1 - Livro - Preparar Os Testes - 10º. Ano - Francisco Cabral (1)

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Cabral

MATEMÁTICA A

NOVO PROGRAMA

METAS CURRICULARES 10.º ANO DE ESCOLARIDADE

PREPARAR OS TESTES

E O TESTE AFERIDO

(RESUMO TEÓRICO EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESOLUÇÃO) (SEIS TESTES GLOBAIS COM RESOLUÇÃO)

Francisco Manuel Cabral

(fmspcabral2@gmail.com) A B C O E F D G V T U x y z O a −a −a a x y O −5 −3 −2 3 5 2 3 1 x y O B 2 1 C x A x y

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ÍNDICE

Conteúdos ... 03 Formulário ... 04

Lógica e Teoria de Conjuntos ... 05

Álgebra ... 13

Geometria Analítica ... 22

Funções Reais de Variável real ... 39

Estatística ... 56 Testes globais ... 64 Teste 1... 65 Teste 2... 70 Teste 3... 74 Teste 4... 80 Teste 5... 84 Teste 6... 88

Proposta de Resolução dos Exercícios ... 92

Lógica e Teoria de Conjuntos ... 93

Álgebra ... 98

Geometria Analítica ... 109

Funções Reais de Variável real ... 117

Estatística ... 129

Proposta de Resolução dos Testes Globais ... 136

Teste 1... 137 Teste 2... 142 Teste 3... 146 Teste 4... 152 Teste 5... 156 Teste 6... 160

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CONTEÚDOS

1. Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria de Conjuntos ˆ Proposições

ˆ Condições e Conjuntos 2. Álgebra

ˆ Radicais e potências de expoente racional ˆ Polinómios

3. Geometria Analítica

ˆ Geometria analítica no plano e no espaço ˆ Cálculo vetorial no plano e no espaço 4. Funções Reais de Variável Real

ˆ Generalidade sobre funções

ˆ Generalidade sobre funções reais de variável real ˆ Monotonia e extremos de uma função

ˆ Sentido da concavidade do gráco de uma função ˆ Estudo de funções

ˆ Operações sobre funções 5. Estatística

ˆ Somatório

ˆ Medidas de localização ˆ Percentis

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FORMULÁRIO

Áreas de guras planas Losango: Diagonal maior × Diagonal menor

2

Trapézio: Base maior + Base menor

2 × altura

Polígono regular: Semiperimetro× Apotema Círculo: πr2 _{(r − raio)}

Setor circular: αr2

2 (α − amplitude, em radianos, do angulo ao centro; r − raio)

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: πrg (r − raio da base; g − geratriz)

Área lateral de um cilindro: 2πrh(r − raio da base; h − altura do cilindro) Área de uma superfície esférica: 4πr2 _{(r − raio)}

Volumes Prisma: Area da base × Altura

Pirâmide: Area da base × Altura 3

Cone: Area da base × Altura 3 Esfera: 4 3πr 3 _{(r − raio)} Fórmula Resolvente ax2+ bx + c = 0, (a ≠ 0) ⇔ x = −b± √ b2_−4ac 2a

Casos notáveis da multiplicação (a + b)2 _{= a}2_{+ 2ab + b}2

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1. LÓGICA BIVALENTE E TEORIA DE CONJUNTOS

1. Proposições

ˆ Proposição é toda a expressão à qual se pode atribuir um valor lógico ("Verdadeiro"ou "Falso");

ˆ Princípio do terceiro excluído:

Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Não há um terceiro caso; ˆ Princípio da não contradição:

Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; ˆ Proposições equivalentes:

Duas proposições a e b são equivalentes se tiverem o mesmo valor lógico. A equivalência representa-se por a⇔ b;

2. Operações sobre Proposições ˆ Negação de uma proposição:

Seja a uma proposição. A negação da proposição a, representa-se por ∼ a, e que é verdadeira quando a é falsa e é falsa quando a é verdadeira.

ˆ Lei da dupla negação: seja a uma proposição. Tem-se que: ∼(∼ a) ⇔ a ˆ Conjunção de proposições:

Sejam a e b duas proposições. Chama-se conjunção de a e b a uma nova proposição, que se representa por a∧ b, que é verdadeira se e somente se as proposições a e b forem simultaneamente verdadeiras.

Tabela de Verdade a a a∧ b V V V V F F F V F F F F ˆ Disjunção de proposições:

Sejam a e b duas proposições. Chama-se disjunção de a e b a uma nova proposição, que se representa por a∨ b, que é falsa se e somente se as proposições a e b forem simultaneamente falsas.

Tabela de Verdade a a a∨ b V V V V F V F V V F F F ˆ Princípio do terceiro excluído:

(a∨ ∼ a) ⇔ V ;

ˆ Princípio da não contradição: (a∧ ∼ a) ⇔ F;

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

ITENS DE SELEÇÃO

1. A proposição p∨ q é equivalente à proposição (A) ∼(∼ p∨ ∼ q)

(B) ∼(∼ p∧ ∼ q) (C) ∼(p∧ ∼ q) (D) ∼(∼ p ∧ q)

2. Sejam a, b, c três proposições. Sabendo que a proposição c tem valor lógico verdadeiro, então pode-se armar que a proposição c⇒ (a∧ ∼ b) é equivalente a:

(A) F (B) V (C) a∧ ∼ b (D) a∨ ∼ b

3. Sejam a, b, c três proposições. A proposição ∼[(b ∨ c) ∨ a]∧ ∼ (∼ b) é equivalente a: (A) ∼ c∧ a

(B) ∼ c∧ ∼ a (C) F (D) V

4. Considera, em R, a condição a(x) ∶ x2_{− 2x + 1 ≠ 0.}

Então, o conjunto-solução da condição ∼ a(x) é: (A) {−1}

(B) {1} (C) {−1} (D) R∖ {1}

5. Considera, em R, as condições a(x) ∶ 2x − 3 ≥ 2 e b(x) ∶ −3x − 1 > 1 . Pode-se armar que é verdadeira a proposição:

(A) ∃x ∈ R ∶ a(x) ∧ b(x) (B) ∃x ∈ R ∶∼ a(x) ∧ b(x) (C) ∀x ∈ R ∶ a(x) ∧ b(x) (D) ∀x ∈ R ∶∼ a(x) ∧ b(x)

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ITENS DE CONSTRUÇÃO

1. Considera as proposições p e q tais que p é falsa e p∨ q é verdadeira. Indica, justicando, o valor lógico das proposições seguintes:

1.1. q 1.2. p∧ q 1.3. ∼(∼ p ∧ q) 1.4. p⇒∼ q 1.5. ∼ p⇔ q 2. Dadas as proposições a, b e c.

a∶ a Margarida sabe a lei do anulamento do produto b∶ a Margarida sabe a fórmula resolvente

c∶ a Margarida sabe resolver equações do 2.º grau

2.1. Utilizando operações lógicas entre p, q e r, escreve a seguinte proposição em linguagem sim-bólica:

Se a Margarida sabe resolver equações do 2.º grau, então sabe a fórmula resolvente ou a lei do anulamento do produto.

