Mat Aleph Professor

1 Aleph 10

Introdução

Aleph

Sebastião e Silva: Normas Gerais

Geoge Polya: A Arte de Resolver Problemas

Miguel de Guzmán: Aventuras Matemáticas

Módulo Inicial

O que é o Módulo Inicial? ... 12

Sugestões de resolução das tarefas do Módulo Inicial ... 17

Propostas de resolução das tarefas do Módulo Inicial ... 17

Tema 1 – Geometria

Propostas de resolução das tarefas e exercícios ... 20

Capítulo 1 – Resolução de problemas de Geometria ... 20

Capítulo 2 – Referenciais e lugares geométricos ... 21

Capítulo 3 – Vectores livres ... 26

Capítulo 4 – Equações da recta ... 28

Provas globais ... 31

Tema 2 – Funções

Propostas de resolução das tarefas e exercícios ... 36

Capítulo 1 – Introdução: funções e gráficos ... 36

Capítulo 2 – Estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos ... 38

Capítulo 3 – A parábola ... 50

Capítulo 4 – Funções polinomiais ... 50

Capítulo 5 – Polinómios interpoladores ... 57

Provas globais ... 58

Tema 3 – Estatística

Propostas de resolução das tarefas e exercícios ... 62

Capítulo 1 – O que é a Estatística? ... 62

Capítulo 2 – Organização e interpretação de caracteres estatísticos ... 63

Capítulo 3 – Distribuições bidimensionais ... 70

Provas globais ... 75

Índice

Introdução

Ao que vem o Projecto ALEPH 10?

Os presentes autores, ao embarcar no Projecto ALEPH 10, não pretendem replicar o que já existe no mercado, mesmo com melhorias pontuais aqui e ali. Pretendem, isso sim, apresentar uma resposta diferente e completa ao que julgam ser as necessidades reais e actuais, de estudantes, professores e pais.

Este projecto tem muitas componentes. A complexidade do trabalho na escola e as dificuldades que a disciplina de Matemática enfrenta em Portugal (e no resto do Mundo) obrigam a uma actuação ponderada e recorrendo ao que de melhor a experiência nossa e alheia aconselha. Os estudos educacionais são muito claros: não há nenhum fac-tor que, por si só, garanta o sucesso escolar.

Entendemos que o manual escolar deve ser uma ferramenta de trabalho eficaz para o estudante, que o estudante use efectivamente (e sabemos que muitas vezes, infelizmente, serve só para decorar uma estante...) e que se torne assim no melhor aliado do trabalho do professor. Deve ainda ser um aliado dos pais, onde seja possível entender mi-nimamente o que o estudante está a fazer, para que os pais possam ajudar o seu educando de forma consequente. Escrevemos um manual que o estudante leia efectivamente: num estilo rigoroso, mas informal, repleto de informação, mas de leitura leve, inteligível. Repetimos: um manual escolar que o estudante leia efectivamente, onde pratique as téc-nicas aprendidas e onde tente resolver problemas novos, que releia sem enfado quando não entende algo, que releia fa-cilmente quando está a rever o que já foi leccionado, preparando-se para uma actividade ou uma prova de avaliação.

O essencial

O manual contém apenas o que consideramos essencial para a aprendizagem do estudante e que está prescrito no programa. Não contém floreados desnecessários, complementos que não estão no programa, casos e subcasos que só tornam tudo mais confuso. O ALEPH 10 vai direito ao assunto, exemplifica, motiva, expõe e fornece tarefas e exer-cícios para ajudar os alunos a dominar as questões.

O ALEPH 10 deixa bem claro o que é opcional no programa, que assinala com (*). Não contém temas que devem ser tratados noutros anos. Os radicais serão tratados apenas no 11.oano, quando forem estudadas as funções com radi-cais; as funções injectivas serão estudadas apenas no 11.o_{ano, quando for estudada a inversão de funções; as}

fun-ções pares, ímpares e periódicas serão estudadas apenas no 12.oano, quando essas propriedades tiverem impacto, nomeadamente no estudo das funções trigonométricas.

Os temas assinalados com (*) devem ser leccionados apenas quando houver tempo para isso, mas devem ser sem-pre recomendados aos melhores estudantes devendo, neste caso, ser-lhes aconselhada a realização das respecti-vas tarefas e exercícios.

O manual escolar contém apenas os exercícios necessários à prática e compreensão dos assuntos; não é por fazer exercícios em série que o aluno aprende melhor. Para testar a compreensão dos assuntos de cada tema, há pequenas provas globais no fim de cada capítulo. Para o estudante poder ver se está realmente preparado para provas de avaliação com tempo limitado, existem propostas de vários tipos, com questões de escolha múltipla, com questões de resposta aberta, sem e com utilização de calculadora. Sempre que o estudante tiver dúvidas, pode voltar ao ma-nual escolar: a sua concisão favorece as revisões.

Este guia não é um livro

Ao contrário do habitual, este Guia do Professor não termina de crescer quando for impresso. Este guia contém para já apenas o início do verdadeiro Guia do Professor: um dossiê que irá crescendo ao longo do tempo e de que estas folhas são apenas o começo. Certamente que ter à mão de semear alguns textos fundamentais e ainda as resolu-ções de todos os exercícios do manual escolar dos estudantes é muito útil. Mas será ainda mais útil se o Guia puder ir crescendo ao longo dos anos, com acrescentos que possam ser uma mais-valia para a prática escolar diária. Assim será. Os autores irão disponibilizando, até uma nova edição do manual escolar do estudante (o que, de acordo com a legislação actual, acontecerá daqui a seis anos), novos textos básicos, propostas de abordagens alternativas, novas propostas laboratoriais, novas provas de avaliação, notas de leitura, etc.

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Introdução | Aleph 10

Tarefas Periódicas

Uma das adições que este guia terá será a das Tarefas Periódicas. Todas as semanas, a partir de 1 de Setembro de cada ano escolar, os autores irão colocando na página da Internet do Projecto Aleph 10 pelo menos uma nova ta-refa. Essa tarefa terá sempre duas componentes; a versão do estudante e a versão do professor. A primeira con-terá o enunciado das tarefas, a indicação do tema/capítulo onde se inserem, quais os pré-requisitos e eventualmente algumas notas que possam enquadrar o que é proposto. A versão do professor conterá a resolução da tarefa e notas didácticas que possam ajudar o professor a integrar a tarefa nas suas aulas ou a mais facilmente tirar dúvidas aos estudantes.

As tarefas a propor semanalmente (em algumas semanas poderá haver mais do que uma) incidirão sobre temas va-riados, próximos dos habitualmente leccionados na respectiva época do ano. Poderá ainda ser produzido algum ma-terial a pedido dos professores, para que se possa assim dirigir aos temas onde os professores acham que não existe tanta diversidade de materiais.

O manual escolar do estudante

O manual escolar contém um certo número de secções que pretendem contribuir para um trabalho eficaz e motivador. – Recorda: pequenos apontamentos sobre o que é necessário mobilizar de anos anteriores; caso o estudante não

domine o que é referido, deve fazer uma revisão num manual escolar de anos anteriores;

– Tarefas: estas propostas visam fomentar a capacidade de resolver problemas, como a comunicação matemática e o desenvolvimento de actividades de investigação, espevitando a participação efectiva do estudante;

– Definições e propriedades: o destaque dado às definições e às propriedades incluídas no texto pretende facilitar o processo de localização dos dados básicos e de revisão em caso de dúvidas;

– História(s): são introduzidas pequenas notas históricas motivadoras para que o aluno entenda melhor a origem de alguns dos conceitos ou dos problemas;

– Exercícios: tudo aquilo que deve ser praticado pelo aluno aparece logo a seguir à respectiva exposição;

– Exercícios globais: no fim de cada capítulo aparecem alguns exercícios e problemas sobre todo o tema do capítulo. Para que o salto dos exercícios que estão ao longo do manual (junto aos assuntos que são mobilizados por esses exercí-cios), para outros onde não será tão evidente quais os assuntos efectivamente mobilizados, não seja tão brusco e não leve ao desencorajamento dos alunos, os exercícios globais apresentam-se divididos por três graus de dificuldade: • Pratica: exercícios mais imediatos;

• Pensa e resolve: exercícios não tão imediatos, obrigando a alguma reflexão prévia;

• Reflecte: verdadeiros problemas, obrigando a uma procura de um caminho de resolução onde a heurística de Polya será muito útil.

