TEMA 4: “TREBALL, POTÈNCIA I ENERGIA”
TEMA 4: “TREBALL, POTÈNCIA I ENERGIA”
1.- INTRODUCCIÓ:1.- INTRODUCCIÓ:
Fins ara hem estudiat el
Fins ara hem estudiat el moviment relacionant diferents magnituds amb el temps. Aramoviment relacionant diferents magnituds amb el temps. Ara estudiarem el moviment relacionant algunes magnituds amb la
estudiarem el moviment relacionant algunes magnituds amb la posició. Aquesta maneraposició. Aquesta manera d’estudiar el moviment ens porta a introduir el conceptes d’energia i treball.
d’estudiar el moviment ens porta a introduir el conceptes d’energia i treball. En el nostre llenguatge
En el nostre llenguatge quotidià, anomenem treball a molts tipus de feines quequotidià, anomenem treball a molts tipus de feines que impliquen un esforç físic o
impliquen un esforç físic o intel·lectual, però en física, el trintel·lectual, però en física, el treball, anomenateball, anomenat treball mecànictreball mecànic,té,té unes connotacions diferents. Mitjançant un exemple introduirem els conc
unes connotacions diferents. Mitjançant un exemple introduirem els conc eptes de treball ,eptes de treball , potència i energia:
potència i energia:
Un ciclista va pedalant
Un ciclista va pedalant i gràcies a la força motriu i gràcies a la força motriu de les seves cames aconsegueixde les seves cames aconsegueix
desplaçar-desplaçar-se, aquesta força i el se, aquesta força i el desplaçament es relacionen en forma d’una nova magnituddesplaçament es relacionen en forma d’una nova magnitud anomenada treball mecànic. La magnitud que mesura la rapidesa amb la que el ciclista pot fer anomenada treball mecànic. La magnitud que mesura la rapidesa amb la que el ciclista pot fer aquest treball és la potència. A
aquest treball és la potència. Amés, per poder participar en una més, per poder participar en una carrera, abans hauràcarrera, abans haurà d’esmorzar bé, és a dir, haurà d’haver pres un
d’esmorzar bé, és a dir, haurà d’haver pres un esmorzar energètic per poder fer l’eesmorzar energètic per poder fer l’esforç isforç i realitzar el treball. Per tant, l
realitzar el treball. Per tant, l ’energia’energia dels aliments vindrà a ser una cosa així com la capacitatdels aliments vindrà a ser una cosa així com la capacitat del ciclista
del ciclista per per realitzar el realitzar el treball.treball.
Amb aquest exemple podem veure que els conceptes de tr
Amb aquest exemple podem veure que els conceptes de treball, potència i energiaeball, potència i energia estan lligats. Al llarg d’a
estan lligats. Al llarg d’aquest tema buscarem aquesta relació i quantificarem aquestesquest tema buscarem aquesta relació i quantificarem aquestes magnituds.
magnituds.
2.- TREBALL MECÀNIC: 2.- TREBALL MECÀNIC:
Hem explicat que es produeix treball mecànic quan en aplicar una força sobre un cos, Hem explicat que es produeix treball mecànic quan en aplicar una força sobre un cos, aquest es desplaça. Per exemple, si volem moure
aquest es desplaça. Per exemple, si volem moure un cos arrossegant-lo per un un cos arrossegant-lo per un terraterra horitzontal (fig.1), podrem aplicar una força horitzontal,
De vegades, les forces no actuen en la mateixa direcció en que es produeix el De vegades, les forces no actuen en la mateixa direcció en que es produeix el desplaçament, per exemple, tots hem vist un nen
desplaçament, per exemple, tots hem vist un nen petit arrossegant un cotxet mitjançant unapetit arrossegant un cotxet mitjançant una corda (fig.2)
corda (fig.2)
FFyy
FFxx
Fig2. Els vectors força i
Fig2. Els vectors força idesplaçament desplaçament formen un angle α formen un angle α
En aquest cas, no tot l’efecte de la força s’utilitza en realitzar el treball, només realitza En aquest cas, no tot l’efecte de la força s’utilitza en realitzar el treball, només realitza treball la component del vector força en la direcció del desplaçament, F
treball la component del vector força en la direcció del desplaçament, Fxx (fig.2) (fig.2)
aquesta component té la direcció del desplaçament i, per tant, realitza treball. aquesta component té la direcció del desplaçament i, per tant, realitza treball.