2.2. Traduz em linguagem corrente a negação da proposição p∨ q.

2.3. Diz quais são os conceitos que a Margarida sabe, sabendo que é verdadeira a proposição (∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ (∼ r)))

3. Considera as proposições p, q e r, em que r é denida pela seguinte proposição:

∼((p ⇒ q)∧ ∼ q)∧ ∼ p

3.1. Sem efetuar a simplicação da proposição r, qual é o valor lógico de r se o valor lógico da proposição p é verdadeiro?

3.2. Simplica a proposição r.

4. Considera uma operação/ , dita ou exclusivo ou disjunção exclusiva, tal que, dadas proposi-ções p e q, p/ q é verdadeira quando e apenas quando p e q têm valores lógicos distintos.

Dadas as proposições p e q, constrói uma proposição equivalente a p/ q, partindo de p e q e utili-zando apenas as operações ∧, ∨ e ∼.

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2. ÁLGEBRA

1. Radicais e potências de expoente racional ˆ Monotonia da potenciação

Sejam, x e y dois números reais e seja n um número natural. ⇉ Seja n ímpar: se x< y, então xn_{< y}n_; ⇉ Seja n par: ↠se 0 ≤ x < y, então 0 ≤ xn_{< y}n_; ↠se x < y ≤ 0, então xn_{> y}n_{≥ 0.} ˆ Radicais

⇉ Seja x um número real e seja n um número natural ímpar.

Chama-se raiz índice n de x ao número y tal que yn_{= x, e representa-se por} √n x.

⇉ Seja x um número real positivo e seja n um número natural par.

Chama-se raiz índice n de x ao número y tal que yn_{= x, e representa-se por} √n x.

ˆ Propriedades dos radicais ⇉ √n

0= 0, ∀n ∈ N;

⇉ Seja x um número real não negativo, seja n um número natural par e sejam a e b números reais. Então, tem-se que: a√n _x± b√n_x= (a ± b)√n _x;

⇉ Seja n um número natural ímpar e sejam a , b e x números reais. Então, tem-se que: a√n _x± b√n _x= (a ± b)√n_x;

⇉ Seja x um número real não negativo e seja n um número natural par e m um número natural. Então, tem-se que: (√n _x)m= √n

xm;

⇉ Seja x um número real e seja n um número natural ímpar e m um número natural. Então, tem-se que: (√n _x)m= √n

xm_;

⇉ Seja x um número real não negativo e seja n um número natural par. Então, tem-se que: (√n _x)n= √n

xn= ∣x∣;

⇉ Seja x um número real e seja n um número natural ímpar. Então, tem-se que: (√n _x)n= √n

xn= x;

⇉ Sejam x e y números reais não negativos e seja n um número natural par. Então, tem-se que: √n _x× √n_y= √n _x× y;

⇉ Sejam x e y números reais e seja n um número natural ímpar. Então, tem-se que: √n _x× √n_y= √n _x× y;

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. A fração _√2

6 escreve-se com denominador racional da forma:

(A) √6 (B) 2√6 3 (C) √6 3 (D) 2√3 3 2. A fração √2−1

1+2√2 escreve-se com denominador racional da forma:

(A) 5−3√2 7 (B) −5+3√2 7 (C) 5−3√2 9 (D) −5+3√2 9 3. Sendo A= 21 3 e B= (1 2) −1

4, pode-se armar que A2× B é igual a:

(A) 12√ 2 (B) 211√ 2 (C) 11√ 2 (D) 12√ 211

ITENS DE CONSTRUÇÃO

1. Recorrendo à denição de potência de expoente racional, justica que 1234 × 12 2 5 = 12 3 4+ 2 5.

2. Prova que, para a> 0 e m, n, q ∈ N,√n

am= n×q√

am×q.

3. Prova que, para 0≤ a < b e a2_{< b}2_{, então a}3_{< b}3_.

4. Seja n um número natural par e a e b números reais positivos tais que an_{= b. Prova que (−a)}n_{= b.}

5. Na gura 1 está representado um tetraedro inscrito num cubo. Sabendo que a aresta do cubo mede a unidades,

determina a área de cada face do tetraedro.

A _B C E _F D G H Figura 1

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3. GEOMETRIA ANALÍTICA

1. Referenciais no plano ˆ Referencial ortonormado

Seja α um plano munido de um referencial. Se o referencial tem os eixos perpendiculares (referencial ortogonal) e com a mesma unidade de medida (referencial monométrico), diz-se que o referencial é ortonormado (o.n.).

ˆ Ponto médio de um segmento de reta

Sejam A = (a1; a2) e B = (b1; b2) dois pontos de um referencial

ortonormado.

O ponto médio do segmento de reta [AB] é dado por: M = (a1+b1 2 ; a2+b2 2 ) −2 −1 1 −2 −1 1 0 a1 a2 A b1 b2 B a1+b1 2 a2+b2 2 M x y

ˆ Distância entre dois pontos

Sejam A= (a1; a2) e B = (b1; b2) dois pontos de um referencial ortonormado.

A distância entre os pontos A e B é dada por: d(A; B) =√(b1− a1)2+ (b2− a2)2

ˆ reta no plano

⇉ Reta paralela aos eixos coordenados

↠ Reta paralela ao eixo das abcissas: y = b, com b ∈ R

↠ Reta paralela ao eixo das ordenadas: x = a, com a ∈ R −2 −1 1 2

−2 −1 1 0 a b y= b x= a x y

⇉ Reta não vertical

↠ Seja P = (0; b) um ponto de um referencial ortonormado e m e b números reais

A equação reduzida da reta que tem declive m e que "passa"no ponto P é: y= mx + b

Ao valor de b dá-se o nome de ordenada na origem da reta. Ao valor de m dá-se o nome de declive da reta.

−2 −1 1 2 −2 −1 1 2 0 b y= ax + b x y

↠ Sejam A = (a1; a2) e B = (b1; b2) dois pontos de um referencial ortonormado, com b1≠ a1

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ˆ Conjunto de pontos no plano

⇉ Mediatriz de um segmento de reta

Sejam A = (a1; a2) e B = (b1; b2) dois pontos de um

referencial ortonormado.

Chama-se mediatriz do segmento de reta [AB] à reta per-pendicular a esse segmento e que "passa"no seu ponto médio.