– Jogos muito sérios: a jogar também se aprende e estes jogos põem à prova a capacidade de raciocínio dos estu-dantes, contribuindo também para mobilizar os conhecimentos adquiridos;

– Desafios: esta secção destina-se apenas aos alunos mais interessados, sendo de grau de dificuldade bastante ele-vado;

– Leituras: é importante que os estudantes leiam textos com matemática ou sobre a Matemática; os autores tiveram a preocupação de escolher textos de índole variada que possam também servir de motivação para os alunos e pos-sam mostrar a ligação da Matemática à vida real;

– Prova global: não é a mesma coisa resolver problemas com tempo limitado sem sujeição a capítulos e resolver exercícios mais ou menos imediatos logo a seguir a uma explanação das ideias matemáticas que são usadas; é, assim, importante que o estudante teste os seus próprios conhecimentos em provas do tipo das que regularmente encontrará no seu percurso escolar;

– Sugestões de resolução: é muito importante que o estudante se esforce por resolver ele próprio os exercícios e pro-blemas; sabemos que isso não é fácil e os estudantes tendem a desistir à primeira dificuldade; estas sugestões pretendem ser um incentivo a que ele não desista nem vá espreitar demasiado depressa a solução;

– Soluções: como o nome indica, nesta secção, aparecem as respostas a todos os exercícios; o estudante poderá assim verificar se a sua resposta está correcta (o que não quer dizer que a resolução esteja mas... já é alguma coisa).

E a Internet?

Este manual terá uma página em www.aleph10.asa.pt. Aí estarão disponíveis muitos recursos, de que destacamos aplicações interactivas em GeoGebra e uma tarefa semanal que será disponibilizada, simultaneamente, na versão do estudante e na versão do professor. Mas na Internet encontramos presentemente muitos recursos importantes para o trabalho do professor. Não iremos aqui fazer uma descrição exaustiva (nem tal seria possível), mas apenas fazer um apanhado das principais páginas que recomendamos:

• Associação de Professores de Matemática – http://www.apm.pt

Recomendamos a secção “Recursos/Actividades e recursos” que contém inúmeros materiais para uso na sala de aula. É ainda de salientar a secção “Recursos/Exposições” que descreve algumas exposições itinerantes que a APM cede às escolas, por um período de três semanas, mediante o pagamento de uma quantia simbólica. Na página estão incluídos os arquivos da revista “Educação e Matemática”, embora apenas acessíveis a sócios.

• Sociedade Portuguesa de Matemática – http://www.spm.pt

A SPM edita várias publicações importantes para o ensino. Fundou um Clube de Matemática para promover o in-tercâmbio entre Clubes de Matemática já existentes e divulgar e promover a criação de novos clubes de Matemá-tica, a todos os níveis de ensino. A SPM publica a revista “Gazeta de Matemática” que contém artigos com ideias para a sala de aula, particularmente artigos que podem ser dados aos alunos mais interessados. O arquivo dos úl-timos anos da revista está disponível.

• Olimpíadas de Matemática – http://www.spm.pt/olimpiadas/

As Olimpíadas Portuguesas de Matemática (OPM), organizadas anualmente pela Sociedade Portuguesa de Mate-mática, são um concurso de problemas de MateMate-mática, dirigido aos estudantes dos 2.o_{e 3.}o_{Ciclos do Ensino Básico}

e também aos que frequentam o Ensino Secundário, que visa incentivar e desenvolver o gosto pela Matemática.

• Canguru Matemático – http://www.mat.uc.pt/canguru/

A Associação Canguru sem Fronteiras é uma associação de carácter internacional que tem por objectivo promover a divulgação da matemática elementar por todos os meios ao seu alcance e, em particular, pela organização de um con-curso que terá lugar no mesmo dia em todos os países participantes. Pretende-se, assim, estimular e motivar o maior número possível de alunos para a matemática e é um complemento a outras actividades, tais como Olimpíadas.

• Portal MOCHO – http://www.mocho.pt/

O Portal do ensino das ciências e da cultura científica MOCHO ordena, para mais fácil acesso, centenas de ligações para páginas de Matemática portuguesas ou, na sua maioria, em língua portuguesa.

• Casa das Ciências – http://www.casadasciencias.org/

Este Portal pretende recolher materiais para servir os professores de ciências dos Ensinos Básico e Secundário fazendo primeiramente uma avaliação dos mesmos.

• Apoio ao Professor – http://area.dgidc.min-edu.pt/mat-no-sec/

Esta página de apoio ao Professor de Matemática foi construída entre 1997 e 2003 e contém importantes recursos, nomeadamente 10 brochuras que cobrem todos os temas do programa de Matemática A do Ensino Secundário

• ALEA – http://www.alea.pt/

Esta página, de excelente qualidade, fornece um apoio inestimável para o ensino das Probabilidades e Estatística no Ensino Secundário. Recomendamos vivamente a secção “dossiês e recursos” com muitos textos de índole di-dáctica. Os professores devem incentivar os seus alunos a participar no concurso de “desafios”.

• Ciência em Portugal. Personagens e Episódios – http://cvc.instituto-camoes.pt/ciencia/

Esta página contém biografias de muitos matemáticos portugueses.

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Aleph

O que é o Aleph?

O Aleph (lê-se áléf) é a primeira letra do alfabeto hebraico. A sua origem é, no entanto, mais antiga (3000 anos a. C.), sendo a mesma da do alfa grego. Como estes alfabetos não tinham símbolos para os números, as letras representavam também números; sendo a primeira letra do alfabeto, o aleph e o alfa representam o 1.

Cantor e o infinito

O matemático George Cantor (1845-1918) é conhecido por ter introduzido a moderna teoria de conjuntos. Mas Cantor, apesar de ter sido muito criticado durante a sua vida e mesmo depois de morrer, é hoje um dos matemáticos mais admirados pela sua capacidade de introduzir perspec-tivas verdadeiramente novas na Matemática.

Kronecker (o matemático do símbolo de Kronecker) considerou que Cantor era um “charlatão”, um “renegado” e um “corruptor da juventude”. Poincaré considerou os trabalhos de Cantor uma “grave doença infectando a Matemática” e, muito depois de Cantor morrer, o filósofo Wittengs-tein lamentou que a Matemática estivesse cheia das “palavras perniciosas da teoria de conjun-tos” que considerou “anedótica” e um “disparate completo”.

A verdade é que Cantor foi o primeiro a “contar” conjuntos infinitos através do conceito de aplicação bijectiva. Dois conjuntos infinitos têm o mesmo cardinal se existir uma aplicação bijectiva entre eles. Através desta ideia, Cantor provou que há tantos números naturais como números racionais e que há mais números irracionais do que racio-nais. Usou o processo que hoje se designa por “argumento diagonal de Cantor”.

Cantor fez um estudo muito detalhado dos conjuntos infinitos. Chamou “aleph-zero” ao cardinal do conjunto dos nú-meros naturais. Este é o número infinito mais pequeno (a que ele chamou número transfinito). Depois, obteve mui-tas propriedades desses seus números. Propriedades estranhas, sem dúvida, e aí se percebe a fúria de muitos dos seus contemporâneos. Mas Cantor também teve apoiantes e amigos, como Richard Dedekind.

O número “aleph-um” é o menor número infinito superior a “aleph-zero”, “aleph-dois” é o menor número infinito su-perior a “aleph-um”, e assim sucessivamente. Existirão estes números, em particular “aleph-dez”?

Cantor provou que existe sempre um número infinito superior a qualquer um dado. Não é muito difícil provar que o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado tem cardinal superior ao conjunto dado (isto é, que existe uma aplicação injectiva mas não sobrejectiva entre eles).

Será “aleph-um” igual ao cardinal do subconjunto das partes do conjunto dos números naturais? Ou será igual ao conjunto dos números reais (cujo cardinal se chama a potência do contínuo)? Curiosamente, tal não pode ser pro-vado sem um axioma suplementar chamado a “hipótese do contínuo”!

Esta Matemática começa a complicar-se, mas é muito interessante. Para já, está claro que Aleph 10 existe. É o ma-nual que escrevemos! O Aleph 11 não tardará!

Jorge Luís Borges

O infinito sempre fascinou os escritores. O escritor, ensaísta e poeta argentino Jorge Luís Borges (1899-1986) escreveu muito à volta de temas matemáticos, nomeadamente o infinito. Um dos seus livros de contos chama-se mesmo Aleph. Eis alguns excertos contidos nesse e noutros livros: A linha consta de um número infinito de pontos, o plano, de um número infinito de linhas; o volume, de um número infinito de planos, o hipervolume, de um número infinito de volumes...

