazem as coisas diferente.

Difícil Falando assim, eles acham que fa- lam difícil.

Direito Eles são honestos; agem direito.

DisparadoEles ganharam disparado.

Doce Aqui, vocês falam tudo doce, meio cantado.

Duro Devemos agir durocom esses pre- sos.

Errado Escreveram erradoestas palavras.

EscondidoAgiram escondido, mas o crime veio à tona.

Fácil Eles ganham dinheiro no jogo, por isso gastam fácil.

Falso As testemunhas juraram falso.

Feio Eles constroem feio, sem senso de perfeição.

Fino Eles falam fino, parecem afemina- dos.

Forte Elas batem forte, mas os filhos nem choram.

Frio Diante disso, todos suaram frio.

Fundo Essas injustiças falaram fundoden- tro de mim.

Gostoso Falam tudo que lhes vem à mente e riem gostoso.

Grosso Os patrões falaram grosso, e os âni- mos esfriaram.

Igual Tratava iguala todos os filhos.

Leve Tocaram leveo rosto da moça, sem intenção de agredir.

Ligeiro Agiram ligeiro, e o incêndio foi con- trolado.

Macio Na família, todos falam maciopor influência do avô.

Dificuldades

da língua