−2 −1 1 −2 −1 1 0 mediatriz a1 a2 A b1 b2 B a1+b1 2 a2+b2 2 M x y

Se P(x; y) é um ponto genérico da mediatriz do segmento de reta [AB], então tem-se que: d(A; P) = d(B; P)

e portanto, √(x − a1)2+ (y − a2)2=

√

(x − b1)2+ (y − b2)2

A equação cartesiana da mediatriz é: (x − a1)2+ (y − a2)2= (x − b1)2+ (y − b2)2

⇉ Circunferência

Seja C = (c1; c2) um ponto de um referencial ortonormado,

e r um número real positivo.

Chama-se circunferência de centro C e raio r, ao conjunto de pontos do plano que estão à distância r do ponto C.

−2 −1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 3 0 c1 c2 C r x y

Se P(x; y) é um ponto genérico da circunferência, então tem-se que: d(C; P) = r então, (x − c1)2+ (y − c2)2= r2 é a equação cartesiana da circunferência.

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⇉ Elipse

Sejam F1 e F2 dois pontos de um referencial ortonormado.

Chama-se elipse de focos F1e F2, ao conjunto de pontos do plano P tais que d(P; F1)+d(P; F2)

é constante, e essa constante é superior a d(F1; F2)

os pontos F1 e F2 chamam-se focos da elipse.

↠ Sejam F1 = (−c; 0) e F2(c; 0) os focos da elipse e a, b, c

números reais positivos, com b< a. então, x2

a2 +

y2

b2 = 1 é a equação cartesiana(ou reduzida) da

elipse. em que: c2 = a2− b2

eixo maior: 2a; semieixo maior: a eixo menor: 2b, semieixo menor: b eixo focal: 2c; semieixo focal: c vértices: (−a; 0); (a; 0); (0; −b); (0; b) centro: origem do referencial

−1 1 −1 1 0 P c −c a −a b −b x y

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

ITENS DE SELEÇÃO

1. Considera, num referencial cartesiano, a condição x2_{+ y}2_{≤ 4 ∧ [(x ≤ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ (x ≥ 0 ∧ y ≤ 0)]}

O lugar geométrico dos pontos do plano que vericam a condição está representado em: (A) 2 −2 −2 2 x y (B) 2 −2 −2 2 x y (C) 2 −2 −2 2 x y (D) 2 −2 −2 2 x y

2. A condição que dene o conjunto de pontos do plano representado na gura 3 é: (A) (x + 1)2_{+ (y + 2)}2_{≤ 9 ∧ y ≤ −x} (B) (x + 1)2_{+ (y + 2)}2_{≤ 9 ∧ y ≥ −x} (C) (x + 1)2_{+ (y + 2)}2_{≤ 3 ∧ y ≥ −x} (D) (x − 1)2_{+ (y − 2)}2_{≤ 9 ∧ y ≥ −x} 2 −1 −2 1 C x y Figura 2

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3. Considera, num referencial cartesiano, a elipse ξ∶ x2_{+ 36y}2 _{= 36. As coordenadas dos focos F} 1 e F2 da elipse são: (A) F1 = (− √ 35; 0) e F2= ( √ 35; 0) (B) F1 = (−6; 0) e F2= (6; 0) (C) F1 = (0; − √ 35) e F2= (0; √ 35) (D) F1 = (0; −6) e F2= (0; 6)

4. Considera, num plano munido de um referencial ortonormado, xOy, A coroa circular centrada no ponto A e de raios 1 e 2, como o que se apresenta na gura 4.

A condição que dene a região colorida pode ser: (A) (x − 1)2_{+ (y − 2)}2_{≥ 1 ∧ (x − 1)}2_{+ (y − 2)}2_{≤ 4} (B) (x − 2)2_{+ (y − 1)}2_{> 1 ∧ (x − 2)}2_{+ (y − 1)}2_{< 4} (C) (x − 2)2_{+ (y − 1)}2_{≥ 1 ∧ (x − 2)}2_{+ (y − 1)}2_{≤ 2} (D) (x − 2)2_{+ (y − 1)}2_{≥ 1 ∧ (x − 2)}2_{+ (y − 1)}2_{≤ 4} A 4 3 2 2 1 −1 1 −1 O x y Figura 3

5. Considera, num plano munido de um referencial ortonormado, xOy, duas circunferências centradas na origem do referencial e de raios 2 e 3, como o que se apresenta na gura 6.

A condição que dene a região colorida pode ser: (A) x2_{+ y}2_{≥ 4 ∧ x}2_{+ y}2_{≤ 9 ∧ (y = x ∨ y = −x)} (B) x2_{+ y}2_{> 4 ∧ x}2_{+ y}2_{< 9 ∧ (y = x ∨ y = −x)} (C) x2_{+ y}2_{≥ 2 ∧ x}2_{+ y}2_{≤ 3 ∧ (y = x ∨ y = −x)} (D) x2_{+ y}2_{= 4 ∧ x}2_{+ y}2_{= 9 ∧ (y = x ∨ y = −x)} 3 −3 3 −3 2 −2 2 −2 O x y Figura 4

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ITENS DE CONSTRUÇÃO

1. Considera, num plano munido de um referencial ortonormado, uma circunferência γ∶ x2_+(y−1)2_{= 4}

e a reta s∶ y = x + 1, tal como se apresenta na gura 1.

1.1. Determina as coordenadas dos pontos de interseção da reta scom a circunferência γ.

1.2. Designa por A e B, os pontos encontrados no item anterior. Escreve a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB].

1.3. Determina a área da zona colorida de branco interior à circunferência γ representada na gura 1.

1.4. Escreve as equações paramétricas da reta s.

1.5. Escreve a equação reduzida da reta t, que "passa"no ponto de abcissa 2, situado no eixo das abcissas, e que tem o declive da reta s.

1.6. determina as coordenadas de um vetor colinear com o vetor diretor da reta s e que tenha norma√6.

s O 2 −2 −1 3 1 x y Figura 1

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4. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1. Generalidade sobre funções

ˆ Produto Cartesiano de conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto dos pares ordenados A× B = {(a; b) ∶ a ∈ A ∧ b ∈ B}.

ˆ Noção de função

Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se função de A em B e representa-se por f ∶ A → B, a toda a correspondência que a cada elemento de A faz corresponder um e e um só elemento de B. ˆ Gráco de uma função

Sejam A e B dois conjuntos e f ∶ A → B uma função. O conjunto G ⊂ A × B é o gráco da função f e representa-se por Gf se e somente se qualquer que seja a∈ A existir um e um só

elemento b∈ B tal que (a; b) ∈ G . Gf = {(x; f(x)) ∶ x ∈ A}.