component perpendicular al desplaçament i que no
component perpendicular al desplaçament i que no realitza treball.realitza treball. Amb aquestes consideracions podem concloure que:
Amb aquestes consideracions podem concloure que:
11
el producte escalar de dos vectors ens dona com a resultat una magnitud
el producte escalar de dos vectors ens dona com a resultat una magnitud escalar i es calcula, en general,comescalar i es calcula, en general,com
Aquesta expressió es pot u
Aquesta expressió es pot utilitzar tilitzar solament si la força es manté solament si la força es manté constant, si no és així es potconstant, si no és així es pot calcular gràficament o amb càlculs integrals ( s’estudiarà a 1r de batxillerat)
calcular gràficament o amb càlculs integrals ( s’estudiarà a 1r de batxillerat) 2.2.- Conseqüències de la definició de treball:
2.2.- Conseqüències de la definició de treball:
El treball és una magnitud escalar que pot ser positiva, negativa o zero en funció del El treball és una magnitud escalar que pot ser positiva, negativa o zero en funció del valor de l’angle α, ja que F i Δx
valor de l’angle α, ja que F i Δx representen els mòduls de dos vectors i, per tant sempre sónrepresenten els mòduls de dos vectors i, per tant sempre són positius. Abans de justificar el
positius. Abans de justificar el signe del treball hem de pensar signe del treball hem de pensar que aplicarem aquesta fórmulaque aplicarem aquesta fórmula a cadascuna de les components del vector força, és a dir, considerarem l’eix del moviment com a cadascuna de les components del vector força, és a dir, considerarem l’eix del moviment com eix x i dibuixarem un eix perpendicular a ell,eix y i
eix x i dibuixarem un eix perpendicular a ell,eix y i sempre farem la descomposició vectorial desempre farem la descomposició vectorial de la força segons aquestos eixos, de
la força segons aquestos eixos, de manera que l’angle α sempre serà 0, 90 o 180manera que l’angle α sempre serà 0, 90 o 180 . Si mirem la. Si mirem la descomposició representada en la fig.2 podem veure que
descomposició representada en la fig.2 podem veure que FFxx forma un angle de forma un angle de
0
0 i Fi Fyy el f el fororma dma de 9e 900 :: Definim
Definim treball mecànic, W,treball mecànic, W, com el producte de la força aplicada a un cos en la com el producte de la força aplicada a un cos en la direcció del desplaçament pel desplaçament que es
direcció del desplaçament pel desplaçament que es produeix, és a dir, el produeix, és a dir, el producteproducte escalar
escalar11 de la força pel desplaçament: de la força pel desplaçament:
El treball és una magnitud escalar i la se
Amb aquestes consideracions podem deduir que:
a) Si la força i el desplaçament formen un angle de 0 →cos0=1→ W b) Si l’angle és de 90 →cos 90=0 → W=0
c) Si l’angle és de 180 →cos 180=-1 → W
Si sobre el cos actua més d’una força, el treball total serà la suma dels treballs de cada força amb el seu signe corresponent ja que el treball és una magnitud escalar:
Exemple 1:
Calculeu el treball que realitza un alumne que subjecta la seva cartera de 10 kg si: a) L’aguanta 3 min mentre espera el bus.
b) L’aixeca 50 cm verticalment i amb velocitat constant. c) La baixa 50 cm verticalment i amb velocitat constant. d) Camina amb la cartera a la mà durant 2 metres.
