OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA ANTIGUIDADE
Mauri Cunha do Nascimento – mauri@fc.unesp.br Hércules de Araújo Feitosa – haf@fc.unesp.br Vínculo institucional:
Professores do Departamento de Matemática / Faculdade de Ciências – UNESP/Bauru Titulação: Ambos doutores
Endereço para correspondência:
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OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA ANTIGUIDADE
Mauri Cunha do Nascimento Professor Assistente Doutor Departamento de Matemática/FC/UNESP/Bauru mauri@fc.unesp.br Hércules de Araújo Feitosa Nascimento Professor Assistente Doutor Departamento de Matemática/FC/UNESP/Bauru haf@fc.unesp.br
Resumo
Este artigo trata dos três problemas clássicos da antiguidade, a saber, os problemas da duplicação do cubo, da trissecção do ângulo e da quadratura do círculo. São abordados os aspectos históricos e a teoria matemática que possibilitou uma resposta aos problemas. Em nosso contato com alunos e professores do ensino médio observamos que eles nem sempre sabem que os métodos existentes para algumas construções fornecem resultados aproximados, não sendo possível um método que forneça resultado exato. Com a utilização de softwares de Geometria Dinâmica, é possível realizar essas construções no computador e verificar o quanto aproximado são os resultados.
Palavras-chave: Geometria, construção com régua e compasso, equação polinomial.
This article deals with the three classic problems of the antiquity, namely, the problems to double a cube, to trisect of an arbitrary angle and to square a circle. The historical aspects and the mathematical theory are boarded and a reply to the problems is made possible. In our contact with pupils and professors of average or basic education we observe that nor always they know that the existing methods are approached methods, not existed an accurate method for such constructions. With the use of software of Dynamic Geometry, it is possible to carry through such constructions in the computer and to calculate the error of these methods.
Keywords: Geometry, rule and compass construction, polynomial equation
Introdução
A Matemática Grega era uma Matemática essencialmente geométrica. Tudo era pensado em termos de Geometria, sendo o conceito de número associado ao conceito de comprimento de segmento. Construir um número era então, construir um segmento, cujo comprimento era exatamente esse número. Para a soma, a diferença, o produto e a divisão de dois números existiam métodos geométricos de construção, a partir de retas e circunferências. Tais construções ficaram conhecidas como construções por régua e compasso. Assim, a partir da unidade, eram construídos os números naturais e os números fracionários. Alguns números irracionais também podiam ser construídos como, por exemplo, a raiz quadrada de 2, que é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de medida 1.
Os Problemas Clássicos
Alguns problemas a respeito de construção por régua e compasso não puderam ser resolvidos pelos gregos. Os três mais famosos foram ‘a quadratura do círculo’ (construir um quadrado com área igual à de um círculo dado), ‘a duplicação do cubo’ (construir um cubo cujo volume é o dobro do volume de um cubo dado) e ‘a trissecção do ângulo’ (construir um ângulo cuja medida é 1/3 da medida de um ângulo dado).
Figura 1: quadratura do círculo, duplicação do cubo e trissecção do ângulo
Uma lenda
Durante o quinto século A.C., Atenas foi assolada por uma peste que dizimou um quarto de sua população. Uma delegação foi então enviada ao oráculo de Apolo, em Delfos, com a missão de perguntar como combater a epidemia. Diante da pergunta, o oráculo respondeu que o altar cúbico de Apolo deveria ser duplicado. Em vista da resposta do oráculo, foi construído um altar cujas dimensões foram dobradas, mas mesmo assim, a
peste continuou. No caso, foi construído um cubo, cuja aresta era o dobro da aresta do cubo original, ou seja, o volume do cubo original foi multiplicado por oito.
Os problemas clássicos permaneceram insolúveis por muito tempo, em torno de 2.200 anos, nada se podendo afirmar sobre as possibilidades de tais construções, apesar dos esforços para resolvê-los. Somente a partir dos trabalhos deixados por Évariste Galois (1811-1832), tais problemas foram finalmente resolvidos.
Galois
Évariste Galois, jovem nascido em uma aldeia nas proximidades de Paris viveu no início do século XIX, período em que a França vivia um clima de turbulência política que culminaria na Revolução Francesa. Foi um entusiasta do movimento, além de manter também uma paixão pela Matemática, o que o levou a tentar resolver a questão da resolubilidade de equações polinomiais por meio de radicais, ou seja, tentar decidir se dada uma equação polinomial, suas raízes podem ser expressas através de radicais, isto é, através de raízes de números envolvendo os coeficientes das equações.