ˆ Restrição de uma função

Sejam A e B dois conjuntos e f ∶ A → B uma função. Chama-se restrição de f a C (C é um conjunto) à função f∣C∶ A ∩ C → B, tal que: (f∣C) (x) = f(x).

ˆ Função Injetiva

Sejam A e B dois conjuntos e f ∶ A → B uma função. A função f é injetiva se e só se ∀x1, x2∈ A, x1≠ x2⇒ f(x1) ≠ f(x2).

Ou ainda,∀x1, x2∈ A, f(x1) = f(x2) ⇒ x1= x2. ↞ pela lei da conversão.

Nota: a função f é uma injeção de A em B. ˆ Função Sobrejetiva

Sejam A e B dois conjuntos e f ∶ A → B uma função. A função f é sobrejetiva se e só se ∀y ∈ B, ∃x ∈ A ∶ y = f(x).

A função f é sobrejetiva se e só se o conjunto de chegada coincidir com o contradomínio de f. ˆ Função Bijetiva

Sejam A e B dois conjuntos e f ∶ A → B uma função. A função f é bijetiva se e só se ∀y ∈ B, ∃1_{x∈ A ∶ y = f(x).}

A função f é bijetiva se e só se é injetiva e sobrejetiva. Nota: a função f é uma bijeção de A em B.

2. Generalidade sobre funções reais de variável real ˆ Paridade de uma função

Sejam A e B dois conjuntos e f ∶ A → B uma função real de variável real. ⇉ A função f diz-se par em Df se f(−x) = f(x), ∀x, −x ∈ Df

↠ o gráco de uma função par é simétrico em relação ao eixo das

ordenadas. _{−2 −1} 1 2 −2 −1 1 2 0 f x y

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⇉ A função f diz-se ímpar em Df se f(−x) = f(x), ∀x, −x ∈ Df

↠ o gráco de uma função ímpar é simétrico em relação à origem

do referencial. −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 0 f x y

3. Monotonia e extremos de uma função ˆ Monotonia

Sejam A⊂ Df e f ∶ Df → B uma função real de variável real.

⇉ a função f é estritamente crescente em A se ∀x1, x2∈ A, x1< x2⇒ f(x1) < f(x2) 0 f x1 x2 f(x1) f(x2) x y

⇉ a função f é estritamente decrescente em A se ∀x1, x2∈ A, x1< x2⇒ f(x1) > f(x2) 0 f x1 x2 f(x2) f(x1) x y

4. Sentido da concavidade do gráco de uma função

Sejam I⊂ Df um intervalo e f uma função real de variável real.

ˆ Concavidade voltada para cima

O gráco da função f tem a concavidade voltada para cima em I se dados três pontos A, B e C, do gráco, de abcissas x1, x2 e x3 pertencentes ao intervalo I, tais que x1< x2< x3,

o declive da reta AB é inferior ao declive da reta BC.

−2 −1 −2 −1 1 2 0 f A B C x1 x2 x3 _x y

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5. Transformação de Grácos de funções

Sejam a número real e f uma função real de variável real. ˆ Gráco da função f(x) + a

O gráco da função f(x) + a obtém-se do gráco da função f(x) por uma translação associada ao vetor Ð→u = (0; a). ⇉ se a < 0 o gráco da função f desloca-se a unidades "para baixo".

⇉ se a > 0 o gráco da função f desloca-se a unidades "para cima". −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 0 0 f g g x y ˆ Gráco da função f(x − a)

O gráco da função f(x − a) obtém-se do gráco da função f(x) por uma translação associada ao vetor Ð→_{u = (a; 0).}

⇉ se a > 0 o gráco da função f desloca-se a unidades "para a direita".

⇉ se a < 0 o gráco da função f desloca-se a unidades "para a esquerda". −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 0 0 f g g x y ˆ Gráco da função af(x)

O gráco da função af(x) obtém-se do gráco da função f(x) por uma contração (ou dilatação)na vertical.

⇉ se 0 < a < 1 o gráco da função f sofre uma contração vertical segundo o coeciente a.

⇉ se a > 1 o gráco da função f sofre uma dilatação vertical segundo o coeciente a.

−2 −1 1 2 −2 −1 1 2 0 0 f g g x y

ˆ Gráco da função f(ax)

O gráco da função f(ax) obtém-se do gráco da função f(x) por uma contração (ou dilatação)na horizontal.

⇉ se 0 < a < 1 o gráco da função f sofre uma dilatação horizontal segundo o coeciente 1

a.

⇉ se a > 1 o gráco da função f sofre uma contração segundo o coeciente 1 a. −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 0 0 g f g x y

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ˆ Função módulo - Função denida por ramos Função módulo é toda a função real de variável real da forma f(x) = ∣x∣. f(x) = ∣x∣ = { x se x≥ 0 −x se x < 0 −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 0 0 f x y

⇉ Equações com módulos : ∣x∣ = a ↠ se a > 0 → ∣x∣ = a ⇔ x = a ∨ x = −a ↠ se a = 0 → ∣x∣ = 0 ⇔ x = 0

↠ se a < 0 → ∣x∣ = a ⇔condição impossível ⇉ Inequações com módulos : ∣x∣ > a ↠ se a > 0 → ∣x∣ > a ⇔ x < −a ∨ x > a ↠ se a < 0 → ∣x∣ > a ⇔condição universal ⇉ Inequações com módulos : ∣x∣ < a ↠ se a > 0 → ∣x∣ < a ⇔ x > −a ∧ x < a ↠ se a < 0 → ∣x∣ < a ⇔inequação impossível 7. Funções Denidas por radicais

ˆ Função raiz quadrada

Dá-se o nome de função raiz quadrada à função de domínio e conjunto de chegada [0; +∞[, denida por f(x) =√x. −1 1 2 3 4 −1 1 2 0 0 f x y

⇉ Esta função é a função inversa da função g∶ [0; +∞[→ [0; +∞[, denida por g(x) = x2. −1 1 2 3 −1 1 2 3 0 0 f f−1 y= x x y

⇉ A partir do gráco da função f(x) =√x pode-se obter o gráco de toda a função do tipo g(x) = a√bx− h + k, com a, b e h ∈ R e b ≠ 0.

ˆ Função raiz cúbica

Dá-se o nome de função raiz cúbica à função de domínio e conjunto de chegada R, denida por f(x) = √3 _x. −3 −2 −1 1 2 3 −1 1 2 0 0 f x y

Francisco

Man

uel

Cabral

⇉ Esta função é a função inversa da função g ∶ R → R, denida por g(x) = x3_. −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 0 0 f f−1 y= x x y

⇉ A partir do gráco da função f(x) = √3 _x pode-se obter o gráco de toda a função do tipo

g(x) = a√3 bx− h + k, com a, b e h ∈ R e b ≠ 0.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

ITENS DE SELEÇÃO

1. .