Resolució:
W= F·Δx·cosα i sabem que m=10 Kg
a) F
F=P=m·g=10·9,8=98 N W= 0 Δx=0
P
d) Δx En aquest cas α=90→ Exemple 2:
Desplacem horitzontalment un cos 50 m per l’acció d’una força de 100 N. Calculeu el treball realitzat per aquesta força si:
a) La força actua horitzontalment en el sentit del moviment. b) La força forma un angle de 60 amb el desplaçament. c) Són perpendiculars. d) Formen un angle de 150 . Resolució: a) F Δx b) Fy F Fx Δx c) F Δx d) F Fy Fx Δx
Exemple 3:
Volem traslladar un cos de 25 kg una distància de 15 m per una superfície
horitzontal mitjançant una corda que forma un angle de 30 amb la superfície. Si la tensió de la corda és de 75 N i el coeficient de fregament és 0,2, calculeu:
a) Feu un dibuix explicatiu de totes les forces que indiqui la direcció i el sentit del desplaçament i descomponeu els vectors força que sigui necessari.
b) El treball de cada força. c) El treball total. Resolució: Dades: m=25 kg; Δx=15 m; α=30 ; T=75 N; µ=0,2 a) N Ty T Ff Tx P Δx
c)
3.-POTÈNCIA:
La potència és una magnitud escalar que ens indica la rapidesa amb la que es realitza un treball. Per exemple, podem utilitzar dues grues per aixecar el mateix nombre de sacs de ciment però la primera triga 1 minut i la segona 5 minuts, es evident que les dues grues no aprofiten el temps de la mateixa manera, la primera és més potent que la segona.
A partir de l’expressió de la potència podem obtenir una unitat amb la que freqüentment s’expressa el treball ( i l’energia):
si considerem les unitats de la potència i del temps i considerant que el Kilowatt és un múltiple del watt i que les hores són un múltiple dels segons, el treball també es pot expressar en Kw·h:
3.1.- Rendiment:
Quan tenim qualsevol aparell que funciona accionat per un motor, tot el treball que realitza el motor no s’aprofita ja que sempre hi ha pèrdues degudes al fregament. Per exemple, si tenim un secador del cabell que indica una potència de 2800 w,aquest valor correspon a la potència que consumeix (potència consumida) quan està funcionant però si el toquem podem notar que s’escalfa degut al fregament entre els seus elements interns. Açò fa que dels 2800 w solament n’aprofiten una part que anomenem potència útil.
La relació entre la potència útil i la potència consumida l’expressem amb una magnitud anomenada rendiment,ŋ:
Definim potència, P, com el treball realitzat per unitat de temps. Podem calcular-la amb l’expressió:
La potència es mesura en J/s i a aquesta nova magnitud se l’anomena watt (w). També és freqüent expressar-la en cavalls de vapor (CV) de manera que 1CV=735 w.
El rendiment s’expressa, generalment , en %.
Exemple 4:
Una grua aixeca 600 Kg de totxos a 20 m d’altura en 30s amb velocitat constant. Calculeu: a) El treball que realitza la grua.
b) La potència.
c) El rendiment si la potència teòrica del seu motor és 14 CV. Resolució:
Dades: m=600 Kg; Δy=20 m; t=30 s; v=constant→a=0 a) F Δy P b) c)
Exercicis proposats:
1.- Sobre una capsa que es mou en una superfície horitzontal apliquem una força de 130 N. Calculeu el treball que realitza aquesta força si forma amb el desplaçament els angles indicats i si aquest és de 7 m.
a)0 b)30 c)90 d)150 e)180
2.-Calculeu el treball que realitza una noia que porta una motxilla de 15 kg a l’esquena en el següents casos:
a) L’aguanta durant 5 minuts mentre espera entrar a classe. b) Va caminant amb velocitat constant durant 30 m.
c) Se la treu de l’esquena a 1 m del terra i la deixa.
3.- Un nen vol arrossegar 5 m un carretó de 2 kg per una superfície horitzontal mitjançant una corda que forma un angle de 45 amb l’horitzontal i fent una força de 25 N. Si el coeficient de fregament és 0,1, calculeu el treball de cada força i el treball total.
