Computer Control Problems

(1)

Problems - Computer Control Page 1

Computer Control – Problems

2016

J. Miranda Lemos

1 – Models in Computer Control

P1 – Determine os primeiros 6 termos da solução da equação de diferenças

 , 3 , 2 ) 2 ( ) 1 ( ) (k  y k y k k  y

partindo das condições iniciais

1 ) 1 ( ) 0 (  y  y

(Estes números denominam-se números de Fibonacci).

P2 – Considere o sistema com entrada

u

e saída y descrito pela equação de diferenças linear

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 (k a₁y k a₂y k b₀u k b₁u k y       

em que k 0,1,2, é o tempo discreto, os

a

i, bisão parâmetros constantes e as condições

iniciais são nulas. Por aplicação do Princípio de Sobreposição, mostre que se trata de um sistema linear.

P3 – Considere o sistema discreto descrito pela equação de diferenças:

) 11 ( ) 10 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 5 . 0 ) (k  y k  y k  u k u k y

a) Determine a função de transferência no operador atraso; b) Determine a função de transferência no operador avanço;

c) Determine os pólos e os zeros (e a respectiva multiplicidade) e o atraso puro do sistema.

P4. Corn producers in Brutopia (a country) have observed that the corn demand 𝑑(𝑘) in the marked, in a given year 𝑘, is a linear function of the price 𝑝(𝑘) in the same year, given by

𝑑(𝑘) = 𝑑₀− 𝑎𝑝(𝑘), (P4-1) where 𝑑0 and 𝑎 are known parameters.

(2)

Problems - Computer Control Page 2 On the other way, it is also known that the corn production 𝑠(𝑘) in year 𝑘 is a function of the price 𝑝(𝑘 − 1) of the previous year, given by

𝑠(𝑘) = 𝑠0+ 𝑏𝑝(𝑘 − 1), (P4-2) where 𝑠0 and 𝑏 are known parameters, with 𝑏 > 0.

a) Assume that in a generic year

𝑘 the price is adjusted such that all the

available corn production is sold. Write a difference equation that relates

the corn price in two consecutive years (that is to say, that relates

𝑝(𝑘 − 1) with 𝑝(𝑘)).

b) Find, as a function of the parameters

𝑑

₀

,

𝑎, 𝑠

₀

and

𝑏 what is the

equilibrium price of the corn. In other words, what is the price

𝑝̅ such

that, if it is valid in one year, it will be the same in subsequent years.

c) Let 𝐸(𝑘) be

𝐸(𝑘) = 𝑝(𝑘) − 𝑝̅ (P4-3)

Obtain a difference equation for 𝐸(𝑘).

d) Using the equation you have obtained in c) for

𝐸(𝑘), give a condition on

the parameters that ensures that

𝑝(𝑘) will approach the equilibrium 𝑝̅

when 𝑘 increases.

e) When there are changes in the price

𝑝(𝑘), state wether these are

monotonous (always growing or alwayus decreasing) or if there are

oscillations. Justify.

P5 – Considere o sistema linear e invariante descrito pela equação de diferenças

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 (k a₁y k a₂y k b₀u k b₁u k y       

a) Escreva a equação na forma em que a variável mais avançada é y(k). b) Determine a função de transferência, em potências de z e de

z

1. c) Diga qual o atraso puro do sistema.

d) Obtain an equivalent state-space model of the system.

(3)

Problems - Computer Control Page 3 O A/D e o D/A operam sincronamente, com um intervalo de amostragem de 1 segundo. Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Suponha que as condições iniciais do processo são nulas. Suponha ainda que no ponto A é aplicado um escalão digital unitário. Nestas condições, responda às perguntas seguintes:

a)

Represente graficamente os sinais nos pontos A, B, C, D, E.

b)

Escreva expressões para o sinal nos pontos C e E.

c)

Obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e E, na forma de uma função de transferência digital

P7. The aim of this problem is to find a discrete time model of a DC motor such as shown in the picture attached. The relation between the electric tension applied to the motor, 𝑢(𝑡), and the shaft angular position, 𝑦(𝑡), in continuous time 𝑡, are related by the transfer function

𝐺(𝑠) = 1

𝑠(𝑠+1) . (P7-1) Answer the following questions (show all the

computations):

a) Compute the equivalent discrete transfer function as seen between the

terminals of the D/A and A/D converters connected to the motor, that

operate synchronously, with a sampling interval of 1s.

b) Write the difference equation that relates the samples of the input with

the samples of the output in discrete time.

c) Write in matrix form the corresponding state model.

d) State, with a justification, wether a sampling interval of 1s is adequate for

this system.