Na escola, Galois já mostrava grande interesse pela Matemática. Apesar disso, seus trabalhos eram medíocres e ele era considerado um excêntrico por seus professores. Tentou entrar na École Polytecnique por duas vezes e foi recusado. Galois ingressou na École Normale com o propósito de preparar-se para ensinar, continuando também suas pesquisas na Matemática. Aos 17 anos, entregou seus resultados a Cauchy para que os apresentasse à Académie des Sciences. Cauchy considerou que parte de seus resultados estava contemplado em um trabalho de Abel e o aconselhou a reformular o trabalho e apresentar
novamente. Seguindo o conselho de Cauchy, em 1830 apresentou seu trabalho a Fourier para um concurso na Acadèmie. Fourier levou o artigo para casa, morreu logo em seguida e o manuscrito se perdeu. Tentou apresentar novamente seu trabalho à Acadèmie através de Poisson que o devolveu com a observação que o trabalho era incompreensível.
Naquela época a França vivia uma efervescência política e Galois, influenciado por idéias liberais acaba por aderir à causa republicana. Uma carta sua criticando o conservadorismo do diretor da École Normale acabou resultando em sua expulsão. Em 1831, foi preso por ter feito uma manifestação que foi interpretada como uma ameaça à vida do rei Louiz Philippe, tendo sido solto logo em seguida. Foi preso novamente poucos meses depois e condenado a 6 meses de prisão por vestir indevidamente uniforme militar. Algum tempo depois, por causa de uma mulher, foi desafiado a um duelo, não o recusando em nome de um código de honra. Na noite anterior ao duelo, Galois escreveu uma carta a um amigo descrevendo suas pesquisas na Matemática. Pediu ao amigo que a publicasse, o que aconteceu no mesmo ano. O duelo ocorreu na manhã do dia 30 de maio de 1832. Galois recebeu um tiro, falecendo na manhã seguinte. Seu funeral foi acompanhado por milhares de revolucionários. Ao morrer, Galois tinha apenas 20 anos de idade.
Os trabalhos de Galois respondiam à questão de resolubilidade de equações polinomiais por meio de radicais. Além disso, foi também uma ferramenta importante para dar uma resposta aos problemas clássicos gregos. A partir do conceito de extensão de corpos, foi possível obter resultados que garantiam a impossibilidade de algumas construções por meio de régua (sem marcas) e compasso.
Para uma equação de grau 1, ax+b = 0, a solução é dada por x = -b/a.
Para uma equação de grau 2, ax2 + bx + c = 0, suas raízes são obtidas pela fórmula
2a 4ac b b x 2 − ± −
= , uma contribuição da matemática árabe.
Matemáticos italianos, no período do final do século XV e início do século XVI, mostraram que uma equação de grau 3 poderia ser modificada e expressa numa das formas x3 + px = q, x3 = px + q e x3 + q = px, onde p e q são números positivos. Naquela época, não se trabalhavam com números negativos. Também se obteve um método para reduzir uma equação do quarto grau para uma equação de grau 3.
Assim, para encontrar as raízes de uma equação de grau 3 ou 4, basta encontrar as soluções da equação x3 + px + q = 0, para p e q números reais. Considerando x = z –
z 3 p , obtém-se a equação z3 – 3 3 z 27 p
+ q = 0 que, multiplicada por z3, resulta em
(z3)2 + qz3 – 27 p3
= 0, e esta é uma equação de grau 2 na variável z3, podendo então ser resolvida por meio de radicais.
Apesar de Niels Henrik Abel (1802-1829) ter mostrado que nem sempre era possível encontrar as raízes de uma equação de grau 5 por meio de radicais, não ficaram estabelecidas as condições para encontrar tais raízes. Somente nos trabalhos deixados por Galois, e que foram anunciados por Joseph Liouville (1809 - 1882) em 1843, os polinômios resolúveis por meio de radicais foram caracterizados através de propriedades de grupos de automorfismos de um corpo.
Números construtíveis
Um número α é dito construtível se é possível construir um segmento de medida α, utilizando somente régua (sem marcas) e compasso. Se α e β são números construtíveis então α + β, αβ e 1/α (caso α≠0) também são construtíveis. Se α é construtível, considera-se -α também um número construtível. Assim, partindo da unidade, é possível construir qualquer número fracionário.
O processo de construção, por meio de régua e compasso, do ponto de vista da Geometria Analítica, consiste em:
a) traçar retas que unem pontos já construídos;
b) traçar circunferências com centros e raios também construídos;
c) obter os pontos de interseções de reta com reta, reta com circunferência e circunferência com circunferência, determinando as coordenadas desses novos pontos. Isso significa trabalhar com sistemas de equações do tipo ax + by + c = 0 e (x–x0)2 + (y-y0)2 = r2, cujas soluções são raízes de equações de graus um ou dois. A partir desta observação, prova-se que se o número α é construtível então α é raiz de um polinômio irredutível f(x) com coeficientes racionais, e o grau de f(x) é igual a 2n. Isso também nos garante que se α é raiz de um polinômio irredutível, cujo grau não é uma potência de 2, então α não é construtível.
Um número α é denominado algébrico se α é raiz de um polinômio com coeficientes racionais. Caso contrário α é denominado transcendente. Assim, se α é um número transcendente então α não é um número construtível.
Exemplos.
1) O número