Considera a função f, representada num plano munido de um referencial ortonormado, como mostra a gura 1.

Em qual dos grácos seguintes pode estar representada a função g(x) = 2f(x)? f O 2 −2 x y Figura 1 (A) O −1 1 x y (B) O 2 4 x y (C) O 2 −2 x y (D) O 2 −2 x y

Francisco

Man

uel

Cabral

2. Seja g, a função real de variável real, denida por g(x) = 2 − ∣1 − 3x∣. O conjunto-solução da equação g(x) = 0 é: (A) {−1 3; 1} (B) {−1; −1 3} (C) {2 3; 1} (D) {−2 3; 1}

3. Considera a função, f, real de variável real, denida por f(x) = { x₁3_{− x}− 1 se x < 02 _{se x≥ 0}

O valor de f(−√3 5) + f (√4 4) é: (A) 7 (B) 3 (C) −3 (D) −7

4. Considera as funções reais de variável real, f e g, denidas por: f(x) = x3_{− 2x + 1 e g(x) =} x 2. A solução da equação f1 3(x) ≤ (2g)(x) é: (A) ]1 2;+∞[ (B) ]−∞;1 2] (C) ]−∞; −1 2] (D) [1 2;+∞[

5. Considera as funções reais de variável real, g e h, denidas por: g(x) = −(x−4)2_{+4 e h(x) = (x−4)}2_.

e representadas na gura 2.

Considera o triângulo [ABC], sendo:

ˆ O ponto A é o vértice do gráco da função h; ˆ Os pontos B C são os pontos de interseção dos

dois grácos representados.

Podemos armar que a área do triângulo [ABC] é: (A) √2 (B) 2√2 (C) 3√2 (D) 4√2 −1 1 2 3 5 6 −1 1 2 3 4 0 h g B C A x y Figura 2

Francisco

Man

uel

Cabral

ITENS DE CONSTRUÇÃO

1. Resolve as seguintes condições, apresentando o conjunto-solução sob a forma de intervalos ou união de intervalos de números reais.

1.1. √1+ x < 3 1.2. √x− 2 − x ≤ 0 1.3. √x− 2 +√x< 3 1.4. √3 2− x ≥ 2 1.5. √3 2x+ 4 −√3 x− 2 ≤ 0 1.6. √3 2x2− 2x − 2 −√3 _x2+ 3x + 4 > 0

2. Diz-se que duas funções f e g são permutáveis quando f○ g = g ○ f.

2.1. Mostra que as funções denidas em R por f(x) = −x + 2 e g(x) = 2x − 1 são permutáveis. 2.2. Considera a função denida em R por f(x) = −x + 2.

2.2.1. Mostra que o gráco da função f interseta a bissetriz dos quadrantes ímpares no ponto de coordenadas(1; 1).

2.2.2. Determina a família de funções denidas em R por g(x) = ax + b , cujo gráco intersete a bissetriz dos quadrantes ímpares no ponto de coordenadas (1; 1) e tal que f ○ g = g ○ f. 3. Considera a função f∶ [−5; +∞[→ R, denida por f(x) = 3x3_{−3x e a função g, cuja parte do gráco}

está representado num plano munido de um referencial ortonormado, como mostra a gura 1.

g O −1 1 −3 −4 −5 1 2 3 −2 x y Figura 1

3.1. Mostra que a função f é ímpar e indica uma característica do seu gráco.

3.2. Com base na observação do gráco da função g, diz se a função é injetiva. Justica a tua resposta.

3.3. Indica o contradomínio da função h(x) = −g(x). 3.4. Indica o domínio da função i(x) = g(−x).

3.5. Determina o domínio da função j(x) =√−f(−x). 3.6. Resolve a inequação f(x) × g(x) < 0.

Francisco

Man

uel

Cabral

Na gura 2 está representado, num plano munido de um referencial ortonormado, parte do gráco da função f, denida por f(x) =√x− 1+2 e os pontos A, B e C.

Sabe-se que o ponto B, de abcissa x, percorre a curva do gráco da função f, e o ponto C acompanha esse movimento, ao longo da reta y= 2, de tal modo que se tem sempre AB = BC e a abcissa de C superior à abcissa de B.

4.1. Prova que para todo o x∈ Df, a área do triângulo[ABC], é dada,

em função de x, por g(x) = (x − 1)√x− 1.

4.2. Recorrendo às potencialidades da calculadora gráca, determina a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) do gráco de f para o(s) qual(ais), a área do triângulo[ABC] é igual a 5 unidades quadradas. 4.3. Existe um ponto em que os grácos de f e de g se intersetam.

Determina-o recorrendo à calculadora gráca.

f O A x C B 2 1 x y Figura 2 5. .

Na gura 2 está representado, num plano munido de um referencial ortonormado, parte do gráco da função f, denida por f(x) = −x2_{+ 4x}

e o ponto A de coordenadas(1; 0).

Considera a função g que associa a cada x a distância entre o ponto A e o ponto P do gráco de f de abcissa x.

5.1. Prova que para todo o x, g(x) =√x4− 8x3+ 17x2− 2x + 1.

5.2. Recorrendo às potencialidades da calculadora gráca, determina as abcissas dos pontos do gráco de f que distam uma unidade do ponto A.

5.3. Existe um ponto em que os grácos de f e de g se intersetam. Determina-o por métodos analíticos e interpreta geometricamente o resultado obtido. f O A B P f(x) x x y Figura 3

Francisco

Man

uel

Cabral

5. ESTATÍSTICA

1. Somatório: sejam x1, x2, x3, ...xk, uma sequência de números reais, com k∈ N.

Chama-se somatório de 1 a k dos xk e representa-se por k

∑

i=1

xi à soma x1+ x2+ x3+ ... + xk.

⇉ sejam x1, x2, x3, ...xn, uma sequência de números reais, com n∈ N e k ∈ R.

Então, _∑n i=1 kxi= k n ∑ i=1 xi.

⇉ sejam x1, x2, x3, ...xn, uma sequência de números reais, com n∈ N e seja k ∈ N tal que k < n .

Então, _∑n i=1 xi= k ∑ i=1 xi+ n ∑ i=k+1 xi.