D/A

1 _A/D

s

e

-2s

A

_B

C

D

E

Processo

(4)

Problems - Computer Control Page 4 Ajuda: 1 ) 0 , 1 (    z z k para Z ₂ ) 1 ( ) (   z hz kh Z



kh T



_h _T e z z e Z  / _ _/   1_𝑒≅ 0,37

P8.Considere o sistema cujo diagrama de blocos se mostra na figura seguinte.

Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Ambos os conversores operam sincronamente. As condições iniciais do processo são nulas.

a) Calcule os polos do sistema contínuo e indique uma frequência de amostragem adequada à discretização do sistema. Justifique.

b) Para essa frequência obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e D, na forma de uma função de transferência digital.

P9. Considere o sistema contínuo cujo modelo é dado da seguinte forma:

) 1 ( ) ( 5 . 0 ) ( 2 2    u t dt t dy dt t y d

O sinal {u} representa a entrada do sistema e {y} a sua saída. Note que a variável independente do sinal de entrada está atrasada relativamente à do sinal de saída. Pretencde-se:

Determine um modelo discreto equivalente, na forma de uma função de transferência discreta, quando este sistema é amostrado com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem de 1 segundo.

P10. Um sistema contínuo com função de transferência

G s se

s

( )1 

é amostrado com um intervalo de amostragem

h



1

, com um retentor de amostras de ordem zero. Determine o seu equivalente discreto.

Note que a transformada Z do escalão unitário é

D/A 1/(s2+3s+2) C A/D D

A

B

(5)

z z1

P11. Considere o sistema descrito na figura seguinte.

Admita que o D/A se comporta como um retentor de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Ambos os conversores operam sincronamente à frequência de amostragem fs = 1Hz. As condições iniciais do processo são nulas, e no instante t = 0 é aplicado

um escalão unitário em x1.

c) Esboce os sinais x1, x2, x3, x4 e x5, ao longo do tempo, identificando claramente os que são

contínuos e os que são discretos. Não é necessário fazer um esboço rigoroso dos transitórios.

d) Obtenha o modelo discreto equivalente.

e) Verifique se a frequência de amostragem dada é adequada à obtenção de um equivalente discreto que seja uma boa aproximação do sistema contínuo. Caso contrário, escolha uma frequência adequada.

f) Faça agora fs = 10Hz. Calcule os polos e zeros do equivalente discreto e indique o que lhes

acontece se aumentarmos ainda mais a frequência de amostragem. Nota: 3 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( 2 1          z z z h kh Z

P12. Considere um veículo submarino tipo torpedo com propulsão eléctrica que se mostra na figura seguinte.

Este veículo desloca-se em linha recta, sendo a força de propulsão devida à rotação da hélice accionada por um motor eléctrico. Os dois incrementos

u

(variável manipulada, correspondente à variação da velocidade da hélice em torno do equilíbrio) e

v

(saída do sistema, correspondente ao incremento da velocidade do torpedo em relação ao equilíbrio) estão aproximadamente relacionados, para valores pequenos, pelo modelo linear:

v

Fp

D/A _A/D

x4 x5

(6)

Problems - Computer Control Page 6 u v dt dv

_



   1 (2) Por forma a realizar o controlo por computador da velocidade do torpedo por actuação em

u

, é utilizado o esquema que se mostra na figura seguinte.

O A/D e o D/A operam sincronamente, com um intervalo de amostragem

h

. Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Suponha que as condições iniciais são nulas (isto é, quer a força de propulsão, quer a velocidade do torpedo se encontram inicialmente nos seus valores de equilíbrio). Nestas condições, responda às perguntas seguintes (considere apenas os incrementos em relação ao equilíbrio):

a)

Obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e D, na forma de uma função de transferência discreta. Considere

h

,  e



genéricos.

b)

Escreva a equação de diferenças equivalente à função de transferência que obteve em b).

c)

Recorrendo ao método dos mínimos quadrados para estimar parâmetros no modelo discreto, diga como poderia estimar os parâmetros  e



a partir de registos de observações experimentais para o comando do motor

u

e a velocidade

v

.