4.-Una força de 3N i una altra de 4 N són perpendiculars i actuen durant 10 s sobre un cos de 2,5 kg que es mou en la direcció de la força de 4 N sense fregament. Calculeu:
a) El treball de la força resultant. b) El treball de la força de 3 N. c) El treball de la força de 4 N.
d) Si comparem el resultat de l’apartat a) amb el b)i c), quines conclusions podem obtenir? 5.- Calculeu el treball realitzat per cada força i el treball total als esquemes següents si, en els dos casos, el desplaçament és de 10 m al llarg de l’eix x.
a)
F3=40 N
F2=20 N Els angles indicats són de 30 .
F1=100 N
F4=60 N
b)
F3=25 N
F1=50 N
6.- Calculeu la potència desenvolupada pel motor d’un ascensor de 200 kg si puja amb velocitat constant 4 pisos en 10 s i l’altura de cada pis és de 4,5 m.
7.- Una grua puja blocs de pedra de 50 kg fins una altura de 40 m amb velocitat constant en 20s. Una altra eleva blocs de 100 kg fins 50 m d’altura en 30 s. Quina grua és més potent? 8.- Volem fer pujar un bloc de 50 kg amb velocitat constant per un pla inclinat de 4 m d’altura i 5 m de longitud mitjançant una força aplicada en la mateixa direcció i sentit que el
desplaçament. Calculeu:
a) La força que hem de fer si no hi ha fregament. b) El treball fet per aquesta força .
c) El valor de la força si µ=0,1.
d) Quin avantatge té utilitzar el pla inclinat per elevar el cos fins als 4 m d’altura en lloc de fer -ho verticalment?
9.- Calculeu el treball realitzat per una grua en aixecar 500 kg fins 20 m d’altura amb velocitat constant. Doneu el resultat en J i kw·h.
10.- Una grua aixeca una biga de 100 kg a una altura de 15 m i després la desplaça horitzontalment 10 m. Calculeu:
a) El treball total realitzat per la grua.
b) La potència útil si triga 1 min en aixecar la biga.
11.- Mitjançant una força de 100 N paral·lela a un pla inclinat 30 pugem un cos de 5 kg fins una altura de 15 m. Si el coeficient de fregament és 0,2, calculeu:
a) La distància que recorre el cos i la seva acceleració si suposem que és constant. b) El treball de cada força i el treball total.
12.- Deixem caure un cos de 8 kg per un pla inclinat 30 . Si µ=0,2 i arriba al final del pla a 25 m/s, calculeu:
a) La longitud del pla i l’acceleració amb la que baixa. b) El treball de cada força i el treball total.
4.- ENERGIA:
L’energia és una magnitud molt utilitzada tant en física com en química però que és difícil de definir. Podem entendre que un cotxe no pot funcionar sense l’energia proporcionada pel combustible, que un ciclista no pot pedalar gaire sense l’energia proporcionada per una bona alimentació però, què és l’energia? L’energia és la capacitat que tenen les partícules per realitzar una transformació. Si aquesta transformació es pot expressar en termes de força i desplaçament, el resultat és un treball, per tant, podem resumir:
Com que l’energia s’identifica amb el treball, les dues magnituds tenen les mateixes unitats, és a dir, en el SI en joules(J).
Aquesta capacitat de realitzar treball pot ser deguda a diferents causes i això ens permet diferenciar entre energia tèrmica, química, elèctrica, nuclear, cinètica, potencial... En aquest tema ens centrarem en l’energia mecànica i en les seves dos accepcions que són l’energia cinètica i l’energia potencial.
4.1.- Energia cinètica, Ec:
Podem mesurar l’energia d’un cos calculant el treball necessari perquè aquest cos adquireixi una velocitat o perquè s’aturi quan porta certa velocitat ja que hem definit l’energia com la capacitat per realitzar un treball. Si podem calcular aquest treball tindrem l’energia cinètica
No és objectiu d’aquest curs deduir l’expressió corresponent a l’energia cinètica ni la seva relació amb el treball però hem de saber que:
Recordem que el WT és la suma dels treballs de totes les forces que actuen sobre un cos.
Aquesta expressió la podem utilitzar per resoldre problemes que resolíem amb dinàmica però encara ho simplificarem més en l’última part del tema.