⇉ sejam x1, x2, x3, ...xn e y1, y2, y3, ...yn, duas sequências de números reais, com n ∈ N. Então, n ∑ i=1(xi+ yi) = n ∑ i=1 xi+ n ∑ i=1 yi.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

ITENS DE SELEÇÃO

1. Sabe-se que _∑n k=1 k2= a e que ∑n k=1 k= b. Então _∑n k=1(k + 1) 2 _{é igual a:} (A) a+ 2b + n (B) a+ 2b (C) a+ n (D) a+ b + n

2. O valor de x para o qual se tem 60∑

j=1(i 2_{+ 1) + x =} 60_∑ j=1(i 2_{+ 2) é:} (A) 40 (B) 60 (C) 80 (D) 100

Francisco

Man

uel

Cabral

3. O histograma representado na gura 1, é referente ao número de horas semanal que os alunos de uma turma dedicam ao estudo. O percentil 70,(P70) é igual a:

(A) 6.83. (B) 6.8(3). (C) 5.8(3). (D) 5.83. 2 4 6 8 10 2 6 10 12 Horasdeestudo Número de alunos

Figura 1: Horas de estudo 4. Seja x

˜= (x1, x2, x3, ..., xn) uma amostra de dimensão n de uma variável quantitativa x. SSx é igual a: (A) ∑n j=1 x2_i − x2 (B) _∑n j=1 x2_i − nx (C) _∑n j=1 xi− nx2 (D) _∑n j=1 x2_i − nx2

ITENS DE CONSTRUÇÃO

1. Sabendo que 2n_∑ i=1

i = n(2n + 1), calcula o valor de x, o mais simplicado possível, na equação

2n+1 ∑ i=1 3i+ x = − 2n ∑ i=1 i+ n ∑ i=12. 2. Prova que ∑n i=1(a i+1− ai) = an+1− a1.

3. Numa turma do décimo ano do curso de Ciências e Tecnologias fez-se um estudo acerca das alturas dos alunos. Recolheu-se a seguinte amostra x

˜= (156, 175, 168, 180, 155, 176, 180, 177, 170, 170). 3.1. Determina a altura média dos alunos.

3.2. Calcula o valor de SSx.

3.3. Calcula, com aproximação às centésimas, os valores de S2

x e de Sx.

3.4. Calcula os percentis P25, P50 e P75.

4. Dado um número real α, considera as amostras x

˜= (x1, x2, x3, ..., xn) e y_˜= (αx1, αx2, αx3, ..., αxn). Mostra que SSy = α2SSx.

Francisco

Man

uel

Cabral

5. Considera a amostra x ˜= (x1, x2, x3, ...xn) e seja x(1)= min{x1, x2, x3, ...xn} e x_(n) = max{x1, x2, x3, ...xn}. 5.1. Justica que _∑n i=1 xi≥ n ∑ i=1 x₍₁₎= nx₍₁₎ e que ∑n i=1 xi≤ n ∑ i=1 x_(n)= nx_(n). 5.2. Conclui que se tem x(1)≤ x ≤ x(n).

5.3. Mostra que se x(1)= x ou x = x(n), então a amostra é constante.

5.4. Conclui da alínea anterior que se algum valor da amostra for superior a x(1), então x> x(1),

Francisco

Man

uel

Cabral

5º. Teste de Matemática A

Duração do teste: 90 min 10.º Ano de Escolaridade

GRUPO I ˆ As questões deste grupo são de escolha múltipla.

ˆ Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas de respostas, das quais só uma está correta.

1. A condição que dene a região do plano representada na gura 1 é: (A) x2_{+ y}2_{≤ 9 ∧ (y ≥ −x + 3 ∨ y ≤ −x − 3 ∨ y ≥ x + 3 ∨ y ≤ x − 3)} (B) x2_{+ y}2_{≥ 9 ∧ (y ≥ −x + 3 ∨ y ≤ −x − 3 ∨ y ≥ x + 3 ∨ y ≤ x − 3)} (C) x2_{+ y}2_{≤ 9 ∧ (y ≤ −x + 3 ∨ y ≥ −x − 3 ∨ y ≤ x + 3 ∨ y ≥ x − 3)} (D) x2_{+ y}2_{≤ 3 ∧ (y ≥ −x + 3 ∨ y ≤ −x − 3 ∨ y ≥ x + 3 ∨ y ≤ x − 3)} O 3 −3 −3 3 x y Figura 1

2. Na gura 2 está representado, num plano munido de um referencial ortonormado xOy, parte do gráco de duas funções, f e g de domínio [0; +∞[ e um triângulo [ABO]. O ponto A move-se ao longo da curva do gráco da função f, sendo x a sua abcissa, com x ∈]0; +∞[. O ponto B acompanha o movimento do ponto A, de tal modo que AB é paralelo ao eixo das ordenadas. O ponto O está xo no ponto de coordenadas (0; 0).

Sabe-se que: f(x) =√x e g(x) = −√x

Qual das expressões analíticas seguintes representa, em função de x, a área do triângulo[ABC]?

(A) √x× x (B) √x× x 2 (C) −√x× x 2 (D) −√x× x f g O x A B x y Figura 2

Francisco

Man

uel

Cabral

3. Considera a elipse, centrada na origem, de que se conhecem dois vértices, a saber,os pontos A(0; 4) e B(−2; 0) .

Pode-se armar que o semieixo focal é: (A) 4√3

(B) 2√3 (C) 3√2 (D) 6√2

4. Na gura 3 está representado, num plano munido de um referencial ortonormado xOy, a reta r, sendo a> 0.

As equações paramétricas da reta r são: (A) x= a + ka ∧ y = −ka, k ∈ R

(B) x= a − ka ∧ y = ka, k ∈ R (C) x= −ka ∧ y = −a + ka, k ∈ R (D) x= a − ka ∧ y = −ka, k ∈ R f O a −a x y Figura 3

5. Nas guras 4 e 5 está parte da representação gráca, num plano munido de um referencial ortonormado xOy, das funções f e g.

f O 2 2 x y Figura 4 g O 1 −4 4 x y Figura 5 Pode-se armar que ∣(g ○ f ○ f)(0)∣ é igual a:

(A) −4 (B) 4 (C) 1 (D) 0

Francisco

Man

uel

Cabral

GRUPO II

Nas questões deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justicações que entenderes necessárias.

Atenção: Quando para um resultado não é pedida aproximação pretende-se sempre o valor exato.

1. No referencial o.n. Oxyz da gura 6 está representado um tronco de uma pirâmide[ABCDGHEF], quadrangular regular.

Sabe-se que:

ˆ A, B, C, D pertence ao plano z= 3; ˆ E, F, G, H pertence ao plano z= 1;

ˆ a face [ABCO] da pirâmide está contida no plano xOy; ˆ A tem coordenadas(−2, 2, 3) e C tem coordenadas (2, −2, 3); ˆ E tem coordenadas(−1, −1, 1) e G tem coordenadas (1, 1, 1);

A B C D O E F _G H x y z Figura 6 1.1. Escreve a inequação reduzida da esfera de centro no ponto médio do segmento de reta [AC]

e cujos pontos A, B, C, D estão na sua superfície.