Ajudas úteis:

 

a s e TL at    1

 

1 1   z z TZ (degrau)



kh T



_h _T e z z e TZ / _/    

P13. Considere o sistema contínuo cujo modelo de estado é







x

u

y

x

1 2 2

1 0



Determine um modelo discreto equivalente, na forma de uma função de transferência discreta, quando este sistema é amostrado com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem de 2 segundos.

Nota: Z kh h z z z 1 2 1 2 1 2 2 3 ( ) ( ) ( )       

u(kh)

D/A

_u(t)

_v(t)

A/D

_v(kh)

A

_B

C

D

Dinâmi ca i ncremental do torpedo

(7)

Problems - Computer Control Page 7 P14 – Considere o sistema contínuo

cx y bu ax x     

Suponha que a entrada

u

é constante durante intervalos de tempo de duração

h

. Amostre o sistema em instantes síncronos com as variações em

u

e discuta como é que os pólos do sistema discreto variam com o intervalo de amostragem

h

.

P15 – As equações de diferenças seguintes são supostas descrever sistemas em tempo contínuo, amostrados com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem

h

. Determine, se existirem, os correspondentes sistemas em tempo contínuo: a) y(kh)0.5y(khh)6u(khh) b)

 

1 1 ( ) ) ( ) ( 7 . 0 5 . 0 ) ( 3 . 0 0 1 5 . 0 ) ( kh x kh y kh u kh x h kh x                   c) y(kh)0.5y(khh)6u(khh)

P16 – Determine a função de transferência discreta do sistema



1 0



( ) ) ( ) ( 1 2 ) ( 0 0 2 . 0 5 . 0 ) ( kh x kh y kh u kh x h kh x                 

P17. Consider the continuous system with transfer function

𝐺(𝑠) = 0,2 𝑠 + 0.1

a) Compute the equivalent discrete transfer function

𝐺

_𝐷

(𝑧) when this

system is sampled with a zero-order sample and hold, with a sampling

interval of 1 s.

b) Write the difference equation that corresponds to the discrete transfer

function that you have obtained in a).

(8)

Problems - Computer Control Page 8 1 ) 0 , 1 (    z z k para Z ₂ ) 1 ( ) (   z hz kh Z



kh T



_h _T e z z e Z  / _ _/  

 

a s e L at    1

P18. Consider the unit step responses shown on figure P2-1, that are identified by the letters A, B, C, D and E. Furthermore, consider also the discrete systems numbered from 1 to 5, that are described by the following transfer functions:

𝐺1(𝑧) =_𝑧−0.51 𝐺2(𝑧) = _𝑧−0,80,2 𝐺3(𝑧) =0,35𝑧+0,3_𝑧2_−𝑧+0.7

𝐺4(𝑧) =_𝑧+0,51,5 𝐺5(𝑧) =_𝑧−0,50,5

a) State which number of the transfer functions correspond to each time

response. Justify your answer.

b) Write the matrices of a linear state model that corresponds to 𝐺

₃

(𝑧).

0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2

(A)

k

y

(k

)

0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2

(B)

k

y

(k

)

0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2

(C)

k

y

(k

)

0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2

(D)

k

y

(k

)

(9)

Problems - Computer Control Page 9 Figure P2-1. Problem P2. Time responses to the unit step input of 5 different linear discrete

systems.

P19 – Considere o sistema contínuo estável

a s b s s G    ) (

em que

a



b

. Determine a função de transferência discreta do sistema amostrado com um intervalo de amostragem

h

. Obtenha condições para que o sistema amostrado tenha um inverso estável (isto é, para que não tenha zeros fora do círculo unitário).