Jorge Luís Borges, O Livro de Areia in http://macedge.multiply.com/journal/item/64

George Cantor

Na parte inferior do degrau, à direita, vi uma pequena esfera furta-cores, de brilho quase intolerável. Primeiro, supus que fosse giratória; depois, compreendi que esse movimento era uma ilusão produzida pelos vertiginosos espectáculos que en-cerrava. O diâmetro do Aleph seria de dois ou três centímetros, mas o espaço cósmico estava ali, sem diminuição de ta-manho. Cada coisa (o cristal do espelho, digamos) era infinitas coisas, porque eu a via claramente de todos os pontos do universo. Vi o populoso mar, vi a aurora e a tarde, vi as multidões da América, vi uma prateada teia de aranha no centro de uma negra pirâmide, vi um quebrado labirinto (era Londres), vi intermináveis olhos próximos perscrutando em mim como num espelho, vi todos os espelhos do planeta e nenhum me reflectiu, vi num pátio da Rua Soler os mesmos ladri-lhos que, há trinta anos, vi no saguão de uma casa de Fray Bentos, vi cachos de uva, neve, tabaco, listas de metal, vapor de água, vi convexos desertos equatoriais e cada um dos seus grãos de areia, vi em Inverness uma mulher que não es-quecerei, vi a violenta cabeleira, o altivo corpo, vi um cancro no peito, vi um círculo de terra seca numa vereda onde antes existira uma árvore, vi numa quinta de Adrogué um exemplar da primeira versão inglesa de Plínio, a de Philemon Holland, vi, ao mesmo tempo, cada letra de cada página (em pequeno, eu costumava maravilhar-me com o facto das le-tras de um livro fechado não se misturarem e se perderem no decorrer da noite), vi a noite e o dia contemporâneo, vi um poente em Querétaro que parecia reflectir a cor de uma rosa em Bengala, vi o meu quarto sem ninguém, vi num gabi-nete de Alkmaar um globo terrestre entre dois espelhos que o multiplicam indefinidamente, vi cavalos de crinas rede-moinhadas numa praia do mar Cáspio, na aurora, vi a delicada ossatura de uma mão, vi os sobreviventes de uma batalha enviando bilhetes-postais, vi numa vitrina de Mirzapur um baralho espanhol, vi as sombras oblíquas de alguns fetos no chão de uma estufa, vi tigres, êmbolos, bisontes, marulhos e exércitos, vi todas as formigas que existem na terra, vi um astrolábio persa, vi numa gaveta da escrivaninha (e a letra fez-me tremer) cartas obscenas, claras, incríveis, que Bea-triz dirigira a Carlos Argentino, vi um adorado monumento na Chacarita, vi a relíquia cruel do que deliciosamente fora Beatriz Viterbo, vi a circulação do meu escuro sangue, vi a engrenagem do amor e a modificação da morte, vi o Aleph, de todos os pontos, vi no Aleph a terra, e na terra outra vez o Aleph e no Aleph a terra, vi o meu rosto e as minhas vís-ceras, vi o teu rosto e senti vertigem e chorei, porque os meus olhos tinham visto esse objecto secreto e conjectural cujo nome os homens usurpam, mas que nenhum homem olhou: o inconcebível universo.

Senti infinita veneração, infinita lástima.

Jorge Luís Borges, O Aleph in http://www2.fcsh.unl.pt/borgesjorgeluis/textos_borgesjorgeluis/textos1.htm

Na realidade, o número de sorteios é infinito. Nenhuma decisão é final, todas se ramificam noutras. Os ignorantes supõem que infinitos sorteios requerem um tempo infinito; em verdade, basta que o tempo seja infinitamente subdivisível, como o ensina a famosa parábola do Certame com a Tartaruga. Essa infinitude condiz admiravelmente com os sinuosos números do Acaso e com o Arquétipo Celestial da Loteria, que os platônicos adoram...

Jorge Luís Borges, A loteria da Babilônia in http://www.releituras.com/jlborges_loteria.asp

Música rock

O nome aleph tem inspirado muitos outros autores. Por exemplo, há uma banda rock americana chamada aleph1 e uma banda grega chamada aleph.

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Sebastião e Silva: Normas Gerais

1 A modernização do ensino da Matemática terá de ser feita não só quanto a programas, mas também quanto a méto-dos de ensino. O professor deve abandonar, tanto quanto possível, o método expositivo tradicional, em que o papel dos alunos é quase 100% passivo, e procurar, pelo contrário, seguir o método activo, estabelecendo diálogo com os alunos e estimulando a imaginação destes, de modo a conduzi-los, sempre que possível, à redescoberta.

2 A par da intuição e da imaginação criadora, há que desenvolver ao máximo no espírito dos alunos o poder de aná-lise e o sentido crítico. Isto consegue-se, principalmente, ao tratar da definição dos conceitos e da demonstração dos teoremas, em que a participação do aluno deve ser umas vezes parcial (em diálogo com o professor) e ou-tras vezes total (encarregando cada aluno de expor um assunto, após preparação prévia em trabalho de casa).

3 Muito raramente se deve definir um conceito sem ter partido de exemplos concretos e, tanto quanto possível, su-gestivos. Se a preparação psicológica tiver sido bem conduzida, será muitas vezes o aluno quem acabará por de-finir espontaneamente o conceito, com ou sem ajuda do professor. Em qualquer caso, este deverá encaminhar o aluno para o rigor de linguagem que equivale a dizer de pensamento. Para isso, será de grande auxílio a introdução à lógica matemática, feita logo de início.

4 Quanto à demonstração dos teoremas, deve seguir-se com frequência uma norma semelhante à anterior. É alta-mente desejável que o aluno seja muitas vezes posto em condições de ver o teorema antes de o demonstrar e que essa visão o encaminhe a construir por si mesmo a demonstração, mais ou menos, impecável do ponto de vista lógico. Não esquecer que, na investigação matemática, a intuição precede normalmente a lógica.

5 A ordem lógica na apresentação dos assuntos não é muitas vezes a mais aconselhável do ponto de vista didác-tico. Normalmente, o aluno só pode tomar consciência da necessidade de certo grau de rigor, depois de ter com-preendido os assuntos em primeira aproximação ou de modo intuitivo, exactamente como sucede na investigação. Assim, em vez da ordem lógica, haverá que seguir de preferência a dialéctica do intuitivo-racional e do concreto--abstracto, em que o grau de rigor lógico se irá elevando, progressivamente, com a adesão espontânea do aluno.

6 Para desenvolvimento do sentido crítico, é essencial encorajar o aluno à discussão livre e disciplinada, habi-tuando-o a expor com calma e sem timidez os seus pontos de vista e a examinar serenamente e com interesse as opiniões dos outros.

7 Ao seguir o método activo, o professor deve evitar que os alunos falem todos ao mesmo tempo. Quando um aluno tiver algo a dizer, levantará o braço. Compete então ao professor escolher entre vários. Muitas vezes o professor chamará um aluno à secretária ou à pedra. O aluno deverá então movimentar-se rapidamente e com o mínimo ruído. Deste modo se estabelece o dinamismo disciplinado, que caracteriza a vida em corpo são, e que é indispensável ao êxito do método activo. Não esquecer que o ruído é desfavorável à concentração intelectual e que tentar conciliar as duas coisas reverte geralmente em prejuízo do sistema nervoso, contribuindo para o desenvolvimento de um dos maiores flagelos da nossa época. A melhor sala de aula será muitas vezes a que estiver mais afastada da via pública.

8 A Matemática não se reduz a ciência isolada platonicamente de tudo o resto. É também um instrumento ao ser-viço do homem nos mais variados ramos da ciência e da técnica. O professor deve sempre ter presente este facto e tentar estabelecer, sempre que possível, as conexões da Matemática com outros domínios do pensamento, aten-dendo a que muitos dos seus alunos irão ser físicos, químicos, biólogos, geólogos, engenheiros, economistas, agrónomos ou médicos.

9 Na aprendizagem da Matemática não basta ter intuição, compreender, definir e raciocinar. É também indispensável adquirir certos automatismos psicológicos. Isto vale, especialmente, no que se refere a técnicas de cálculo. Tais técnicas são mais perfeitamente assimiladas quando o aluno conhece bem os fundamentos teóricos das mesmas. Mas esse conhecimento não basta: o professor deve insistir para que os alunos se treinem bastante em exercícios equi-librados, que requeiram a aplicação das referidas técnicas.

10 0 treino recomendado na norma anterior não deve confundir-se de modo nenhum com a mecanização do aluno na resolução de exercícios por meio de receitas, aplicadas sem qualquer conhecimento de causa. Essa prática, tal como se tem generalizado entre nós, só contribui para desvirtuar completamente a finalidade do ensino da Matemática, habituando o aluno a não pensar e destruindo nele toda a iniciativa e toda a espontaneidade para a resolução de problemas essencialmente novos, como os que são postos a cada passo pela ciência, pela técnica e pela vida corrente.

