MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 55 ESFERA

MATEMÁTICA - 3

_ANO

MÓDULO 55

R

d

r

R

esfera

R

d

d

a

R

a

2R

a

Como pode cair no enem

(ENEM) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

B

A

Figura 1 Figura 2

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.

A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por: a) b) c) d) e)

Como pode cair no enem

(ENEM) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

B

A

Figura 1 Figura 2

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.

A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por: a) b) c) d) e)

Fixação

1) (UERJ) Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica, com tampa.

As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura ao lado.

Calcule:

a) a área total, em cm², da superfície da embalagem; b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas.

Fixação

2) (ENEM) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquidos até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras.

V1 V2 V3

Representando por V₁, V₂ e V₃ o volume líquido em cada um dos recipientes, tem se: a) V₁ = V₂ = V₃

b) V₁ < V₃ < V₂ c) V₁ = V₃ < V₂ d) V₃ < V₁ < V₂ e) V₁ < V₂ = V₃

Fixação

2) (ENEM) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquidos até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras.

V1 V2 V3

Representando por V₁, V₂ e V₃ o volume líquido em cada um dos recipientes, tem se: a) V₁ = V₂ = V₃ b) V₁ < V₃ < V₂ c) V₁ = V₃ < V₂ d) V₃ < V₁ < V₂ e) V₁ < V₂ = V₃ Fixação

3) (ENEM) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera.

4πr³ Volume da esfera: V_esfera = ––– 3

Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a:

a) 15 d) 3_√__₆₀

b) 12 e) 6 3_√__₃₀

Fixação

4) (UERJ) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.400 km. Na representação a seguir, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.

A

B _C

Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x; y), em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir.

Pontos Coordenadas

X Y A 135º 0º B 135º 60º C 90º 60º

Considerando π igual a 3, a distância mínima, em quilômetros, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a:

a) 11.200 b) 10.800 c) 8.800 d) 5.600

Fixação

5) (UFRJ) Um cone circular reto de altura h circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura ao lado. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume da menor.

Fixação

4) (UERJ) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.400 km. Na representação a seguir, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.

A

B _C

Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x; y), em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir.

Pontos Coordenadas

X Y A 135º 0º B 135º 60º C 90º 60º

Considerando π igual a 3, a distância mínima, em quilômetros, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a:

a) 11.200 b) 10.800 c) 8.800 d) 5.600

Fixação

5) (UFRJ) Um cone circular reto de altura h circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura ao lado. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume da menor.

Determine h.

Fixação

6) (UFRJ) Considere uma esfera E₁ inscrita e outra esfera E₂ circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm. Calcule a razão entre o volume de E₂ e o volume de E₁.

Fixação

6) (UFRJ) Considere uma esfera E₁ inscrita e outra esfera E₂ circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm. Calcule a razão entre o volume de E₂ e o volume de E₁.

Proposto

1) (ENEM) Observe “nas questões abaixo” o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta.

Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais, tendo assim empregado: a) 100 bolinhas.

b) 300 bolinhas. c) 1000 bolinhas. d) 2000 bolinhas. e) 10000 bolinhas.

Proposto

2) (ENEM) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32

Proposto

2) (ENEM) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 Proposto

3) (UFRJ) Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1,0 cm?

Proposto

4) (ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.

4 4 5 5 5 5 6 10 15 6

Os sólidos são fabricados nas formas de:

I) um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm. II) um cubo de aresta 2 cm.

III) uma esfera de raio 1,5 cm.

IV) um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm. V) um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.

O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos

Proposto

4) (ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.

4 4 5 5 5 5 6 10 15 6

Os sólidos são fabricados nas formas de:

I) um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm. II) um cubo de aresta 2 cm.

III) uma esfera de raio 1,5 cm.

IV) um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm. V) um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.

O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos

a) I, II e III b) I, II e V c) I, II, IV e V d) II, III, IV e V e) III, IV e V

Proposto

5) (ENEM) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes.

Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

R = 3cm Figura 1 Figura 2 R = 3cm h Considere: 4πR³ 1πR²h V_{esfera 3} = - – e V_cone = – ₃

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:

Proposto

6) (UERJ) Uma esfera maciça de metal dentro de uma caixa cúbica de plástico sem folga (fig. A) e o espaço vazio preenchido com água. Uma outra caixa, igual à primeira, foi preenchida por 64 esferas congruentes maciças e do mesmo metal, sem folga (fig. B), e no espaço vazio, colocou-se água.