P20. Considere o sistema discreto cuja função de transferência é

𝐺₁(𝑧) =_𝑧₂_{− 0,8𝑧 + 0,5}0,5𝑧 + 1

a) Escreva a equação de diferenças correspondente à função de

transferência discreta 𝐺

₁

.

b) Escreva um modelo de estado correspondente à função de transferência

discreta 𝐺

₁

.

c) Obtenha um modelo de estado para a associação em série de

𝐺

1

e

𝐺

2

que se mostra na figura P1-1, em que uma parte do estado do sistema

global é o estado do modelo de 𝐺

₁

que obteve na alínea b). A função de

transferência 𝐺

₂

é

𝐺₂= 3 𝑧 − 0,7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 2 (E) k y (k )

(10)

Problems - Computer Control Page 10 Fig. P1-1. Associação de dois sistemas em série.

2 – Identification

P1 - Dadas duas grandezas físicas X e Y, pretende-se estimar o parâmetro

a

no modelo linear que as relaciona, e que é da forma

Y



aX





em que  é uma variável que traduz a existência de erros experimentais. Em 5 experiências em que se mediu o valor de X e o correspondente valor de Y, obtiveram-se os seguintes

resultados: i X Y 1 10 9 2 20 21 3 30 32 4 40 38 5 50 51

Na tabela acima, I representa o número da experiência realizada.

Determine uma estimativa do parâmetro

a

recorrendo aos método dos mínimos quadrados, indicando:

a)

A funcional de mínimos quadrados;

b)

A equação satisfeita pela estimativa;

c)

O valo da estimativa.

P2.Sabe-se que a grandeza Y tem uma variação polinomial no tempo, sendo modelada por um polinómio de segundo grau, da forma:

Y t( ) at2



( )t

(11)

Problems - Computer Control Page 11 Nesta equação, t é o tempo contado a partir do início da experiência, a é um parâmetro a estimar e (t) é um resíduo que traduz a existência de erros experimentais, o qual se assume pequeno. Por forma a estimar a constante a, efectua-se uma experiência ao longo da qual se regista o valor de Y, bem como os instantes de medida contados desde o início. Obtiveram-se os resultados que se mostram na tabela seguinte:

t (segundo) Y

5 0.49

10 1.01

15 1.45

20 2.05

Recorrendo ao método dos mínimos quadrados e aos dados indicados na tabela, determine uma estimativa do parâmetro a. Indique sucessivamente:

a)A funcional de mínimos quadrados; b)A equação satisfeita pela estimativa; c)O valor da estimativa;

P3. Pretende-se estimar por mínimos quadrados não recursivos o parâmetro

a

no modelo

) 1 ( ) 1 ( ) (t ay t u t y

para o que se observaram séries de observações das variáveis u(t) e y(t), com 1000 pontos cada. Designam-se estas observações experimentais por ui1 e

y

i, i1,,N 1000.

a) Determine uma fórmula para a estimativa não recursiva de mínimos quadrados do parâmetro

a

em função dos dados, indicando sucessivamente: i) O funcional de mínimos quadrados; ii) A equação satisfeita pela estimativa; iii) Uma fórmula para o cálculo da estimativa.

b) Para estimar o mesmo parâmetro, no mesmo modelo, recorreu-se ao método dos mínimos quadrados recursivos com esquecimento exponencial. Na experiência efectuada o parâmetro

a

tem inicialmente o valor de 0.95 e, depois de

t



500

, assume o valor -0.5. Fizeram-se duas experiências com factores de esquecimento com o valor





0 .

98

e





0 .

995

. Os resultados destas experiências mostram-se nas figuras P4-1 e P4-2.

(12)

Problems - Computer Control Page 12 Pretende-se: Diga a qual das figuras corresponde qual dos valores do factor de esquecimento. Justifique.

Fig. P4-1 Fig. P4-2

P4. Considere o sistema modelado por

) ( ) 1 ( ) 1 ( ) (t ay t bu t e t y     

em que

e

é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária. É efectuada uma experiência no sistema para estimar os parâmetros

a

e

b

. Com os dados obtidos para

u

e y

calcularam-se as seguintes quantidades:

30 ) ( 999 1 2 



 i i y ( ) 50 999 1 2 



 i i u ( 1) ( ) 1 999 1  



 i i y i y ( ) ( ) 20 999 1 



 i i u i y ( 1) ( ) 36 999 1  



 i i u i y

Determine a estimativa de mínimos quadrados dos parâmetros

a

e

b

.