1.2. Determina as coordenadas de um vetor colinear com o vetor ÐÐ→DF e que tenha norma 7. 1.3. Determina o volume do tronco de pirâmide representado.

2. Considera a função polinomial denida por f(x) = x5_{+ 2x}4_{+ x}3_{− x}2_{− 2x − 1.}

2.1. Mostra que−1 é zero duplo da função f. 2.2. Resolve a condição f(x) ≥ 0.

2.3. Considera a função polinomial g(x) = f(x) + 2x + 1 + x2_{− 2k}2_x3_{, com k∈ R. Determina k de}

modo que 1 seja zero de g.

3. Sabendo que 1+4+9+16+...+n2₌ n(n+1)(2n+1)

6 , determina o valor de x, em função de n, na equação: n ∑ k=1 (k − 1)2_{+ x =}n+1_∑ k=1 (2k2_{− 2k)} .

4. Considera as funções f, g e h denidas por:

f(x) =√3 x3+ x2− 8; _g(x) =

√ ∣x∣ − 2

x− 4 ; h(x) = x 4.1. Determina o domínio da função g.

4.2. Determina o valor de(f × g)(2) e de (f ○ g)(2). 4.3. Resolve a equação f(x) = h(x).

Francisco

Man

uel

Cabral

6. Considera as proposições seguintes: a∶ O João vai ao futebol

b∶ O João vai ao cinema c∶ Está a chover

d∶ O João vai ao centro comercial e∶ O João vai à praia

6.1. Traduz em linguagem corrente a proposição: 6.1.1. c⇒ (b ∨ d);

6.1.2. ∼ c⇒ (a / e).

6.2. Traduz em linguagem da lógica proposicional a armação: "O João vai ao cinema ou ao centro comercial, caso chova."

6.3. Simplica a expressão proposicional que se segue e traduz o seu signicado em linguagem corrente, tendo em conta o contexto.

∼(a ∨ b)∨ ∼ (∼ a∧ ∼ b)

7. Na gura 7, estão representados, num plano munido de um referencial ortonormado xOy, uma circunferência tangente aos eixos coordenados.

O 1 3 3 1 A 6 6 B x y Figura 7

7.1. Escreve a equação cartesiana da circunferência representada.

7.2. Determina a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB]. 7.3. Determina a área da região colorida de azul.

8. Na gura 8 está parte da representação gráca de uma função cúbica g e um triângulo[ABC]. Sabe-se que:

ˆ g(x) =1 4(x

2_{− 4)(x − 3);}

ˆ o ponto C percorre a curva do gráco da função g, sendo a a sua abcissa, e com a∈] − 2; 2[.

g O a −2 A C B 2 x y Figura 8 1. Determina, em função de a, a área do triângulo[ABC].

2. Recorrendo às potencialidades da calculadora gráca, determina o valor de a para o qual a área do triângulo [ABC] é igual a 3.

Francisco

Man

uel

Cabral

RESOLUÇÃO TESTE 5

GRUPO I

1. (A) retas: r∶ y = x + 3 ; s ∶ y = x − 3 ; t ∶ y = −x + 3 ; u ∶ y = −x − 3 Condição do círculo de centro na origem e raio 3: x2_{+ y}2_{≤ 9}

e portanto a condição que dene a região colorida é:x2 _{+ y}2 _{≤ 9 ∧ (y ≥ −x + 3 ∨ y ≤ −x − 3 ∨ y ≥}

x+ 3 ∨ y ≤ x − 3) 2. (A) A_[ABO]= AB×x₂ = ∣f (x)−g(x)∣×x₂ = ∣−2 √ x∣×x 2 = x √_x 3. (A)

Se A(0; 4), então o semieixo maior é : a = 4 Se B(−2; 0), então o semieixo menor é : b = 2

Os focos estão no eixo das ordenadas, pelo que são da forma F1(−c; 0), F2(c; 0), c > 0

em que, c2 _{= a}2_{− b}2 _{⇔ c}2 _{= 16 − 4 ⇔ c}2 _{= 12 ⇔ c = ±}√_{12⇔ c = ±2}√_{3. Como c> 0, resulta que}

c= 2√3

e portanto, o semieixo focal é 1

2F1F2= c = 2 √ 3 4. (D) A= (a; 0) e B = (0; −a), a > 0 Ð→

AB= B − A = (0 − a; −a − 0) = (−a; −a), a > 0

então a equação vetorial da reta é: (x; y) = (a; 0) + k(−a; −a), k ∈ R donde, as equações paramétricas da reta são: x= a − ka ∧ y = −ka, k ∈ R 5. (B)

∣(g ○ f ○ f)(0)∣ = ∣(g (f (f(0))) ∣ = ∣g (f(2)) ∣ = ∣g(0)∣ = ∣ − 4∣ = 4

GRUPO II

1. A(−2; 2; 3); B(−2; −2; 3); C(2; −2; 3); D(2; 2; 3) E(−1; −1; 1); F(1; −2; 1); G(1; 1; 1); H(−1; 1; 1)

1.1. O ponto médio de[AC] é: M = (−2+2 2 ; 2−2 2 ; 3+3 2 ) = (0; 0; 3) Determinemos o raio: ÐÐ→ AM = M − A = (0 + 2; 0 − 2; 3 − 3) = (2; −2; 3) r= ÐÐ→AM =√22+ (−2)2+ 32=√₈= 2√₂

Francisco

Man

uel

Cabral

1.2. ÐÐ→DF = F − D = (1 − 2; −1 − 2; 1 − 3) = (−1; −3; −2) Ð→_{u = λÐÐ→DF = (−λ; −3λ; −2λ), com λ real e não nulo} ∣∣Ð→u∣∣ = 7 ⇔√(−λ)2+ (−3)2+ (−2λ)2= 7 ⇔ 14λ2_{= 7} ⇔ λ = ±√49 14 ⇔ λ = ± √ 14 2 se λ=√14 2 → Ð→u = (− √ 14 2 ;−3 √ 14 2;−2 √ 14 2) se λ= −√14 2 → Ð→u = ( √ 14 2 ; 3 √ 14 2 ; 2 √ 14 2)

1.3. Por semelhança de triângulos, tem-se que :

1 x =

2

2+x ⇔ 2 + x = 2x ⇔ x = 2

a medida do lado da altura da pirâmide menor é 2. Então, Vpiramidemenor= 2 2_×2 3 = 8 3u.v. Vpiramidemaior= 4 2_×4 3 = 64 3u.v.

e portanto, Vtronco= Vpiramidemaior− Vpiramidemenor =64₃ −8₃ = 56₃u.v.