11 Alunos e professor devem assumir nas aulas uma atitude descontraída, que afaste tanto quanto possível do es-pírito dos alunos a ideia da nota que irão ter no fim do período (lembrando que o seu interesse principal é apren-der) e modere no espírito do professor a ideia de que é juiz (lembrando que a sua missão é, acima de tudo, ensinar). Assim, o que deve dominar nas aulas é o interesse pelos assuntos tratados. Estes não têm necessariamente de ser todos reduzidos à forma de exercícios escritos (o que é muitas vezes um modo de os tornar abomináveis). Especialmente no que se refere a demonstrações – um aspecto em que é preciso insistir muito –, o professor de-verá recorrer de preferência ao sistema de chamadas breves.

12 É dialogando com os alunos que o professor acaba muitas vezes por esclarecer, para si próprio, certos assuntos que pretende ensinar. Isto não vem senão corroborar um velho preceito: A melhor maneira de aprender é ensinar. Haja em vista os Diálogos de Platão. No Teeteto é definida explicitamente por Sócrates a missão do mestre: aju-dar a virem à luz as ideias na mente do discípulo. E quantas vezes, no mesmo instante, não se ilumina a mente do professor!

13 Nesta ordem de ideias, o professor deve combater no aluno, e em si próprio, o receio de errar, enquanto se trata de fazer um esforço sincero para aprender ou ensinar. Porque só errando se aprende verdadeiramente. Ai da-queles que não aprendem à custa da própria experiência e dos próprios erros, porque esses pouco ou nada aprendem, na verdade.

14 0 método heurístico (ou de redescoberta) só a princípio poderá parecer mais moroso. A criança que aprende a andar com aparelhos ou a pessoa que aprende a nadar com flutuadores só ilusoriamente aprende mais depressa: na realidade aprende mais devagar e pior.

15 São por vezes obstáculos à aplicação do método heurístico os dois casos extremos que podem surgir numa turma: alunos muito bons e alunos francamente maus, especialmente os repetentes. Os primeiros estão sempre prontos a responder, não deixando tempo aos restantes para pensar (vide norma 7). Os segundos criam uma atmos-fera de desinteresse, porventura mesmo de indisciplina, ou então já conhecem a receita, que aprenderam no ano anterior, acabando assim por viciar o processo heurístico. Cabe ao bom senso do professor encontrar uma so-lução de equilíbrio, tendo presente a norma 7.

16 Terminaremos estas considerações, traduzindo algumas das medidas preconizadas na América para a renova-ção do ensino geral:

(a) O ensino em todos os graus terá de se tornar mais flexível, mais adaptado, quer às solicitações dum mundo em rápida evolução quer às aptidões dos indivíduos.

(b) Necessitamos de métodos aperfeiçoados para descobrir talentos e levá-los a atingir a plena maturidade. (c) Não devemos encorajar, seja de que modo for, qualquer sistema de ensino que tenda a criar uma geração de

bárbaros, incapazes de apreender uma ideia que não lhes seja “programada” por outro cérebro.

Sebastião e Silva, Guia para a utilização do Compêndio de Matemática (1.o_{Vol.), Curso Complementar do Ensino Secundário, Gabinete de Estudos e}

9 Aleph 10

COMPREENSÃO DO PROBLEMA

Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante?

É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?

Trace uma figura. Adopte uma notação adequada.

Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?

ESTABELECIMENTO DE UM PLANO

Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeira-mente diferente?

Conhece um problema do mesmo tipo ou sobre o mesmo assunto? Conhece um pro-blema que lhe poderia ser útil?

Considere a incógnita! E procure pensar num problema do mesmo tipo que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.

Eis um problema do mesmo tipo e já resolvido anteriormente. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se intro-duzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização?

É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições.

Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema do mesmo tipo. É possível imaginar um problema parecido mais acessível? Um pro-blema mais genérico? Um propro-blema mais específico? Um propro-blema análogo? É pos-sível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?

Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema?

EXECUÇÃO DO PLANO

Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar cla-ramente que o passo está correcto? É possível demonstrar que ele está correcto?

RETROSPECTIVA

É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?

É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance?

É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

George Polya: A Arte de Resolver Problemas

Como resolver um problema

Primeiro: É preciso compreender o problema. Segundo: Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata. É preciso chegar afinal a um plano para a resolução.

Terceiro:

Execute o seu plano.

Quarto:

Examine a solução obtida.

A. Antes de fazer, tenta entender.

B. À procura de estratégias.

B.1 Procura semelhanças com outros jogos e problemas.

B.2 Começar pelo fácil, torna fácil o difícil.

B.3 Experimenta e procura regularidades, temas.

B.4 Faz um esquema e, se vier a calhar…, pinta-o às cores.

B.5 Modifica o problema, muda qualquer coisa no enunciado, para ver se assim te ocorre um caminho possível.

B.6 Escolhe uma boa notação.

B.7 Explora a simetria… se puderes.

B.8 Suponhamos que não… aonde é que isso nos leva?

B.9 Suponhamos o problema resolvido.

B.10 Pensa em técnicas gerais: indução, descida, processo diagonal, princípio do pombal…

C. Explora a tua estratégia.

C.1 Explora as melhores ideias que te tenham ocorrido na fase B. Uma a uma. Não as mistures ao princípio.

C.2 Não desistas facilmente. Mas também não teimes de mais com uma só ideia. Se as coisas se complicarem de mais, haverá provavelmente outro caminho.

C.3 Resultou? De certeza? Olha para a tua solução com mais cuidado.

D. Extrai o sumo do jogo e da tua experiência.

D.1 Examina a fundo o caminho que seguiste. Como chegaste à solução? Ou: porque é que não chegaste à solução?

D.2 Tenta perceber não só que a coisa de facto funciona, mas também porque tem de funcionar assim.

D.3 Agora vê se consegues fazê-lo de maneira mais simples.

D.4 Vê até onde pode ir o método que seguiste, para ver se o podes utilizar noutras circunstâncias.

D.5 Reflecte um pouco sobre o teu próprio processo de pensamento e tira consequências para o futuro.

Miguel de Guzmán: Aventuras Matemáticas

Resolução de problemas

O que é o Módulo Inicial?

O Módulo Inicial apareceu pela primeira vez nos programas, em Portugal, na Revisão Curricular no Ensino Secundário que começou a ser preparada no fim dos anos 90. No documento Revisão Curricular no Ensino Secundário–Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos – 1, editado em Abril de 2000 pelo, então, “Departamento do Ensino Secundário” do Ministério da Educação, podia ler-se, nas páginas 31 e 32:

Em todos os programas em que tal se justifique, haverá um Módulo Inicial no qual se incluem conceitos prévios considerados verdadeiramente essenciais e estruturantes das disciplinas em causa, e que deverão ser essencial-mente trabalhados com os alunos nas primeiras duas ou três semanas de aulas do 10 .o_{ano e sempre que se venha}

a revelar necessário. Trata-se de uma fase muito importante para que, sempre numa perspectiva de acompanha-mento e recuperação dos alunos, os professores possam proceder a uma avaliação diagnóstica destinada a deli-near as estratégias de superação das dificuldades que eventualmente se venham a detectar. É uma fase em que os alunos têm de tomar consciência clara das suas aprendizagens. Superar dificuldades exige estudo e esforço e os jovens devem entender bem o seu papel neste processo. A participação e a colaboração dos pais e encarrega-dos de educação pode ser determinante. Também eles têm as suas responsabilidades e têm de perceber o que poderá estar em causa se não as assumirem plenamente.

Poderemos dizer que a primeira fase do 10 .oano deverá exigir uma cooperação estreita entre os professores, os alunos, os pais, os directores de turma, os SPO e outros intervenientes, tendo em vista ajudar e apoiar os alunos a ultrapassar as suas eventuais dificuldades. É um caminho que deveremos prosseguir, tendo em vista a integra-ção plena dos jovens nos seus percursos educativos e formativos. Tal integraintegra-ção poderá passar, tal como hoje, pela mudança de curso, o que, a acontecer, é desejável que se concretize em tempo útil, com o expresso e infor-mado consentimento dos pais e encarregados de educação.