P5 - Considere o sistema descrito pela seguinte equação às diferenças:

)

(

)

2 (

)

1 (

)

(

t

ay

t

bu

t

y













Nesta equação, a,b, são parâmetros a estimar, t é o número do ensaio realizado e (t) é um resíduo que traduz a existência de erros experimentais, o qual se assume pequeno. Por forma a estimar as constantes a,b, efectua-se uma experiência desde t=1 até t=1000, estando o sistema inicialmente em repouso, ao longo da qual se registam os seguintes valores:

4 . 1 ) 1 ( 1000 1 2  



 t t y , ( ) ( 1) 0.7 1000 1  



 t t y t y , ( ) ( 2) 0.4 1000 1  



 t t y t y 0 500 1000 1500 2000 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E st im a ti va

Tempo [número de amostras]

0 500 1000 1500 2000 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E st im a ti va

(13)

Problems - Computer Control Page 13 1 ) 2 ( 1000 1 2  



 t t u , ( 1) ( 2) 0 1000 1   



 t t u t u , ( ) ( 2) 0 1000 1  



 t t u t u 1 ) 2 ( ) ( 1000 1  



 t u t y t , ( 1) ( 2) 0 1000 1   



 t t u t y , ( 2) ( 2) 0 1000 1   



 t u t y t

a) Recorrendo ao método dos mínimos quadrados calcule a estimativa dos parâmetros do sistema (a, b).

b) Qual das estimativas (de a ou de b) tem maior precisão? Justifique.

c) Diga que condições deverá satisfazer a sequência de ruído para que a estimativa dos parâmetros seja centrada.

P6 – Show that, whenever the indicated inverses exist, the following identity is true:



_



1

_

1

_

1



1

_

1



1 1

DA

C

B

DA

B

A

BCD

A

Suggestion: Use the fact that if 𝑀 = 𝑁−1, then 𝑀𝑁 = 𝑁𝑀 = 𝐼.

P7 - Deduza as equações que permitem estimar recursivamente o vector de parâmetros  dadas N observações de y(t) e de (t-1), admitindo válido o modelo

y t( )



' (t1)



v t( )

em que v(t) é um resíduo pequeno (escalar para cada t). O estimador não pode implicar a inversa de uma matriz, e minimiza o critério de mínimos quadrados com factor de esquecimento, dado por

J N t y t t t N ( ) ( ( ) '( ) ) ^







 











1 2 1

sendo  um escalar positivo e menor do que 1.

Sugestão:



A



BCD



1



A

1



A

1

B



DA

1

B



C

1



1

DA

1.

Use the fact that the batch least squares estimate with forgetting factor can be computed using

𝜃̂(𝑡) = Λ−1_{(𝑡) ∑}𝑡 _𝜆𝑡−𝑘_{𝜑(𝑘 − 1)𝑦(𝑘)}

𝑘=1 ,

where the information matrix Λ verifies the recursive equation Λ(𝑡) = 𝜆Λ(𝑡 − 1) + 𝜑(𝑡 − 1)𝜑𝑇_{(𝑡 − 1).}

(14)

Problems - Computer Control Page 14 P8. Considere o processo estável descrito pela equação de diferenças

y k( )ay k(  1) u k(  1) v k( )

em que v(k) é um resíduo não mensurável, modelado por

v k

( )



e k

( )



ce k

(



1 )

e as sequências u(k), e(k) são sequências brancas, independentes, de média nula e variância unitária. Supõe-se que apenas estão acessíveis para medida directa os sinais y, u, não sendo o sinal e acessível. Suponha válida a aproximação das médias estatísticas por médias na amostra. Exprima a estimativa de mínimos quadrados da constante a em função de a e de c.

Sugestão: Dado o modelo linear

y t( )



' (t1)



o



( )t

a estimativa de mínimos quadrados do vector



o é dada por

 ₍ _{) ' (} ₎ _{( ) (} ₎















        



k k



y k k k N k N 1 1 1 1 1 1

Para obter a variância da saída y em regime estacionário, comece por obter uma equação de diferenças para ela.

P9. Pretende-se medir um parâmetro



, para o que se dispõe de dois sensores que produzem medidas

y

1 e

y

2 tal como se mostra na figura.