D’aquestes dues expressions podem deduir que: a) L’energia cinètica no pot tenir valors negatius:
a. E=0→ si el cos està aturat ja que en aquest cas v=0.
L’energia és la capacitat que té un cos per realitzar un treball.
S’anomena energia cinètica, Ec, a l’energia que té un cos pel fet d’estar en
b. Ec → ja que la massa sempre és positiva i el terme corresponent a la velocitat està elevada al quadrat.
b) L’energia cinètica augmenta si el treball total és positiu i disminueix si és negatiu. P er exemple, la força motriu d’un cotxe produeix un treball positiu ja que força i
desplaçament formen un angle de zero graus i, per tant, l’energia cinètica augmenta. La força de fregament genera un treball negatiu ja que l’angle entre la força i el desplaçament és de 180 així que l’energia cinètica disminueix.
Exemple 5:
Una esquiadora de 60 kg passa per un punt a 36 km/h i per un altre a 54 km/h, calculeu: a) L’energia cinètica a cada punt.
b) El treball de la força motriu si es mou per una pista horitzontal sense fregament. Resolució: Dades: m=60 kg; vo=36 km/h=10 m/s; v=54 km/h=15 m/s a) b) N F P Exemple 6:
Un cos de 20 kg es mou a 2 m/s per una superfície horitzontal i recorre 10 m fins que s’atura, calculeu:
a)
P b)
c)
Exercicis proposats:
15.- Quina força han de fer els frens d’un cotxe de 1000 kg per poder aturar-se en 40 m si circula a 100 km/h?
16.- Volem traslladar un cos de 25 Kg una distància de 15 m per una superfície horitzontal mitjançant una corda que forma un angle de 30º amb la superfície. Estirem la corda amb una força de 75 N. Si el coeficient de fregament és 0,2, calculeu:
a) El treball de cada força i el treball total. b) La velocitat després dels 15 m de recorregut.
17.- Des de dalt d’un pla inclinat de 15 m de longitud i que forma un angle de 30º am b
l’horitzontal es deixa caure un cos de 5 Kg de massa. Calculeu la velocitat amb la que arriba al final del pla si:
a) No hi ha fregament. b) El coeficient de fregament és 0,2.
18.- Tirem d’un objecte de 3 kg que llisca per una superfície horitzontal mitjançant una força de 45 N que forma un angle de 37 amb l’horitzontal, calculeu:
a) El coeficient de f regament entre l’objecte i el terra si sabem que després d’1,5 s de començar el moviment circula a 15 m/s.
b) El treball de cadascuna de les forces i el treball total.
19.- Una força de 15 N actua sobre un cos de 2,5 kg. Si inicialment es mou a 1,5 m/s i el coeficient de fregament és 0,1, calculeu l’energia cinètica després de 9 s.
4.2.- Energia potencial, Ep:
Si anem caminant pel carrer i un objecte pesat cau des d’un balcó a sobre del nostre cap. Si examinem aquest fet, veiem que la força pes ha produït un desplaçament de l’objecte i, per tant, un treball. Podem concloure que ha d’haver una nova “capacitat de produir un
treball” no en funció de la seva velocitat, sinó relacionada amb la posició del cos. De la mateixa manera, si observem el funcionament d’una màquina de “pinball” veiem que en comprimir la molla amb la bola i després soltar-la, la bola surt disparada i mentrestant, la molla recupera la
seva forma original. Així podem dir que la molla comprimida també té “capacitat per realitzar un treball” deguda a la seva posició.
4.2.1.- Energia potencial gravitatòria:
És l’energia que té un cos per la posició que ocupa dins d’una zona de l’espai on actuen forces gravitatòries i que podem calcular amb l’expressió:
m: massa del cos.
g: acceleració de la gravetat que considerarem constant per altures,h, petites comparades amb el radi de la Terra (g=9,8 m/s2).
h: altura respecte la superfície de la Terra.
La superfície de la Terra s’agafa com a sistema de referència, per tant li assignem e l valor h=0 i, per tant, Ep=0. L’energia potencial pot tenir valors positius i negatius depenent de si l’objecte està situat per sobre de la superfície de la Terra ( ) o ser sota
( .