O que está a negro no texto já estava destacado no texto original. Isto significa que o Módulo Inicial desempenha essencialmente uma tarefa de “acompanhamento e recuperação” e, portanto, de “avaliação diagnóstica”. Há alunos que revelarão tantas lacunas que será preciso mobilizar todos os actores da escola para encontrar uma via onde pos-sam ter sucesso. Outros estarão mais à vontade e este Módulo Inicial servirá como introdução ao método de traba-lho do Ensino Secundário e para refrescar a memória quanto a um certo número de conceitos e métodos mais ou menos esquecidos.

Nos programas de Matemática A de 2003, este Módulo Inicial é concretizado do seguinte modo:

O professor deverá propor neste módulo problemas ou actividades aos estudantes que permitam consolidar e fazer uso de conhecimentos essenciais adquiridos no 3 .oCiclo de modo tanto a detectar dificuldades em questões básicas como a estabelecer uma boa articulação entre este ciclo e o Ensino Secundário. Poderá partir de uma determinada situação, de um determinado tema, procurando evidenciar todas as conexões com outros temas e tomando como meta o desenvolvimento das competências matemáticas transversais, isto é, daquelas que atravessam todos os temas e devem constituir os grandes objectivos de um currículo de Matemática.

Ou seja, neste ponto, os programas em vigor escolheram trabalhar no Módulo Inicial “problemas ou actividades” com o objectivo de “consolidar e fazer uso” dos conhecimentos matemáticos que os alunos deveriam trazer do 3.oCiclo. Todas as lacunas detectadas deverão ser tratadas localmente se forem relativamente poucas ou aconselhando pla-nos de revisões básicas aos alupla-nos que revelarem mais lacunas (a desenvolver na escola se houver uma sala de estudo ou em casa).

13 Aleph 10

Não sendo possível rever todos os conhecimentos de Números, Funções, Geometria e Estatística que os alunos de-veriam trazer, muito menos ensinar todos esses conhecimentos a quem não os traz consolidados, trabalham-se problemas ou actividades que, de forma integrada, recoloquem em cima da mesa os conhecimentos do 3.o_{Ciclo que}

vão ser necessários no Ensino Secundário. O Programa de Matemática A, em vigor, determina essa abordagem global: Uma compreensão mais profunda da Matemática só se verifica quando o estudante vê as conexões, quando se apercebe que se está a falar da mesma coisa encarando-a de diferentes pontos de vista. Se os estudantes estão a explorar, por exemplo, um problema de geometria poderão estar a desenvolver a sua capacidade de visualizar, de fazer conjecturas e de as justificar, mas também poderão estar a trabalhar simultaneamente com números, cal-culando ou relacionando áreas e volumes, a trabalhar com proporções na semelhança de figuras ou a trabalhar com expressões algébricas.

Os problemas a tratar neste módulo devem integrar-se essencialmente nos temas Números, Geometria e Álgebra deixando para outra altura os problemas que se integrem no tema Funções ou Probabilidades e Estatística. Pre-tende-se que os problemas a propor ponham em evidência o desenvolvimento de capacidades de experimentação, o raciocínio matemático (com destaque para o raciocínio geométrico) e a análise crítica, conduzindo ao estabele-cimento de conjecturas e à sua verificação.

O Programa propõe uma lista de problemas a tratar, mas avisa logo que podem ser considerados outros: “Problemas a propor: Matemática A

• Unindo os pontos médios de um quadrilátero encontramos sempre um paralelogramo? • Porque é que há só cinco sólidos platónicos?

• Estudo da possível semelhança entre garrafas de água de uma dada marca de 33 cl, 50 cl, 75 cl e 1,5 l?

• Como resolveu o matemático Pedro Nunes equações do primeiro e do segundo graus? Podemos identificar, nos seus escritos, o uso da fórmula resolvente ou pelo menos de alguns casos particulares? Que casos Pedro Nunes não considerou ou considerou impossíveis?

• Que números racionais são representáveis por dízimas finitas? Qual a dimensão do período de uma dízima infi-nita periódica?

Alguns destes problemas poderão ser substituídos, com vantagem, por actividades ou problemas ligados ao mundo real, propostos e planificados por um grupo de professores do Conselho de Turma, de modo a integrar na sua re-solução conhecimentos de várias disciplinas.”

Nós dizemos o mesmo sobre os problemas propostos no manual: eis a nossa proposta de problemas, outros pode-rão ser considerados. Na Internet, há muitos recursos sobre os problemas propostos nos programas que podem ser considerados em alternativa ou complemento ao que é proposto no nosso manual escolar.

Aconselhamos:

Problema das garrafas de água (não) semelhantes

Texto de Maria José Costa publicado na revista Informat: http://area.dgidc.min-edu.pt/mat-no-sec/zip/informat_08.zip Proposta de Rosa Ferreira:

http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/planos/planos10_06_07/modulo_inicial/plano01/tarefa03.pdf

Cinco sólidos platónicos

Proposta de Rosa Ferreira:

http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/planos/planos10_06_07/modulo_inicial/plano01/tarefa02.pdf Proposta de António Marques do Amaral:

Diferentes planificações do Módulo Inicial

Planificação 1 (Rosa Ferreira - Escola Secundária com 3.oCiclo D. Dinis):

http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/matA_10_2009_2010/modulo_inicial/plano01_00/plano01_00.htm

Planificação 2 (Rosa Ferreira - Escola Secundária com 3.oCiclo D. Dinis):

http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/matA_10_2009_2010/modulo_inicial/plano02_00/plano02_00.htm

As nossas propostas

Propomos, no manual, um conjunto de tarefas que tentam incorporar todas as recomendações anteriormente refe-ridas. Vamos agora listar recursos suplementares que poderão ajudar os professores a concretizar essas propos-tas ou outras equivalentes na sala de aula.

Geoplano

A tarefa proposta pode facilmente ser substituída por outras, recorrendo a geoplanos imaginados, construídos ou virtuais na Internet. Eis alguns exemplos de recursos que se encontram na internet e que podem ser úteis para tra-balhar a tarefa proposta ou outra semelhante.

Geoplano virtual:

http://web.educom.pt/~pr1305/mat_geoplano.htm

Aplicação: Software geoplano computacional:

http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software.htm

Geoplano:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8489

Geoplanos virtuais:

http://www.escolovar.org/mat_geoplano_aplicacoes.htm

Nestas páginas também se encontram actividades elementares com o geoplano, aconselháveis para os alunos que nunca trabalharam com o geoplano.

http://www.dme.ufcg.edu.br/Lapem/Documentos/Módulo%205%20-%20Geoplano.pdf http://ndsim.esec.pt/pagina/fcmat/documentos/Tarefas_geoplanos.pdf

http://www.pg.utfpr.edu.br/sinect/anais/artigos/10%20Ensinodematematica/Ensinodematematica_artigo20.pdf

Segmentos notáveis num triângulo

Este é um tema clássico e muitas outras tarefas poderiam ter sido propostas. Nesta área também se encontram inú-meros recursos na Internet.

Pontos clássicos:

http://erdos.ime.usp.br/index.php/Pontos_Clássicos

Pontos notáveis no triângulo:

15 Aleph 10

Oito exercícios propostos por Puig Adam com pontos notáveis:

http://geometrias.blogspot.com/2005/01/pontos-e-rectas-notngulo.html

Enciclopédia de pontos notáveis do triângulo (há mais de 400 recenseados):

http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/

Pontos notáveis interactivos:

http://clientes.netvisao.pt/arselio/Cindy0/triangulos.htm

Apresentação em pdf dos pontos notáveis:

http://www.cecb.edu.br/ubec/publicacao/download.wsp?tmp.arquivo=2596

Poliedros convexos com polígonos regulares

Mais uma vez este é um tema riquíssimo onde se poderão encontrar muitas possíveis explorações e tarefas alter-nativas. Recomenda-se, especialmente, a página do Projecto ATRACTOR.