Pretende-se estudar o problema de fusão sensorial, isto é, de combinar as medidas dos dois sensores. Admite-se que o sensor

i

produz uma medida

y

i relacionada com o valor

verdadeiro do parâmetro por



e

y

1 2 1 2 sensor 1 sensor 2

(15)

y

_i

 



e

_i tal que

p

_ei

( )

e

_i



exp







e

_i









1

2

1

2



sendo

e

₁ e

e

₂ mutuamente independentes e independentes de



.

a)Determine a estimativa de máxima verosimilhança do parâmetro



, designada por



calculada a partir de um par de medidas

y

1 e

y

2.

b)Pretende avaliar-se da vantagem da utilização dos dois sensores em relação a um único. Admita que o parâmetro



é uma variável aleatória gaussiana com uma certa média e uma certa variância. Determine a variância do erro:

i)Quando usa apenas um sensor, E





y1





2

ii)Quando usa a estimativa de máxima verosimilhança baseada nos dois

sensores,

E





 



_MV



2



. O que conclui?

P10. Para a instalação de uma antena num prédio elevado, pretende-se caracterizar a força exercida pelo vento na estrutura. Como a força exercida é proporcional à velocidade do vento, efectuam-se medições diárias do módulo da velocidade do vento (independentemente da orientação) através de um anemómetro: vi, i=1…N. Admite-se que o módulo da velocidade

segue uma distribuição de Rayleigh1 de parâmetro :

1

A distribuição de Rayleigh modela processos 2D cujas componentes ortogonais (neste caso vx e vy) têm distribuição Gaussiana de média nula e variância 

2 .

















₂ 2₂

2 exp

)

|

(



v

p

(16)

Problems - Computer Control Page 16 Admitindo que as medições em dias consecutivos são independentes, calcule a estimativa do valor do parâmetro







2

pelo método da máxima verosimilhança (considere um número arbitrário N de medições).

P11 – Antes de uma partida de futebol é necessário verificar se a moeda a utilizar na escolha de campo está ou não viciada. Para isso recorre-se a uma experiência em que se efectuam n lançamentos independentes e se regista o número de “faces” e “coroas” obtidas:

} ,..., ,

{y₁ y₂ y_n ; yi = 1 se “face” e yi = 0 se “coroa”

Seja p a probabilidade de um lançamento da moeda em questão resultar em “face”. A moeda será não viciada se p for próximo de 0.5.

a) Mostre que a função de verosimilhança para a experiência referida é dada pela distribuição de Bernoulli:





n k k n

p

y

L

(

₁

,

₂

,...,

|

)



1 



sendo k o número de faces saídas (



  n i i y k 1 ).

b) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro p.

P12. Pretende-se caracterizar o ruído de um sensor utilizando o método da máxima verosimilhança. Para isso dimensiona-se uma experiência onde se obtêm N observações do sensor (yi, i=1…N), com entrada nula. Admita que o ruído do sensor é branco, gaussiano, de

média nula, e as observações são independentes.

Mostre que a estimativa de máxima verosimilhança da variância do ruído é:

N

y

N i i





1 2 2

ˆ



Notas: 2 2 2 1 2 2

2

1 )

,

0 (







y

e







;

x

dx

d

1 )

log(



(17)

Problems - Computer Control Page 17 P13. Consider the situation of figure P3-1, in which a sensor yields a measure

y

i_{of a}

parameter



that corresponds to the parameter value added to a random error

e

i, where 𝑖

represents the index of the measurement (measurement 𝑖 = 1, measurement 𝑖 = 2, etc.) and, for each 𝑖,

e

i is a Gaussian random variable with zero mean and unit variance, meanin g that

its probability density function is given by

p_ei( )e_i  exp_ e_i     1 2 1 2 2



_.

It is known that

e

i and

e

j are independent random variables for 𝑖 ≠ 𝑗.

Fig. P3-1. A sensor that measures a paratemer with additive gaussian noise.