4.2.2.- Energia potencial elàstica:
És l’energia que té un cos elàstic (molla) en virtut del seu estat de deformació, és a dir, una molla que no està deformada (posició d’equilibri) té energia potencial zero però si la comprimim o l’estirem una distància “x” tindrà un tipus d’energia deguda a aquesta
deformació anomenada energia potencial elàstica (fig.4). Es pot calcular amb l’expressió:
K: constant recuperadora de la molla que es mesura en N/m i de la que ja vam parlar al tema 3. S’anomena energia potencial a l’energia que té un cos per la seva posició. Podem
diferenciar entre dos tipus d’energia potencial, l’energia potencial gravitatòria i l’energia potencial elàstica.
Fig.4. Diferents posicions d’una molla
Exemple 7:
Deixem caure un objecte de 2 kg des de 100 m d’altura, calculeu: a) L’energia potencial inicial.
b) L’energia potencial quan està a 25 m del terra. c) La velocitat i l’energia cinètica en aquest punt. d) La velocitat i energia cinètica en arribar al terra.
e) La suma de les energies cinètica i potencial en cadascuna de les posicions. Quines conclusions podeu treure del resultat?
Resolució:
1: h1=100 m; v1=0(deixem caure)
2: h2=25 m; v2=? 3: h3=0; v3=? (terra)
m=2 kg;
Recordem les expressions de les energies cinètica i potencial gravitatòria:
a)
b)
c) V2? Apliquem les equacions de caiguda lliure que vam estudiar al tema 1 considerant que inicialment està en la posició 1 i, per tant, vo=0 i la posició final és la 2. (quan
avancem en el tema veurem una altra manera de fer aquest càlcul). Vo=0; yo=100 m; y=25 m
d) Si fem el mateix que a l’apartat anterior considerant la posició 1 (yo=100m) com inicial i
la final la posició 3 podrem calcular la velocitat en arribar al terra (y=0):
e)
Conclusió: A mesura que l’objecte ha anat caient s’ha produït una transformació d’energia potencial en cinètica ( la velocitat augmentava a mesura que l’altura disminuïa) però la suma dels dos tipus d’energia en cada punt s’ha mantingut constant.
4.3.- Energia mecànica, Em:
Com podem observar a l’apartat e) de l’exemple anterior, aquesta energia es manté constant sempre i quan no hi hagi força de fregament i, per tant, qualsevol transformació implica una conversió entre les energies cinètica i potencial però la suma de les dues s’ha de
Però, què passa si hi ha força de fregament? En aquest cas, sempre hi ha una pèrdua d’energia deguda al fregament en forma de calor i, per tant, l’energia mecànica final serà menor que la inicial:
Aquesta energia perduda correspondrà al treball fet pel fregament que sabem que és negatiu, i així podem reescriure el principi de conservació de l’energia mecànica:
Exemple 8:
Llancem des de 75 m d’altura, verticalment i cap amunt, una pedra de 250 g a 15 m/s, calculeu si negligim el fregament:
a) Les energies cinètica, potencial i mecànica inicials.
b) L’altura màxima i els diferents tipus d’energia en aquest punt. c) L’altura quan la seva velocitat sigui 20 m/s.
d) La velocitat en arribar al terra.
Resolució: 2: v2=0; h2=? 1: v1=15 m/s; h1=75 m 3: v3=20 m/s; h3=? 4:v4=? h4=0 (terra) a) Posició 1:
b) Posició 2: altura màxima
c) Posició 3:
V3=20 m/s ( li hauríem de posar el signe – ja que està baixant però com que a l’expressió de l’energia cinètica, la velocitat, està elevada al quadrat aquest signe desapareix)
h3=?
d) Posició 4: h4=0; v4=?