Os cinco poliedros regulares:

http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/regulares.html

Mas, muitos outros recursos podem ser mobilizados. O seguinte software também: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12574

E filmes? Também há muitos no YouTube. Por exemplo:

Poliedros de Platão

http://www.youtube.com/watch?v=wU_bf2PMjbM http://www.youtube.com/watch?v=pgrlfEUelbY http://www.youtube.com/watch?v=5QgIJOy7T7Y

Também é interessante considerar poliedros não convexos. Alguns exemplos podem ser vistos em artigos publica-dos na Revista Educação e Matemática, como este:

Poliedros regulares (EM 97, 2008):

http://www.apm.pt/files/_29-32_hq_482c13d3653bf.pdf

O Projecto ATRACTOR continua a ser uma referência obrigatória para o estudo dos poliedros em geral: http://www.atractor.pt/mat/Polied/fr-polied.htm

Os sólidos arquimedianos são referidos com frequência. Na página seguinte está uma tarefa com uma proposta de exploração dos sólidos platónicos e arquimedianos em simultâneo com o software PolyPro:

http://mat.absolutamente.net/recursos/fichas/10geo/poli.pdf

O software PolyPro, especialmente recomendado para o estudo de poliedros, pode ser obtido aqui: http://www.peda.com/download/

Aqui pode ver um filme explicando como usar o PolyPro para estudar poliedros: http://www.youtube.com/watch?v=BrmW4wW0moQ

Sobre sólidos arquimedianos pode ainda ver:

http://www.eb2-miranda-douro.rcts.pt/mat/historia.htm http://www.apm.pt/apm/amm/paginas/231_249.pdf

E, claro, pode sempre consultar a página da APM onde se conta como foi o projecto “Poliedro na Escola” do Ano Mundial da Matemática.

Dízimas finitas e infinitas

Eis algumas sugestões de recursos na Internet para trabalhar o tema: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm27/dizimas.htm

http://pascal.iseg.utl.pt/~jldias/am1/AMI-pdf/AMAT1-REAIS.pdf http://www.passei.com.br/tc2000/matematica1/m4_46_vb.pdf Algumas fichas de trabalho propostas por professores neste tema:

http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/matA_10_2009_2010/modulo_inicial/plano02_00/problema_3.pdf http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/planos/planos10_06_07/modulo_inicial/plano02/tarefa05_01.pdf http://www.amma.com.pt/cm/af29/trabalhos/s10/Ft10_a2.pdf

http://www.prof2000.pt/users/amma/recursos_materiais/rec/10_ano/f_trab/04_05/ft10_02_04-05.htm

As tarefas propostas, mas não resolvidas

Sendo este Módulo Inicial essencialmente de “acompanhamento e recuperação”, com características de “avaliação

diagnóstica”, não pareceu aos autores do manual adequado colocar sugestões ou soluções das tarefas do Módulo

Inicial no manual ao alcance dos alunos. Os professores devem ter a possibilidade de, em cada momento, ir fazendo o seu diagnóstico informal sobre o que poderão aconselhar a cada aluno. Assim, as possíveis sugestões e soluções são colocadas aqui no Guia do Professor, para que o docente as possa administrar da maneira que achar mais con-veniente em função dos alunos que tem.

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Módulo Inicial — Resolução de problemas | Aleph 10

Sugestões de resolução das tarefas do

Módulo Inicial

Tarefa 2 (A escadaria do João) (Pág. 21)

Começa com um degrau, tens uma maneira de o subir, e com dois já tens duas maneiras de o fazer, faz para mais casos… e tenta ver se existe alguma regularidade entre os números que vais obtendo...

Tarefa 3 (As etiquetas correctas) (Pág. 21)

Escolhe uma das caixas e pensa no que acontece, isto é, se a solução é única... não esquecer que as etiquetas estão trocadas... ler com cuidado o enunciado é sempre importante...

Tarefa 4 (A posição do ortocentro) (Pág. 22)

Recorda a classificação de triângulos quanto aos ângu-los… isso vai ajudar-te... não é nada difícil...

Tarefa 5 (A posição do circuncentro) (Pág. 23) Observa com cuidado o que vai acontecendo... uma su-gestão: não te esqueças a que é igual a amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência...

Tarefa 6 (A posição do baricentro) (Pág. 23)

Utiliza as potencialidades de medida do programa e de-termina o quociente entre a distância a um lado e a res-pectiva mediana...

Tarefa 7 (A recta de Euler) (Pág. 24)

Usa as potencialidades de medida do programa. Esta-belece as relações que te interessam.

Tarefa 9 (O raio de circunferência inscrita) (Pág. 25) Pensa quais os números inteiros que, somados com 15, podem ser as medidas de um triângulo de 36 cm de pe-rímetro. Não te esqueças que é um triângulo rectân-gulo... depois é o mesmo que na tarefa 8. Vais ver que funciona bem...

Tarefa 10 (A posição do incentro) (Pág. 26)

Uma boa ideia é verificar em que triângulos o incentro pertence à recta de Euler...

Tarefa 12 (O paralelogramo) (Pág. 28)

Primeiro revê os casos de semelhança de triângulos... depois desenha as diagonais e prova que os triângulos de cada um dos lados são semelhantes... o resto é ela-borar apenas um texto claro.

Tarefa 13 (O quadrado e o losango) (Pág. 29)

Talvez seja bom saberes a definição de quadrado e de losango e tudo fica mais fácil… depois é só compará--los…

Tarefa 16 (Repartição de maçãs) (Pág. 33)

Eu sei bem disso, ele é equações atrás de equações... Mas será que é mesmo? Pensa no problema resolvido. E começa do fim para o princípio... e não é que é mais fácil...

Propostas de resolução das tarefas do

Módulo Inicial

Tarefa 2 (A escadaria do João) (Pág. 21)

Acaba por ser a sucessão de Fibonnaci: 1, 2, 3, 5, 8... ou seja, cada termo a partir do 3.oé a soma dos dois ante-riores.

Existem 89 maneiras diferentes de subir as escadas.

Tarefa 3 (As etiquetas correctas) (Pág. 21)

Retiro uma peça de fruta da caixa que diz “maçãs e la-ranjas”. Como as etiquetas estão trocadas, se for uma maçã, essa caixa é só de maçãs, logo a etiqueta é “maçãs”. Então, como as etiquetas estão trocadas, a caixa com a etiqueta “laranjas” terá de conter maçãs e laranjas e a caixa com a etiqueta “maçãs” terá, portanto, de conter só laranjas. Se se retirar uma laranja da caixa com etiqueta “maçãs e laranjas”, o raciocínio é idên-tico.

Se se retirasse de uma das outras caixas, por exemplo, uma maçã, nada me garantia que lá não pudessem estar também laranjas. Assim, a única hipótese é começar pela caixa com a etiqueta “maçãs e laranjas”.

Tarefa 4 (A posição de ortocentro) (Pág. 22)

Num triângulo rectângulo, coincide com o vértice do ân-gulo recto, num triânân-gulo obtusânân-gulo, é exterior e, num triângulo acutângulo, é interior.

Tarefa 5 (A posição do circuncentro) (Pág. 23) Num triângulo rectângulo, está sobre a hipotenusa, num triângulo obtusângulo, é exterior e, num triângulo acu-tângulo, é interior.

Tarefa 6 (A posição do baricentro) (Pág. 23) da mediana.

Tarefa 9 (O raio da circunferência inscrita) (Pág. 25) Se os catetos do triângulo rectângulo são números in-teiros, as únicas soluções são:

7, 14, 15 8, 13, 15 9, 12, 15 10, 11, 15

Destes, só o triângulo 9, 12, 15 satisfaz o Teorema de Pi-tágoras.

A área do triângulo é, então, = 54.

Como a circunferência é tangente aos lados do triân-gulo, o raio é a altura de cada um dos triângulos, pois é perpendicular a cada um dos lados no ponto de tan-gência, como se verifica na figura:

A área do triângulo é igual à soma das áreas dos três triângulos em que está dividido. Assim:

+ + = 54 ⇔ r = 3 O raio da circunferência é, então, 3. Tarefa 10 (A posição do incentro) (Pág. 26)

Em geral, o incentro não pertence à recta de Euler, ape-nas nos triângulos isósceles.

Tarefa 12 (O paralelogramo) (Pág. 28)

Os triângulos [ABD] e [AEF] são semelhantes, pois têm um ângulo comum, a saber, o ângulo BAD, e = = 2, pois E e F são os pontos médios dos lados [AD] e [AB]. Em triângulos semelhantes, a lados proporcionais cor-respondem ângulos iguais. Assim, o ângulo AEF é igual ao ângulo ABD. As rectas EF e BD, cortadas pela recta AB, têm os ângulos correspondentes iguais, pelo que são paralelas. Considerando os triângulos BCD e GCH, do mesmo modo se prova que são semelhantes e con-clui-se que as rectas GH e BD são paralelas. Se EF é paralela a BD e GH é paralela a BD, então EF é paralela a GH.

Fazendo um estudo análogo em relação à diagonal AC, prova-se, do mesmo modo, que EG é paralela a FH. Assim, o quadrilátero é um paralelogramo, pois tem os lados opostos paralelos.

Tarefa 13 (O quadrado e o losango) (Pág. 29)

Um quadrado é um quadrilátero com os lados todos iguais e os ângulos todos rectos. Um losango é um qua-drilátero com os lados todos iguais e os ângulos opos-tos iguais.