2. .

2.1. Pela regra de Runi, tem-se que: 1 2 1 −1 −2 −1 −1 −1 −1 0 1 1 1 1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 0 1 1 0 0 −1 0 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −2 ≠ 0

Logo, −1 é raiz dupla de f(x) e portanto, f(x) = (x + 1)2× Q(x) f(x) = (x + 1)2× (x3− 1) 2.2. f(x) = (x + 1)2_{× (x}3_{− 1)} Ora, (x3_{− 1) = (x − 1) × Q(x)} Determinemos Q(x) 1 0 0 −1 1 1 1 1 1 1 1 0 logo, Q(x) = x2_{+ x + 1, e portanto, f(x) = (x + 1)}2_{× (x − 1)(x}2_{+ x + 1)}

Francisco

Man

uel

Cabral

Elaboremos um quadro de sinal x −∞ −1 1 +∞ (x + 1)2 _{+ 0 + + +} x− 1 − − − 0 + x2+ x + 1 + + + + + f(x) − 0 − 0 + então, f(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ ([1; +∞[∪{−1}) 2.3. Ora g(x) = f(x) + 2x + 1 + x2_{− 2k}2_x3_{= x}5_{+ 2x}4_{+ x}3_{− 2k}2_x3

Se 1 é zero de g, então tem-se que g(1) = 0

g(1) = 0 ⇔ 15+ 2 × 14+ 13− 2k2× 13= 0 ⇔ 2k2 = 4 ⇔ k2= 2 ⇔ k = ±√2 3. De 1+ 4 + 9 + 16 + ... + n2 ₌n(n+1)(2n+1) 6 ,resulta que n ∑ k=1 k2= n(n+1)(2n+1)₆ então, n ∑ k=1(k − 1) 2_{+ x =}n+1_∑ k=1(2k 2_{− 2k) ⇔} ⇔ ∑n k=1(k 2_{− 2k + 1) + x = ∑}n k=1(2k 2_{− 2k) +} n+1_∑ k=n+1(2k 2_{− 2k) ⇔} ⇔ ∑n k=1 k2− 2 n ∑ k=1 k+ n ∑ k=1 1+ x = 2 n ∑ k=1 k2− 2 n ∑ k=1 k+ 2(n + 1)2− 2(n + 1) ⇔ ⇔ n + x = ∑n k=1 k2+ 2(n + 1)2− 2(n + 1) ⇔ x = n(n+1)(2n+1)₆ + 2n2+ 4n + 2 − 2n − 2 − n ⇔ ⇔ x = n(n+1)(2n+1) 6 + 2n 2_{+ n ⇔ x =}n(n+1)(2n+1)+12n2_+6n 6 ⇔ ⇔ x = 2n3_+3n2_+n+12n2_+6n 6 ⇔ x = 2n3_+15n2_+7n 6 4. . 4.1. Dg= {x ∈ R ∶ ∣x∣ − 2 ≥ 0 ∧ x − 4 ≠ 0} cálculos auxiliares ∣x∣ − 2 ≥ 0 ⇔ ∣x∣ ≥ 2 ⇔ x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 então, Dg= {x ∈ R ∶ (x ≤ −2 ∨ x ≥ 2) ∧ x ≠ 4} =] − ∞, −2] ∪ [2; 4[∪]4; +∞[ 4.2. (f × g)(2) = f(2) × g(2) = √3 4× 0 = 0 (f ○ g)(2) = f (g(2)) = f(0) = √3 −8 = −2 4.3. f(x) = h(x) ⇔ √3 x3+ x2− 8 = x ⇔ x3_{+ x}2_{− 8 = x}3_{⇔ x}2_{− 8 = 0 ⇔} ⇔ x ±√8⇔ x ± 2√2 o conjunto de solução é: C.S.= {−2√2; 2√2} 5. √√36+ 16√5−√24+ 8√5=? Ora, √ 36+ 16√5= √ 16+ 2 × 4 × (2√5) + 20 √ _{√ √} √ _{√ √ √}

Francisco

Man

uel

Cabral

Nota: ∣4 + 2√5∣ = 4 + 2√5, visto que 4+ 2√5> 0 e√

24+ 8√5= √

4+ 2 × 2 × (2√5) + 20

=√22+ 2 × 2 × (2√₅) + (2√₅)2=√(2 + 2√₅)2= ∣2 + 2√₅∣ = 2 + 2√₅

Nota: ∣2 + 2√5∣ = 2 + 2√5, visto que 2+ 2√5> 0 então, √√ 36+ 16√5−√24+ 8√5= √ 4+ 2√5− (2 + 2√5) =√2 6. . 6.1. .

6.1.1. Se está a chover então o João vai ao cinema ou ao centro comercial 6.1.2. Se não chover então o João ou vai ao futebol ou vai à praia

6.2. c⇒ (b ∨ d) 6.3. ∼(a ∨ b)∨ ∼ (∼ a∧ ∼ b) ⇔ ⇔ (∼ a∧ ∼ b) ∨ (a ∨ b) ⇔ ⇔ [(∼ a∧ ∼ b) ∨ a] ∨ b ⇔ ⇔ [(∼ a ∨ a) ∧ (∼ b ∨ a)] ∨ b ⇔ ⇔ [V ∧ (∼ b ∨ a)] ∨ b ⇔ ⇔ (∼ b ∨ a) ∨ b ⇔ ⇔ (∼ b ∨ b) ∨ a ⇔ V ∨ a ⇔ a 7. . 7.1. a condição da circunferência é: (x − 3)2_{+ (y − 3)}2 _{= 9}

7.2. A equação é: y= x ↦ bissetriz dos quadrantes ímpares

7.3. Determinemos a medida do quadrado representado na gura recorrendo ao Teorema de Pitágoras

seja l a medida do lado desse quadrado, então tem-se que: l2= 32+ 32 ⇔ l2= 18 ⇔ l =√18, visto que l> 0

então, l= 3√2

sendo assim, Acolorida= Acrculo−A₂quadrado = π×3

2₋₁₈ 2 = ( 9π 2 − 9) u.a. 7.1. A[ABC]= AB×g(a)₂ = 4×1₄(a2_−4)(a−3) 2 = (a2−4)(a−3) 2 , com a∈] − 2; 2[ 7.2. . Inserir as funções y1= (a 2_−4)(a−3) 2 e y2= 3

ajustar a janela de visualização: amin∶ −2

amax∶ 2

ymin∶ 0

amax∶ 4

Desenhar os grácos

O problema tem duas soluções: a≈ −1.65 e a = 1 y1 y2 O −2 2 3 −1.65 1 x y Figura 1