For each index 𝑖, the measure obtained, 𝑦𝑖, and the true value of the parameter, 𝜃, are related by the expression

𝑦_𝑖 = 𝜃 + 𝑒_𝑖 Answer the following questions:

a) Find the maximum likelihood estimate 𝜃̂𝑀𝑉 of parameter 𝜃 when only 1 observation 𝑦1.is performed.

b) Compute the variance of the estimation error, 𝐸 [(𝜃 − 𝜃̂𝑀𝑉) 2

] in the case of a), in which only one observation is made.

c) Find the maximum likelihood estimate 𝜃̂𝑀𝑉 of parameter 𝜃 when 2 observations 𝑦1 e 𝑦₂ are made.

d) Compute the variance of the estimation error, 𝐸 [(𝜃 − 𝜃̂𝑀𝑉)2] in the case of b), ), in which two observations are made.

e) What is the minimum number 𝑁 of observations that must be done such that the variance of the estimation error yielded by maximum likelihood is smaller than 0,1? Justify your answer.

 e_i y_i + Sensor Observation noise Parameter to estimate Observation

(18)

Problems - Computer Control Page 18 P14. Considere um veículo que se desloca ao longo de uma recta com velocidade constante. No sistema de coordenadas associado à recta, o movimento do veículo é descrito pelo modelo

𝑥(𝑡) = 𝑥0+ 𝑣0𝑡 + 𝑤(𝑡), (2-1) em que 𝑥 é a posição do alvo no instante de tempo contínuo 𝑡, 𝑥0 é a posição inicial do

veículo, 𝑣0 é a velocidade do veículo, e 𝑤 é um erro de modelação dado por uma variável aleatória de média nula. Pretende-se estimar a posição inicial e a velocidade inicial do veículo a partir da observação da sua posição em alguns instantes.

Fig. 2-1. Observations of the vehicle position as a function of time.

a) Por forma a estimar 𝑥

₀

e 𝑣

₀

, são feitas 10 observações da posição 𝑥(𝑡

_𝑖

)

do

veículo

em

instantes

𝑡

𝑖

conhecidos

(fig.

2.1).

Escreva

sucessivamente:

a. O funcional de mínimos quadrados para a estimativa de 𝑥

0

e 𝑣

0

;

b. A equação verificada pelas estimativas em termos dos dados.

c. O valor numérico das estimativas, sabendo que ∑

10_𝑖=1

𝑡

_𝑖

= 55,

∑

10

𝑡

_𝑖2

𝑖=1

= 385, ∑

10𝑖=1

𝑥(𝑡

𝑖

) = 45

e ∑

10𝑖=1

𝑥(𝑡

𝑖

)𝑡

𝑖

= 289

.

b) Calcule a matriz de covariância do erro de estimação e diga qual a

estimativa mais precisa.

c) Suponha agora que a posição inicial é conhecida exactamente, sendo

𝑥

₀

= 0, e que pretendemos analisar o método dos mínimos quadrados

quando são feitas muitas observações. Para tal, assume-se válida a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 t [s] x [ m ]

(19)

aproximação da estimativa de mínimos quadrados em termos da

esperança matemática, que se encontra na “ajuda” abaixo. São feitas

observações em sequência, tal que 𝑡

_𝑘

= 𝑘ℎ, em que ℎ é o intervalo de

amostragem e assume-se que o ruído é colorido, sendo o modelo das

observações 𝑥(𝑘) = 𝑣

0

𝑘ℎ + 𝑒(𝑘) + 𝑐𝑒(𝑘 − 1), em que 𝑒 é uma sequência

de ruído branco. Exprima a estimativa 𝑣̂

0

em termos do valor verdadeiro

da velocidade e, se necessário, de outros parâmetros do sistema. Que

conclusão tira?

Ajuda: Dado o modelo de regressão linear

) ( ) ( ' ) (k k k y 





_o 



a estimativa de mínimos quadrados do vector



o é aproximada, em termos da esperança

matemática, por

𝜃̂ = [𝐸[𝜑(𝑘)𝜑′_(𝑘)]]−1_{𝐸[𝑦(𝑘)𝜑(𝑘)]}

P15. Consider the stable process described by the difference equation

) 1 ( 9 , 0 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) (k ay k u k e k  e k y

where e(k)is a white noise sequence of zero mean and unit variance. It is assumed that the only signal accessible to direct measure is y and that 𝑒 cannot be measured. Signal 𝑢 is a system manipulated input (meaning that we can selected at our will). In the situation

considered, the signal 𝑢 is selected as a white sequence, with zero mean and 𝜎𝑢2= 𝐸[𝑢2(𝑘)], that is independent from the noise e(k) that affects the system.