Fig A Fig B Fig C

Vista frontal

Sejam V_A e V_B, respectivamente, os volumes de metal contidos nos cubos corresponden-tes às figuras A e B. Sobre os volumes V_A e V_B e suas respectivas superfícies de contato com a água, S_A e S_B, pode-se concluir que:

a) V_A > V_B e S_A > S_B c) V_A = V_B e S_A = S_B b) V_A < V_B e S_A < S_B d) V_A = V_B e S_A < S_B

Proposto

6) (UERJ) Uma esfera maciça de metal dentro de uma caixa cúbica de plástico sem folga (fig. A) e o espaço vazio preenchido com água. Uma outra caixa, igual à primeira, foi preenchida por 64 esferas congruentes maciças e do mesmo metal, sem folga (fig. B), e no espaço vazio, colocou-se água.

Fig A Fig B Fig C

Vista frontal

Sejam V_A e V_B, respectivamente, os volumes de metal contidos nos cubos corresponden-tes às figuras A e B. Sobre os volumes V_A e V_B e suas respectivas superfícies de contato com a água, S_A e S_B, pode-se concluir que:

a) V_A > V_B e S_A > S_B c) V_A = V_B e S_A = S_B b) V_A < V_B e S_A < S_B d) V_A = V_B e S_A < S_B

Proposto

7) Um cálice com forma de um cone contém V cm³ de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2cm é colocada dentro do cálice. Suponha que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone.

Determine o valor de V.

Proposto

8) (UERJ) Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:

F

α

T A

Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa.

Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a:

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7

Proposto

8) (UERJ) Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:

F

α

T A

Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa.

Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a: a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 Proposto

9) (UFF) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h – um cilindro, uma semiesfera e um prisma – cujos volumes são V₁, V₂ e V₃, respectivamente. A relação entre V₁, V₂ e V₃ é: r h r 2r 2r a) V₃ < V₂ < V₁ b) V₂ < V₃ < V₁ c) V₁ < V₂ < V₃ d) V₂ < V₁ < V₂ e) V₂ < V₁ < V₃

Proposto

10) (UERJ) Observe o dado ilustrado abaixo, formado a partir de um cubo, e com suas seis faces numeradas de 1 a 6.

Esses números são representados por buracos dei-xados por semiesferas idênticas retira-das de cada uma retira-das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo. Considerando π = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma semies-feras, expressas na mesma unidade, é igual a:

a) 6 c) 9 b) 8 d) 10

Proposto

10) (UERJ) Observe o dado ilustrado abaixo, formado a partir de um cubo, e com suas seis faces numeradas de 1 a 6.

Esses números são representados por buracos dei-xados por semiesferas idênticas retira-das de cada uma retira-das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo. Considerando π = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma semies-feras, expressas na mesma unidade, é igual a:

a) 6 c) 9 b) 8 d) 10

Proposto

11) Admita que a Terra seja esférica com raio de 6300km. Dois navios sobre o mesmo paralelo, a 60° de latitude norte, estando um deles sobre o meridiano de Greenwich e o outro sobre o meridiano a 20° de longitude oeste. Calcule, em quilômetros, a menor distância entre os navios, medida sobre a superfície da Terra, ao longo do paralelo. Considere o valor de π igual a 22

7 e divida o seu resultado por 100.

60º 20º paralelo equador Meridiano de Greenwich

Proposto

12) (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m³ de neve para cons-truir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à chegada do verão no Polo Sul.

O boneco será composto por uma cabeça e um corpo, ambos em forma de esfera, tangen-tes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3.

Proposto

12) (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m³ de neve para cons-truir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à chegada do verão no Polo Sul.

O boneco será composto por uma cabeça e um corpo, ambos em forma de esfera, tangen-tes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3.

Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas.

Proposto

13) (UFRJ) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r.