Assim, um quadrado é um losango, pois o quadrado tem os lados todos iguais e os ângulos opostos iguais (por serem todos rectos) pelo que satisfaz todas as condi-ções para ser losango.

Mas nem todo o losango é um quadrado, pois o losango tem os lados todos iguais, mas o facto de os ângulos opostos serem iguais não obriga a que sejam todos rec-tos, pelo que não satisfaz obrigatoriamente todas as condições para ser um quadrado.

Tarefa 16 (Repartição de maçãs) (Pág. 33)

Supondo o problema resolvido, raciocina do fim para o princípio, como fica evidente na tabela:

Os três irmãos têm, respectivamente 7, 10 e 16 anos. 2

3

Irmão mais novo

8 4 2 4 Irmão do meio 8 4 8 7

Irmão mais velho

8 16 16 13 G B C A F D H E — AB — AE — AD — AF 9r 2 12r 2 15r 2 15 12 9 r r r 9 × 12 2

Geometria

TEMA 1

Capítulo 1 – Resolução de problemas de Geometria

Capítulo 2 – Referenciais e lugares geométricos

Capítulo 3 – Vectores livres

Propostas de resolução das tarefas e

exercícios

Capítulo 1 – Resolução de problemas de Geometria

Tarefa 6 (Área de uma figura muito irregular) (Pág. 56) Para estimarmos a área da Antárctida, podemos usar um software de Geometria Dinâmica que nos permite me dir comprimentos de segmentos de recta ou uma régua gra-duada que nos permita medir o comprimento dos lados dos rectângulos construídos sobre o mapa. Repare-se que as partes da Antárctida não contidas em nenhum dos quadrados compensam as partes dos quadrados que não contêm nenhuma parte do mapa.

Medindo com software adequado, constatamos que o la do do comprimento do rectângulo maior é, aproximadamente, 1809 e a sua largura é 1025, o que permite estimar que a área será 1809 × 1025 = 1 854 225 unidades de área. Quanto ao rectângulo mais pequeno, a sua área será, aproximadamente, 385 × 1236 = 475 860. Assim, uma estimativa para a área da Antárctida será:

1 854 225 + 475 860 = 2 330 085 unidades de área.

“Este exercício foi colocado no estudo de PISA de 2000 e, segundo o relatório publicado, “foi o item em que foi mais baixo o nível de su-cesso dos estudantes portugueses relativamente ao dos seus cole-gas da área da OCDE. Requeria a estimativa de uma área tendo em con sideração a escala em que o mapa estava desenhado. Quase três quartos dos alunos não apresentaram qualquer tipo de resolução”.

Tarefa 7(Polígonos inscritos) (Pág. 56)

Uma actividade aberta como esta, que admite várias so-luções, permite que os alunos confrontem soluções e estabeleçam relações. Não se pretende obter uma trução óptima, mas sim explorar características de cada figura para a inscrever no quadrado. Não é fácil obter um triângulo equilátero sem recorrer às relações entre os ângulos. Esta actividade pode ser aproveitada para introduzir ou consolidar questões de trigonometria do triângulo rectângulo.

Retirado de: Brochura de Geometria, 10.o_{ano, p. 71, ME}

Tarefa 8(Construindo blocos) (Pág. 57)

1.12 cubos. 2.27 cubos.

3.26 cubos. 4.96 cubos.

Tarefa 9(Os agricultores e a água da chuva) (Pág. 58) Dependendo da posição escolhida para os pontos A, B e C consideremos diferentes soluções, mas a resolução será idêntica. Suponhamos que os pontos A, B e C se situam tal como mostra a figura seguinte:

Os três furos do cubo definem um plano. Inclinando convenientemente o cubo, consegue-se guardar o má-ximo de água se a camada superior de água coincidir com a secção definida pelos três furos.

A secção definida pelos três furos divide o cubo em dois sólidos, sendo o menor um tronco de pirâmide. As bases desse tronco de pirâmide são triângulos se-melhantes (porque têm dois ângulos iguais) e a razão que transforma o maior no menor é porque o ponto B é o ponto médio da aresta que o contém.

Como a razão de semelhança é , a razão entre os volu-mes das pirâmides [FACV] e [EBDV] é .

V[FACV]= ×

( )

V[EBDV]= × 36 = 4,5 dm3

Vtronco de pirâmide= 36 – 4,5 = 31,5 dm3

Vcubo= 63= 216 dm3

Volume máximo de água que se pode guardar = = 216 – 31,5 = 184,5 dm3

O Sr. Pedro conseguiria guardar 184,5 litros de água.

Adaptado de: http://matematicanacidadela.blogspot.com/2008/11/ para-que-servem-os-cortes-no-cubo.html

Tarefa 10(Cortes num tetraedro) (Pág. 58)

1.Se o aluno já fez a exploração dos cortes no cubo, poderá concluir e demonstrar que os cortes no te-traedro só podem ser triângulos ou quadriláteros. Se o tetraedro tem quatro faces, um plano intersecta no máximo quatro faces, logo o corte pode ter no má-ximo quatro lados.

A B C 1 8 1 3 6 × 3 2 1 8 1 2 1 2 A B C D F E V Quilómetros 0 200 400 600 800 1000

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Tema 1 — Geometria | Aleph 10

Obtemos quadriláteros quando o plano intersecta as quatro faces, e estes só são rectângulos quando o plano é paralelo a duas das arestas. Se virmos o te-traedro dentro do cubo, estes são os planos parale-los a duas faces opostas do cubo.

2.Para provar que estes rectângulos têm todos o mes mo perímetro, o mais fácil é recorrer a uma planificação.

3.Estes rectângulos vão de um caso limite a outro e, como não há descontinuidades, um deles é quadrado.

Mas este quadrado também pode ser visto quando faze-mos o corte no cubo com o tetraedro por um plano que passa nos pontos médios de quatro arestas do tetraedro.

Retirado de: Brochura de Geometria, 10.o_{ano, pp. 89 e 90, ME}

Desafio D.1(Pág. 59)

Vamos mostrar que as áreas das estrelas são iguais, mos trando que as áreas não ocupadas dos hexágonos são iguais. Repare-se que o hexágono da figura 1 não tem preenchida a área correspondente a 12 triângulos equiláteros de lado 1.

A área de cada um destes triângulos é que, a multi-plicar por 12, é igual a 3√∫3, sendo esta a área não ocu-pada pela estrela da figura 1.

Quanto à figura 2, a área não ocupada é constituída por 12 triângulos rectângulos de catetos 1 e , o que permite afirmar que a área de cada um destes triângulos é . Como também são 12, a área não ocupada pela estrela da figura 2 é, como não podia deixar de ser, 3√∫3, o que prova que as áreas das estrelas são iguais.

Desafio D.2(Pág. 59)

Consideremos um círculo com diâmetro d. A sua área é Ac= π

( )

2

. Se ao diâmetro tirarmos e calcularmos a área de um quadrado de lado d – , vamos obter Aq=

(

)

2

.

Igualando estas duas áreas e resolvendo a equação obtida em ordem a π,determinamos o tão procurado valor de π: Ac= Aq⇔ π =

(

)

2

⇔ π = d2_{– + ⇔}

⇔ π = 4 – +

Aplicando a heurística de Polya a este exemplo pode-mos fazer várias concretizações da variável d (o diâme-tro) para tentarmos “perceber” o que está a acontecer com o valor procurado para π.

Fazendo d = 1, obtemos π = ≈ 3,16; considerando d = 2, obtemos π = ≈ 3,57; e, por fim, considerando, d = 7, obtemos π = ≈ 3,87.

Mostrámos que o problema 50 do Papiro de Rhind não torna racional, como era de esperar, o π, pois, como acabámos de ver, para diferentes diâmetros vamos obter diferentes valores de π, o que é um absurdo.

Capítulo 2 – Referenciais e lugares geométricos

Exercício 2(Pág. 66)

São pontos simétricos relativamente à recta de equação y = x.

