sen(α)=-sen(360-α) cos(α)=cos(360-α) sen(α)=cos(90-α) cos(α)=sen(90-α) α α sen(α)=-sen(180+α) cos(α)=-cos(180+α) Prof. Gabriel Cremona Parma

(1)

= =

= á í .

= =

= á í .

= TA =

=

eixo dos cossenos

eix o do s sen o s eix o da s ta n gen tes

Raio do círculo trigonométrico sempre o raio unitário (igual á uma unidade).

Simulação online das Funções Trigonométricas: http://alexsanderam.brinkster.net/geogebra/2.html

sen(α)=cos(90-α)

cos(α)=sen(90-α) sen(α)=sen(180-α) cos(α)=-cos(180-α)

sen(α)=-sen(180+α) cos(α)=-cos(180+α)

sen(α)=-sen(360-α) cos(α)=cos(360-α)

α α α

180 − α 180 + α 360 − α

X’

tan(X)

EQUIVALÊNCIAS 180⁰ =π(rd) 1⁰ = 60’=3600”

1’ = 60”

TRANSFORMAR

Graus/minutos/ segundos para graus decimais:

30⁰16’46” = 30,2794445 ⁰ Processo:

30 + 16/60 + 46/3600 =

30 + 0,2666667 + 0,0127778 = 30,2794445 ⁰

TRANSFORMAR

Graus decimais para graus/minutos/segundos:

30,2794445 ⁰ = 30⁰16’46”

Processo:

graus: parte inteira do número

g = parte inteira do número = int(30 ,2794445 ) g = 30⁰

Minutos:

m = int(0,2794445x60) = int( 16,7666700 ) m = 16’

Segundos:

s = int(0, 7666700x60) = int( 46,0002000) s = 46” (nunca usar decimais para os seg.) Finalmente o valor transformado é:

30⁰16’46

α

α α

(2)

2 2 2

2 2 2 2 2 2

Funções Básicas . .

. cos cos .

. . .

tan cot

.

cot . tan

. . Teorema Pitágoras

;

Relações Fundamentais

tan = , cot

cos

a cat op

sen c hip

b cat adj c hip sen a cat op c cat adj b cat adj a cat op

c a b

a c b b c a

sen

 

  



  

  

   



 

²

 

²

1 tan

cos 1

sen



   

2 2 2

Teorema Seno 2 Teorema cosseno

2 2 2

Teoerma Tangentes

tan 2 ; 90

2 2

tan 2

Teorema projeções

cos cos

a b c

sen sen sen R

a c b c b cos b c a c a cos c a b a b cos

a b a b

a b c

b a c

c b

  







 

  

 

 

 

  

     



 

  

 

   

  cos    a cos 

2

2 raio circunf. inscrita raio circunf. circunscrita

2 ( )( )( )

Area ( )( )( )

Area 2

Area base altura r

R a b c

s

s a s b s c

r s

rs s s a s b s c R sen sen sen

a b sen

  



 



 



  



    

   

  

a c b

B C

A α

β γ

180 : 90

90 se

  



 

   

  

  

a

b c

C

B A

α

β γ

90 90 90







 

      180 

tan ; tan ; tan

2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

( )( )

; ...; ...

2 2 2

tan ; tan ...; tan ...

cos

r r r

s a s b s c

s b s c

sen sen sen

bc a sen c a

  

   



  

  

 

  

   

 

Prof. Gabriel Cremona Parma

(3)

çã

= 90°

= 90° − ; c= × Solução básica

= 180° − − c = ×

Segunda Solução

= 180 −

= 180° − −

= ×

a) Se : × > → ã ℎ çã .

b) Se: ≥ → < 90°: çã ú : c) Se: < → verificar possível segunda solução

−Se: × < → çã :

−Se: × = → uma única çã :

Caso 1: um lado e dois ângulos adjacentes. Dados: c; α; β

Caso 2: dois lados e o ângulo compreendido. Dados: a; b; γ

Caso 3: 2 lados e o ângulo oposto. Dados: a; b; α (Caso duvidoso)

Caso 4: três lados. Dados: a; b; c

a

b c

C

B α

β γ

A

90 90 90







 

      180 

= 180° − − b = ×

a = ×

= + − 2 ×

= ×

= 180° − −

Método A: Método B:

= × → =

+

2 = 90 − 2 =

= + ; β = = c = ×

= + +

2 ; = ( − )( − )( − )

; =

− ; =

− ; = 180° − −

= ; = ; = 180° − −

Método A:

Método B:

= ×

Verificação da Solução:

Calcular primeiro:

(4)

= é

; ;

; ; çõ /

= −

.