(si considerem que està baixant li hauríem de posar el signe -) Exemple 9:
Considerem un pèndol de 5 m de longitud del que penja un cos de mig kg. Separem el cos 60 de la vertical i el deixem anar, calculeu:
a) L’altura inicial i les energies cinètica, potencial i mecànica en aquesta posició. b) La velocitat en passar per la vertical.
c) L’altura i la seva velocitat quan l’angle de separació sigui 37 . Resolució: Y posició 1 h1 posició 3 posició 2
b) V2=?
Apliquem el principi de conservació de l’energia mecànica:
c) Per calcular l’altura en aquesta posició apliquem trigonometria com hem fet a l’apartat a):
Exemple 10:
Llancem un objecte per una superfície horitzontal a 25 m/s. Si el coeficient de fregament és 0,15, calculeu la distància recorreguda fins aturar-se.
1 2
Dades: µ=0,15; v1=25 m/s; v2=0
Resolució:
Apliquem el principi de conservació de l’energia mecànica entre les posicions 1 i 2 tenint en compte que hi ha força de fregament:
Considerant que en aquest cas: substituint a l’expressió anterior:
Exemple 11:
Llancem a 15 m/s un cos des de 8 m d’altura per un pla inclinat 30 i en arribar a la part de baix d’aquest pla, continua el seu moviment per una superfície horitzontal. Si el coeficient de
fregament és 0,2 en tot el recorregut, calculeu:
a) La seva velocitat quan arribi a la part de baix del pla inclinat. b) La distància total que recorre fins aturar-se.
Resolució:
Posició 1: h1=8 m
X1
X2
Posició 2 posició 3
Hem de calcular els valors de v2, x1i x2utilitzant el principi de conservació de l’energia
mecànica considerant que hi ha fregament: - En passar de la posició 1→2:
Si apliquem trigonometria al pla inclinat podem calcular x1:
Substituïm a l’expressió corresponent al principi de conservació de l’energia mecànica:
Simplifiquem les “m” i operem:
- En passar de la posició 1→3:
El primer treball ja l’hem calculat al apartant anterior i pel segon tram té un valor diferent ja que canvia la normal,N, i, per tant, la força de fregament:
Exemple 12:
Un cos de 200 g està subjectat a una molla de constant recuperadora 1000 N/m en un pla horitzontal. Si comprimim la molla 25 cm i la soltem, calculeu:
a) L’energia potencial de la molla en aquesta posició.
b) La velocitat del cos quan passa per la posició d’equilibri si: a. No hi ha fregament.
b. El coeficient de fregament val 0,6.
c) La distància total que recorre fins aturar-se si el coeficient de fregament és 0,6 en tot el recorregut.
Resolució:
El primer dibuix de la figura correspondria a la posició 1, és a dir, quan la molla està comprimida els 25 cm. El segon dibuix és quan passa per la posició d’equilibri (posició 2) i el tercer dibuix representaria quan l’objecte ha sortit disparat i finalment s’ha aturat ( posició 3). Les dades de l’enunciat són:
m= 0,2 kg; K=1000 N/m; x1=25 cm=0,25 m
a) és energia potencial elàstica ja que tenim una molla
b) V2? En passar des de la posició 1→2:
- Si µ=0:
- Si µ=0,2:
c) Xt=? Hem de calcular primer la distància que recorre en passar de 2→3 sabent que v3=0→Ec3=0 i en les posicions 2 i 3 no hi ha ni energia potencial gravitatòria ni elàstica:
Exercicis proposats:
20.- Deixem caure una pilota de 200 g des d’una altura de 20 m, calculeu: a) De quin tipus és i el valor de l’energia mecànica inicial.
b) De quin tipus és i el valor de l’energia mecànica en arribar a terra. Quina velocitat té en aquest moment?
c) De quin tipus és i el valor de l’energia mecànica a 10 m del terra. Quina velocitat té en aquesta posició?
21.- Un test de flors està situat en un balcó en la mateixa vertical que un pou. El test està a 15 m d’altura del carrer i té una energia potencial gravitatòria de 40 J. S i cau dintre del pou, calculeu:
a) La massa del test.
b) Si el pou té 20 m de profunditat, quina serà la seva energia potencial dintre del pou? c) La variació d’energia potencial que es produeix entre les dues posicions.