10 A

D

B C

Proposto

14) Uma esfera E de raio r está inscrita em um cubo e outra F está circunscrita a esse mesmo cubo. Então a razão entre os volumes de F e de E é igual a:

a) 3 b) 2 3 c) 3 3 –––– 2 d) 3 3 e) 4 3 –––– 3 E F r _r1 a a

Proposto

14) Uma esfera E de raio r está inscrita em um cubo e outra F está circunscrita a esse mesmo cubo. Então a razão entre os volumes de F e de E é igual a:

a) 3 b) 2 3 c) 3 3 –––– 2 d) 3 3 e) 4 3 –––– 3 E F r _r1 a a Proposto

15) (UERJ) O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi con-struído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura a seguir:

A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circun-scrita, é: a) 3 b) 3 –– 2 c) 3 –– 3 d) 3 –– 4

Proposto

16) (UERJ) A superfície de uma esfera pode ser calculada através da fórmula: 4πR², onde R é o raio da esfera. Sabe--se que 3/4 da superfície do planeta Terra são cobertos por água e que 1/3 da superfície restante é coberto por desertos. Considere o planeta Terra esférico, com seu raio de 6.400 km e use π igual a 3. A área dos desertos em milhões de quilômetros quadrados é igual a:

a) 122,88 b) 81,92 c) 61,44 d) 40,96

Proposto

16) (UERJ) A superfície de uma esfera pode ser calculada através da fórmula: 4πR², onde R é o raio da esfera. Sabe--se que 3/4 da superfície do planeta Terra são cobertos por água e que 1/3 da superfície restante é coberto por desertos. Considere o planeta Terra esférico, com seu raio de 6.400 km e use π igual a 3. A área dos desertos em milhões de quilômetros quadrados é igual a: a) 122,88 b) 81,92 c) 61,44 d) 40,96 Proposto

17) (UFF) Uma lata, cuja capacidade é igual a 300 ml, contém água e 60 bolas de gude iguais e perfeitamente esféricas com diâmetro de 2 cm cada. Sabendo que a lata está completamente cheia, determine o volume de água, em ml. Considere π = 3,14.

Proposto

18) (UERJ) Admita uma esfera com raio igual a 2 m, cujo centro O dista 4 m de um determinado ponto P. Tomando-se P como vértice, cons-truímos um cone tangente a esta esfera, como mostra a figura.

Calcule, em relação ao cone: a) seu volume;

b) sua área lateral.

4 m P

Proposto

18) (UERJ) Admita uma esfera com raio igual a 2 m, cujo centro O dista 4 m de um determinado ponto P. Tomando-se P como vértice, cons-truímos um cone tangente a esta esfera, como mostra a figura.

Calcule, em relação ao cone: a) seu volume;

b) sua área lateral.

Proposto

19) (UFRJ) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 10cm, está cheia de bolas de gude per-feitamente esféricas, de raio 1cm.

Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera, indique qual das opções a seguir é ver-dadeira:

opção I: n > 125 opção II: n = 125 opção III: n < 125

Proposto

20) (UFF) Os raios de duas esferas concêntricas medem 21 cm e 29 cm. Calcule a área de uma secção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor.

Proposto

20) (UFF) Os raios de duas esferas concêntricas medem 21 cm e 29 cm. Calcule a área de uma secção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor.

Proposto

21) (UERJ) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simulta-neamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura.

Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a:

a) 10,6 b) 12,4 c) 14,5 d) 25,0

Proposto

22) (UERJ) Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em uma semiesfera, cujo raio OA forma um ângulo θ com a base do cilindro.

r A

O θ

Se θ varia no intervalo

]

]

Proposto

22) (UERJ) Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em uma semiesfera, cujo raio OA forma um ângulo θ com a base do cilindro.

r A

O θ

Se θ varia no intervalo

]

]

Proposto

23) (UFF) A figura ao lado representa um cone equilátero, onde foram colocadas 3 esferas de tal modo que cada uma delas é tangente à superfície lateral do cone, sendo a esfera do meio tangente às outras duas, e a maior tangente base do cone.

Proposto

24) (UERJ) Uma cuba de superfície semiesférica, com diâmetro de 8 cm, está fixa-da sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba.

Desprezando a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine:

a) a maior área, em cm², pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa; b) o volume, em cm³, da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba.

Proposto

24) (UERJ) Uma cuba de superfície semiesférica, com diâmetro de 8 cm, está fixa-da sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba.

Desprezando a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine:

a) a maior área, em cm², pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa; b) o volume, em cm³, da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba.

Proposto

25) (CESGRANRIO) Supondo a terra esférica de centro C, o comprimento do paralelo PP’ mostrado na figura é a metade do Equador EE’. A latitude (PCE) do, paralelo é:

a) 30° b) 40° c) 45° d) 60° e) 70° Polo Norte Polo Sul A E P C E’ P’

Proposto

26) (CESGRANRIO) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta por 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede:

a) 2 π R² b) 4 π R² 3 π c) ––– R2 4 d) 3 π R² 4 e) – π R² 3