( )

ç :

= ; ;

ℎ :

= ℎ ;

â ℎ

ℎ = +

= ℎ +

= + +

Â çã :

= ; = ; =

Â çã ℎ :

= ; = ; =

Prof. Gabriel Cremona Parma

ORIGEM ORIENTAÇAO NO EIXO HORIZONTAL +Y (NORTE)

(5)

• Medidas lineares com precisão de milímetros:

– Três casas decimais depois da vírgula. CERTO: 234,233m ERRADO: 234,233441214m – Exemplos de arredondamentos ao milímetro (a três casas decimais):

• 15,6232m → 15,623m

• 15,6237m → 15,624m

• 15,6235m → 15,624m

• 15,6245m → 15,624m

• Medidas angulares com precisão de segundos.

– Sem decimas de segundos. CERTO: 124° 23' 34“ ERRADO: 124° 23' 34,23“

– Exemplos de arredondamento ao segundo:

• 20⁰30’16,32” → 20⁰30’16”

• 20⁰30’16,73” → 20⁰30’17”

• 20⁰30’16,50” → 20⁰30’16”

• 20⁰30’15,50” → 20⁰30’16”

• Cálculos/valores intermediários

– Usar a precisão total da calculadora e usar a capacidade da calculadora de fazer cálculos complexos de uma só vez. Porém, nunca use menos de seis casas decimais nos resultados parciais;

• Recomenda-se não copiar resultados intermediários/parciais da calculadora na folha dos cálculos.

• Matematicamente só deve-se indicar o modelo matemático, os valores das variáveis e o resultado final, sem os resultados parciais (faça os cálculos de uma única vez na calculadora!)

Estas condições de precisões e formalismos serão cobradas nos resultados numéricos das provas, descontando-se nos cálculos (precisões) e no método (formalismos matemáticos)

No caso do “5” arredondar para o par mais próximo!

X

(6)

Tecla “GRAUS” para trabalhar com graus, minutos e segundos sexagesimais nos dois formatos usuais (ggg/mm/ss ou g.ddddddd)

Exemplo: calcular o cosseno de 30⁰16’46”:

No ecrã da calculadora resulta:

cos 3 0 ⁰ ’ ” 1 6 ⁰ ’ ” 4 6 ⁰ ’ ” ) =

Exemplo: calcular o arco cosseno de 0.923456 (descobrir o ângulo):

No ecrã da calculadora resulta:

SHIFT cos 0 . 9 2 ³ 4 5 ⁶ ) = ^{⁰ ’ ”}

Observação: os parênteses iniciais nas funções trigonométricas dependem do modelo de CASIO:

se apertar a função e aparecer a abertura de parêntese, lembre-se de fechá-lo antes da tecla “=“

Exemplo: calcular a raiz quadrada de 5,3 ² menos 3 ² (metros):

No ecrã da calculadora resulta:

Neste caso, o resultado deve ser considerado como 22°33’48”

Nunca usar decimas de segundos No mínimo, trabalhar com 6 casas

decimais nas funções trigonométricas, se necessário valores intermediários. Neste caso seria: 0,833576

Nos resultados finais de comprimento de segmentos de retas, usar só três casas decimais: 4,369m neste caso.

• ( 5 ^. 3 2 - 3 ⁾ =

(7)

Classificações dos ângulos Com relação às suas medidas

• Giro:

– ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta ou completo).

– Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo.

– A volta completa coincide com o ângulo de 0° mas possui a grandeza de 360°.

– Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

• Consecutivos:

– dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo;

• Adjacentes:

– Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum;

• Opostos:

– Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

• Congruentes:

– Dois ângulos são congruente (ou coincidentes) se quando sobrepostos os lados de um

deles são as mesmas semirretas dos lados do outro.

(8)

Classificações dos ângulos Com relação às suas medidas

• Nulo:

– um ângulo nulo mede 0°;

• Agudo:

– ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;

• Reto:

– um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares;

• Obtuso:

– é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°;

• Raso:

– ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas;

• Côncavo ou reentrante:

– ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;

(9)

Classificações dos ângulos

Quanto a suas complementações

• Complementares:

– dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

• Suplementares:

– dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

• Explementares:

– Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.

• Replementares:

– dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas

é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.