Exercício 3(Pág. 66)

b.O ponto A pertence ao 4.o_{quadrante; o ponto B}

per-tence ao 1.o_{quadrante; o ponto C pertence ao 3.}o

qua-drante e o ponto D pertence ao 1.o_quadrante. -4 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 4 3 2 1 5 -1 -2 -3 y x -5 5 6 7 6 7 y = x C (2, 7) D (7, 2) A (2, –3) B (–3, 2) 15 376 3969 289 81 256 81 8 9d 4 81d2 d2 4 1 9 d2 4 2d 9 1 81 1 9 1 9 d 2 1 9 √∫3 4 √∫3 2 √∫3 4 Centro da face do cubo Largura a a Comprimento c + ᐉ = aresta

Tarefa 3(Semiplanos, faixas e cantos) (Pág. 70)

1.y≥ 3

2.y< 3

3. i)y = –2 não é um semiplano, mas sim uma recta ho-rizontal. ii) iii) iv) 4.y≥ 2 e y ≤ 6 ⇔ 2 ≤ y ≤ 6 y≥ –3 e y ≤ 5 ⇔ –3 ≤ y ≤ 5 x≥ –6 e y ≤ –1 ⇔ –6 ≤ y ≤ –1 5.x≥ 3 e y ≥ 2 x≤ 3 e y ≥ 2 x≤ 3 e y ≤ 2 x≤ 3 ou y ≤ 2 Exercício 4(Pág. 71) y≥ 2 y≤ 2 y< 2 Exercício 5(Pág. 71) a. x< 2 b.x≥ –4 c.y> π d.x≤ –π Exercício 6(Pág. 71) y≥ –2 e y ≤ 6 ⇔ –2 ≤ y ≤ 6 y≤ –2 ou y ≥ 6 y≥ –4 e x ≥ –7 y≤ –4 e x ≥ –7 Exercício 7(Pág. 71) a.x> 2 e x < 3 ⇔ 2 < x < 3 Exercício 8(Pág. 78)

Num referencial (O, x, y, z) a figura definida pela condi-ção 1 < x ≤ 3 é a porção do plano contida entre os pla-nos de abcissa 1, não incluindo o plano, e o plano de abcissa 3, este sim, incluído.

Exercício 9(Pág. 78)

0 ≤ x ≤ –2 e 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 2

Exercício 10(Pág. 78)

A(2, –2, 0); B(2, 2, 0); D(–2, –2, 0); E(2, –2, 4); F(2, 2, 4); G(–2, 2, 4); H(–2, –2, 4)

Tarefa 6(Depósito de propano) (Pág. 79) Sejam:

A – a localização de uma urbanização; B – a localização da outra urbanização; D – a localização do depósito;

F – a localização da fábrica. Dados do problema:

dist(D, F) ≥ 600 dist(D, A) = dist(D, B)

(Esta informação garante-nos que o depósito tem que ficar sobre a mediatriz do segmento de recta de extre-mos A e B). Dist(A, B) = 500 Dist(A, F) = 700 dist(B, F) = 900 y x D12 D11 D21 D22 F2 F1 -4 -8 4 8 -4 4 y x O -2 -4 -8 4 8 -4 4 y x O -2 -4 -8 4 8 -4 4 y x O -2

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Tema 1 — Geometria | Aleph 10

Atendendo às restrições do problema, temos quatro possíveis soluções, duas por cada possível localização da fábrica, que designamos por F1e F2. As quatro

lo-calizações possíveis são os pontos D11 e D12, tendo

como referência a localização F1da fábrica e os pontos

D21e D22, para a localização F2da fábrica.

Exercício 11(Pág. 81)

Uma equação da circunferência de centro O(2, –3) e raio 7 é, por exemplo, (x – 2)2_{+ [y – (–3)]}2 _{= 7}2 _⇔

⇔ (x – 2)2_{+ (y + 3)}2_{= 49} Exercício 12(Pág. 81)

O ponto de coordenadas (2, 3) pertence à circunferên-cia de centro (1, –1) e raio 2 se, quando substituirmos as suas coordenadas na equação da referida circunferên-cia, obtivermos uma igualdade numérica verdadeira. Uma equação da circunferência é, por exemplo, (x – 1)2_{+ (y + 1)}2_{= 4.}

Averiguemos se o ponto (2, 3) lhe pertence. Façamos a substituição (2 – 1)2_{+ (3 + 1)}2_{= 4 ⇔ 1}2_{× 4}2_{= 4 ⇔ 17 = 4.}

Como obtivemos uma igualdade numérica falsa, pode-mos afirmar que o ponto (2, 3) não pertence à circun-ferência de centro (1, –1) e raio 2.

Exercício 13(Pág. 81)

Uma equação da esfera aberta de centro (1, 2, 3) e raio 2 é, por exemplo, (x – 1)2_{+ (y – 2)}2_{+ (z – 3)}2_{< 2}2_. Exercício 14(Pág. 81)

O ponto de coordenadas (2, 3, –1) pertence à superfície esférica de centro (0, 1, –1) e raio 1 se, quando substi-tuirmos as suas coordenadas na equação da referida superfície esférica, obtivermos uma igualdade numé-rica verdadeira.

Uma equação da superfície esférica é, por exemplo, (x – 0)2_{+ (y – 1)}2_{+ (z + 1)}2_{= 4. Averiguemos se o ponto}

(2, 3, –1) lhe pertence. Façamos a substituição: 22_{+ (3 – 1)}2_{+ (–1 + 1)}2_{= 4} ⇔ 4 + 4 + 0 = 4 ⇔ 8 = 4.

Como obtivemos uma igualdade numérica falsa, pode-mos afirmar que o ponto (2, 3, –1) não pertence à su-perfície esférica de centro (0, 1, –1) e raio 2.

Exercício 15(Pág. 82)

O plano mediador do segmento de recta de extremos (1, 2, 3) e (1, –2, 3) é o conjunto dos pontos que estão à mesma distância dos extremos do segmento, isto é, √∫(∫x∫ ∫–∫ ∫1∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫y∫ ∫–∫ ∫2∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫z∫ ∫–∫ ∫3∫)∫2₌ √∫(∫x∫ ∫–∫ ∫1∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫y∫ ∫+∫ ∫2∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫z∫ ∫–∫ ∫3∫)∫2

⇔ (x – 1)2_{+ (y – 2)}2_{+ (z – 3)}2_{= (x – 1)}2_{+ (y + 2)}2_{+ (z – 3)}2

⇔ –4y + 4y = 0 ⇔ y = 0

O plano mediador procurado é o plano coordenado y = 0.

Exercício 16(Pág. 82)

O plano mediador do segmento de recta de extremos (1, 2, 2) e (1, 2, 1) é o conjunto dos pontos que estão à mesma distância dos extremos do segmento, isto é, √∫(∫x∫ ∫–∫ ∫1∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫y∫ ∫–∫ ∫2∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫z∫ ∫–∫ ∫2∫)∫2₌ √∫(∫x∫ ∫–∫ ∫1∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫y∫ ∫–∫ ∫2∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫z∫ ∫–∫ ∫1∫)∫2

⇔ (x – 1)2_{+ (y – 2)}2_{+ (z – 2)}2_{= (x – 1)}2_{+ (y – 2)}2_{+ (z – 1)}2

⇔ –4z + 4 = –2z + 1 ⇔ –2z = –3 ⇔ z =

O plano mediador procurado é o plano de equação z = .

Exercício 17(Pág. 82)

O ponto de coordenadas (1, 2, –4) pertence ao plano me-diador do segmento de recta de extremidades (1, 2, –4) e (1, 2, 3), se quando substituirmos as suas coordenadas na equação do plano mediador, obtivermos uma igual-dade numérica verigual-dadeira.

A equação do plano mediador é:

(x – 1)2_{+ (y – 2)}2_{+ (z – 4)}2_{= (x – 1)}2_{+ (y – 2)}2_{+ (z – 3)}2

⇔ 8z + 16 = –6z + 9 ⇔ z = –

Um ponto pertence a este plano se tiver cota igual a – . Dado que esta exigência não é satisfeita pelo ponto (1, 2, –4), podemos afirmar que ele não pertence ao plano mediador do segmento de recta de extremidades (1, 2, –4) e (1, 2, 3).

Exercício 18(Pág. 85)

Sendo k> 1, a transformação associada é: X = x, Y = ky

sendo que, neste caso, para cada abcissa as ordenadas são ampliadas na mesma proporção (pois são multipli-cadas por um número maior do que 1).

Neste caso, obtemos um alongamento da circunferência em relação ao eixo dos xx. Assim, o eixo menor, neste caso, coincide com o diâmetro da circunferência e o eixo maior é maior do que o diâmetro da circunferên-cia (é igual ao diâmetro multiplicado por k).

A equação da circunferência é x2_{+ y}2_{= r}2_.

Fazendo a substituição, temos:

X2_{+ = r}2⇔ _{+ = 1, que é uma equação do}

mes mo tipo.

Exercício 19(Pág. 85)

O raio da circunferência terá de ser igual ao semieixo me nor da elipse e a transformação associada: X = kx e Y = y. Y2 k2 X2 r2 Y2 (kr)2 1 2 1 2 3 2 3 2