22.- Un avió de 10000kg vola horitzontalment a 9 km d’altura i té una energia mecànica de 109 J, calculeu:
a) Les energies potencial i cinètica en aquesta posició. b) La seva velocitat.
23.-Un cos de 5 Kg cau des de 10 m d’altura, arriba a terra i rebota fins 8 m d’altura . Calculeu l’energia que s’ha perdut. Com s’ha perdut?
24.- Un cotxe de 1200 Kg de massa es desplaça amb una velocitat de 20 m/ s, quin treball hauran de fer el frens per reduir la seva velocitat a 8 m/s? Quin signe té el treball? Raona la resposta.
25.- Des de dalt d’un pla inclinat de 2m de llargària i 30 d’inclinació llancem un cos de 500 g a 1m/s cap avall, si no hi ha fregament:
27.- Un cos de 250 g de massa està subjecte a una molla de constant recuperadora 1000N/m sobre un pla horitzontal i sense fregament. Si separem el conjunt 20 cm de la posició
d’equilibri, calculeu:
a) La velocitat del cos en passar per la posició d’equilibri. b) La velocitat als 10 cm de l’equilibri.
c) L’energia mecànica.
d) Repetiu els apartats a) i b) si el coeficient de fregament val 0,15.
28.- Un cos de 200 g es troba en repòs a la part de dalt d’un pla incl inat de 2 m de longitud que forma un angle de 30º amb l’horitzontal. El cos llisca i xoca amb una molla de K= 200 N/m situat a la part de baix del pla inclinat i sobre una superfície horitzontal. Si no hi ha fregament, calculeu:
a) L’energia mecànica del cos.
b) La velocitat del cos en el moment de xocar amb la molla. c) La màxima compressió de la molla.
d) Repetiu els apartats b) i c) si el coeficient de fregament val 0,15.
29.- Si tenim un pèndol de 5 m de longitud i el separem 60º de la vertical i el llancem a 15 m/s, calculeu:
a) La velocitat que porta quan passa per la vertical. b) La velocitat quan està a la meitat de l’altura inicial. c) L’altura quan circuli a 16 m/s.
30.- Si llancem des del punt A que està a 6m d’altura, un cos a 13 m/s i si µ=0 ,2 en tot el recorregut, calculeu:
a) L’altura a la que arribarà en el punt B b) Els metres que ha recorregut el cos.
A B
30º 60º
31.- Separem un pèndol de 6 m un angle de 70º de la vertical i el llancem a 10 m/s cap avall. Calculeu:
a) L’altura inicial del cos.
b) La velocitat en passar per la vertical.
32.- Llancem un cos,a 10 m/s, per un pla inclinat 42 cap avall, després de recórrer 3 m, arriba a un pla horitzontal i després puja per un altre inclinat 30 . Si el coeficient de fregament és 0,4 en tot el recorregut, calculeu la longitud del pla horitzontal si a l’últim pla inclinat recorre 5,94 m fins aturar-se.
33.- Llancem, a 36 Km/h, un objecte de 300 g des de 70 m d’altura, calculeu: a) L’energia mecànica inicial.
b) Les energies cinètica i potencial i la velocitat quan està a 50 m del terra, a 25 m i en arribar a terra.
34.- Llancem un cos de 4 Kg per un pla inclinat 30 des de la part de baix i cap amunt a 3 m/s, calculeu l’altura a la que arribarà si:
a) No hi ha fregament.
b) El coeficient de fregament és 0,1.
35.- Un esquiador de 70 Kg comença a pujar per un pendent de 30 amb una velocitat inicial de 6 m/s fins una altura de 1,2 m, calculeu:
a) L’energia mecànica inicial.
b) El treball de la força de fregament. c) El coeficient de fregament.
36.- Un pèndol d’1 m de longitud es desplaça 40 respecte la vertical i es deixa anar. Amb quina velocitat passarà per la vertical?
37.- Un cos llisca per un pla inclinat 60 que té una longitud de 5 m. Si en arribar al final del pla la seva energia mecànica ha disminuït 10 J, quant val el coeficient de fregament?
